从实例看微分与积分的联系
到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分）
的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了。
§ 3 微积分基本定理先来看一个颇具启发性的例子。在引入 定积分定义时我们已经知道，以速度 vt()作变速运动的物体,在时间段 [,]TT
12
中所走过的路程 S 可以表示为定积分
2
1
0
1
lim ( ) ( )d
n
T
ii
T
i
Svtvt
λ
ξ
→
=
=Δ=
∑
∫
,
但是这个和式的极限一般来说是很难求的。
让我们换一个角度考虑问题：设物体在时间段 [,]0 t 所走过的路程为 St()，那么它在时间段 [,]TT
12
所走过的路程可以表示为
SST ST=?() ()
21
,
于是就有
2
1
()d
T
T
vt t
∫
=?ST ST() ()
21
。
注意到 vt S t() ()= ′,或者说 St()是 vt()的一个原函数，于是上式说明了，
vt()在区间 [,]TT
12
上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点处的函数值之差来表示。
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式
设 fx()在区间 [,]ab上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意
xab∈[,]，积分 ()d
x
a
f tt
∫
存在。当 x在 [,]ab中变化时,()d
x
a
f tt
∫
的值也随之而变化，所以它是定义在 [,]ab上的关于 x的函数。这个函数具有如下的重要性质,
定理 7.3.1 设 fx()在 [,]ab上可积，作函数
() ()d,[,]
x
a
F x f ttx ab=∈
∫
,
则
⑴ Fx()是 [,]ab上的连续函数 ；
⑵ 若 fx()在 [,]ab上连续，则 Fx()在 [,]ab上可微，且有
′ =Fx fx() ()。
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式
设 fx()在区间 [,]ab上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意
xab∈[,]，积分 ()d
x
a
f tt
∫
存在。当 x在 [,]ab中变化时,()d
x
a
f tt
∫
的值也随之而变化，所以它是定义在 [,]ab上的关于 x的函数。这个函数具有如下的重要性质,
证 由定积分的区间可加性,
( ) ( ) ()d ()d ()d
xx x xx
aax
F x x Fx ft t ft t ft t
+Δ +Δ
+Δ? =? =
∫∫∫
。
记 m,M 分别为 fx()在 [,]ab上的最小值和最大值，由积分第一中值定理，得到
Fx x Fx()()+?Δ
Δ+Δ?
∈Δ?
=
。上连续在若之间与在
，上可积在若
],[)(),()(
],[)(),],[(
baxfxxxxf
baxfMmx
ξξ
ηη
显然，不管在哪一种情况下，当 Δx → 0时都有 Fx x Fx()()+? →Δ 0，
即 Fx()在 [,]ab上连续。
若 fx()在 [,]ab连续，当 Δx → 0时有 xξ →,因而 () ()f fxξ →,于是
00
()()
() lim lim () ()
xx
Fx x Fx
F xf
x
ξ
Δ→ Δ→
+Δ?
′
===
Δ
。
注 定理7.3.1具有非常重要的意义。
首先，它扩展了函数的形式。 ()d
x
a
f tt
∫
与我们所熟悉的初等函数 形式迥异，但它确实是一种函数的表示形式，它使我们对函数的认识冲出了初等函数的束缚，不再囿于这狭窄的范围。
其次，它说明了当 fx()在 [,]ab上连续时,()d
x
a
f tt
∫
正是 fx()在 [,]ab
上的一个原函数，这就是我们在第六章§ 3 所断言的：任何连续函 数必存在原函数。如
sin
d
x
a
t
t
t
∫
是
sin x
x
的一个原函数，
2
ed
x
t
a
t
∫
是 e
x
2
的 一个原函数，等等。
另外它还给出了对 ()d
x
a
f tt
∫
这种形式的函数求导（通常称为“对 积分上限求导,）的一个法则：
( )
()d ( )
x
a
f tt fx
′
=
∫
。
例 7.3.1 计算
2
0
() sin d
x
F xtt=
∫
的导数。
解 记 ux=
2
，则
0
() () sin d
u
F xGu tt==
∫
,
由复合函数求导法则,
2
0
dd
() () () sin d 2 2sin
u
ux
F xGuux tt xxx
uu
=
′′
=?=?=
∫
。
例 7.3.2 求极限
2
0
3
0
sin d
lim
x
x
tt
x
→
∫
。
解 由于 ()d 0
a
a
fx x=
∫
,因此这个极限是
0
0
待定型。 由 L'Hospital 法则,
2
0
3
0
sin d
lim
x
x
tt
x
→
∫
2
0
3
0
sin d
lim
()
x
x
tt
x
→
′
=
′
∫
=
→
lim
sin
x
xx
x
0
2
2
3
=
2
3
。
例 7.3.1 计算
2
0
() sin d
x
F xtt=
∫
的导数。
解 记 ux=
2
，则
0
() () sin d
u
F xGu tt==
∫
,
由复合函数求导法则,
2
0
dd
() () () sin d 2 2sin
u
ux
F xGuux tt xxx
uu
=
′′
=?=?=
∫
。
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结论——微积分基本定理。
定理7.3.2 (微积分基本定理) 设 fx()在 [,]ab上连续,Fx()是 fx()
在 [,]ab上的一个原函数，则成立
()d () ()
b
a
f xxFb Fa=?
∫
。
证 设 Fx()是 fx()在 [,]ab上的任一个原函数，而由定理 7.3.1，
()d
x
a
f tt
∫
也是 fx()在 [,]ab上的一个原函数,因而两者至多相差一个常数。
记
()d ( )
x
a
f ttFxC= +
∫
,
令 x a=,即得到 CFa=? ()，所以
()d ( ) ( )
x
a
f ttFx Fa=?
∫
。
再令 x b=,便得到
()d ()d () ()
bb
aa
f xx fttFbFa==?
∫∫
。
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结论——微积分基本定理。
定理7.3.2 (微积分基本定理) 设 fx()在 [,]ab上连续,Fx()是 fx()
在 [,]ab上的一个原函数，则成立
()d () ()
b
a
f xxFb Fa=?
∫
。
定理的结论被称为“Newton-Leibniz 公式”，公式中的 Fb Fa() ()?
一般记为
b
a
xF )(,也就是
()d ()
b
b
a
a
f xxFx=
∫
。
Newton-Leibniz 公式将“求曲线的切线斜率”和“求曲线所围面积”这两件看上去风马牛不相及的事和谐地统一起来，是高等数学乃至整个数学领域中最优美的结论之一。它以非常简单的形式，深刻地揭示了微分与积分的联系，同时还“指点迷津”，给出了利用原函数
（即不定积分）便捷地计算定积分的途径。
例 7.3.3 计算
1
2
0
dx x
∫
。
解 由
23
1
d
3
x xxC= +
∫
，取 Fx()为
1
3
3
x,由 Newton-Leibniz 公式，
1
2
0
dx x
∫
3
1
0
3
1
3
1
1
0
3
=?== x 。
这正是我们在本章§1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的面积。
例 7.3.4 求
π
0
sin dx x
∫
。
解 因为- cos x是 sin x的一个原函数，所以,
π
0
sin dx x
∫
π
0
(cos) cosπ cos 0 2x=?=?+=。
例7.3.4说明 yx= sin 的一拱的面积恰为整数 2，可算是一个出人意料的有趣结果。
例 7.3.3 计算
1
2
0
dx x
∫
。
解 由
23
1
d
3
x xxC= +
∫
，取 Fx()为
1
3
3
x,由 Newton-Leibniz 公式，
1
2
0
dx x
∫
3
1
0
3
1
3
1
1
0
3
=?== x 。
这正是我们在本章§1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的面积。
例 7.3.5 计算极限
++
+
+
+
∞→
nnn
n
2
1
2
1
1
1
lim " 。
解 将和式改写成
1
1
1
2
1
2nn n+
+
+
++ "
+
++
+
+
+
=
n
n
nn
n 1
1
1
1
1
11
21
",
这相当于在 [,]01中对函数 fx
x
()=
+
1
1
做 Δx
n
i
≡
1
的等距分割后，在小区间
[,]xx
ii?1
上将
i
ξ 取为 x
i
（ ni,,2,1 "= ）的和式
1
()
n
ii
i
f xξ
=
Δ
∑
。于是,
++
+
+
+
∞→
nnn
n
2
1
2
1
1
1
lim "
0
1
1
lim
1
n
i
i
i
x
λ
ξ
→
=
=?Δ
+
∑
1
1
0
0
d
ln (1 ) ln 2
1
x
x
x
==+=
+
∫
,
这就是我们在例2.4.9所得到的结果。
定积分的分部积分法和换元积分法
分部积分法
由不定积分的分部积分公式
dduv x uv vu x
′ ′
=?
∫ ∫
可立即推出定积分的分部积分公式。
定理 7.3.3 设 )(),( xvxu 在区间 ],[ ba 上有连续导数，则
) ( )d [ ( ) )] ) ( )d
bb
b
a
aa
uxvx x uxvx vxu x x
′′
(=(?(
∫∫
。
上式也能写成下列形式
)d() [() )] )d()
bb
b
a
aa
ux vx uxvx vx ux(=(?(
∫∫
。
例 7.3.6 求由曲线 yx x= sin （ 0 ≤ ≤x π）和 x轴围成的面积。
解 由定积分的几何意义，应用分部积分公式,
π
0
sin dSxxx=
∫
π
π
0
0
( cos ) cos dxx xx=? +
∫
π
0
π sin πx= +=。
定义 7.3.1 设 gx
n
()是定义在 [,]ab上的一列函数（ ",2,1,0=n ）,若对任意的 m和 n,gxgx
mn
() ()在 [,]ab上可积，且有
2
0,,
() ()d
()d 0,,
b
b
mn
a
n
a
mn
gxgxx
g xx mn
≠
=
>=
∫
∫
则称 {()}gx
n
是 [,]ab上的正交函数列 。 特别地，当 gx
n
()是 n次多项式时,
称 {()}gx
n
是 [,]ab上的 正交多项式列。
在第五章的例5.1.1中，已知 n次 Legendre 多项式为
2
1d
() ( 1)
2!d
n
n
n
nn
px x
nx
=? （ ",2,1,0=n ）,
它在 (,)?11 上恰有 n个不同的根。现在利用定积分的分部积分法证明
{()}px
n
是 [,]?11 上的正交多项式列。
定义 7.3.1 设 gx
n
()是定义在 [,]ab上的一列函数（ ",2,1,0=n ）,若对任意的 m和 n,gxgx
mn
() ()在 [,]ab上可积，且有
2
0,,
() ()d
()d 0,,
b
b
mn
a
n
a
mn
gxgxx
gxx mn
≠
=
>=
∫
∫
则称 {()}gx
n
是 [,]ab上的正交函数列 。 特别地，当 gx
n
()是 n次多项式时,
称 {()}gx
n
是 [,]ab上的 正交多项式列。
例 7.3.7 证明：
1
1
0,,
() ()d
2
,.
21
mn
mn
pxpxx
mn
n
≠
=
=
+?
∫
证 设 nm≥,记
mn
I =
1
1
!!22 () ()d
mn
mn
mn p xp x x
∫
1
22
1
dd
(1) (1)d
mn
mn
x xx
xx
=
∫
。
将
2
d
(1)
d
m
m
m
x
x
看成 u x()，将
2
d
(1)
d
n
n
n
x
x
看成 ′vx()，利用分部积分法,
mn
I
1
111
1
22 22
1
1
dd d d
(1) (1) (1) (1)d
mn m n
mn mn
x xxxx
xx x x
+?
=
∫
。
由于函数
2
d
(1)
d
nk
n
nk
x
x
（ 1,,2,1?= nk " ）
中都含有 ()x
2
1? 因子，因此
11
22
11
dd
(1) (1) 0
nn
nn
xx
xx
==?
=?=,
所以
mn
I
11
1
22
1
dd
(1) (1)d
mn
mn
x xx
xx
+?
=
∫
。
反复执行上述过程，最后得到
mn
I
1
22
1
d
(1) ( 1) ( 1)d
d
mn
nmn
mn
x xx
x
+
+
=
∫
。
⑴若 nm>,则有
2
d
(1)0
d
mn
m
mn
x
x
+
+
≡,因此
1
1
() ()d
mn
pxpxx
∫
= 0。
⑵若 nm=,则有
2
d
(1)(2)!
d
mn
m
mn
xn
x
+
+
=,再次利用分部积分法,
nn
I
1
1
(2 )! (1 ) (1 ) d
nn
nxxx
=?+
∫
1
11
1
(2 )!
(1 ) (1 ) d
1
nn
nn
x xx
n
+
=?+
+
∫
1
22
1
(2 )! ( 1)
(1 ) (1 ) d
(1)(2)
nn
nnn
xxx
nn
+
++
∫
=……
1
2
1
(2 )! ( 1) 1
(1 ) d
(1)(2)(2)
n
nnn
xx
nn n
=+
++
∫
"
"
=
+
+
(!)n
n
n221
2
21
。
于是便有
1
2
1
()d
n
p xx
∫ 22
(!)2
nn
n
I
n
= =
+
2
21n
。
例 7.3.8 求
π
2
0
sin d
n
n
Ixx=
∫
。
解 显然
0
I =
π
0
2
0
π
sin d
2
xx=
∫
,
1
I =
π
2
0
sin d 1x x =
∫
。
对于 n ≥ 2，则有
π
2
0
sin d
n
n
Ixx=
∫
π
1
2
0
sin sin d
n
xxx
=?
∫
π
1
2
0
sin cos ( 1)
n
xx n
=?+?
π
22
2
0
sin cos d
n
x xx
∫
=?()n 1
π
22
2
0
sin cos d
n
x xx
∫
=?()n 1
π
22
2
0
sin (1 sin )d
n
x xx
∫
(1)( )
n2 n
nII
=,
于是得到递推关系
2
1
nn
n
II
n
= 。
规定 0!! 1=,即得到
π
2
0
sin d
n
x x =
∫
131π (1)!π
,,
222 ! 2
132 (1)!
23 !
nn n
n
nn n
nn n
n
nn n
=? =
= =
"
"
偶数
,奇数。
换元积分法
定理 7.3.4 设 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续,()xt?= 在区间 ],[ βα （ 或区间 ],[ αβ ）上有连续导数，其值域包含于 ],[ ba,且满足 () a? α = 和
() b? β =,则
()d
b
a
f xx
∫
= (()) )df ttt
β
α
′
(
∫
。
证 因为 )(xf 连续，所以必有原 函数。设 F x()为 fx()的某个原函数，由复合函数求导法则，可知 (())F t? 是 (()) )f tt
′
( 一个原函数。按
Newton-Leibniz 公式，则有
( ( )) )d ( ( )) ( ( ))ft ttF F
β
α
β?α
′
(=?
∫
() () ()d.
b
a
F bFa fxx=?=
∫
注 换元后的定积分 (()) ()df ttt
β
α
′
∫
的上下限 α和 β 必须与原来定积分的上下限 a和 b相对应，而不必考虑 α与 β之间谁大谁小。
换元积分法
定理 7.3.4 设 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续,()xt?= 在区间 ],[ βα （ 或区间 ],[ αβ ）上有连续导数，其值域包含于 ],[ ba,且满足 () a? α = 和
() b? β =,则
()d
b
a
f xx
∫
= (()) )df ttt
β
α
′
(
∫
。
例 7.3.9 求
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
。
解 令
4
1
)( ttx ==?,于是
3
4
1
dd
4
xtt
= （也可以对等式 tx =
4
的两边求对数导数，得到
dd
4
x t
x t
= ）。
因为 2)16(,1)1( ==,所以积分区间由 ]2,1[∈x 变为 [1,16]t∈ 。
应用换元积分公式，将
4
1
tx = 与
3
4
1
dd
4
xtt
= 代入积分表达式，改变积分上下限，就得到
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
16
16
1
1
d1 132
ln ln
4(1) 41 417
tt
tt t
== =
++
∫
。
注意本题也可以对积分可作如下的变形
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
4
2
44
1
d
4(1 )
x
x x
=
+
∫
,
然后令 tx =
4
进行换元积分。
例 7.3.9 求
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
。
解 令
4
1
)( ttx ==?,于是
3
4
1
dd
4
xtt
= （也可以对等式 tx =
4
的两边求对数导数，得到
dd
4
x t
x t
= ）。
因为 2)16(,1)1( ==,所以积分区间由 ]2,1[∈x 变为 [1,16]t∈ 。
应用换元积分公式，将
4
1
tx = 与
3
4
1
dd
4
xtt
= 代入积分表达式，改变积分上下限，就得到
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
16
16
1
1
d1 132
ln ln
4(1) 41 417
tt
tt t
== =
++
∫
。
例 7.3.10 求
π
34
2
0
sin cos dxxx
∫
。
解 对积分作如下的变形
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
π
24
2
0
(1 cos ) cos d(cos )xxx
∫
,
令 tx =cos,因为当 0=x 时 1=t,当
π
2
x = 时 0=t,于是
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
0
24
1
(1 ) dttt
∫
1
46
0
2
()d
35
ttt=?=
∫
。
注意换元后积分的上、下限！另外，本例也可以用例7.3.8中得到的递推公式求积分值,
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
π
322
2
0
sin (1 sin ) dxxx?
∫
π
357
2
0
(sin 2sin sin )dx xxx=?+
∫
35
2
357
246
35
24
2
3
2
=
+
= 。
例 7.3.10 求
π
34
2
0
sin cos dxxx
∫
。
解 对积分作如下的变形
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
π
24
2
0
(1 cos ) cos d(cos )xxx
∫
,
令 tx =cos,因为当 0=x 时 1=t,当
π
2
x = 时 0=t,于是
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
0
24
1
(1 ) dttt
∫
1
46
0
2
()d
35
ttt=?=
∫
。
注1 对于形如 sin cos d
mn
x xx
β
α
∫
的积分，可以归纳如下,
当 m与 n中有一个是奇数时，都可以用本例中的换元积分法求出
积分值；
当 m与 n都是偶数时，一般只能通过三角函数的恒等变形（如半
角公式等），将三角函数的幂指数降低到1后加以解决。
但是当
π
0,
2
αβ==（或积分可化成
π
2
0
sin cos d
mn
xxx
∫
的形式）时，只要 m与 n中有一个是偶数，就可以用例7.3.8中得到的递推公式求出
积分值。
注2 从上述两例读者可以发现，应用换元积分公式
()d
b
a
f xx
∫
= (()) ()df ttt
β
α
′
∫
,
可以从左端推到右端，也可以从右端推到左端。
例7.3.9就是采用从左端推到右端的方法，这相当于不定积分的第二类换元积分法；
例7.3.10则是采用从右端推到左端的方法，这相当于不定积分的第一类换元积分法，即“凑微分法”。
读者应该对具体的问题作具体的分析，选择恰当的变量代换，从而简化解题过程。
例 7.3.11 求半径为 r的圆的面积。
解 设圆的方程为 xyr
222
+ =,所围
面积为
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
。
令 trx sin=,于是 dcosdxr tt=,积分
区间由 xr∈[,]0 变为
π
0,
2
t
∈
，于是
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
π
2
22
0
4cosdrtt=
∫
π
2
22
0
sin 2
2= π
2
t
rt r
=+
。
y
x
图7.3.3
注意，若将变换改为 () cosxtrt?= =,虽然 ()xt?= 把积分区间
π
0,
2
t
∈
变为 xr∈[,]0,但由于
π
0
2
=
,r=)0(?,因此积分化成
22
0
d
r
rxx?
∫ π
2
0
22
sin drtt=?
∫
。
y
x
图7.3.3
例 7.3.11 求半径为 r的圆的面积。
解 设圆的方程为 xyr
222
+ =,所围
面积为
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
。
令 trx sin=,于是 dcosdxr tt=,积分
区间由 xr∈[,]0 变为
π
0,
2
t
∈
，于是
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
π
2
22
0
4cosdrtt=
∫
π
2
22
0
sin 2
2= π
2
t
rt r
=+
。
注 对定积分作变量代换 )(tx?= 时，并不要求 )(t? 是一个单调的一一对应的函数，这一点与不定积分的 换元积分法有所不同。这是因为在求不定积分时，通过换元，求出关于新变量 t的不定积分后，还需将变量 t还原成变量 x，所以要求 )(tx?= 有反函数。而在求定积分时，通过换元,写出关于新变量 t的被积函数与关于新变量 t的积分上下限后，
就可直接求出定积分的值。
需要进一步指出的是，定理要求 变量代换 )(tx?= 的值域包含在区间 ],[ ba 中。事实上，即使 ()t? 的值域超出了区间 ],[ ba,定理的结论仍然有可能成立。因为只要 )(tx?= 的值域包含在被积函数 fx()的连续范围内，并在区间端点有 () a? α = 和 () b? β =,这样定理的证明照样能通过。
例如在上例中，要是作变换 trtx sin)( ==?,并令
1
π,(2+ )π
2
t
∈
，
虽然此时 ()t? 的值域为 [,]?rr，已超出区间 ],0[ r,但 ()t? 的值域包含 在
fx()=?rx
22
的连续范围 [ ]rr,? 内，且 (π)0? =,
1
2 π
2
r?
+ =
，于 是有
22
0
d
r
rxx?
∫
1
2
(2 )π
22
π
1sin d(sin)rtt
+
=?
∫
1
2
(2 )π
2
π
|cos | cos drtt
+
=?
∫
,
仍然可以得到正确的结论。
例 7.3.12 计算
1
ln 2
d
e1
x
x
∫
,
解 作变换 e1
x
u? =,则 )1ln(
2
ux +=,
2
2
dd
1
u
x u
u
=
+
。当 x从 2ln 变到 1 时,u从 1 变到 e1? 。于是
1e1 e1
22
ln 2 1 1
d2d d
2
(1 ) 1
e1
x
xuu u
uu u
==
+ +
∫∫ ∫
e1
1
π
2arctan 2arctan e 1
2
u
= =。
例 7.3.13 设
<
≥
=
.0,arctan
,0,
2
sin
)(
xxx
x
x
xf 计算
π 1
0
(1)dI fx x
+
=?
∫
。
解 作变换 ux =?1,
π 1 π 0 π
0110
( 1)d ( )d ( )d ( )dI fx x fu u fu u fu u
+
=?= = +
∫∫∫∫
0 π
10
arctan d sin d
2
u
uuu u
=+
∫∫
。
由
00
2
11
1
arctan d arctan d( )
2
uuu uu
=
∫∫
2
00
0
2
22
1
11
0
1
11π 11
arctan d 1 d
22182
π 1 π 1
(arctan)
82 42
u
uu u u
uu
uu
=?=
++
= =?
∫∫
与
π
π
0
0
sin d 2cos 2
22
uu
u =?=
∫
,
得到
π 3
42
I = + 。
例 7.3.14 计算
1
2
0
ln(1 )
d
1
x
Ix
x
+
=
+
∫
。
解 作变换 tx tan=,则
2
dsecdx tt= 。于是
ππ
44
00
sin cos
ln(1 tan )d ln d
cos
tt
Itt t
t
+
=+ =
∫∫
π
4
0
π
2cos
4
ln d
cos
t
t
t
=
∫
ππ π
44 4
00 0
π
ln 2d ln cos d ln cos d
4
ttt
=+
∫∫ ∫
。
对上式第二个积分作变量代换
π
4
ut=?,得到
ππ
0
44
π
00
4
π
ln cos d ln cos ( d ) ln cos d
4
tt u u uu
=?=
∫∫∫
。
因此
ππ π π
44 4 4
00 0 0
π
ln 2d ln cos d ln cos d ln 2d ln 2
8
Itu t t=+? ==
∫∫ ∫ ∫
。
例 7.3.15 计算
π 2
2
0
sin
d
sin cos
x
x
xx+
∫
。
解 作变量代换
π
2
xt=?,得到
ππ22
22
00
sin cos
dd
sin cos sin cos
xt
xx tt
=
++
∫∫
。
因此
πππ222
000
sin 1 sin cos
ddd
sin cos 2 sin cos sin cos
xxx
x xx
xx xx xx
=+
+++
∫∫∫
ππ
22
00
11 1 1
dd
π
2sin cos
22
sin
4
xx
x
==
+
+
∫∫
3π
3π
4
4
π
π
4
4
11 11cos 1
dln ln(12)
sin sin
22 22 2
x
x
xx
== =+
∫
。
例 7.3.16 计算
2
2
22 2
0
(1)1
d
(1) (2)
x
x
xxx
+
+?
∫
。
错误的解法,
因为
222
2
)2()1(
1)1(
1
)2(
arctan
+?
+?
=
′
xxx
x
x
xx
，由 Newton-Leibniz 公式，
得到
2
2
22 2
0
(1)1
d
(1) (2)
x
x
xxx
+
+?
∫
0
1
)2(
tanarc
2
0
=
=
x
xx
。
但这个结果是不可能正确的。请读者指出错误所在。
正确的解法：设
(2)
arctan,[0,1),
1
()
π
,1,
2
xx
x
x
Fx
x
∈
=
=
,
(2)
arctan,(1,2],
1
()
π
,1
2
xx
x
x
Fx
x
∈
=
=
。
则 )(xF 是 )(xf 在 ]1,0[ 上的原函数，函数 )(
~
xF 是 )(xf 在 ]2,1[ 上的原函数。于是
22
212
22 2 22 2 22 2
001
(1)1 (1)1 (1)1
ddd
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
xx
x xx
xxx xxx xxx
+?+?+
=+
+++?
∫∫∫
2
1
0
1
ππ
() () 0 0 π
22
Fx Fx
= + =?+ =
。
定积分有如下两条简单性质。
定理 7.3.5 设 fx()在对称区间 [,]?aa上可积,
⑴ 若 fx()是偶函数，则成立
()d
a
a
f xx
∫
0
2()d
a
f xx=
∫；
⑵ 若 fx()是奇函数，则成立
()d
a
a
f xx
∫
= 0。
证 由
()d
a
a
f xx
∫
0
0
()d ()d
a
a
f xx fxx
=+
∫∫
,
对积分
0
()d
a
f xx
∫
作变量代换 -tx =,得到
00
0
0
()d,(),
()d ( )d
()d ()
a
a
aa
fx x fx
fx x f t t
fx x fx
= =
∫
∫∫
∫
为偶函数
,为奇函数。
定理 7.3.6 设 fx()是以 T 为周期的可积函数，则对任意 a，
0
()d ()d
aT T
a
f xx f xx
+
=
∫∫
。
请读者用换元积分法自行证明。
例 7.3.17 证明函数族 {,sin,cos,sin,cos,,sin,cos,}122xx x x xnx " "
是任意一个长度为 2π的区间上的正交函数列（见定义7.3.1）。
证 考虑区间 [ π,π]? 上的积分，并将 1 记为 cos 0x。
对任何 m=12,, " 和 n = 012,,, ",
π
π
sin cos d 0mx nx x
=
∫
。
定理 7.3.6 设 fx()是以 T 为周期的可积函数，则对任意 a，
0
()d ()d
aT T
a
f xx f xx
+
=
∫∫
。
请读者用换元积分法自行证明。
对任何 m=12,, " 和 n =12,, ",
ππ
π 0
sinsind2sinsindmx nx x mx nx x
=
∫∫
π
0
[cos( ) cos( ) ]dmnx mnxx=+
∫
π
0
π
0
sin( ) sin( )
,,
sin 2
,,
2
mnx mnx
mn
mn mn
mx
x mn
m
+
≠?
=
=
0,,
π,.
mn
mn
≠
=
=
对任何 m= 012,,, " 和 n = 012,,, ",有
π
π
cos cos dmx nx x
∫
0,,
π,0
2π,
mn
mn
mn
≠
= =≠
= =
由定义7.3.1,这组函数确是 [,]?π π 上的正交函数列。又由于 2π是这些函数的公共周期，由定理7.3.6，即知这组函数是任意一个长 度为 2π的区间上的正交函数列。
到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分）
的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了。
§ 3 微积分基本定理先来看一个颇具启发性的例子。在引入 定积分定义时我们已经知道，以速度 vt()作变速运动的物体,在时间段 [,]TT
12
中所走过的路程 S 可以表示为定积分
2
1
0
1
lim ( ) ( )d
n
T
ii
T
i
Svtvt
λ
ξ
→
=
=Δ=
∑
∫
,
但是这个和式的极限一般来说是很难求的。
让我们换一个角度考虑问题：设物体在时间段 [,]0 t 所走过的路程为 St()，那么它在时间段 [,]TT
12
所走过的路程可以表示为
SST ST=?() ()
21
,
于是就有
2
1
()d
T
T
vt t
∫
=?ST ST() ()
21
。
注意到 vt S t() ()= ′,或者说 St()是 vt()的一个原函数，于是上式说明了，
vt()在区间 [,]TT
12
上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点处的函数值之差来表示。
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式
设 fx()在区间 [,]ab上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意
xab∈[,]，积分 ()d
x
a
f tt
∫
存在。当 x在 [,]ab中变化时,()d
x
a
f tt
∫
的值也随之而变化，所以它是定义在 [,]ab上的关于 x的函数。这个函数具有如下的重要性质,
定理 7.3.1 设 fx()在 [,]ab上可积，作函数
() ()d,[,]
x
a
F x f ttx ab=∈
∫
,
则
⑴ Fx()是 [,]ab上的连续函数 ；
⑵ 若 fx()在 [,]ab上连续，则 Fx()在 [,]ab上可微，且有
′ =Fx fx() ()。
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式
设 fx()在区间 [,]ab上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意
xab∈[,]，积分 ()d
x
a
f tt
∫
存在。当 x在 [,]ab中变化时,()d
x
a
f tt
∫
的值也随之而变化，所以它是定义在 [,]ab上的关于 x的函数。这个函数具有如下的重要性质,
证 由定积分的区间可加性,
( ) ( ) ()d ()d ()d
xx x xx
aax
F x x Fx ft t ft t ft t
+Δ +Δ
+Δ? =? =
∫∫∫
。
记 m,M 分别为 fx()在 [,]ab上的最小值和最大值，由积分第一中值定理，得到
Fx x Fx()()+?Δ
Δ+Δ?
∈Δ?
=
。上连续在若之间与在
，上可积在若
],[)(),()(
],[)(),],[(
baxfxxxxf
baxfMmx
ξξ
ηη
显然，不管在哪一种情况下，当 Δx → 0时都有 Fx x Fx()()+? →Δ 0，
即 Fx()在 [,]ab上连续。
若 fx()在 [,]ab连续，当 Δx → 0时有 xξ →,因而 () ()f fxξ →,于是
00
()()
() lim lim () ()
xx
Fx x Fx
F xf
x
ξ
Δ→ Δ→
+Δ?
′
===
Δ
。
注 定理7.3.1具有非常重要的意义。
首先，它扩展了函数的形式。 ()d
x
a
f tt
∫
与我们所熟悉的初等函数 形式迥异，但它确实是一种函数的表示形式，它使我们对函数的认识冲出了初等函数的束缚，不再囿于这狭窄的范围。
其次，它说明了当 fx()在 [,]ab上连续时,()d
x
a
f tt
∫
正是 fx()在 [,]ab
上的一个原函数，这就是我们在第六章§ 3 所断言的：任何连续函 数必存在原函数。如
sin
d
x
a
t
t
t
∫
是
sin x
x
的一个原函数，
2
ed
x
t
a
t
∫
是 e
x
2
的 一个原函数，等等。
另外它还给出了对 ()d
x
a
f tt
∫
这种形式的函数求导（通常称为“对 积分上限求导,）的一个法则：
( )
()d ( )
x
a
f tt fx
′
=
∫
。
例 7.3.1 计算
2
0
() sin d
x
F xtt=
∫
的导数。
解 记 ux=
2
，则
0
() () sin d
u
F xGu tt==
∫
,
由复合函数求导法则,
2
0
dd
() () () sin d 2 2sin
u
ux
F xGuux tt xxx
uu
=
′′
=?=?=
∫
。
例 7.3.2 求极限
2
0
3
0
sin d
lim
x
x
tt
x
→
∫
。
解 由于 ()d 0
a
a
fx x=
∫
,因此这个极限是
0
0
待定型。 由 L'Hospital 法则,
2
0
3
0
sin d
lim
x
x
tt
x
→
∫
2
0
3
0
sin d
lim
()
x
x
tt
x
→
′
=
′
∫
=
→
lim
sin
x
xx
x
0
2
2
3
=
2
3
。
例 7.3.1 计算
2
0
() sin d
x
F xtt=
∫
的导数。
解 记 ux=
2
，则
0
() () sin d
u
F xGu tt==
∫
,
由复合函数求导法则,
2
0
dd
() () () sin d 2 2sin
u
ux
F xGuux tt xxx
uu
=
′′
=?=?=
∫
。
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结论——微积分基本定理。
定理7.3.2 (微积分基本定理) 设 fx()在 [,]ab上连续,Fx()是 fx()
在 [,]ab上的一个原函数，则成立
()d () ()
b
a
f xxFb Fa=?
∫
。
证 设 Fx()是 fx()在 [,]ab上的任一个原函数，而由定理 7.3.1，
()d
x
a
f tt
∫
也是 fx()在 [,]ab上的一个原函数,因而两者至多相差一个常数。
记
()d ( )
x
a
f ttFxC= +
∫
,
令 x a=,即得到 CFa=? ()，所以
()d ( ) ( )
x
a
f ttFx Fa=?
∫
。
再令 x b=,便得到
()d ()d () ()
bb
aa
f xx fttFbFa==?
∫∫
。
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结论——微积分基本定理。
定理7.3.2 (微积分基本定理) 设 fx()在 [,]ab上连续,Fx()是 fx()
在 [,]ab上的一个原函数，则成立
()d () ()
b
a
f xxFb Fa=?
∫
。
定理的结论被称为“Newton-Leibniz 公式”，公式中的 Fb Fa() ()?
一般记为
b
a
xF )(,也就是
()d ()
b
b
a
a
f xxFx=
∫
。
Newton-Leibniz 公式将“求曲线的切线斜率”和“求曲线所围面积”这两件看上去风马牛不相及的事和谐地统一起来，是高等数学乃至整个数学领域中最优美的结论之一。它以非常简单的形式，深刻地揭示了微分与积分的联系，同时还“指点迷津”，给出了利用原函数
（即不定积分）便捷地计算定积分的途径。
例 7.3.3 计算
1
2
0
dx x
∫
。
解 由
23
1
d
3
x xxC= +
∫
，取 Fx()为
1
3
3
x,由 Newton-Leibniz 公式，
1
2
0
dx x
∫
3
1
0
3
1
3
1
1
0
3
=?== x 。
这正是我们在本章§1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的面积。
例 7.3.4 求
π
0
sin dx x
∫
。
解 因为- cos x是 sin x的一个原函数，所以,
π
0
sin dx x
∫
π
0
(cos) cosπ cos 0 2x=?=?+=。
例7.3.4说明 yx= sin 的一拱的面积恰为整数 2，可算是一个出人意料的有趣结果。
例 7.3.3 计算
1
2
0
dx x
∫
。
解 由
23
1
d
3
x xxC= +
∫
，取 Fx()为
1
3
3
x,由 Newton-Leibniz 公式，
1
2
0
dx x
∫
3
1
0
3
1
3
1
1
0
3
=?== x 。
这正是我们在本章§1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的面积。
例 7.3.5 计算极限
++
+
+
+
∞→
nnn
n
2
1
2
1
1
1
lim " 。
解 将和式改写成
1
1
1
2
1
2nn n+
+
+
++ "
+
++
+
+
+
=
n
n
nn
n 1
1
1
1
1
11
21
",
这相当于在 [,]01中对函数 fx
x
()=
+
1
1
做 Δx
n
i
≡
1
的等距分割后，在小区间
[,]xx
ii?1
上将
i
ξ 取为 x
i
（ ni,,2,1 "= ）的和式
1
()
n
ii
i
f xξ
=
Δ
∑
。于是,
++
+
+
+
∞→
nnn
n
2
1
2
1
1
1
lim "
0
1
1
lim
1
n
i
i
i
x
λ
ξ
→
=
=?Δ
+
∑
1
1
0
0
d
ln (1 ) ln 2
1
x
x
x
==+=
+
∫
,
这就是我们在例2.4.9所得到的结果。
定积分的分部积分法和换元积分法
分部积分法
由不定积分的分部积分公式
dduv x uv vu x
′ ′
=?
∫ ∫
可立即推出定积分的分部积分公式。
定理 7.3.3 设 )(),( xvxu 在区间 ],[ ba 上有连续导数，则
) ( )d [ ( ) )] ) ( )d
bb
b
a
aa
uxvx x uxvx vxu x x
′′
(=(?(
∫∫
。
上式也能写成下列形式
)d() [() )] )d()
bb
b
a
aa
ux vx uxvx vx ux(=(?(
∫∫
。
例 7.3.6 求由曲线 yx x= sin （ 0 ≤ ≤x π）和 x轴围成的面积。
解 由定积分的几何意义，应用分部积分公式,
π
0
sin dSxxx=
∫
π
π
0
0
( cos ) cos dxx xx=? +
∫
π
0
π sin πx= +=。
定义 7.3.1 设 gx
n
()是定义在 [,]ab上的一列函数（ ",2,1,0=n ）,若对任意的 m和 n,gxgx
mn
() ()在 [,]ab上可积，且有
2
0,,
() ()d
()d 0,,
b
b
mn
a
n
a
mn
gxgxx
g xx mn
≠
=
>=
∫
∫
则称 {()}gx
n
是 [,]ab上的正交函数列 。 特别地，当 gx
n
()是 n次多项式时,
称 {()}gx
n
是 [,]ab上的 正交多项式列。
在第五章的例5.1.1中，已知 n次 Legendre 多项式为
2
1d
() ( 1)
2!d
n
n
n
nn
px x
nx
=? （ ",2,1,0=n ）,
它在 (,)?11 上恰有 n个不同的根。现在利用定积分的分部积分法证明
{()}px
n
是 [,]?11 上的正交多项式列。
定义 7.3.1 设 gx
n
()是定义在 [,]ab上的一列函数（ ",2,1,0=n ）,若对任意的 m和 n,gxgx
mn
() ()在 [,]ab上可积，且有
2
0,,
() ()d
()d 0,,
b
b
mn
a
n
a
mn
gxgxx
gxx mn
≠
=
>=
∫
∫
则称 {()}gx
n
是 [,]ab上的正交函数列 。 特别地，当 gx
n
()是 n次多项式时,
称 {()}gx
n
是 [,]ab上的 正交多项式列。
例 7.3.7 证明：
1
1
0,,
() ()d
2
,.
21
mn
mn
pxpxx
mn
n
≠
=
=
+?
∫
证 设 nm≥,记
mn
I =
1
1
!!22 () ()d
mn
mn
mn p xp x x
∫
1
22
1
dd
(1) (1)d
mn
mn
x xx
xx
=
∫
。
将
2
d
(1)
d
m
m
m
x
x
看成 u x()，将
2
d
(1)
d
n
n
n
x
x
看成 ′vx()，利用分部积分法,
mn
I
1
111
1
22 22
1
1
dd d d
(1) (1) (1) (1)d
mn m n
mn mn
x xxxx
xx x x
+?
=
∫
。
由于函数
2
d
(1)
d
nk
n
nk
x
x
（ 1,,2,1?= nk " ）
中都含有 ()x
2
1? 因子，因此
11
22
11
dd
(1) (1) 0
nn
nn
xx
xx
==?
=?=,
所以
mn
I
11
1
22
1
dd
(1) (1)d
mn
mn
x xx
xx
+?
=
∫
。
反复执行上述过程，最后得到
mn
I
1
22
1
d
(1) ( 1) ( 1)d
d
mn
nmn
mn
x xx
x
+
+
=
∫
。
⑴若 nm>,则有
2
d
(1)0
d
mn
m
mn
x
x
+
+
≡,因此
1
1
() ()d
mn
pxpxx
∫
= 0。
⑵若 nm=,则有
2
d
(1)(2)!
d
mn
m
mn
xn
x
+
+
=,再次利用分部积分法,
nn
I
1
1
(2 )! (1 ) (1 ) d
nn
nxxx
=?+
∫
1
11
1
(2 )!
(1 ) (1 ) d
1
nn
nn
x xx
n
+
=?+
+
∫
1
22
1
(2 )! ( 1)
(1 ) (1 ) d
(1)(2)
nn
nnn
xxx
nn
+
++
∫
=……
1
2
1
(2 )! ( 1) 1
(1 ) d
(1)(2)(2)
n
nnn
xx
nn n
=+
++
∫
"
"
=
+
+
(!)n
n
n221
2
21
。
于是便有
1
2
1
()d
n
p xx
∫ 22
(!)2
nn
n
I
n
= =
+
2
21n
。
例 7.3.8 求
π
2
0
sin d
n
n
Ixx=
∫
。
解 显然
0
I =
π
0
2
0
π
sin d
2
xx=
∫
,
1
I =
π
2
0
sin d 1x x =
∫
。
对于 n ≥ 2，则有
π
2
0
sin d
n
n
Ixx=
∫
π
1
2
0
sin sin d
n
xxx
=?
∫
π
1
2
0
sin cos ( 1)
n
xx n
=?+?
π
22
2
0
sin cos d
n
x xx
∫
=?()n 1
π
22
2
0
sin cos d
n
x xx
∫
=?()n 1
π
22
2
0
sin (1 sin )d
n
x xx
∫
(1)( )
n2 n
nII
=,
于是得到递推关系
2
1
nn
n
II
n
= 。
规定 0!! 1=,即得到
π
2
0
sin d
n
x x =
∫
131π (1)!π
,,
222 ! 2
132 (1)!
23 !
nn n
n
nn n
nn n
n
nn n
=? =
= =
"
"
偶数
,奇数。
换元积分法
定理 7.3.4 设 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续,()xt?= 在区间 ],[ βα （ 或区间 ],[ αβ ）上有连续导数，其值域包含于 ],[ ba,且满足 () a? α = 和
() b? β =,则
()d
b
a
f xx
∫
= (()) )df ttt
β
α
′
(
∫
。
证 因为 )(xf 连续，所以必有原 函数。设 F x()为 fx()的某个原函数，由复合函数求导法则，可知 (())F t? 是 (()) )f tt
′
( 一个原函数。按
Newton-Leibniz 公式，则有
( ( )) )d ( ( )) ( ( ))ft ttF F
β
α
β?α
′
(=?
∫
() () ()d.
b
a
F bFa fxx=?=
∫
注 换元后的定积分 (()) ()df ttt
β
α
′
∫
的上下限 α和 β 必须与原来定积分的上下限 a和 b相对应，而不必考虑 α与 β之间谁大谁小。
换元积分法
定理 7.3.4 设 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续,()xt?= 在区间 ],[ βα （ 或区间 ],[ αβ ）上有连续导数，其值域包含于 ],[ ba,且满足 () a? α = 和
() b? β =,则
()d
b
a
f xx
∫
= (()) )df ttt
β
α
′
(
∫
。
例 7.3.9 求
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
。
解 令
4
1
)( ttx ==?,于是
3
4
1
dd
4
xtt
= （也可以对等式 tx =
4
的两边求对数导数，得到
dd
4
x t
x t
= ）。
因为 2)16(,1)1( ==,所以积分区间由 ]2,1[∈x 变为 [1,16]t∈ 。
应用换元积分公式，将
4
1
tx = 与
3
4
1
dd
4
xtt
= 代入积分表达式，改变积分上下限，就得到
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
16
16
1
1
d1 132
ln ln
4(1) 41 417
tt
tt t
== =
++
∫
。
注意本题也可以对积分可作如下的变形
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
4
2
44
1
d
4(1 )
x
x x
=
+
∫
,
然后令 tx =
4
进行换元积分。
例 7.3.9 求
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
。
解 令
4
1
)( ttx ==?,于是
3
4
1
dd
4
xtt
= （也可以对等式 tx =
4
的两边求对数导数，得到
dd
4
x t
x t
= ）。
因为 2)16(,1)1( ==,所以积分区间由 ]2,1[∈x 变为 [1,16]t∈ 。
应用换元积分公式，将
4
1
tx = 与
3
4
1
dd
4
xtt
= 代入积分表达式，改变积分上下限，就得到
2
4
1
d
(1 )
x
xx+
∫
16
16
1
1
d1 132
ln ln
4(1) 41 417
tt
tt t
== =
++
∫
。
例 7.3.10 求
π
34
2
0
sin cos dxxx
∫
。
解 对积分作如下的变形
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
π
24
2
0
(1 cos ) cos d(cos )xxx
∫
,
令 tx =cos,因为当 0=x 时 1=t,当
π
2
x = 时 0=t,于是
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
0
24
1
(1 ) dttt
∫
1
46
0
2
()d
35
ttt=?=
∫
。
注意换元后积分的上、下限！另外，本例也可以用例7.3.8中得到的递推公式求积分值,
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
π
322
2
0
sin (1 sin ) dxxx?
∫
π
357
2
0
(sin 2sin sin )dx xxx=?+
∫
35
2
357
246
35
24
2
3
2
=
+
= 。
例 7.3.10 求
π
34
2
0
sin cos dxxx
∫
。
解 对积分作如下的变形
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
π
24
2
0
(1 cos ) cos d(cos )xxx
∫
,
令 tx =cos,因为当 0=x 时 1=t,当
π
2
x = 时 0=t,于是
π
34
2
0
sin cos dxxx=
∫
0
24
1
(1 ) dttt
∫
1
46
0
2
()d
35
ttt=?=
∫
。
注1 对于形如 sin cos d
mn
x xx
β
α
∫
的积分，可以归纳如下,
当 m与 n中有一个是奇数时，都可以用本例中的换元积分法求出
积分值；
当 m与 n都是偶数时，一般只能通过三角函数的恒等变形（如半
角公式等），将三角函数的幂指数降低到1后加以解决。
但是当
π
0,
2
αβ==（或积分可化成
π
2
0
sin cos d
mn
xxx
∫
的形式）时，只要 m与 n中有一个是偶数，就可以用例7.3.8中得到的递推公式求出
积分值。
注2 从上述两例读者可以发现，应用换元积分公式
()d
b
a
f xx
∫
= (()) ()df ttt
β
α
′
∫
,
可以从左端推到右端，也可以从右端推到左端。
例7.3.9就是采用从左端推到右端的方法，这相当于不定积分的第二类换元积分法；
例7.3.10则是采用从右端推到左端的方法，这相当于不定积分的第一类换元积分法，即“凑微分法”。
读者应该对具体的问题作具体的分析，选择恰当的变量代换，从而简化解题过程。
例 7.3.11 求半径为 r的圆的面积。
解 设圆的方程为 xyr
222
+ =,所围
面积为
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
。
令 trx sin=,于是 dcosdxr tt=,积分
区间由 xr∈[,]0 变为
π
0,
2
t
∈
，于是
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
π
2
22
0
4cosdrtt=
∫
π
2
22
0
sin 2
2= π
2
t
rt r
=+
。
y
x
图7.3.3
注意，若将变换改为 () cosxtrt?= =,虽然 ()xt?= 把积分区间
π
0,
2
t
∈
变为 xr∈[,]0,但由于
π
0
2
=
,r=)0(?,因此积分化成
22
0
d
r
rxx?
∫ π
2
0
22
sin drtt=?
∫
。
y
x
图7.3.3
例 7.3.11 求半径为 r的圆的面积。
解 设圆的方程为 xyr
222
+ =,所围
面积为
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
。
令 trx sin=,于是 dcosdxr tt=,积分
区间由 xr∈[,]0 变为
π
0,
2
t
∈
，于是
22
0
4d
r
A rxx=?
∫
π
2
22
0
4cosdrtt=
∫
π
2
22
0
sin 2
2= π
2
t
rt r
=+
。
注 对定积分作变量代换 )(tx?= 时，并不要求 )(t? 是一个单调的一一对应的函数，这一点与不定积分的 换元积分法有所不同。这是因为在求不定积分时，通过换元，求出关于新变量 t的不定积分后，还需将变量 t还原成变量 x，所以要求 )(tx?= 有反函数。而在求定积分时，通过换元,写出关于新变量 t的被积函数与关于新变量 t的积分上下限后，
就可直接求出定积分的值。
需要进一步指出的是，定理要求 变量代换 )(tx?= 的值域包含在区间 ],[ ba 中。事实上，即使 ()t? 的值域超出了区间 ],[ ba,定理的结论仍然有可能成立。因为只要 )(tx?= 的值域包含在被积函数 fx()的连续范围内，并在区间端点有 () a? α = 和 () b? β =,这样定理的证明照样能通过。
例如在上例中，要是作变换 trtx sin)( ==?,并令
1
π,(2+ )π
2
t
∈
，
虽然此时 ()t? 的值域为 [,]?rr，已超出区间 ],0[ r,但 ()t? 的值域包含 在
fx()=?rx
22
的连续范围 [ ]rr,? 内，且 (π)0? =,
1
2 π
2
r?
+ =
，于 是有
22
0
d
r
rxx?
∫
1
2
(2 )π
22
π
1sin d(sin)rtt
+
=?
∫
1
2
(2 )π
2
π
|cos | cos drtt
+
=?
∫
,
仍然可以得到正确的结论。
例 7.3.12 计算
1
ln 2
d
e1
x
x
∫
,
解 作变换 e1
x
u? =,则 )1ln(
2
ux +=,
2
2
dd
1
u
x u
u
=
+
。当 x从 2ln 变到 1 时,u从 1 变到 e1? 。于是
1e1 e1
22
ln 2 1 1
d2d d
2
(1 ) 1
e1
x
xuu u
uu u
==
+ +
∫∫ ∫
e1
1
π
2arctan 2arctan e 1
2
u
= =。
例 7.3.13 设
<
≥
=
.0,arctan
,0,
2
sin
)(
xxx
x
x
xf 计算
π 1
0
(1)dI fx x
+
=?
∫
。
解 作变换 ux =?1,
π 1 π 0 π
0110
( 1)d ( )d ( )d ( )dI fx x fu u fu u fu u
+
=?= = +
∫∫∫∫
0 π
10
arctan d sin d
2
u
uuu u
=+
∫∫
。
由
00
2
11
1
arctan d arctan d( )
2
uuu uu
=
∫∫
2
00
0
2
22
1
11
0
1
11π 11
arctan d 1 d
22182
π 1 π 1
(arctan)
82 42
u
uu u u
uu
uu
=?=
++
= =?
∫∫
与
π
π
0
0
sin d 2cos 2
22
uu
u =?=
∫
,
得到
π 3
42
I = + 。
例 7.3.14 计算
1
2
0
ln(1 )
d
1
x
Ix
x
+
=
+
∫
。
解 作变换 tx tan=,则
2
dsecdx tt= 。于是
ππ
44
00
sin cos
ln(1 tan )d ln d
cos
tt
Itt t
t
+
=+ =
∫∫
π
4
0
π
2cos
4
ln d
cos
t
t
t
=
∫
ππ π
44 4
00 0
π
ln 2d ln cos d ln cos d
4
ttt
=+
∫∫ ∫
。
对上式第二个积分作变量代换
π
4
ut=?,得到
ππ
0
44
π
00
4
π
ln cos d ln cos ( d ) ln cos d
4
tt u u uu
=?=
∫∫∫
。
因此
ππ π π
44 4 4
00 0 0
π
ln 2d ln cos d ln cos d ln 2d ln 2
8
Itu t t=+? ==
∫∫ ∫ ∫
。
例 7.3.15 计算
π 2
2
0
sin
d
sin cos
x
x
xx+
∫
。
解 作变量代换
π
2
xt=?,得到
ππ22
22
00
sin cos
dd
sin cos sin cos
xt
xx tt
=
++
∫∫
。
因此
πππ222
000
sin 1 sin cos
ddd
sin cos 2 sin cos sin cos
xxx
x xx
xx xx xx
=+
+++
∫∫∫
ππ
22
00
11 1 1
dd
π
2sin cos
22
sin
4
xx
x
==
+
+
∫∫
3π
3π
4
4
π
π
4
4
11 11cos 1
dln ln(12)
sin sin
22 22 2
x
x
xx
== =+
∫
。
例 7.3.16 计算
2
2
22 2
0
(1)1
d
(1) (2)
x
x
xxx
+
+?
∫
。
错误的解法,
因为
222
2
)2()1(
1)1(
1
)2(
arctan
+?
+?
=
′
xxx
x
x
xx
，由 Newton-Leibniz 公式，
得到
2
2
22 2
0
(1)1
d
(1) (2)
x
x
xxx
+
+?
∫
0
1
)2(
tanarc
2
0
=
=
x
xx
。
但这个结果是不可能正确的。请读者指出错误所在。
正确的解法：设
(2)
arctan,[0,1),
1
()
π
,1,
2
xx
x
x
Fx
x
∈
=
=
,
(2)
arctan,(1,2],
1
()
π
,1
2
xx
x
x
Fx
x
∈
=
=
。
则 )(xF 是 )(xf 在 ]1,0[ 上的原函数，函数 )(
~
xF 是 )(xf 在 ]2,1[ 上的原函数。于是
22
212
22 2 22 2 22 2
001
(1)1 (1)1 (1)1
ddd
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
xx
x xx
xxx xxx xxx
+?+?+
=+
+++?
∫∫∫
2
1
0
1
ππ
() () 0 0 π
22
Fx Fx
= + =?+ =
。
定积分有如下两条简单性质。
定理 7.3.5 设 fx()在对称区间 [,]?aa上可积,
⑴ 若 fx()是偶函数，则成立
()d
a
a
f xx
∫
0
2()d
a
f xx=
∫；
⑵ 若 fx()是奇函数，则成立
()d
a
a
f xx
∫
= 0。
证 由
()d
a
a
f xx
∫
0
0
()d ()d
a
a
f xx fxx
=+
∫∫
,
对积分
0
()d
a
f xx
∫
作变量代换 -tx =,得到
00
0
0
()d,(),
()d ( )d
()d ()
a
a
aa
fx x fx
fx x f t t
fx x fx
= =
∫
∫∫
∫
为偶函数
,为奇函数。
定理 7.3.6 设 fx()是以 T 为周期的可积函数，则对任意 a，
0
()d ()d
aT T
a
f xx f xx
+
=
∫∫
。
请读者用换元积分法自行证明。
例 7.3.17 证明函数族 {,sin,cos,sin,cos,,sin,cos,}122xx x x xnx " "
是任意一个长度为 2π的区间上的正交函数列（见定义7.3.1）。
证 考虑区间 [ π,π]? 上的积分，并将 1 记为 cos 0x。
对任何 m=12,, " 和 n = 012,,, ",
π
π
sin cos d 0mx nx x
=
∫
。
定理 7.3.6 设 fx()是以 T 为周期的可积函数，则对任意 a，
0
()d ()d
aT T
a
f xx f xx
+
=
∫∫
。
请读者用换元积分法自行证明。
对任何 m=12,, " 和 n =12,, ",
ππ
π 0
sinsind2sinsindmx nx x mx nx x
=
∫∫
π
0
[cos( ) cos( ) ]dmnx mnxx=+
∫
π
0
π
0
sin( ) sin( )
,,
sin 2
,,
2
mnx mnx
mn
mn mn
mx
x mn
m
+
≠?
=
=
0,,
π,.
mn
mn
≠
=
=
对任何 m= 012,,, " 和 n = 012,,, ",有
π
π
cos cos dmx nx x
∫
0,,
π,0
2π,
mn
mn
mn
≠
= =≠
= =
由定义7.3.1,这组函数确是 [,]?π π 上的正交函数列。又由于 2π是这些函数的公共周期，由定理7.3.6，即知这组函数是任意一个长 度为 2π的区间上的正交函数列。
