?
0
0 )(
n
n
n xxa
=
0a )( 01 xxa? 202 )( xxa nn xxa )( 0
这样的函数项级数称为 幂级数 。幂级数的部分和函数 S n ( x ) 是一个 1?n
次多项式。
为了方便，我们通常取
0x
= 0,也就是讨论
0n
n
n xa
=
0a xa 1 22 xa nn xa
,
然后对所得的结果做一个平移 x =
0xt?
，就可以平行推广到
00?x
的情况。
§ 3 幂级数幂级数的收敛半径对于幂级数
0n
n
n
xa
，首先有
n
l i m
n n
n xa ||
=
n
l i m?
n
na ||
｜ x ｜,
根据数项级数的 Ca u c h y 判别法，当上面的极限值小于 1 时，
0n
n
n
xa
绝对收敛；当上面的极限值大于 1 时，
0n
n
n
xa
发散。
令
A =
n
l i m
n
na ||
,
定义
R =
,
),,0(
,0
,0
,
1
,
A
A
A
A
当当当则我们有定理 1 0,3,1（ C a uch y - H a d a m a rd 定理 ） 幂级数
0n
n
n xa
当 Rx?||
（ 0?R ） 时绝对收敛 ； 当 Rx?|| 时发散 。
注意在区间的端点 x = ± R,幂级数收敛与否必须另行判断。
对于
0
0 )(
n
n
n xxa
，则有平行的结论,幂级数在以
0x
为中心,以 R
为半径的对称区间内绝对收敛,而在该区间外发散 。 在区间的端点
0x
± R,幂级数的敛散性必须另行判断 。
数 R 称为幂级数的 收敛半径 。当R 时，幂级数对一切 x 都是绝对收敛的；当 R = 0 时，幂级数仅当 x =
0x
时收敛 。
定理 1 0,3,1（ C a uch y - H a d a m a rd 定理 ） 幂级数
0n
n
n xa
当 Rx?||
（ 0?R ） 时绝对收敛 ； 当 Rx?|| 时发散 。
注意在区间的端点 x = ± R,幂级数收敛与否必须另行判断。
例 1 0,3,1 幂级数
1n
n
n
x,
1
2
)1(
n
n
n
x,
1
)1(
n
nxn
的收敛半径都是
R = 1 。
1n
n
n
x 的收敛域是 [ - 1,1 ) ；
1
2
)1(
n
n
n
x 的收敛域是 [0,2] ；
1
)1(
n
nxn
的收敛域是 ( - 2,0) 。
例 1 0,3,2 考察幂级数
0 2
1])1(2[
n
nnn
x
n
的收敛情况。
解 因为
n
l i m n
nn
n
])1(2[ = 3,
所以收敛半径为 R =
3
1
。
读者可以自己证明：当 x =
2
1
R =
6
5
与 x =
2
1
R =
6
1
时,幂级数都是发散的。因此它的收敛域是
6
5
,
6
1
。
例 1 0,3,1 幂级数
1n
n
n
x,
1
2
)1(
n
n
n
x,
1
)1(
n
nxn
的收敛半径都是
R = 1 。
1n
n
n
x 的收敛域是 [ - 1,1 ) ；
1
2
)1(
n
n
n
x 的收敛域是 [0,2] ；
1
)1(
n
nxn
的收敛域是 ( - 2,0) 。
在判断数项级数的收敛性时，除了 Ca u c h y 判别法，还有
D 'A l em b ert 判别法，下面的定理就是 D ' A l em b ert 判别法在幂级数上的应用。
定理 1 0,3,2 ( D ' A l em bert 判别法 ) 如果对幂级数
0n
n
n
xa
成立
n
l i m
n
n
a
a
1?
= A,
则此幂级数的收敛半径为 R =
A
1
。
定理的证明包含在引理 9,3,1 给出的不等式
n
l i m?
n
n
a
a
1
n
l i m
n na ||
n
l i m?
n
na ||
n
l i m
n
n
a
a
1?
中。
例 1 0,3,3 考察幂级数
0 !n
n
n
x
n
n
的收敛情况。
解 因为
n
l i m
n
n
a
a
1?
=
n
l i m
!
)!1(
)1(
1
n
n
n
n
n
n
= e,
所以收敛半径为 R =
e
1
。
当 x =
e
1
时，
0 !n
n
n
x
n
n
是正项级数，由 S t i r l i n g 公式（例 9,5,5 ）,
n
n
x
n
n
!
～
n
n
n
n
n
e2
2
1 e
1
=
n?2
1
(
n
)
可知
0 !n
n
n
x
n
n
在 x =
e
1
时发散；
当 x =
e
1
，
0 !n
n
n
x
n
n
是交错级数，由于
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
!
)!1(
)1(
1
1
=
e
1
1
1
1
n
n
且
n
n
x
n
n
!
～
0
2
1
n
(
n
),
可知
0 !n
n
n
x
n
n
在 x =
e
1
时是 Le i b n i z 级数，所以收敛。
综上所述，
0 !n
n
n
x
n
n
的收敛域是
11
,
ee
。
幂级数的性质
Ab el 第一定理,如果幂级数在点? 收敛,则当 | | | |x 时幂级数绝对收敛 ； 如果幂级数在点? 发散,则当 | | | |x 时幂级数发散 。
显然，这一结论已包含在定理 10,3,1 之中。
定理 10.3,3 ( Ab e l 第二定理 ) 设幂级数
0n
n
n xa
的收敛半径为 R,
则
( i )
0n
n
n xa
在 ( - R,R ) 上内闭一致收敛,即在任意闭区间 [ a,b ]?
( - R,R ) 上一致收敛 ；
( i i) 若在 x = R 收敛,则它在任意闭区间
[,] (,]a R R R
上一致收敛 。
幂级数的性质
Ab el 第一定理,如果幂级数在点? 收敛,则当 | | | |x 时幂级数绝对收敛 ； 如果幂级数在点? 发散,则当 | | | |x 时幂级数发散 。
显然，这一结论已包含在定理 10,3,1 之中。
证
( i ) 记
m a x | |,| |ab
，对一切 x ∈ [ a,b ],成立
nn xa nna?
,
由于
||
R,所以
0
|| nn
n
a?
收敛，由 W e i e r s tr a s s 判别法，可知
0n
n
n xa
在
[ a,b ] 上一致收敛。
(i i ) 先证明
0n
n
n
xa
在 [0,R ] 上一致收敛。
当
0n
n
n
Ra
收敛时，由于 n
R
x
在 [ 0,R ] 一致有界（
10
n
R
x
),且关于 n 单调，根据 A b el 判别法,
0n
n
n
xa
=
0
)(
n
n
n
Ra
n
R
x
在 [0,R ] 上一致收敛。
于是当
0?a
时，
0n
n
n
xa
在 [ a,R ] 上一致收敛；当
0 aR
时，由 (i ),
0n
n
n
xa
在 [ a,0 ] 上一致收敛，结合
0n
n
n
xa
在 [0,R ] 上的一致收敛性就得到
0n
n
n
xa
在 [ a,R ] 上一致收敛。
注 类似地可进一步得到,
若
0n
n
n xa
在 x = - R 收敛,则它在任意闭区间 [ - R,b ]?
),[ RR?
上一致收敛 ；
若
0n
n
n xa
在 x = ± R 都收敛,则它在 [ - R,R ] 上一致收敛 。
概括地说,幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上一致收敛 。
根据 A b el 第二定理，可以得到幂级数的如下性质,
(1 ) 和函数的连续性,幂级数在它的收敛域上连续 。
定理 1 0,3,4 设
0n
n
n xa
的收敛半径为 R,则和函数在 ( - R,R ) 上连续 ； 若
0n
n
n xa
在 x = R （ 或 x = - R ） 收敛,则和函数在 x = R （或 x = - R ）
左 ( 右 ) 连续 。
证 幂级数的一般项是幂函数，显然是连续函数。由 A b el 第二定理，
0n
n
n xa
在其收敛域上内闭一致收敛，根据 一致收敛函数项级数的和函数的连续性，
0n
n
n xa
在包含于收敛域中的任意闭区间上连续，
因而在它的整个收敛域上连续。
根据 A b el 第二定理，可以得到幂级数的如下性质,
(1 ) 和函数的连续性,幂级数在它的收敛域上连续 。
定理 1 0,3,4 设
0n
n
n xa
的收敛半径为 R,则和函数在 ( - R,R ) 上连续 ； 若
0n
n
n xa
在 x = R （ 或 x = - R ） 收敛,则和函数在 x = R （或 x = - R ）
左 ( 右 ) 连续 。
(2 ) 逐项可积性,幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分 。
定理 1 0,3,5 设 a,b 是幂级数
0n
n
n
xa
收敛域中任意二点,则
b
a
n
n
n
xxa d
0
=
xxa
n
b
a
n
n
d
0
,
特别地,取 a = 0,b = x,则有
x
n
n
n
tta
0
0
d
=
0
1
1n
nn
x
n
a
,
且逐项积分所得幂级数
0
1
1n
nn
x
n
a
与原幂级数
0n
n
n
xa
具有相同的收敛半径 。
证 由 A b el 第二定理，
0n
n
n xa
在其收敛域上内闭一致收敛。应用一致收敛函数项级数的逐项积分定理，即得到幂级数的逐项可积性。
由于
n
l i m 1
1
||
n n
n
a =
n
l i m n na ||
,
可知
0
1
1n
nn x
n
a
与
0n
n
n xa
具有相同的收敛半径。
注 虽然逐项积分所得的幂级数
0
1
1n
nn x
n
a 与原幂级数
0n
n
n xa
收敛半径相同，但收敛域有可能扩大。
证 由 A b el 第二定理，
0n
n
n xa
在其收敛域上内闭一致收敛。应用一致收敛函数项级数的逐项积分定理，即得到幂级数的逐项可积性。
由于
n
l i m 1
1
||
n n
n
a =
n
l i m n na ||
,
可知
0
1
1n
nn x
n
a
与
0n
n
n xa
具有相同的收敛半径。
例 1 0,3,4 在例 1 0,2,7 中，通过对
1
221)1(
n
nn x
的逐项积分，已得到
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
= x
3
1?
x
3
xx a r c t a n
5
1 5
,
)1,1(x
。
显然，
1
221)1(
n
nn x
的收敛域是 ( - 1,1),但
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
的收敛域是
[ - 1,1 ] 。
由于
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
在 x = ± 1 收敛，由幂级数和函数的连续性，
即可得
1
12
1
1 12
)1(
l im
n
n
n
x
x
n
=
1
1
12
)1(
n
n
n
=
1
12
1
1 12
)1(
l im
n
n
n
x
x
n
=
4
a r c ta nl im
1
x
x
,
也就是
12
)1(
5
1
3
1
1
4
1
n
n。
例 1 0,3,5 在例 1 0,2,8 中，通过对
1
11
)1(
n
nn
x
的逐项积分，已得到
1
1
)1(
n
n
n
x
n
= x
2
2
1
x? )1ln (
3
1 3
xx
,
)1,1(x
。
显然，
1
11
)1(
n
nn
x
的收敛域是 ( - 1,1),但
1
1
)1(
n
n
n
x
n
的收敛域是 ( - 1,1 ] 。
由于
1
1
)1(
n
n
n
x
n
在 x = 1 收敛，由幂级数和函数的连续性，即可得
1
1
1
)1(
li m
n
n
n
x
x
n
=
1
1
)1(
n
n
n
=
1
1
1
)1(
li m
n
n
n
x
x
n
=
2ln)1l n (lim
1
x
x
,
也就是
l n 2 = 1
2
1
3
1
n
n 1
)1(
+
,?
此即为例 2,4,1 0 的结果。
(3 ) 逐项可导性,幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导 。
定理 1 0,3,6 设
0n
n
n xa
的收敛半径 为 R,则它在 ( - R,R ) 上可以逐项求导,即
xd
d
0n
n
n xa
=
0 d
d
n
n
n xax
=
1
1
n
n
n xna
,
且逐项求导所得的幂级数
1
1
n
n
n xna
的收敛半径也是 R 。
证 首先有
n
l i m 1 ||?n nan
n
lim n na ||
,
即
1
1
n
n
n xna
的收敛半径也是 R,因此
1
1
n
n
n xna
在 ( - R,R ) 上内闭一致收敛。再由于
0n
n
n xa
在 ( - R,R ) 上收敛，应用函数项级数的逐项求导定理，
即得到幂级数的逐项可导性。
(3 ) 逐项可导性,幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导 。
定理 1 0,3,6 设
0n
n
n xa
的收敛半径 为 R,则它在 ( - R,R ) 上可以逐项求导,即
xd
d
0n
n
n xa
=
0 d
d
n
n
n xax
=
1
1
n
n
n xna
,
且逐项求导所得的幂级数
1
1
n
n
n xna
的收敛半径也是 R 。
注 虽然逐项求导所得的幂级数
1
1
n
n
n xna
与原幂级数
0n
n
n xa
收敛半径相同，但收敛域有可能缩小。这只要考察例 1 0,3,4 中的
0
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
与例 1 0,3,5 中的
0
1)1(
n
n
n
x
n
。前者的收敛域是 [ - 1,1 ] ; 后者的收敛域是 ( - 1,1 ],但它们经过逐项求导后，收敛域都缩小为 ( - 1,1) 。
例 1 0,3,6 求
0
!
n
n
n
x
的和函数。
解 由于
n
l i m
!
1
)!1(
1
n
n?
= 0,
可知
0
!
n
n
n
x
的收敛半径为R,即它的收敛域为
),(
。令
S ( x ) =
0
!
n
n
n
x
（
),(x
）,
应用幂级数的逐项可导性,可得
S ' ( x ) =
0
!
n
n
n
x =
1
1
!)1(
n
n
n
x
=
0
!
n
n
n
x
= S ( x ) 。
于是有
))((e xSx
=
x?e
(
)( xS?
- S ( x )) = 0,
),(x
。
这说明
x?e
S ( x ) 是一个常数，且该常数为
1))((e
0
x
x
xS
。从而得到
S ( x ) =
0
!
n
n
n
x
= e
x
,
),(x
。
例 1 0,3,7 求级数
1 3
12
n
n
n
之和。
解 先考察幂级数
0n
n
x
=
x?1
1
,
)1,1(x
,
逐项求导后，再两边乘以 x,得到
1n
n
nx
=
2
)1( x
x
,
)1,1(x
。
令
3/1?x
，则有
1 3
1
n
n =
2
1
,
1 3
1
n
n
n
=
4
3
,
于是得到
1 3
12
n
n
n
= 2
1 3
1
n
n
n
+
1 3
1
n
n = 2 。
例 1 0,3,8 求幂级数
0
2
!2
1
n
n
n
x
n
n
的和函数。
解 易知幂级数的收敛域为
),(
，并且有
,
!2
1
)!1(2!2
1
010
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
其中右面两个幂级数的收敛域显然也为
),(
。
由例 1 0,3,6 得到
/2
00
11
e
2 ! ! 2
n
nx
n
nn
x
x
nn
，
),(x
。
再看
11 2)!1()!1(2 n
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
。
设
)(1 xS
1
1
)!1(n
n
x
n
n
，由逐项积分与例 1 0,3,6 的结论得
1
0
( )d
x
S t t 1
1 0 0
1 1 1
e,(,),
( 1 ) ! ! !
n n n x
n n n
x x x x x x
n n n
对等式两边求导得
1 ( ) e ( 1 )
xS x x
，
),(x
,
所以
1
/2
1
11
1e
2 ( 1 ) ! 2 ( 1 ) ! 2 2 2 2 2
n
nx
n
nn
n x n x x x x x
xS
nn
。
于是
22
/2
0
1
e1
2 ! 2 4
nx
n
n
n x x
x
n
，
),(x
。
在§ 9,4,我们曾证明，若
1n
n
a
与
1n
n
b
绝对收敛，则它们的 C au c h y
乘积
1n
n
c
=
1 1n nji
ji
ba
=
1
1121
)(
n
nnn
bababa?
等于
1n
n
a?
1n
n
b
。但是当
1n
n
a
与
1n
n
b
不是绝对收敛时，则上述结论不一定成立。下面我们应用幂级数的性质证明，即使
1n
n
a
与
1n
n
b
没有绝对收敛性，但只要它们的 Cau ch y 乘积
1n
n
c
收敛，则上述结论仍然成立。
于是
42
1
!2
1
2
2/
0
2
xx
ex
n
n
x
n
n
n
，
),(x
。
在§ 9,4,我们曾证明，若
1n
n
a
与
1n
n
b
绝对收敛，则它们的 C au c h y
乘积
1n
n
c
=
1 1n nji
ji
ba
=
1
1121
)(
n
nnn
bababa?
等于
1n
n
a?
1n
n
b
。但是当
1n
n
a
与
1n
n
b
不是绝对收敛时，则上述结论不一定成立。下面我们应用幂级数的性质证明，即使
1n
n
a
与
1n
n
b
没有绝对收敛性，但只要它们的 Cau ch y 乘积
1n
n
c
收敛，则上述结论仍然成立。
例 1 0,3,9 设
1n
n
a
，
1n
n
b
及它们的 Cau ch y 乘积
1n
n
c
收敛，则
1n
n
c
=
1n
n
a?
1n
n
b
。
证 定义三个幂级数及它们的和函数如下,
f ( x ) =
1n
n
n
xa
,g ( x ) =
1n
n
n
xb
,h ( x ) =
1n
n
n
xc
。
这三个幂级数在 x = 1 都收敛，根据幂级数的性质,f ( x ),g ( x ),h ( x )
三个和函数都在 [ 0,1 ] 连续，且当
10 x
时，三个幂级数都绝对收敛，
于是由定理 9,4,7,
1n
n
n
xa?
1n
n
n
xb
= x
1n
n
n
xc
,
即
f ( x ) g ( x ) = xh ( x ),
x
(0,1) 。
令
1x
，得到 f (1 ) g ( 1 ) = h (1 ),也就是得到
1n
n
a?
1n
n
b
=
1n
n
c
。
0
0 )(
n
n
n xxa
=
0a )( 01 xxa? 202 )( xxa nn xxa )( 0
这样的函数项级数称为 幂级数 。幂级数的部分和函数 S n ( x ) 是一个 1?n
次多项式。
为了方便，我们通常取
0x
= 0,也就是讨论
0n
n
n xa
=
0a xa 1 22 xa nn xa
,
然后对所得的结果做一个平移 x =
0xt?
，就可以平行推广到
00?x
的情况。
§ 3 幂级数幂级数的收敛半径对于幂级数
0n
n
n
xa
，首先有
n
l i m
n n
n xa ||
=
n
l i m?
n
na ||
｜ x ｜,
根据数项级数的 Ca u c h y 判别法，当上面的极限值小于 1 时，
0n
n
n
xa
绝对收敛；当上面的极限值大于 1 时，
0n
n
n
xa
发散。
令
A =
n
l i m
n
na ||
,
定义
R =
,
),,0(
,0
,0
,
1
,
A
A
A
A
当当当则我们有定理 1 0,3,1（ C a uch y - H a d a m a rd 定理 ） 幂级数
0n
n
n xa
当 Rx?||
（ 0?R ） 时绝对收敛 ； 当 Rx?|| 时发散 。
注意在区间的端点 x = ± R,幂级数收敛与否必须另行判断。
对于
0
0 )(
n
n
n xxa
，则有平行的结论,幂级数在以
0x
为中心,以 R
为半径的对称区间内绝对收敛,而在该区间外发散 。 在区间的端点
0x
± R,幂级数的敛散性必须另行判断 。
数 R 称为幂级数的 收敛半径 。当R 时，幂级数对一切 x 都是绝对收敛的；当 R = 0 时，幂级数仅当 x =
0x
时收敛 。
定理 1 0,3,1（ C a uch y - H a d a m a rd 定理 ） 幂级数
0n
n
n xa
当 Rx?||
（ 0?R ） 时绝对收敛 ； 当 Rx?|| 时发散 。
注意在区间的端点 x = ± R,幂级数收敛与否必须另行判断。
例 1 0,3,1 幂级数
1n
n
n
x,
1
2
)1(
n
n
n
x,
1
)1(
n
nxn
的收敛半径都是
R = 1 。
1n
n
n
x 的收敛域是 [ - 1,1 ) ；
1
2
)1(
n
n
n
x 的收敛域是 [0,2] ；
1
)1(
n
nxn
的收敛域是 ( - 2,0) 。
例 1 0,3,2 考察幂级数
0 2
1])1(2[
n
nnn
x
n
的收敛情况。
解 因为
n
l i m n
nn
n
])1(2[ = 3,
所以收敛半径为 R =
3
1
。
读者可以自己证明：当 x =
2
1
R =
6
5
与 x =
2
1
R =
6
1
时,幂级数都是发散的。因此它的收敛域是
6
5
,
6
1
。
例 1 0,3,1 幂级数
1n
n
n
x,
1
2
)1(
n
n
n
x,
1
)1(
n
nxn
的收敛半径都是
R = 1 。
1n
n
n
x 的收敛域是 [ - 1,1 ) ；
1
2
)1(
n
n
n
x 的收敛域是 [0,2] ；
1
)1(
n
nxn
的收敛域是 ( - 2,0) 。
在判断数项级数的收敛性时，除了 Ca u c h y 判别法，还有
D 'A l em b ert 判别法，下面的定理就是 D ' A l em b ert 判别法在幂级数上的应用。
定理 1 0,3,2 ( D ' A l em bert 判别法 ) 如果对幂级数
0n
n
n
xa
成立
n
l i m
n
n
a
a
1?
= A,
则此幂级数的收敛半径为 R =
A
1
。
定理的证明包含在引理 9,3,1 给出的不等式
n
l i m?
n
n
a
a
1
n
l i m
n na ||
n
l i m?
n
na ||
n
l i m
n
n
a
a
1?
中。
例 1 0,3,3 考察幂级数
0 !n
n
n
x
n
n
的收敛情况。
解 因为
n
l i m
n
n
a
a
1?
=
n
l i m
!
)!1(
)1(
1
n
n
n
n
n
n
= e,
所以收敛半径为 R =
e
1
。
当 x =
e
1
时，
0 !n
n
n
x
n
n
是正项级数，由 S t i r l i n g 公式（例 9,5,5 ）,
n
n
x
n
n
!
～
n
n
n
n
n
e2
2
1 e
1
=
n?2
1
(
n
)
可知
0 !n
n
n
x
n
n
在 x =
e
1
时发散；
当 x =
e
1
，
0 !n
n
n
x
n
n
是交错级数，由于
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
!
)!1(
)1(
1
1
=
e
1
1
1
1
n
n
且
n
n
x
n
n
!
～
0
2
1
n
(
n
),
可知
0 !n
n
n
x
n
n
在 x =
e
1
时是 Le i b n i z 级数，所以收敛。
综上所述，
0 !n
n
n
x
n
n
的收敛域是
11
,
ee
。
幂级数的性质
Ab el 第一定理,如果幂级数在点? 收敛,则当 | | | |x 时幂级数绝对收敛 ； 如果幂级数在点? 发散,则当 | | | |x 时幂级数发散 。
显然，这一结论已包含在定理 10,3,1 之中。
定理 10.3,3 ( Ab e l 第二定理 ) 设幂级数
0n
n
n xa
的收敛半径为 R,
则
( i )
0n
n
n xa
在 ( - R,R ) 上内闭一致收敛,即在任意闭区间 [ a,b ]?
( - R,R ) 上一致收敛 ；
( i i) 若在 x = R 收敛,则它在任意闭区间
[,] (,]a R R R
上一致收敛 。
幂级数的性质
Ab el 第一定理,如果幂级数在点? 收敛,则当 | | | |x 时幂级数绝对收敛 ； 如果幂级数在点? 发散,则当 | | | |x 时幂级数发散 。
显然，这一结论已包含在定理 10,3,1 之中。
证
( i ) 记
m a x | |,| |ab
，对一切 x ∈ [ a,b ],成立
nn xa nna?
,
由于
||
R,所以
0
|| nn
n
a?
收敛，由 W e i e r s tr a s s 判别法，可知
0n
n
n xa
在
[ a,b ] 上一致收敛。
(i i ) 先证明
0n
n
n
xa
在 [0,R ] 上一致收敛。
当
0n
n
n
Ra
收敛时，由于 n
R
x
在 [ 0,R ] 一致有界（
10
n
R
x
),且关于 n 单调，根据 A b el 判别法,
0n
n
n
xa
=
0
)(
n
n
n
Ra
n
R
x
在 [0,R ] 上一致收敛。
于是当
0?a
时，
0n
n
n
xa
在 [ a,R ] 上一致收敛；当
0 aR
时，由 (i ),
0n
n
n
xa
在 [ a,0 ] 上一致收敛，结合
0n
n
n
xa
在 [0,R ] 上的一致收敛性就得到
0n
n
n
xa
在 [ a,R ] 上一致收敛。
注 类似地可进一步得到,
若
0n
n
n xa
在 x = - R 收敛,则它在任意闭区间 [ - R,b ]?
),[ RR?
上一致收敛 ；
若
0n
n
n xa
在 x = ± R 都收敛,则它在 [ - R,R ] 上一致收敛 。
概括地说,幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上一致收敛 。
根据 A b el 第二定理，可以得到幂级数的如下性质,
(1 ) 和函数的连续性,幂级数在它的收敛域上连续 。
定理 1 0,3,4 设
0n
n
n xa
的收敛半径为 R,则和函数在 ( - R,R ) 上连续 ； 若
0n
n
n xa
在 x = R （ 或 x = - R ） 收敛,则和函数在 x = R （或 x = - R ）
左 ( 右 ) 连续 。
证 幂级数的一般项是幂函数，显然是连续函数。由 A b el 第二定理，
0n
n
n xa
在其收敛域上内闭一致收敛，根据 一致收敛函数项级数的和函数的连续性，
0n
n
n xa
在包含于收敛域中的任意闭区间上连续，
因而在它的整个收敛域上连续。
根据 A b el 第二定理，可以得到幂级数的如下性质,
(1 ) 和函数的连续性,幂级数在它的收敛域上连续 。
定理 1 0,3,4 设
0n
n
n xa
的收敛半径为 R,则和函数在 ( - R,R ) 上连续 ； 若
0n
n
n xa
在 x = R （ 或 x = - R ） 收敛,则和函数在 x = R （或 x = - R ）
左 ( 右 ) 连续 。
(2 ) 逐项可积性,幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分 。
定理 1 0,3,5 设 a,b 是幂级数
0n
n
n
xa
收敛域中任意二点,则
b
a
n
n
n
xxa d
0
=
xxa
n
b
a
n
n
d
0
,
特别地,取 a = 0,b = x,则有
x
n
n
n
tta
0
0
d
=
0
1
1n
nn
x
n
a
,
且逐项积分所得幂级数
0
1
1n
nn
x
n
a
与原幂级数
0n
n
n
xa
具有相同的收敛半径 。
证 由 A b el 第二定理，
0n
n
n xa
在其收敛域上内闭一致收敛。应用一致收敛函数项级数的逐项积分定理，即得到幂级数的逐项可积性。
由于
n
l i m 1
1
||
n n
n
a =
n
l i m n na ||
,
可知
0
1
1n
nn x
n
a
与
0n
n
n xa
具有相同的收敛半径。
注 虽然逐项积分所得的幂级数
0
1
1n
nn x
n
a 与原幂级数
0n
n
n xa
收敛半径相同，但收敛域有可能扩大。
证 由 A b el 第二定理，
0n
n
n xa
在其收敛域上内闭一致收敛。应用一致收敛函数项级数的逐项积分定理，即得到幂级数的逐项可积性。
由于
n
l i m 1
1
||
n n
n
a =
n
l i m n na ||
,
可知
0
1
1n
nn x
n
a
与
0n
n
n xa
具有相同的收敛半径。
例 1 0,3,4 在例 1 0,2,7 中，通过对
1
221)1(
n
nn x
的逐项积分，已得到
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
= x
3
1?
x
3
xx a r c t a n
5
1 5
,
)1,1(x
。
显然，
1
221)1(
n
nn x
的收敛域是 ( - 1,1),但
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
的收敛域是
[ - 1,1 ] 。
由于
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
在 x = ± 1 收敛，由幂级数和函数的连续性，
即可得
1
12
1
1 12
)1(
l im
n
n
n
x
x
n
=
1
1
12
)1(
n
n
n
=
1
12
1
1 12
)1(
l im
n
n
n
x
x
n
=
4
a r c ta nl im
1
x
x
,
也就是
12
)1(
5
1
3
1
1
4
1
n
n。
例 1 0,3,5 在例 1 0,2,8 中，通过对
1
11
)1(
n
nn
x
的逐项积分，已得到
1
1
)1(
n
n
n
x
n
= x
2
2
1
x? )1ln (
3
1 3
xx
,
)1,1(x
。
显然，
1
11
)1(
n
nn
x
的收敛域是 ( - 1,1),但
1
1
)1(
n
n
n
x
n
的收敛域是 ( - 1,1 ] 。
由于
1
1
)1(
n
n
n
x
n
在 x = 1 收敛，由幂级数和函数的连续性，即可得
1
1
1
)1(
li m
n
n
n
x
x
n
=
1
1
)1(
n
n
n
=
1
1
1
)1(
li m
n
n
n
x
x
n
=
2ln)1l n (lim
1
x
x
,
也就是
l n 2 = 1
2
1
3
1
n
n 1
)1(
+
,?
此即为例 2,4,1 0 的结果。
(3 ) 逐项可导性,幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导 。
定理 1 0,3,6 设
0n
n
n xa
的收敛半径 为 R,则它在 ( - R,R ) 上可以逐项求导,即
xd
d
0n
n
n xa
=
0 d
d
n
n
n xax
=
1
1
n
n
n xna
,
且逐项求导所得的幂级数
1
1
n
n
n xna
的收敛半径也是 R 。
证 首先有
n
l i m 1 ||?n nan
n
lim n na ||
,
即
1
1
n
n
n xna
的收敛半径也是 R,因此
1
1
n
n
n xna
在 ( - R,R ) 上内闭一致收敛。再由于
0n
n
n xa
在 ( - R,R ) 上收敛，应用函数项级数的逐项求导定理，
即得到幂级数的逐项可导性。
(3 ) 逐项可导性,幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导 。
定理 1 0,3,6 设
0n
n
n xa
的收敛半径 为 R,则它在 ( - R,R ) 上可以逐项求导,即
xd
d
0n
n
n xa
=
0 d
d
n
n
n xax
=
1
1
n
n
n xna
,
且逐项求导所得的幂级数
1
1
n
n
n xna
的收敛半径也是 R 。
注 虽然逐项求导所得的幂级数
1
1
n
n
n xna
与原幂级数
0n
n
n xa
收敛半径相同，但收敛域有可能缩小。这只要考察例 1 0,3,4 中的
0
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
与例 1 0,3,5 中的
0
1)1(
n
n
n
x
n
。前者的收敛域是 [ - 1,1 ] ; 后者的收敛域是 ( - 1,1 ],但它们经过逐项求导后，收敛域都缩小为 ( - 1,1) 。
例 1 0,3,6 求
0
!
n
n
n
x
的和函数。
解 由于
n
l i m
!
1
)!1(
1
n
n?
= 0,
可知
0
!
n
n
n
x
的收敛半径为R,即它的收敛域为
),(
。令
S ( x ) =
0
!
n
n
n
x
（
),(x
）,
应用幂级数的逐项可导性,可得
S ' ( x ) =
0
!
n
n
n
x =
1
1
!)1(
n
n
n
x
=
0
!
n
n
n
x
= S ( x ) 。
于是有
))((e xSx
=
x?e
(
)( xS?
- S ( x )) = 0,
),(x
。
这说明
x?e
S ( x ) 是一个常数，且该常数为
1))((e
0
x
x
xS
。从而得到
S ( x ) =
0
!
n
n
n
x
= e
x
,
),(x
。
例 1 0,3,7 求级数
1 3
12
n
n
n
之和。
解 先考察幂级数
0n
n
x
=
x?1
1
,
)1,1(x
,
逐项求导后，再两边乘以 x,得到
1n
n
nx
=
2
)1( x
x
,
)1,1(x
。
令
3/1?x
，则有
1 3
1
n
n =
2
1
,
1 3
1
n
n
n
=
4
3
,
于是得到
1 3
12
n
n
n
= 2
1 3
1
n
n
n
+
1 3
1
n
n = 2 。
例 1 0,3,8 求幂级数
0
2
!2
1
n
n
n
x
n
n
的和函数。
解 易知幂级数的收敛域为
),(
，并且有
,
!2
1
)!1(2!2
1
010
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
其中右面两个幂级数的收敛域显然也为
),(
。
由例 1 0,3,6 得到
/2
00
11
e
2 ! ! 2
n
nx
n
nn
x
x
nn
，
),(x
。
再看
11 2)!1()!1(2 n
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
。
设
)(1 xS
1
1
)!1(n
n
x
n
n
，由逐项积分与例 1 0,3,6 的结论得
1
0
( )d
x
S t t 1
1 0 0
1 1 1
e,(,),
( 1 ) ! ! !
n n n x
n n n
x x x x x x
n n n
对等式两边求导得
1 ( ) e ( 1 )
xS x x
，
),(x
,
所以
1
/2
1
11
1e
2 ( 1 ) ! 2 ( 1 ) ! 2 2 2 2 2
n
nx
n
nn
n x n x x x x x
xS
nn
。
于是
22
/2
0
1
e1
2 ! 2 4
nx
n
n
n x x
x
n
，
),(x
。
在§ 9,4,我们曾证明，若
1n
n
a
与
1n
n
b
绝对收敛，则它们的 C au c h y
乘积
1n
n
c
=
1 1n nji
ji
ba
=
1
1121
)(
n
nnn
bababa?
等于
1n
n
a?
1n
n
b
。但是当
1n
n
a
与
1n
n
b
不是绝对收敛时，则上述结论不一定成立。下面我们应用幂级数的性质证明，即使
1n
n
a
与
1n
n
b
没有绝对收敛性，但只要它们的 Cau ch y 乘积
1n
n
c
收敛，则上述结论仍然成立。
于是
42
1
!2
1
2
2/
0
2
xx
ex
n
n
x
n
n
n
，
),(x
。
在§ 9,4,我们曾证明，若
1n
n
a
与
1n
n
b
绝对收敛，则它们的 C au c h y
乘积
1n
n
c
=
1 1n nji
ji
ba
=
1
1121
)(
n
nnn
bababa?
等于
1n
n
a?
1n
n
b
。但是当
1n
n
a
与
1n
n
b
不是绝对收敛时，则上述结论不一定成立。下面我们应用幂级数的性质证明，即使
1n
n
a
与
1n
n
b
没有绝对收敛性，但只要它们的 Cau ch y 乘积
1n
n
c
收敛，则上述结论仍然成立。
例 1 0,3,9 设
1n
n
a
，
1n
n
b
及它们的 Cau ch y 乘积
1n
n
c
收敛，则
1n
n
c
=
1n
n
a?
1n
n
b
。
证 定义三个幂级数及它们的和函数如下,
f ( x ) =
1n
n
n
xa
,g ( x ) =
1n
n
n
xb
,h ( x ) =
1n
n
n
xc
。
这三个幂级数在 x = 1 都收敛，根据幂级数的性质,f ( x ),g ( x ),h ( x )
三个和函数都在 [ 0,1 ] 连续，且当
10 x
时，三个幂级数都绝对收敛，
于是由定理 9,4,7,
1n
n
n
xa?
1n
n
n
xb
= x
1n
n
n
xc
,
即
f ( x ) g ( x ) = xh ( x ),
x
(0,1) 。
令
1x
，得到 f (1 ) g ( 1 ) = h (1 ),也就是得到
1n
n
a?
1n
n
b
=
1n
n
c
。
