性质 1 （线性性） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积，
1
k 和
2
k 是常数。
则函数 kf x kgx
12
() ()+ 在 [,]ab上也可积，且有
12 1 2
[() ()]d ()d ()d
bbb
aaa
kf x kgx x k f x x k gx x+= +
∫∫∫
。
证 对 [,]ab的任意一个划分,
ax x x x b
n
= < < < < =
012
"
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,成立等式
∑∑∑
===
Δ+Δ=Δ+
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iii
xgkxfkxgkfk
1
2
1
1
1
21
)()()]()([ ξξξξ 。
令 0)(max
1
→Δ=
≤≤
i
ni
xλ,
12 1 2
000
111
lim [ () ()] lim () lim ()
nnn
iii ii ii
kf kg x k f x k g x
λλλ
ξξ ξ ξ
→→→
===
+ Δ= Δ+ Δ
∑∑∑
12
()d ()d
bb
aa
kfxxkgxx=+
∫∫
,
§ 2 定积分的基本性质由定义,kf x kgx
12
() ()+ 在 [,]ab上 可积，且
12 1 2
[() ()]d ()d ()d
bbb
aaa
k f xkg xxk f xxk g xx+= +
∫∫∫
。
推论 若 fx()在 [,]ab上可积，而 gx()只在有限个点上与 fx()的取值不相同，则 gx()在 [,]ab上也可积，并且有
()d ()d
bb
aa
f xx g xx=
∫∫
。
这就是说，若在有限个点上改变一个可积函数的函数值，并不影响其可积性和积分值。
由定义,kf x kgx
12
() ()+ 在 [,]ab上 可积，且
12 1 2
[() ()]d ()d ()d
bbb
aaa
k f xkg xxk f xxk g xx+= +
∫∫∫
。
性质 2 （乘积可积性） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积,则 fx gx() ()?
在 [,]ab上也可积。
证 由于 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积，所以它们在 [,]ab上有界。
因此存在常数 M,满足
Mxf ≤|)(| 和 |()|,[,]gx M x ab≤ ∈ 。
对 [,]ab的任意划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
设 x 和
~
x 是 [,]xx
ii?1
中的任意两点，则有
|()() ()()|
| ( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( ) ( )|
() () () (),
fxgx fxgx
f xfxgx fxgxgx
Mfxfx gxgx
≤ +
≤ +
记 fx gx() ()? 在小区间 [,]xx
ii?1
上的振幅为
i
ω,fx()和 gx()在小区间
[,]xx
ii?1
上的振幅分别为
i
ω
′
和
i
ω
′′
,则上式意味着
()
iii
Mω ωω
′ ′′
≤ +,
因此
111
0( )
nnn
ii ii ii
i
x Mx xωωω
===
′ ′′
≤ Δ≤ Δ+ Δ
∑∑∑
。
令
1
max( ) 0
i
in
xλ
≤≤
= Δ→，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到
0
1
lim 0
n
ii
i
x
λ
ω
→
=
Δ =
∑
,
根据 Riemann 可积的充分必要条件，即知 fx gx() ()? 在 [,]ab可积。
要注意的是，一般说来
( ) ( )
()()d ()d ()d
bbb
aaa
f xgxx fxx gxx≠?
∫∫∫
。
性质 3（保序性） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积，且在 [,]ab上 恒 有
fx gx() ()≥,则成立
()d ()d
bb
aa
f xx g xx≥
∫∫
。
证 我们只要证明对 [,]ab上的非负函数 fx()，成立
()d 0
b
a
fx x≥
∫
。
由于在 [,]ab上 fx()≥ 0，因此对 [,]ab的任意一个划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
"
和任意点
1
[,]
iii
xxξ
∈,有
1
() 0
n
ii
i
fxξ
=
Δ ≥
∑
。
令
1
max( ) 0
i
in
xλ
≤≤
= Δ→，即得到
0
1
()d lim ( ) 0
n
b
ii
a
i
fx x f x
λ
ξ
→
=
= Δ≥
∑
∫
。
性质 4（绝对可积性） 设 fx()在 [,]ab上可积，则 |()|fx 在 [,]ab上也可积，且成立
()d | ()| d
bb
aa
f xx f xx≤
∫∫
。
证 由于对于任意两点
x
和
~
x,都有
|| ( )| | (
~
)| | | ( )(
~
)|fx fx fx fx? ≤?,
仿照性质 2 的证明即可证得 |()|fx 在 [,]ab上 可积。
又因为对任意 ],[ bax∈,成立
≤ ≤|()| () |()|fx fx fx,
由性质 3 得到
| ()| d()d| ()| d
bbb
aaa
f xx f xx f xx?≤≤
∫∫∫
,
这就是
()d | ()| d
bb
aa
f xx f xx≤
∫∫
。
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由 |()|fx 在 [,]ab
上的可积性并不能得出 fx()在 [,]ab上的可积性。
反例,
=
,,1
,,1
)(
为无理数为有理数
x
x
xf x ∈[,]01 。
性质 5（区间可加性） 设 fx()在 [,]ab上可积，则对任意点 cab∈[,]，
fx()在 [,]ac和 [,]cb上都可积；反过来，若 fx()在 [,]ac和 [,]cb上都可积，
则 fx()在 [,]ab上可积。 此时成立
()d ()d ()d
bcb
aac
f xx fxx fxx=+
∫∫∫
。
证 先假定 fx()在 [,]ab上 可积，设 c是 [,]ab中任意给定的一点。
由定理 7.1.3，对任意给定的 0>ε,存在 [,]ab的一个划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
使得满足
1
n
ii
i
xω ε
=
Δ <
∑
。
我们总可以假定 c是其中的某一个分点 x
k
，否则只要在原有划分中插入分点 c作成新的划分，由 Darboux 和的性质（引理 7.1.1），上面的不等式仍然成立。
将
ax x x x c
k
= < < < < =
012
"
和
cx x x x b
kk k n
= < < < < =
++12
"
分别看成是对 [,]ac和 [,]cb作的划分，则显然有
1
k
ii
i
xω ε
=
Δ <
∑
和
1
n
ii
ik
xω ε
=+
Δ<
∑
,
由定理 7.1.3,fx()在 [,]ac和 [,]cb上 都是可积的。
反过来，若 fx()在 [,]ac和 [,]cb上 都可积，则对任意给定的 0>ε,
分别存在 [,]ac和 [,]cb的划分
ax x x x c
n
= ′ < ′< ′ < < ′ =
012
1
"
和
cx x x x b
n
= ′′< ′′< ′′< < ′′ =
012
2
",
使得
1
1
2
n
ii
i
x
ε
ω
=
′′
Δ <
∑
和
2
1
2
n
ii
i
x
ε
ω
=
′′ ′′
Δ<
∑
,
将这两组分点合起来作为 [,]ab的一组分点 {}x
ii
n
=0
，这里 nn n= +
12
，于是得到
12
111
nn
n
ii ii ii
iii
xxxω ωωε
===
′ ′′′′
Δ =Δ+Δ<
∑∑∑
,
因此 fx()在 [,]ab上 可积。
在 ()d
b
a
f xx
∫
,()d
c
a
f xx
∫
和 ()d
b
c
f xx
∫
都存在的条件下，利用定积分的定义，容易证明
()d ()d ()d
bcb
aac
f xx f xx f xx=+
∫∫∫
。
由于规定了
()d
b
a
f xx
∫
= － ()d
a
b
f xx
∫
,
不难证明，当 c是 [,]ab之外的一点时，只要函数 )(xf 的可积性依然保持，定积分的区间可加性依然成立。
性质 6（积分第一中值定理） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积,gx()
在 [,]ab上不变号，则存在 ],[ Mm∈η,使得
()()d ()d
bb
aa
f xgx x gx xη=
∫∫
,
这里 Mm和 分别表示 fx()在 [,]ab的上确界和下确界 。
特别地，若 fx()在 [,]ab上连续，则存在 ],[ ba∈ξ,使得
()()d () ()d
bb
aa
f xgxx f gxxξ=
∫∫
。
证 因为 gx()在 [,]ab上不变号，不妨设
gx x ab(),[,]≥ ∈0,
于是有
mg x f x g x M g x() ()() ()≤ ≤,
由性质 3，得到
()d ()()d ()d
bb b
aa a
m g xx f x g xx M g xx≤≤
∫∫ ∫
。
性质 6（积分第一中值定理） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积,gx()
在 [,]ab上不变号，则存在 ],[ Mm∈η,使得
()()d ()d
bb
aa
f xgx x gx xη=
∫∫
,
这里 Mm和 分别表示 fx()在 [,]ab的上确界和下确界 。
特别地，若 fx()在 [,]ab上连续，则存在 ],[ ba∈ξ,使得
()()d () ()d
bb
aa
f xgxx f gxxξ=
∫∫
。
由于 ()()d
b
a
f xgx x
∫
和 ()d
b
a
gx x
∫
都是常数，因而必有某个 ],[ Mm∈η,使得
()()d ()d
bb
aa
f xgx x gx xη=
∫∫
。
若 fx()在 [,]ab上连续，则由闭区间上连续函数的介值定理，此时必存在某个 ],[ ba∈ξ,使得 ηξ =)(f,因此
()()d () ()d
bb
aa
f xgxx f gxxξ=
∫∫
。
当 fx()在 [,]ab上连续，而 gx()≡1时，上述积分第一中值定理的结论就变成了
()d ()( )
b
a
f xx f baξ=?
∫
。
()d ()( )
b
a
f xx f baξ=?
∫
,
的几何意义十分明确（图 7.2.1）：当 fx()≥ 0时，上式的左边表示由曲线 fx()和直线 ax =,bx = 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积，它一定等于以 [,]ab为底、某个 f ()ξ 为高的矩形面积。
y = f (x)
y
xabξ
f (ξ)
O
图7.2.1
例 7.2.1 设 fx()在 ],[ ba 上连续，且 0)( >xf,证明
1
ln ( ) d
b
a
f xx
ba
≤
∫
1
ln ( )d
b
a
f xx
ba
∫
。
证 将区间 ],[ ba n等分，并设 )( ab
n
i
ax
i
+= （ ni,,2,1,0 "= ），于是
n
ab
x
i
=Δ （ ni,,2,1 "= ）。利用 xln 在 ),0( +∞ 上的上凸性得
≤
∑∑
==
n
i
k
n
i
k
xf
n
xf
n
11
)(
1
ln)(ln
1
,
即
Δ
≤Δ
∑∑
==
n
i
ik
n
i
ik
xxf
ab
xxf
ab
11
)(
1
ln)(ln
1
。
由假设条件知,)(xf 和 )(ln xf 在 ],[ ba 上连续，因此可积。在上式中令
∞→n,则由定积分的定义及 xln 的连续性得
1
ln ( ) d
b
a
f xx
ba
≤
∫
1
ln ( )d
b
a
fx x
ba
∫
。
例 7.2.2（ H?lder 不等式 ） 设 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上连续,qp,为 满足 1
11
=+
qp
的正数，证明
( ) ( )
11
| ()()| d | ()| d | ()| d
bbb
pq
aaa
f x g xx f xx g xx≤
∫∫∫
。
证 当 0)( ≡xf 或 0)( ≡xg 时，上式显然成立。
否则的话，令
=)(x?
( )
1
|()|
|()|d
b
p
p
a
fx
f xx
∫
，
( )
1
|()|
()
|()|d
b
q
q
a
gx
x
g xx
ψ =
∫
,],[ bax∈,
（注意由本节习题 5 可知 | ()| d
b
p
a
f xx
∫
和 | ()| d
b
q
a
g xx
∫
均大于零。）
由例 5.1.8 得到
qp
x
q
x
p
xx )(
1
)(
1
)()( ψ?ψ? +≤,
即
( ) ( )
11
| ( ) ( )| | ( )| | ( )|
,[,]
|()|d |()|d
|()|d |()|d
pq
bb
bb
pq
aa
aa
fxgx fx gx
xab
pfx xqgx x
fx x gx x
≤+ ∈
∫∫
∫∫
,
对上式两边在 ],[ ba 上求积分，利用定积分的性质得到
( ) ( )
11
1
| ()()|d
|()|d |()|d
b
a
bb
pq
aa
f x g xx
fx x gx x
∫
∫∫
|()|d |()|d
11
1.
|()|d |()|d
bb
pq
aa
fx x gx x
pq
pfx xqfx x
≤ +=+=
∫∫
在不等式两边同乘
( ) ( )
11
| ()| d | ()| d
bb
pq
aa
f xx g xx
∫∫
，得到
( ) ( )
11
| ()()| d | ()| d | ()| d
bbb
pq
aaa
f x g xx f xx g xx≤
∫∫∫
。
例 7.2.3 设函数 )(xf 在 ],[ ba 上二阶可导,0
2
=
+ba
f,记
|)(|sup xfM
bxa
′′
=
≤≤
，证明
3
()
()d
24
b
a
M ba
fx x
≤
∫
。
证 )(xf 在
2
ba
x
+
= 处的带 Lagrange 余项的 Taylor 公式为
2
2
)(
2
1
222
)(
+
′′
+
+
+
′
+
+
=
ba
xf
ba
x
ba
f
ba
fxf ξ
2
2
)(
2
1
22
+
′′
+
+
+
′
=
ba
xf
ba
x
ba
f ξ,],[ bax∈,
其中 ba ≤≤ξ 。
对等式两边求积分，利用 d0
2
b
a
ab
xx
+
=
∫
，得到
2
1
()d d () d
222 2
bbb
aaa
ab ab ab
f xx f x x f x xξ
++ +
′′′
=?+?
∫∫∫
2
1
() d,
22
b
a
ab
f xxξ
+
′′
=?
∫
于是
()
22
3
1(
()d () d d
222224
bb b
aa a
ab M ab Mba
fx x f x x x x xξ
++?
′′
≤?≤?=
∫∫ ∫
。
1
k 和
2
k 是常数。
则函数 kf x kgx
12
() ()+ 在 [,]ab上也可积，且有
12 1 2
[() ()]d ()d ()d
bbb
aaa
kf x kgx x k f x x k gx x+= +
∫∫∫
。
证 对 [,]ab的任意一个划分,
ax x x x b
n
= < < < < =
012
"
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,成立等式
∑∑∑
===
Δ+Δ=Δ+
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iii
xgkxfkxgkfk
1
2
1
1
1
21
)()()]()([ ξξξξ 。
令 0)(max
1
→Δ=
≤≤
i
ni
xλ,
12 1 2
000
111
lim [ () ()] lim () lim ()
nnn
iii ii ii
kf kg x k f x k g x
λλλ
ξξ ξ ξ
→→→
===
+ Δ= Δ+ Δ
∑∑∑
12
()d ()d
bb
aa
kfxxkgxx=+
∫∫
,
§ 2 定积分的基本性质由定义,kf x kgx
12
() ()+ 在 [,]ab上 可积，且
12 1 2
[() ()]d ()d ()d
bbb
aaa
k f xkg xxk f xxk g xx+= +
∫∫∫
。
推论 若 fx()在 [,]ab上可积，而 gx()只在有限个点上与 fx()的取值不相同，则 gx()在 [,]ab上也可积，并且有
()d ()d
bb
aa
f xx g xx=
∫∫
。
这就是说，若在有限个点上改变一个可积函数的函数值，并不影响其可积性和积分值。
由定义,kf x kgx
12
() ()+ 在 [,]ab上 可积，且
12 1 2
[() ()]d ()d ()d
bbb
aaa
k f xkg xxk f xxk g xx+= +
∫∫∫
。
性质 2 （乘积可积性） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积,则 fx gx() ()?
在 [,]ab上也可积。
证 由于 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积，所以它们在 [,]ab上有界。
因此存在常数 M,满足
Mxf ≤|)(| 和 |()|,[,]gx M x ab≤ ∈ 。
对 [,]ab的任意划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
设 x 和
~
x 是 [,]xx
ii?1
中的任意两点，则有
|()() ()()|
| ( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( ) ( )|
() () () (),
fxgx fxgx
f xfxgx fxgxgx
Mfxfx gxgx
≤ +
≤ +
记 fx gx() ()? 在小区间 [,]xx
ii?1
上的振幅为
i
ω,fx()和 gx()在小区间
[,]xx
ii?1
上的振幅分别为
i
ω
′
和
i
ω
′′
,则上式意味着
()
iii
Mω ωω
′ ′′
≤ +,
因此
111
0( )
nnn
ii ii ii
i
x Mx xωωω
===
′ ′′
≤ Δ≤ Δ+ Δ
∑∑∑
。
令
1
max( ) 0
i
in
xλ
≤≤
= Δ→，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到
0
1
lim 0
n
ii
i
x
λ
ω
→
=
Δ =
∑
,
根据 Riemann 可积的充分必要条件，即知 fx gx() ()? 在 [,]ab可积。
要注意的是，一般说来
( ) ( )
()()d ()d ()d
bbb
aaa
f xgxx fxx gxx≠?
∫∫∫
。
性质 3（保序性） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积，且在 [,]ab上 恒 有
fx gx() ()≥,则成立
()d ()d
bb
aa
f xx g xx≥
∫∫
。
证 我们只要证明对 [,]ab上的非负函数 fx()，成立
()d 0
b
a
fx x≥
∫
。
由于在 [,]ab上 fx()≥ 0，因此对 [,]ab的任意一个划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
"
和任意点
1
[,]
iii
xxξ
∈,有
1
() 0
n
ii
i
fxξ
=
Δ ≥
∑
。
令
1
max( ) 0
i
in
xλ
≤≤
= Δ→，即得到
0
1
()d lim ( ) 0
n
b
ii
a
i
fx x f x
λ
ξ
→
=
= Δ≥
∑
∫
。
性质 4（绝对可积性） 设 fx()在 [,]ab上可积，则 |()|fx 在 [,]ab上也可积，且成立
()d | ()| d
bb
aa
f xx f xx≤
∫∫
。
证 由于对于任意两点
x
和
~
x,都有
|| ( )| | (
~
)| | | ( )(
~
)|fx fx fx fx? ≤?,
仿照性质 2 的证明即可证得 |()|fx 在 [,]ab上 可积。
又因为对任意 ],[ bax∈,成立
≤ ≤|()| () |()|fx fx fx,
由性质 3 得到
| ()| d()d| ()| d
bbb
aaa
f xx f xx f xx?≤≤
∫∫∫
,
这就是
()d | ()| d
bb
aa
f xx f xx≤
∫∫
。
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由 |()|fx 在 [,]ab
上的可积性并不能得出 fx()在 [,]ab上的可积性。
反例,
=
,,1
,,1
)(
为无理数为有理数
x
x
xf x ∈[,]01 。
性质 5（区间可加性） 设 fx()在 [,]ab上可积，则对任意点 cab∈[,]，
fx()在 [,]ac和 [,]cb上都可积；反过来，若 fx()在 [,]ac和 [,]cb上都可积，
则 fx()在 [,]ab上可积。 此时成立
()d ()d ()d
bcb
aac
f xx fxx fxx=+
∫∫∫
。
证 先假定 fx()在 [,]ab上 可积，设 c是 [,]ab中任意给定的一点。
由定理 7.1.3，对任意给定的 0>ε,存在 [,]ab的一个划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
使得满足
1
n
ii
i
xω ε
=
Δ <
∑
。
我们总可以假定 c是其中的某一个分点 x
k
，否则只要在原有划分中插入分点 c作成新的划分，由 Darboux 和的性质（引理 7.1.1），上面的不等式仍然成立。
将
ax x x x c
k
= < < < < =
012
"
和
cx x x x b
kk k n
= < < < < =
++12
"
分别看成是对 [,]ac和 [,]cb作的划分，则显然有
1
k
ii
i
xω ε
=
Δ <
∑
和
1
n
ii
ik
xω ε
=+
Δ<
∑
,
由定理 7.1.3,fx()在 [,]ac和 [,]cb上 都是可积的。
反过来，若 fx()在 [,]ac和 [,]cb上 都可积，则对任意给定的 0>ε,
分别存在 [,]ac和 [,]cb的划分
ax x x x c
n
= ′ < ′< ′ < < ′ =
012
1
"
和
cx x x x b
n
= ′′< ′′< ′′< < ′′ =
012
2
",
使得
1
1
2
n
ii
i
x
ε
ω
=
′′
Δ <
∑
和
2
1
2
n
ii
i
x
ε
ω
=
′′ ′′
Δ<
∑
,
将这两组分点合起来作为 [,]ab的一组分点 {}x
ii
n
=0
，这里 nn n= +
12
，于是得到
12
111
nn
n
ii ii ii
iii
xxxω ωωε
===
′ ′′′′
Δ =Δ+Δ<
∑∑∑
,
因此 fx()在 [,]ab上 可积。
在 ()d
b
a
f xx
∫
,()d
c
a
f xx
∫
和 ()d
b
c
f xx
∫
都存在的条件下，利用定积分的定义，容易证明
()d ()d ()d
bcb
aac
f xx f xx f xx=+
∫∫∫
。
由于规定了
()d
b
a
f xx
∫
= － ()d
a
b
f xx
∫
,
不难证明，当 c是 [,]ab之外的一点时，只要函数 )(xf 的可积性依然保持，定积分的区间可加性依然成立。
性质 6（积分第一中值定理） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积,gx()
在 [,]ab上不变号，则存在 ],[ Mm∈η,使得
()()d ()d
bb
aa
f xgx x gx xη=
∫∫
,
这里 Mm和 分别表示 fx()在 [,]ab的上确界和下确界 。
特别地，若 fx()在 [,]ab上连续，则存在 ],[ ba∈ξ,使得
()()d () ()d
bb
aa
f xgxx f gxxξ=
∫∫
。
证 因为 gx()在 [,]ab上不变号，不妨设
gx x ab(),[,]≥ ∈0,
于是有
mg x f x g x M g x() ()() ()≤ ≤,
由性质 3，得到
()d ()()d ()d
bb b
aa a
m g xx f x g xx M g xx≤≤
∫∫ ∫
。
性质 6（积分第一中值定理） 设 fx()和 gx()都在 [,]ab上可积,gx()
在 [,]ab上不变号，则存在 ],[ Mm∈η,使得
()()d ()d
bb
aa
f xgx x gx xη=
∫∫
,
这里 Mm和 分别表示 fx()在 [,]ab的上确界和下确界 。
特别地，若 fx()在 [,]ab上连续，则存在 ],[ ba∈ξ,使得
()()d () ()d
bb
aa
f xgxx f gxxξ=
∫∫
。
由于 ()()d
b
a
f xgx x
∫
和 ()d
b
a
gx x
∫
都是常数，因而必有某个 ],[ Mm∈η,使得
()()d ()d
bb
aa
f xgx x gx xη=
∫∫
。
若 fx()在 [,]ab上连续，则由闭区间上连续函数的介值定理，此时必存在某个 ],[ ba∈ξ,使得 ηξ =)(f,因此
()()d () ()d
bb
aa
f xgxx f gxxξ=
∫∫
。
当 fx()在 [,]ab上连续，而 gx()≡1时，上述积分第一中值定理的结论就变成了
()d ()( )
b
a
f xx f baξ=?
∫
。
()d ()( )
b
a
f xx f baξ=?
∫
,
的几何意义十分明确（图 7.2.1）：当 fx()≥ 0时，上式的左边表示由曲线 fx()和直线 ax =,bx = 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积，它一定等于以 [,]ab为底、某个 f ()ξ 为高的矩形面积。
y = f (x)
y
xabξ
f (ξ)
O
图7.2.1
例 7.2.1 设 fx()在 ],[ ba 上连续，且 0)( >xf,证明
1
ln ( ) d
b
a
f xx
ba
≤
∫
1
ln ( )d
b
a
f xx
ba
∫
。
证 将区间 ],[ ba n等分，并设 )( ab
n
i
ax
i
+= （ ni,,2,1,0 "= ），于是
n
ab
x
i
=Δ （ ni,,2,1 "= ）。利用 xln 在 ),0( +∞ 上的上凸性得
≤
∑∑
==
n
i
k
n
i
k
xf
n
xf
n
11
)(
1
ln)(ln
1
,
即
Δ
≤Δ
∑∑
==
n
i
ik
n
i
ik
xxf
ab
xxf
ab
11
)(
1
ln)(ln
1
。
由假设条件知,)(xf 和 )(ln xf 在 ],[ ba 上连续，因此可积。在上式中令
∞→n,则由定积分的定义及 xln 的连续性得
1
ln ( ) d
b
a
f xx
ba
≤
∫
1
ln ( )d
b
a
fx x
ba
∫
。
例 7.2.2（ H?lder 不等式 ） 设 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上连续,qp,为 满足 1
11
=+
qp
的正数，证明
( ) ( )
11
| ()()| d | ()| d | ()| d
bbb
pq
aaa
f x g xx f xx g xx≤
∫∫∫
。
证 当 0)( ≡xf 或 0)( ≡xg 时，上式显然成立。
否则的话，令
=)(x?
( )
1
|()|
|()|d
b
p
p
a
fx
f xx
∫
，
( )
1
|()|
()
|()|d
b
q
q
a
gx
x
g xx
ψ =
∫
,],[ bax∈,
（注意由本节习题 5 可知 | ()| d
b
p
a
f xx
∫
和 | ()| d
b
q
a
g xx
∫
均大于零。）
由例 5.1.8 得到
qp
x
q
x
p
xx )(
1
)(
1
)()( ψ?ψ? +≤,
即
( ) ( )
11
| ( ) ( )| | ( )| | ( )|
,[,]
|()|d |()|d
|()|d |()|d
pq
bb
bb
pq
aa
aa
fxgx fx gx
xab
pfx xqgx x
fx x gx x
≤+ ∈
∫∫
∫∫
,
对上式两边在 ],[ ba 上求积分，利用定积分的性质得到
( ) ( )
11
1
| ()()|d
|()|d |()|d
b
a
bb
pq
aa
f x g xx
fx x gx x
∫
∫∫
|()|d |()|d
11
1.
|()|d |()|d
bb
pq
aa
fx x gx x
pq
pfx xqfx x
≤ +=+=
∫∫
在不等式两边同乘
( ) ( )
11
| ()| d | ()| d
bb
pq
aa
f xx g xx
∫∫
，得到
( ) ( )
11
| ()()| d | ()| d | ()| d
bbb
pq
aaa
f x g xx f xx g xx≤
∫∫∫
。
例 7.2.3 设函数 )(xf 在 ],[ ba 上二阶可导,0
2
=
+ba
f,记
|)(|sup xfM
bxa
′′
=
≤≤
，证明
3
()
()d
24
b
a
M ba
fx x
≤
∫
。
证 )(xf 在
2
ba
x
+
= 处的带 Lagrange 余项的 Taylor 公式为
2
2
)(
2
1
222
)(
+
′′
+
+
+
′
+
+
=
ba
xf
ba
x
ba
f
ba
fxf ξ
2
2
)(
2
1
22
+
′′
+
+
+
′
=
ba
xf
ba
x
ba
f ξ,],[ bax∈,
其中 ba ≤≤ξ 。
对等式两边求积分，利用 d0
2
b
a
ab
xx
+
=
∫
，得到
2
1
()d d () d
222 2
bbb
aaa
ab ab ab
f xx f x x f x xξ
++ +
′′′
=?+?
∫∫∫
2
1
() d,
22
b
a
ab
f xxξ
+
′′
=?
∫
于是
()
22
3
1(
()d () d d
222224
bb b
aa a
ab M ab Mba
fx x f x x x x xξ
++?
′′
≤?≤?=
∫∫ ∫
。
