微元法
我们先回忆一下求曲边梯形面积 S 的步骤：对区间 [,]ab作划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
然后在小区间 ],[
1 ii
xx
中任取点
i
ξ,并记
1?
=Δ
iii
xxx,这样就得到了小曲边梯形面积的近似值
iii
xfS Δ≈Δ )(ξ 。最后，将所有的小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到
∑
=
→
Δ=
n
i
ii
xfS
1
0
)(lim ξ
λ
()d
b
a
f xx=
∫
。
§ 5 微积分实际应用举例对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 x
i?1
和 x
i
分别记为 x 和 x x+Δ,将区间 ],[ xxx Δ+ 上的小曲边梯形的面积记为 SΔ,并取
x
i
=ξ,于是就有 xxfS Δ≈Δ )( 。然后令 Δx → 0,这相当于对自变量作微分，这样 Δx 变成 dx,SΔ 变成 dS,于是上面的近似等式就变为微分形式下的严格等式 d()dSfxx= 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的 过程视作对微分形式 d()dSfxx= 在区间 [,]ab上求定积分，就得到
()d
b
a
Sfxx=
∫
。
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下的步骤
xxfSxxx Δ≈Δ→?Δ+→? )(],[
规律科学分割自变量
d()d ()d
b
a
Sfxx S fxx →=? →=
∫
转为 直接微分 积分来直接求解。
了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始就将小区间形式地取为 [,d]xx x+ （ dx称为 x 的 微元 ），然后根据实际问题得出微分形式 d()dS f xx= （ dS 称为 S 的微元），再在区间 ],[ ba 上求积分。也就是
dd()d ()d
b
a
xSf xx S f xx →=?→=
∫
。
这种处理问题和解决问题的方法称为 微元法 。微元法使用起来非常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§ 4 中计算曲线的弧长、
几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出，
下面我们举一些其他类型的例子。
由静态分布求总量
我们首先考虑静态分布问 题。设一根长度为 l 的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可由某个连续的分布函数 ()xρ 表示( xl∈[,]0 )，由微元法，它在 [,d]xx x+
上的物理量 dQ 为
d()dQxxρ=,
对等式两边在 [,]0 l 上积分，就得到由分布函数求总量的公式
0
()d
l
Qxxρ=
∫
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根
金属棒，其密度分布为
)kg/m(632)(
2
++= xxxρ,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6
2
0
(2 3 6)dM xx x=++
∫
)kg(2346
2
3
3
2
6
0
23
=
++= xxx 。
0 6 x
图 7.5.1
这个问题可以作以下的推广,
⑴假定物理量分布在一个平面区域上,x 的变化范围为区间 [,]ab。
如果过 x （ bxa ≤≤ ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用 )(xf 表示，或者说该平面区域在横坐标位 于
[,d]x xx+ 中的部分上的物理量可以表示为 ()df xx，那么由类似的讨论，
可以得到这个区域上的总物理量为
()d
b
a
Qfxx=
∫
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根
金属棒，其密度分布为
)kg/m(632)(
2
++= xxxρ,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6
2
0
(2 3 6)dM xx x=++
∫
)kg(2346
2
3
3
2
6
0
23
=
++= xxx 。
0 6 x
图 7.5.1
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁片（图 7.5.2）所受到的水压力。
解 由物理定律,浸在液体中的物体在深度为 h的地方所受到的压强为
ghp ρ?=,
这里,ρ 是液体的密度,g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为 x+10 处
(? ≤ ≤11x )受到的压强为 ()10 + xg，在圆铁
片上截取与水面平行、以微元 dx为宽度的
一条带域，则带域的面积为
2
d21dSxx=?,
所以带域上所受到的压力为
2
d21 (10)dF gx xx=+,
于是铁片所受到的水压力为
1
2
1
21(10)d10πFg xxxg
=+=
∫
（N）。
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给出了求三维空间中夹在平面 xa= 和 x b= 之间的几何体的体积公式：
设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 Ax()，则几何体的体积为
()d
b
a
VAxx=
∫
。
此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数
)(xA 是截面的面积。
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
上，分布函数（即物理量的密度）为 ft()，在 ((),())xt yt 处截取一段长度为 dl 的弧，那么在这段弧上的物理量 dQ 为
d()dQftl= 。
利用弧长的微分公式,
d()dQftl= =
22
() () () df txt yt t
′′
+,
关于 t在 [,]TT
12
上积分，就得到
22
11
22
()d () () () d
TT
Qftlftxtytt
′′
== +
∫∫
。
这个结论可以推广到空间曲线的情况。
例 7.5.3 设上半个金属环
222
Ryx =+ （ 0≥y ）上任一点处的电荷线密度等于该点到 y 轴的距离的平方，求环上的总电量。
解 将金属环的方程写成参数形式
xR t
yR t
t
=
=
∈
cos,
sin,
[,]0 π,
于是
dl =
22
() () d dx tyttRt
′′
+=。
分布函数 ft xt R t() [()] cos= =
222
，因此
d()dQftl= =
32
cos dRtt,
所以环上的总电量为
3
π
32
0
π
cos d
2
R
QR tt==
∫
。
⑶这种类型的问题远非只局限于物理学的范畴,无论是自然科学还是社会科学中，但凡给出的是某变量的分布“密度”（比如，人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度等等）
而需要求总量的，都可以用上述的思路求解。
求动态效应
除 了上述这些静态的物理量之外，还有 一类物理量是通过运动而产生的，或者说是另一个物理量持续作用的效果 。比如，“位移”是速度作用了一段时间的结果；“功”是力作 用了一段距离的结果，等等。
在§ 1 中已经知道，以速度 vt()做变速运动的物体在 [,]TT
12
走过的路程为
2
1
()d
T
T
Svtt=
∫
,
这可以用微元法来理解：在小区间 ],[ dttt + 上速度可近似地看作是 vt()，
因此走过的一小段路程为
d()dSvtt=,
两边求积分，就得到了前面的结果。
这样的思路可以运用到所有这类问题中去。
例 7.5.4 一个内半径为 R的圆柱形汽缸，点火后于时刻 t
0
到 t
1
将活塞从 x a= 处推至 x b= 处（ t
0
与 t
1
非常接近），求它在这段时间中的平均功率。
解 由于 t
0
与 t
1
非常接近,可以认为在这段时间内汽缸中的温度没有变化,由物理学定律，汽缸中气体的压强 p与体积 V 成反比,即 p
C
V
=,
C 是点火瞬间汽缸中气体的压强 p
0
与体积 aS 的乘积( S为活塞的截面积
πR
2
)。所以当活塞在 x 处时，作用在活塞上的压力为
x
C
S
Sx
C
S
V
C
SpF ===?=,
利用微元法，活塞移动 dx距离所做的
功可表示为
ddd
C
WFx x
x
==,
于是，所求的平均功率为
10
d
b
a
WC x
N
Ttt x
==
∫
=
ap S
tt
b
a
0
10
ln 。
xa
b
图7.5.3
简单数学模型和求解
要用数学技术去解决实际问题，首先必须建立数学模型。由于最重要的数学建模工具是微分，而微分与积分互为逆运算，所以积分便理所当然地成为求解数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来，
就可以为许多实际问题建立起相应的数学关系。
比如，关于例 5.5.7 给出的 Malthus 人口模型
=
=
′
,)(
),()(
00
ptp
tptp λ
,
可以直接对微分等式
d
d
p
t
p
λ=
的两边在 [,]tt
0
上求积分，这时 p的变化范围相应地为 [,]pp
0
,
00
d
d
pt
p
t
p
λ=
∫ ∫
,
于是
0
0
ln ( )
p
tt
p
λ=?,
即
0
()
0
e
tt
pp
λ?
= 。
例 7.5.5 （跟踪问题模型） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿 y 轴 正向前进，同时 B 于 (,0)a 处开始保持距离 a 对 A 进行跟踪（即 B 的前 进方向始终对着 A 的位置，并与 A始终保持距离 a ），求 B 的运动轨迹。
解 设 B 的运动轨迹为
yyx= ()
利用跟踪的要求，可以得到数学模型
=
=
′
,0)(
,
22
ay
x
xa
y
两边求定积分
22
0
dd
yx
a
ax
x
=?
∫∫
,
即得到 B 的运动轨迹方程为
ya
aax
x
ax=
+?
ln
22
22
。
这也可以看成一个重物 B 被 A 用一根长度为 a 的绳子拖着走时留下的轨迹，所以该曲线又被称为 曳线 。
xx
y
B
A
O
图 7.5.5
a
例 7.5.6 （火箭飞行的运动规律）
火箭是靠将燃料变成气体向后喷射，即甩去一部分质量来得到前进的动力的。
设在时刻 t 火箭的总质量为 )(tM,
速度为 vt()，从而其动量为 )()( tvtM 。在从 t 到 dtt+ 时间段中，有部分燃料以相对于火箭体的常速度 u 被反向喷射出去，在时刻 dtt+ 火箭质量为 (d)M tt+,速度为 (d)vt t+,相应地,喷射掉的燃料质量为 () ( d)M tMt t?+，而其速度为
(d)vt t u+?,且此时系统的动量等于火箭剩余部分的动量与燃料的动量之和。
t时刻
t+dt时刻
M(t)?M(t+dt)
M(t)
M(t+dt)
v(t)
v(t+dt)
v(t+dt)?u
图7.5.6
因此在时间段 [,d]tt t+ 中，系统动量的改变量为
{ }
(d)(d)[() (d)][(d) ] ()()M t tvt t M t M t t vt t u M tvt+++?+ +
()[ ( d) ()] [ ( d) ()]M tvt t vt Mt t Mtu=+?++?
() ()d ()dM tvttuMtt
′ ′
。
再由冲量定律：动量的改变量等于力与作用时间的乘积，即冲量 dFt，
这样，就得到火箭运动的微分方程为
ddvM
MFu
tt
=?,
这里 F 是作用于火箭系统的外力，
d
d
v
M
t
称为火箭的 反推力。
特别地，当火箭在地球表面垂直向上发射时,FMg=?,方程 成为
0
d1d
,
dd
(0) 0,(0),
vM
gu
tMt
vMM
=
==
两边在 [,]0 t 上积分,
000
()
()d d d
()
ttt
M t
vt t gt u t
M t
′
′
=
∫∫∫
,
就得到
vt u
M
Mt
gt() ln
()
=?
0
。
例 7.5.7（ Logistic 人口模型）
Malthus 人口模型的解为
pp
tt
=
0
0
e
()λ
,
当 t →∞时有 pt()→∞，这显然是荒谬的，因为人口的数量增加到一定程度后，自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用，并且限制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说，在任何一个给定的环境和资源条件下，人口的增长不可能是无限的，它必定有一个上界 p
max
。
荷兰生物数学家 Verhulst 认为，人口的增长速率应随着 pt()接近
p
max
而越来越小，他提出了一个修正的人口模型
=
=
′
,)(
),(
)(
1)(
00
max
ptp
tp
p
tp
tp λ
将含有 p的项全部集中到左边，两边在 [,]tt
0
上积分,
00
2
max max
d
d
pt
p
t
pppp
λ
=
∫ ∫
,
利用有理函数的积分公式，即可解出
()
)(
max
0
0
max
e11
tt
p
p
p
p
+
=
λ
。
在这模型中，当 t →∞时有 pt p()
max
→ 。
美国和法国都曾用这个模型预测过人口，结果是令人满意的。
从 Kepler 行星运动定律到万有引力定律
最后，我们用 Kepler 的行星运动三大定律,Newton 第二运动定律再加上微积分来导出万有引力定律，以作为本节的结束。
对任意一个确定的行星，由 Kepler 第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为
1cos
p
r
e θ
=
,
这里 p
b
a
=
2
是焦参数,e
b
a
=?1
2
2
是离心率,ab和 分别是椭圆的半长轴和半短轴。
设在时刻 t 行星与太阳的距离为 rrt= (),它们的连线与极轴的夹角为 ()tθ θ=,则行星的坐标可以用向量记号表示成 r = (cos,sin )rrθ θ 。
记 d A是极径转过角度 dθ 所扫过的那块椭圆的面积（阴影部分），
由极坐标下的面积公式
d A
2
1
d
2
r θ=,
由 Kepler 第二定律，单位时间中扫过的面积
2
d1
d2
A
r
t
ω==常数,
这里 ω
d
dt
θ
= 表示行星运动的角速度。
记行星绕太阳运行一周的时间为 T,则经过 T 时间极径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积 πab，即
πab
2
0
d1
d
d2
T
A
trT
t
ω==
∫
,
因此常数
2
2πab
r
T
ω =,
两边求导后得到
22
()2 0rrrrωωω
′
= +=
,
即
20rrω ω+ =
。
这里记行星沿极径方向的速度和加速度分别为
d
d
r
r
t
≡ 和
2
2
d
d
r
r
t
≡ （称为 径向速度 和 径向加速度 ），角加速度为
d
dt
ω
ω≡
（用字母上面加点表示对
t 的导数是 Newton 的记号）。
于是行星在 x 方向和 y 方向上的加速度分量分别为
2
2
2
d( cos )
cos 2 sin [ sin cos ]
d
r
rrr
t
θ
θ ωθ ωθω θ= +
2
()cos(2 )sinrr r rω θωωθ= +
2
()cosrrω θ=? ,
2
2
2
d(sin )
sin 2 cos [ cos sin ]
d
r
rr r
t
θ
θ ωθωθω θ=+ +?
2
(2 )cos ( )sinrr rrω ωθ ω θ=+ +?
2
()sinrrω θ=? 。
记 r
r
0
=
r
(cos,sin )θ θ= 是 r方向上的单位向量，于是，得到加速 度向量
ar=?( )rrω
2
0
,
即行星在任一点的加速度的方向恰与它的极径同向，加速度的值为
rr? ω
2
。
为了求出 rr? ω
2
，对椭圆方程
(1 cos )pr e θ=?
两边求二阶导数，注意到 p是焦参数即常数,
2
0 (1 cos ) 2 ( sin ) ( sin cos )pr e re reθ ωθ ωθω θ==? + + +
2
()cos(2 )sinrrr e r reω θωωθ= + +
2
()cosrrr eω θ=
22
()(1cos)rr e rω θω= +
=
+
rr
r
pr
ω
ω
2
2
,
所以
()
rr
r
rp
ab
T
a
br
==ω
ω π
2
22
2
222
222
14 1
=4
1
2
3
22
π
a
Tr
。
最后，由 Newton 第二运动定律和 Kepler 第三定律即
3
2
a
T
=常数，
便有
F a= m =?mr r(
)ω
2
0
r
23
22
4π aMm
M Tr
=
r
0
23
22
4π aMm
M Tr
=
r
0
=?G
Mm
r
2
r
0
,
这里 M 是太阳的质量,
G
M
a
T
=
4
23
2
π
11 2 2
6.67 10 (N m /kg )
≈×?
称为引力常量。
导出万有引力定律是人类历史上最成功的数学模型之一,它的 结论为以后一系列的观测和实验数据所证实 （其中最为人津津乐道的 是发现海王星），它的适用范围从天体运动一直延展到微观世界，令 人信服地定量地解释了许多既有的物理现象,并成为探索未知世界的 有力工具。
我们先回忆一下求曲边梯形面积 S 的步骤：对区间 [,]ab作划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
然后在小区间 ],[
1 ii
xx
中任取点
i
ξ,并记
1?
=Δ
iii
xxx,这样就得到了小曲边梯形面积的近似值
iii
xfS Δ≈Δ )(ξ 。最后，将所有的小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到
∑
=
→
Δ=
n
i
ii
xfS
1
0
)(lim ξ
λ
()d
b
a
f xx=
∫
。
§ 5 微积分实际应用举例对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 x
i?1
和 x
i
分别记为 x 和 x x+Δ,将区间 ],[ xxx Δ+ 上的小曲边梯形的面积记为 SΔ,并取
x
i
=ξ,于是就有 xxfS Δ≈Δ )( 。然后令 Δx → 0,这相当于对自变量作微分，这样 Δx 变成 dx,SΔ 变成 dS,于是上面的近似等式就变为微分形式下的严格等式 d()dSfxx= 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的 过程视作对微分形式 d()dSfxx= 在区间 [,]ab上求定积分，就得到
()d
b
a
Sfxx=
∫
。
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下的步骤
xxfSxxx Δ≈Δ→?Δ+→? )(],[
规律科学分割自变量
d()d ()d
b
a
Sfxx S fxx →=? →=
∫
转为 直接微分 积分来直接求解。
了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始就将小区间形式地取为 [,d]xx x+ （ dx称为 x 的 微元 ），然后根据实际问题得出微分形式 d()dS f xx= （ dS 称为 S 的微元），再在区间 ],[ ba 上求积分。也就是
dd()d ()d
b
a
xSf xx S f xx →=?→=
∫
。
这种处理问题和解决问题的方法称为 微元法 。微元法使用起来非常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§ 4 中计算曲线的弧长、
几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出，
下面我们举一些其他类型的例子。
由静态分布求总量
我们首先考虑静态分布问 题。设一根长度为 l 的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可由某个连续的分布函数 ()xρ 表示( xl∈[,]0 )，由微元法，它在 [,d]xx x+
上的物理量 dQ 为
d()dQxxρ=,
对等式两边在 [,]0 l 上积分，就得到由分布函数求总量的公式
0
()d
l
Qxxρ=
∫
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根
金属棒，其密度分布为
)kg/m(632)(
2
++= xxxρ,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6
2
0
(2 3 6)dM xx x=++
∫
)kg(2346
2
3
3
2
6
0
23
=
++= xxx 。
0 6 x
图 7.5.1
这个问题可以作以下的推广,
⑴假定物理量分布在一个平面区域上,x 的变化范围为区间 [,]ab。
如果过 x （ bxa ≤≤ ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用 )(xf 表示，或者说该平面区域在横坐标位 于
[,d]x xx+ 中的部分上的物理量可以表示为 ()df xx，那么由类似的讨论，
可以得到这个区域上的总物理量为
()d
b
a
Qfxx=
∫
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根
金属棒，其密度分布为
)kg/m(632)(
2
++= xxxρ,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6
2
0
(2 3 6)dM xx x=++
∫
)kg(2346
2
3
3
2
6
0
23
=
++= xxx 。
0 6 x
图 7.5.1
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁片（图 7.5.2）所受到的水压力。
解 由物理定律,浸在液体中的物体在深度为 h的地方所受到的压强为
ghp ρ?=,
这里,ρ 是液体的密度,g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为 x+10 处
(? ≤ ≤11x )受到的压强为 ()10 + xg，在圆铁
片上截取与水面平行、以微元 dx为宽度的
一条带域，则带域的面积为
2
d21dSxx=?,
所以带域上所受到的压力为
2
d21 (10)dF gx xx=+,
于是铁片所受到的水压力为
1
2
1
21(10)d10πFg xxxg
=+=
∫
（N）。
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给出了求三维空间中夹在平面 xa= 和 x b= 之间的几何体的体积公式：
设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 Ax()，则几何体的体积为
()d
b
a
VAxx=
∫
。
此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数
)(xA 是截面的面积。
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线
xxt
yyt
tTT
=
=
∈
(),
(),
[,]
12
上，分布函数（即物理量的密度）为 ft()，在 ((),())xt yt 处截取一段长度为 dl 的弧，那么在这段弧上的物理量 dQ 为
d()dQftl= 。
利用弧长的微分公式,
d()dQftl= =
22
() () () df txt yt t
′′
+,
关于 t在 [,]TT
12
上积分，就得到
22
11
22
()d () () () d
TT
Qftlftxtytt
′′
== +
∫∫
。
这个结论可以推广到空间曲线的情况。
例 7.5.3 设上半个金属环
222
Ryx =+ （ 0≥y ）上任一点处的电荷线密度等于该点到 y 轴的距离的平方，求环上的总电量。
解 将金属环的方程写成参数形式
xR t
yR t
t
=
=
∈
cos,
sin,
[,]0 π,
于是
dl =
22
() () d dx tyttRt
′′
+=。
分布函数 ft xt R t() [()] cos= =
222
，因此
d()dQftl= =
32
cos dRtt,
所以环上的总电量为
3
π
32
0
π
cos d
2
R
QR tt==
∫
。
⑶这种类型的问题远非只局限于物理学的范畴,无论是自然科学还是社会科学中，但凡给出的是某变量的分布“密度”（比如，人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度等等）
而需要求总量的，都可以用上述的思路求解。
求动态效应
除 了上述这些静态的物理量之外，还有 一类物理量是通过运动而产生的，或者说是另一个物理量持续作用的效果 。比如，“位移”是速度作用了一段时间的结果；“功”是力作 用了一段距离的结果，等等。
在§ 1 中已经知道，以速度 vt()做变速运动的物体在 [,]TT
12
走过的路程为
2
1
()d
T
T
Svtt=
∫
,
这可以用微元法来理解：在小区间 ],[ dttt + 上速度可近似地看作是 vt()，
因此走过的一小段路程为
d()dSvtt=,
两边求积分，就得到了前面的结果。
这样的思路可以运用到所有这类问题中去。
例 7.5.4 一个内半径为 R的圆柱形汽缸，点火后于时刻 t
0
到 t
1
将活塞从 x a= 处推至 x b= 处（ t
0
与 t
1
非常接近），求它在这段时间中的平均功率。
解 由于 t
0
与 t
1
非常接近,可以认为在这段时间内汽缸中的温度没有变化,由物理学定律，汽缸中气体的压强 p与体积 V 成反比,即 p
C
V
=,
C 是点火瞬间汽缸中气体的压强 p
0
与体积 aS 的乘积( S为活塞的截面积
πR
2
)。所以当活塞在 x 处时，作用在活塞上的压力为
x
C
S
Sx
C
S
V
C
SpF ===?=,
利用微元法，活塞移动 dx距离所做的
功可表示为
ddd
C
WFx x
x
==,
于是，所求的平均功率为
10
d
b
a
WC x
N
Ttt x
==
∫
=
ap S
tt
b
a
0
10
ln 。
xa
b
图7.5.3
简单数学模型和求解
要用数学技术去解决实际问题，首先必须建立数学模型。由于最重要的数学建模工具是微分，而微分与积分互为逆运算，所以积分便理所当然地成为求解数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来，
就可以为许多实际问题建立起相应的数学关系。
比如，关于例 5.5.7 给出的 Malthus 人口模型
=
=
′
,)(
),()(
00
ptp
tptp λ
,
可以直接对微分等式
d
d
p
t
p
λ=
的两边在 [,]tt
0
上求积分，这时 p的变化范围相应地为 [,]pp
0
,
00
d
d
pt
p
t
p
λ=
∫ ∫
,
于是
0
0
ln ( )
p
tt
p
λ=?,
即
0
()
0
e
tt
pp
λ?
= 。
例 7.5.5 （跟踪问题模型） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿 y 轴 正向前进，同时 B 于 (,0)a 处开始保持距离 a 对 A 进行跟踪（即 B 的前 进方向始终对着 A 的位置，并与 A始终保持距离 a ），求 B 的运动轨迹。
解 设 B 的运动轨迹为
yyx= ()
利用跟踪的要求，可以得到数学模型
=
=
′
,0)(
,
22
ay
x
xa
y
两边求定积分
22
0
dd
yx
a
ax
x
=?
∫∫
,
即得到 B 的运动轨迹方程为
ya
aax
x
ax=
+?
ln
22
22
。
这也可以看成一个重物 B 被 A 用一根长度为 a 的绳子拖着走时留下的轨迹，所以该曲线又被称为 曳线 。
xx
y
B
A
O
图 7.5.5
a
例 7.5.6 （火箭飞行的运动规律）
火箭是靠将燃料变成气体向后喷射，即甩去一部分质量来得到前进的动力的。
设在时刻 t 火箭的总质量为 )(tM,
速度为 vt()，从而其动量为 )()( tvtM 。在从 t 到 dtt+ 时间段中，有部分燃料以相对于火箭体的常速度 u 被反向喷射出去，在时刻 dtt+ 火箭质量为 (d)M tt+,速度为 (d)vt t+,相应地,喷射掉的燃料质量为 () ( d)M tMt t?+，而其速度为
(d)vt t u+?,且此时系统的动量等于火箭剩余部分的动量与燃料的动量之和。
t时刻
t+dt时刻
M(t)?M(t+dt)
M(t)
M(t+dt)
v(t)
v(t+dt)
v(t+dt)?u
图7.5.6
因此在时间段 [,d]tt t+ 中，系统动量的改变量为
{ }
(d)(d)[() (d)][(d) ] ()()M t tvt t M t M t t vt t u M tvt+++?+ +
()[ ( d) ()] [ ( d) ()]M tvt t vt Mt t Mtu=+?++?
() ()d ()dM tvttuMtt
′ ′
。
再由冲量定律：动量的改变量等于力与作用时间的乘积，即冲量 dFt，
这样，就得到火箭运动的微分方程为
ddvM
MFu
tt
=?,
这里 F 是作用于火箭系统的外力，
d
d
v
M
t
称为火箭的 反推力。
特别地，当火箭在地球表面垂直向上发射时,FMg=?,方程 成为
0
d1d
,
dd
(0) 0,(0),
vM
gu
tMt
vMM
=
==
两边在 [,]0 t 上积分,
000
()
()d d d
()
ttt
M t
vt t gt u t
M t
′
′
=
∫∫∫
,
就得到
vt u
M
Mt
gt() ln
()
=?
0
。
例 7.5.7（ Logistic 人口模型）
Malthus 人口模型的解为
pp
tt
=
0
0
e
()λ
,
当 t →∞时有 pt()→∞，这显然是荒谬的，因为人口的数量增加到一定程度后，自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用，并且限制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说，在任何一个给定的环境和资源条件下，人口的增长不可能是无限的，它必定有一个上界 p
max
。
荷兰生物数学家 Verhulst 认为，人口的增长速率应随着 pt()接近
p
max
而越来越小，他提出了一个修正的人口模型
=
=
′
,)(
),(
)(
1)(
00
max
ptp
tp
p
tp
tp λ
将含有 p的项全部集中到左边，两边在 [,]tt
0
上积分,
00
2
max max
d
d
pt
p
t
pppp
λ
=
∫ ∫
,
利用有理函数的积分公式，即可解出
()
)(
max
0
0
max
e11
tt
p
p
p
p
+
=
λ
。
在这模型中，当 t →∞时有 pt p()
max
→ 。
美国和法国都曾用这个模型预测过人口，结果是令人满意的。
从 Kepler 行星运动定律到万有引力定律
最后，我们用 Kepler 的行星运动三大定律,Newton 第二运动定律再加上微积分来导出万有引力定律，以作为本节的结束。
对任意一个确定的行星，由 Kepler 第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为
1cos
p
r
e θ
=
,
这里 p
b
a
=
2
是焦参数,e
b
a
=?1
2
2
是离心率,ab和 分别是椭圆的半长轴和半短轴。
设在时刻 t 行星与太阳的距离为 rrt= (),它们的连线与极轴的夹角为 ()tθ θ=,则行星的坐标可以用向量记号表示成 r = (cos,sin )rrθ θ 。
记 d A是极径转过角度 dθ 所扫过的那块椭圆的面积（阴影部分），
由极坐标下的面积公式
d A
2
1
d
2
r θ=,
由 Kepler 第二定律，单位时间中扫过的面积
2
d1
d2
A
r
t
ω==常数,
这里 ω
d
dt
θ
= 表示行星运动的角速度。
记行星绕太阳运行一周的时间为 T,则经过 T 时间极径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积 πab，即
πab
2
0
d1
d
d2
T
A
trT
t
ω==
∫
,
因此常数
2
2πab
r
T
ω =,
两边求导后得到
22
()2 0rrrrωωω
′
= +=
,
即
20rrω ω+ =
。
这里记行星沿极径方向的速度和加速度分别为
d
d
r
r
t
≡ 和
2
2
d
d
r
r
t
≡ （称为 径向速度 和 径向加速度 ），角加速度为
d
dt
ω
ω≡
（用字母上面加点表示对
t 的导数是 Newton 的记号）。
于是行星在 x 方向和 y 方向上的加速度分量分别为
2
2
2
d( cos )
cos 2 sin [ sin cos ]
d
r
rrr
t
θ
θ ωθ ωθω θ= +
2
()cos(2 )sinrr r rω θωωθ= +
2
()cosrrω θ=? ,
2
2
2
d(sin )
sin 2 cos [ cos sin ]
d
r
rr r
t
θ
θ ωθωθω θ=+ +?
2
(2 )cos ( )sinrr rrω ωθ ω θ=+ +?
2
()sinrrω θ=? 。
记 r
r
0
=
r
(cos,sin )θ θ= 是 r方向上的单位向量，于是，得到加速 度向量
ar=?( )rrω
2
0
,
即行星在任一点的加速度的方向恰与它的极径同向，加速度的值为
rr? ω
2
。
为了求出 rr? ω
2
，对椭圆方程
(1 cos )pr e θ=?
两边求二阶导数，注意到 p是焦参数即常数,
2
0 (1 cos ) 2 ( sin ) ( sin cos )pr e re reθ ωθ ωθω θ==? + + +
2
()cos(2 )sinrrr e r reω θωωθ= + +
2
()cosrrr eω θ=
22
()(1cos)rr e rω θω= +
=
+
rr
r
pr
ω
ω
2
2
,
所以
()
rr
r
rp
ab
T
a
br
==ω
ω π
2
22
2
222
222
14 1
=4
1
2
3
22
π
a
Tr
。
最后，由 Newton 第二运动定律和 Kepler 第三定律即
3
2
a
T
=常数，
便有
F a= m =?mr r(
)ω
2
0
r
23
22
4π aMm
M Tr
=
r
0
23
22
4π aMm
M Tr
=
r
0
=?G
Mm
r
2
r
0
,
这里 M 是太阳的质量,
G
M
a
T
=
4
23
2
π
11 2 2
6.67 10 (N m /kg )
≈×?
称为引力常量。
导出万有引力定律是人类历史上最成功的数学模型之一,它的 结论为以后一系列的观测和实验数据所证实 （其中最为人津津乐道的 是发现海王星），它的适用范围从天体运动一直延展到微观世界，令 人信服地定量地解释了许多既有的物理现象,并成为探索未知世界的 有力工具。
