定义 10.5,1 设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a,b ] 上有定义,如果存在多项式序列 ｛ P n ( x ) ｝ 在 [ a,b ] 上一致收敛于 f ( x ),则称 f ( x ) 在这闭区间上可以用 多项式一致逼近 。
应用分析语言，,f ( x ) 在 [ a,b ] 上可以用多项式一致逼近,可等价表述为,
对任意给定的 ε ＞ 0,存在多项式 P ( x ),使得
｜ P ( x ) - f ( x ) ｜＜ ε
对一切 x ∈ [ a,b ] 成立 。
§ 5 用多项式逼近连续函数
W ei erstras s 首先证明了,闭区间 [ a,b ] 上任意连续函数 f ( x ) 都可以用多项式一致逼近 。
这一定理的证法很多，以下证明是由前苏联数学家 K o r o v k i n 在
1 9 5 3 年给出的。
定理 10,5,1 ( W eier s t ras s 第一逼近定理 ) 设 f ( x ) 是闭区间 [ a,b ]
上的连续函数,则对任意给定的 ε ＞ 0,存在多项式 P ( x ),使得
｜ P ( x ) - f ( x ) ｜＜ ε
对一切 x ∈ [ a,b ] 成立 。
证 不失一般性，我们设 [ a,b ] 为 [0,1 ] 。
设 X 是 [0,1 ] 上连续函数全体构成的集合,Y 是多项式全体构成的集合，现定义映射
nB
,X? Y
f ( t )?
),( xfB n?

n
k
knkk
n xx
n
k
f
0
)1(C
,
这里
),( xfB n
表示 f ∈ X 在映射
nB
作用下的像，它是以 x 为变量的 n 次多项式，称为 Bern s tei n 多项式 。
关于映射
nB
，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式,
( 1)
nB
是线性映射，即对于任意 f,g ∈ X 及
, R
，成立
nB
( fg,x ) =?
nB
( f,x ) +?
nB
( g,x ) ；
( 2)
nB
具有单调性，即对于任意 f,g ∈ X,若 f ( t ) ≥ g ( t ) 对一切
t ∈ [ 0,1] 成立，则
nB
( f,x ) ≥
nB
( g,x )
对一切 x ∈ [ 0,1] 成立；
( 3)
nB
( 1,x ) =
n
k
knkk
n
xx
0
)1(C
= [ x + ( 1 - x )]
n
= 1 ；
nB
( t,x ) =
n
k
knkk
n
xx
n
k
0
)1(C
=
11
1
1
C ( 1 )
n
k k n k
n
k
x x x


=
1[ ( 1 ) ] nx x x
= x ；
nB
( t
2
,x ) =
n
k
knkk
n
xx
n
k
0
2
2
)1(C
=

n
k
knkk
n
xx
n
k
1
1
1
)1(C
=

n
k
knkk
n
xx
n
k
2
1
1
)1(C
1
+

n
k
knkk
n
xx
n
1
1
1
)1(C
1
=

n
k
knkk
n
xxx
n
n
2
22
2
2
)1(C
1
+

n
k
knkk
n
xx
n
x
1
11
1
)1(C
=
21
x
n
n?
+
n
x
= 2
x
+
n
xx
2
。
综合上述三式，考虑函数 ( t - s )
2
在
nB
映射下的像，注意 s 在这里被视为常数，得到
nB
(( t - s )
2
,x ) =
nB
( t
2
,x ) - 2 s
nB
( t,x ) + s
2
nB
(1,x )
= x
2
+
n
xx 2? - 2 sx + s
2
=
n
xx 2? + ( x - s )
2
。
现在证明定理。
由于函数 f 在 [ 0,1] 上连续，所以必定有界，即存在 M ＞ 0,对于一切 t ∈ [ 0,1],成立
｜ f ( t ) ｜≤ M ；
而根据 C a n tor 定理,f 在 [ 0,1] 上一致连续，于是对任意给定的 ε ＞ 0,
存在 δ ＞ 0,对一切 t,s ∈ [ 0,1],
当｜ t - s ｜＜ δ 时，成立
｜ f ( t ) - f ( s ) ｜＜
2;
当｜ t - s ｜≥ δ 时，成立
｜ f ( t ) - f ( s ) ｜≤ 2 M ≤
2
2 M
( t - s )
2
。
也就是说，对一切 t,s ∈ [ 0,1],成立
-
2
-
2
2 M
( t - s )
2
≤ f ( t ) - f ( s ) ≤
2
+
2
2 M
( t - s )
2
。
考虑上式的左端，中间，右端三式（关于 t 的连续函数）在映射
nB
作用下的像（关于 x 的多项式），注意 f ( s ) 在这里被视为常数，即
nB
( f ( s ),x ) = f ( s ),并根据上面性质 ( 1 ),( 2 ) 与 ( 3 ),得到对一切 x,s ∈ [ 0,
1],成立
-
2
-
2
2 M
2
2
()
xx
xs
n



≤
nB
( f,x ) - f ( s ) ≤
2
+
2
2 M
2
2
()
xx
xs
n



,
令 s = x,且注意 x (1 - x ) ≤
4
1
,即得

n
k
knkk
n
xfxx
n
k
f
0
)()1(C
≤
2
+
2
2
M
n?
。
取 N =
2
M




，当 n ＞ N 时,

n
k
knkk
n
xfxx
n
k
f
0
)()1(C
＜ ε
对一切 x ∈ [ 0,1 ] 成立。
定理 1 0,5.1 还可以表述为,设 f 在 [ a,b ] 上连续,则它的 B e rn s t e i n
多项式序列 ｛ ),( xfB n ｝ 在 [ a,b ] 上一致收敛于 f 。