应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
§ 4 定积分在几何计算中的应用
求平面图形的面积
考虑由连续曲线 yfx= ()，直线
x a=,x b= 和 y = 0（即 x轴）所围区域的面积。
当 fx()> 0时，面积为 ()d
b
a
f xx
∫；
当 fx()< 0时，面积为 [()]d
b
a
f xx?
∫
。
当 )(xf 在区间 ],[ ba 上不保持定号时，所要求的面积（如图7.4.1中的阴影部分的面积）应为
|()|d
b
a
Sfxx=
∫
。
§ 4 定积分在几何计算中的应用应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
bc
a
夹在连续曲线 yfx= ()和 ygx= ()之间，
左右由直线 xa=,x b= 界定的那部分区域的面积(图7.4.2)为
| () ()| d
b
a
S f x g xx=?
∫
。
例 7.4.1 计算由曲线 yx=
2
和 xy=
2
所围区域的面积。
解 曲线 yx=
2
和 xy=
2
的交点坐标为 (,)00 和 (,)11,而当 x ∈[,]01,xx≥
2
(图
7.4.3),
因此，所求的面积为
1
2
0
()dx xx?
∫
3
1
3
1
3
2
1
0
3
=
= xxx 。
夹在连续曲线 yfx= ()和 ygx= ()之间，
左右由直线 xa=,x b= 界定的那部分区域的面积(图7.4.2)为
| () ()| d
b
a
S f x g xx=?
∫
。
例 7.4.2 设 (,)xy是等轴双曲线 xy
22
1? = 上的任意一点，求由双曲线与连接点 (,)xy和原点的线段，连接点 (,)xy? 和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t (图7.4.4)。
解 不妨设 x > 0,
2=t
2
1
1d
2
x
xy
uu
∫
( )|1|ln1
22
+= xxxxxy
=?+ +xy xy x yln ( ) = +ln ( )xy。
由此得到 xy
t
+ = e,由于 xy
22
1? =,
两式相除便有 xy
t
=
e,于是解得
xt
yt
tt
tt
=
+
=
=
=
ee
ch
ee
sh
2
2
，
。
例 7.4.2 设 (,)xy是等轴双曲线 xy
22
1? = 上的任意一点，求由双曲线与连接点 (,)xy和原点的线段，连接点 (,)xy? 和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t (图7.4.4)。
注 我们知道三角函数又统称为圆函数，这是因为，若在单位圆上取点 (,)xy和 (,)xy?,类似地考虑由圆弧与连接点 (,)xy和原点的线段，连接点 (,)xy? 和原点的线段所围成的扇形(图 7.4.5)，设扇形的面积为 t,则有熟知的结论
xt
yt
=
=
cos
sin
，
。
两相比较，就不难明白，为什么要把
yxyx==sh ch,统称为双曲函数，并分别冠以双曲正弦和双曲余弦的名称。
若 ()yfx=,[,]x ab∈ 是用参数形式
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
表达的,)(tx 在 ],[
21
TT 上具有连续导数，且 0)( ≠
′
tx 。那么用换元法可以证明，由连续曲线 yfx= ()，直线 x a=,x b= 和 y = 0（即 x 轴）所围区域的面积为
2
1
|()()|d
T
T
Sytxtt
′
=
∫
。
例 7.4.3 求椭圆
x
a
y
b
2
2
2
2
1+=的面积。
解 利用对称性，只求第一象限的那一块面积(图
7.4.6)。将椭圆写成参数方程形式
xa t
yb t
=
=
cos,
sin,
则当 x从 0 变到 a时,t 从
π
2
变到 0，所以
π
2
0
sin (cos ) d
4
S
ab t t t
′
=
∫
π
2
2
0
sin dab t t=
∫
=
π
4
ab,
即
Sab= π 。
图7.4.6
y
b
xa
例 7.4.4 求旋轮线（摆线）
xat t
ya t
t
=?
=?
∈
(sin),
(cos),
[,]
1
02π 与 x轴所围区域的面积(图7.4.7)。
解
2π
22
0
(1 cos ) dSa t t=?
∫
2π
2
0
1cos2
12cos d
2
t
at
+
=?
∫
= 3
2
πa 。
0
x
y
a
图7.4.7
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(θrr = 是区间 ],[ βα 上的连续函数( 2πβ α? ≤ )，
求由两条极径 αθ =,βθ = 与 )(θrr = 围成的图形的面积 S 。
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(θrr = 是区间 ],[ βα 上的连续函数( 2πβ α? ≤ )，
求由两条极径 αθ =,βθ = 与 )(θrr = 围成的图形的面积 S 。
在 [,]α β 中取一系列的分点
i
θ,满足
βθθθθα =<<<<=
n
"
210
记
1?
=
iii
θθθΔ,在每个
1
[,]
ii
θ θ
上任取一点
i
ξ,用半径为 )(
i
r ξ,圆心角为
i
θΔ
的小扇形的面积
ii
r θΔξ )(
2
2
1
近似代替相应的小曲边扇形的面积(图 7.4.8)，
那么
∑
=
≈
n
i
ii
rS
1
2
)(
2
1
θΔξ,
因为 )(θrr = 在 ],[ βα 中连续，所以 )(
2
2
1
θr 在 ],[ βα 上可积。令小扇形的圆心角的最大值 0)(max
1
→=
≤≤
i
ni
θΔλ,即有
==
∑
=
→
n
i
ii
rS
1
2
0
)(lim
2
1
θΔξ
λ
2
1
()d
2
r
β
α
θ θ
∫
,
这就是极坐标下的面积公式。
例 7.4.5 求双曲螺线 raθ = 当 θ从
π
4
变到 2
4
π
π
+ 时极径 r 扫过的面积(图7.4.9)。
解 直接用极坐标下的求面积公式,
2
9π 4
2
π 4
1
d
2
a
S θ
θ
=
∫
9π 4
2
π 4
1
2
a
θ
=?
2
16
9π
a
= 。
例 7.4.5 求双曲螺线 raθ = 当 θ从
π
4
变到 2
4
π
π
+ 时极径 r 扫过的面积(图7.4.9)。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 sin 3ra θ=,
[0,π]θ∈ (图7.4.10)所围区域的面积。
解 由对称性，我们只求半叶“玫瑰”的面积，这时 θ的变化范围是
π
0,
6
。
π
6
2
2
0
6sin3d
2
a
S θ θ=?
∫
π
2
22
0
sin da=
∫
=
πa
2
4
。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 sin 3ra θ=,
[0,π]θ∈ (图7.4.10)所围区域的面积。
求曲线的弧长
首先来定义什么叫一段曲线的弧长。
设平面曲线的参数方程为
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
,
对区间 [,]TT
12
作如下划分,
Tt tt t T
n1012 2
=<< < < = ",
于是便得到这条曲线上顺次排列的
n +1个点 PP P
n01
,,, ",Pxtyt
iii
= ((),()，
用 PP
ii?1
表示连接点 PP
ii?1
和 的直线段的长度,那么相应的折线的长度可以表示为 PP
ii
i
n
=
∑
1
1
。
y
x
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
iP
i-1
P
n
P
n-1
…
…
图7.4.11
若当 λ = →
≤≤
max( )
1
0
in
i
tΔ 时，极限 lim
λ→
=
∑
0
1
1
PP
ii
i
n
存在，且极限值与区间 [ ]
21
,TT 的划分无关，则称这条曲线是 可求长 的，并将此极限值
lPP
ii
i
n
=
→
=
∑
lim
λ 0
1
1
称为该条曲线的弧长。
我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率 π，用的也正是这样的思想方法。
讨论,
ii
PP
1?
=? +?
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]xt xt yt yt
ii ii1
2
1
2
,
若 xt()和 yt()在 [,]TT
12
上连续，在 (,)TT
12
上可导，则由 Lagrange 中值定理，存在
i
η 和
i
σ 属于 (,)tt
it?1
，成立
xt xt
ii
() ( )? =
1 ii
tx Δη )(
′
,yt yt
ii
() ( )? =
1 ii
ty Δσ )(
′
,
于是
PP
ii
i
n
=
∑
1
1
∑
=
′
+
′
=
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δση 。
由于
i
η 和
i
σ 一般不会相同，上式还不是 Riemann 和
∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ,],[
1 tii
tt
∈ξ
的形式，但两者已相当接近了。这提示我们，很有可能弧长 l 正是这一 Riemann 和的极限值。
定义 7.4.1 若 ′xt()和 ′yt()在 [,]TT
12
上连续，且
0)]([)]([
22
≠
′
+
′
tytx,则由参数方程
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
确定的曲线称为 光滑曲线。
光滑曲线上的切线是连续变动的。
定理 7.4.1（弧长公式） 若由参数方程
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为
2
1
22
[ ( )] [ ( )] d
T
T
lxtytt
′′
=+
∫
。
证 对区间 [,]TT
12
作划分，有
∑
=
n
i
ii
PP
1
1 ∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ
∑
=
′
+
′
=
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δση
∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ
∑
=
′
+
′
≤
n
i
ii
yx
1
22
)]([)]([ ση
iii
tyx Δξξ
22
)]([)]([
′
+
′
。
定理 7.4.1（弧长公式） 若由参数方程
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为
由三角不等式
xx yy xy xy
1
2
2
2
1
2
2
2
11
2
22
2
+? + ≤? +?()( )≤? +?||| |xy xy
11 2 2
,
得到
∑
=
n
i
ii
PP
1
1 ∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ
i
n
i
ii
txx Δξη
∑
=
′
′
≤
1
|)()(|
i
n
i
ii
tyy Δξσ
∑
=
′
′
1
|)()(|
i
n
i
ii
n
i
i
tt ΔωΔω
∑∑
==
+≤
11
~
,
其中
i
ω 和
i
ω
~
分别是 ′xt()和 ′yt()在 [,]tt
it?1
中的振幅。
因为 ′xt()和 ′yt()在 [,]TT
12
上可积，由定积分存在的充分必要条件，
当 0)(max
1
→=
≤≤
i
ni
tΔλ,有
0
1
→
∑
=
i
n
i
i
tΔω,及 0
~
1
→
∑
=
i
n
i
i
tΔω,
于是
lPP
ii
i
n
=
→
=
∑
lim
λ 0
1
1
∑
=
→
′
+
′
=
n
i
iii
tyx
1
22
0
)]([)]([lim Δξξ
λ
2
1
22
[ ( )] [ ( )] d
T
T
xt yt t
′′
=+
∫
。
注
22
d [ ()] [ ()]dlxt ytt
′′
=+ 称为弧长的微分 。
当曲线采用直角坐标系下的显式方程 yfxxab= ∈(),[,]时，容易得到相应的弧长公式
2
1[ ()]d
b
a
lfxx
′
=+
∫
。
当曲线采用极坐标方程 )(θrr =,],[ βαθ ∈ 时，由于 θθ cos)(rx =,
θθ sin)(ry =,因此
θθθθθ sin)(cos)()( rrx?
′
=
′
,θθθθθ cos)(sin)()( rry +
′
=
′
,
所以
2222
)]([)]([)]([)]([ θθθθ rryx
′
+=
′
+
′,
于是
22
[ ( )] [ ( )] dlrr
β
α
θ θθ
′
=+
∫
。
例 7.4.7 求半径为 a的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程
22
()yfx a x= =±?,
2
0
41[()]d
a
lfxx
′
=+
∫
220
d
4
a
x
a
ax
=
∫
0
4arcsin 2π
a
x
aa
a
=? = 。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
xa t
ya t
=
=
cos,
sin,
[0,2π]t∈,
π
2
22
0
4cossindla t tt=+
∫
= 2πa 。
例 7.4.7 求半径为 a的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程
22
()yfx a x= =±?,
2
0
41[()]d
a
lfxx
′
=+
∫
220
d
4
a
x
a
ax
=
∫
0
4arcsin 2π
a
x
aa
a
=? = 。
解法三 采用极坐标方程 ra=,[0,2π]θ∈,这时 ′ =r 0，因此
2π
22
0
() ()dlrrθ θθ
′
=+
∫
2π
0
d2πaaθ==
∫
。
一般来说，采用不同的方程形式求曲线的弧长，难易 程度会有所不同。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
xa t
ya t
=
=
cos,
sin,
[0,2π]t∈,
π
2
22
0
4cossindla t tt=+
∫
= 2πa 。
例 7.4.7 求半径为 a的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程
22
()yfx a x= =±?,
2
0
41[()]d
a
lfxx
′
=+
∫
220
d
4
a
x
a
ax
=
∫
0
4arcsin 2π
a
x
aa
a
=? = 。
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长(见图7.4.7)。
解
2π
22
0
(1 cos ) sin dla t tt=?+
∫
2π
0
21cosdatt=?
∫
2π
0
2sind
2
t
at=
∫
= 8a 。
0
x
y
用同样的方法，可将定理7.4.1的结论推广到求空间曲线的弧长上去。
设 ′xt(),′yt(),′zt()在 ],[
21
TT 上连续，且 0)]([)]([)]([
222
≠
′
+
′
+
′
tztytx,
则由参数方程
xxt
yyt
zzt
tTT
=
=
=
∈
(),
(),
(),
[,]
12
确定的曲线的弧长为
2
1
222
[ ( )] [ ( )] [ ( )] d
T
T
lxtytztt
′′′
=++
∫
。
0
x
y
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长(见图7.4.7)。
解
2π
22
0
(1 cos ) sin dla t tt=?+
∫
2π
0
21cosdatt=?
∫
2π
0
2sind
2
t
at=
∫
= 8a 。
例 7.4.9 求圆锥螺线
xat t
yatt
zbt
=
=?
=
cos,
sin,
,
(图7.4.12)第一圈的长度。
解
2π
222 2
0
[cos sin ] [ sin cos ] dlatttatttbt=?++
∫
2π
22 2 2
0
dat a b t=++
∫
( )
2π
222 22
0
ln| |
2
a
tt s s t t s=++++ （记
b
a
s
2
2
2
1+= ）
222
22
2π 4π
π 4π ln
2
ss
as
s
++
=++
。
例 7.4.9 求圆锥螺线
xat t
yatt
zbt
=
=?
=
cos,
sin,
,
(图7.4.12)第一圈的长度。
当 b = 0时,圆锥螺线退化为平面上的 Archimedes 螺线(图7.4.13)
此时 s
2
1=,因此
22
2π 4π +1 ln (2π+4π +1 )
2
a
l
=+
,
这正是 Archimedes 螺线 raθ= 第一圈的长度（见习题3 ⑺）。
求某些特殊的几何体的体积
设三维空间中的一个几何体夹在平面
x a= 和 x b= 之间，若对于任意 ],[ bax∈,过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面的面积 Ax()是已知的，且 Ax()又是 [,]ab上的连续函数，则我们可以用定积分计算出它的体积(图7.4.14)。
对区间 [,]ab作划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
记小区间 [,]xx
ii?1
的长度为 Δxxx
iii
=?
1
,
在每个小区间上取一点
i
ξ,用底面积为 ()
i
A ξ,高为 Δx
i
的柱体体积近似代替夹在平面 xx
i
=
1
和 xx
i
= 之间的那块小几何体的体积，那么这些柱体体积之和
∑
=
Δ
n
i
ii
xA
1
)(ξ
就是整个几何体体积的近似。令
1
max( ) 0
i
in
xλ
≤≤
= Δ→时，得到
0
1
lim ( ) ( )d
n
b
ii
a
i
VAxAx
λ
ξ
→
=
=Δ=
∑
∫
,
这就是所要求的几何体的体积。
据《九章算术》记载，我国南北朝时的数学家祖暅(祖冲之之子)
在求出球的体积的同时，得到 了一个重要的结论（后人称之为,祖暅原理,）：,夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异．,用现在的话来讲，一个几何体(,立积” )是由一系列很薄的小片(,基,)叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(,幂势,)都相同，那它们的体积
(“积”)必然相等．这一结论与上述求体积公式的推导思想是相同的。
意大利数学家 Cavalieri 在 1635 年得到了同样的结论，但比祖暅迟了一千多年。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a，平面
1
P过其 底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2
P 成夹角 θ，求圆柱体被
1
P
与
2
P 所截得的那部分的体积。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a，平面
1
P过其 底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2
P 成夹角 θ，求圆柱体被
1
P
与
2
P 所截得的那部分的体积。
解 先建立坐标系。将平面
2
P 取成 xy 平面，并使得圆柱体底 面的圆心与原点重合，同时让
1
P 与圆柱
体底面圆周的交点落在 y轴上
(图7.4.15)。
对于任意 ],[ aay?∈,过 y 点且与 y
轴垂直的平面与该几何体的截面是
一个竖立的矩形，它的底为 2
22
ay?,
高为 θtan)( ay +,于是
A y()
22
2 a y=? θtan)(?+ ay,
因此，所求的体积为
( )
22 22
2tan d d
aa
V yayya ayyθ
=?+?
∫∫
。
( )
22 22
2tan d d
aa
V y a yyaayyθ
=?+?
∫∫
。
容易看出，括号内的第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为0，第二项中的积分恰为上半个圆的面积，即得到
3
π tanVaθ= 。
注意，若采用以与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面是一个直角梯形，处理就会麻烦很多。
公式 ()d
b
a
VAxx=
∫
的一个重要的应用是计算旋转体的体积。
设函数 )(xf 在 ],[ ba 上连续。对于由 |)(|0 xfy ≤≤ 与 a x b≤ ≤ 所界定的那块平面图形绕 x轴旋转一周得到的旋转体,若用过 x点且与 x轴垂直的平面去截，得到的截面显然是一 个半径为| fx()|的圆(图
7.4.16)。因此它的面积为
Ax()
2
π[()]f x=,
所以该旋转体的体积计算公式为
2
π [()]d
b
a
V f xx=
∫
。
设曲线的参数方程为
=
=
),(
),(
tyy
txx
],[
21
TTt ∈ 。
假设在 ],[
21
TT 上,)(tx
′
和 )(ty 连续，且 0)( ≠
′
tx 。对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
=V
2
1
2
π () ()d
T
T
y txt t
′
∫
。
极坐标下由 0()rrθ≤ ≤ （ [,] [0,π]θ αβ∈? ） 所表示的区域绕极轴旋转一周所得的旋转体的体积为
3
2
π ()sind
3
Vr
β
α
θ θθ=
∫
。
（见习题6（2））。
设曲线的参数方程为
=
=
),(
),(
tyy
txx
],[
21
TTt ∈ 。
假设在 ],[
21
TT 上,)(tx
′
和 )(ty 连续，且 0)( ≠
′
tx 。对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
=V
2
1
2
π () ()d
T
T
y txt t
′
∫
。
例 7.4.11 求半径为 a的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 yax=?
22
与 x 轴围成的半个圆绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22
π ()d
a
a
Vaxx
=?
∫
3
2
π
3
a
a
x
ax
=?
=
4
3
3
πa 。
例 7.4.12 求旋轮线一拱(见图 7.4.7) 与 x轴围成的图形绕 x
轴旋转一周所得的旋转体的体积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转体体积的公式,
2
1
2
π () ()d
T
T
Vytxtt
′
=
∫
2π
33
0
π (1 cos ) datt=?
∫
= 5
23
π a 。
例 7.4.11 求半径为 a的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 yax=?
22
与 x 轴围成的半个圆绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22
π ()d
a
a
Vaxx
=?
∫
3
2
π
3
a
a
x
ax
=?
=
4
3
3
πa 。
求旋转曲面的面积
设
],[
),(
),(
21
TTt
tyy
txx
∈
=
=
确定平面上一段光滑曲线，且在 ],[
21
TT 上 0)( ≥ty,现求它绕 x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。
对区间 ],[
21
TT 作划分,
22101
TttttT
n
=<<<<= ",
由此得到曲线上顺次排列的 n +1
个点 PP P
n01
,,, ",
Pxtyt
iii
= ((),()。
记 Δs
i
是连接 P
i?1
和 P
i
的直线段绕 x轴旋转一周得到的圆台侧面的面积，
则
Δs
i
=+?
π[( ) ()]yt yt P P
iiii11
。
若当 λ = →
≤≤
max( )
1
0
in
i
tΔ 时，极限
∑
=
→
Δ
n
i
i
s
1
0
lim
λ
=+?
→
=
∑
π
λ
lim [ ( ) ( )]
0
11
1
yt yt P P
iiii
i
n
存在，且极限值与区间 [ ]
21
,TT 的划分无关，则称极限值
∑
=
→
Δ=
n
i
i
sS
1
0
lim
λ
=+?
→
=
∑
π
λ
lim [ ( ) ( )]
0
11
1
yt yt P P
iiii
i
n
为该段曲线绕 x轴旋转一周所得到的 旋转曲面的面积。
这也不是 Riemann 和的极限，但与求曲线长度时的讨论一样，可以得到
2
1
22
2π ( ) [ ( )] [ ( )] d
T
T
S y txt y tt
′′
=+
∫
。
利用弧长的微分公式，也可以将上式写成
2
1
2π ()d
T
T
S y tl=
∫
。
例 7.4.13 求半径为 a的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 yax=?
22
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
2
2π ()1 [ ()]d
a
a
Sfxfxx
′
=+
∫
22
22
2π d
a
a
ax
ax
ax
=
∫
= 4
2
πa 。
例 7.4.14 求旋轮线一拱(见图 7.4.7)绕 x轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式
2π
222
0
2π (1 cos ) (1 cos ) sin dSa t t tt=+
∫
2π
2
0
22π (1 cos ) 1 cos datt=
∫
2π
23
0
16π sin d
22
tt
a
=
∫
=
64
3
2
πa 。
例 7.4.13 求半径为 a的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 yax=?
22
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
2
2π ()1 [ ()]d
a
a
Sfxfxx
′
=+
∫
22
22
2π d
a
a
ax
ax
ax
=
∫
= 4
2
πa 。
本节中的计算公式列表
直角坐标显式方程
yfxxab= ∈(),[,]
直角坐标参数方程
=
=
),(
),(
tyy
txx
],[
21
TTt∈
极坐标方程
()rrθ=,[,]θ αβ∈
平面图形面积
()d
b
a
f xx
∫
2
1
() ()d
T
T
yt x t t′
∫
2
1
2
()dr
β
α
θ θ
∫
弧长微分
2
d1[()]dlfxx′=+
22
d [ ()] [ ()]dlxt ytt′′=+
22
d()()dlr rθ θθ′=+
曲线
弧长
2
1[ ()]d
b
a
f xx′+
∫
2
1
22
[ ( )] [ ( )] d
T
T
x tytt′′+
∫
22
() ()drr
β
α
θ θθ′+
∫
旋转体体积
2
π [()]d
b
a
f xx
∫
2
1
2
π () ()d
T
T
ytxt t′
∫
3
2
3
π ()sindr
β
α
θ θθ
∫
旋转曲面
面积
2
2π () 1 [ ()]d
b
a
f xfxx′+
∫
2
1
22
2π () () ()d
T
T
y txtytt′′+
∫
22
2π ()sin () ()drrr
β
α
θ θθ θθ′+
∫
曲线的曲率
在许多实际问题中，常常需要考虑曲线的弯曲程度。
究竟如何来刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图 7.4.18 所示的两条光滑曲线 C和 C
′上的曲线段
p
AB 和
q
''A B,它们的弧长分别记为 sΔ 与
s
′
Δ 。当动点从 A点沿曲线段
p
AB 运动到 B 点时,A点的切线
A
τ 也随着转动到 B 点的切线
B
τ,记这两条切线之间的夹角为?Δ （它等于
B
τ 和 x
轴的交角与
A
τ 和 x轴的交角之差），同样地，记曲线段
q
''A B 的两个端点
A
′
,B
′
处的切线
A′
τ 和
B′
τ 的夹角为?′Δ 。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大 。也就是说，如果 ss Δ=
′
Δ,而 Δ>
′
Δ,那么可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大；反之，如果 Δ=′Δ,而
ss Δ<
′
Δ,那么同样可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大。
定义
s
K
Δ
Δ
=
为曲线段
p
AB 的 平均曲率，它刻画了曲线段
p
AB 的平均弯曲程度。定义
0
d
lim
d
s
K
ss
Δ→
Δ
==
Δ
为曲线 C在 A点的曲率 （如果该式中的极限存在的话） 。这里取绝对值是为了使曲率不为负数。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大 。也就是说，如果 ss Δ=
′
Δ,而 Δ>
′
Δ,那么可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大；反之，如果 Δ=′Δ,而
ss Δ<
′
Δ,那么同样可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大。
设曲线 C在 A点处的曲率 0≠K,若过 A点作一个半径为
K
1
的圆，
使它在 A点处与曲线 C有相同的切线，并在 A点附近与该曲线位于切线的同侧(图7.4.19),我们把这个圆称为曲线 C在 A点处的曲率圆或密切圆。 曲率圆的半径
K
R
1
= 和圆心
0
A 分别称为曲线 C在 A点处的曲率半径和 曲率中心。 由曲率圆的定义可以知道，曲线 C在点 A处与曲率圆既有相同的切线，又有相同的曲率和凸性。
图 7,4,19
例 7.4.15 求椭圆 tax cos=,tby sin= （ 0 πt≤ ≤2 ）上曲率最大和最小的点（ ab ≤<0 ） 。
解 由于
tax sin?=
′
,tax cos?=
′′
,tby cos=′,tby sin?=′′,
得到
()
()
22
332 32
22 2 222 2 2
22
2
|sin cos|
()sinsin cos
xy xy
ab t ab t ab
K
ab tbatbt
xy
′′′ ′′′
+
== =
++
′′
+
。
因此当 0>> ba 时，椭圆上在 0,πt = 对应的点，即长轴的两个端点，
曲率最大；在
π 3π
,
22
t = 对应的点，即短轴的两个端点，曲率最小。
当 Rba == 时（这时椭圆成为半径为 R 的圆）,RK /1=,即圆上各点处的曲率相同，其值为圆半径的倒数，而曲率半径正好是 R 。
设光滑曲线由参数方程
βα ≤≤
=
=
t
tyy
txx
),(
),(
确定，且 )(),( tytx 有二阶导数。对于每个 ],[ βα∈t,曲线在对应点的切线斜率为
d()
tan
d()
yyt
xxt
′
==
′
,
其中?是该切线与 x轴的夹角，由
)(
)(
arctan
tx
ty
′
′
=?,即可得到
22
d()()()()x ty t x tyt
txtyt
′ ′′ ′′ ′
=
′′
+
。
另外，由弧长的微分公式知
22
d
() ()
d
s
x t y t
t
′ ′
=+。
于是
()
3
22
2
d
() () () ()
d d
d
d
() ()
d
x t y txty t
t
K
s
s
xt yt
t
′ ′′ ′′ ′
===
′′
+
。
这就是曲率的计算公式。
特别地，如果曲线由 )(xyy = 表示，且 )(xy 有二阶导数，那么相应的计算公式为
2
3
2
)1( y
y
K
′
+
′′
= 。
容易知道，直线上曲率处处为零。
另外，由弧长的微分公式知
22
d
() ()
d
s
x t y t
t
′ ′
=+。
于是
()
3
22
2
d
() () () ()
d d
d
d
() ()
d
x t y txty t
t
K
s
s
xt yt
t
′ ′′ ′′ ′
===
′′
+
。
这就是曲率的计算公式。
例 7.4.16 求悬链线
ee
2
x x
aa
a
y
=+
的曲率（ 0>a ） 。
解 =′y
1
ee
2
x x
aa
,=′′y
2
1
ee
2
xx
aa
y
+=
。
由于 0>y 及
2
2
1
11ee
4
xx
aa
y
y
a
′
+ =+? =
,
所以
3
2
2
3
2
)1(
=
′
+
′′
=
a
y
a
y
y
y
K
2
y
a
=
2
4
ee
xx
aa
a
=
+
。
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
§ 4 定积分在几何计算中的应用
求平面图形的面积
考虑由连续曲线 yfx= ()，直线
x a=,x b= 和 y = 0（即 x轴）所围区域的面积。
当 fx()> 0时，面积为 ()d
b
a
f xx
∫；
当 fx()< 0时，面积为 [()]d
b
a
f xx?
∫
。
当 )(xf 在区间 ],[ ba 上不保持定号时，所要求的面积（如图7.4.1中的阴影部分的面积）应为
|()|d
b
a
Sfxx=
∫
。
§ 4 定积分在几何计算中的应用应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
bc
a
夹在连续曲线 yfx= ()和 ygx= ()之间，
左右由直线 xa=,x b= 界定的那部分区域的面积(图7.4.2)为
| () ()| d
b
a
S f x g xx=?
∫
。
例 7.4.1 计算由曲线 yx=
2
和 xy=
2
所围区域的面积。
解 曲线 yx=
2
和 xy=
2
的交点坐标为 (,)00 和 (,)11,而当 x ∈[,]01,xx≥
2
(图
7.4.3),
因此，所求的面积为
1
2
0
()dx xx?
∫
3
1
3
1
3
2
1
0
3
=
= xxx 。
夹在连续曲线 yfx= ()和 ygx= ()之间，
左右由直线 xa=,x b= 界定的那部分区域的面积(图7.4.2)为
| () ()| d
b
a
S f x g xx=?
∫
。
例 7.4.2 设 (,)xy是等轴双曲线 xy
22
1? = 上的任意一点，求由双曲线与连接点 (,)xy和原点的线段，连接点 (,)xy? 和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t (图7.4.4)。
解 不妨设 x > 0,
2=t
2
1
1d
2
x
xy
uu
∫
( )|1|ln1
22
+= xxxxxy
=?+ +xy xy x yln ( ) = +ln ( )xy。
由此得到 xy
t
+ = e,由于 xy
22
1? =,
两式相除便有 xy
t
=
e,于是解得
xt
yt
tt
tt
=
+
=
=
=
ee
ch
ee
sh
2
2
，
。
例 7.4.2 设 (,)xy是等轴双曲线 xy
22
1? = 上的任意一点，求由双曲线与连接点 (,)xy和原点的线段，连接点 (,)xy? 和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t (图7.4.4)。
注 我们知道三角函数又统称为圆函数，这是因为，若在单位圆上取点 (,)xy和 (,)xy?,类似地考虑由圆弧与连接点 (,)xy和原点的线段，连接点 (,)xy? 和原点的线段所围成的扇形(图 7.4.5)，设扇形的面积为 t,则有熟知的结论
xt
yt
=
=
cos
sin
，
。
两相比较，就不难明白，为什么要把
yxyx==sh ch,统称为双曲函数，并分别冠以双曲正弦和双曲余弦的名称。
若 ()yfx=,[,]x ab∈ 是用参数形式
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
表达的,)(tx 在 ],[
21
TT 上具有连续导数，且 0)( ≠
′
tx 。那么用换元法可以证明，由连续曲线 yfx= ()，直线 x a=,x b= 和 y = 0（即 x 轴）所围区域的面积为
2
1
|()()|d
T
T
Sytxtt
′
=
∫
。
例 7.4.3 求椭圆
x
a
y
b
2
2
2
2
1+=的面积。
解 利用对称性，只求第一象限的那一块面积(图
7.4.6)。将椭圆写成参数方程形式
xa t
yb t
=
=
cos,
sin,
则当 x从 0 变到 a时,t 从
π
2
变到 0，所以
π
2
0
sin (cos ) d
4
S
ab t t t
′
=
∫
π
2
2
0
sin dab t t=
∫
=
π
4
ab,
即
Sab= π 。
图7.4.6
y
b
xa
例 7.4.4 求旋轮线（摆线）
xat t
ya t
t
=?
=?
∈
(sin),
(cos),
[,]
1
02π 与 x轴所围区域的面积(图7.4.7)。
解
2π
22
0
(1 cos ) dSa t t=?
∫
2π
2
0
1cos2
12cos d
2
t
at
+
=?
∫
= 3
2
πa 。
0
x
y
a
图7.4.7
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(θrr = 是区间 ],[ βα 上的连续函数( 2πβ α? ≤ )，
求由两条极径 αθ =,βθ = 与 )(θrr = 围成的图形的面积 S 。
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(θrr = 是区间 ],[ βα 上的连续函数( 2πβ α? ≤ )，
求由两条极径 αθ =,βθ = 与 )(θrr = 围成的图形的面积 S 。
在 [,]α β 中取一系列的分点
i
θ,满足
βθθθθα =<<<<=
n
"
210
记
1?
=
iii
θθθΔ,在每个
1
[,]
ii
θ θ
上任取一点
i
ξ,用半径为 )(
i
r ξ,圆心角为
i
θΔ
的小扇形的面积
ii
r θΔξ )(
2
2
1
近似代替相应的小曲边扇形的面积(图 7.4.8)，
那么
∑
=
≈
n
i
ii
rS
1
2
)(
2
1
θΔξ,
因为 )(θrr = 在 ],[ βα 中连续，所以 )(
2
2
1
θr 在 ],[ βα 上可积。令小扇形的圆心角的最大值 0)(max
1
→=
≤≤
i
ni
θΔλ,即有
==
∑
=
→
n
i
ii
rS
1
2
0
)(lim
2
1
θΔξ
λ
2
1
()d
2
r
β
α
θ θ
∫
,
这就是极坐标下的面积公式。
例 7.4.5 求双曲螺线 raθ = 当 θ从
π
4
变到 2
4
π
π
+ 时极径 r 扫过的面积(图7.4.9)。
解 直接用极坐标下的求面积公式,
2
9π 4
2
π 4
1
d
2
a
S θ
θ
=
∫
9π 4
2
π 4
1
2
a
θ
=?
2
16
9π
a
= 。
例 7.4.5 求双曲螺线 raθ = 当 θ从
π
4
变到 2
4
π
π
+ 时极径 r 扫过的面积(图7.4.9)。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 sin 3ra θ=,
[0,π]θ∈ (图7.4.10)所围区域的面积。
解 由对称性，我们只求半叶“玫瑰”的面积，这时 θ的变化范围是
π
0,
6
。
π
6
2
2
0
6sin3d
2
a
S θ θ=?
∫
π
2
22
0
sin da=
∫
=
πa
2
4
。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 sin 3ra θ=,
[0,π]θ∈ (图7.4.10)所围区域的面积。
求曲线的弧长
首先来定义什么叫一段曲线的弧长。
设平面曲线的参数方程为
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
,
对区间 [,]TT
12
作如下划分,
Tt tt t T
n1012 2
=<< < < = ",
于是便得到这条曲线上顺次排列的
n +1个点 PP P
n01
,,, ",Pxtyt
iii
= ((),()，
用 PP
ii?1
表示连接点 PP
ii?1
和 的直线段的长度,那么相应的折线的长度可以表示为 PP
ii
i
n
=
∑
1
1
。
y
x
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
iP
i-1
P
n
P
n-1
…
…
图7.4.11
若当 λ = →
≤≤
max( )
1
0
in
i
tΔ 时，极限 lim
λ→
=
∑
0
1
1
PP
ii
i
n
存在，且极限值与区间 [ ]
21
,TT 的划分无关，则称这条曲线是 可求长 的，并将此极限值
lPP
ii
i
n
=
→
=
∑
lim
λ 0
1
1
称为该条曲线的弧长。
我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率 π，用的也正是这样的思想方法。
讨论,
ii
PP
1?
=? +?
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]xt xt yt yt
ii ii1
2
1
2
,
若 xt()和 yt()在 [,]TT
12
上连续，在 (,)TT
12
上可导，则由 Lagrange 中值定理，存在
i
η 和
i
σ 属于 (,)tt
it?1
，成立
xt xt
ii
() ( )? =
1 ii
tx Δη )(
′
,yt yt
ii
() ( )? =
1 ii
ty Δσ )(
′
,
于是
PP
ii
i
n
=
∑
1
1
∑
=
′
+
′
=
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δση 。
由于
i
η 和
i
σ 一般不会相同，上式还不是 Riemann 和
∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ,],[
1 tii
tt
∈ξ
的形式，但两者已相当接近了。这提示我们，很有可能弧长 l 正是这一 Riemann 和的极限值。
定义 7.4.1 若 ′xt()和 ′yt()在 [,]TT
12
上连续，且
0)]([)]([
22
≠
′
+
′
tytx,则由参数方程
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
确定的曲线称为 光滑曲线。
光滑曲线上的切线是连续变动的。
定理 7.4.1（弧长公式） 若由参数方程
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为
2
1
22
[ ( )] [ ( )] d
T
T
lxtytt
′′
=+
∫
。
证 对区间 [,]TT
12
作划分，有
∑
=
n
i
ii
PP
1
1 ∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ
∑
=
′
+
′
=
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δση
∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ
∑
=
′
+
′
≤
n
i
ii
yx
1
22
)]([)]([ ση
iii
tyx Δξξ
22
)]([)]([
′
+
′
。
定理 7.4.1（弧长公式） 若由参数方程
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为
由三角不等式
xx yy xy xy
1
2
2
2
1
2
2
2
11
2
22
2
+? + ≤? +?()( )≤? +?||| |xy xy
11 2 2
,
得到
∑
=
n
i
ii
PP
1
1 ∑
=
′
+
′
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([ Δξξ
i
n
i
ii
txx Δξη
∑
=
′
′
≤
1
|)()(|
i
n
i
ii
tyy Δξσ
∑
=
′
′
1
|)()(|
i
n
i
ii
n
i
i
tt ΔωΔω
∑∑
==
+≤
11
~
,
其中
i
ω 和
i
ω
~
分别是 ′xt()和 ′yt()在 [,]tt
it?1
中的振幅。
因为 ′xt()和 ′yt()在 [,]TT
12
上可积，由定积分存在的充分必要条件，
当 0)(max
1
→=
≤≤
i
ni
tΔλ,有
0
1
→
∑
=
i
n
i
i
tΔω,及 0
~
1
→
∑
=
i
n
i
i
tΔω,
于是
lPP
ii
i
n
=
→
=
∑
lim
λ 0
1
1
∑
=
→
′
+
′
=
n
i
iii
tyx
1
22
0
)]([)]([lim Δξξ
λ
2
1
22
[ ( )] [ ( )] d
T
T
xt yt t
′′
=+
∫
。
注
22
d [ ()] [ ()]dlxt ytt
′′
=+ 称为弧长的微分 。
当曲线采用直角坐标系下的显式方程 yfxxab= ∈(),[,]时，容易得到相应的弧长公式
2
1[ ()]d
b
a
lfxx
′
=+
∫
。
当曲线采用极坐标方程 )(θrr =,],[ βαθ ∈ 时，由于 θθ cos)(rx =,
θθ sin)(ry =,因此
θθθθθ sin)(cos)()( rrx?
′
=
′
,θθθθθ cos)(sin)()( rry +
′
=
′
,
所以
2222
)]([)]([)]([)]([ θθθθ rryx
′
+=
′
+
′,
于是
22
[ ( )] [ ( )] dlrr
β
α
θ θθ
′
=+
∫
。
例 7.4.7 求半径为 a的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程
22
()yfx a x= =±?,
2
0
41[()]d
a
lfxx
′
=+
∫
220
d
4
a
x
a
ax
=
∫
0
4arcsin 2π
a
x
aa
a
=? = 。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
xa t
ya t
=
=
cos,
sin,
[0,2π]t∈,
π
2
22
0
4cossindla t tt=+
∫
= 2πa 。
例 7.4.7 求半径为 a的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程
22
()yfx a x= =±?,
2
0
41[()]d
a
lfxx
′
=+
∫
220
d
4
a
x
a
ax
=
∫
0
4arcsin 2π
a
x
aa
a
=? = 。
解法三 采用极坐标方程 ra=,[0,2π]θ∈,这时 ′ =r 0，因此
2π
22
0
() ()dlrrθ θθ
′
=+
∫
2π
0
d2πaaθ==
∫
。
一般来说，采用不同的方程形式求曲线的弧长，难易 程度会有所不同。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
xa t
ya t
=
=
cos,
sin,
[0,2π]t∈,
π
2
22
0
4cossindla t tt=+
∫
= 2πa 。
例 7.4.7 求半径为 a的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程
22
()yfx a x= =±?,
2
0
41[()]d
a
lfxx
′
=+
∫
220
d
4
a
x
a
ax
=
∫
0
4arcsin 2π
a
x
aa
a
=? = 。
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长(见图7.4.7)。
解
2π
22
0
(1 cos ) sin dla t tt=?+
∫
2π
0
21cosdatt=?
∫
2π
0
2sind
2
t
at=
∫
= 8a 。
0
x
y
用同样的方法，可将定理7.4.1的结论推广到求空间曲线的弧长上去。
设 ′xt(),′yt(),′zt()在 ],[
21
TT 上连续，且 0)]([)]([)]([
222
≠
′
+
′
+
′
tztytx,
则由参数方程
xxt
yyt
zzt
tTT
=
=
=
∈
(),
(),
(),
[,]
12
确定的曲线的弧长为
2
1
222
[ ( )] [ ( )] [ ( )] d
T
T
lxtytztt
′′′
=++
∫
。
0
x
y
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长(见图7.4.7)。
解
2π
22
0
(1 cos ) sin dla t tt=?+
∫
2π
0
21cosdatt=?
∫
2π
0
2sind
2
t
at=
∫
= 8a 。
例 7.4.9 求圆锥螺线
xat t
yatt
zbt
=
=?
=
cos,
sin,
,
(图7.4.12)第一圈的长度。
解
2π
222 2
0
[cos sin ] [ sin cos ] dlatttatttbt=?++
∫
2π
22 2 2
0
dat a b t=++
∫
( )
2π
222 22
0
ln| |
2
a
tt s s t t s=++++ （记
b
a
s
2
2
2
1+= ）
222
22
2π 4π
π 4π ln
2
ss
as
s
++
=++
。
例 7.4.9 求圆锥螺线
xat t
yatt
zbt
=
=?
=
cos,
sin,
,
(图7.4.12)第一圈的长度。
当 b = 0时,圆锥螺线退化为平面上的 Archimedes 螺线(图7.4.13)
此时 s
2
1=,因此
22
2π 4π +1 ln (2π+4π +1 )
2
a
l
=+
,
这正是 Archimedes 螺线 raθ= 第一圈的长度（见习题3 ⑺）。
求某些特殊的几何体的体积
设三维空间中的一个几何体夹在平面
x a= 和 x b= 之间，若对于任意 ],[ bax∈,过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面的面积 Ax()是已知的，且 Ax()又是 [,]ab上的连续函数，则我们可以用定积分计算出它的体积(图7.4.14)。
对区间 [,]ab作划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
记小区间 [,]xx
ii?1
的长度为 Δxxx
iii
=?
1
,
在每个小区间上取一点
i
ξ,用底面积为 ()
i
A ξ,高为 Δx
i
的柱体体积近似代替夹在平面 xx
i
=
1
和 xx
i
= 之间的那块小几何体的体积，那么这些柱体体积之和
∑
=
Δ
n
i
ii
xA
1
)(ξ
就是整个几何体体积的近似。令
1
max( ) 0
i
in
xλ
≤≤
= Δ→时，得到
0
1
lim ( ) ( )d
n
b
ii
a
i
VAxAx
λ
ξ
→
=
=Δ=
∑
∫
,
这就是所要求的几何体的体积。
据《九章算术》记载，我国南北朝时的数学家祖暅(祖冲之之子)
在求出球的体积的同时，得到 了一个重要的结论（后人称之为,祖暅原理,）：,夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异．,用现在的话来讲，一个几何体(,立积” )是由一系列很薄的小片(,基,)叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(,幂势,)都相同，那它们的体积
(“积”)必然相等．这一结论与上述求体积公式的推导思想是相同的。
意大利数学家 Cavalieri 在 1635 年得到了同样的结论，但比祖暅迟了一千多年。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a，平面
1
P过其 底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2
P 成夹角 θ，求圆柱体被
1
P
与
2
P 所截得的那部分的体积。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a，平面
1
P过其 底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2
P 成夹角 θ，求圆柱体被
1
P
与
2
P 所截得的那部分的体积。
解 先建立坐标系。将平面
2
P 取成 xy 平面，并使得圆柱体底 面的圆心与原点重合，同时让
1
P 与圆柱
体底面圆周的交点落在 y轴上
(图7.4.15)。
对于任意 ],[ aay?∈,过 y 点且与 y
轴垂直的平面与该几何体的截面是
一个竖立的矩形，它的底为 2
22
ay?,
高为 θtan)( ay +,于是
A y()
22
2 a y=? θtan)(?+ ay,
因此，所求的体积为
( )
22 22
2tan d d
aa
V yayya ayyθ
=?+?
∫∫
。
( )
22 22
2tan d d
aa
V y a yyaayyθ
=?+?
∫∫
。
容易看出，括号内的第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为0，第二项中的积分恰为上半个圆的面积，即得到
3
π tanVaθ= 。
注意，若采用以与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面是一个直角梯形，处理就会麻烦很多。
公式 ()d
b
a
VAxx=
∫
的一个重要的应用是计算旋转体的体积。
设函数 )(xf 在 ],[ ba 上连续。对于由 |)(|0 xfy ≤≤ 与 a x b≤ ≤ 所界定的那块平面图形绕 x轴旋转一周得到的旋转体,若用过 x点且与 x轴垂直的平面去截，得到的截面显然是一 个半径为| fx()|的圆(图
7.4.16)。因此它的面积为
Ax()
2
π[()]f x=,
所以该旋转体的体积计算公式为
2
π [()]d
b
a
V f xx=
∫
。
设曲线的参数方程为
=
=
),(
),(
tyy
txx
],[
21
TTt ∈ 。
假设在 ],[
21
TT 上,)(tx
′
和 )(ty 连续，且 0)( ≠
′
tx 。对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
=V
2
1
2
π () ()d
T
T
y txt t
′
∫
。
极坐标下由 0()rrθ≤ ≤ （ [,] [0,π]θ αβ∈? ） 所表示的区域绕极轴旋转一周所得的旋转体的体积为
3
2
π ()sind
3
Vr
β
α
θ θθ=
∫
。
（见习题6（2））。
设曲线的参数方程为
=
=
),(
),(
tyy
txx
],[
21
TTt ∈ 。
假设在 ],[
21
TT 上,)(tx
′
和 )(ty 连续，且 0)( ≠
′
tx 。对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
=V
2
1
2
π () ()d
T
T
y txt t
′
∫
。
例 7.4.11 求半径为 a的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 yax=?
22
与 x 轴围成的半个圆绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22
π ()d
a
a
Vaxx
=?
∫
3
2
π
3
a
a
x
ax
=?
=
4
3
3
πa 。
例 7.4.12 求旋轮线一拱(见图 7.4.7) 与 x轴围成的图形绕 x
轴旋转一周所得的旋转体的体积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转体体积的公式,
2
1
2
π () ()d
T
T
Vytxtt
′
=
∫
2π
33
0
π (1 cos ) datt=?
∫
= 5
23
π a 。
例 7.4.11 求半径为 a的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 yax=?
22
与 x 轴围成的半个圆绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22
π ()d
a
a
Vaxx
=?
∫
3
2
π
3
a
a
x
ax
=?
=
4
3
3
πa 。
求旋转曲面的面积
设
],[
),(
),(
21
TTt
tyy
txx
∈
=
=
确定平面上一段光滑曲线，且在 ],[
21
TT 上 0)( ≥ty,现求它绕 x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。
对区间 ],[
21
TT 作划分,
22101
TttttT
n
=<<<<= ",
由此得到曲线上顺次排列的 n +1
个点 PP P
n01
,,, ",
Pxtyt
iii
= ((),()。
记 Δs
i
是连接 P
i?1
和 P
i
的直线段绕 x轴旋转一周得到的圆台侧面的面积，
则
Δs
i
=+?
π[( ) ()]yt yt P P
iiii11
。
若当 λ = →
≤≤
max( )
1
0
in
i
tΔ 时，极限
∑
=
→
Δ
n
i
i
s
1
0
lim
λ
=+?
→
=
∑
π
λ
lim [ ( ) ( )]
0
11
1
yt yt P P
iiii
i
n
存在，且极限值与区间 [ ]
21
,TT 的划分无关，则称极限值
∑
=
→
Δ=
n
i
i
sS
1
0
lim
λ
=+?
→
=
∑
π
λ
lim [ ( ) ( )]
0
11
1
yt yt P P
iiii
i
n
为该段曲线绕 x轴旋转一周所得到的 旋转曲面的面积。
这也不是 Riemann 和的极限，但与求曲线长度时的讨论一样，可以得到
2
1
22
2π ( ) [ ( )] [ ( )] d
T
T
S y txt y tt
′′
=+
∫
。
利用弧长的微分公式，也可以将上式写成
2
1
2π ()d
T
T
S y tl=
∫
。
例 7.4.13 求半径为 a的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 yax=?
22
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
2
2π ()1 [ ()]d
a
a
Sfxfxx
′
=+
∫
22
22
2π d
a
a
ax
ax
ax
=
∫
= 4
2
πa 。
例 7.4.14 求旋轮线一拱(见图 7.4.7)绕 x轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式
2π
222
0
2π (1 cos ) (1 cos ) sin dSa t t tt=+
∫
2π
2
0
22π (1 cos ) 1 cos datt=
∫
2π
23
0
16π sin d
22
tt
a
=
∫
=
64
3
2
πa 。
例 7.4.13 求半径为 a的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 yax=?
22
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
2
2π ()1 [ ()]d
a
a
Sfxfxx
′
=+
∫
22
22
2π d
a
a
ax
ax
ax
=
∫
= 4
2
πa 。
本节中的计算公式列表
直角坐标显式方程
yfxxab= ∈(),[,]
直角坐标参数方程
=
=
),(
),(
tyy
txx
],[
21
TTt∈
极坐标方程
()rrθ=,[,]θ αβ∈
平面图形面积
()d
b
a
f xx
∫
2
1
() ()d
T
T
yt x t t′
∫
2
1
2
()dr
β
α
θ θ
∫
弧长微分
2
d1[()]dlfxx′=+
22
d [ ()] [ ()]dlxt ytt′′=+
22
d()()dlr rθ θθ′=+
曲线
弧长
2
1[ ()]d
b
a
f xx′+
∫
2
1
22
[ ( )] [ ( )] d
T
T
x tytt′′+
∫
22
() ()drr
β
α
θ θθ′+
∫
旋转体体积
2
π [()]d
b
a
f xx
∫
2
1
2
π () ()d
T
T
ytxt t′
∫
3
2
3
π ()sindr
β
α
θ θθ
∫
旋转曲面
面积
2
2π () 1 [ ()]d
b
a
f xfxx′+
∫
2
1
22
2π () () ()d
T
T
y txtytt′′+
∫
22
2π ()sin () ()drrr
β
α
θ θθ θθ′+
∫
曲线的曲率
在许多实际问题中，常常需要考虑曲线的弯曲程度。
究竟如何来刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图 7.4.18 所示的两条光滑曲线 C和 C
′上的曲线段
p
AB 和
q
''A B,它们的弧长分别记为 sΔ 与
s
′
Δ 。当动点从 A点沿曲线段
p
AB 运动到 B 点时,A点的切线
A
τ 也随着转动到 B 点的切线
B
τ,记这两条切线之间的夹角为?Δ （它等于
B
τ 和 x
轴的交角与
A
τ 和 x轴的交角之差），同样地，记曲线段
q
''A B 的两个端点
A
′
,B
′
处的切线
A′
τ 和
B′
τ 的夹角为?′Δ 。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大 。也就是说，如果 ss Δ=
′
Δ,而 Δ>
′
Δ,那么可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大；反之，如果 Δ=′Δ,而
ss Δ<
′
Δ,那么同样可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大。
定义
s
K
Δ
Δ
=
为曲线段
p
AB 的 平均曲率，它刻画了曲线段
p
AB 的平均弯曲程度。定义
0
d
lim
d
s
K
ss
Δ→
Δ
==
Δ
为曲线 C在 A点的曲率 （如果该式中的极限存在的话） 。这里取绝对值是为了使曲率不为负数。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大 。也就是说，如果 ss Δ=
′
Δ,而 Δ>
′
Δ,那么可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大；反之，如果 Δ=′Δ,而
ss Δ<
′
Δ,那么同样可以认为
q
''A B 的弯曲程度比
p
AB 的弯曲程度大。
设曲线 C在 A点处的曲率 0≠K,若过 A点作一个半径为
K
1
的圆，
使它在 A点处与曲线 C有相同的切线，并在 A点附近与该曲线位于切线的同侧(图7.4.19),我们把这个圆称为曲线 C在 A点处的曲率圆或密切圆。 曲率圆的半径
K
R
1
= 和圆心
0
A 分别称为曲线 C在 A点处的曲率半径和 曲率中心。 由曲率圆的定义可以知道，曲线 C在点 A处与曲率圆既有相同的切线，又有相同的曲率和凸性。
图 7,4,19
例 7.4.15 求椭圆 tax cos=,tby sin= （ 0 πt≤ ≤2 ）上曲率最大和最小的点（ ab ≤<0 ） 。
解 由于
tax sin?=
′
,tax cos?=
′′
,tby cos=′,tby sin?=′′,
得到
()
()
22
332 32
22 2 222 2 2
22
2
|sin cos|
()sinsin cos
xy xy
ab t ab t ab
K
ab tbatbt
xy
′′′ ′′′
+
== =
++
′′
+
。
因此当 0>> ba 时，椭圆上在 0,πt = 对应的点，即长轴的两个端点，
曲率最大；在
π 3π
,
22
t = 对应的点，即短轴的两个端点，曲率最小。
当 Rba == 时（这时椭圆成为半径为 R 的圆）,RK /1=,即圆上各点处的曲率相同，其值为圆半径的倒数，而曲率半径正好是 R 。
设光滑曲线由参数方程
βα ≤≤
=
=
t
tyy
txx
),(
),(
确定，且 )(),( tytx 有二阶导数。对于每个 ],[ βα∈t,曲线在对应点的切线斜率为
d()
tan
d()
yyt
xxt
′
==
′
,
其中?是该切线与 x轴的夹角，由
)(
)(
arctan
tx
ty
′
′
=?,即可得到
22
d()()()()x ty t x tyt
txtyt
′ ′′ ′′ ′
=
′′
+
。
另外，由弧长的微分公式知
22
d
() ()
d
s
x t y t
t
′ ′
=+。
于是
()
3
22
2
d
() () () ()
d d
d
d
() ()
d
x t y txty t
t
K
s
s
xt yt
t
′ ′′ ′′ ′
===
′′
+
。
这就是曲率的计算公式。
特别地，如果曲线由 )(xyy = 表示，且 )(xy 有二阶导数，那么相应的计算公式为
2
3
2
)1( y
y
K
′
+
′′
= 。
容易知道，直线上曲率处处为零。
另外，由弧长的微分公式知
22
d
() ()
d
s
x t y t
t
′ ′
=+。
于是
()
3
22
2
d
() () () ()
d d
d
d
() ()
d
x t y txty t
t
K
s
s
xt yt
t
′ ′′ ′′ ′
===
′′
+
。
这就是曲率的计算公式。
例 7.4.16 求悬链线
ee
2
x x
aa
a
y
=+
的曲率（ 0>a ） 。
解 =′y
1
ee
2
x x
aa
,=′′y
2
1
ee
2
xx
aa
y
+=
。
由于 0>y 及
2
2
1
11ee
4
xx
aa
y
y
a
′
+ =+? =
,
所以
3
2
2
3
2
)1(
=
′
+
′′
=
a
y
a
y
y
y
K
2
y
a
=
2
4
ee
xx
aa
a
=
+
。
