早在大约公元前 450 年，古希腊有一位名叫 Zeno 的学者，曾提出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论,,Achilles（希腊神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。
设乌龟在 Achilles 前面
1
S 米处向前爬行,Achilles 在后面追赶，
当 Achilles 化了
1
t 秒时间，跑完
1
S 米时，乌龟已向前爬了
2
S 米；当
Achilles 再化
2
t 秒时间，跑完
2
S 米时，乌龟又向前爬了
3
S 米；…，这样的过程可以一直继续下去，因此 Achilles 永远也追不上乌龟。
第九章 数项级数显然,这一结论完全有悖于常识,是绝对荒谬的。没有人会怀疑，
Achilles 必将在 T 秒时间内，跑了 S 米后追上乌龟（ T 和 S 是常数） 。
Zeno 的诡辩之处就在于把有限的时间 T（或距离 S）分割成无穷段
1
t,
2
t,…（或
1
S,
2
S,…）,然后一段一段地加以叙述，从而造成一种假像：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将花掉的时间
1
t,
2
t,…（或跑过的距离
1
S,
2
S,…）加起来，即
+
1
t ++ "
2
t "+
n
t （或 +
1
S
2
S ++ "
n
S + …）,
尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 T（或 S） 。换言之，
经过时间 T 秒,Achilles 跑完 S 米后，他已经追上乌龟了。
这里的无限个数相加的概念，就是本章要讨论的级数问题。
数项级数
设
1
x,
2
x,…,
n
x,…是无穷可列个实数，我们称它们的“和”
1
x +
2
x ++ " "+
n
x
为 无穷数项级数 (简称级数 )，记为
∑
∞
=1n
n
x,其中
n
x 称为级数的 通项 或 一般项。
§ 1 数项级数的收敛性
为了对上述的级数求和给出合理的定义，为此构作级数
∑
∞
=1n
n
x 的
,部分和数列” {
n
S },
=
1
S
1
x,
=
2
S
1
x +
2
x,
=
3
S
1
x +
2
x +
3
x,
……
n
S =
1
x +
2
x ++ "
n
x =
∑
=
n
k
k
x
1
,
……
定义 9.1.1 如果部分和数列{
n
S }收敛于有限数 S,则称 无穷级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛，且称它的和为 S,记为
S =
∑
∞
=1n
n
x ；
如果部分和数列{
n
S }发散,则称无穷级数
∑
∞
=1n
n
x 发散。
由上述定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法才是有意义的，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以，
级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。
例 9.1.1 设 1|| <q,则几何级数 （即 等比级数）
∑
∞
=
1
1
n
n
q = " "+++++
n
qqq
2
1
是收敛的。它的部分和数列的通项为
n
S =
q
q
q
n
n
k
k
=
∑
=
1
1
1
1
,
显然,
lim
n→∞
n
S =
q?1
1
。
现在来回答本章开头提出的 Achilles 追赶乌龟的问题。
设乌龟的速度
1
v (米／秒 )与 Achilles 的速度
2
v （米／秒）之比为
q=
2
1
v
v
,0<q<1。 Achilles 在乌龟后面
1
S（米） 处开始追赶乌龟。 当 Achilles
跑完
1
S （米）时，乌龟已向前爬了
12
qSS = （米）；当 Achilles 继续跑完
2
S （米）时，乌龟又向前爬了
1
2
3
SqS = （米） ；, "当 Achilles 继续跑完
n
S （米）时，乌龟又向前爬了
11
SqS
n
n
=
+
（米） ；, " 显然 Achilles
要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程,,,,,
21
" "
n
SSS 由于
" "++++
n
SSS
21
= )1(
12
1
" "+++++
n
qqqS =,
1
1
q
S
所以当 Achilles 跑完路程 S =
q
S
1
1
米（即经过了时间 T =
2
1
)1( vq
S
秒）,
他已经追上了乌龟。
例9.1.2 级数
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为
n
S =
0,
1,
n
n
为偶数,
为奇数,
显然{
n
S }是发散的。
例 9.1.3 根据第二章的例 2.4.7，级数
∑
∞
=1
1
n
p
n
= " "+++++
ppp
n
1
3
1
2
1
1 (p >0)
当 p >1 时收敛；当 0< p ≤1 时发散到正无穷大。
∑
∞
=1
1
n
p
n
称为 p 级数 （ p = 1 时又称
∑
∞
=1
1
n
n
为调和级数 ） 。
例9.1.2 级数
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为
n
S =
0,
1,
n
n
为偶数,
为奇数,
显然{
n
S }是发散的。
级数的基本性质
定理 9.1.1 （ 级数收敛的必要条件 ） 设级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛,则其通项所构成的数列{
n
x }是无穷小量,即
lim
n→∞
x
n
= 0 。
证 设
∑
∞
=1n
n
x =S,则对
n
S =
∑
=
n
k
k
x
1
，成立
lim
n→∞
n
S = lim
n→∞
1?n
S =S,
于是得到
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
(
n
S -
1?n
S )= lim
n→∞
n
S - lim
n→∞
1?n
S = 0。
定理 9.1.1 可以用来判断某些级数发散。例如，当 || q ≥1 时 {
n
q }
不是无穷小量，因此级数
∑
∞
=1n
n
q 发散。 例 9.1.2 中
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
的一般项为
± 1，所以也发散。
注意定理 9.1.1 只是级数收敛的必要条件，而非充分条件。换言之，数列 { x
n
}为无穷小量并不能保证级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛。例如，虽然数列 {
n
1
}是无穷小量，但级数
∑
∞
=1
1
n
n
却是发散的。
定理 9.1.2 （ 线性性） 设
∑
∞
=1n
n
a =A，
∑
∞
=1n
n
b =B,α,β 是两个常数，
则
1
()
nn
n
abαβ
∞
=
+
∑
=α A+β B。
证 设
∑
∞
=1n
n
a 的部分和数列为{
)1(
n
S }，
∑
∞
=1n
n
b 的部分和数列为{
)2(
n
S }，
则对
1
()
nn
n
abαβ
∞
=
+
∑
的部分和数列{
n
S }有
n
S =α
)1(
n
S +β
)2(
n
S,
于是成立
lim
n→∞
n
S =α lim
n→∞
)1(
n
S +β lim
n→∞
)2(
n
S =α A+β B。
定理 9.1.2 表示对收敛级数可以进行加法和数乘运算。
例9.1.4 求级数
∑
∞
=
+
1
1
5
234
n
n
nn
的值。
解 因为几何级数
n
n
∑
∞
=
0
5
4
与
∑
∞
=
0
5
2
n
n
都收敛，所以有
1
1
432
5
nn
n
n
+
∞
=
=
∑
n
n
∑
∞
=
0
5
4
5
16
-
n
n
∑
∞
=
0
5
2
5
6
16 1
4
5
1
5
=?
-
61
14
2
5
1
5
=
。
定理 9.1.3 设级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛,则在它的 求和表达 式中任 意 添 加括号后所得的级数仍然收敛,且其和不变 。
证 设
∑
∞
=1n
n
x 添加括号后表示为
(
1
x +
2
x ++ "
1
n
x )+ (
1
1
+n
x +
2
1
+n
x ++ "
2
n
x ) "+
+ (
1
1
+
k
n
x +
2
1
+
k
n
x ++ "
k
n
x ) "+
令
1
y =
1
x +
2
x ++ "
1
n
x,
2
y =
1
1
+n
x +
2
1
+n
x ++ "
2
n
x,
……
k
y =
1
1
+
k
n
x +
2
1
+
k
n
x ++ "
k
n
x,
……
则
∑
∞
=1n
n
x 按上面方式添加括号后所得的级数为
∑
∞
=1n
n
y 。
令
∑
∞
=1n
n
x 的部分和数列为{
n
S }，
∑
∞
=1n
n
y 的部分和数列为 {
n
U }，则
1
U =
1
n
S,
2
U =
2
n
S,
……
k
U =
k
n
S,
……
显然{
n
U }是 {
n
S }的一个子列，于是由{
n
S }的收敛性即得到{
n
U }的收敛性，且极限相同。
在极限论中已经知道，一个数列的某个子列收敛并不能保证数列本身收敛。因此，相应地，在一个级数的和式中，添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级数收敛，即上面的级数
∑
∞
=1n
n
y 收敛并不能保证级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛。
例 9.1.5 已知例 9.1.2 中的级数
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
,
是发散的。但若在每两项之间加上括号，则有
" "+?++?+? )11()11()11( 00 0 0= ++ ++ = " ",
即添加了括号后所得的级数是收敛的。
进一步，对一个发散的级数，若按不同的方式加括号，所得的级数可能收敛于不同的极限。仍以
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
为例，除了上面的加括号方式外，还可以有
" "++?+++?++?+ )11()11()11(1 100 0 1= +++ ++ = " "
的不同结果。
这就是说，发散的级数不满足加法结合律。
例 9.1.6 计算机进行计算时所处理的数据都是二进制的，求二进制无限循环小数 (110.110110 … )
2
的值。
解 (110.110110… )
2
=
2
2 +
1
2 +
2
1
+
2
2
1
+
4
2
1
+
5
2
1
+
7
2
1
+
8
2
1
+…
设上述无穷级数的部分和数列为{
n
S }，则
n
S
2
=
∑
=
+
n
k
kk
1
4353
2
1
2
1
=
7
6
6
n
8
1
1,
12 +n
S =
n
S
2
+
23
2
1
n
,
令 ∞→n,得
lim
n→∞
n
S =
7
6
6,
即二进制无限循环小数 (110.110110 … )
2
的值为
7
6
6 。
例9.1.7 一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天服用
0.05mg，设体内的药物每天有 20%通过各种渠道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的水平?
解 服药第一天，病人体内药量为 0.05mg；服药第二天，病人体内药量为
0.05(1-20%)+0.05=
+
5
4
105.0 (mg)；
服药第三天，病人体内药量为
[0.05(1-20%)+0.05](1-20%)+0.05=0.05
++
2
5
4
5
4
1 (mg)；
…
按此推下去，长期服药后，体内药量为
0.05
+
+
++ "
32
5
4
5
4
5
4
1 = 0.05
n
n
∑
∞
=
0
5
4
= 0.25 (mg)。
在实际病例中，医生往往根据病人的病情，考虑体内药量水平的需求，确定病人每天的服药量。
例 9.1.8 计算级数
∑
∞
=
1
2
12
n
n
n
。
解 设级数的部分和数列为{
n
S }，则
n
S =2
n
S -
n
S =2
∑
=
n
k
k
k
1
2
12
-
∑
=
n
k
k
k
1
2
12
=
∑
=
+
1
0
2
12
n
k
k
k
-
∑
=
n
k
k
k
1
2
12
=1+
∑
=
1
1
1
2
1
n
k
k
-
n
n
2
12?
,
于是
lim
n→∞
n
S =
0
1
13
2
k
k
∞
=
+ =
∑
。
例 9.1.9 计算级数
∑
∞
=1
2
2
1
arctan
n
n
。
解 利用公式
xy
yx
yx
+
=?
1
arctanarctanarctan,
可得
12
1
arctan
12
1
arctan
2
1
arctan
2
+
=
nnn
,
于是关于级数的部分和有
n
S =
12
1
arctan1arctan
+
n
,
令 n→∞，即得
∑
∞
=1
2
2
1
arctan
n
n
=
4
π
。
设乌龟在 Achilles 前面
1
S 米处向前爬行,Achilles 在后面追赶，
当 Achilles 化了
1
t 秒时间，跑完
1
S 米时，乌龟已向前爬了
2
S 米；当
Achilles 再化
2
t 秒时间，跑完
2
S 米时，乌龟又向前爬了
3
S 米；…，这样的过程可以一直继续下去，因此 Achilles 永远也追不上乌龟。
第九章 数项级数显然,这一结论完全有悖于常识,是绝对荒谬的。没有人会怀疑，
Achilles 必将在 T 秒时间内，跑了 S 米后追上乌龟（ T 和 S 是常数） 。
Zeno 的诡辩之处就在于把有限的时间 T（或距离 S）分割成无穷段
1
t,
2
t,…（或
1
S,
2
S,…）,然后一段一段地加以叙述，从而造成一种假像：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将花掉的时间
1
t,
2
t,…（或跑过的距离
1
S,
2
S,…）加起来，即
+
1
t ++ "
2
t "+
n
t （或 +
1
S
2
S ++ "
n
S + …）,
尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 T（或 S） 。换言之，
经过时间 T 秒,Achilles 跑完 S 米后，他已经追上乌龟了。
这里的无限个数相加的概念，就是本章要讨论的级数问题。
数项级数
设
1
x,
2
x,…,
n
x,…是无穷可列个实数，我们称它们的“和”
1
x +
2
x ++ " "+
n
x
为 无穷数项级数 (简称级数 )，记为
∑
∞
=1n
n
x,其中
n
x 称为级数的 通项 或 一般项。
§ 1 数项级数的收敛性
为了对上述的级数求和给出合理的定义，为此构作级数
∑
∞
=1n
n
x 的
,部分和数列” {
n
S },
=
1
S
1
x,
=
2
S
1
x +
2
x,
=
3
S
1
x +
2
x +
3
x,
……
n
S =
1
x +
2
x ++ "
n
x =
∑
=
n
k
k
x
1
,
……
定义 9.1.1 如果部分和数列{
n
S }收敛于有限数 S,则称 无穷级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛，且称它的和为 S,记为
S =
∑
∞
=1n
n
x ；
如果部分和数列{
n
S }发散,则称无穷级数
∑
∞
=1n
n
x 发散。
由上述定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法才是有意义的，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以，
级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。
例 9.1.1 设 1|| <q,则几何级数 （即 等比级数）
∑
∞
=
1
1
n
n
q = " "+++++
n
qqq
2
1
是收敛的。它的部分和数列的通项为
n
S =
q
q
q
n
n
k
k
=
∑
=
1
1
1
1
,
显然,
lim
n→∞
n
S =
q?1
1
。
现在来回答本章开头提出的 Achilles 追赶乌龟的问题。
设乌龟的速度
1
v (米／秒 )与 Achilles 的速度
2
v （米／秒）之比为
q=
2
1
v
v
,0<q<1。 Achilles 在乌龟后面
1
S（米） 处开始追赶乌龟。 当 Achilles
跑完
1
S （米）时，乌龟已向前爬了
12
qSS = （米）；当 Achilles 继续跑完
2
S （米）时，乌龟又向前爬了
1
2
3
SqS = （米） ；, "当 Achilles 继续跑完
n
S （米）时，乌龟又向前爬了
11
SqS
n
n
=
+
（米） ；, " 显然 Achilles
要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程,,,,,
21
" "
n
SSS 由于
" "++++
n
SSS
21
= )1(
12
1
" "+++++
n
qqqS =,
1
1
q
S
所以当 Achilles 跑完路程 S =
q
S
1
1
米（即经过了时间 T =
2
1
)1( vq
S
秒）,
他已经追上了乌龟。
例9.1.2 级数
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为
n
S =
0,
1,
n
n
为偶数,
为奇数,
显然{
n
S }是发散的。
例 9.1.3 根据第二章的例 2.4.7，级数
∑
∞
=1
1
n
p
n
= " "+++++
ppp
n
1
3
1
2
1
1 (p >0)
当 p >1 时收敛；当 0< p ≤1 时发散到正无穷大。
∑
∞
=1
1
n
p
n
称为 p 级数 （ p = 1 时又称
∑
∞
=1
1
n
n
为调和级数 ） 。
例9.1.2 级数
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为
n
S =
0,
1,
n
n
为偶数,
为奇数,
显然{
n
S }是发散的。
级数的基本性质
定理 9.1.1 （ 级数收敛的必要条件 ） 设级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛,则其通项所构成的数列{
n
x }是无穷小量,即
lim
n→∞
x
n
= 0 。
证 设
∑
∞
=1n
n
x =S,则对
n
S =
∑
=
n
k
k
x
1
，成立
lim
n→∞
n
S = lim
n→∞
1?n
S =S,
于是得到
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
(
n
S -
1?n
S )= lim
n→∞
n
S - lim
n→∞
1?n
S = 0。
定理 9.1.1 可以用来判断某些级数发散。例如，当 || q ≥1 时 {
n
q }
不是无穷小量，因此级数
∑
∞
=1n
n
q 发散。 例 9.1.2 中
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
的一般项为
± 1，所以也发散。
注意定理 9.1.1 只是级数收敛的必要条件，而非充分条件。换言之，数列 { x
n
}为无穷小量并不能保证级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛。例如，虽然数列 {
n
1
}是无穷小量，但级数
∑
∞
=1
1
n
n
却是发散的。
定理 9.1.2 （ 线性性） 设
∑
∞
=1n
n
a =A，
∑
∞
=1n
n
b =B,α,β 是两个常数，
则
1
()
nn
n
abαβ
∞
=
+
∑
=α A+β B。
证 设
∑
∞
=1n
n
a 的部分和数列为{
)1(
n
S }，
∑
∞
=1n
n
b 的部分和数列为{
)2(
n
S }，
则对
1
()
nn
n
abαβ
∞
=
+
∑
的部分和数列{
n
S }有
n
S =α
)1(
n
S +β
)2(
n
S,
于是成立
lim
n→∞
n
S =α lim
n→∞
)1(
n
S +β lim
n→∞
)2(
n
S =α A+β B。
定理 9.1.2 表示对收敛级数可以进行加法和数乘运算。
例9.1.4 求级数
∑
∞
=
+
1
1
5
234
n
n
nn
的值。
解 因为几何级数
n
n
∑
∞
=
0
5
4
与
∑
∞
=
0
5
2
n
n
都收敛，所以有
1
1
432
5
nn
n
n
+
∞
=
=
∑
n
n
∑
∞
=
0
5
4
5
16
-
n
n
∑
∞
=
0
5
2
5
6
16 1
4
5
1
5
=?
-
61
14
2
5
1
5
=
。
定理 9.1.3 设级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛,则在它的 求和表达 式中任 意 添 加括号后所得的级数仍然收敛,且其和不变 。
证 设
∑
∞
=1n
n
x 添加括号后表示为
(
1
x +
2
x ++ "
1
n
x )+ (
1
1
+n
x +
2
1
+n
x ++ "
2
n
x ) "+
+ (
1
1
+
k
n
x +
2
1
+
k
n
x ++ "
k
n
x ) "+
令
1
y =
1
x +
2
x ++ "
1
n
x,
2
y =
1
1
+n
x +
2
1
+n
x ++ "
2
n
x,
……
k
y =
1
1
+
k
n
x +
2
1
+
k
n
x ++ "
k
n
x,
……
则
∑
∞
=1n
n
x 按上面方式添加括号后所得的级数为
∑
∞
=1n
n
y 。
令
∑
∞
=1n
n
x 的部分和数列为{
n
S }，
∑
∞
=1n
n
y 的部分和数列为 {
n
U }，则
1
U =
1
n
S,
2
U =
2
n
S,
……
k
U =
k
n
S,
……
显然{
n
U }是 {
n
S }的一个子列，于是由{
n
S }的收敛性即得到{
n
U }的收敛性，且极限相同。
在极限论中已经知道，一个数列的某个子列收敛并不能保证数列本身收敛。因此，相应地，在一个级数的和式中，添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级数收敛，即上面的级数
∑
∞
=1n
n
y 收敛并不能保证级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛。
例 9.1.5 已知例 9.1.2 中的级数
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
,
是发散的。但若在每两项之间加上括号，则有
" "+?++?+? )11()11()11( 00 0 0= ++ ++ = " ",
即添加了括号后所得的级数是收敛的。
进一步，对一个发散的级数，若按不同的方式加括号，所得的级数可能收敛于不同的极限。仍以
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
= " "+?+?+?
1
)1(111
n
为例，除了上面的加括号方式外，还可以有
" "++?+++?++?+ )11()11()11(1 100 0 1= +++ ++ = " "
的不同结果。
这就是说，发散的级数不满足加法结合律。
例 9.1.6 计算机进行计算时所处理的数据都是二进制的，求二进制无限循环小数 (110.110110 … )
2
的值。
解 (110.110110… )
2
=
2
2 +
1
2 +
2
1
+
2
2
1
+
4
2
1
+
5
2
1
+
7
2
1
+
8
2
1
+…
设上述无穷级数的部分和数列为{
n
S }，则
n
S
2
=
∑
=
+
n
k
kk
1
4353
2
1
2
1
=
7
6
6
n
8
1
1,
12 +n
S =
n
S
2
+
23
2
1
n
,
令 ∞→n,得
lim
n→∞
n
S =
7
6
6,
即二进制无限循环小数 (110.110110 … )
2
的值为
7
6
6 。
例9.1.7 一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天服用
0.05mg，设体内的药物每天有 20%通过各种渠道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的水平?
解 服药第一天，病人体内药量为 0.05mg；服药第二天，病人体内药量为
0.05(1-20%)+0.05=
+
5
4
105.0 (mg)；
服药第三天，病人体内药量为
[0.05(1-20%)+0.05](1-20%)+0.05=0.05
++
2
5
4
5
4
1 (mg)；
…
按此推下去，长期服药后，体内药量为
0.05
+
+
++ "
32
5
4
5
4
5
4
1 = 0.05
n
n
∑
∞
=
0
5
4
= 0.25 (mg)。
在实际病例中，医生往往根据病人的病情，考虑体内药量水平的需求，确定病人每天的服药量。
例 9.1.8 计算级数
∑
∞
=
1
2
12
n
n
n
。
解 设级数的部分和数列为{
n
S }，则
n
S =2
n
S -
n
S =2
∑
=
n
k
k
k
1
2
12
-
∑
=
n
k
k
k
1
2
12
=
∑
=
+
1
0
2
12
n
k
k
k
-
∑
=
n
k
k
k
1
2
12
=1+
∑
=
1
1
1
2
1
n
k
k
-
n
n
2
12?
,
于是
lim
n→∞
n
S =
0
1
13
2
k
k
∞
=
+ =
∑
。
例 9.1.9 计算级数
∑
∞
=1
2
2
1
arctan
n
n
。
解 利用公式
xy
yx
yx
+
=?
1
arctanarctanarctan,
可得
12
1
arctan
12
1
arctan
2
1
arctan
2
+
=
nnn
,
于是关于级数的部分和有
n
S =
12
1
arctan1arctan
+
n
,
令 n→∞，即得
∑
∞
=1
2
2
1
arctan
n
n
=
4
π
。
