本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作图以及在数学建模中的应用。
极值问题
fx()的全部极值点必定都在使得 ′ =fx() 0和使得 ′fx()不存在的点集之中。使 0)( =
′
xf 的点称为 )(xf 的 驻点。
§ 5 应用举例定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 )(xf 在 x
0
点的某一邻 域中有定义，且 )(xf 在 x
0
点连续。
⑴ 设存在 0>δ,使得 )(xf 在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上可导,
(i) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≥fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≤fx() 0,则
x
0
是 )(xf 的极大值点；
(ii) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≤fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≥fx() 0，
则 x
0
是 )(xf 的极小值点；
(iii) 若 ′fx()在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上同号，则 x
0
不是 )(xf 的极值点。
⑵ 设 0)(
0
=
′
xf,且 fx()在 x
0
点二阶可导,
(i) 若 ′′ <fx()
0
0，则 x
0
是 )(xf 的极大值点；
(ii) 若 ′′ >fx()
0
0，则 x
0
是 )(xf 的极小值点；
(iii) 若 ′′ =fx()
0
0，则 x
0
可能是 )(xf 的极值点，也可能不是 )(xf
的极值点。
定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 )(xf 在 x
0
点的某一邻 域中有定义，且 )(xf 在 x
0
点连续。
⑴ 设存在 0>δ,使得 )(xf 在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上可导,
(i) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≥fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≤fx() 0,则
x
0
是 )(xf 的极大值点；
(ii) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≤fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≥fx() 0，
则 x
0
是 )(xf 的极小值点；
(iii) 若 ′fx()在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上同号，则 x
0
不是 )(xf 的极值点。
证 (1)的结论显然，我们只证(2)。
因为
0
()0fx
′
=,由 Taylor 公式
+= )()(
0
xfxf f
′
(
0
x )
!2
)(
)(
0
0
xf
xx
′′
+? +?
2
0
)( xx ))((
2
0
xxo?
+= )(
0
xf
!2
)(
0
xf
′′
+?
2
0
)( xx ))((
2
0
xxo?
得到
0
2
0
() ( )
()
fx fx
xx
=
2
0
2
0
0
)(
))((
)(
!2
1
xx
xxo
xf
+
′′
。
因为当
0
xx → 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 0)(
0
<
′′
xf 时，由极限的性质可知在
0
x 点附近成立
0
)(
)()(
2
0
0
<
xx
xfxf
,
所以
)()(
0
xfxf <,
从而 )(xf 在
0
x 取极大值。同样可讨论 0)(
0
>
′′
xf 的情况。 证毕关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数
4
xy =,
4
xy?= 和
3
xy = 。 0=x 是
4
xy = 的极小值点，是
4
xy?= 的极大值点，而不是
3
xy =
的极值点。但它们都满足 0)0( =′y 和 0)0( =′′y 的条件。
例 5.5.1 求函数
3
22
)2()( xxxf?= 的极值。
解 函数 )(xf 的定义域为 ),( +∞?∞ 。由
)1()2(
3
4
)(
3
1
-
2
xxxxf=
′
,
可知 )(xf 的驻点为 1=x,使得 )(xf
′
不存在的点为 0=x 和 2=x 。由于
（1） 当 0<<∞? x 时,0)( <
′
xf ；
（2） 当 10 << x 时,0)( >′ xf ；
（3） 当 21 << x 时,0)( <′ xf ；
（4） 当 +∞<< x2 时,0)( >
′
xf,
由定理 5.5.1 中(1)的结论知 0)0( =f 是极小值,1)1( =f 是极大值，
0)2( =f 是极小值。
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数
4
xy =,
4
xy?= 和
3
xy = 。 0=x 是
4
xy = 的极小值点，是
4
xy?= 的极大值点，而不是
3
xy =
的极值点。但它们都满足 0)0( =′y 和 0)0( =′′y 的条件。
例5.5.2 求函数 1)1()(
32
+?= xxf 的极值。
解 函数 )(xf 的定义域为 ),( +∞?∞ 。计算得
22
)1(6)(?=
′
xxxf,)15)(1(6)(
22
=
′′
xxxf 。
显然 )(xf 的驻点为 0=x,1=x 和 1?=x 。由于 06)0( >=′′f,所以由定理
5.5.1 中(2)的结论知 0)0( =f 是极小值。
由于 0)1( =±
′′
f,不能用定理 5.5.1 中(2)的结论。 但由于 )(xf
′
在
1=x 与 1?=x 的左,右两侧保持同号,由定理 5.5.1 中(1)的结论,知 )1(f
和 )1(?f 都不是函数 )(xf 的极值。
最值问题
闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。
函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取到最大值
（或最小值）的点称为函数的最大值点（ 或最小值点），也称为函数的最值点。
对于一个定义于闭区间 [ ]ba,上的函数 fx()来说，区间的两个端点
a与 b有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间 ( )ba,的话，
那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有 )(xf 的驻点与使 ′fx()
不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值的点就可以了。
例5.5.3 求函数
3
22
)2()( xxxf?= 在区间 [ ]4,1? 上的最大值与最小值。
解 由例 5.5.1,已知函数 )(xf 在区间 []4,1? 上的极大值点为 1=x,
极大值为 1)1( =f,极小值点为 0=x 与 2=x,两个极小值都为 0 。为了求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值
3
9)1( =?f 与
4)4( =f 。对这些值进行比较，就得到函数 )(xf 在区间 [ ]4,1? 上的最大值点为 4=x,最大值为 4)4( =f,最小值点为 0=x 与 2=x,最小值为 0。
例5.5.4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？
解 设罐身的厚度为 δ,则顶盖的厚度是 3 δ 。
记罐头的容积为 V,底面半径为 r,则高为 h
V
r
=
π
2
。于是，罐身的用料为
()
22
1
() π 2ππ2,
V
Ur r rh r
r
δδ
=+=+
顶盖的用料为
2
2
() 3π,Ur rδ=
因此问题化为求函数
2
12
() () () 4π 2
V
Ur U r U r r
r
δ
=+= +
,),0( +∞∈r
的最小值。
对 Ur()求导，
2
() 2 4π
V
Ur r
r
δ
′
=?
，因此 ′Ur()只有唯一的零点
r
V
0
3
4
=
π
。由于
3
() 4 2π 0
V
Ur
r
δ
′′
= +>
,r ∈ +∞(,)0,
所以 r
0
是 Ur()的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
20
4
4== =
π
π
π
。
也就是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
用同样的方法可以推出，若圆柱形的有盖容器是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省。许多圆柱形的日常用品，如漱口杯、保暖桶等，都是采用这样的比例（或近似这样的比例）设计的。
对 Ur()求导，
2
() 2 4π
V
Ur r
r
δ
′
=?
，因此 ′Ur()只有唯一的零点
r
V
0
3
4
=
π
。由于
3
() 4 2π 0
V
Ur
r
δ
′′
= +>
,r ∈ +∞(,)0,
所以 r
0
是 Ur()的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
20
4
4== =
π
π
π
。
也就是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
例 5.5.5 设一辆汽车在平原上的行驶速度为 v
1
，在草原上的行驶速度为 v
2
,现要求它以最短的时间从平原上的 A点到达草原上的 B点，
问应该怎么走？
解 显然，在同一种地形上，汽车应沿直线行进，所以它从 A 到
B 的运动轨迹应是由两条直线段组成的折线。
设汽车的行驶路径如图 5.5.2 所示，那么它的整个行驶时间应为
Tx
hx
v
hlx
v
()
()
=
+
+
+?
1
22
1
2
22
2
。
由
22
22
22
11
)(
)(
xlhv
xl
xhv
x
xT
+
+
=
′
,
可知 0)0( <
′
T,0)( >
′
lT 。
x
A
平原草原
θ
1
θ
2
h
1
h
2
B
l
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1
>
+
+
+
=
′′
xlhv
h
xhv
h
xT,
可知存在唯一的 ),0(
0
lx ∈,使 得 0)(
0
=
′
xT 。因 此 x
0
是 Tx()的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
vh x
lx
vh lx
0
11
2
0
2
0
22
2
0
2
+
=
+?()
。
由于光线在传播过程中所花的时间总是最短的，即光线总是走“捷径”的，所以光线的传播问题在本质上与本题是相同的。我们可以将本题中汽车的行驶换成光线的传播，将平原和草原换成光线传播过程中的两种不同的介质，这样就得到了光学中著名的折射定律
12
12
sin sin
vv
θ θ
= 。
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1
>
+
+
+
=
′′
xlhv
h
xhv
h
xT,
可知存在唯一的 ),0(
0
lx ∈,使 得 0)(
0
=
′
xT 。因 此 x
0
是 Tx()的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
vh x
lx
vh lx
0
11
2
0
2
0
22
2
0
2
+
=
+?()
。
例5.5.6 对产品从生产到销售的过程进行经济核算时，至少要涉及三个方面的问题：成本、收益和利润。设产量为 Q，则 总 成 本 )(QC
一般可以表示成两部分的和
QQvfQC?+= )()( 。
这里,f > 0称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、
财产保险费等），一般可以认为与产量的大小无关，而 vQ Q()? 称为可变成本（如原材料、能源等）,vQ()是一个正值函数，表示在总共生产 Q件产品的情况下，每生产一件的可变成本，最简单的情形是
vQ v()= =正常数。
)(QC 的导数 )(QC
′
称为 边际成本，其经济学意义是在总共生产 Q件产品的情况下，生产第 Q件产品的成本。
总收益 QQpQE?= )()( 是指把 Q件产品销售出去后得到的收入，这里 pQ()称为价格函数，表示在总共生产 Q件产品的情况下，每件产品的销售价格。一般说来，生产量越大，每件产品的价格就越便宜，因此 pQ()是 Q的单调减少函数。
)(QE 的导数 )(QE
′
相应地称为边际收益，其经济学意义是在总共生产销售了 Q件产品的情况下，销售出第 Q件产品所得到的收入。
总收益减去总成本便是总利润。将利润函数记为 )(QP,则
)()()( QCQEQP?=,
当 )(QE 和 )(QC 二阶可导时，利用 Lagrange 中值定理的推论 2，就可以得到经济学中的,最大利润原理,,
“当且仅当边际成本与边际收益相等，并且边际成本的变化率大于边际收益的变化率时，可取得最大利润。”
这里的第一个条件即为
0)()()( =
′
′
=
′
QCQEQP,
而第二个条件可表示为
0)()()( <
′′
′′
=
′′
QCQEQP,
请读者自行思考它们的经济学意义。
比如，某产品的价格 (),(,0,)
a
pQ a bQ ab Q
b
=? > <,成 本
vQfQC +=)(,于是利润
2
() () () ( )P QEQCQ bQ avQf=?=?+,
要使得整个生产经营不亏本，显然在定价时须保证 av? > 0 。
容易算出，当产量 Q
av
b
0
2
=
时有 0)(
0
=
′
QP 和 0)(
0
<
′′
QP,这时所 获取的利润为最大。
数学建模
例 5.5.7 （ Malthus 人口模型） 设 pt()是某地区的人口数量函数，
则在单位时间中的人口增长数，即人口增长速率应为人口数量函数的导数 ′pt()。
显然，某一时刻的人口数量越多，在单位时间中的人口增长数也就越多。 Malthus 假定这两者成比例关系，设比例系数为 λ，他在 1798
年提出了人类历史上的第一个人口模型
00
() ()
()
p tpt
pt p
λ
′
=
=
,
将,() ()p tptλ
′
=,写成微分形式 t
p
p
d
d
λ=,得到
ln p tCλ= +,或
1
e
t
pC
λ
=,
其中 C
C
1
= e 。令 tt=
0
并利用初值条件 pt p()
00
=,可以定出
0
10
e
t
Cp
λ?
=,最终得到人口数量函数
0
()
0
() e
tt
pt p
λ?
= 。
例 5.5.8 在供水、化工生产等过程中，都有一个对液体进行过滤，
除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例，来建立相应的数学模型。
要对液体进行过滤,首先要设置一个由过滤物质组成的过滤层 （称为滤芯）。在过滤的过程中，水中的杂质沉积在过滤层上，也成为过滤层的一部分。假设杂质在水中的含量和进水的压力都是常数，那么杂质沉积的厚度与累积的总滤出流量 Qt()成正比，同时，流速的减少与杂质沉积的厚度也成正比。若设初始时刻的流速为 q
0
，由导数的意义即知 t 时刻的流速应当是 ′Qt()，从而流速的减少量为 qQt
0
′()，由上所述，它应与总滤出流量 Qt()成正比。这样，就得到了它的数学模型为
=
=
′
.0)0(
),()(
0
Q
tQqtQ λ
作代换
10
() ()Qt q Qtλ=?,便有
=
=
′
.)0(
),()(
01
11
qQ
tQtQ λ
采用例 5.5.7 类似的方法，可以求出
10
() e
t
Qt q
λ?
=,
即得到累积的总滤出流量为
0
01
1
() ( ()) (1 e )
t
q
Qt q Q t
λ
λ λ
=?=?。
因为
0
()
lim
t
q
Qt
λ
→+∞
= 及
t
Qt
→+∞
′ =lim () 0,
所以我们可以知道，在定压的过滤过程中，并不是想滤多少就可以 不受限制地滤多少，其流出的总量是有上限
0
q
λ
的。在流量接近这个上 限的时候，其流速将趋近于零，也就是说，此时杂质已沉积得过厚,需要清洗或更换滤芯了。
函数作图
函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（1） 考察函数 fx()的定义域及其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（2）计算 )(xf ′,找出 fx()的驻点与导数不存在的点，从而求出 )(xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图
函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（1） 考察函数 fx()的定义域及其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（3）计算 )(xf
′′
，找出所有使 0)( =′′ xf 的点与使 )(xf ′′ 不存在的点，从而求出 )(xf 的拐点，并以这些点为分点，继续对区间进行再划分，
使函数在每个区间上保持固定的凸性。
（2）计算 )(xf ′,找出 fx()的驻点与导数不存在的点，从而求出 )(xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图
函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（1） 考察函数 fx()的定义域及其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话）,
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（5）求出曲线 )(xfy = 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
（4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话）,
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
通过上述步骤，就可作出函数 )(xfy = 的图像。
须注意的是,在作图之前,先应该考察函数的几何性质如奇偶性、
周期性等，如 fx()是奇函数或偶函数，那么只要画出一半图形，而另一半可通过对称画出；对于周期函数，只要画出一个周期的图形就可以了，而其余部分可通过周期延拓画出。
（4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话）,
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（5）求出曲线 )(xfy = 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
例5.5.9 作出函数 y
x
=
1
2
2
2
π
e 的图像。
解 因为 fx
x
() e=
1
2
2
2
π
是定义于整个实数域上的偶函数，我们只要考察 x ≥ 0就可以了。
′ =?
fx x
x
() e
1
2
2
2
π
,′′ =?
fx x
x
() e ( )
1
2
1
2
2
2
π
。
fx()的可能极值点为 ′fx()的零点 x = 0,可能的拐点的横坐标为 ′′fx()的零点 x =1。
经检验,′fx()在 x = 0 的右侧和左侧的符号分别为负和正，所以
x = 0是 fx()的极大值点； ′′fx()在 x =1的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以 ))1(,1( f 是曲线 )(xfy = 的拐点。
上面的分析可以列表如下,
x
0
(,)01
1
(,)1 +∞
′fx()
0 - - -
′′fx()
- - 0 +
fx()
极大值
1
2π
拐点
1
1,
2πe
当 x →∞时,y
x
=→
1
2
0
2
2
π
e,因此 y = 0即 x轴是 )(xfy = 的水平渐近线，容易看出，曲线 )(xfy = 不再有其他的渐近线。
上面的分析可以列表如下,
x
0
(,)01
1
(,)1 +∞
′fx()
0 - - -
′′fx()
- - 0 +
fx()
极大值
1
2π
拐点
1
1,
2πe
根据这些信息，便可作出函数 )(xfy = 在右半平面的图像，然后利用对称性，就可以作出函数的整个图像了（图 5.5.3）。
以后学习概率论时会知道,y
x
=
1
2
2
2
π
e 是一个非常重要的函数。
例 5.5.10 作出函数 y
x
x
=
+
()
()
1
31
2
的图像。
解 由于函数 fx
x
x
()
()
()
=
+
1
31
2
的定义域为 ),1()1,( +∞?∪∞,可知函数的图像包含两条曲线，它们被直线 1?=x 左右分开。
′fx()=
+
+
=
+?
+
()()()
()
()()
()
22 1 1
31
31
31
2
22
xx x
x
xx
x
,
′fx()有零点 x =1和 x =?3。由 于 ′fx()在 x =?3的右侧和左侧的符号分别为负和正，而在 x =1的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以 x =?3是
fx()的极大值点,x =1是 fx()的极小值点。
′′fx()=
+
8
31
3
()x
,
因为 ′′fx()在定义域中没有零点，所以曲线上没有拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
x
(,)?∞?3
-3
(,)31
-1
(,)?11
1
(,)1 +∞
′fx()
+ 0 - 无定义
- 0 +
′′fx()
- - - 无定义
+ + +
fx()
极大值
8
3
无定义
极小值
0
由例 5.4.14,y
x
x
=
+
()
()
1
31
2
的斜渐近线方程为
y
x
=?
3
1。
又因为
+∞=
+
+?→
)1(3
)1(
lim
2
1
x
x
x
,?∞=
+
→
)1(3
)1(
lim
2
1
x
x
x
,
所以 x =?1是它的垂直渐近线，且根据上面两个极限式，可以知道曲线在 1?=x 的左右两侧以怎样的方式趋近于渐近线的。
根据这些信息，就不难作出函数 )(xfy = 的图形了(图 5.5.4)。
例5.5.11 作出函数 yxxx=+
323
1的图像。
解 函数
3
3
2323
1)1(1)( +=+= xxxxxxf
的定义域为 ),( +∞?∞ 。
[ ]
，
3
2
3
3
1
3
2
3
3
2
3
2
3
3
3
3
2
)1(1
)(
)1(1
)1()1(2
3
1
)1(
)1(
1
1
2
3
1
1)1()(
+
+
=
+
++
=
+
+
+
=
′
+=
′
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
xxxf
′fx()有零点 x =?
1
3
，并且在 x = ±1处 )(xf
′
不存在。经检测 )(xf
′
在这些点左右两侧的符号，即可知道 1?=x 不是函数的极值点，
3
1
=x 是函数的极大值点,1=x 是函数的极小值点。
′
+
+
=
′′
3
2
3
3
1
)1(1
)(
)(
xx
x
xf
[]
2
3
2
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
)1(1
1
1
2
)1(
)1(
9
1
3
)1(1
+
+
+
+
+?+
=
xx
x
x
x
x
x
xx
3
2
3
)1(1
1
2
1
1
9
1
3
1
+
+
+
+?
=
xx
xx
x
3
5
3
4
)1()1(9
8
+
=
xx
,
即知 fx()的二阶导数没有零点，但在 x = ±1处 ′′fx()不存在。由于 )(xf
′′
在 1?=x 的两侧符号相反，而在 1=x 的两侧符号相同，所以 (1,0)? 是曲线的拐点，而 (1,0) 不是曲线的拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
(,)?∞ 1
-1
(,)1
1
3
1
3
(,)?
1
3
1
1
(,)1 ∞
′fx()
+ 不存在 + 0 -
不存在
+
′′fx()
+ 不存在 - - -
不存在
-
fx()
拐点
(-1,0)
极大值
2
3
3
4
极小值
0
由例 5.4.15,yxxx=+
32
3
1的渐近线方程为
yx=?
1
3
。
根据这些信息，就可作出函数 )(xfy = 的图形了(图 5.5.5)。
极值问题
fx()的全部极值点必定都在使得 ′ =fx() 0和使得 ′fx()不存在的点集之中。使 0)( =
′
xf 的点称为 )(xf 的 驻点。
§ 5 应用举例定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 )(xf 在 x
0
点的某一邻 域中有定义，且 )(xf 在 x
0
点连续。
⑴ 设存在 0>δ,使得 )(xf 在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上可导,
(i) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≥fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≤fx() 0,则
x
0
是 )(xf 的极大值点；
(ii) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≤fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≥fx() 0，
则 x
0
是 )(xf 的极小值点；
(iii) 若 ′fx()在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上同号，则 x
0
不是 )(xf 的极值点。
⑵ 设 0)(
0
=
′
xf,且 fx()在 x
0
点二阶可导,
(i) 若 ′′ <fx()
0
0，则 x
0
是 )(xf 的极大值点；
(ii) 若 ′′ >fx()
0
0，则 x
0
是 )(xf 的极小值点；
(iii) 若 ′′ =fx()
0
0，则 x
0
可能是 )(xf 的极值点，也可能不是 )(xf
的极值点。
定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 )(xf 在 x
0
点的某一邻 域中有定义，且 )(xf 在 x
0
点连续。
⑴ 设存在 0>δ,使得 )(xf 在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上可导,
(i) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≥fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≤fx() 0,则
x
0
是 )(xf 的极大值点；
(ii) 若在 ),(
00
xx δ? 上有 ′ ≤fx() 0，在 ),(
00
δ+xx 上有 ′ ≥fx() 0，
则 x
0
是 )(xf 的极小值点；
(iii) 若 ′fx()在 ),(
00
xx δ? 与 ),(
00
δ+xx 上同号，则 x
0
不是 )(xf 的极值点。
证 (1)的结论显然，我们只证(2)。
因为
0
()0fx
′
=,由 Taylor 公式
+= )()(
0
xfxf f
′
(
0
x )
!2
)(
)(
0
0
xf
xx
′′
+? +?
2
0
)( xx ))((
2
0
xxo?
+= )(
0
xf
!2
)(
0
xf
′′
+?
2
0
)( xx ))((
2
0
xxo?
得到
0
2
0
() ( )
()
fx fx
xx
=
2
0
2
0
0
)(
))((
)(
!2
1
xx
xxo
xf
+
′′
。
因为当
0
xx → 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 0)(
0
<
′′
xf 时，由极限的性质可知在
0
x 点附近成立
0
)(
)()(
2
0
0
<
xx
xfxf
,
所以
)()(
0
xfxf <,
从而 )(xf 在
0
x 取极大值。同样可讨论 0)(
0
>
′′
xf 的情况。 证毕关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数
4
xy =,
4
xy?= 和
3
xy = 。 0=x 是
4
xy = 的极小值点，是
4
xy?= 的极大值点，而不是
3
xy =
的极值点。但它们都满足 0)0( =′y 和 0)0( =′′y 的条件。
例 5.5.1 求函数
3
22
)2()( xxxf?= 的极值。
解 函数 )(xf 的定义域为 ),( +∞?∞ 。由
)1()2(
3
4
)(
3
1
-
2
xxxxf=
′
,
可知 )(xf 的驻点为 1=x,使得 )(xf
′
不存在的点为 0=x 和 2=x 。由于
（1） 当 0<<∞? x 时,0)( <
′
xf ；
（2） 当 10 << x 时,0)( >′ xf ；
（3） 当 21 << x 时,0)( <′ xf ；
（4） 当 +∞<< x2 时,0)( >
′
xf,
由定理 5.5.1 中(1)的结论知 0)0( =f 是极小值,1)1( =f 是极大值，
0)2( =f 是极小值。
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数
4
xy =,
4
xy?= 和
3
xy = 。 0=x 是
4
xy = 的极小值点，是
4
xy?= 的极大值点，而不是
3
xy =
的极值点。但它们都满足 0)0( =′y 和 0)0( =′′y 的条件。
例5.5.2 求函数 1)1()(
32
+?= xxf 的极值。
解 函数 )(xf 的定义域为 ),( +∞?∞ 。计算得
22
)1(6)(?=
′
xxxf,)15)(1(6)(
22
=
′′
xxxf 。
显然 )(xf 的驻点为 0=x,1=x 和 1?=x 。由于 06)0( >=′′f,所以由定理
5.5.1 中(2)的结论知 0)0( =f 是极小值。
由于 0)1( =±
′′
f,不能用定理 5.5.1 中(2)的结论。 但由于 )(xf
′
在
1=x 与 1?=x 的左,右两侧保持同号,由定理 5.5.1 中(1)的结论,知 )1(f
和 )1(?f 都不是函数 )(xf 的极值。
最值问题
闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。
函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取到最大值
（或最小值）的点称为函数的最大值点（ 或最小值点），也称为函数的最值点。
对于一个定义于闭区间 [ ]ba,上的函数 fx()来说，区间的两个端点
a与 b有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间 ( )ba,的话，
那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有 )(xf 的驻点与使 ′fx()
不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值的点就可以了。
例5.5.3 求函数
3
22
)2()( xxxf?= 在区间 [ ]4,1? 上的最大值与最小值。
解 由例 5.5.1,已知函数 )(xf 在区间 []4,1? 上的极大值点为 1=x,
极大值为 1)1( =f,极小值点为 0=x 与 2=x,两个极小值都为 0 。为了求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值
3
9)1( =?f 与
4)4( =f 。对这些值进行比较，就得到函数 )(xf 在区间 [ ]4,1? 上的最大值点为 4=x,最大值为 4)4( =f,最小值点为 0=x 与 2=x,最小值为 0。
例5.5.4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？
解 设罐身的厚度为 δ,则顶盖的厚度是 3 δ 。
记罐头的容积为 V,底面半径为 r,则高为 h
V
r
=
π
2
。于是，罐身的用料为
()
22
1
() π 2ππ2,
V
Ur r rh r
r
δδ
=+=+
顶盖的用料为
2
2
() 3π,Ur rδ=
因此问题化为求函数
2
12
() () () 4π 2
V
Ur U r U r r
r
δ
=+= +
,),0( +∞∈r
的最小值。
对 Ur()求导，
2
() 2 4π
V
Ur r
r
δ
′
=?
，因此 ′Ur()只有唯一的零点
r
V
0
3
4
=
π
。由于
3
() 4 2π 0
V
Ur
r
δ
′′
= +>
,r ∈ +∞(,)0,
所以 r
0
是 Ur()的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
20
4
4== =
π
π
π
。
也就是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
用同样的方法可以推出，若圆柱形的有盖容器是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省。许多圆柱形的日常用品，如漱口杯、保暖桶等，都是采用这样的比例（或近似这样的比例）设计的。
对 Ur()求导，
2
() 2 4π
V
Ur r
r
δ
′
=?
，因此 ′Ur()只有唯一的零点
r
V
0
3
4
=
π
。由于
3
() 4 2π 0
V
Ur
r
δ
′′
= +>
,r ∈ +∞(,)0,
所以 r
0
是 Ur()的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
20
4
4== =
π
π
π
。
也就是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
例 5.5.5 设一辆汽车在平原上的行驶速度为 v
1
，在草原上的行驶速度为 v
2
,现要求它以最短的时间从平原上的 A点到达草原上的 B点，
问应该怎么走？
解 显然，在同一种地形上，汽车应沿直线行进，所以它从 A 到
B 的运动轨迹应是由两条直线段组成的折线。
设汽车的行驶路径如图 5.5.2 所示，那么它的整个行驶时间应为
Tx
hx
v
hlx
v
()
()
=
+
+
+?
1
22
1
2
22
2
。
由
22
22
22
11
)(
)(
xlhv
xl
xhv
x
xT
+
+
=
′
,
可知 0)0( <
′
T,0)( >
′
lT 。
x
A
平原草原
θ
1
θ
2
h
1
h
2
B
l
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1
>
+
+
+
=
′′
xlhv
h
xhv
h
xT,
可知存在唯一的 ),0(
0
lx ∈,使 得 0)(
0
=
′
xT 。因 此 x
0
是 Tx()的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
vh x
lx
vh lx
0
11
2
0
2
0
22
2
0
2
+
=
+?()
。
由于光线在传播过程中所花的时间总是最短的，即光线总是走“捷径”的，所以光线的传播问题在本质上与本题是相同的。我们可以将本题中汽车的行驶换成光线的传播，将平原和草原换成光线传播过程中的两种不同的介质，这样就得到了光学中著名的折射定律
12
12
sin sin
vv
θ θ
= 。
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1
>
+
+
+
=
′′
xlhv
h
xhv
h
xT,
可知存在唯一的 ),0(
0
lx ∈,使 得 0)(
0
=
′
xT 。因 此 x
0
是 Tx()的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
vh x
lx
vh lx
0
11
2
0
2
0
22
2
0
2
+
=
+?()
。
例5.5.6 对产品从生产到销售的过程进行经济核算时，至少要涉及三个方面的问题：成本、收益和利润。设产量为 Q，则 总 成 本 )(QC
一般可以表示成两部分的和
QQvfQC?+= )()( 。
这里,f > 0称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、
财产保险费等），一般可以认为与产量的大小无关，而 vQ Q()? 称为可变成本（如原材料、能源等）,vQ()是一个正值函数，表示在总共生产 Q件产品的情况下，每生产一件的可变成本，最简单的情形是
vQ v()= =正常数。
)(QC 的导数 )(QC
′
称为 边际成本，其经济学意义是在总共生产 Q件产品的情况下，生产第 Q件产品的成本。
总收益 QQpQE?= )()( 是指把 Q件产品销售出去后得到的收入，这里 pQ()称为价格函数，表示在总共生产 Q件产品的情况下，每件产品的销售价格。一般说来，生产量越大，每件产品的价格就越便宜，因此 pQ()是 Q的单调减少函数。
)(QE 的导数 )(QE
′
相应地称为边际收益，其经济学意义是在总共生产销售了 Q件产品的情况下，销售出第 Q件产品所得到的收入。
总收益减去总成本便是总利润。将利润函数记为 )(QP,则
)()()( QCQEQP?=,
当 )(QE 和 )(QC 二阶可导时，利用 Lagrange 中值定理的推论 2，就可以得到经济学中的,最大利润原理,,
“当且仅当边际成本与边际收益相等，并且边际成本的变化率大于边际收益的变化率时，可取得最大利润。”
这里的第一个条件即为
0)()()( =
′
′
=
′
QCQEQP,
而第二个条件可表示为
0)()()( <
′′
′′
=
′′
QCQEQP,
请读者自行思考它们的经济学意义。
比如，某产品的价格 (),(,0,)
a
pQ a bQ ab Q
b
=? > <,成 本
vQfQC +=)(,于是利润
2
() () () ( )P QEQCQ bQ avQf=?=?+,
要使得整个生产经营不亏本，显然在定价时须保证 av? > 0 。
容易算出，当产量 Q
av
b
0
2
=
时有 0)(
0
=
′
QP 和 0)(
0
<
′′
QP,这时所 获取的利润为最大。
数学建模
例 5.5.7 （ Malthus 人口模型） 设 pt()是某地区的人口数量函数，
则在单位时间中的人口增长数，即人口增长速率应为人口数量函数的导数 ′pt()。
显然，某一时刻的人口数量越多，在单位时间中的人口增长数也就越多。 Malthus 假定这两者成比例关系，设比例系数为 λ，他在 1798
年提出了人类历史上的第一个人口模型
00
() ()
()
p tpt
pt p
λ
′
=
=
,
将,() ()p tptλ
′
=,写成微分形式 t
p
p
d
d
λ=,得到
ln p tCλ= +,或
1
e
t
pC
λ
=,
其中 C
C
1
= e 。令 tt=
0
并利用初值条件 pt p()
00
=,可以定出
0
10
e
t
Cp
λ?
=,最终得到人口数量函数
0
()
0
() e
tt
pt p
λ?
= 。
例 5.5.8 在供水、化工生产等过程中，都有一个对液体进行过滤，
除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例，来建立相应的数学模型。
要对液体进行过滤,首先要设置一个由过滤物质组成的过滤层 （称为滤芯）。在过滤的过程中，水中的杂质沉积在过滤层上，也成为过滤层的一部分。假设杂质在水中的含量和进水的压力都是常数，那么杂质沉积的厚度与累积的总滤出流量 Qt()成正比，同时，流速的减少与杂质沉积的厚度也成正比。若设初始时刻的流速为 q
0
，由导数的意义即知 t 时刻的流速应当是 ′Qt()，从而流速的减少量为 qQt
0
′()，由上所述，它应与总滤出流量 Qt()成正比。这样，就得到了它的数学模型为
=
=
′
.0)0(
),()(
0
Q
tQqtQ λ
作代换
10
() ()Qt q Qtλ=?,便有
=
=
′
.)0(
),()(
01
11
tQtQ λ
采用例 5.5.7 类似的方法，可以求出
10
() e
t
Qt q
λ?
=,
即得到累积的总滤出流量为
0
01
1
() ( ()) (1 e )
t
q
Qt q Q t
λ
λ λ
=?=?。
因为
0
()
lim
t
q
Qt
λ
→+∞
= 及
t
Qt
→+∞
′ =lim () 0,
所以我们可以知道，在定压的过滤过程中，并不是想滤多少就可以 不受限制地滤多少，其流出的总量是有上限
0
q
λ
的。在流量接近这个上 限的时候，其流速将趋近于零，也就是说，此时杂质已沉积得过厚,需要清洗或更换滤芯了。
函数作图
函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（1） 考察函数 fx()的定义域及其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（2）计算 )(xf ′,找出 fx()的驻点与导数不存在的点，从而求出 )(xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图
函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（1） 考察函数 fx()的定义域及其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（3）计算 )(xf
′′
，找出所有使 0)( =′′ xf 的点与使 )(xf ′′ 不存在的点，从而求出 )(xf 的拐点，并以这些点为分点，继续对区间进行再划分，
使函数在每个区间上保持固定的凸性。
（2）计算 )(xf ′,找出 fx()的驻点与导数不存在的点，从而求出 )(xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图
函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（1） 考察函数 fx()的定义域及其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话）,
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（5）求出曲线 )(xfy = 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
（4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话）,
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
通过上述步骤，就可作出函数 )(xfy = 的图像。
须注意的是,在作图之前,先应该考察函数的几何性质如奇偶性、
周期性等，如 fx()是奇函数或偶函数，那么只要画出一半图形，而另一半可通过对称画出；对于周期函数，只要画出一个周期的图形就可以了，而其余部分可通过周期延拓画出。
（4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话）,
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（5）求出曲线 )(xfy = 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
例5.5.9 作出函数 y
x
=
1
2
2
2
π
e 的图像。
解 因为 fx
x
() e=
1
2
2
2
π
是定义于整个实数域上的偶函数，我们只要考察 x ≥ 0就可以了。
′ =?
fx x
x
() e
1
2
2
2
π
,′′ =?
fx x
x
() e ( )
1
2
1
2
2
2
π
。
fx()的可能极值点为 ′fx()的零点 x = 0,可能的拐点的横坐标为 ′′fx()的零点 x =1。
经检验,′fx()在 x = 0 的右侧和左侧的符号分别为负和正，所以
x = 0是 fx()的极大值点； ′′fx()在 x =1的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以 ))1(,1( f 是曲线 )(xfy = 的拐点。
上面的分析可以列表如下,
x
0
(,)01
1
(,)1 +∞
′fx()
0 - - -
′′fx()
- - 0 +
fx()
极大值
1
2π
拐点
1
1,
2πe
当 x →∞时,y
x
=→
1
2
0
2
2
π
e,因此 y = 0即 x轴是 )(xfy = 的水平渐近线，容易看出，曲线 )(xfy = 不再有其他的渐近线。
上面的分析可以列表如下,
x
0
(,)01
1
(,)1 +∞
′fx()
0 - - -
′′fx()
- - 0 +
fx()
极大值
1
2π
拐点
1
1,
2πe
根据这些信息，便可作出函数 )(xfy = 在右半平面的图像，然后利用对称性，就可以作出函数的整个图像了（图 5.5.3）。
以后学习概率论时会知道,y
x
=
1
2
2
2
π
e 是一个非常重要的函数。
例 5.5.10 作出函数 y
x
x
=
+
()
()
1
31
2
的图像。
解 由于函数 fx
x
x
()
()
()
=
+
1
31
2
的定义域为 ),1()1,( +∞?∪∞,可知函数的图像包含两条曲线，它们被直线 1?=x 左右分开。
′fx()=
+
+
=
+?
+
()()()
()
()()
()
22 1 1
31
31
31
2
22
xx x
x
xx
x
,
′fx()有零点 x =1和 x =?3。由 于 ′fx()在 x =?3的右侧和左侧的符号分别为负和正，而在 x =1的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以 x =?3是
fx()的极大值点,x =1是 fx()的极小值点。
′′fx()=
+
8
31
3
()x
,
因为 ′′fx()在定义域中没有零点，所以曲线上没有拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
x
(,)?∞?3
-3
(,)31
-1
(,)?11
1
(,)1 +∞
′fx()
+ 0 - 无定义
- 0 +
′′fx()
- - - 无定义
+ + +
fx()
极大值
8
3
无定义
极小值
0
由例 5.4.14,y
x
x
=
+
()
()
1
31
2
的斜渐近线方程为
y
x
=?
3
1。
又因为
+∞=
+
+?→
)1(3
)1(
lim
2
1
x
x
x
,?∞=
+
→
)1(3
)1(
lim
2
1
x
x
x
,
所以 x =?1是它的垂直渐近线，且根据上面两个极限式，可以知道曲线在 1?=x 的左右两侧以怎样的方式趋近于渐近线的。
根据这些信息，就不难作出函数 )(xfy = 的图形了(图 5.5.4)。
例5.5.11 作出函数 yxxx=+
323
1的图像。
解 函数
3
3
2323
1)1(1)( +=+= xxxxxxf
的定义域为 ),( +∞?∞ 。
[ ]
，
3
2
3
3
1
3
2
3
3
2
3
2
3
3
3
3
2
)1(1
)(
)1(1
)1()1(2
3
1
)1(
)1(
1
1
2
3
1
1)1()(
+
+
=
+
++
=
+
+
+
=
′
+=
′
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
xxxf
′fx()有零点 x =?
1
3
，并且在 x = ±1处 )(xf
′
不存在。经检测 )(xf
′
在这些点左右两侧的符号，即可知道 1?=x 不是函数的极值点，
3
1
=x 是函数的极大值点,1=x 是函数的极小值点。
′
+
+
=
′′
3
2
3
3
1
)1(1
)(
)(
xx
x
xf
[]
2
3
2
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
)1(1
1
1
2
)1(
)1(
9
1
3
)1(1
+
+
+
+
+?+
=
xx
x
x
x
x
x
xx
3
2
3
)1(1
1
2
1
1
9
1
3
1
+
+
+
+?
=
xx
xx
x
3
5
3
4
)1()1(9
8
+
=
xx
,
即知 fx()的二阶导数没有零点，但在 x = ±1处 ′′fx()不存在。由于 )(xf
′′
在 1?=x 的两侧符号相反，而在 1=x 的两侧符号相同，所以 (1,0)? 是曲线的拐点，而 (1,0) 不是曲线的拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
(,)?∞ 1
-1
(,)1
1
3
1
3
(,)?
1
3
1
1
(,)1 ∞
′fx()
+ 不存在 + 0 -
不存在
+
′′fx()
+ 不存在 - - -
不存在
-
fx()
拐点
(-1,0)
极大值
2
3
3
4
极小值
0
由例 5.4.15,yxxx=+
32
3
1的渐近线方程为
yx=?
1
3
。
根据这些信息，就可作出函数 )(xfy = 的图形了(图 5.5.5)。
