偏导数定义 1 2,1,1 设 D? 2R 为开集,
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数，
),( 00 yx?
D 为一定点 。 如果存在极限
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim 0000
0
,
那么就称函数
f
在点
),( 00 yx
关于 x 可偏导,并称此极限为
f
在点
),( 00 yx
关于 x 的 偏导数,记为
),( 00 yx
x
z
（ 或
),( 00 yxf x
，
),( 00 yx
x
f
）。
第十二章 多元函数的微分学
§ 1 偏导数与全微分如果函数
f
在 D 中每一点都关于 x 可偏导，则 D 中每一点
),( yx
与其相应的
f
关于 x 的偏导数
),( yxf x
构成了一种对应关系即二元函数关系，它称为
f
关于 x 的 偏导函数 （ 也称为 偏导数 ）,记为
x
z
（或
),( yxf x
，
x
f
）。
类似地可定义
f
在点
),( 00 yx
关于
y
的偏导数
),( 00 yx
y
z
（或
),( 00 yxf y
，
),( 00 yx
y
f
）及关于
y
的偏导函数
y
z
（或
),( yxf y
，
y
f
）。
若
f
在点
),( 00 yx
关于 x 和
y
均可偏导，就简称
f
在点
),( 00 yx
可偏导。
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数
(,),(,)z f x y x y D,
它的图 像 是一张曲面。平面
0yy?
与这张曲面的交线 l （见图 12,1,1 ）
方程为
l,
).,(
,
,
0
0
yxfz
yy
xx
X
Y
Z
0x
(,)z f x y?
T
O y
0
图 12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式，该曲线在点 ),(
00 yx
处的切向量
T 的方向余弦满足
00c o s (,),c o s (,),c o s (,) 1,0,(,)xx y z f x y?T T T
,
也就是说,),(
00 yxf x
是平面
0yy?
上的曲线 l 在点 ),(
00 yx
处的切线关于 x 轴的斜率。这是一元情况的直接推广。
X
Y
Z
0x
(,)z f x y?
T
O y
0
图 12.1.1
从偏导数的定义可以看出，对某个变量求偏导数，只要在求导时将其 他 变量看成常数就可以了，这种思想可以推广到一般的
n
元函数上去：设
),,,( 002010 nxxxx
为开集 n? RD 中一定点。定义
n
元函数
),,,( 21 nxxxfu
，
12(,,,)nx x x? D
在 0x 点关于
ix
（
ni,,2,1
）的偏导数为
)(
0
x
i
x
f
=
),,,(
00
2
0
1 n
i
xxx
x
f
=
i
nniiii
x x
xxxfxxxxxxf
i?
),,,(),,,,,,(
lim
00
2
0
1
00
1
00
1
0
1
0
（如果等式右面的极限存在的话）。
如果函数
f
在 开集（或区域） D 上每一点关于每个
ix
都可偏导
（
ni,,2,1
），则称
f
在 D 上可 偏导。
例 1 2,1,1 设
424 2),( yyxxyxf
，求
),( yxf x
，
),( yxf y
，
)1,0(xf
和
)1,0(yf
。
解 把
y
看成常数，对 x 求导便得
xyxyxf x 44),( 3
。
于是
0)1,0(?xf
。
把 x 看成常数，对
y
求导便得
32 42),( yxyxf
y
。
于是
4)1,0(?yf
。
例 12,1,2 求函数 )l n (
32 zyxu
的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
,
32
2
zyx
y
y
u
,
32
23
zyx
z
z
u
。
例 1 2,1,3 设 )1,0( xxxz y,证明它满足方程
zyzxxzyx 2ln 1
。
证 由于
xxyzyxxz yy ln,1
，因此
zxxxxyxyxyzxxzyx yyy 22lnln 1ln 1 1
。
例 12,1,2 求函数 )l n (
32 zyxu
的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
,
32
2
zyx
y
y
u
,
32
23
zyx
z
z
u
。
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。
例 1 2,1,4 设
).0,0(),(,0
),0,0(),(,
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
计算
)0,0(),0,0( yx ff
。
解 由定义得到
0
0
lim
0
0
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0(
0
22
00
xx
x
x
x
fxf
f
xxx
x
。
同理
0)0,0(?yf
。这说明了
),( yxf
在
)0,0(
点可偏导。
但我们已经知道，
),( yxf
在
)0,0(
点不连续。
方向导数偏导数反映的是二元函数沿
x
轴方向或
y
轴方向的变化率。而在平面 2R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。
2R 中的单位向量
v
总可以表示为
)s i n,( c o sv
，这里
为
v
与
x
轴正向的夹角，因此
v
代表了一个方向，
)c o s(s i n,c o s
就是
v
的方向余弦（其中
为
v
与
y
轴正向的夹角）。设
),( 000 yxP
2R,则以
0P
为起点，方向为
v
的射线（图 1 2,1,2 ）的参数方程为
vOPx t0 )s i n,c o s( 00 tytx
，
0?t
。
y
)s i n,( c o sv
O x
图 12,1,2
000(),P x y
定义 1 2,1,2 设 D? 2R 为开集,
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数,
),( 00 yx?
D 为一定点，
)s i n,( c o sv
为一个方向 。 如果极限
t
yxftytxf
t
),()s i n,c o s(
lim 0000
0
存在,则称此极限为函数
f
在点
),( 00 yx
的沿方向 v 的 方向导数,记为
),( 00 yx
v
f
。
由于 x 轴和 y 轴的正向的方向分别为 )1,0()0,1(
21 ee 和
，由定义立即得到，函数 ),( yxf 在点 ),(
00 yx
处关于 x （或 y ）可偏导的充分必要条件为 ),( yxf 沿方向
1e
和
1e?
（或方向
2e
和
2e?
）的方向导数都存在且为相反数，且这时成立
),(),( 00
1
00 yxe
fyx
x
f
（或 ),(),(
00
2
00 yxe
fyx
y
f
）。
定义 1 2,1,2 设 D? 2R 为开集,
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数,
),( 00 yx?
D 为一定点，
)s i n,( c o sv
为一个方向 。 如果极限
t
yxftytxf
t
),()s i n,c o s(
lim 0000
0
存在,则称此极限为函数
f
在点
),( 00 yx
的沿方向 v 的 方向导数,记为
),( 00 yx
v
f
。
例 1 2,1,5 求二元函数
2122 ||),( yxyxf
在原点的方向导数。
解 对于任一方向
)s i n,( c o sv
，有
2122 |s i nc o s|||)0,0()s i n0,c o s0(
t
t
t
fttf
。
当 22 s i nc o s? 时，上式为零，因此
),( yxf
沿这样的方向的方向导数为零。
当 22 s i nc o s? 时，当 0t 时上式的极限为
2122 |s i nco s|
，它就是
),( yxf
沿方向 v 的方向导数。同样可计算出，
),( yxf
沿方向 v? 的方向导数仍为
2122 |s i nco s|
。
特别地，
),( yxf
沿方向
ie
和
ie? )2,1(?i
的方向 导数均为 1,因此
),( yxf
在
)0,0(
点的偏导数不存在。
若将 nR 中的单位向量 v （即满足
1?v
的向量）视为一个方向，
就可类似定义 n 元函数的方向导数：设 n? RD 为开集，
),,,( 002010 nxxxx
为 D 中一定点，
),,,( 21 nvvvv
为一方向。定义 D 上的 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
在点 0x 的沿方向 v 的方向导数为
),,,( 00201 nxxx
v
f?
t
xxxftvxtvxtvxf nnn
t
),,,(),,,(lim 002010202101
0
,
（如果等式右面的极限存在的话）。
全微分对于函数
),( yxfz?
，记它的 全增量 为
z? =
0 0 0 0(,) (,)f x x y y f x y
。
定义 1 2,1,3 设 D? 2R 为开集,
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数，
),( 00 yx
D 为一定点 。
若存在只与点
),( 00 yx
有 关而与
yx,
无关的常数 A 和 B,使得
z22
yxoyBxA
,
这里
22 yxo
表示在
022 yx
时比
22 yx
高阶的无穷小量。 则称函数
f
在点
),( 00 yx
处是 可微 的,并称其 线性主要部分
yBxA
为
f
在点
),( 00 yx
处的 全微分,记为
),(d 00 yxz
或
),(d 00 yxf
。
若（在
022 yx
时）将自变量
yx,
的微分
yx,
分别记为
yx d,d
，那么有全微分形式
),(d 00 yxz
=
yBxA dd?
。
说明,
（ 1 ）如果函数
f
在点
),( 00 yx
处可微，则
f
在点
),( 00 yx
处是连续的，
即 可微必连续 。
（ 2 ）若
y?
=0,则得到
xoxAyxfyxxf ),(),( 0000
,
于是
A
x
yxfyxxf
x
),(),(
l im 0000
0
,
所以
Ayx
x
f
),( 00
。同理可证
Byx
y
f
),(
00
。因此 可微必可偏导,同时，
得到 全微分公式
yyx
y
f
xyx
x
f
yxf d),(d),(),(d
000000
。
例 1 2,1,6 求函数 xyz e? 在点 )1,2( 处的全微分。
解 由于
xyxy x
y
zy
x
z e,e?
,
则
22 e2)1,2(,e)1,2(?
y
z
x
z 。所以函数在点 )1,2( 处的全微分为
yxz de2ded 22 。
定理 1 2,1,1 设 D? 2R 为开集，
),( 00 yx
D 为一定点 。 如果函数
(,),(,)z f x y x y D
在
),( 00 yx
可微,那么对于任一方向
)s i n,( c o sv
，
f
在
),( 00 yx
点沿方向 v 的方向导数存在,且
s in),(c o s),(),(
000000
yx
y
f
yx
x
f
yx
v
f
。
证 由定义和全微分公式，得
t
yxftytxf
yx
v
f
t
),()s in,c o s(
lim),(
0000
0
00
t
totyx
y
f
tyx
x
f
t
)(s i n),(c o s),(
lim
0000
0
s in),(c o s),(
0000
yx
y
f
yx
x
f
。
如果 函数
f
在开集（或区域） D 上的每一点都是可微的，则称
f
在 D 上可微。此时成立
yyx
y
f
xyx
x
f
z d),(d),(d
。
（ 3 ）用同样的思想可以定义一般 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
的全微分，并可得到
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
u dddd
2
2
1
1
。
如果
),,,( 21 nxxxfu
在 x
),,,( 21 nxxx
点可微，那么
n
n
x
f
x
f
x
f
v
f
c o sc o sc o s
2
2
1
1
,
其中
)c o s,,c o s,( c o s 21 nv
为一方向，而
i?
就是 v 与
ix
轴正向的夹角。
例 1 2,1,7 求函数
y
zyxu a r c t a n
2
c o s
的全微分。
解 由于
2222,2s in2
1,1
zy
y
z
u
zy
zy
y
u
x
u
,
所以
z
zy
y
y
zy
zy
xu dd
2
s i n
2
1
dd 2222
。
（ 4 ）一元函数的可导与可微是等价的。在高维情形可微必可偏导，但可偏导并不一定可微。例如，函数
)0,0(),(,0
),0,0(),(,
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf
在
)0,0(
点不连续，因此不可微，但它在
)0,0(
点是可偏导的（见例
1 2,1,4 ）。
事实上，一个函数即使在某一点处连续，且所有方向导数都存在，
也不一定在该点可微。
例 1 2,1,8 设
.0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxf
由于
||
2
|),(|
42
42
42
2
yy
yx
yx
y
yx
xy
yxf?
,
所以
),( yxf
在
)0,0(
点连续；而
),( yxf
在
)0,0(
点沿方向
)s i n,( c o sv
的方向导数为
t
fttf
v
f
t
)0,0()s i n0,c o s0(
lim
0
0
s inc o s
s inc o s2
lim
422
3
0
t
tt
。
因此
0)0,0()0,0( yx ff
。
但因为
),(])0,0()0,0([)0,0()0,0( yxfyfxffyxf yx
,
而
220
),(
l i m
2 yx
yxf
yx
y
=
22
42
3
0
2
l i m
2 yx
yx
yx
yx
y
2
44
5
0
1
2
l i m
yy
yy
y
y
1
1
1
lim
20
y
y
0?
,
即
22)0,0()0,0()0,0()0,0( yxoyfxffyxf yx,
所以
),( yxf
在
)0,0(
点不可微。
关于函数的可微性有如下的充分条件,
定理 1 2,1,2 设函数
),( yxfz?
在
),( 00 yx
点的某个邻域上存在偏导数,并且偏导数在
),( 00 yx
点 连续,那么
f
在
),( 00 yx
点 可微 。
证 首先我们有
.1,0,),(),(
)],(),([)],(),([
),(),(
21200010
00000000
0000
yyyxfxyyxxf
yxfyyxfyyxfyyxxf
yxfyyxxf
yx
其中最后一步利用了微分中值定理。
因为
xf
和
yf
在
),( 00 yx
点 连续，所以
),1(),(),(
),1(),(),(
00200
00010
oyxfyyxf
oyxfyyxxf
yy
xx
其中
)1(o
表示当
022 yx
时的无穷小量。于是
,),(),(
)1()1(),(),(
),(),(
22
0000
0000
0000
yxoyyxfxyxf
yoxoyyxfxyxf
yxfyyxxfz
yx
yx
即
f
在
),( 00 yx
点 可微。
梯度定义 1 2,1,4 设 D? 2R 为开集,?),(
00 yx
D 为一定点 。 如果函数
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 点可偏导,则称向量 )),(),,(( 0000 yxfyxf yx 为 f 在点
),( 00 yx 的 梯度,记为 00(,)f x yg r a d,即
0 0 0 0 0 0(,) (,) (,)xyf x y f x y f x ygrad ij
。
如果
f
在
),( 00 yx
点可微，注意到方向导数公式中
1?v
，则得到它的另一种表达,
0 0 0 0(,) (,)
f
x y f x y
v
g r a d v00(,) c o s (,)f x y f? g r a d g r a d v
。
其中
(,)fg r a d v
表示
fg r a d
与 v 的夹角。
由此可见，函数
f
在其任何一可微点的方向导数的最大值
fg r a d
在梯度方向达到。这就是说，沿着梯度方向函数值增加最快。同样，
f
的方向导数的最小值
f? g r a d
在梯度的反方向达到，或者说，沿着梯度相反方向函数值减少最快。
梯度定义 1 2,1,4 设 D? 2R 为开集,?),(
00 yx
D 为一定点 。 如果函数
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 点可偏导,则称向量 )),(),,(( 0000 yxfyxf yx 为 f 在点
),( 00 yx 的 梯度,记为 00(,)f x yg r a d,即
0 0 0 0 0 0(,) (,) (,)xyf x y f x y f x ygrad ij
。
梯度具有下列基本性质,
1 ） 若 cf? （ c 为常数），则 fg r a d =0 ；
2 ） 若?,? 为常数，则 () fgg r a d =? fg r a d +? gg r a d ；
3 ） ()fg?g r a d = fg? g r a d + gf? g r a d ；
4 ）
2 ( 0 )
f g f f g g
gg
g r a d g r a dg r a d 。
同样可以定义一般 n 元函数的梯度：设 n? RD 为开集,?0x
,,( 0201 xx ),0nx? D 为一定点。如果函数 ),,,( 21 nxxxfu 在 0x 点可偏导，
我们称向量,,((
0201
1 xxf x
)),,,(,),,,,(),,
00201002010
2 nxnxn xxxfxxxfx n
为 f 在点 0x 的梯度，记为 0 0 0
12(,,,)nf x x xgrad
（或 0()fg r a d x ）。
上面叙述的关于梯度的基本性质与公式对一般 n 元函数也成立。
梯度具有下列基本性质,
1 ） 若 cf? （ c 为常数），则 fg r a d =0 ；
2 ） 若?,? 为常数，则 () fgg r a d =? fg r a d +? gg r a d ；
3 ） ()fg?g r a d = fg? g r a d + gf? g r a d ；
4 ）
2 ( 0 )
f g f f g g
gg
g r a d g r a dg r a d 。
例 1 2,1,9 设
0,),( 2
2
2
2
ba
b
y
a
xyxf 。在上半平面
}0|),{( 2 yyx R
上，指出函数值增加最快的方向。
解 由于在梯度不为零向量处，梯度方向就是函数值增加最快的方向，所以在
)0,0(),(?yx
的点，函数
f
的梯度
22
22(,) xyf x y
ab
g r a d ij
就是函数值增加最快的方向。
fgrad
y
xO
图 12.1.3
而在原点
)0,0(
，函数
f
的梯度为零向量，这就要用其 他 方法考虑。
22
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
(,) (0,0 )
xy
f x y f x y x
a b b b a
,
因此，在以原点为中心的任意小圆周上，当 0?x 时
)0,0(),( fyxf?
最大，
即函数值增加最大。这就是说，在原点处，沿
y
轴方向函数值增加最快（参见图 12,1,3 ）。
关于梯度的性质，以后在场论中还要详加讨论。
fgrad
y
xO
图 12.1.3
高阶偏导数设 ),( yxfz? 在区域 D? 2R 上具有偏导数
),( yxf
x
z
x
和 ),( yxf
y
z
y
。
那么在 D 上，
),( yxf x
和
),( yxf y
都是
yx,
的二元函数。如果这两个偏导函数的偏导数也存在，则称它们是 ),( yxf 的 二阶偏导数 。
按照对自变量的求导次序的不同，二阶偏导数有下列四种,
),(),(
2
2
yxfyxf
xx
z
xx
z
xxx
,
),(),(
2
yxfyxf
xy
z
xyx
z
yxy
,
),(),(
2
yxfyxf
yx
z
yxy
z
xyx
,
),(),(
2
2
yxfyxf
yy
z
yy
z
yyy
。
其中第二、第三两个二阶偏导数称为 混合偏导数 。
类似可得到三阶、四阶以至更高阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 。
同样可对 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
定义高阶偏导数 。
例 1 2,1,1 0 设
xy
yx
z
1
a r c t a n
，求
2
222
2
2
,,,
y
z
xy
z
yx
z
x
z
。
解
2
2 2 2 2
1 ( 1 ) ( ) ( ) 1
( 1 ) ( 1 ) ( )
1
1
z x y x y y y
x x y x y x y
xy
xy
2
2 2 2
11
( 1 ) ( 1 ) 1
y
x y x
,
因此
22
2 2 2 2
21
,0
( 1 ) 1
z x z z
x x y x y x y x
,
同理
2
1
1
yy
z
，因此
222
22
)1(
2
,0
y
y
y
z
yx
z
。
注意本例中两个混合偏导数是相等的。
例 1 2,1,1 1 设
,0,0
,0,
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
xy
yxf
求 2
( 0,0)
z
xy
与
2
( 0,0)
z
yx
。
解
(,)f x y
一阶偏导数为
,0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
y
yxf
x
.0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
x
yxf
y
于是
1
0
li m
)0,0()0,0(
li m)0,0()0,0(
4
5
00
2
y
y
y
y
fyf
f
xy
z
y
xx
y
xy
,
1
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0()0,0(
4
5
00
2
x
x
x
x
fxf
f
yx
z
x
yy
x
yx
。
注意本例中
),( yxf
在
)0,0(
点的两个混合偏导数不相等。
关于混合偏导数相等的条件有如下定理,
定理 1 2,1,3 如果函数 ),( yxfz? 的两个混合偏导数
xyf
和
yxf
在点
),( 00 yx 连续,那么等式
),(),( 0000 yxfyxf yxxy?
成立 。
证 考虑差商
yx
yxfyyxfyxxfyyxxf
I
)],(),([)],(),([
00000000
。
设
).,(),()(
),,(),()(
00
00
yxfyxxfy
yxfyyxfx
利用微分中值定理可得
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 0 2 1 2
[ (,) (,) ] [ (,) (,) ]
( ) ( ) ( )
[ (,) (,) ]
(,) ( 0,1 )
xx
xy
f x x y y f x x y f x y y f x y
I
xy
x x x x x x
x y x y
f x x y y f x x y
y
f x x y y
。
另一方面，将 I 重新组合可以得到
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 3
0 0 3 0 0 3
0 4 0 3 3 4
[ (,) (,) ] [ (,) (,) ]
( ) ( ) ( )
[ (,) (,) ]
(,) ( 0,1 )
yy
yx
f x x y y f x y y f x x y f x y
I
xy
y y y y y y
x y x y
f x x y y f x y y
x
f x x y y
。
因此
),(),( 30402010 yyxxfyyxxf yxxy
。
利用两个混合偏导数
xyf
和
yxf
在点
),( 00 yx
连续的条件，得到
0 0 0 1 0 2
(,) ( 0,0 )
0 4 0 3 0 0
(,) ( 0,0 )
(,) l i m (,)
l i m (,) (,),
x y x y
xy
y x y x
xy
f x y f x x y y
f x x y y f x y
在科学和工程技术的实际应用中，往往认为所出现的偏导数是连续的，所以不介意求偏导的次序。例如
22
4
yx
f
就概括了六种不同次序的四阶混合偏导数
y y x xy x y xx y y xy x x yx y x yx x y y ffffff,,,,,
。
读者在阅读有关书籍时，请注意这一点。
例 1 2,1,1 2 设
yxyxz e)( 22
，计算
qp
qp
yx
z
（
qp,
为 正 整数 ）。
解 由于
,2,1,eee
k
yx
yxyx
k
k
yx
k
k,
因此，关于 y 用 L ei b n i z 公式，得
.e)]1(2[
e2Ce)2(Ce)(
22
2122
yx
yx
q
yx
q
yx
q
q
qqqyyx
yyx
y
z
关于
x
再用一次 L ei b n i z 公式，就得到
2 2 1 2
[ 2 ( 1 ) ] e C ( 2 ) e C 2 e
pq
x y x y x y
pppq
z
x y q y q q x
xy
22[ 2 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ] e xyx y p x q y p p q q
。
高阶微分设
),( yxfz?
在区域 D? 2R 上具有连续偏导数，那么它是可微的，
并且
d d d
zz
z x y
xy
。
若
),( yxfz?
具有二阶连续偏导数，那么
x
z
与
y
z
也是可微的，从而
zd
可微。我们称
zd
的微分为 z 的 二 阶微分，记为
)d(dd 2 zz?
。
一般地，可在 z 的 k 阶微分 zkd 的基础上定义它的 1?k 阶微分为
（如果存在的话）
,2,1),d ( dd 1 kzz kk
。
二阶及二阶以上的微分统称为 高阶微分 。
由于对自变量
yx,
总有
0)d ( dd,0)d ( dd 22 yyxx
,
于是
),( yxfz?
的二阶微分为
yy
y
z
x
yx
z
xy
xy
z
x
x
z
y
y
z
y
y
z
x
x
z
x
x
z
y
y
z
x
x
z
zz
dddddd
dddddd
ddd)d ( dd
2
222
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
ddd2d y
y
z
yx
yx
z
x
x
z
,
这里 2d x 和
2d y
分别表示
2( d )x
和
2( d )y
。
若将
x?
和
y?
看作求偏导数的运算符号，并约定
2
22
xx?
,
yxyx
2
，
2
2
2
yy?
,
那么一阶和二阶的微分公式可以分别表示为
z
y
y
x
xz
ddd
,
z
y
y
x
xz
2
2
ddd
。
同样地约定
p
pp
xx?
,
qp
qp
qp
yxyx
，
q
q
q
yy?
（?,2,1,?qp ）,
读者不难用数学归纳法证明高阶微分公式
z
y
y
x
xz
k
k
ddd
，
,2,1?k
。
对 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
可同样定义各阶微分，并且成立
u
x
x
x
x
x
xu
k
n
n
k
dddd
2
2
1
1
，
,2,1?k
。
例 1 2,1,1 3 设
xyzu?
，计算 3d u 。
解 首先易知
0
3
3
3
3
3
3
z
u
y
u
x
u
,
0
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
zy
u
zy
u
zx
u
zx
u
yx
u
yx
u
。
以及
1
3
zyx
u
。
利用上面所述的多元函数的高阶微分公式，可得
3
3
d d d d 6 d d du x y z u x y z
x y z
。
向量值函数的导数将 nR 上区域 D 上的 n 元 m 值向量值函数
f
,m? RD
,
x? y =
)( xf
写成坐标分量形式
1 1 1 2
2 2 1 2 T
12
12
(,,,),
(,,,),
(,,,)
(,,,),
n
n
n
m m n
y f x x x
y f x x x
x x x
y f x x x
D,
并设点
0 0 0 0 T
12(,,,)nx x xx
D （记号,
T
”表示转置）。
将上面关于多元函数的讨论用于
f
的每一个分量函数，即可平行地得到,
1,若
f
的每一个分量函数
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
都在 0x 点可偏导，就称 向量值函数
f
在 0x 点可导,并称矩阵
nm
j
i
x
f
)(
0
x
=
)()()(
)()()(
)()()(
00
2
0
1
020
2
20
1
2
010
2
10
1
1
xxx
xxx
xxx
n
mmm
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
为 向量值函数
f
在 0x 点的导数 或 J a c o bi 矩阵,记为
)( 0xf?
（或
0()D f x
，
0()
fJx
）。
注 n 元函数
),,,( 21 nxxxfz
是 1?m 时的特殊情形，所以它在 0x
点的 导数就是
)( 0xf?
= T
0 0 0
12
( ),( ),,( )
n
f f f
x x x
x x x
。
如果向量值函数
f
在 D 上每一点可导，就称
f
在 D 上可导。这时对应关系
( ) ( ) fx D f x J x
称为
f
在 D 上的导数，记为
)( xf?
（或
()D f x
，
()fJx
）。
例 1 2,1,1 4 向量值函数
3,[,] Rf
)(
)(
)(
tz
ty
tx
t?
用坐标分量表示就是
],[
),(
),(
),(
t
tzz
tyy
txx
。
这是空间曲线的参数方程，
f
的导数
T( ( ),( ),( ) )x t y t z t
就是曲线在
T))(),(),(( tztytx
点的切向量。如果这条曲线是质点关于时间 t 的运动轨迹，那么
f
的导数
))(),(),(( tztytx
就是质点运动的速度。
例 12.1.15 求向量值函数
xzy
zx
zyx
y
ln
e
),,(
3
3
f
在 )1,1,1( 点的导数。
解 (,,)x y zf 的坐标分量函数为
xzyzyxfzxzyxf
y
ln),,(,e),,(
3
2
3
1
,
因此
031
ee3
ln3
ee3
)1,1,1(
)1,1,1(
2
2
)1,1,1(
222
111
xy
x
z
zx
z
f
y
f
x
f
z
f
y
f
x
f
f
yy
。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni xxxf? ),,2,1( mi
的偏导数都在
0x 点连续，即 f 的 J aco b i 矩阵 的每个元素都在 0x 点连续，则称向量值函数 f 的导数在 0x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
3,若存在只与 0x 有关，而与 x? 无关的 nm? 矩阵 A,使得在 0x 点附近成立
)()()( 00 xxAxfxxfy o
（其中 x?
T
12(,,,)nx x x；
)( x?o
是列向量，其模是
x?
的高阶无穷小量 ），则称 向量值函数
f
在 0x 点可微,并称 A x? 为
f
在 0x 点的微分,
记为
yd
。若将 x? 记为 xd （ xd
T
12( d,d,,d )nx x x?
），那么就有
yd
= A xd 。
如果向量值函数
f
在 D 上每一点可微，则称
f
在 D 上可微。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni xxxf? ),,2,1( mi
的偏导数都在
0x 点连续，即 f 的 J aco b i 矩阵 的每个元素都在 0x 点连续，则称向量值函数 f 的导数在 0x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
定理 1 2,1,4 向量值函数
f
在 0
x
点可微的充分必要条件是它的坐标分量函数
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
都在 0
x
点可微 。 此时成立微分公式
yd
=
)( 0xf? xd
。
证 必要性：设
f
在 0
x
点可微，记
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
,
和
)))((,,))((,))((()(
21 noooo xxxx?
,
则可将
y?
写成分量形式
i
n
k
kikii
oxayf ))((
1
x
，
mi,,2,1
,
并满足
0
))((
lim
0
x
x
x
i
o
，
mi,,2,1
。
由函数可微的定义，即知
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
在 0
x
处可微，
并且
j
i
ij
x
f
a
，也就是
A =
)( 0xf?
。
充分性：设
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
在 0
x
处可微。则由定义得到
xxxx
ox
x
f
x
x
f
x
x
f
fy
n
n
iii
ii
)()()(
0
2
0
2
1
0
1
。
将上式写成矩阵乘积形式，并令 A
0
()
i
j
mn
f
x
x
，就知道
f
在 0
x
点可微。
综合上述三点，我们可以得到以下的统一表述,
向量值函数
f
连续,可导和可微就是它的每一个坐标分量函数
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
连续,可导和可微 。
此外,在用 J ac o b i 矩阵定义了 向量值函数 的导数
)( 0xf?
之后，多元函数和向量值函数的微分公式与一元函数的微分公式
xxfy d)(d
在形式上就是完全一致的。也就是说，只要将 x,y 和 f 理解为向 量，
这就是多元 函数和向量值函数 的微分公式。
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数，
),( 00 yx?
D 为一定点 。 如果存在极限
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim 0000
0
,
那么就称函数
f
在点
),( 00 yx
关于 x 可偏导,并称此极限为
f
在点
),( 00 yx
关于 x 的 偏导数,记为
),( 00 yx
x
z
（ 或
),( 00 yxf x
，
),( 00 yx
x
f
）。
第十二章 多元函数的微分学
§ 1 偏导数与全微分如果函数
f
在 D 中每一点都关于 x 可偏导，则 D 中每一点
),( yx
与其相应的
f
关于 x 的偏导数
),( yxf x
构成了一种对应关系即二元函数关系，它称为
f
关于 x 的 偏导函数 （ 也称为 偏导数 ）,记为
x
z
（或
),( yxf x
，
x
f
）。
类似地可定义
f
在点
),( 00 yx
关于
y
的偏导数
),( 00 yx
y
z
（或
),( 00 yxf y
，
),( 00 yx
y
f
）及关于
y
的偏导函数
y
z
（或
),( yxf y
，
y
f
）。
若
f
在点
),( 00 yx
关于 x 和
y
均可偏导，就简称
f
在点
),( 00 yx
可偏导。
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数
(,),(,)z f x y x y D,
它的图 像 是一张曲面。平面
0yy?
与这张曲面的交线 l （见图 12,1,1 ）
方程为
l,
).,(
,
,
0
0
yxfz
yy
xx
X
Y
Z
0x
(,)z f x y?
T
O y
0
图 12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式，该曲线在点 ),(
00 yx
处的切向量
T 的方向余弦满足
00c o s (,),c o s (,),c o s (,) 1,0,(,)xx y z f x y?T T T
,
也就是说,),(
00 yxf x
是平面
0yy?
上的曲线 l 在点 ),(
00 yx
处的切线关于 x 轴的斜率。这是一元情况的直接推广。
X
Y
Z
0x
(,)z f x y?
T
O y
0
图 12.1.1
从偏导数的定义可以看出，对某个变量求偏导数，只要在求导时将其 他 变量看成常数就可以了，这种思想可以推广到一般的
n
元函数上去：设
),,,( 002010 nxxxx
为开集 n? RD 中一定点。定义
n
元函数
),,,( 21 nxxxfu
，
12(,,,)nx x x? D
在 0x 点关于
ix
（
ni,,2,1
）的偏导数为
)(
0
x
i
x
f
=
),,,(
00
2
0
1 n
i
xxx
x
f
=
i
nniiii
x x
xxxfxxxxxxf
i?
),,,(),,,,,,(
lim
00
2
0
1
00
1
00
1
0
1
0
（如果等式右面的极限存在的话）。
如果函数
f
在 开集（或区域） D 上每一点关于每个
ix
都可偏导
（
ni,,2,1
），则称
f
在 D 上可 偏导。
例 1 2,1,1 设
424 2),( yyxxyxf
，求
),( yxf x
，
),( yxf y
，
)1,0(xf
和
)1,0(yf
。
解 把
y
看成常数，对 x 求导便得
xyxyxf x 44),( 3
。
于是
0)1,0(?xf
。
把 x 看成常数，对
y
求导便得
32 42),( yxyxf
y
。
于是
4)1,0(?yf
。
例 12,1,2 求函数 )l n (
32 zyxu
的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
,
32
2
zyx
y
y
u
,
32
23
zyx
z
z
u
。
例 1 2,1,3 设 )1,0( xxxz y,证明它满足方程
zyzxxzyx 2ln 1
。
证 由于
xxyzyxxz yy ln,1
，因此
zxxxxyxyxyzxxzyx yyy 22lnln 1ln 1 1
。
例 12,1,2 求函数 )l n (
32 zyxu
的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
,
32
2
zyx
y
y
u
,
32
23
zyx
z
z
u
。
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。
例 1 2,1,4 设
).0,0(),(,0
),0,0(),(,
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
计算
)0,0(),0,0( yx ff
。
解 由定义得到
0
0
lim
0
0
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0(
0
22
00
xx
x
x
x
fxf
f
xxx
x
。
同理
0)0,0(?yf
。这说明了
),( yxf
在
)0,0(
点可偏导。
但我们已经知道，
),( yxf
在
)0,0(
点不连续。
方向导数偏导数反映的是二元函数沿
x
轴方向或
y
轴方向的变化率。而在平面 2R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。
2R 中的单位向量
v
总可以表示为
)s i n,( c o sv
，这里
为
v
与
x
轴正向的夹角，因此
v
代表了一个方向，
)c o s(s i n,c o s
就是
v
的方向余弦（其中
为
v
与
y
轴正向的夹角）。设
),( 000 yxP
2R,则以
0P
为起点，方向为
v
的射线（图 1 2,1,2 ）的参数方程为
vOPx t0 )s i n,c o s( 00 tytx
，
0?t
。
y
)s i n,( c o sv
O x
图 12,1,2
000(),P x y
定义 1 2,1,2 设 D? 2R 为开集,
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数,
),( 00 yx?
D 为一定点，
)s i n,( c o sv
为一个方向 。 如果极限
t
yxftytxf
t
),()s i n,c o s(
lim 0000
0
存在,则称此极限为函数
f
在点
),( 00 yx
的沿方向 v 的 方向导数,记为
),( 00 yx
v
f
。
由于 x 轴和 y 轴的正向的方向分别为 )1,0()0,1(
21 ee 和
，由定义立即得到，函数 ),( yxf 在点 ),(
00 yx
处关于 x （或 y ）可偏导的充分必要条件为 ),( yxf 沿方向
1e
和
1e?
（或方向
2e
和
2e?
）的方向导数都存在且为相反数，且这时成立
),(),( 00
1
00 yxe
fyx
x
f
（或 ),(),(
00
2
00 yxe
fyx
y
f
）。
定义 1 2,1,2 设 D? 2R 为开集,
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数,
),( 00 yx?
D 为一定点，
)s i n,( c o sv
为一个方向 。 如果极限
t
yxftytxf
t
),()s i n,c o s(
lim 0000
0
存在,则称此极限为函数
f
在点
),( 00 yx
的沿方向 v 的 方向导数,记为
),( 00 yx
v
f
。
例 1 2,1,5 求二元函数
2122 ||),( yxyxf
在原点的方向导数。
解 对于任一方向
)s i n,( c o sv
，有
2122 |s i nc o s|||)0,0()s i n0,c o s0(
t
t
t
fttf
。
当 22 s i nc o s? 时，上式为零，因此
),( yxf
沿这样的方向的方向导数为零。
当 22 s i nc o s? 时，当 0t 时上式的极限为
2122 |s i nco s|
，它就是
),( yxf
沿方向 v 的方向导数。同样可计算出，
),( yxf
沿方向 v? 的方向导数仍为
2122 |s i nco s|
。
特别地，
),( yxf
沿方向
ie
和
ie? )2,1(?i
的方向 导数均为 1,因此
),( yxf
在
)0,0(
点的偏导数不存在。
若将 nR 中的单位向量 v （即满足
1?v
的向量）视为一个方向，
就可类似定义 n 元函数的方向导数：设 n? RD 为开集，
),,,( 002010 nxxxx
为 D 中一定点，
),,,( 21 nvvvv
为一方向。定义 D 上的 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
在点 0x 的沿方向 v 的方向导数为
),,,( 00201 nxxx
v
f?
t
xxxftvxtvxtvxf nnn
t
),,,(),,,(lim 002010202101
0
,
（如果等式右面的极限存在的话）。
全微分对于函数
),( yxfz?
，记它的 全增量 为
z? =
0 0 0 0(,) (,)f x x y y f x y
。
定义 1 2,1,3 设 D? 2R 为开集,
(,),(,)z f x y x y D
是定义在 D 上的二元函数，
),( 00 yx
D 为一定点 。
若存在只与点
),( 00 yx
有 关而与
yx,
无关的常数 A 和 B,使得
z22
yxoyBxA
,
这里
22 yxo
表示在
022 yx
时比
22 yx
高阶的无穷小量。 则称函数
f
在点
),( 00 yx
处是 可微 的,并称其 线性主要部分
yBxA
为
f
在点
),( 00 yx
处的 全微分,记为
),(d 00 yxz
或
),(d 00 yxf
。
若（在
022 yx
时）将自变量
yx,
的微分
yx,
分别记为
yx d,d
，那么有全微分形式
),(d 00 yxz
=
yBxA dd?
。
说明,
（ 1 ）如果函数
f
在点
),( 00 yx
处可微，则
f
在点
),( 00 yx
处是连续的，
即 可微必连续 。
（ 2 ）若
y?
=0,则得到
xoxAyxfyxxf ),(),( 0000
,
于是
A
x
yxfyxxf
x
),(),(
l im 0000
0
,
所以
Ayx
x
f
),( 00
。同理可证
Byx
y
f
),(
00
。因此 可微必可偏导,同时，
得到 全微分公式
yyx
y
f
xyx
x
f
yxf d),(d),(),(d
000000
。
例 1 2,1,6 求函数 xyz e? 在点 )1,2( 处的全微分。
解 由于
xyxy x
y
zy
x
z e,e?
,
则
22 e2)1,2(,e)1,2(?
y
z
x
z 。所以函数在点 )1,2( 处的全微分为
yxz de2ded 22 。
定理 1 2,1,1 设 D? 2R 为开集，
),( 00 yx
D 为一定点 。 如果函数
(,),(,)z f x y x y D
在
),( 00 yx
可微,那么对于任一方向
)s i n,( c o sv
，
f
在
),( 00 yx
点沿方向 v 的方向导数存在,且
s in),(c o s),(),(
000000
yx
y
f
yx
x
f
yx
v
f
。
证 由定义和全微分公式，得
t
yxftytxf
yx
v
f
t
),()s in,c o s(
lim),(
0000
0
00
t
totyx
y
f
tyx
x
f
t
)(s i n),(c o s),(
lim
0000
0
s in),(c o s),(
0000
yx
y
f
yx
x
f
。
如果 函数
f
在开集（或区域） D 上的每一点都是可微的，则称
f
在 D 上可微。此时成立
yyx
y
f
xyx
x
f
z d),(d),(d
。
（ 3 ）用同样的思想可以定义一般 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
的全微分，并可得到
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
u dddd
2
2
1
1
。
如果
),,,( 21 nxxxfu
在 x
),,,( 21 nxxx
点可微，那么
n
n
x
f
x
f
x
f
v
f
c o sc o sc o s
2
2
1
1
,
其中
)c o s,,c o s,( c o s 21 nv
为一方向，而
i?
就是 v 与
ix
轴正向的夹角。
例 1 2,1,7 求函数
y
zyxu a r c t a n
2
c o s
的全微分。
解 由于
2222,2s in2
1,1
zy
y
z
u
zy
zy
y
u
x
u
,
所以
z
zy
y
y
zy
zy
xu dd
2
s i n
2
1
dd 2222
。
（ 4 ）一元函数的可导与可微是等价的。在高维情形可微必可偏导，但可偏导并不一定可微。例如，函数
)0,0(),(,0
),0,0(),(,
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf
在
)0,0(
点不连续，因此不可微，但它在
)0,0(
点是可偏导的（见例
1 2,1,4 ）。
事实上，一个函数即使在某一点处连续，且所有方向导数都存在，
也不一定在该点可微。
例 1 2,1,8 设
.0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxf
由于
||
2
|),(|
42
42
42
2
yy
yx
yx
y
yx
xy
yxf?
,
所以
),( yxf
在
)0,0(
点连续；而
),( yxf
在
)0,0(
点沿方向
)s i n,( c o sv
的方向导数为
t
fttf
v
f
t
)0,0()s i n0,c o s0(
lim
0
0
s inc o s
s inc o s2
lim
422
3
0
t
tt
。
因此
0)0,0()0,0( yx ff
。
但因为
),(])0,0()0,0([)0,0()0,0( yxfyfxffyxf yx
,
而
220
),(
l i m
2 yx
yxf
yx
y
=
22
42
3
0
2
l i m
2 yx
yx
yx
yx
y
2
44
5
0
1
2
l i m
yy
yy
y
y
1
1
1
lim
20
y
y
0?
,
即
22)0,0()0,0()0,0()0,0( yxoyfxffyxf yx,
所以
),( yxf
在
)0,0(
点不可微。
关于函数的可微性有如下的充分条件,
定理 1 2,1,2 设函数
),( yxfz?
在
),( 00 yx
点的某个邻域上存在偏导数,并且偏导数在
),( 00 yx
点 连续,那么
f
在
),( 00 yx
点 可微 。
证 首先我们有
.1,0,),(),(
)],(),([)],(),([
),(),(
21200010
00000000
0000
yyyxfxyyxxf
yxfyyxfyyxfyyxxf
yxfyyxxf
yx
其中最后一步利用了微分中值定理。
因为
xf
和
yf
在
),( 00 yx
点 连续，所以
),1(),(),(
),1(),(),(
00200
00010
oyxfyyxf
oyxfyyxxf
yy
xx
其中
)1(o
表示当
022 yx
时的无穷小量。于是
,),(),(
)1()1(),(),(
),(),(
22
0000
0000
0000
yxoyyxfxyxf
yoxoyyxfxyxf
yxfyyxxfz
yx
yx
即
f
在
),( 00 yx
点 可微。
梯度定义 1 2,1,4 设 D? 2R 为开集,?),(
00 yx
D 为一定点 。 如果函数
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 点可偏导,则称向量 )),(),,(( 0000 yxfyxf yx 为 f 在点
),( 00 yx 的 梯度,记为 00(,)f x yg r a d,即
0 0 0 0 0 0(,) (,) (,)xyf x y f x y f x ygrad ij
。
如果
f
在
),( 00 yx
点可微，注意到方向导数公式中
1?v
，则得到它的另一种表达,
0 0 0 0(,) (,)
f
x y f x y
v
g r a d v00(,) c o s (,)f x y f? g r a d g r a d v
。
其中
(,)fg r a d v
表示
fg r a d
与 v 的夹角。
由此可见，函数
f
在其任何一可微点的方向导数的最大值
fg r a d
在梯度方向达到。这就是说，沿着梯度方向函数值增加最快。同样，
f
的方向导数的最小值
f? g r a d
在梯度的反方向达到，或者说，沿着梯度相反方向函数值减少最快。
梯度定义 1 2,1,4 设 D? 2R 为开集,?),(
00 yx
D 为一定点 。 如果函数
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 点可偏导,则称向量 )),(),,(( 0000 yxfyxf yx 为 f 在点
),( 00 yx 的 梯度,记为 00(,)f x yg r a d,即
0 0 0 0 0 0(,) (,) (,)xyf x y f x y f x ygrad ij
。
梯度具有下列基本性质,
1 ） 若 cf? （ c 为常数），则 fg r a d =0 ；
2 ） 若?,? 为常数，则 () fgg r a d =? fg r a d +? gg r a d ；
3 ） ()fg?g r a d = fg? g r a d + gf? g r a d ；
4 ）
2 ( 0 )
f g f f g g
gg
g r a d g r a dg r a d 。
同样可以定义一般 n 元函数的梯度：设 n? RD 为开集,?0x
,,( 0201 xx ),0nx? D 为一定点。如果函数 ),,,( 21 nxxxfu 在 0x 点可偏导，
我们称向量,,((
0201
1 xxf x
)),,,(,),,,,(),,
00201002010
2 nxnxn xxxfxxxfx n
为 f 在点 0x 的梯度，记为 0 0 0
12(,,,)nf x x xgrad
（或 0()fg r a d x ）。
上面叙述的关于梯度的基本性质与公式对一般 n 元函数也成立。
梯度具有下列基本性质,
1 ） 若 cf? （ c 为常数），则 fg r a d =0 ；
2 ） 若?,? 为常数，则 () fgg r a d =? fg r a d +? gg r a d ；
3 ） ()fg?g r a d = fg? g r a d + gf? g r a d ；
4 ）
2 ( 0 )
f g f f g g
gg
g r a d g r a dg r a d 。
例 1 2,1,9 设
0,),( 2
2
2
2
ba
b
y
a
xyxf 。在上半平面
}0|),{( 2 yyx R
上，指出函数值增加最快的方向。
解 由于在梯度不为零向量处，梯度方向就是函数值增加最快的方向，所以在
)0,0(),(?yx
的点，函数
f
的梯度
22
22(,) xyf x y
ab
g r a d ij
就是函数值增加最快的方向。
fgrad
y
xO
图 12.1.3
而在原点
)0,0(
，函数
f
的梯度为零向量，这就要用其 他 方法考虑。
22
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
(,) (0,0 )
xy
f x y f x y x
a b b b a
,
因此，在以原点为中心的任意小圆周上，当 0?x 时
)0,0(),( fyxf?
最大，
即函数值增加最大。这就是说，在原点处，沿
y
轴方向函数值增加最快（参见图 12,1,3 ）。
关于梯度的性质，以后在场论中还要详加讨论。
fgrad
y
xO
图 12.1.3
高阶偏导数设 ),( yxfz? 在区域 D? 2R 上具有偏导数
),( yxf
x
z
x
和 ),( yxf
y
z
y
。
那么在 D 上，
),( yxf x
和
),( yxf y
都是
yx,
的二元函数。如果这两个偏导函数的偏导数也存在，则称它们是 ),( yxf 的 二阶偏导数 。
按照对自变量的求导次序的不同，二阶偏导数有下列四种,
),(),(
2
2
yxfyxf
xx
z
xx
z
xxx
,
),(),(
2
yxfyxf
xy
z
xyx
z
yxy
,
),(),(
2
yxfyxf
yx
z
yxy
z
xyx
,
),(),(
2
2
yxfyxf
yy
z
yy
z
yyy
。
其中第二、第三两个二阶偏导数称为 混合偏导数 。
类似可得到三阶、四阶以至更高阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 。
同样可对 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
定义高阶偏导数 。
例 1 2,1,1 0 设
xy
yx
z
1
a r c t a n
，求
2
222
2
2
,,,
y
z
xy
z
yx
z
x
z
。
解
2
2 2 2 2
1 ( 1 ) ( ) ( ) 1
( 1 ) ( 1 ) ( )
1
1
z x y x y y y
x x y x y x y
xy
xy
2
2 2 2
11
( 1 ) ( 1 ) 1
y
x y x
,
因此
22
2 2 2 2
21
,0
( 1 ) 1
z x z z
x x y x y x y x
,
同理
2
1
1
yy
z
，因此
222
22
)1(
2
,0
y
y
y
z
yx
z
。
注意本例中两个混合偏导数是相等的。
例 1 2,1,1 1 设
,0,0
,0,
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
xy
yxf
求 2
( 0,0)
z
xy
与
2
( 0,0)
z
yx
。
解
(,)f x y
一阶偏导数为
,0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
y
yxf
x
.0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
x
yxf
y
于是
1
0
li m
)0,0()0,0(
li m)0,0()0,0(
4
5
00
2
y
y
y
y
fyf
f
xy
z
y
xx
y
xy
,
1
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0()0,0(
4
5
00
2
x
x
x
x
fxf
f
yx
z
x
yy
x
yx
。
注意本例中
),( yxf
在
)0,0(
点的两个混合偏导数不相等。
关于混合偏导数相等的条件有如下定理,
定理 1 2,1,3 如果函数 ),( yxfz? 的两个混合偏导数
xyf
和
yxf
在点
),( 00 yx 连续,那么等式
),(),( 0000 yxfyxf yxxy?
成立 。
证 考虑差商
yx
yxfyyxfyxxfyyxxf
I
)],(),([)],(),([
00000000
。
设
).,(),()(
),,(),()(
00
00
yxfyxxfy
yxfyyxfx
利用微分中值定理可得
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 0 2 1 2
[ (,) (,) ] [ (,) (,) ]
( ) ( ) ( )
[ (,) (,) ]
(,) ( 0,1 )
xx
xy
f x x y y f x x y f x y y f x y
I
xy
x x x x x x
x y x y
f x x y y f x x y
y
f x x y y
。
另一方面，将 I 重新组合可以得到
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 3
0 0 3 0 0 3
0 4 0 3 3 4
[ (,) (,) ] [ (,) (,) ]
( ) ( ) ( )
[ (,) (,) ]
(,) ( 0,1 )
yy
yx
f x x y y f x y y f x x y f x y
I
xy
y y y y y y
x y x y
f x x y y f x y y
x
f x x y y
。
因此
),(),( 30402010 yyxxfyyxxf yxxy
。
利用两个混合偏导数
xyf
和
yxf
在点
),( 00 yx
连续的条件，得到
0 0 0 1 0 2
(,) ( 0,0 )
0 4 0 3 0 0
(,) ( 0,0 )
(,) l i m (,)
l i m (,) (,),
x y x y
xy
y x y x
xy
f x y f x x y y
f x x y y f x y
在科学和工程技术的实际应用中，往往认为所出现的偏导数是连续的，所以不介意求偏导的次序。例如
22
4
yx
f
就概括了六种不同次序的四阶混合偏导数
y y x xy x y xx y y xy x x yx y x yx x y y ffffff,,,,,
。
读者在阅读有关书籍时，请注意这一点。
例 1 2,1,1 2 设
yxyxz e)( 22
，计算
qp
qp
yx
z
（
qp,
为 正 整数 ）。
解 由于
,2,1,eee
k
yx
yxyx
k
k
yx
k
k,
因此，关于 y 用 L ei b n i z 公式，得
.e)]1(2[
e2Ce)2(Ce)(
22
2122
yx
yx
q
yx
q
yx
q
q
qqqyyx
yyx
y
z
关于
x
再用一次 L ei b n i z 公式，就得到
2 2 1 2
[ 2 ( 1 ) ] e C ( 2 ) e C 2 e
pq
x y x y x y
pppq
z
x y q y q q x
xy
22[ 2 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ] e xyx y p x q y p p q q
。
高阶微分设
),( yxfz?
在区域 D? 2R 上具有连续偏导数，那么它是可微的，
并且
d d d
zz
z x y
xy
。
若
),( yxfz?
具有二阶连续偏导数，那么
x
z
与
y
z
也是可微的，从而
zd
可微。我们称
zd
的微分为 z 的 二 阶微分，记为
)d(dd 2 zz?
。
一般地，可在 z 的 k 阶微分 zkd 的基础上定义它的 1?k 阶微分为
（如果存在的话）
,2,1),d ( dd 1 kzz kk
。
二阶及二阶以上的微分统称为 高阶微分 。
由于对自变量
yx,
总有
0)d ( dd,0)d ( dd 22 yyxx
,
于是
),( yxfz?
的二阶微分为
yy
y
z
x
yx
z
xy
xy
z
x
x
z
y
y
z
y
y
z
x
x
z
x
x
z
y
y
z
x
x
z
zz
dddddd
dddddd
ddd)d ( dd
2
222
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
ddd2d y
y
z
yx
yx
z
x
x
z
,
这里 2d x 和
2d y
分别表示
2( d )x
和
2( d )y
。
若将
x?
和
y?
看作求偏导数的运算符号，并约定
2
22
xx?
,
yxyx
2
，
2
2
2
yy?
,
那么一阶和二阶的微分公式可以分别表示为
z
y
y
x
xz
ddd
,
z
y
y
x
xz
2
2
ddd
。
同样地约定
p
pp
xx?
,
qp
qp
qp
yxyx
，
q
q
q
yy?
（?,2,1,?qp ）,
读者不难用数学归纳法证明高阶微分公式
z
y
y
x
xz
k
k
ddd
，
,2,1?k
。
对 n 元函数
),,,( 21 nxxxfu
可同样定义各阶微分，并且成立
u
x
x
x
x
x
xu
k
n
n
k
dddd
2
2
1
1
，
,2,1?k
。
例 1 2,1,1 3 设
xyzu?
，计算 3d u 。
解 首先易知
0
3
3
3
3
3
3
z
u
y
u
x
u
,
0
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
zy
u
zy
u
zx
u
zx
u
yx
u
yx
u
。
以及
1
3
zyx
u
。
利用上面所述的多元函数的高阶微分公式，可得
3
3
d d d d 6 d d du x y z u x y z
x y z
。
向量值函数的导数将 nR 上区域 D 上的 n 元 m 值向量值函数
f
,m? RD
,
x? y =
)( xf
写成坐标分量形式
1 1 1 2
2 2 1 2 T
12
12
(,,,),
(,,,),
(,,,)
(,,,),
n
n
n
m m n
y f x x x
y f x x x
x x x
y f x x x
D,
并设点
0 0 0 0 T
12(,,,)nx x xx
D （记号,
T
”表示转置）。
将上面关于多元函数的讨论用于
f
的每一个分量函数，即可平行地得到,
1,若
f
的每一个分量函数
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
都在 0x 点可偏导，就称 向量值函数
f
在 0x 点可导,并称矩阵
nm
j
i
x
f
)(
0
x
=
)()()(
)()()(
)()()(
00
2
0
1
020
2
20
1
2
010
2
10
1
1
xxx
xxx
xxx
n
mmm
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
为 向量值函数
f
在 0x 点的导数 或 J a c o bi 矩阵,记为
)( 0xf?
（或
0()D f x
，
0()
fJx
）。
注 n 元函数
),,,( 21 nxxxfz
是 1?m 时的特殊情形，所以它在 0x
点的 导数就是
)( 0xf?
= T
0 0 0
12
( ),( ),,( )
n
f f f
x x x
x x x
。
如果向量值函数
f
在 D 上每一点可导，就称
f
在 D 上可导。这时对应关系
( ) ( ) fx D f x J x
称为
f
在 D 上的导数，记为
)( xf?
（或
()D f x
，
()fJx
）。
例 1 2,1,1 4 向量值函数
3,[,] Rf
)(
)(
)(
tz
ty
tx
t?
用坐标分量表示就是
],[
),(
),(
),(
t
tzz
tyy
txx
。
这是空间曲线的参数方程，
f
的导数
T( ( ),( ),( ) )x t y t z t
就是曲线在
T))(),(),(( tztytx
点的切向量。如果这条曲线是质点关于时间 t 的运动轨迹，那么
f
的导数
))(),(),(( tztytx
就是质点运动的速度。
例 12.1.15 求向量值函数
xzy
zx
zyx
y
ln
e
),,(
3
3
f
在 )1,1,1( 点的导数。
解 (,,)x y zf 的坐标分量函数为
xzyzyxfzxzyxf
y
ln),,(,e),,(
3
2
3
1
,
因此
031
ee3
ln3
ee3
)1,1,1(
)1,1,1(
2
2
)1,1,1(
222
111
xy
x
z
zx
z
f
y
f
x
f
z
f
y
f
x
f
f
yy
。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni xxxf? ),,2,1( mi
的偏导数都在
0x 点连续，即 f 的 J aco b i 矩阵 的每个元素都在 0x 点连续，则称向量值函数 f 的导数在 0x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
3,若存在只与 0x 有关，而与 x? 无关的 nm? 矩阵 A,使得在 0x 点附近成立
)()()( 00 xxAxfxxfy o
（其中 x?
T
12(,,,)nx x x；
)( x?o
是列向量，其模是
x?
的高阶无穷小量 ），则称 向量值函数
f
在 0x 点可微,并称 A x? 为
f
在 0x 点的微分,
记为
yd
。若将 x? 记为 xd （ xd
T
12( d,d,,d )nx x x?
），那么就有
yd
= A xd 。
如果向量值函数
f
在 D 上每一点可微，则称
f
在 D 上可微。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni xxxf? ),,2,1( mi
的偏导数都在
0x 点连续，即 f 的 J aco b i 矩阵 的每个元素都在 0x 点连续，则称向量值函数 f 的导数在 0x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
定理 1 2,1,4 向量值函数
f
在 0
x
点可微的充分必要条件是它的坐标分量函数
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
都在 0
x
点可微 。 此时成立微分公式
yd
=
)( 0xf? xd
。
证 必要性：设
f
在 0
x
点可微，记
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
,
和
)))((,,))((,))((()(
21 noooo xxxx?
,
则可将
y?
写成分量形式
i
n
k
kikii
oxayf ))((
1
x
，
mi,,2,1
,
并满足
0
))((
lim
0
x
x
x
i
o
，
mi,,2,1
。
由函数可微的定义，即知
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
在 0
x
处可微，
并且
j
i
ij
x
f
a
，也就是
A =
)( 0xf?
。
充分性：设
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
在 0
x
处可微。则由定义得到
xxxx
ox
x
f
x
x
f
x
x
f
fy
n
n
iii
ii
)()()(
0
2
0
2
1
0
1
。
将上式写成矩阵乘积形式，并令 A
0
()
i
j
mn
f
x
x
，就知道
f
在 0
x
点可微。
综合上述三点，我们可以得到以下的统一表述,
向量值函数
f
连续,可导和可微就是它的每一个坐标分量函数
),,,( 21 ni xxxf? ),,2,1( mi
连续,可导和可微 。
此外,在用 J ac o b i 矩阵定义了 向量值函数 的导数
)( 0xf?
之后，多元函数和向量值函数的微分公式与一元函数的微分公式
xxfy d)(d
在形式上就是完全一致的。也就是说，只要将 x,y 和 f 理解为向 量，
这就是多元 函数和向量值函数 的微分公式。
