反常积分的 Cauchy 收敛原理
下面以 ()d
a
fx x
+∞
∫
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛即为极限 lim
A→+∞
()d
A
a
f xx
∫
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以表述为如下形式,
§ 2 反常积分的收敛判别法定理 8.2.1（ Cauchy 收敛原理 ） 反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛的充分必要条件是,对任意给定的 0>ε,存在 aA ≥
0
,使得对任意 AA A,′≥
0
，
有
()d
A
A
fx x ε
′
<
∫
。
§ 2 反常积分的收敛判别法反常积分的 Cauchy 收敛原理
下面以 ()d
a
fx x
+∞
∫
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛即为极限 lim
A→+∞
()d
A
a
f xx
∫
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以表述为如下形式,
定义 8.2.1 设 fx()在任意有限区间 [,]aA? +∞[,)a 上可积,且
| ()| d
a
f xx
+∞
∫
收敛,则称 ()d
a
f xx
+∞
∫
绝对收敛 （ 或称 fx()在 [,)a +∞ 上 绝对可积 ）。
若 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛而非绝对收敛，则称 ()d
a
f xx
+∞
∫
条件收敛 （ 或称
fx()在 [,)a +∞ 上 条件可积 ）。
推论 若反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
绝对收敛，则它一定收敛。
证 对任意给定的 0>ε,由于 | ()| d
a
f xx
+∞
∫
收敛，所以存在 aA ≥
0
，
使得对任意 AA A,′≥
0
，成立
|()|d
A
A
fx x ε
′
<
∫
。
利用定积分的性质，得到
()d
A
A
f xx
′
≤
∫
|()|d
A
A
fx x ε
′
<
∫
,
由 Cauchy 收敛原理，可知 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛。
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件，
但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。
我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。
非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在 [,)a +∞ 上恒有 )()(0 xKxf?≤≤,其中 K 是正常数。则
（1） 当 ()d
a
xx?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛；
（2） 当 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散时 ()d
a
xx?
+∞
∫
也发散。
例 8.2.1 讨论
321
cos 2 sin
d
x x
x
xa
+∞
+
∫
的敛散性（ a是常数）。
解 因为当 1x≥ 时有
xx
ax
xx 1sin2cos
23
≤
+
,
在例 8.1.2 中，已知
1
1
dx
x x
+∞
∫
收敛，由比较判别法，
321
cos 2 sin
d
x x
x
xa
+∞
+
∫
绝对收敛，所以
321
cos 2 sin
d
x x
x
xa
+∞
+
∫
收敛。
注意：在以上定理中，条件“在 [,)a +∞ 上恒有 )()(0 xKxf?≤≤,，
可以放宽为“存在 aA≥,在 ),[ ∞+A 上恒有 )()(0 xKxf?≤≤,。
推论（比较判别法的极限形式 ） 设在 [,)a +∞ 上恒有 () 0fx≥ 和
0)( ≥x?,且
l
x
xf
x
=
+∞→
)(
)(
lim
,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,则 ()d
a
xx?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛；
⑵ 若 0 <≤+∞l,则 ()d
a
xx?
+∞
∫
发散时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也发散。
所以,当 0 l<<+∞时,()d
a
xx?
+∞
∫
和 ()d
a
f xx
+∞
∫
同时收敛或同时发散 。
证 ⑴ 若 +∞<=
+∞→
l
x
xf
x
)(
)(
lim
，则存在常数 A a≥,当 Ax ≥ 时成立
1
)(
)(
+<l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf?+< 。
于是，由比较判别法，当 ()d
a
x x?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛。
⑵ 若 0
)(
)(
lim >=
+∞→
l
x
xf
x
，存在常数 A a≥,使得当 Ax ≥ 时成立
l
x
xf
′
>
)(
)(
,
其中 ll <′<0 （当 +∞=l 时,l′可取任意正数）即
)()( xlxf?
′
> 。
于是，由比较判别法，当 ()d
a
x x?
+∞
∫
发散时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也发散。
证 ⑴ 若 +∞<=
+∞→
l
x
xf
x
)(
)(
lim
，则存在常数 A a≥,当 Ax ≥ 时成立
1
)(
)(
+<l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf?+< 。
于是，由比较判别法，当 ()d
a
x x?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛。
例 8.2.2 讨论
34 3 21
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
的敛散性。
解 因为
lim
x→+∞
x
xxxx
4
3
432
3
3521
1
+++?
=,
由于
3 41
1
dx
x
+∞
∫
收敛，所以
3 4321
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
收敛。
将定理 8.2.2 中的?()x 取为
1
x
p
，就得到如下的 Cauchy 判别法,
定理 8.2.3（Cauchy 判别法 ） 设在 [,)a +∞? +∞(,)0 上恒有
fx()≥ 0,K 是正常数。
⑴ 若 fx
K
x
p
()≤,且 p >1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛；
⑵ 若 fx
K
x
p
()≥,且 p ≤1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
例 8.2.2 讨论
34 3 21
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
的敛散性。
解 因为
lim
x→+∞
x
xxxx
4
3
432
3
3521
1
+++?
=,
由于
3 41
1
dx
x
+∞
∫
收敛，所以
3 4321
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
收敛。
推论（Cauchy 判别法的极限形式） 设在 [,)a +∞? +∞(,)0 上恒有
fx()≥ 0，且
lim ( )
x
p
xfx l
→+∞
=,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,且 p >1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛；
⑵ 若 0 < ≤ +∞l,且 p ≤1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
例 8.2.3 讨论
0
ed
ax
xx
+∞
∫
的敛散性（ R∈a ）。
解 因为对任意常数 R∈a,有
lim
x→+∞
0)e(
2
=
xa
xx,
由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知
0
ed
ax
xx
+∞
∫
收敛。
推论（ Cauchy 判别法的极限形式） 设在 [,)a +∞? +∞(,)0 上恒有
fx()≥ 0，且
lim ( )
x
p
xfx l
→+∞
=,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,且 p >1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛；
⑵ 若 0 < ≤ +∞l,且 p ≤1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
一般函数反常积分的收敛判别法
我们先证明一个重要结果。
定理 8.2.4（积分第二中值定理 ） 设 fx()在 [,]ab上可积,gx()
在 [,]ab上单调，则存在 [,]abξ∈,使得
()()d
b
a
f xgx x
∫
() ()d () ()d
b
a
ga fx x gb fx x
ξ
ξ
=+
∫∫
。
证 我们只对 fx()在 [,]ab上连续,gx()在 [,]ab上单调且 )(' xg 在
[,]ab上可积的情况加以证明。
记 Fx()= ()d
x
a
f tt
∫
，则 )(xF 在 ],[ ba 连续，且 Fa()= 0 。由于 fx()在
[,]ab上连续，于是 )(xF 是 fx()在 [,]ab上的一个原函数，利用分部积 分法，有
()()d
b
a
f xgx x
∫
b
a
xgxF )()(= () ()d
b
a
F xg x x
′
∫
。
()()d
b
a
f x g xx
∫
b
a
xgxF )()(= () ()d
b
a
F x g xx
′
∫
上式右端的第一项
)()()()( bgbFxgxF
b
a
= () ()d
b
a
gb f x x=
∫
,
而在第二项中，由于 gx()单调，因此 ′gx()保持定号，由积分第一中 值定理，存在 [,]abξ∈,使得
() ()d () ()d
bb
aa
F xgxxF gxxξ
′′
= =
∫∫
[() ()] ()d
a
gb ga f x x
ξ
∫
,
于是
()()d
b
a
f xgx x
∫
() ()d
b
a
gb f x x=
∫
[() ()] ()d
a
gb ga f x x
ξ
∫
() ()d () ()d
b
a
ga fx x gb fx x
ξ
ξ
=+
∫∫
。
注 在定理 8.2.4 的假设下，还有如下结论,
（1）若 )(xg 在 [,]ab上单调增加，且 0)( ≥ag,则存在 [,]abξ∈,使得
()()d
b
a
f xgx x
∫
() ()d
b
gb f x x
ξ
=
∫；
（2）若 )(xg 在 [,]ab上单调减少，且 0)( ≥bg,则存在 [,]abξ∈,使得
()()d
b
a
f x g xx=
∫
() ()d
a
g a f xx
ξ
∫
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则 ()()d
a
f xgx x
+∞
∫
收敛,
⑴ （ Abel 判别法） ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛,gx()在 [,)a +∞ 上单调有界；
⑵ （ Dirichlet 判 别法） () ()d
A
a
F Afxx=
∫
在 [,)a +∞ 上有界,gx()在
[,)a +∞ 上单调且 lim ( )
x
gx
→+∞
= 0。
证 设 ε是任意给定的正数。
⑴ 若 Abel 判别法条件满足，记 G 是 |()|g x 在 [,)a +∞ 的一个上界，
因为 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛，由 Cauchy 收敛原理，存在 aA ≥
0
，使得对任意
AA A,′≥
0
，有
()d
2
A
A
fx x
G
ε
′
<
∫
。
由积分第二中值定理,
()()d
A
A
f xgx x
′
∫
() ()d ( ) ()d
A
A
gA fx x gA fx x
ξ
ξ
′
′
≤? +?
∫∫
()d ()d
A
A
G fxx G fxx
ξ
ξ
′
≤+
∫∫
ε
εε
=+<
22
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则 ()()d
a
f xgx x
+∞
∫
收敛,
⑴ （ Abel 判别法） ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛,gx()在 [,)a +∞ 上单调有界；
⑵ （ Dirichlet 判 别法） () ()d
A
a
F Afxx=
∫
在 [,)a +∞ 上有界,gx()在
[,)a +∞ 上单调且 lim ( )
x
gx
→+∞
= 0。
⑵ 若 Dirichlet 判别法条件满足,记 M 是 F A()在 [,)a +∞ 的一个上界。此时对任意 AA a,′≥,显然有
()d 2
A
A
f xx M
′
<
∫；
因为 lim ( )
x
gx
→+∞
= 0，所以存在 aA ≥
0
，当 xA>
0
时，有
|()|
4
gx
M
ε
< 。
于是，对任意 AA A,′≥
0
,
()()d
A
A
fxgx x
′
∫
() ()d ( ) ()d
A
A
gA fx x gA fx x
ξ
ξ
′
′
≤? +?
∫∫
|)(|2|)(|2 AgMAgM
′
+≤ ε
εε
=+<
22
。
所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy 收敛原理，都有
()()d
a
f xgx x
+∞
∫
收敛的结论。
这两个判别法有时也统称为 A-D 判别法。
例 8.2.4 讨论
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
的敛散性。
解
1
sin d
A
xx
∫
显然有界，
1
x
在 [,)1+∞ 上单调且 lim
x
x
→+∞
=
1
0，由 Dirichlet
判别法，
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
收敛。
但在 [,)1+∞,有
x
x
xx
x
x
x
2
2cos
2
1sinsin
2
=≥,
因
1
cos 2
d
2
x
x
x
+∞
∫
收敛（仿照上面对
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
的讨论），而
1
1
d
2
x
x
+∞
∫
发散，
所以
2
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
发散。再由比较判别法，可知
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
发散。
因此，
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
条件收敛。
例 8.2.5 讨论
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
的敛散性。
解 由例 8.2.4，
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
收敛，而 xtanarc 在 [,)1+∞ 上单调有界，
由 Abel 判别法，
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
收敛。
当 x ∈+∞[,)3 时，有
x
x
x
xx sintanarcsin
≥,
由比较判别法和
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
发散，可知
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
非绝对收敛。
因此，
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
条件收敛。
无界函数反常积分的收敛判别法
对于 fx()在 [,]ab上只有一个奇点 x b= 的情况，我们列出相应结果，证明请读者自己完成。
定理 8.2.1’ （ Cauchy 收敛原理 ） 反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
收 敛的充 分必要条件是：对任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得对任意 ),0(,δηη ∈
′
，
有
()d
b
b
fx x
η
η
ε
′?
<
∫
。
定理 8.2.3 ’（ Cauchy 判别法） 设在 [,)ab上恒有 fx()≥ 0,若 当
x属于 b的某个左邻域
0
[,)bbη? 时，存在正常数 K,使得
⑴ fx
K
bx
p
()
()
≤
，且 p <1，则 ()d
b
a
f xx
∫
收敛；
⑵ fx
K
bx
p
()
()
≥
，且 p ≥1，则 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式 ） 设在 [,)ab上恒有 fx()≥ 0,且
lim( ) ( )
xb
p
bxfx l
→?
=,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,且 p <1，则 ()d
b
a
f xx
∫
收敛；
⑵ 若 0 <≤+∞l,且 p ≥1，则 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
定理 8.2.5’ 若下列两个条件之一满足，则 ()()d
b
a
f xgx x
∫
收敛,
⑴（ Abel 判别法） ()d
b
a
f xx
∫
收敛,gx()在 [,)ab上单调有界；
⑵（ Dirichlet 判 别法 ） () ()d
b
a
F fx x
η
η
=
∫
在 ],0( ab? 上有界,gx()
在 [,)ab上单调且 0)(lim =
→
xg
bx
。
例 8.2.6 讨论
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
的敛散性（
+
∈Rp ）。
解 这是个定号的反常积分,x = 0是它的唯一奇点。
当 01<<p 时，取 q
p
p=
+
∈
1
2
1(,)，则
lim
x→+0
x
xx
q
p
|ln |
= 0,
由 Cauchy 判别法的极限形式，
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
收敛。
类似地，当 p >1时，取 q
p
p=
+
∈
1
2
1(,)，则
lim
x→+0
+∞=
xx
x
p
q
ln
,
由 Cauchy 判别法的极限形式，
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
发散。
当 p = 1时，可以直接用 Newton-Leibniz 公式得到
1/e
0
d
ln
x
x x
∫
/e1
0
|ln|lnlim
η
η
x
+→
= =?∞。
因此，当 01< <p 时，反常积分
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
收敛；当 p ≥1时，反常积分
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
发散。
例 8.2.7 讨论
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
的敛散性（ p < 2）。
解 令 fx
x x
() sin=
11
2
,gx x
p
()=
2
。
对于 )1,0(∈η,有
1
()df xx
η
∫
1
2
11
sin dx
x x
η
=
∫
1
11
sin d
xx
η
=?
∫
1
1
cos
η
x
=,
所以
1
()dfx x
η
∫
有界；而 g x()显然在 ]1,0( 单调，且当 p < 2时,
lim
x→+0
g x()= lim
x→+0
x
p2
0
= 。
由无界函数反常积分的 Dirichlet 判别法，
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
收敛。
当 p <1时，有
pp
xxx
11
sin
1
<,
由比较判别法，此时
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
绝对收敛。而利用例 8.2.4 类似的方法可以得到，当 12≤ <p 时，
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
条件收敛。
注 事实上，若对
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
作变量代换 x
t
=
1
，就可将它化为
2
1
sin
d
p
t
t
t
+∞
∫
,
利用无穷区间反常积分的 Dirichlet 判别法，可以得到同样的结果。
对两种类型反常积分并存（或多个奇点）的情况，应先将积分区间适当拆分。
例 8.2.8 讨论
1
0
d
|1|
p
pq
x
x
x
+∞
+
∫
的敛散性（ R∈qp,）。
解 因为 x = 0和 x =1可能是被积函数的奇点，积分区间也无界，
所以将其拆成
1
0
d
|1|
p
pq
x
x
x
+∞
+
∫
1
1
0
d
(1 )
p pq
x
xx
+
=
∫ 1
1
d
(1)
p pq
x
xx
+∞
+
+
∫
。
要使积分收敛，考虑奇点 x = 0，应要求 p? <11；考虑奇点 x =1，
应要求 pq+<1；而当 x → +∞时，由于
1
1
1
xx
ppq?+
()
12
1
~
+qp
x
,
由 Cauchy 判别法的极限形式知，当 211pq+?>时积分收敛。
所以，只有当 qp,同时满足
2,
2(1 ) 1
p
pq p
<
<<?
时，积分
1
0
d
|1|
p
pq
x
x
x
+∞
+
∫
才收敛。
上一节中已经提到，在 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛的情况下，即使 fx()在 [,)a +∞
上 n 次可微，也不能导出 fx()在 [,)a +∞ 有界的结论。作为反常积分
Cauchy 收敛原理的一个应用,下面证明，只要把条件换成,fx()一致连续”（注意这个条件并不比“可微”强，两者是互不包含的），就可以得到,
例 8.2.9 设 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛，且 fx()在 [,)a +∞ 一致连续，则
0)(lim =
+∞→
xf
x
。
证 用反证法。
若当 x→+∞时 fx()不趋于零，则由极限定义，存在 0
0
>ε,对于任意给定的 aX >,存在 Xx >
0
，使得
00
| ()|fx ε≥ 。
又因为 fx()在 [,)a +∞ 一致连续，所以对于
0
0
2
ε
>,存在 )1,0(
0
∈δ,
使得对于任意 axx >′′′，,只要
0
||xx δ
′ ′′
<,就有
0
|() ()|
2
fx fx
ε
′′′
< 。
令 0
2
00
1
>=
δε
ε,对于任意给定的 aA ≥
0
，取 XA= +
0
1，并设 Xx >
0
满足
00
|()|fx ε≥ 。不妨设 fx()
0
0>,则对任意满足
00
||xx δ? < 的 x,有
00
0
() ( ) 0
22
fx fx
ε ε
>?≥>。
取 A和 ′A 分别等于
0
0
2
x
δ
和
0
0
2
x
δ
+,则 ′>>AAA
0
，且有
()d
A
A
f xx
′
=
∫
00
00
()d
x
x
f xx
δ
δ
+
∫
10
0
2
εδ
ε
=> 。
由 Cauchy 收敛原理,()d
a
f xx
+∞
∫
不收敛，与假设条件矛盾。于是
0)(lim =
+∞→
xf
x
。
下面以 ()d
a
fx x
+∞
∫
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛即为极限 lim
A→+∞
()d
A
a
f xx
∫
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以表述为如下形式,
§ 2 反常积分的收敛判别法定理 8.2.1（ Cauchy 收敛原理 ） 反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛的充分必要条件是,对任意给定的 0>ε,存在 aA ≥
0
,使得对任意 AA A,′≥
0
，
有
()d
A
A
fx x ε
′
<
∫
。
§ 2 反常积分的收敛判别法反常积分的 Cauchy 收敛原理
下面以 ()d
a
fx x
+∞
∫
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛即为极限 lim
A→+∞
()d
A
a
f xx
∫
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以表述为如下形式,
定义 8.2.1 设 fx()在任意有限区间 [,]aA? +∞[,)a 上可积,且
| ()| d
a
f xx
+∞
∫
收敛,则称 ()d
a
f xx
+∞
∫
绝对收敛 （ 或称 fx()在 [,)a +∞ 上 绝对可积 ）。
若 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛而非绝对收敛，则称 ()d
a
f xx
+∞
∫
条件收敛 （ 或称
fx()在 [,)a +∞ 上 条件可积 ）。
推论 若反常积分 ()d
a
f xx
+∞
∫
绝对收敛，则它一定收敛。
证 对任意给定的 0>ε,由于 | ()| d
a
f xx
+∞
∫
收敛，所以存在 aA ≥
0
，
使得对任意 AA A,′≥
0
，成立
|()|d
A
A
fx x ε
′
<
∫
。
利用定积分的性质，得到
()d
A
A
f xx
′
≤
∫
|()|d
A
A
fx x ε
′
<
∫
,
由 Cauchy 收敛原理，可知 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛。
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件，
但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。
我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。
非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在 [,)a +∞ 上恒有 )()(0 xKxf?≤≤,其中 K 是正常数。则
（1） 当 ()d
a
xx?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛；
（2） 当 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散时 ()d
a
xx?
+∞
∫
也发散。
例 8.2.1 讨论
321
cos 2 sin
d
x x
x
xa
+∞
+
∫
的敛散性（ a是常数）。
解 因为当 1x≥ 时有
xx
ax
xx 1sin2cos
23
≤
+
,
在例 8.1.2 中，已知
1
1
dx
x x
+∞
∫
收敛，由比较判别法，
321
cos 2 sin
d
x x
x
xa
+∞
+
∫
绝对收敛，所以
321
cos 2 sin
d
x x
x
xa
+∞
+
∫
收敛。
注意：在以上定理中，条件“在 [,)a +∞ 上恒有 )()(0 xKxf?≤≤,，
可以放宽为“存在 aA≥,在 ),[ ∞+A 上恒有 )()(0 xKxf?≤≤,。
推论（比较判别法的极限形式 ） 设在 [,)a +∞ 上恒有 () 0fx≥ 和
0)( ≥x?,且
l
x
xf
x
=
+∞→
)(
)(
lim
,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,则 ()d
a
xx?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛；
⑵ 若 0 <≤+∞l,则 ()d
a
xx?
+∞
∫
发散时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也发散。
所以,当 0 l<<+∞时,()d
a
xx?
+∞
∫
和 ()d
a
f xx
+∞
∫
同时收敛或同时发散 。
证 ⑴ 若 +∞<=
+∞→
l
x
xf
x
)(
)(
lim
，则存在常数 A a≥,当 Ax ≥ 时成立
1
)(
)(
+<l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf?+< 。
于是，由比较判别法，当 ()d
a
x x?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛。
⑵ 若 0
)(
)(
lim >=
+∞→
l
x
xf
x
，存在常数 A a≥,使得当 Ax ≥ 时成立
l
x
xf
′
>
)(
)(
,
其中 ll <′<0 （当 +∞=l 时,l′可取任意正数）即
)()( xlxf?
′
> 。
于是，由比较判别法，当 ()d
a
x x?
+∞
∫
发散时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也发散。
证 ⑴ 若 +∞<=
+∞→
l
x
xf
x
)(
)(
lim
，则存在常数 A a≥,当 Ax ≥ 时成立
1
)(
)(
+<l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf?+< 。
于是，由比较判别法，当 ()d
a
x x?
+∞
∫
收敛时 ()d
a
f xx
+∞
∫
也收敛。
例 8.2.2 讨论
34 3 21
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
的敛散性。
解 因为
lim
x→+∞
x
xxxx
4
3
432
3
3521
1
+++?
=,
由于
3 41
1
dx
x
+∞
∫
收敛，所以
3 4321
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
收敛。
将定理 8.2.2 中的?()x 取为
1
x
p
，就得到如下的 Cauchy 判别法,
定理 8.2.3（Cauchy 判别法 ） 设在 [,)a +∞? +∞(,)0 上恒有
fx()≥ 0,K 是正常数。
⑴ 若 fx
K
x
p
()≤,且 p >1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛；
⑵ 若 fx
K
x
p
()≥,且 p ≤1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
例 8.2.2 讨论
34 3 21
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
的敛散性。
解 因为
lim
x→+∞
x
xxxx
4
3
432
3
3521
1
+++?
=,
由于
3 41
1
dx
x
+∞
∫
收敛，所以
3 4321
1
d
3521
x
xxxx
+∞
+++?
∫
收敛。
推论（Cauchy 判别法的极限形式） 设在 [,)a +∞? +∞(,)0 上恒有
fx()≥ 0，且
lim ( )
x
p
xfx l
→+∞
=,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,且 p >1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛；
⑵ 若 0 < ≤ +∞l,且 p ≤1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
例 8.2.3 讨论
0
ed
ax
xx
+∞
∫
的敛散性（ R∈a ）。
解 因为对任意常数 R∈a,有
lim
x→+∞
0)e(
2
=
xa
xx,
由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知
0
ed
ax
xx
+∞
∫
收敛。
推论（ Cauchy 判别法的极限形式） 设在 [,)a +∞? +∞(,)0 上恒有
fx()≥ 0，且
lim ( )
x
p
xfx l
→+∞
=,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,且 p >1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛；
⑵ 若 0 < ≤ +∞l,且 p ≤1，则 ()d
a
f xx
+∞
∫
发散。
一般函数反常积分的收敛判别法
我们先证明一个重要结果。
定理 8.2.4（积分第二中值定理 ） 设 fx()在 [,]ab上可积,gx()
在 [,]ab上单调，则存在 [,]abξ∈,使得
()()d
b
a
f xgx x
∫
() ()d () ()d
b
a
ga fx x gb fx x
ξ
ξ
=+
∫∫
。
证 我们只对 fx()在 [,]ab上连续,gx()在 [,]ab上单调且 )(' xg 在
[,]ab上可积的情况加以证明。
记 Fx()= ()d
x
a
f tt
∫
，则 )(xF 在 ],[ ba 连续，且 Fa()= 0 。由于 fx()在
[,]ab上连续，于是 )(xF 是 fx()在 [,]ab上的一个原函数，利用分部积 分法，有
()()d
b
a
f xgx x
∫
b
a
xgxF )()(= () ()d
b
a
F xg x x
′
∫
。
()()d
b
a
f x g xx
∫
b
a
xgxF )()(= () ()d
b
a
F x g xx
′
∫
上式右端的第一项
)()()()( bgbFxgxF
b
a
= () ()d
b
a
gb f x x=
∫
,
而在第二项中，由于 gx()单调，因此 ′gx()保持定号，由积分第一中 值定理，存在 [,]abξ∈,使得
() ()d () ()d
bb
aa
F xgxxF gxxξ
′′
= =
∫∫
[() ()] ()d
a
gb ga f x x
ξ
∫
,
于是
()()d
b
a
f xgx x
∫
() ()d
b
a
gb f x x=
∫
[() ()] ()d
a
gb ga f x x
ξ
∫
() ()d () ()d
b
a
ga fx x gb fx x
ξ
ξ
=+
∫∫
。
注 在定理 8.2.4 的假设下，还有如下结论,
（1）若 )(xg 在 [,]ab上单调增加，且 0)( ≥ag,则存在 [,]abξ∈,使得
()()d
b
a
f xgx x
∫
() ()d
b
gb f x x
ξ
=
∫；
（2）若 )(xg 在 [,]ab上单调减少，且 0)( ≥bg,则存在 [,]abξ∈,使得
()()d
b
a
f x g xx=
∫
() ()d
a
g a f xx
ξ
∫
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则 ()()d
a
f xgx x
+∞
∫
收敛,
⑴ （ Abel 判别法） ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛,gx()在 [,)a +∞ 上单调有界；
⑵ （ Dirichlet 判 别法） () ()d
A
a
F Afxx=
∫
在 [,)a +∞ 上有界,gx()在
[,)a +∞ 上单调且 lim ( )
x
gx
→+∞
= 0。
证 设 ε是任意给定的正数。
⑴ 若 Abel 判别法条件满足，记 G 是 |()|g x 在 [,)a +∞ 的一个上界，
因为 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛，由 Cauchy 收敛原理，存在 aA ≥
0
，使得对任意
AA A,′≥
0
，有
()d
2
A
A
fx x
G
ε
′
<
∫
。
由积分第二中值定理,
()()d
A
A
f xgx x
′
∫
() ()d ( ) ()d
A
A
gA fx x gA fx x
ξ
ξ
′
′
≤? +?
∫∫
()d ()d
A
A
G fxx G fxx
ξ
ξ
′
≤+
∫∫
ε
εε
=+<
22
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则 ()()d
a
f xgx x
+∞
∫
收敛,
⑴ （ Abel 判别法） ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛,gx()在 [,)a +∞ 上单调有界；
⑵ （ Dirichlet 判 别法） () ()d
A
a
F Afxx=
∫
在 [,)a +∞ 上有界,gx()在
[,)a +∞ 上单调且 lim ( )
x
gx
→+∞
= 0。
⑵ 若 Dirichlet 判别法条件满足,记 M 是 F A()在 [,)a +∞ 的一个上界。此时对任意 AA a,′≥,显然有
()d 2
A
A
f xx M
′
<
∫；
因为 lim ( )
x
gx
→+∞
= 0，所以存在 aA ≥
0
，当 xA>
0
时，有
|()|
4
gx
M
ε
< 。
于是，对任意 AA A,′≥
0
,
()()d
A
A
fxgx x
′
∫
() ()d ( ) ()d
A
A
gA fx x gA fx x
ξ
ξ
′
′
≤? +?
∫∫
|)(|2|)(|2 AgMAgM
′
+≤ ε
εε
=+<
22
。
所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy 收敛原理，都有
()()d
a
f xgx x
+∞
∫
收敛的结论。
这两个判别法有时也统称为 A-D 判别法。
例 8.2.4 讨论
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
的敛散性。
解
1
sin d
A
xx
∫
显然有界，
1
x
在 [,)1+∞ 上单调且 lim
x
x
→+∞
=
1
0，由 Dirichlet
判别法，
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
收敛。
但在 [,)1+∞,有
x
x
xx
x
x
x
2
2cos
2
1sinsin
2
=≥,
因
1
cos 2
d
2
x
x
x
+∞
∫
收敛（仿照上面对
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
的讨论），而
1
1
d
2
x
x
+∞
∫
发散，
所以
2
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
发散。再由比较判别法，可知
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
发散。
因此，
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
条件收敛。
例 8.2.5 讨论
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
的敛散性。
解 由例 8.2.4，
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
收敛，而 xtanarc 在 [,)1+∞ 上单调有界，
由 Abel 判别法，
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
收敛。
当 x ∈+∞[,)3 时，有
x
x
x
xx sintanarcsin
≥,
由比较判别法和
1
sin
d
x
x
x
+∞
∫
发散，可知
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
非绝对收敛。
因此，
1
sin arctan
d
x x
x
x
+∞
∫
条件收敛。
无界函数反常积分的收敛判别法
对于 fx()在 [,]ab上只有一个奇点 x b= 的情况，我们列出相应结果，证明请读者自己完成。
定理 8.2.1’ （ Cauchy 收敛原理 ） 反常积分 ()d
b
a
f xx
∫
收 敛的充 分必要条件是：对任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得对任意 ),0(,δηη ∈
′
，
有
()d
b
b
fx x
η
η
ε
′?
<
∫
。
定理 8.2.3 ’（ Cauchy 判别法） 设在 [,)ab上恒有 fx()≥ 0,若 当
x属于 b的某个左邻域
0
[,)bbη? 时，存在正常数 K,使得
⑴ fx
K
bx
p
()
()
≤
，且 p <1，则 ()d
b
a
f xx
∫
收敛；
⑵ fx
K
bx
p
()
()
≥
，且 p ≥1，则 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式 ） 设在 [,)ab上恒有 fx()≥ 0,且
lim( ) ( )
xb
p
bxfx l
→?
=,
则
⑴ 若 0 ≤<+∞l,且 p <1，则 ()d
b
a
f xx
∫
收敛；
⑵ 若 0 <≤+∞l,且 p ≥1，则 ()d
b
a
f xx
∫
发散。
定理 8.2.5’ 若下列两个条件之一满足，则 ()()d
b
a
f xgx x
∫
收敛,
⑴（ Abel 判别法） ()d
b
a
f xx
∫
收敛,gx()在 [,)ab上单调有界；
⑵（ Dirichlet 判 别法 ） () ()d
b
a
F fx x
η
η
=
∫
在 ],0( ab? 上有界,gx()
在 [,)ab上单调且 0)(lim =
→
xg
bx
。
例 8.2.6 讨论
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
的敛散性（
+
∈Rp ）。
解 这是个定号的反常积分,x = 0是它的唯一奇点。
当 01<<p 时，取 q
p
p=
+
∈
1
2
1(,)，则
lim
x→+0
x
xx
q
p
|ln |
= 0,
由 Cauchy 判别法的极限形式，
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
收敛。
类似地，当 p >1时，取 q
p
p=
+
∈
1
2
1(,)，则
lim
x→+0
+∞=
xx
x
p
q
ln
,
由 Cauchy 判别法的极限形式，
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
发散。
当 p = 1时，可以直接用 Newton-Leibniz 公式得到
1/e
0
d
ln
x
x x
∫
/e1
0
|ln|lnlim
η
η
x
+→
= =?∞。
因此，当 01< <p 时，反常积分
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
收敛；当 p ≥1时，反常积分
1/e
0
d
ln
p
x
x x
∫
发散。
例 8.2.7 讨论
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
的敛散性（ p < 2）。
解 令 fx
x x
() sin=
11
2
,gx x
p
()=
2
。
对于 )1,0(∈η,有
1
()df xx
η
∫
1
2
11
sin dx
x x
η
=
∫
1
11
sin d
xx
η
=?
∫
1
1
cos
η
x
=,
所以
1
()dfx x
η
∫
有界；而 g x()显然在 ]1,0( 单调，且当 p < 2时,
lim
x→+0
g x()= lim
x→+0
x
p2
0
= 。
由无界函数反常积分的 Dirichlet 判别法，
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
收敛。
当 p <1时，有
pp
xxx
11
sin
1
<,
由比较判别法，此时
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
绝对收敛。而利用例 8.2.4 类似的方法可以得到，当 12≤ <p 时，
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
条件收敛。
注 事实上，若对
1
0
11
sin d
p
x
x x
∫
作变量代换 x
t
=
1
，就可将它化为
2
1
sin
d
p
t
t
t
+∞
∫
,
利用无穷区间反常积分的 Dirichlet 判别法，可以得到同样的结果。
对两种类型反常积分并存（或多个奇点）的情况，应先将积分区间适当拆分。
例 8.2.8 讨论
1
0
d
|1|
p
pq
x
x
x
+∞
+
∫
的敛散性（ R∈qp,）。
解 因为 x = 0和 x =1可能是被积函数的奇点，积分区间也无界，
所以将其拆成
1
0
d
|1|
p
pq
x
x
x
+∞
+
∫
1
1
0
d
(1 )
p pq
x
xx
+
=
∫ 1
1
d
(1)
p pq
x
xx
+∞
+
+
∫
。
要使积分收敛，考虑奇点 x = 0，应要求 p? <11；考虑奇点 x =1，
应要求 pq+<1；而当 x → +∞时，由于
1
1
1
xx
ppq?+
()
12
1
~
+qp
x
,
由 Cauchy 判别法的极限形式知，当 211pq+?>时积分收敛。
所以，只有当 qp,同时满足
2,
2(1 ) 1
p
pq p
<
<<?
时，积分
1
0
d
|1|
p
pq
x
x
x
+∞
+
∫
才收敛。
上一节中已经提到，在 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛的情况下，即使 fx()在 [,)a +∞
上 n 次可微，也不能导出 fx()在 [,)a +∞ 有界的结论。作为反常积分
Cauchy 收敛原理的一个应用,下面证明，只要把条件换成,fx()一致连续”（注意这个条件并不比“可微”强，两者是互不包含的），就可以得到,
例 8.2.9 设 ()d
a
f xx
+∞
∫
收敛，且 fx()在 [,)a +∞ 一致连续，则
0)(lim =
+∞→
xf
x
。
证 用反证法。
若当 x→+∞时 fx()不趋于零，则由极限定义，存在 0
0
>ε,对于任意给定的 aX >,存在 Xx >
0
，使得
00
| ()|fx ε≥ 。
又因为 fx()在 [,)a +∞ 一致连续，所以对于
0
0
2
ε
>,存在 )1,0(
0
∈δ,
使得对于任意 axx >′′′，,只要
0
||xx δ
′ ′′
<,就有
0
|() ()|
2
fx fx
ε
′′′
< 。
令 0
2
00
1
>=
δε
ε,对于任意给定的 aA ≥
0
，取 XA= +
0
1，并设 Xx >
0
满足
00
|()|fx ε≥ 。不妨设 fx()
0
0>,则对任意满足
00
||xx δ? < 的 x,有
00
0
() ( ) 0
22
fx fx
ε ε
>?≥>。
取 A和 ′A 分别等于
0
0
2
x
δ
和
0
0
2
x
δ
+,则 ′>>AAA
0
，且有
()d
A
A
f xx
′
=
∫
00
00
()d
x
x
f xx
δ
δ
+
∫
10
0
2
εδ
ε
=> 。
由 Cauchy 收敛原理,()d
a
f xx
+∞
∫
不收敛，与假设条件矛盾。于是
0)(lim =
+∞→
xf
x
。
