T a y l o r 级数与余项公式假设函数
)( xf
在
0x
的某个邻域 O (
0x
,r ) 可表示成幂级数
)( xf
0
0 )(
n
n
n xxa
,x? O (
0x
,r ),
即
0
0 )(
n
n
n xxa
在 O (
0x
,r ) 上的和函数为
)( xf
。根据幂级数的逐项可导性，
)( xf
必定在 O (
0x
,r ) 上任意阶可导，且对一切 k N,
)()( xf k
kn
kn
n xxaknnn )()1()1( 0?
。
§ 4 函数的幂级数展开令
0xx?
，得到
ka
!
)( 0)(
k
xf k,k = 0,1,2,?,
也就是说，系数｛ a n ｝由和函数 )( xf 唯一确定，我们称它们为 )( xf 在
0x
的 T a y l o r 系数 。
反过来，设函数 )( xf 在
0x
的 某个邻域 O (
0x
,r ) 上任意阶可导，则可以求出它在
0x
的 T ay l o r 系数 a n =
!
)( 0)(
n
xf n （?,2,1,0?n ），并作出幂级数
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf,
这一幂级数称为 )( xf 在
0x
的 T a y l o r 级数 。
令
0xx?
，得到
ka
!
)( 0)(
k
xf k,k = 0,1,2,?,
也就是说，系数｛ a n ｝由和函数 )( xf 唯一确定，我们称它们为 )( xf 在
0x
的 T a y l o r 系数 。
问题,是否一定存在常数
（
0 r
），使得
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
在
0(,)Ox?
上收敛于
)( xf
下面的例子告诉我们，答案并不是肯定的。
例 10,4.1 设
)( xf
=
,0,0
,0,e
2
1
x
x
x
当 x ≠ 0 时,
)( xf 2
1
3
e
2
x
x
,
)( xf 2
1
46
e
64
x
xx
,
)()( xf k 2
1
3
e
1
x
k
x
P
，
其中
)( uP n
是关于 u 的 n 次多项式。
由此可以依次得到
)0(f
0
l i m
x
x
fxf )0()(?
=
0
l i m
x
2
1
e
1
x
x
= 0,
)0(f
0
l i m
x
x
fxf )0()(
=
0
l i m
x
2
1
4
e
2
x
x
= 0,
)0()( kf
0
l i m
x
x
fxf
kk
)0()(
)1()1(
=
0
l i m
x
2
1
23
e
1
x
k
x
P
= 0,
因此
)( xf
在 x = 0 的 T ay l o r 级数为
n
x
n
xxx
!
0
!3
0
!2
0
00
32
,
它在
),(
上收敛于和函数 S ( x ) = 0 。显然，当 x ≠ 0 时,
S ( x ) ≠
)( xf
。
这说明，一个任意阶可导的函数的 T ay l o r 级数并非一定能收敛于函数本身。
为了寻求函数的 T a yl or 级数收敛于它本身的条件，回忆在§ 5,3
中所得到的 T a yl or 公式：设
)( xf
在 O (
0x
,r ) 有 n + 1 阶导数，则
f ( x ) =
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
+
)( xr n
,
其中
)( xr n
是 n 阶 T a yl o r 公式的余项。现在假定讨论的函数
)( xf
在 O (
0x
,
r ) 上任意阶可导，也就是说，上面的 T a yl or 公式对一切正整数 n 成立，
于是我们可以断言,
)( xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
在
0(,)Ox?
（
0 r
）成立的充分必要条件是,
n
l i m
)( xr n
= 0
对一切
0(,)x O x
成立。
这时，我们才称 f ( x ) 在
0(,)Ox?
可以展开成幂级数（或 T a yl or 级数），或者称
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
是 f ( x ) 在
0(,)Ox?
上的 幂级数展开 （或
T ayl o r 展开 ）。
在§ 5,3 中，曾导出余项
)( xr n
= ( 1 )
100
0
( ( ) )
()
( 1 ) !
n
nf x x x xx
n
,0 1,
)( xr n
的这一形式称为 L a g r a ng e 余项。为了讨论各种函数的 T a yl or 展开，我们还需要
)( xr n
的另一形式，即积分形式,
定理 1 0,4,1 设 f ( x ) 在 O (
0x
,r ) 上任意阶可导,则
)( xf?
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)( + )( xr n,x? O ( 0x,r ),
其中
)( xr n =
!
1
n?
xx nn ttxtf
0
d))(()1(
。
证 由表达式
)( xr n
=
)( xf
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
出发，逐次对等式两端进行求导运算，可依次得到
)( xr n?
=
)( xf
n
k
k
k
xx
k
xf
1
1
0
0
)(
)(
!)1(
)(
,
)( xr n
=
)( xf
n
k
k
k
xx
k
xf
2
2
0
0
)(
)(
!)2(
)(
,
)()( xr nn
=
)()( 0)()( xfxf nn?
,
)()1( xr nn?
=
)()1( xf n?
。
定理 1 0,4,1 设 f ( x ) 在 O (
0x
,r ) 上任意阶可导,则
)( xf?
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)( + )( xr n,x? O ( 0x,r ),
其中
)( xr n =
!
1
n?
xx nn ttxtf
0
d))(()1(
。
令 x =
0x
，便有
)( 0xr n
=
)( 0xr n?
=
)( 0xr n
)( 0)( xr nn
= 0 。
逐次应用分部积分法，可得
)( xr n
=
)( xr n
-
)( 0xr n
=
x
x n
ttr
0
d)(
=
x
x n
xttr
0
)d()(
=
x
x n
ttxtr
0
d))((
= -
!2
1
x
x n
xttr
0
2)d()(
=
!2
1
0
2( ) ( ) d
x
nx r t x t t
=
!
1
n
x
x
nn
n ttxtr
0
d))(()1(
=
!
1
n
x
x
nn ttxtf
0
d))(()1(
。
对余项
)( xr n
的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当
],[ 0 xxt?
（或
0[,]xx
）时,ntx )(? 保持定号，于是就有
)( xr n
= ( 1 ) ()
!
nf
n
x
x
n ttx
0
d)(
（? 在
0x
与 x 之间）
( 1 )
100
0
( ( ) ) ()
( 1 ) !
n
nf x x x xx
n
,0 1,
这就是我们已经知道的 L agra n ge 余项 ；
如果将 nn txtf ))(()1( 看作一个函数，应用积分第一中值定理，则有
)( xr n
0
( 1 ) ( ) ( )
d
!
nn x
x
fx t
n
（? 在 0x 与 x 之间）
( 1 )
100
0
( ( ) ) ( 1 ) ( )
!
n
nnf x x x xx
n
,0 1,
)( xr n 的这一形式称为 C a u c hy 余项 。
对余项
)( xr n
的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当
],[ 0 xxt?
（或
0[,]xx
）时,ntx )(? 保持定号，于是就有
)( xr n
= ( 1 ) ()
!
nf
n
x
x
n ttx
0
d)(
（? 在
0x
与 x 之间）
( 1 )
100
0
( ( ) ) ()
( 1 ) !
n
nf x x x xx
n
,0 1,
这就是我们已经知道的 L agra n ge 余项 ；
初等函数的 T ayl o r 展开
( 1) f ( x ) = e
x
=
0 !n
n
n
x
!!3!2
1
32
n
xxx
x
n，
),(x
。
证 在§ 5,4 我们得到 e
x
在 x = 0 的 T a yl or 公式
!!3!2
1e
32
n
xxx
x
n
x
r xn ( )
,
),(x
,
其中
)( xr n
表示成 L a g r a ng e 余项为
( 1 )
1()
()
( 1 ) !
n
n
n
fx
r x x
n
1e
( 1 ) !
x
n
x
n
,0?
1 。
由于
｜
)( xr n
｜?
0||
)!1(
e 1
||
n
x
x
n
(
n
)
对一切
),(x
成立，所以 e
x
的 T a yl or 展开式成立。
( 2)
xxf s i n)(
0
12
!)12(
)1(
n
n
n
x
n
)!12(
)1(
!5!3
1253
n
xxx
x
n
n
,
),(x
。
证 在§ 5,4 我们得到 s in x 在 x = 0 的 T a yl or 公式
s in x
)!12(
)1(
!5!3
1253
n
xxx
x
n
n
r xn2 2 ( )
,
),(x
,
其中
22 ()nrx?
表示成 L a g r a ng e 余项为
( 2 3 )
22
()
()
( 2 3 ) !
n
n
fx
rx
n
32?nx 23
23
s i n π
( 2 3 ) ! 2
n
xn
x
n
,0?
1 。
由于
|)(| 22 xr n?
0
)!32(
||
32
n
x
n (n )
对一切
),(x
成立，所以 s in x 的 T a yl or 展开式成立。
同理可以得到
(3 ) xxf c o s)(
0
2
!)2(
)1(
n
n
n
xn
)!2()1(!4!21
242
n
xxx nn,),(x 。
根据在例 1 0,3,4 和例 1 0,3,5 中的讨论，有
(4 )
)( xf xa r c t a n
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
12
)1(
53
1253
n
xxx
x
n
n
,
]1,1[x
。
(5 )
)( xf )1ln ( x?
=
1
1)1(
n
n
n
x
n
n
xxxx
x
n
n 1
432
)1(
432
,
]1,1(x
。
同理可以得到
(3 ) xxf c o s)(
0
2
!)2(
)1(
n
n
n
xn
)!2()1(!4!21
242
n
xxx nn,),(x 。
( 6)
( ) ( 1 )f x x
，
0
是任意实数。
当? 是正整数 m 时
f ( x ) =
mx )1(?
= 1 + mx +
2
2
)1(
x
mm 1?mmx
+ x
m
,
即它的 T a yl or 展开就是二项式展开，只有有限个项。
当? 不是正整数时，
( ) ( 1 )f x x
的各阶导数为
)()( xf k
=
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) kkx
,k = 1,2,?,
可知 f ( x ) 在 x = 0 的 T a yl or 级数为
1 +
1
( 1 ) ( 1 )
!
n
n
n
x
n
。
利用第五章的记号
n
=
( 1 ) ( 1 )
!
n
n
( n = 1,2,? )
和
n
= 1
可将
)1( x
的 T a ylor 级数记为
0
n
n
x
n
。
应用 D' Al e m be r t 判别法，由
n
l i m
1nn
=
n
l i m
1
n
n
= 1,
可知 f ( x ) 在 x = 0 的 T a yl or 级数的收敛半径为 R = 1 。
现考虑
( ) ( 1 )f x x
在 x = 0 的 T a yl or 公式
( 1 )x
=
0
()
n
k
n
k
x r x
k
,
其中
)( xr n
表示成 C a u c hy 余项为
)( xr n
( 1 )
1()
( 1 )
!
n
nnfx
x
n
= ( n + 1)
1
1
n
x
n
1
1
n
x
1( 1 )x
,
01
。
由于幂级数
1
0
( 1 )
1
n
n
nx
n
的收敛半径为 1,因此当
)1,1(x
时，它的一般项趋于 0,即
n
l i m
( n + 1)
1
1
n
x
n
= 0,
)1,1(x
。
另外,因为 01 和 - 1? x? 1,我们有
0? 1
1
n
x
1,
和
10 ( 1 )x11
m a x ( 1 | | ),( 1 | | )xx
,
由此得到当
)1,1(x
时,
n
l i m )( xr n
= 0,
于是
( 1 )x
在 x = 0 的 T a yl or 级数在 ( - 1,1) 收敛于
( 1 )x
，即
0
( 1 )
n
n
xx
n
,
)1,1(x
。
现讨论
( ) ( 1 )f x x
的 T a yl o r 展开在区间端点的收敛情况。将
1x 代入幂级数
0
n
n
x
n
，并记所得到的数项级数为
0n
nu
,
( i ) - 1 。这时级数
0n
nu
一般项的绝对值为
|| nu
n
12
!
n
n
= 1,
因而
0n
nu
发散，即幂级数的收敛范围是 ( - 1,1) 。
( i i) - 1 0 。
当 x = 1 时，级数
0n
n
u
为交错级数。由 0?
1
n
n
1,可知
|| nu
n
1n
=
|| 1?nu
,
并且
|| nu 1
1
1
1
1
2
1
1
1n
1
1
n
=
1
1
10
n
k k
(n ),
可知级数
0n
n
u
收敛。
当 x = - 1,级数
0n
nu
为正项级数，且
|| nu
n
= 1
||
1
2
2
1
1
n
n
n
1? ||
n
。
由于
1
||
n n
发散，可知级 数
0n
nu
发散。因此，当 - 1 0 时幂级数的收敛范围是 ( - 1,1] 。
( i ii ) 0 。对级数
0n
nu
的一般项取绝对值，然后应用 R a a be 判别法 ( 定理 9,3,5),
nl i m
n
1
||
||
1n
n
u
u =
nl i m
n 1
1
||
n
n?
=
nl i m
( 1 )n
n
= 1 +? ＞ 1,
可知级数
0n
nu
绝对收敛，即幂级数的收敛范围是 [ - 1,1] 。
归纳起来，当? 不为 0 和正整数时,
0
( 1 ) n
n
xx n
,
( 1,1 ),1,
( 1,1 ],1 0,
[ 1,1 ],0
x
x
x
当当当 。
( i ii ) 0 。对级数
0n
nu
的一般项取绝对值，然后应用 R a a be 判别法 ( 定理 9,3,5),
nl i m
n
1
||
||
1n
n
u
u =
nl i m
n 1
1
||
n
n?
=
nl i m
( 1 )n
n
= 1 +? ＞ 1,
可知级数
0n
nu
绝对收敛，即幂级数的收敛范围是 [ - 1,1] 。
(7 ) f ( x ) =
xa r c s in
= x +
1
12
12!)!2(
!)!12(
n
n
n
x
n
n
,
]1,1[x
。
证 由 ( 6 ) 可知，当
)1,1(x
时,
2
1
1
x?
=
2
1
2
)1(
x
=
0
22
1
)(
n
n
x
n
=
42
8
3
2
1
1 xx
n
x
n
n
2
!)!2(
!)!12(
,
对等式两边从 0 到 x 积分，注意幂级数的逐项可积性与
x
t
t
0 2
1
d
=
xa r c s in
,
即得到当
)1,1(x
时,
xa r c s in
= x +
1
12
12!)!2(
!)!12(
n
n
n
x
n
n
。
至于幂级数在区间端点
1x
的收敛性，已在例 9,3,8 中用 Ra ab e 判别法得到证明。
特别，取 x = 1,我们得到关于 π 的又一个级数表示,
2
= 1 +
0 12
1
!)!2(
!)!12(
n nn
n
。
下面介绍幂级数展开的一般方法。
例 1 0,4,2 求 f ( x ) =
2
1
x
在 x = 1 的幂级数展开。
解 当
1|1|x
时,
x
1
=
)1(1
1
x
=
0
)1()1(
n
nn x
,
对等式两边求导，应用幂级数的逐项可导性,
2
1
x
=
1
1)1()1(
n
nn xn
,
于是得到
2
1
x
=
0
)1)(1()1(
n
nn
xn
，
)2,0(?x
。
例 1 0,4,3 求 f ( x ) =
2253
1
xx
在 x = 0 的幂级数展开。
解
f ( x ) =
2253
1
xx
=
)21)(3(
1
xx
=
7
1
xx 21
2
3
1
=
7
1
00
22
33
1
n
n
n
n
x
x =
7
1 n
n
n
n
x?
0
1
1
)2(
3
1
。
由于
x?3
1
的幂级数展开的收敛范围是 ( - 3,3),
x21
2
的幂级数展开的收敛范围是
2
1
,
2
1
，因此 f ( x ) 的幂级数展开在
2
1
,
2
1
成立。
对于由函数相乘或相除所得函数的幂级数展开，有如下的方法,
设
)( xf
的幂级数展开为
0n
n
n xa
，收敛半径为
1R
，
)( xg
的幂级数展开为
0n
n
n xb
，收敛半径为
2R
，则
)()( xgxf
的幂级数展开就是它们的
Cauc h y 乘积,
)()( xgxf
=
0n
n
n xa?
0n
n
n xb
=
0n
n
n xc
,
其中
n
k
knkn bac
0
，
},m i n {|| 21 RRx?
。
当
00?b
时，我们可以通过待定系数法求
)(
)(
xg
xf
的幂级数展开：设
)(
)(
xg
xf
=
0n
n
n
xc
,
则
0n
n
n
xb?
0n
n
n
xc
=
0n
n
n
xa
,
分离 x 的各次幂的系数，可依次得到
000 acb?
0
0
0
b
a
c?
,
10110 acbcb
0
011
1
b
cba
c
,
2021120 acbcbcb
0
02112
2
b
cbcba
c
,
一直继续下去，可求得所有的
nc
。
例 1 0,4,4 求 e
x
s i n x 在 x = 0 的幂级数展开（到 x
5
）。
解
e
x
s i n x =
!4!3!2
1
432 xxx
x
!5!3
53 xx
x
= x +
532
30
1
3
1 xxx,
上述幂级数展开对一切 ),(x 都成立。
例 1 0,4,5 求 t an x 在 x = 0 的幂级数展开（到 x
5
）。
解 由于 t a n x 是奇函数，我们可以令
t an x =
x
x
c o s
s i n
=
55331 xcxcxc
,
（请读者思考理由）。于是
55331 xcxcxc
!4!2
1
42
xx
=
!5!3
53
xx
x
,
比较等式两端 x,x
3
与 x
5
的系数，就可得到
11?c
，
3
1
3?c
，
15
2
5?c
,
因此
t an x = x +
3
1
x
3
+
15
2
x
5
。
注 对上例，我们还可采用下述的“代入法”求解：在
u?1
1
=
0n
n
u
= 1 + u + u
2
中，以 u =
!4!2
42
xx
代入，可得到
xc o s
1
= 1 +
!4!2
42
xx
+ 242
!4!2
xx
= 1 + x
2
+
24
5
x
4
,
然后求 s i n x 与
xc o s
1
的 Cau c h y 乘积，同样得到上述关于 t a n x 的幂级数展开。
需要指出，用上述方法作 T ay l o r 展开，我们无法同时得到其幂级数的收敛范围，只能知道在 x = 0 的小邻域中，幂级数展开是成立的（事实上,t an x 的幂级数展开的收敛范围是
2
,
2
，它的证明需要用到复变函数的知识）。
上面介绍的“代入法”经常用于复合函数，例如 e
f ( x )
，
))(1l n ( xf?
等函数的求幂级数展开问题。
例 1 0,4,6 求
x
xs i n
ln
在 x = 0 的幂级数展开（到 x
4
），其中函数
x
xs i n
应理解为 f ( x ) =
。0,1
,0,
s i n
x
x
x
x
解 首先，利用 s i n x 的幂级数展开，可以得到
x
xs i n
=
!5!3
1
42
xx
。
另外，我们有
)1ln ( u?
= u
32
32
uu
,
将 u =
!5!3
42
xx
代入上式，即得
sin
ln
x
x
=
!5!3
42
xx
2
1
2
42
!5!3
xx
=
1806
42
xx
。
利用上例，我们可以得到一些有趣的结果。在例 9,5.7 中，我们已得到等式
x
xs i n
= 2
22
1
1
π
n
x
n
,
两边取对数，再分别将
22
2
1ln
n
x
展开成幂级数,
x
xs i n
ln
2
22
1
l n 1
π
n
x
n
=
1
44
4
22
2
2
1
n n
x
n
x
。
将上式与例 1 0,4,6 中的结果相比较，它们的 x
2
系数,x
4
系数都对应相等，于是就得到等式
1
2
1
n n
=
6
2
,
1
4
1
n n
=
90
4
。
如果我们在计算时更精细些，也就是将
x
xs i n
ln
的幂级数展开计算到 x
6
,x
8
，?，还可以获得
1
6
1
n n
，
1
8
1
n n
，?的精确值。
最后举例说明幂级数在近似计算中的应用。
例 1 0,4,7 计算 I =
10 de 2 xx
，要求精确到 0,0 0 0 1 。
解 由于我们无法将 2e x? 的原函数用初等函数表示出来，因而不能用 N ew t o n - L ei b n i z 公式直接计算定积分
10 de 2 xx
的值，但是应用函数的幂级数展开，可以计算出它的近似值，并精确到任意事先要求的程度。
函数 2
e x?
的幂级数展开为
2
e x?
=
!4!3!2
1
864
2 xxx
x
,
),(x
。
从 0 到 1 逐项积分，得
I =
1
0
de
2
x
x
= 1
3
1
10
1
42
1
216
1
1 3 2 0
1
9 3 6 0
1
7 5 6 0 0
1
,
这是一个 L ei b n i z 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值
（见定理 9,4,2 的注），由于
75600
1?
1,5 × 5
10?
,
因此前面 7 项之和具有四位有效数字；
I =
1
0
de
2
x
x
≈ 0,748 6 。
例 1 0,4,8 在例 1 0,3,4 中，我们得到
xa r c t a n
753
753
xxx
x
,
]1,1[x
,
取 x = 1,则得到
4
7
1
5
1
3
1
1
。
理论上，上式可以用来计算 π 的近似值，但由于这级数收敛速度太慢，要达到一定精确度的话，计算量比较大。如果我们取 x =
31
，
则可得到
6
=
3
1
32
37
1
35
1
33
1
1
,
或
π = 2
3
932
319
1
37
1
35
1
33
1
1
。
这一级数的收敛速度就快得多了。这也是一个 L e i b n i z 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值。由于
9
319
32
510?,所以前
9 项之和已经精确到小数点后第四位，即
π ≈ 3,1 4 1 6 。
)( xf
在
0x
的某个邻域 O (
0x
,r ) 可表示成幂级数
)( xf
0
0 )(
n
n
n xxa
,x? O (
0x
,r ),
即
0
0 )(
n
n
n xxa
在 O (
0x
,r ) 上的和函数为
)( xf
。根据幂级数的逐项可导性，
)( xf
必定在 O (
0x
,r ) 上任意阶可导，且对一切 k N,
)()( xf k
kn
kn
n xxaknnn )()1()1( 0?
。
§ 4 函数的幂级数展开令
0xx?
，得到
ka
!
)( 0)(
k
xf k,k = 0,1,2,?,
也就是说，系数｛ a n ｝由和函数 )( xf 唯一确定，我们称它们为 )( xf 在
0x
的 T a y l o r 系数 。
反过来，设函数 )( xf 在
0x
的 某个邻域 O (
0x
,r ) 上任意阶可导，则可以求出它在
0x
的 T ay l o r 系数 a n =
!
)( 0)(
n
xf n （?,2,1,0?n ），并作出幂级数
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf,
这一幂级数称为 )( xf 在
0x
的 T a y l o r 级数 。
令
0xx?
，得到
ka
!
)( 0)(
k
xf k,k = 0,1,2,?,
也就是说，系数｛ a n ｝由和函数 )( xf 唯一确定，我们称它们为 )( xf 在
0x
的 T a y l o r 系数 。
问题,是否一定存在常数
（
0 r
），使得
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
在
0(,)Ox?
上收敛于
)( xf
下面的例子告诉我们，答案并不是肯定的。
例 10,4.1 设
)( xf
=
,0,0
,0,e
2
1
x
x
x
当 x ≠ 0 时,
)( xf 2
1
3
e
2
x
x
,
)( xf 2
1
46
e
64
x
xx
,
)()( xf k 2
1
3
e
1
x
k
x
P
，
其中
)( uP n
是关于 u 的 n 次多项式。
由此可以依次得到
)0(f
0
l i m
x
x
fxf )0()(?
=
0
l i m
x
2
1
e
1
x
x
= 0,
)0(f
0
l i m
x
x
fxf )0()(
=
0
l i m
x
2
1
4
e
2
x
x
= 0,
)0()( kf
0
l i m
x
x
fxf
kk
)0()(
)1()1(
=
0
l i m
x
2
1
23
e
1
x
k
x
P
= 0,
因此
)( xf
在 x = 0 的 T ay l o r 级数为
n
x
n
xxx
!
0
!3
0
!2
0
00
32
,
它在
),(
上收敛于和函数 S ( x ) = 0 。显然，当 x ≠ 0 时,
S ( x ) ≠
)( xf
。
这说明，一个任意阶可导的函数的 T ay l o r 级数并非一定能收敛于函数本身。
为了寻求函数的 T a yl or 级数收敛于它本身的条件，回忆在§ 5,3
中所得到的 T a yl or 公式：设
)( xf
在 O (
0x
,r ) 有 n + 1 阶导数，则
f ( x ) =
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
+
)( xr n
,
其中
)( xr n
是 n 阶 T a yl o r 公式的余项。现在假定讨论的函数
)( xf
在 O (
0x
,
r ) 上任意阶可导，也就是说，上面的 T a yl or 公式对一切正整数 n 成立，
于是我们可以断言,
)( xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
在
0(,)Ox?
（
0 r
）成立的充分必要条件是,
n
l i m
)( xr n
= 0
对一切
0(,)x O x
成立。
这时，我们才称 f ( x ) 在
0(,)Ox?
可以展开成幂级数（或 T a yl or 级数），或者称
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
是 f ( x ) 在
0(,)Ox?
上的 幂级数展开 （或
T ayl o r 展开 ）。
在§ 5,3 中，曾导出余项
)( xr n
= ( 1 )
100
0
( ( ) )
()
( 1 ) !
n
nf x x x xx
n
,0 1,
)( xr n
的这一形式称为 L a g r a ng e 余项。为了讨论各种函数的 T a yl or 展开，我们还需要
)( xr n
的另一形式，即积分形式,
定理 1 0,4,1 设 f ( x ) 在 O (
0x
,r ) 上任意阶可导,则
)( xf?
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)( + )( xr n,x? O ( 0x,r ),
其中
)( xr n =
!
1
n?
xx nn ttxtf
0
d))(()1(
。
证 由表达式
)( xr n
=
)( xf
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
出发，逐次对等式两端进行求导运算，可依次得到
)( xr n?
=
)( xf
n
k
k
k
xx
k
xf
1
1
0
0
)(
)(
!)1(
)(
,
)( xr n
=
)( xf
n
k
k
k
xx
k
xf
2
2
0
0
)(
)(
!)2(
)(
,
)()( xr nn
=
)()( 0)()( xfxf nn?
,
)()1( xr nn?
=
)()1( xf n?
。
定理 1 0,4,1 设 f ( x ) 在 O (
0x
,r ) 上任意阶可导,则
)( xf?
n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)( + )( xr n,x? O ( 0x,r ),
其中
)( xr n =
!
1
n?
xx nn ttxtf
0
d))(()1(
。
令 x =
0x
，便有
)( 0xr n
=
)( 0xr n?
=
)( 0xr n
)( 0)( xr nn
= 0 。
逐次应用分部积分法，可得
)( xr n
=
)( xr n
-
)( 0xr n
=
x
x n
ttr
0
d)(
=
x
x n
xttr
0
)d()(
=
x
x n
ttxtr
0
d))((
= -
!2
1
x
x n
xttr
0
2)d()(
=
!2
1
0
2( ) ( ) d
x
nx r t x t t
=
!
1
n
x
x
nn
n ttxtr
0
d))(()1(
=
!
1
n
x
x
nn ttxtf
0
d))(()1(
。
对余项
)( xr n
的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当
],[ 0 xxt?
（或
0[,]xx
）时,ntx )(? 保持定号，于是就有
)( xr n
= ( 1 ) ()
!
nf
n
x
x
n ttx
0
d)(
（? 在
0x
与 x 之间）
( 1 )
100
0
( ( ) ) ()
( 1 ) !
n
nf x x x xx
n
,0 1,
这就是我们已经知道的 L agra n ge 余项 ；
如果将 nn txtf ))(()1( 看作一个函数，应用积分第一中值定理，则有
)( xr n
0
( 1 ) ( ) ( )
d
!
nn x
x
fx t
n
（? 在 0x 与 x 之间）
( 1 )
100
0
( ( ) ) ( 1 ) ( )
!
n
nnf x x x xx
n
,0 1,
)( xr n 的这一形式称为 C a u c hy 余项 。
对余项
)( xr n
的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当
],[ 0 xxt?
（或
0[,]xx
）时,ntx )(? 保持定号，于是就有
)( xr n
= ( 1 ) ()
!
nf
n
x
x
n ttx
0
d)(
（? 在
0x
与 x 之间）
( 1 )
100
0
( ( ) ) ()
( 1 ) !
n
nf x x x xx
n
,0 1,
这就是我们已经知道的 L agra n ge 余项 ；
初等函数的 T ayl o r 展开
( 1) f ( x ) = e
x
=
0 !n
n
n
x
!!3!2
1
32
n
xxx
x
n，
),(x
。
证 在§ 5,4 我们得到 e
x
在 x = 0 的 T a yl or 公式
!!3!2
1e
32
n
xxx
x
n
x
r xn ( )
,
),(x
,
其中
)( xr n
表示成 L a g r a ng e 余项为
( 1 )
1()
()
( 1 ) !
n
n
n
fx
r x x
n
1e
( 1 ) !
x
n
x
n
,0?
1 。
由于
｜
)( xr n
｜?
0||
)!1(
e 1
||
n
x
x
n
(
n
)
对一切
),(x
成立，所以 e
x
的 T a yl or 展开式成立。
( 2)
xxf s i n)(
0
12
!)12(
)1(
n
n
n
x
n
)!12(
)1(
!5!3
1253
n
xxx
x
n
n
,
),(x
。
证 在§ 5,4 我们得到 s in x 在 x = 0 的 T a yl or 公式
s in x
)!12(
)1(
!5!3
1253
n
xxx
x
n
n
r xn2 2 ( )
,
),(x
,
其中
22 ()nrx?
表示成 L a g r a ng e 余项为
( 2 3 )
22
()
()
( 2 3 ) !
n
n
fx
rx
n
32?nx 23
23
s i n π
( 2 3 ) ! 2
n
xn
x
n
,0?
1 。
由于
|)(| 22 xr n?
0
)!32(
||
32
n
x
n (n )
对一切
),(x
成立，所以 s in x 的 T a yl or 展开式成立。
同理可以得到
(3 ) xxf c o s)(
0
2
!)2(
)1(
n
n
n
xn
)!2()1(!4!21
242
n
xxx nn,),(x 。
根据在例 1 0,3,4 和例 1 0,3,5 中的讨论，有
(4 )
)( xf xa r c t a n
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
12
)1(
53
1253
n
xxx
x
n
n
,
]1,1[x
。
(5 )
)( xf )1ln ( x?
=
1
1)1(
n
n
n
x
n
n
xxxx
x
n
n 1
432
)1(
432
,
]1,1(x
。
同理可以得到
(3 ) xxf c o s)(
0
2
!)2(
)1(
n
n
n
xn
)!2()1(!4!21
242
n
xxx nn,),(x 。
( 6)
( ) ( 1 )f x x
，
0
是任意实数。
当? 是正整数 m 时
f ( x ) =
mx )1(?
= 1 + mx +
2
2
)1(
x
mm 1?mmx
+ x
m
,
即它的 T a yl or 展开就是二项式展开，只有有限个项。
当? 不是正整数时，
( ) ( 1 )f x x
的各阶导数为
)()( xf k
=
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) kkx
,k = 1,2,?,
可知 f ( x ) 在 x = 0 的 T a yl or 级数为
1 +
1
( 1 ) ( 1 )
!
n
n
n
x
n
。
利用第五章的记号
n
=
( 1 ) ( 1 )
!
n
n
( n = 1,2,? )
和
n
= 1
可将
)1( x
的 T a ylor 级数记为
0
n
n
x
n
。
应用 D' Al e m be r t 判别法，由
n
l i m
1nn
=
n
l i m
1
n
n
= 1,
可知 f ( x ) 在 x = 0 的 T a yl or 级数的收敛半径为 R = 1 。
现考虑
( ) ( 1 )f x x
在 x = 0 的 T a yl or 公式
( 1 )x
=
0
()
n
k
n
k
x r x
k
,
其中
)( xr n
表示成 C a u c hy 余项为
)( xr n
( 1 )
1()
( 1 )
!
n
nnfx
x
n
= ( n + 1)
1
1
n
x
n
1
1
n
x
1( 1 )x
,
01
。
由于幂级数
1
0
( 1 )
1
n
n
nx
n
的收敛半径为 1,因此当
)1,1(x
时，它的一般项趋于 0,即
n
l i m
( n + 1)
1
1
n
x
n
= 0,
)1,1(x
。
另外,因为 01 和 - 1? x? 1,我们有
0? 1
1
n
x
1,
和
10 ( 1 )x11
m a x ( 1 | | ),( 1 | | )xx
,
由此得到当
)1,1(x
时,
n
l i m )( xr n
= 0,
于是
( 1 )x
在 x = 0 的 T a yl or 级数在 ( - 1,1) 收敛于
( 1 )x
，即
0
( 1 )
n
n
xx
n
,
)1,1(x
。
现讨论
( ) ( 1 )f x x
的 T a yl o r 展开在区间端点的收敛情况。将
1x 代入幂级数
0
n
n
x
n
，并记所得到的数项级数为
0n
nu
,
( i ) - 1 。这时级数
0n
nu
一般项的绝对值为
|| nu
n
12
!
n
n
= 1,
因而
0n
nu
发散，即幂级数的收敛范围是 ( - 1,1) 。
( i i) - 1 0 。
当 x = 1 时，级数
0n
n
u
为交错级数。由 0?
1
n
n
1,可知
|| nu
n
1n
=
|| 1?nu
,
并且
|| nu 1
1
1
1
1
2
1
1
1n
1
1
n
=
1
1
10
n
k k
(n ),
可知级数
0n
n
u
收敛。
当 x = - 1,级数
0n
nu
为正项级数，且
|| nu
n
= 1
||
1
2
2
1
1
n
n
n
1? ||
n
。
由于
1
||
n n
发散，可知级 数
0n
nu
发散。因此，当 - 1 0 时幂级数的收敛范围是 ( - 1,1] 。
( i ii ) 0 。对级数
0n
nu
的一般项取绝对值，然后应用 R a a be 判别法 ( 定理 9,3,5),
nl i m
n
1
||
||
1n
n
u
u =
nl i m
n 1
1
||
n
n?
=
nl i m
( 1 )n
n
= 1 +? ＞ 1,
可知级数
0n
nu
绝对收敛，即幂级数的收敛范围是 [ - 1,1] 。
归纳起来，当? 不为 0 和正整数时,
0
( 1 ) n
n
xx n
,
( 1,1 ),1,
( 1,1 ],1 0,
[ 1,1 ],0
x
x
x
当当当 。
( i ii ) 0 。对级数
0n
nu
的一般项取绝对值，然后应用 R a a be 判别法 ( 定理 9,3,5),
nl i m
n
1
||
||
1n
n
u
u =
nl i m
n 1
1
||
n
n?
=
nl i m
( 1 )n
n
= 1 +? ＞ 1,
可知级数
0n
nu
绝对收敛，即幂级数的收敛范围是 [ - 1,1] 。
(7 ) f ( x ) =
xa r c s in
= x +
1
12
12!)!2(
!)!12(
n
n
n
x
n
n
,
]1,1[x
。
证 由 ( 6 ) 可知，当
)1,1(x
时,
2
1
1
x?
=
2
1
2
)1(
x
=
0
22
1
)(
n
n
x
n
=
42
8
3
2
1
1 xx
n
x
n
n
2
!)!2(
!)!12(
,
对等式两边从 0 到 x 积分，注意幂级数的逐项可积性与
x
t
t
0 2
1
d
=
xa r c s in
,
即得到当
)1,1(x
时,
xa r c s in
= x +
1
12
12!)!2(
!)!12(
n
n
n
x
n
n
。
至于幂级数在区间端点
1x
的收敛性，已在例 9,3,8 中用 Ra ab e 判别法得到证明。
特别，取 x = 1,我们得到关于 π 的又一个级数表示,
2
= 1 +
0 12
1
!)!2(
!)!12(
n nn
n
。
下面介绍幂级数展开的一般方法。
例 1 0,4,2 求 f ( x ) =
2
1
x
在 x = 1 的幂级数展开。
解 当
1|1|x
时,
x
1
=
)1(1
1
x
=
0
)1()1(
n
nn x
,
对等式两边求导，应用幂级数的逐项可导性,
2
1
x
=
1
1)1()1(
n
nn xn
,
于是得到
2
1
x
=
0
)1)(1()1(
n
nn
xn
，
)2,0(?x
。
例 1 0,4,3 求 f ( x ) =
2253
1
xx
在 x = 0 的幂级数展开。
解
f ( x ) =
2253
1
xx
=
)21)(3(
1
xx
=
7
1
xx 21
2
3
1
=
7
1
00
22
33
1
n
n
n
n
x
x =
7
1 n
n
n
n
x?
0
1
1
)2(
3
1
。
由于
x?3
1
的幂级数展开的收敛范围是 ( - 3,3),
x21
2
的幂级数展开的收敛范围是
2
1
,
2
1
，因此 f ( x ) 的幂级数展开在
2
1
,
2
1
成立。
对于由函数相乘或相除所得函数的幂级数展开，有如下的方法,
设
)( xf
的幂级数展开为
0n
n
n xa
，收敛半径为
1R
，
)( xg
的幂级数展开为
0n
n
n xb
，收敛半径为
2R
，则
)()( xgxf
的幂级数展开就是它们的
Cauc h y 乘积,
)()( xgxf
=
0n
n
n xa?
0n
n
n xb
=
0n
n
n xc
,
其中
n
k
knkn bac
0
，
},m i n {|| 21 RRx?
。
当
00?b
时，我们可以通过待定系数法求
)(
)(
xg
xf
的幂级数展开：设
)(
)(
xg
xf
=
0n
n
n
xc
,
则
0n
n
n
xb?
0n
n
n
xc
=
0n
n
n
xa
,
分离 x 的各次幂的系数，可依次得到
000 acb?
0
0
0
b
a
c?
,
10110 acbcb
0
011
1
b
cba
c
,
2021120 acbcbcb
0
02112
2
b
cbcba
c
,
一直继续下去，可求得所有的
nc
。
例 1 0,4,4 求 e
x
s i n x 在 x = 0 的幂级数展开（到 x
5
）。
解
e
x
s i n x =
!4!3!2
1
432 xxx
x
!5!3
53 xx
x
= x +
532
30
1
3
1 xxx,
上述幂级数展开对一切 ),(x 都成立。
例 1 0,4,5 求 t an x 在 x = 0 的幂级数展开（到 x
5
）。
解 由于 t a n x 是奇函数，我们可以令
t an x =
x
x
c o s
s i n
=
55331 xcxcxc
,
（请读者思考理由）。于是
55331 xcxcxc
!4!2
1
42
xx
=
!5!3
53
xx
x
,
比较等式两端 x,x
3
与 x
5
的系数，就可得到
11?c
，
3
1
3?c
，
15
2
5?c
,
因此
t an x = x +
3
1
x
3
+
15
2
x
5
。
注 对上例，我们还可采用下述的“代入法”求解：在
u?1
1
=
0n
n
u
= 1 + u + u
2
中，以 u =
!4!2
42
xx
代入，可得到
xc o s
1
= 1 +
!4!2
42
xx
+ 242
!4!2
xx
= 1 + x
2
+
24
5
x
4
,
然后求 s i n x 与
xc o s
1
的 Cau c h y 乘积，同样得到上述关于 t a n x 的幂级数展开。
需要指出，用上述方法作 T ay l o r 展开，我们无法同时得到其幂级数的收敛范围，只能知道在 x = 0 的小邻域中，幂级数展开是成立的（事实上,t an x 的幂级数展开的收敛范围是
2
,
2
，它的证明需要用到复变函数的知识）。
上面介绍的“代入法”经常用于复合函数，例如 e
f ( x )
，
))(1l n ( xf?
等函数的求幂级数展开问题。
例 1 0,4,6 求
x
xs i n
ln
在 x = 0 的幂级数展开（到 x
4
），其中函数
x
xs i n
应理解为 f ( x ) =
。0,1
,0,
s i n
x
x
x
x
解 首先，利用 s i n x 的幂级数展开，可以得到
x
xs i n
=
!5!3
1
42
xx
。
另外，我们有
)1ln ( u?
= u
32
32
uu
,
将 u =
!5!3
42
xx
代入上式，即得
sin
ln
x
x
=
!5!3
42
xx
2
1
2
42
!5!3
xx
=
1806
42
xx
。
利用上例，我们可以得到一些有趣的结果。在例 9,5.7 中，我们已得到等式
x
xs i n
= 2
22
1
1
π
n
x
n
,
两边取对数，再分别将
22
2
1ln
n
x
展开成幂级数,
x
xs i n
ln
2
22
1
l n 1
π
n
x
n
=
1
44
4
22
2
2
1
n n
x
n
x
。
将上式与例 1 0,4,6 中的结果相比较，它们的 x
2
系数,x
4
系数都对应相等，于是就得到等式
1
2
1
n n
=
6
2
,
1
4
1
n n
=
90
4
。
如果我们在计算时更精细些，也就是将
x
xs i n
ln
的幂级数展开计算到 x
6
,x
8
，?，还可以获得
1
6
1
n n
，
1
8
1
n n
，?的精确值。
最后举例说明幂级数在近似计算中的应用。
例 1 0,4,7 计算 I =
10 de 2 xx
，要求精确到 0,0 0 0 1 。
解 由于我们无法将 2e x? 的原函数用初等函数表示出来，因而不能用 N ew t o n - L ei b n i z 公式直接计算定积分
10 de 2 xx
的值，但是应用函数的幂级数展开，可以计算出它的近似值，并精确到任意事先要求的程度。
函数 2
e x?
的幂级数展开为
2
e x?
=
!4!3!2
1
864
2 xxx
x
,
),(x
。
从 0 到 1 逐项积分，得
I =
1
0
de
2
x
x
= 1
3
1
10
1
42
1
216
1
1 3 2 0
1
9 3 6 0
1
7 5 6 0 0
1
,
这是一个 L ei b n i z 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值
（见定理 9,4,2 的注），由于
75600
1?
1,5 × 5
10?
,
因此前面 7 项之和具有四位有效数字；
I =
1
0
de
2
x
x
≈ 0,748 6 。
例 1 0,4,8 在例 1 0,3,4 中，我们得到
xa r c t a n
753
753
xxx
x
,
]1,1[x
,
取 x = 1,则得到
4
7
1
5
1
3
1
1
。
理论上，上式可以用来计算 π 的近似值，但由于这级数收敛速度太慢，要达到一定精确度的话，计算量比较大。如果我们取 x =
31
，
则可得到
6
=
3
1
32
37
1
35
1
33
1
1
,
或
π = 2
3
932
319
1
37
1
35
1
33
1
1
。
这一级数的收敛速度就快得多了。这也是一个 L e i b n i z 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值。由于
9
319
32
510?,所以前
9 项之和已经精确到小数点后第四位，即
π ≈ 3,1 4 1 6 。
