反常积分
前面讨论 Riemann 积分时，假定了积分区间 [,]ab有限且被积函数 fx()在 [,]ab上有界，但在实际应用中经常会 碰到不满足这两个条件，却需要求积分的情况。所以，有必要突破 Riemann 积分的限制条件，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称为 反常积分（ 或 广义积分）,而以前学过的 Riemann 积分相应地称为 正常积分(或 常义积分 )。
第八章 反常积分
§1 反常积分的概念和计算先来看一个实际例子。
例 8.1.1 由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低初速度即第二宇宙速度。
解 设从地面垂直向上发射的质量为 m的物体飞出地球引力范围所需的最低初速度为 v
0
。 若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引力所做的功为 W,则由功能原理,v
0
须满足
1
2
0
2
mv W≥ 。
因此，要求出第二宇宙速度，必须先求出物体从地球表面飞到无穷远处克服地球引力所做的功。
以地球质心为原点建立一维坐标，记地球半径为 R,设物体在 r 处所受到的地球引力为 Fr()( )rR≥,则由功的定义和微元法，有
d()dWFrr=?,
W 就是函数? Fr()在无穷区间 [,)a +∞ 上的积分值。我们将它形式地写成
()d
R
WFrr
+∞
=?
∫
。
r
x
R
图8.1.1
为了求这个积分，先考虑物体从地面
（ rR= ） 飞到 r x= ()xR> 处克服地球引力所做的功 )(xW （图 8.1.1）,
Wx() ()d
x
R
F rr=?
∫
。
记 M 为地球的质量，由万有引力定律，有
Fr()=?G
Mm
r
2
（ G 为万有引力常数）,
而在地球表面，地球的引力即为重力，记 g 是重力加速度，有
FR()=?G
Mm
R
2
=?mg,
解得 G
Rg
M
=
2
，从而
Wx()
2
2
1
d
x
R
Rmg r
r
=
∫
x
R
r
gmR
=
1
2
=
x
R
gRm 1 。
r
x
R
图8.1.1
Wx()
2
2
1
d
x
R
Rmg r
r
=
∫
x
R
r
gmR
=
1
2
=
x
R
gRm 1 。
显然,)(lim xWW
x +∞→
=,因此
W = ()d
R
F rr
+∞
∫
+∞→
=
x
lim
( )
()d
x
R
F rr?
∫
+∞→
=
x
lim
x
R
gRm 1 gRm= 。
将 RmgW = 以及
2
9.8m/sg =,地球半径 R ≈ 6371 km代入关于 v
0
的不等式，
得到
v
W
m
0
2
≥ = 2Rg =
3
108.963712
××× 11.2 (km/s)≈ 。
这就是第二宇宙速度。
无穷区间上的积分有三种形式,()d
a
f xx
+∞
∫
,()d
a
f xx
∞
∫
和 ()df xx
+∞
∞
∫
，
由于形式上有
()d
a
fx x
∞
∫
tx?=
= ()d
a
ftt
+∞
∫
()d
a
ftt
+∞
=?
∫
及
()df xx
+∞
∞
∫
()d
a
f xx
+∞
= +
∫
()d
a
f xx
∞
∫
,
因此下面的讨论仅就 ()d
a
f xx
+∞
∫
形式来展开。
注意：只有当 ()d
a
f xx
+∞
∫
和 ()d
a
f xx
∞
∫
都收敛时，才认为 ()df xx
+∞
∞
∫
是收敛的。
定义 8.1.1 设函数 fx()在 [,)a +∞ 有定义,且在任意有限区间
[,]aA?+∞[,)a 上可积，若极限
+∞→A
lim ()d
A
a
f xx
∫
存在，则称反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛（ 或称 )(xf 在 ),[ +∞a 上 可积）,其积分值为
()d
a
f xx
+∞
∫
+∞→
=
A
lim ()d
A
a
f xx
∫；
否则称反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
对反常积分 ()d
a
f xx
∞
∫
与 ()df xx
+∞
∞
∫
可类似地给出敛散性定义。
设 fx()在 [,)a +∞ 连续,Fx()是它在 [,)a +∞ 上的一个原函数，由
Newton-Leibniz 公式,
()d
a
f xx
+∞
∫
+∞→
=
A
lim ()d
A
a
f xx
∫
+∞→
=
A
lim
A
a
xF )(
+∞→
=
A
lim )]()([ aFAF?,
因此反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
的敛散性等价于函数极限 )(lim AF
A +∞→
的敛散性。当函数
fx()≥ 0时，反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛表示由曲线 )(xfy =,直线 xa= 和 x 轴所界定区域的面积（图 8.1.2）是个有限值。
例 8.1.2 讨论
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
的敛散性（ R∈p ）。
解 当 p ≠ 1时,
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
A
p
A
p
x
1
1
1
lim
=
+?
+∞→
p
A
p
A
=
+∞→
1
1
lim
1
<∞+
>
=
.1,
,1,
1
1
p
p
p
当 p = 1时,
1
1
dx
x
+∞
∫
A
A
x
1
lnlim
+∞→
= A
A
lnlim
+∞→
= = +∞。
因此，当 p > 1时，反常积分
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
收敛于
1
1p?；当 p ≤ 1时，反常积分
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
发散。
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达形式，将反常积分形式地写成
()d
a
f xx
+∞
∫
∞+
=
a
xF )(,
其中 )(+∞F 理解为极限值 )(lim xF
x +∞→
。
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达形式，将反常积分形式地写成
()d
a
f xx
+∞
∫
∞+
=
a
xF )(,
其中 )(+∞F 理解为极限值 )(lim xF
x +∞→
。
例 8.1.3 讨论
0
ed
ax
x
+∞
∫
的敛散性（ R∈a ）。
解 当 a ≠ 0时,
0
ed
ax
x
+∞
∫
∞+
=
0
e
a
ax
<∞+
>
=
.0,
,0,
1
a
a
a
当 a = 0时上述积分显然发散至 +∞。
因此，当 a > 0时，
0
ed
ax
x
+∞
∫
收敛于
1
a；当 a ≤ 0时，
0
ed
ax
x
+∞
∫
发散。
例 8.1.4 计算
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
,
解
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
0
22
0
11
ddx x
xx
+∞
∞
=+
++
∫∫
∞+
=
0
tanarc x
0
tanarc
∞?
+ x = π。
如果函数 )(xf 在点
0
x 的任何一个去心邻域上是无界的,则称
0
x 为
)(xf 的 奇点 。由积分的区间可加性，我们假定 fx()在 [,]ab上只有一 个奇点 bx = 。
例 8.1.4 计算
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
,
解
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
0
22
0
11
ddx x
xx
+∞
∞
=+
++
∫∫
∞+
=
0
tanarc x
0
tanarc
∞?
+ x = π。
定义 8.1.2 设函数 fx()在 x b= 的左邻域无界，若对于任意
),0( ab?∈η,fx()在区间 ],[ η?ba 上有界可积，且极限
0
lim
η→+
()d
b
a
f xx
η?
∫
存在，则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
收敛 （ 或称无界函数 )(xf 在 ],[ ba 上 可积），
其积分值为
()d
b
a
f xx
∫
+→
=
0
lim
η
()d
b
a
f xx
η?
∫；
否则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
x a= 为奇点和 xc ab= ∈ (,)为奇点的情况可以类似定义。注意当
x c= 为奇点时,只有当 ()d
c
a
f xx
∫
和 都收敛时，才认为 ()d
b
a
f xx
∫
是收 敛的，且规定
()d
b
a
f xx
∫
= ()d
c
a
f xx
∫
+ ()d
b
c
f xx
∫
。
定义 8.1.2 设函数 fx()在 x b= 的左邻域无界，若对于任意
),0( ab?∈η,fx()在区间 ],[ η?ba 上有界可积，且极限
0
lim
η→+
()d
b
a
f xx
η?
∫
存在，则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
收敛 （ 或称无界函数 )(xf 在 ],[ ba 上 可积），
其积分值为
()d
b
a
f xx
∫
+→
=
0
lim
η
()d
b
a
f xx
η?
∫；
否则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
例 8.1.5 讨论
1
0
1
d
p
x
x
∫
的敛散性（ R∈p ）。
解 当 p ≠ 1时,
1
0
1
d
p
x
x
∫
1
1
0
1
lim
η
η
p
x
p
=
+?
+→
p
p
=
+→
1
1
lim
1
0
η
η
<
>∞+
=
.1,
,1,
1
1
p
p
p
当 p = 1时,
1
0
1
d
p
x
x
∫
1
0
lnlim
η
η
x
+→
=
0
lim ln
η
η
→+
=? = +∞。
因此，当 p < 1时，反常积分收敛于
1
1? p；当 p ≥ 1时，反常积分
1
0
1
d
p
x
x
∫
发散。
例 8.1.2 和例 8.1.5 中的积分一般称为 p?积分,对于判别其他反常积分的敛散性具有十分重要的作用。
同样可以将无界函数的反常积分形式地写成
()d
b
a
f xx
∫
b
a
xF )(=,
其中等式右端应理解为
=
b
a
xF )( )()()()(lim aFbFaFxF
bx
=?
→
。
例 8.1.6 讨论反常积分
1
1
2
1
e
d
x
x
x
∫
的敛散性。
解 x = 0是被积函数的唯一奇点，但这一点在积分区间的内部，
因而我们将积分分解
1
1
2
1
e
d
x
x
x
∫
11
01
22
10
ee
dd
xx
xx
=+
∫∫
,
经计算
1
1
0
0
2
1
1
e1
d(e)
e
x
x
x
x
=?=
∫
,
1
1
1
1
2
0
0
e
d(e)
x
x
x
x
=?=+∞
∫
,
所以
1
1
2
1
e
d
x
x
x
∫
发散。
无穷区间的反常积分与无界函数的反常积分是可以互相转换的。
例如当 0>a 时
()d
a
f xx
+∞
∫
（作代换 x
t
=
1
）
1
0
2
11
d
a
ft
tt
=?
∫
（令
=
t
f
t
tg
11
)(
2
）
1
0
()d
a
gt t=
∫
,
这就化成了无界函数的反常积分。请读者自行写出反过来的情况。
因此，后面的讨论经常只对一类反常积分进行。
最后我们以无穷区间的反常积分为例，指出反常积分的一个重要特性。
设 fx()在 [,)a +∞ 有定义，例 8.1.2 告诉我们,0)(lim =
+∞→
xf
x
并不能保证 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛。
反过来,若 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛,同样不能保证 0)(lim =
+∞→
xf
x
,或者保证 fx()
在 [,)a +∞ 有界。
例 8.1.7 设 fx()在 [,)1+∞ 按如下方式定义,
.,2,1
,1,
)1(
1
,0
,
)1(
1
,,1
)(
2
2
null=
+
+
+∈
+
+∈+
= n
n
nn
nx
nn
nnxn
xf
那么对于任意 1>A,总可以取自然数 n,使得 Ann∈ +[,)1 。 由于 fx()≥ 0，
1
11
()d ()d ()d
nAn
f xx fxx fxx
+
≤≤
∫∫∫
。
当 n →∞时,
1
lim ( )d
n
n
f xx
→∞
∫
23
12 1
lim ( )d ( )d ( )d
n
nn
f xx fxx fxx
→∞
=++
∫∫ ∫
…
++
+
+
=
∞→
nn
n
)1(
1
43
1
32
1
21
1
lim…
++
+
+
=
∞→
nn
n
1
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1limnull
1
lim 1 1
n
n
→∞
=?=
。
同理也有
1
1
lim ( )d 1
n
n
f xx
+
→∞
=
∫
。
由极限的夹逼性
1
()df xx
+∞
∫
1
lim ( )d 1
A
A
f xx
→+∞
= =
∫
,
但 fx()显然是无界的。
反常积分计算
例 8.1.8 计算
0
ed
xn
n
Ixx
+∞
=
∫
（ n是非负整数）。
解 由例 8.1.3，
0
0
ed 1
x
I x
+∞
= =
∫
。
当 n ≥ 1时，利用分部积分
0
ed
xn
n
Ixx
+∞
=
∫
1
0 0
(e ) e d
xn xn
xx
+∞+∞
=? +
∫
1
1
0
ed
xn
n
nxxI
+∞
==
∫
,
因此，当 1≥n 时,
!nI
n
= 。
例 8.1.9 计算
1
0
ln dxx
∫
。
解 应用分部积分法，注意 0lnlim
0
=
+→
xx
x
,
111
1
0
00
ln d ( ln ) d d 1xx x x x x=?=?=?
∫∫∫
。
注意：本例也可以用换元积分法来解。令 ln x t=?,则 ln d e d
t
xx t t
=,
由例 8.1.8,
1
0
ln dx x
∫
0
ed
t
tt
+∞
=
∫
=?I
1
=?1。
在例 6.2.18，已求出了不定积分
22
d
()
n
x
xa+
∫
，现在求
n
ax )(
1
22
+
在
[,)0 +∞ 上的反常积分。
例 8.1.10 计算
n
I =
22
0
d
()
n
x
x a
+∞
+
∫
。
解 与例 6.2.18 类似，对于 n ≥ 2,利用分部积分，有
n
I =
22
0
1
d
()
n
x
xa
+∞
+
∫
222
222
0
1
d
()
n
xax
x
axa
+∞
+?
=
+
∫
1
2
n
I
a
=
2
222
0
1
d
()
n
x
x
axa
+∞
+
+
∫
1
22
1
2( 1)
n
I
aan
=+
221
0
1
d
()
n
x
xa
+∞
+
∫
11
22 2 221
0
1
2( 1)2( 1)( )
nn
n
II x
aan anxa
+∞
=? +
+
1
2
12 3
22
n
n
I
an
=；
注意到
1
I =
22
0
dx
x a
+∞
+
∫
0
1 π
arctan
2
x
aaa
+∞
==,
即得到
n
I =
1
2
12 3
22
n
n
I
an
=
22
321
2
n
n
a
2
2
12 5
24
n
n
I
an
==null
1
22
1(23)!
(2 2)!!
n
n
I
an
=?
π
2
23
22
21
a
n
n
n
()!
()!
。
例 8.1.11 计算
2
0
ln sin dI xx
π
=
∫
。
解 作变量代换 x t= 2,则
I =
π
2
0
ln sin dxx
∫
4
0
2lnsin2dtt
π
=
∫
π
4
0
2ln(2sincos)dttt=
∫
ππ
44
00
π
ln 2 2 ln sin d 2 ln cos d
2
tt tt=+ +
∫∫
。
对后一积分作代换 tu=?
π
2
，则
I =
ππ
44
π
2
0
π
ln 2 2 ln sin d 2 ln sin d
2
tt tt+?
∫∫
=+
π
2
22ln I,
于是求得
I =?
π
2
2ln 。
例 8.1.12 求
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
++
∫
（ R∈α ）。
解
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
=
++
∫ 2
1
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
+
++
∫
,
在上式右端的第二个积分中令
t
x
1
=,得到
0
22
11
dd
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xt
xx tt
α
α α
+∞
=
++ ++
∫∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
xx
xx
α
α
=
++
∫
,
于是
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
=
++
∫ 2
1
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
+
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
=
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
xx
xx
α
α
+
++
∫
1
1
2
0
0
d π
arctan
14
x
x
x
== =
+
∫
。
考察反常积分 sin dxx
+∞
∞
∫
。由定义
sin dxx
+∞
∞
∫
AA
AA
′
+?=
∞→′+∞→
coslimcoslim,
由于这里 +∞→A 与?∞→′A 是独立的,因此极限不存在，所以反常积分
sin dxx
+∞
∞
∫
发散。
如果要求 A → +∞与 ′ →?∞A,同步”进行，即 ′ =?A A，则有
sin dxx
+∞
∞
∫
0)]cos([coslim ==
+∞→
AA
A
,
即 sin dxx
+∞
∞
∫
在这么一种意义下是“收敛”的。
定义 8.1.3 若
lim ( )d
A
AA
f xx
→+∞
∫
=
→+∞
lim [ ( ) ( )]
A
FA F A
收敛，则称该极限值为反常积分 ()df xx
+∞
∞
∫
的 Cauchy 主值,记为
(cpv) ( )df xx
+∞
∞
∫
。
当 ()df xx
+∞
∞
∫
收敛时，显然有
(cpv) ( )df xx
+∞
∞
=
∫
()df xx
+∞
∞
∫；
而当 ()df xx
+∞
∞
∫
发散时，它的 Cauchy 主值也有可能存在，因此 Cauchy
主值推广了反常积分的收敛概念。
无界函数的反常积分也有相应的 Cauchy 主值概念。
例 8.1.13 计算
1
1
1
dx
x
∫
和
1
1
1
(cpv) dx
x
∫
。
解 x = 0是它的唯一奇点，将它分解为两部分,
1
1
1
dx
x
∫
01
10
11
ddx x
x x
=+
∫∫
1
100
11
lim d lim dx x
x x
η
ηηη
′
′?→? →+
=+
∫ ∫
ηη
ηη
lnlim)ln(lim
00 +→?→′
′
=,
由 0η →+和 0η
′
→?的独立性，易知
1
1
1
dx
x
∫
是发散的。
但若取 η η
′
=?,则有
1
1
1
(cpv) dx
x
∫
0
lim[ln ln ] 0
η
η η
→+
=?=。
以后我们会学到,Cauchy 主值在某些领域中有独到的作用。
对于一些已确认为收敛的反常积分（有些根据问题的实际背景可以断定其收敛），如果其原函数不能用初等函数来表示，那么就得借助于数值方法来求积分值。
求反常积分值的计算格式首推 Gauss 型求积公式。原因在于，任何形式的 Gauss 型求积公式都只需用到积分区间的内点，这是它最突出的优点（ Newton-Cotes 公式的数值方法必须用到端点）。也就是说，
对于奇点在端点的无界函数的反常积分，如
1
1
11
ln d
12
t
t
t
+
∫
（这是由
1
0
ln(1 )
d
x
x
x
∫
通过变换 x
t
=
+1
2
得到的，其值为?
π
2
6
），我们可以视其为常义积分而直接套用 Gauss-Legendre 公式，而无须对 t = ±1加以特殊的“关照”—它们在计算过程中是不会被用到的。 Gauss 型公式的这个性质为编制和调用统一的计算程序带来了极大的方便。
Gauss 型结点 {}
*
x
ii
n
=0
和系数 a
i
n()
可在数学工具书中查到,将它们代入
1
1
()df xx
∫
≈
=
∑
afx
i
n
i
n
i
()
*
()
0
,
就可以算出积分的近似值了。
下表是用不同的 n 计算
1
1
11
ln d
12
t
t
t
+
∫
的近似值。
n 5 8 12 20 48
计算值 -1.6242… - 1.6362… - 1.6408… - 1.6434… - 1.6446…
相对
误差
12 10
2
,×
52 10
3
,×
25 10
3
,×
91 10
4
,×
16 10
4
,×
无穷区间的反常积分的处理方法大致有三种,
⑴ 取一个足够大的数 A，用 ()d
A
a
f xx
∫
作为 ()d
a
f xx
+∞
∫
的近似值。这时，问题已化成了常义积分，§7.6 中的计算实习题 4 和 5 就相当于做了这样的处理。
⑵ 将 ()d
a
f xx
+∞
∫
通过变换 x
t
=
1
化成无界函数在有限区间上的反常积分，再用上述针对无界函数的方法。
⑶ 直接使用 [,)0 +∞ 或 (,)?∞+∞ 上的 Gauss 型求积公式。 这部分内容已超出本书的范围，有兴趣的读者可参阅有关数值逼近方面的书籍。
前面讨论 Riemann 积分时，假定了积分区间 [,]ab有限且被积函数 fx()在 [,]ab上有界，但在实际应用中经常会 碰到不满足这两个条件，却需要求积分的情况。所以，有必要突破 Riemann 积分的限制条件，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称为 反常积分（ 或 广义积分）,而以前学过的 Riemann 积分相应地称为 正常积分(或 常义积分 )。
第八章 反常积分
§1 反常积分的概念和计算先来看一个实际例子。
例 8.1.1 由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低初速度即第二宇宙速度。
解 设从地面垂直向上发射的质量为 m的物体飞出地球引力范围所需的最低初速度为 v
0
。 若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引力所做的功为 W,则由功能原理,v
0
须满足
1
2
0
2
mv W≥ 。
因此，要求出第二宇宙速度，必须先求出物体从地球表面飞到无穷远处克服地球引力所做的功。
以地球质心为原点建立一维坐标，记地球半径为 R,设物体在 r 处所受到的地球引力为 Fr()( )rR≥,则由功的定义和微元法，有
d()dWFrr=?,
W 就是函数? Fr()在无穷区间 [,)a +∞ 上的积分值。我们将它形式地写成
()d
R
WFrr
+∞
=?
∫
。
r
x
R
图8.1.1
为了求这个积分，先考虑物体从地面
（ rR= ） 飞到 r x= ()xR> 处克服地球引力所做的功 )(xW （图 8.1.1）,
Wx() ()d
x
R
F rr=?
∫
。
记 M 为地球的质量，由万有引力定律，有
Fr()=?G
Mm
r
2
（ G 为万有引力常数）,
而在地球表面，地球的引力即为重力，记 g 是重力加速度，有
FR()=?G
Mm
R
2
=?mg,
解得 G
Rg
M
=
2
，从而
Wx()
2
2
1
d
x
R
Rmg r
r
=
∫
x
R
r
gmR
=
1
2
=
x
R
gRm 1 。
r
x
R
图8.1.1
Wx()
2
2
1
d
x
R
Rmg r
r
=
∫
x
R
r
gmR
=
1
2
=
x
R
gRm 1 。
显然,)(lim xWW
x +∞→
=,因此
W = ()d
R
F rr
+∞
∫
+∞→
=
x
lim
( )
()d
x
R
F rr?
∫
+∞→
=
x
lim
x
R
gRm 1 gRm= 。
将 RmgW = 以及
2
9.8m/sg =,地球半径 R ≈ 6371 km代入关于 v
0
的不等式，
得到
v
W
m
0
2
≥ = 2Rg =
3
108.963712
××× 11.2 (km/s)≈ 。
这就是第二宇宙速度。
无穷区间上的积分有三种形式,()d
a
f xx
+∞
∫
,()d
a
f xx
∞
∫
和 ()df xx
+∞
∞
∫
，
由于形式上有
()d
a
fx x
∞
∫
tx?=
= ()d
a
ftt
+∞
∫
()d
a
ftt
+∞
=?
∫
及
()df xx
+∞
∞
∫
()d
a
f xx
+∞
= +
∫
()d
a
f xx
∞
∫
,
因此下面的讨论仅就 ()d
a
f xx
+∞
∫
形式来展开。
注意：只有当 ()d
a
f xx
+∞
∫
和 ()d
a
f xx
∞
∫
都收敛时，才认为 ()df xx
+∞
∞
∫
是收敛的。
定义 8.1.1 设函数 fx()在 [,)a +∞ 有定义,且在任意有限区间
[,]aA?+∞[,)a 上可积，若极限
+∞→A
lim ()d
A
a
f xx
∫
存在，则称反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛（ 或称 )(xf 在 ),[ +∞a 上 可积）,其积分值为
()d
a
f xx
+∞
∫
+∞→
=
A
lim ()d
A
a
f xx
∫；
否则称反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
对反常积分 ()d
a
f xx
∞
∫
与 ()df xx
+∞
∞
∫
可类似地给出敛散性定义。
设 fx()在 [,)a +∞ 连续,Fx()是它在 [,)a +∞ 上的一个原函数，由
Newton-Leibniz 公式,
()d
a
f xx
+∞
∫
+∞→
=
A
lim ()d
A
a
f xx
∫
+∞→
=
A
lim
A
a
xF )(
+∞→
=
A
lim )]()([ aFAF?,
因此反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
的敛散性等价于函数极限 )(lim AF
A +∞→
的敛散性。当函数
fx()≥ 0时，反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛表示由曲线 )(xfy =,直线 xa= 和 x 轴所界定区域的面积（图 8.1.2）是个有限值。
例 8.1.2 讨论
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
的敛散性（ R∈p ）。
解 当 p ≠ 1时,
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
A
p
A
p
x
1
1
1
lim
=
+?
+∞→
p
A
p
A
=
+∞→
1
1
lim
1
<∞+
>
=
.1,
,1,
1
1
p
p
p
当 p = 1时,
1
1
dx
x
+∞
∫
A
A
x
1
lnlim
+∞→
= A
A
lnlim
+∞→
= = +∞。
因此，当 p > 1时，反常积分
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
收敛于
1
1p?；当 p ≤ 1时，反常积分
1
1
d
p
x
x
+∞
∫
发散。
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达形式，将反常积分形式地写成
()d
a
f xx
+∞
∫
∞+
=
a
xF )(,
其中 )(+∞F 理解为极限值 )(lim xF
x +∞→
。
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达形式，将反常积分形式地写成
()d
a
f xx
+∞
∫
∞+
=
a
xF )(,
其中 )(+∞F 理解为极限值 )(lim xF
x +∞→
。
例 8.1.3 讨论
0
ed
ax
x
+∞
∫
的敛散性（ R∈a ）。
解 当 a ≠ 0时,
0
ed
ax
x
+∞
∫
∞+
=
0
e
a
ax
<∞+
>
=
.0,
,0,
1
a
a
a
当 a = 0时上述积分显然发散至 +∞。
因此，当 a > 0时，
0
ed
ax
x
+∞
∫
收敛于
1
a；当 a ≤ 0时，
0
ed
ax
x
+∞
∫
发散。
例 8.1.4 计算
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
,
解
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
0
22
0
11
ddx x
xx
+∞
∞
=+
++
∫∫
∞+
=
0
tanarc x
0
tanarc
∞?
+ x = π。
如果函数 )(xf 在点
0
x 的任何一个去心邻域上是无界的,则称
0
x 为
)(xf 的 奇点 。由积分的区间可加性，我们假定 fx()在 [,]ab上只有一 个奇点 bx = 。
例 8.1.4 计算
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
,
解
2
1
d
1
x
x
+∞
∞
+
∫
0
22
0
11
ddx x
xx
+∞
∞
=+
++
∫∫
∞+
=
0
tanarc x
0
tanarc
∞?
+ x = π。
定义 8.1.2 设函数 fx()在 x b= 的左邻域无界，若对于任意
),0( ab?∈η,fx()在区间 ],[ η?ba 上有界可积，且极限
0
lim
η→+
()d
b
a
f xx
η?
∫
存在，则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
收敛 （ 或称无界函数 )(xf 在 ],[ ba 上 可积），
其积分值为
()d
b
a
f xx
∫
+→
=
0
lim
η
()d
b
a
f xx
η?
∫；
否则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
x a= 为奇点和 xc ab= ∈ (,)为奇点的情况可以类似定义。注意当
x c= 为奇点时,只有当 ()d
c
a
f xx
∫
和 都收敛时，才认为 ()d
b
a
f xx
∫
是收 敛的，且规定
()d
b
a
f xx
∫
= ()d
c
a
f xx
∫
+ ()d
b
c
f xx
∫
。
定义 8.1.2 设函数 fx()在 x b= 的左邻域无界，若对于任意
),0( ab?∈η,fx()在区间 ],[ η?ba 上有界可积，且极限
0
lim
η→+
()d
b
a
f xx
η?
∫
存在，则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
收敛 （ 或称无界函数 )(xf 在 ],[ ba 上 可积），
其积分值为
()d
b
a
f xx
∫
+→
=
0
lim
η
()d
b
a
f xx
η?
∫；
否则称反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
例 8.1.5 讨论
1
0
1
d
p
x
x
∫
的敛散性（ R∈p ）。
解 当 p ≠ 1时,
1
0
1
d
p
x
x
∫
1
1
0
1
lim
η
η
p
x
p
=
+?
+→
p
p
=
+→
1
1
lim
1
0
η
η
<
>∞+
=
.1,
,1,
1
1
p
p
p
当 p = 1时,
1
0
1
d
p
x
x
∫
1
0
lnlim
η
η
x
+→
=
0
lim ln
η
η
→+
=? = +∞。
因此，当 p < 1时，反常积分收敛于
1
1? p；当 p ≥ 1时，反常积分
1
0
1
d
p
x
x
∫
发散。
例 8.1.2 和例 8.1.5 中的积分一般称为 p?积分,对于判别其他反常积分的敛散性具有十分重要的作用。
同样可以将无界函数的反常积分形式地写成
()d
b
a
f xx
∫
b
a
xF )(=,
其中等式右端应理解为
=
b
a
xF )( )()()()(lim aFbFaFxF
bx
=?
→
。
例 8.1.6 讨论反常积分
1
1
2
1
e
d
x
x
x
∫
的敛散性。
解 x = 0是被积函数的唯一奇点，但这一点在积分区间的内部，
因而我们将积分分解
1
1
2
1
e
d
x
x
x
∫
11
01
22
10
ee
dd
xx
xx
=+
∫∫
,
经计算
1
1
0
0
2
1
1
e1
d(e)
e
x
x
x
x
=?=
∫
,
1
1
1
1
2
0
0
e
d(e)
x
x
x
x
=?=+∞
∫
,
所以
1
1
2
1
e
d
x
x
x
∫
发散。
无穷区间的反常积分与无界函数的反常积分是可以互相转换的。
例如当 0>a 时
()d
a
f xx
+∞
∫
（作代换 x
t
=
1
）
1
0
2
11
d
a
ft
tt
=?
∫
（令
=
t
f
t
tg
11
)(
2
）
1
0
()d
a
gt t=
∫
,
这就化成了无界函数的反常积分。请读者自行写出反过来的情况。
因此，后面的讨论经常只对一类反常积分进行。
最后我们以无穷区间的反常积分为例，指出反常积分的一个重要特性。
设 fx()在 [,)a +∞ 有定义，例 8.1.2 告诉我们,0)(lim =
+∞→
xf
x
并不能保证 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛。
反过来,若 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛,同样不能保证 0)(lim =
+∞→
xf
x
,或者保证 fx()
在 [,)a +∞ 有界。
例 8.1.7 设 fx()在 [,)1+∞ 按如下方式定义,
.,2,1
,1,
)1(
1
,0
,
)1(
1
,,1
)(
2
2
null=
+
+
+∈
+
+∈+
= n
n
nn
nx
nn
nnxn
xf
那么对于任意 1>A,总可以取自然数 n,使得 Ann∈ +[,)1 。 由于 fx()≥ 0，
1
11
()d ()d ()d
nAn
f xx fxx fxx
+
≤≤
∫∫∫
。
当 n →∞时,
1
lim ( )d
n
n
f xx
→∞
∫
23
12 1
lim ( )d ( )d ( )d
n
nn
f xx fxx fxx
→∞
=++
∫∫ ∫
…
++
+
+
=
∞→
nn
n
)1(
1
43
1
32
1
21
1
lim…
++
+
+
=
∞→
nn
n
1
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1limnull
1
lim 1 1
n
n
→∞
=?=
。
同理也有
1
1
lim ( )d 1
n
n
f xx
+
→∞
=
∫
。
由极限的夹逼性
1
()df xx
+∞
∫
1
lim ( )d 1
A
A
f xx
→+∞
= =
∫
,
但 fx()显然是无界的。
反常积分计算
例 8.1.8 计算
0
ed
xn
n
Ixx
+∞
=
∫
（ n是非负整数）。
解 由例 8.1.3，
0
0
ed 1
x
I x
+∞
= =
∫
。
当 n ≥ 1时，利用分部积分
0
ed
xn
n
Ixx
+∞
=
∫
1
0 0
(e ) e d
xn xn
xx
+∞+∞
=? +
∫
1
1
0
ed
xn
n
nxxI
+∞
==
∫
,
因此，当 1≥n 时,
!nI
n
= 。
例 8.1.9 计算
1
0
ln dxx
∫
。
解 应用分部积分法，注意 0lnlim
0
=
+→
xx
x
,
111
1
0
00
ln d ( ln ) d d 1xx x x x x=?=?=?
∫∫∫
。
注意：本例也可以用换元积分法来解。令 ln x t=?,则 ln d e d
t
xx t t
=,
由例 8.1.8,
1
0
ln dx x
∫
0
ed
t
tt
+∞
=
∫
=?I
1
=?1。
在例 6.2.18，已求出了不定积分
22
d
()
n
x
xa+
∫
，现在求
n
ax )(
1
22
+
在
[,)0 +∞ 上的反常积分。
例 8.1.10 计算
n
I =
22
0
d
()
n
x
x a
+∞
+
∫
。
解 与例 6.2.18 类似，对于 n ≥ 2,利用分部积分，有
n
I =
22
0
1
d
()
n
x
xa
+∞
+
∫
222
222
0
1
d
()
n
xax
x
axa
+∞
+?
=
+
∫
1
2
n
I
a
=
2
222
0
1
d
()
n
x
x
axa
+∞
+
+
∫
1
22
1
2( 1)
n
I
aan
=+
221
0
1
d
()
n
x
xa
+∞
+
∫
11
22 2 221
0
1
2( 1)2( 1)( )
nn
n
II x
aan anxa
+∞
=? +
+
1
2
12 3
22
n
n
I
an
=；
注意到
1
I =
22
0
dx
x a
+∞
+
∫
0
1 π
arctan
2
x
aaa
+∞
==,
即得到
n
I =
1
2
12 3
22
n
n
I
an
=
22
321
2
n
n
a
2
2
12 5
24
n
n
I
an
==null
1
22
1(23)!
(2 2)!!
n
n
I
an
=?
π
2
23
22
21
a
n
n
n
()!
()!
。
例 8.1.11 计算
2
0
ln sin dI xx
π
=
∫
。
解 作变量代换 x t= 2,则
I =
π
2
0
ln sin dxx
∫
4
0
2lnsin2dtt
π
=
∫
π
4
0
2ln(2sincos)dttt=
∫
ππ
44
00
π
ln 2 2 ln sin d 2 ln cos d
2
tt tt=+ +
∫∫
。
对后一积分作代换 tu=?
π
2
，则
I =
ππ
44
π
2
0
π
ln 2 2 ln sin d 2 ln sin d
2
tt tt+?
∫∫
=+
π
2
22ln I,
于是求得
I =?
π
2
2ln 。
例 8.1.12 求
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
++
∫
（ R∈α ）。
解
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
=
++
∫ 2
1
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
+
++
∫
,
在上式右端的第二个积分中令
t
x
1
=,得到
0
22
11
dd
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xt
xx tt
α
α α
+∞
=
++ ++
∫∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
xx
xx
α
α
=
++
∫
,
于是
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
=
++
∫ 2
1
d
(1 )(1 )
x
xx
α
+∞
+
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
x
xx
α
=
++
∫
1
2
0
d
(1 )(1 )
xx
xx
α
α
+
++
∫
1
1
2
0
0
d π
arctan
14
x
x
x
== =
+
∫
。
考察反常积分 sin dxx
+∞
∞
∫
。由定义
sin dxx
+∞
∞
∫
AA
AA
′
+?=
∞→′+∞→
coslimcoslim,
由于这里 +∞→A 与?∞→′A 是独立的,因此极限不存在，所以反常积分
sin dxx
+∞
∞
∫
发散。
如果要求 A → +∞与 ′ →?∞A,同步”进行，即 ′ =?A A，则有
sin dxx
+∞
∞
∫
0)]cos([coslim ==
+∞→
AA
A
,
即 sin dxx
+∞
∞
∫
在这么一种意义下是“收敛”的。
定义 8.1.3 若
lim ( )d
A
AA
f xx
→+∞
∫
=
→+∞
lim [ ( ) ( )]
A
FA F A
收敛，则称该极限值为反常积分 ()df xx
+∞
∞
∫
的 Cauchy 主值,记为
(cpv) ( )df xx
+∞
∞
∫
。
当 ()df xx
+∞
∞
∫
收敛时，显然有
(cpv) ( )df xx
+∞
∞
=
∫
()df xx
+∞
∞
∫；
而当 ()df xx
+∞
∞
∫
发散时，它的 Cauchy 主值也有可能存在，因此 Cauchy
主值推广了反常积分的收敛概念。
无界函数的反常积分也有相应的 Cauchy 主值概念。
例 8.1.13 计算
1
1
1
dx
x
∫
和
1
1
1
(cpv) dx
x
∫
。
解 x = 0是它的唯一奇点，将它分解为两部分,
1
1
1
dx
x
∫
01
10
11
ddx x
x x
=+
∫∫
1
100
11
lim d lim dx x
x x
η
ηηη
′
′?→? →+
=+
∫ ∫
ηη
ηη
lnlim)ln(lim
00 +→?→′
′
=,
由 0η →+和 0η
′
→?的独立性，易知
1
1
1
dx
x
∫
是发散的。
但若取 η η
′
=?,则有
1
1
1
(cpv) dx
x
∫
0
lim[ln ln ] 0
η
η η
→+
=?=。
以后我们会学到,Cauchy 主值在某些领域中有独到的作用。
对于一些已确认为收敛的反常积分（有些根据问题的实际背景可以断定其收敛），如果其原函数不能用初等函数来表示，那么就得借助于数值方法来求积分值。
求反常积分值的计算格式首推 Gauss 型求积公式。原因在于，任何形式的 Gauss 型求积公式都只需用到积分区间的内点，这是它最突出的优点（ Newton-Cotes 公式的数值方法必须用到端点）。也就是说，
对于奇点在端点的无界函数的反常积分，如
1
1
11
ln d
12
t
t
t
+
∫
（这是由
1
0
ln(1 )
d
x
x
x
∫
通过变换 x
t
=
+1
2
得到的，其值为?
π
2
6
），我们可以视其为常义积分而直接套用 Gauss-Legendre 公式，而无须对 t = ±1加以特殊的“关照”—它们在计算过程中是不会被用到的。 Gauss 型公式的这个性质为编制和调用统一的计算程序带来了极大的方便。
Gauss 型结点 {}
*
x
ii
n
=0
和系数 a
i
n()
可在数学工具书中查到,将它们代入
1
1
()df xx
∫
≈
=
∑
afx
i
n
i
n
i
()
*
()
0
,
就可以算出积分的近似值了。
下表是用不同的 n 计算
1
1
11
ln d
12
t
t
t
+
∫
的近似值。
n 5 8 12 20 48
计算值 -1.6242… - 1.6362… - 1.6408… - 1.6434… - 1.6446…
相对
误差
12 10
2
,×
52 10
3
,×
25 10
3
,×
91 10
4
,×
16 10
4
,×
无穷区间的反常积分的处理方法大致有三种,
⑴ 取一个足够大的数 A，用 ()d
A
a
f xx
∫
作为 ()d
a
f xx
+∞
∫
的近似值。这时，问题已化成了常义积分，§7.6 中的计算实习题 4 和 5 就相当于做了这样的处理。
⑵ 将 ()d
a
f xx
+∞
∫
通过变换 x
t
=
1
化成无界函数在有限区间上的反常积分，再用上述针对无界函数的方法。
⑶ 直接使用 [,)0 +∞ 或 (,)?∞+∞ 上的 Gauss 型求积公式。 这部分内容已超出本书的范围，有兴趣的读者可参阅有关数值逼近方面的书籍。
