数列的上极限和下极限
先考虑有界数列的情况 。
定义 9.2.1 在有界数列{ x
n
}中，若存在它的一个子列{
k
n
x }使得
∞→k
lim
k
n
x = ξ,
则称 ξ为数列{ x
n
}的一个 极限点。
,ξ是数列{ x
n
}的极限点” 可以等价地表述为：“对于任意给定的
0ε >,存在{ x
n
}中的无穷多个项属于 ξ的 ε 邻域” 。
记
E = {ξ |ξ是 { x
n
}的极限点},
则 E 是非空的有界集合，因此 E 的上确界 H = sup E 和下确界 h = inf
E 存在。
§ 2 上极限与下极限定理 9.2.1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E，即
H = max E,h = min E。
证 由 sup=H E 可知，存在 ∈
k
ξ E ),2,1( "=k,使得
lim
k
k
Hξ
→∞
= 。
取
k
k
1
=ε ),2,1( "=k 。
因为
1
ξ 是 {}
n
x 的极限点，所以在 ),(
11
εξO 中有 { }
n
x 的无穷多个项,取
1
11
(,)
n
xOξ ε∈ ；
因为
2
ξ 是 {}
n
x 的极限点，所以在 ),(
22
εξO 中有 { }
n
x 的无穷多个项，
可以取
12
nn >,使得
2
22
(,)
n
xOξ ε∈ ；
……
因为
k
ξ 是 {}
n
x 的极限点，所以在 ),(
kk
O εξ 中有 { }
n
x 的无穷多个项，
可以取
1?
>
kk
nn,使得 (,)
k
nkk
xOξ ε∈ ；
……
这么一直做下去，便得到 { x
n
}的子列 }{
k
n
x,满足
1
k
nk
x
k
ξ? <,
于是有
lim lim
k
nk
kk
x Hξ
→∞ →∞
= = 。
由定义 1.2.9,H 是 { }
n
x 的极限点，也就是说,∈H E。
同理可证 h ∈E。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ x
n
}的 上极限,
E 的最小值 h = min E 称为数列{ x
n
}的 下极限,记为
H =
∞→n
lim x
n； h =
∞→n
lim x
n
。
定理 9.2.2 设 { x
n
}是有界数列。则 {}
n
x 收敛的充分必要条件是
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
。
证 若 { x
n
}是收敛的，则它的任一子列收敛于同一极限（定理
2.4.4）,因而此时 E 中只有一个元素，于是成立
lim
n→∞
x
n
=
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
。
若 { x
n
}不收敛，则至少存在它的两个子列收敛于不同极限，因此有
∞→n
lim x
n
>
∞→n
lim x
n
。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ x
n
}的 上极限,
E 的最小值 h = min E 称为数列{ x
n
}的 下极限,记为
H =
∞→n
lim x
n； h =
∞→n
lim x
n
。
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大，
按上述思路，可将极限点的定义扩充为
定义 9.2.1' 在数列{ x
n
}中，若存在它的一个子列 {
k
n
x }使得
∞→k
lim
k
n
x ξ= （ ξ?∞≤ ≤+∞）,
则称 ξ为数列 { x
n
}的一个极限点 。
,ξ = ∞+ （或 ∞? ）是 { x
n
}的极限点”也可以等价地表述为：,对于任意给定的 G > 0，存在 { x
n
}中的无穷多个项，使得 x
n
> G（ 或 x
n
<
-G）” 。
同样地，仍定义 E 为 { x
n
}的极限点全体。当 ξ = ∞+ （或 ∞? ）是
{ x
n
}的极限点时,定义 sup E = ∞+ （或 inf E = ∞? ）；当 ξ = ∞+ （或 ∞? ）
是 { x
n
}的唯一极限点时，定义 sup E = inf E = ∞+ （或 sup E = inf E
= ∞? ） 。那么定理 9.2.1 依然成立，而定理 9.2.2 只要改为
定理 9.2.2' lim
n→∞
x
n
存在（有限数,∞+ 或 ∞? ） 的充 分必要条 件是
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
。
例9.2.1 求数列
2 π
cos
5
n
n
x
=
的上极限与下极限。
解 因为
45?n
x =
15?n
x =
2π
cos
5
，
35?n
x =
25?n
x =
π
cos
5
,
5
1
n
x =,所以 { x
n
}
的最大极限点是 1，最小极限点是
π
cos
5
,即
∞→n
lim 1
n
x =,
∞→n
lim
n
x =
π
cos
5
。
例 9.2.2 求数列 { }
n
nx
n
)1(?
= 的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,…,
它没有上界，因而
∞→n
lim x
n
= ∞+ 。
又由 x
n
>0，且 }{
12?n
x 的极限为 0，即知
∞→n
lim x
n
= 0。
例 9.2.3 求数列{ x
n
= -n}的上极限与下极限。
解 由于 lim
n→∞
x
n
= ∞?,因而
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
= lim
n→∞
x
n
= ∞? 。
例 9.2.2 求数列 { }
n
nx
n
)1(?
= 的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,…,
它没有上界，因而
∞→n
lim x
n
= ∞+ 。
又由 x
n
>0，且 }{
12?n
x 的极限为 0，即知
∞→n
lim x
n
= 0。
为了以后讨论问题的方便，先证明一个有用的结论。
定理 9.2.3 设 { x
n
}是有界数列。则
(1)
∞→n
lim x
n
=ξ的充分必要条件是：对任意给定的 ε >0,
(i) 存在正整数 N,使得
x
n
<ξ +ε
对一切 n>N 成立；
(ii) {}
n
x 中有无穷多项，满足
x
n
>ξ –ε,
(2)
∞→n
lim x
n
=η的充分必要条件是：对任意给定的 ε >0,
(i) 存在正整数 N,使得
x
n
>η ε?
对一切 n>N 成立；
(ii) {}
n
x 中有无穷多项，满足
x
n
<η ε+,
证 下面只给出 (1)的证明,(2)的证明类似。
必要性,由于 ξ是 { x
n
}的最大极限点,因此对于任意给定的 0ε >,
在区间[ ξ +ε,)∞+ 上至多只有{ x
n
}中的有限项（请读者考虑为什么） 。
设这有限项中最大的下标为
0
n 。显然，只要取 N =
0
n,当 n>N 时，必有
x
n
<ξ +ε,
这就证明了(i) 。
由于 ξ是 { x
n
}的极限点，因此{ x
n
}中有无穷多项属于 ξ的 ε 邻域，
因此这无穷多个项满足
x
n
>ξ –ε,
这就证明了(ii) 。
充分性：由 (i)，对任意给定的 0ε >,存在正整数 N，使得当 n>N
时，成立 x
n
<ξ+ε,于是
∞→n
lim x
n
≤ξ+ε 。由 ε 的任意性可知
∞→n
lim x
n
≤ξ。
由 (ii),{}
n
x 中有无穷多项，满足 x
n
>ξ –ε,于是
∞→n
lim x
n
≥ξ? ε 。由
ε 的任意性又可知
∞→n
lim x
n
≥ξ。
结合上述两式，就得到
∞→n
lim x
n
=ξ。
上极限和下极限的运算
数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商” 之类的性质。例如设 x
n
= (-1)
n
,
n
y = (-1)
n+1
，则
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y = 2，而
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) = 0，两者并不相等。
但我们还是可以得到下述关系。
定理 9.2.4 设 { x
n
},{
n
y }是两数列,则
(1)
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≥
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y ；
(2) 若 lim
n→∞
n
x 存在,则
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) =
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) =
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y 。
(要求上述诸式的右端不是待定型,即不为 ( ∞+ )+( ∞? )等 )
上极限和下极限的运算
数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商” 之类的性质。例如设 x
n
= (-1)
n
,
n
y = (-1)
n+1
，则
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y = 2，而
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) = 0，两者并不相等。
但我们还是可以得到下述关系。
证 下面只给出 (1)与 (2)中第一式的证明，并假定式中出现的上极限是有限数（上极限是 ∞+ 或 ∞? 的情况留给读者自证） 。
记
∞→n
lim x
n
= H
1
，
∞→n
lim
n
y = H
2
。
由定理 9.2.3，对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，对一切 n>N
成立
x
n
<H
1
+ε,
n
y <H
2
+ε,
即
x
n
+
n
y <H
1
+ H
2
+ 2ε,
所以
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤H
1
+ H
2
+ 2ε,
由 ε 的任意性，即得到
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤H
1
+ H
2
=
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y 。
这就是 (1)的第一式。
若 lim
n→∞
n
x 存在，则由(1) 的第一式,
∞→n
lim
n
y =
∞→n
lim [( x
n
+
n
y ) -
n
x ]≤
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) +
∞→n
lim (-
n
x ),
此式即为
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≥
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y 。
将上式结合
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y,
即得到 (2)的第一式。
定理 9.2.5 设 { x
n
},{
n
y }是两数列,
(1) 若 x
n
≥0，
n
y ≥0,则
∞→n
lim ( x
n n
y )≤
∞→n
lim?
n
x
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n n
y )≥
∞→n
lim?
n
x
∞→n
lim
n
y ；
(2) 若 lim
n→∞
x
n
= x,+∞<< x0,则
∞→n
lim ( x
n n
y ) = lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n n
y ) = lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y 。
(要求上述诸式的右端不是待定型,即不为 )(0 +∞? 等 )
证 下面只给出(2) 的第一式的证明，并假定
∞→n
lim
n
y 是有限数。
由 lim
n→∞
x
n
= x,+∞<< x0,可知对任意给定的 ε（ 0<ε <x）,存在正整数 N
1
，对一切 n>N
1
成立
0< x -ε < x
n
< x +ε,
记
∞→n
lim
n
y = H
2
，由定理 9.2.3，对上述 ε（ 0<ε <x）,存在正整数 N
2
，对一切 n>N
2
成立
n
y < H
2
+ε,
取 N = max {N
1
,N
2
}，则当 n>N 时，成立
x
n n
y < max {( x –ε )(H
2
+ε ),( x +ε )(H
2
+ε )},
于是有
∞→n
lim ( x
n n
y )≤ max {( x –ε )(H
2
+ε ),( x +ε )(H
2
+ε )},
由 ε 的任意性，即得到
∞→n
lim ( x
n n
y ) ≤
2
Hx?
= lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y 。
由于
∞→n
lim
n
y =
∞→n
lim [( x
n n
y )
n
x
1
]≤
∞→n
lim ( x
n n
y )
∞→
n
lim
n
x
1
,
即
∞→n
lim ( x
n n
y )≥ lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y,
两式结合即得到 (2)的第一式。
注意在定理 9.2.5 中，若条件改变的话，则给出的关系式也将作相应的改变。例如，在(1) 中将条件改为 x
n
≤0，
n
y ≥0，在 (2)中将条件改为 lim
n→∞
x
n
=x,<∞? x<0，请读者考虑关系式将如何改变。
因此，在对上极限和下极限进行运算时必须非常小心。
数列的上极限与下极限也可如下定义。
设 { x
n
}是一个有界数列，令
n
b = sup{
1+n
x,
2+n
x,…}=
nk>
sup {
k
x }；
n
a = inf{
1+n
x,
2+n
x,… }=
nk>
inf {
k
x }。
则 {
n
a }是单调增加有上界的数列,{
n
b }是单调减少有下界的数列，因此数列 {
n
a }与{
n
b }都收敛。
记
H * = lim
n→∞
n
b = lim
n→∞
nk>
sup {
k
x }；
h* = lim
n→∞
n
a = lim
n→∞ nk>
inf {
k
x }。
当数列 { x
n
}无上界而有下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
b = ∞+,定义
H* = ∞+ 。
这时数列 {
n
a }单调增加，但也可能没有上界。如果 h * = lim
n→∞
n
a = ∞+,
则由
1?n
a ≤ x
n
≤
1?n
b,
可知 lim
n→∞
x
n
= ∞+ 。
当数列 { x
n
}无下界而有上界时，则对一切 n∈
+
N,
n
a = ∞?,定义
h * = ∞? 。
这时数列 {
n
b }单调减少，但也可能没有下界。如果 H * = lim
n→∞
n
b = ∞?,
则由
1?n
a ≤ x
n
≤
1?n
b,
可知 lim
n→∞
x
n
= ∞? 。
当数列 { x
n
}无上界而有下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
b = ∞+,定义
H* = ∞+ 。
这时数列 {
n
a }单调增加，但也可能没有上界。如果 h * = lim
n→∞
n
a = ∞+,
则由
1?n
a ≤ x
n
≤
1?n
b,
可知 lim
n→∞
x
n
= ∞+ 。
当数列 { x
n
}既无上界又无下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
a = ∞?,
n
b
= ∞+,定义
H * = ∞+,h * = ∞? 。
所以，对于任意实数数列，尽管其极限可以不存在，但 H*与 h*
总是存在的( 有限数或 ∞+ 或 ∞? )，且成立
h* ≤ H* 。
当数列 { x
n
}既无上界又无下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
a = ∞?,
n
b
= ∞+,定义
H * = ∞+,h * = ∞? 。
关于这一定义与定义 9.2.1 的等价性，我们有下述定理,
定理 9.2.6 H* 是 { x
n
}的最大极限点,h* 是 { x
n
}的最小极限点 。
证 首先证明，{ x
n
}的任意一个极限点 ξ （有限数或 ∞+ 或 ∞? ）
满足
h* ≤ξ ≤ H*。
设 lim
k
n
k
x ξ
→∞
=,则对一切 k∈N
+
，成立
1?
k
n
a ≤
k
n
x ≤
1?
k
n
b,
由 lim
n→∞
n
a = h*,lim
n→∞
n
b = H* 与
∞→k
lim
k
n
x = ξ,得到
h* ≤ξ ≤ H*。
其次证明，存在{ x
n
}的子列 {
k
n
x }与 {
k
m
x },使得
∞→k
lim
k
n
x = H*,
∞→k
lim
k
m
x = h*。
设 { x
n
}的上极限 H与下极限 h都是有限数,取
k
ε =
k
1
,k = 1,2,…。
对
1
ε = 1，由
1
b =
1
sup
>i
{
i
x },?
1
n,
1
b -1<
1
n
x ≤
1
b ；
对
2
ε =
2
1
，由
1
n
b =
1
sup
ni>
{
i
x },?
2
n >
1
n,
1
n
b -
2
1
<
2
n
x ≤
1
n
b ；
……
对
1k
ε
+
=
1
1
+k
，由
k
n
b =
k
ni>
sup {
i
x },?
1+k
n >
k
n,
k
n
b -
1
1
+k
<
1+k
n
x ≤
k
n
b ；
……
令 ∞→k,由数列极限的夹逼性，得到
∞→k
lim
k
n
x =
∞→k
lim
k
n
b = lim
n→∞
n
b = H*。
同理可证存在子列{
k
m
x }，使得
∞→k
lim
k
m
x = h*。
若 { x
n
}无上界,即 H* = ∞+,则显然存在子列{
k
n
x }是正无穷大量，
即
∞→k
lim
k
n
x = H* = ∞+ ；若 H* = ∞?,前面已经指出 lim
n→∞
x
n
= H* = ∞? ；若
{ x
n
}无下界，即 h* = ∞?,则显然存在子列 {
k
m
x }是负无穷大量，即
∞→k
lim
k
m
x = h* = ∞? ；若 h* = ∞+,前面也已经指出 lim
n→∞
x
n
= h* = ∞+ 。
由定理 9.2.6,即得到
H* = max E =
∞→n
lim x
n
,h * = min E =
∞→n
lim x
n
。
先考虑有界数列的情况 。
定义 9.2.1 在有界数列{ x
n
}中，若存在它的一个子列{
k
n
x }使得
∞→k
lim
k
n
x = ξ,
则称 ξ为数列{ x
n
}的一个 极限点。
,ξ是数列{ x
n
}的极限点” 可以等价地表述为：“对于任意给定的
0ε >,存在{ x
n
}中的无穷多个项属于 ξ的 ε 邻域” 。
记
E = {ξ |ξ是 { x
n
}的极限点},
则 E 是非空的有界集合，因此 E 的上确界 H = sup E 和下确界 h = inf
E 存在。
§ 2 上极限与下极限定理 9.2.1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E，即
H = max E,h = min E。
证 由 sup=H E 可知，存在 ∈
k
ξ E ),2,1( "=k,使得
lim
k
k
Hξ
→∞
= 。
取
k
k
1
=ε ),2,1( "=k 。
因为
1
ξ 是 {}
n
x 的极限点，所以在 ),(
11
εξO 中有 { }
n
x 的无穷多个项,取
1
11
(,)
n
xOξ ε∈ ；
因为
2
ξ 是 {}
n
x 的极限点，所以在 ),(
22
εξO 中有 { }
n
x 的无穷多个项，
可以取
12
nn >,使得
2
22
(,)
n
xOξ ε∈ ；
……
因为
k
ξ 是 {}
n
x 的极限点，所以在 ),(
kk
O εξ 中有 { }
n
x 的无穷多个项，
可以取
1?
>
kk
nn,使得 (,)
k
nkk
xOξ ε∈ ；
……
这么一直做下去，便得到 { x
n
}的子列 }{
k
n
x,满足
1
k
nk
x
k
ξ? <,
于是有
lim lim
k
nk
kk
x Hξ
→∞ →∞
= = 。
由定义 1.2.9,H 是 { }
n
x 的极限点，也就是说,∈H E。
同理可证 h ∈E。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ x
n
}的 上极限,
E 的最小值 h = min E 称为数列{ x
n
}的 下极限,记为
H =
∞→n
lim x
n； h =
∞→n
lim x
n
。
定理 9.2.2 设 { x
n
}是有界数列。则 {}
n
x 收敛的充分必要条件是
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
。
证 若 { x
n
}是收敛的，则它的任一子列收敛于同一极限（定理
2.4.4）,因而此时 E 中只有一个元素，于是成立
lim
n→∞
x
n
=
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
。
若 { x
n
}不收敛，则至少存在它的两个子列收敛于不同极限，因此有
∞→n
lim x
n
>
∞→n
lim x
n
。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ x
n
}的 上极限,
E 的最小值 h = min E 称为数列{ x
n
}的 下极限,记为
H =
∞→n
lim x
n； h =
∞→n
lim x
n
。
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大，
按上述思路，可将极限点的定义扩充为
定义 9.2.1' 在数列{ x
n
}中，若存在它的一个子列 {
k
n
x }使得
∞→k
lim
k
n
x ξ= （ ξ?∞≤ ≤+∞）,
则称 ξ为数列 { x
n
}的一个极限点 。
,ξ = ∞+ （或 ∞? ）是 { x
n
}的极限点”也可以等价地表述为：,对于任意给定的 G > 0，存在 { x
n
}中的无穷多个项，使得 x
n
> G（ 或 x
n
<
-G）” 。
同样地，仍定义 E 为 { x
n
}的极限点全体。当 ξ = ∞+ （或 ∞? ）是
{ x
n
}的极限点时,定义 sup E = ∞+ （或 inf E = ∞? ）；当 ξ = ∞+ （或 ∞? ）
是 { x
n
}的唯一极限点时，定义 sup E = inf E = ∞+ （或 sup E = inf E
= ∞? ） 。那么定理 9.2.1 依然成立，而定理 9.2.2 只要改为
定理 9.2.2' lim
n→∞
x
n
存在（有限数,∞+ 或 ∞? ） 的充 分必要条 件是
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
。
例9.2.1 求数列
2 π
cos
5
n
n
x
=
的上极限与下极限。
解 因为
45?n
x =
15?n
x =
2π
cos
5
，
35?n
x =
25?n
x =
π
cos
5
,
5
1
n
x =,所以 { x
n
}
的最大极限点是 1，最小极限点是
π
cos
5
,即
∞→n
lim 1
n
x =,
∞→n
lim
n
x =
π
cos
5
。
例 9.2.2 求数列 { }
n
nx
n
)1(?
= 的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,…,
它没有上界，因而
∞→n
lim x
n
= ∞+ 。
又由 x
n
>0，且 }{
12?n
x 的极限为 0，即知
∞→n
lim x
n
= 0。
例 9.2.3 求数列{ x
n
= -n}的上极限与下极限。
解 由于 lim
n→∞
x
n
= ∞?,因而
∞→n
lim x
n
=
∞→n
lim x
n
= lim
n→∞
x
n
= ∞? 。
例 9.2.2 求数列 { }
n
nx
n
)1(?
= 的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,…,
它没有上界，因而
∞→n
lim x
n
= ∞+ 。
又由 x
n
>0，且 }{
12?n
x 的极限为 0，即知
∞→n
lim x
n
= 0。
为了以后讨论问题的方便，先证明一个有用的结论。
定理 9.2.3 设 { x
n
}是有界数列。则
(1)
∞→n
lim x
n
=ξ的充分必要条件是：对任意给定的 ε >0,
(i) 存在正整数 N,使得
x
n
<ξ +ε
对一切 n>N 成立；
(ii) {}
n
x 中有无穷多项，满足
x
n
>ξ –ε,
(2)
∞→n
lim x
n
=η的充分必要条件是：对任意给定的 ε >0,
(i) 存在正整数 N,使得
x
n
>η ε?
对一切 n>N 成立；
(ii) {}
n
x 中有无穷多项，满足
x
n
<η ε+,
证 下面只给出 (1)的证明,(2)的证明类似。
必要性,由于 ξ是 { x
n
}的最大极限点,因此对于任意给定的 0ε >,
在区间[ ξ +ε,)∞+ 上至多只有{ x
n
}中的有限项（请读者考虑为什么） 。
设这有限项中最大的下标为
0
n 。显然，只要取 N =
0
n,当 n>N 时，必有
x
n
<ξ +ε,
这就证明了(i) 。
由于 ξ是 { x
n
}的极限点，因此{ x
n
}中有无穷多项属于 ξ的 ε 邻域，
因此这无穷多个项满足
x
n
>ξ –ε,
这就证明了(ii) 。
充分性：由 (i)，对任意给定的 0ε >,存在正整数 N，使得当 n>N
时，成立 x
n
<ξ+ε,于是
∞→n
lim x
n
≤ξ+ε 。由 ε 的任意性可知
∞→n
lim x
n
≤ξ。
由 (ii),{}
n
x 中有无穷多项，满足 x
n
>ξ –ε,于是
∞→n
lim x
n
≥ξ? ε 。由
ε 的任意性又可知
∞→n
lim x
n
≥ξ。
结合上述两式，就得到
∞→n
lim x
n
=ξ。
上极限和下极限的运算
数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商” 之类的性质。例如设 x
n
= (-1)
n
,
n
y = (-1)
n+1
，则
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y = 2，而
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) = 0，两者并不相等。
但我们还是可以得到下述关系。
定理 9.2.4 设 { x
n
},{
n
y }是两数列,则
(1)
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≥
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y ；
(2) 若 lim
n→∞
n
x 存在,则
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) =
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) =
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y 。
(要求上述诸式的右端不是待定型,即不为 ( ∞+ )+( ∞? )等 )
上极限和下极限的运算
数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商” 之类的性质。例如设 x
n
= (-1)
n
,
n
y = (-1)
n+1
，则
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y = 2，而
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) = 0，两者并不相等。
但我们还是可以得到下述关系。
证 下面只给出 (1)与 (2)中第一式的证明，并假定式中出现的上极限是有限数（上极限是 ∞+ 或 ∞? 的情况留给读者自证） 。
记
∞→n
lim x
n
= H
1
，
∞→n
lim
n
y = H
2
。
由定理 9.2.3，对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，对一切 n>N
成立
x
n
<H
1
+ε,
n
y <H
2
+ε,
即
x
n
+
n
y <H
1
+ H
2
+ 2ε,
所以
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤H
1
+ H
2
+ 2ε,
由 ε 的任意性，即得到
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤H
1
+ H
2
=
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y 。
这就是 (1)的第一式。
若 lim
n→∞
n
x 存在，则由(1) 的第一式,
∞→n
lim
n
y =
∞→n
lim [( x
n
+
n
y ) -
n
x ]≤
∞→n
lim ( x
n
+
n
y ) +
∞→n
lim (-
n
x ),
此式即为
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≥
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y 。
将上式结合
∞→n
lim ( x
n
+
n
y )≤
∞→n
lim x
n
+
∞→n
lim
n
y,
即得到 (2)的第一式。
定理 9.2.5 设 { x
n
},{
n
y }是两数列,
(1) 若 x
n
≥0，
n
y ≥0,则
∞→n
lim ( x
n n
y )≤
∞→n
lim?
n
x
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n n
y )≥
∞→n
lim?
n
x
∞→n
lim
n
y ；
(2) 若 lim
n→∞
x
n
= x,+∞<< x0,则
∞→n
lim ( x
n n
y ) = lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y,
∞→n
lim ( x
n n
y ) = lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y 。
(要求上述诸式的右端不是待定型,即不为 )(0 +∞? 等 )
证 下面只给出(2) 的第一式的证明，并假定
∞→n
lim
n
y 是有限数。
由 lim
n→∞
x
n
= x,+∞<< x0,可知对任意给定的 ε（ 0<ε <x）,存在正整数 N
1
，对一切 n>N
1
成立
0< x -ε < x
n
< x +ε,
记
∞→n
lim
n
y = H
2
，由定理 9.2.3，对上述 ε（ 0<ε <x）,存在正整数 N
2
，对一切 n>N
2
成立
n
y < H
2
+ε,
取 N = max {N
1
,N
2
}，则当 n>N 时，成立
x
n n
y < max {( x –ε )(H
2
+ε ),( x +ε )(H
2
+ε )},
于是有
∞→n
lim ( x
n n
y )≤ max {( x –ε )(H
2
+ε ),( x +ε )(H
2
+ε )},
由 ε 的任意性，即得到
∞→n
lim ( x
n n
y ) ≤
2
Hx?
= lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y 。
由于
∞→n
lim
n
y =
∞→n
lim [( x
n n
y )
n
x
1
]≤
∞→n
lim ( x
n n
y )
∞→
n
lim
n
x
1
,
即
∞→n
lim ( x
n n
y )≥ lim
n→∞
n
x
∞→n
lim
n
y,
两式结合即得到 (2)的第一式。
注意在定理 9.2.5 中，若条件改变的话，则给出的关系式也将作相应的改变。例如，在(1) 中将条件改为 x
n
≤0，
n
y ≥0，在 (2)中将条件改为 lim
n→∞
x
n
=x,<∞? x<0，请读者考虑关系式将如何改变。
因此，在对上极限和下极限进行运算时必须非常小心。
数列的上极限与下极限也可如下定义。
设 { x
n
}是一个有界数列，令
n
b = sup{
1+n
x,
2+n
x,…}=
nk>
sup {
k
x }；
n
a = inf{
1+n
x,
2+n
x,… }=
nk>
inf {
k
x }。
则 {
n
a }是单调增加有上界的数列,{
n
b }是单调减少有下界的数列，因此数列 {
n
a }与{
n
b }都收敛。
记
H * = lim
n→∞
n
b = lim
n→∞
nk>
sup {
k
x }；
h* = lim
n→∞
n
a = lim
n→∞ nk>
inf {
k
x }。
当数列 { x
n
}无上界而有下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
b = ∞+,定义
H* = ∞+ 。
这时数列 {
n
a }单调增加，但也可能没有上界。如果 h * = lim
n→∞
n
a = ∞+,
则由
1?n
a ≤ x
n
≤
1?n
b,
可知 lim
n→∞
x
n
= ∞+ 。
当数列 { x
n
}无下界而有上界时，则对一切 n∈
+
N,
n
a = ∞?,定义
h * = ∞? 。
这时数列 {
n
b }单调减少，但也可能没有下界。如果 H * = lim
n→∞
n
b = ∞?,
则由
1?n
a ≤ x
n
≤
1?n
b,
可知 lim
n→∞
x
n
= ∞? 。
当数列 { x
n
}无上界而有下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
b = ∞+,定义
H* = ∞+ 。
这时数列 {
n
a }单调增加，但也可能没有上界。如果 h * = lim
n→∞
n
a = ∞+,
则由
1?n
a ≤ x
n
≤
1?n
b,
可知 lim
n→∞
x
n
= ∞+ 。
当数列 { x
n
}既无上界又无下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
a = ∞?,
n
b
= ∞+,定义
H * = ∞+,h * = ∞? 。
所以，对于任意实数数列，尽管其极限可以不存在，但 H*与 h*
总是存在的( 有限数或 ∞+ 或 ∞? )，且成立
h* ≤ H* 。
当数列 { x
n
}既无上界又无下界时，则对一切 n∈
+
N,
n
a = ∞?,
n
b
= ∞+,定义
H * = ∞+,h * = ∞? 。
关于这一定义与定义 9.2.1 的等价性，我们有下述定理,
定理 9.2.6 H* 是 { x
n
}的最大极限点,h* 是 { x
n
}的最小极限点 。
证 首先证明，{ x
n
}的任意一个极限点 ξ （有限数或 ∞+ 或 ∞? ）
满足
h* ≤ξ ≤ H*。
设 lim
k
n
k
x ξ
→∞
=,则对一切 k∈N
+
，成立
1?
k
n
a ≤
k
n
x ≤
1?
k
n
b,
由 lim
n→∞
n
a = h*,lim
n→∞
n
b = H* 与
∞→k
lim
k
n
x = ξ,得到
h* ≤ξ ≤ H*。
其次证明，存在{ x
n
}的子列 {
k
n
x }与 {
k
m
x },使得
∞→k
lim
k
n
x = H*,
∞→k
lim
k
m
x = h*。
设 { x
n
}的上极限 H与下极限 h都是有限数,取
k
ε =
k
1
,k = 1,2,…。
对
1
ε = 1，由
1
b =
1
sup
>i
{
i
x },?
1
n,
1
b -1<
1
n
x ≤
1
b ；
对
2
ε =
2
1
，由
1
n
b =
1
sup
ni>
{
i
x },?
2
n >
1
n,
1
n
b -
2
1
<
2
n
x ≤
1
n
b ；
……
对
1k
ε
+
=
1
1
+k
，由
k
n
b =
k
ni>
sup {
i
x },?
1+k
n >
k
n,
k
n
b -
1
1
+k
<
1+k
n
x ≤
k
n
b ；
……
令 ∞→k,由数列极限的夹逼性，得到
∞→k
lim
k
n
x =
∞→k
lim
k
n
b = lim
n→∞
n
b = H*。
同理可证存在子列{
k
m
x }，使得
∞→k
lim
k
m
x = h*。
若 { x
n
}无上界,即 H* = ∞+,则显然存在子列{
k
n
x }是正无穷大量，
即
∞→k
lim
k
n
x = H* = ∞+ ；若 H* = ∞?,前面已经指出 lim
n→∞
x
n
= H* = ∞? ；若
{ x
n
}无下界，即 h* = ∞?,则显然存在子列 {
k
m
x }是负无穷大量，即
∞→k
lim
k
m
x = h* = ∞? ；若 h* = ∞+,前面也已经指出 lim
n→∞
x
n
= h* = ∞+ 。
由定理 9.2.6,即得到
H* = max E =
∞→n
lim x
n
,h * = min E =
∞→n
lim x
n
。
