带 Peano余项的Taylor公式
定理5.3.1（ 带 Peano余项的Taylor 公式） 设 fx()在 x
0
处有 n阶导数，则存在 x
0
的一个邻域，对于该邻域中的任一点 x，成立
),()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+= "
其中余项 rx
n
()满足
))(()(
0
n
n
xxoxr?=
上述公式称为 fx()在 xx=
0
处的带 Peano余项的Taylor 公式，它的前 n +1项组成的多项式
px
n
()=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
0
0
)(
2
0
0
000
++?
′′
+?
′
+ "
称为 fx()的 n次 Taylor多项式，余项 ))(()(
0
n
n
xxoxr?= 称为Peano 余项。
§ 3 Taylor公式和插值多项式证 考虑?= )()( xfxr
n ∑
=
n
k
kk
xxxf
k
0
00
)(
))((
!
1
，只要证明
))(()(
0
n
n
xxoxr?= 。显然
.0)()()()(
0
)1(
000
===
′′
=
′
=
xrxrxrxr
n
nnnn
"
反复应用L ’Hospital法则，可得
0
lim
xx→
n
n
xx
xr
)(
)(
0
=
0
lim
xx→
=
′
1
0
)(
)(
n
n
xxn
xr
0
lim
xx→
2
0
))(1(
)(
′′
n
n
xxnn
xr
= …
=
0
lim
xx→
)(2)1(
)(
0
)1(
xxnn
xr
n
n
"
=
!
1
n
0
lim
xx→
0
00
)(
0
)1()1(
))(()()(
xx
xxxfxfxf
nnn
=
!
1
n 0
lim
xx→
=
)(
)()(
0
)(
0
0
)1()1(
xf
xx
xfxf
n
nn
!
1
n
[ ]=? )()(
0
)(
0
)(
xfxf
nn
0,
因此
))(()(
0
n
n
xxoxr?=,
证毕带 Lagrange余项的 Taylor公式
定理5.3.2（ 带 Lagrange余项的 Taylor公式 ） 设 fx()在 ],[ ba 上具有 n阶连续导数，且在 ),( ba 上有 n+1阶导数。设 ],[
0
bax ∈ 为一定点，则对于任意 []bax,∈,成立
，)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+= "
其中余项 rx
n
()满足
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
n
n
n
f
rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
,ξ在 x和 x
0
之间。
上述公式称为 fx()在 xx=
0
处的带 Lagrange余项的 Taylor公式 。余项
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
n
n
n
f
rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
（ ξ在 x和 x
0
之间）
称为 Lagrange余项 。
证 考虑辅助函数
= )()( xftG
∑
=
n
k
kk
txtf
k
0
)(
))((
!
1
和
1
)()(
+
=
n
txtH 。
那么定理的结论(即需要证明的)就是
)(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
+
=
+
ξ
。
不妨设 xx <
0
。则 )(tG 和 )(tH 在 ],[
0
xx 上连续，在 ),(
0
xx 上可导，且
n
n
tx
n
tf
tG )(
!
)(
)(
)1(
=
′
+
，
n
txntH ))(1()(?+?=
′
。
显然 )(tH
′
在 ),(
0
xx 上不等于零。因为 0)()( == xHxG,由Cauchy中值定理可得
)!1(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)1(
0
0
0
0
+
=
′
′
=
=
+
n
f
H
G
xHxH
xGxG
xH
xG
n
ξ
ξ
ξ
,),(
0
xx∈ξ,
因此 )(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
+
=
+
ξ
。
证毕特别地，当 n = 0时，定理5.3.2成为
00
() ( ) ()( )f x f x f xxξ
′
= +?,ξ在 x和 x
0
之间,
这恰为Lagrange 中值定理的结果。所以，带Lagrange 余项的Taylor 公式可以看成是Lagrange 中值定理的推广。
当 xx→
0
时，带Lagrange 余项的 Taylor公式蕴涵了带Peano 余项的
Taylor公式。但采用带Peano 余项的Taylor 公式时，对 fx()的要求比采用带Lagrange 余项的Taylor 公式时稍弱一些。
在实际使用时，经常将Taylor 公式写成（带Lagrange 余项）
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf Δ++Δ
′′
+Δ
′
+=Δ+
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2
"
1
)1(
)!1(
)(
+
+
Δ
+
Δ+
+
n
n
x
n
xxf θ
（ (0,1)θ∈ ）,
或是（带Peano 余项）
+Δ++Δ
′′
+Δ
′
+=Δ+
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2
"()
n
oxΔ
的形式。
插值多项式和余项
定义5.3.1 设函数 )(xf 在 [ ]ba,上的 m+1个互异点
m
xxx,,,
10
"上的函数值和若干阶导数值 )1,,1,0,,,2,1,0( )(
)(
==
ii
j
njmixf " "是已知的，这里
1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
。
若存在一个 n 次多项式 )(xp
n
，满足如下的 插值条件
px f x i mj n
n
j
i
j
ii
() ()
() () (,,,,,,,,,)== =?012 012 1 " ",
则称 )(xp
n
是 )(xf 在 [ ]ba,上关于 插值节点 (一般就简称 节点 )
m
xxx,,,
10
"的 n次 插值多项式,而
rx fx px
nn
() () ()=?
称为 插值余项。
例如，若在 x
0
,x
1
,x
2
,x
3
4个点处(即 m = 3),已知 fx()的函数值和若干阶导数值如下表,
x
0
x
1
x
2
x
3
m
j
j = 0
fx()
0
fx()
1
fx()
2
fx()
3
4
j = 1
′fx()
0
─
′fx()
2
′fx()
3
3
j = 2
′′fx()
0
─
′′fx()
2
′′fx()
3
3
j = 3 ─ ─
′′′fx()
2
— 1
n
i
3 1 4 3
n+ =111
这里,n
i
表示在点 x
i
处所知道的值的个数，而 m
j
表示已知 j 阶导数值的点的个数（为了叙述问题方便，当 {} 1max +≤≤ njn
i
时，我们认为
m
j
=0）。显然
m
j
j
n
=
+
∑
=
0
1
1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
。
如果能找到一个 10次多项式 px
10
(),在这4个点处相应的 11个值与上表相同,那么按定义 5.3.1，它就是 fx()的10 次插值多项式。
利用Rolle定理，读者很容易自行证明下述结果,
引理 设函数 g x()在 ],[ ba 上连续,在 ),( ba 上可导,在 ],[ ba 上的 l
0
个不同的点上有 g x()=0，同时在其中的 l
1
个点上有 ′gx()= 0，则 ′gx()在
],[ ba 内至少有 l
0
+l
1
-1个不同的零点。
利用上述引理，即可导出下面的重要定理,
定理5.3.3（插值多项式的余项定理） 设 fx()在 ],[ ba 上具有n
阶连续导数，在 ),( ba 上有n+1 阶导数，且 )(xf 在 [ ]ba,上的 m+1个互异点
m
xxx,,,
10
"上的函数值和若干阶导数值;1,,1,0,,,2,1,0( )(
)(
==
ii
j
njmixf " " )1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
是已知的，则对于任意 []bax,∈,上述插值问题有余项估计
∏
=
+
+
=?=
m
i
n
i
n
nn
i
xx
n
f
xpxfxr
0
)1(
)(
)!1(
)(
)()()(
ξ
,
这里 ξ是介于 xxxx
mmin
min(,,,)=
01
"和 xxxx
mmax
max(,,,)=
01
" 之间的一个数（一般依赖于 x） 。
证 设 x是 [ ]ba,中任一给定值。当 x恰为某个插值节点时，余项估计式两端均为0,结论已经成立。
设 ),,2,1,0( mixx
i
"=≠,记 n +1次多项式
1
0
() ( )
i
m
n
ni
i
ttxω
+
=
=?
∏
,
作辅助函数
1
1
()
() () () ( ( ) ( ))
()
n
nn
n
t
tftpt fxpx
x
ω
ω
+
+
=,
则 ()t? 在任意 x
i
处的 j阶导数值 (,,,)jn
i
=?01 1 "为
()
() () ()
1
1
()
() () () (() () 0
()
j
jjj
ni
iini n
n
x
xfxpx fxpx
x
ω
ω
+
+
==；
此外，还有
1
1
()
() () () ( () ()) 0
()
n
nn
n
x
x fxpx fxpx
x
ω
ω
+
+
= =。
所以，使 0)( =t? 的点至少为 m
0
1+ 个，而使得 0)(
)(
=t
j
的点的个数至少为 m
j
,j n= +11,, "。
由引理，在区间 [,]
min max
xx内,()t?
′
至少有 mm
01
+ 个互异的零点；
()t?
′′
至少有 mmm
012
1+ +? 个互异的零点；…… 。由数学归纳法，当
jn≤ +1时，在区间 [ ]baxx,],[
maxmin
内，
()
()
j
t? 至少有 mj
l
l
j
+
=
∑
1
0
个互异的零点。
当 jn=+1时,
mn mnn n
l
l
n
l
l
n
++=?=+?=
=
+
=
+
∑∑
() ()11 1 1
0
1
0
1
,
所以，至少应有1 个点
min max
(,)xxξ∈,使得
(1)
() 0
n
ξ
+
= 。
因为 pt
n
()是 n次多项式，所以 pt
n
n(
()
+
=
1)
0，而
1
()
n
tω
+
是 n+1次的首一多项式（最高项系数为1的多项式），因此
(1)
1
() ( 1)!
n
n
tnω
+
+
= +,于是得到
(1) (1)
1
(1)!
0 () () ( () ())
()
nn
n
n
n
f fx p x
x
ξ ξ
ω
++
+
+
==,
也即
(1)
0
()
() () () ( )
(1)!
i
n m
n
nn
i
f
rx fx px x x
n
ξ
+
=
=? =?
+
∏
。 证毕
定理5.3.4 满足上述插值条件的插值多项式存在且唯一。
证 插值多项式的存在性可利用构造法证明（参见下面的例子，
此处从略）。
设 px
n
()和 qx
n
()都是 )(xf 的 满足插值条件的 n次多项式，考虑
px qx
nn
() ()? 。由插值条件,x
i
是它的 n
i
重根，将 n
i
重根视为 n
i
个根，
则它共有 1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
个根。但 px qx
nn
() ()? 是不超过 n次的多项式，由代数学基本定理,px qx
nn
() ()? 只能恒为零，即
px qx
nn
() ()≡,
唯一性得证。
证毕
Lagrange插值多项式和 Taylor公式
常用的插值多项式有多种类型，我们这里只介绍最重要的两种。
一,nn n mn
m01
1= = = = = ",
这时,n +1个插值条件均为函数值而不包括导数值，即 px
n
()满足
px fx
ni i
() ()=,in= 012,,,,, "
由定理5.3.3，它的插值余项为
(1)
0
()
() ( )
(1)!
n
n
ni
i
f
rx x x
n
ξ
+
=
=?
+
∏
,
min max
(,)xxξ∈ 。
下面我们用基函数法来具体构造这个多项式,如果能够找到一组
n次多项式 qx
k
(),kn= 012,,,, ",满足
qx
ki ik
()=δ,
这里
0,,
1,
ik
ik
ik
δ
≠
=
=
称为Kronecker 记号。 则容易验证,
px fxqx
nkk
k
n
() ( ) ()=
=
∑
0
就是满足条件的插值多项式。函数 {()}qx
kk
n
=0
称为基函数 。
利用上面已定义过的 n +1次多项式
1
()
n
xω
+
以及插值条件，基函数
{()}qx
kk
n
=0
可取为
0
1
1
0
()
()
()
()()
()
n
i
i
ik
n
k
n
kn k
ki
i
ik
xx
x
qx
xx x
xx
ω
ω
=
≠
+
+
=
≠
==
′
∏
∏
,kn= 012,,,, ",
于是我们就得到了 fx()的 n次插值多项式
∑ ∏
=
≠
=
=
n
k
n
ki
i
ik
i
kn
xx
xx
xfxp
0 0
)(
)(
)()(,
这被称为Lagrange 插值多项式。
例5.3.1 用 fx x()= 的二次 Lagrange插值多项式计算 115,的近似值。
解 取 xx x
01 2
112114= = =,.,.为插值节点，则函数 fx x()= 相应的函数值为 fx fx fx(),(),,(),
01 2
11112= = =,于是,由 Lagrange插值公式，
fx p x
xx xx xx
xx
() ()
(.)(.)
(.)(.)
.
()(.)
(,)(.,)
.
()(.)
(,)(.,)
...
≈
=?
+?
+?
≈? + +
2
2
1
121 144
11211144
11
114
121 1 121 144
12
1121
144 1 144 121
0 094108789 0 684170901 0 409937888，
将 x =115,代进去，便得到 115,的近似值
115 115 107227551
2
.(.).≈=p,
它与准确值 "07238053.115.1 = 的差的绝对值(称为 绝对误差 )约为
10 10
4
,×
，而由插值余项估计公式，其误差约为
4
2
1077.2
)2.1)(1.1)(1(
16
1
)15.1(
×≤
=
ξξ
xxx
r
n
,
可见其与理论结果非常吻合。
二,nn m
0
10=+ =,
这时，插值节点只剩下了一个 x
0
，而 n+1个插值条件成了这一点上的函数值与各阶导数值，即 px
n
()满足
px f x
n
jj() ()
() ()
00
=,jn= 012,,,, "。
考虑 k 次多项式
qx
xx
k
k
k
()
()
!
=
0
,kn= 012,,,, ",
则显然有
()
0
()
j
kjk
qx δ=,
于是它们构成了一组基函数，作
px f xqx
n
k
k
k
n
() ( ) ()
()
=
=
∑
0
0
,
易知 px
n
()就是满足条件的插值多项式。
将上述表达式代入 fx p x rx
nn
() () ()= +,并利用定理5.3.3结果，便得到了定理5.3.2的结论，即带Lagrange 余项的Taylor公式
，)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+= "
其中
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
n
n
n
f
rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
（ ξ在 x和 x
0
之间）。
例5.3.2 用 fx x()= 在 1=x 处的二次 Taylor多项式计算 115,的近似值,并将结果与例5.3.1相比较。
解 由于 fx x f x
x
fx
xx
(),(),()= ′ = ′′ =?
1
2
1
4
,
所以 ff f(),(),()11 1
1
2
1
1
4
= ′ = ′′ =? 。
代入 Taylor公式并取 n = 2,则得到
,
8
3
4
3
8
1
)1(
8
1
)1(
2
1
1)(
22
2
++?=+=≈ xxxxxpx
于是可算出
115 115 10721875
2
.(.).≈=p 。
它与准确值 "07238053.115.1 = 相比，绝对误差约为 19 10
4
,×
，而此时的余项估计为
4
2
3
101.2
15.0
16
1
)15.1(
×≤=
ξξ
n
r,
与理论结果也吻合得很好。
定理5.3.1（ 带 Peano余项的Taylor 公式） 设 fx()在 x
0
处有 n阶导数，则存在 x
0
的一个邻域，对于该邻域中的任一点 x，成立
),()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+= "
其中余项 rx
n
()满足
))(()(
0
n
n
xxoxr?=
上述公式称为 fx()在 xx=
0
处的带 Peano余项的Taylor 公式，它的前 n +1项组成的多项式
px
n
()=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
0
0
)(
2
0
0
000
++?
′′
+?
′
+ "
称为 fx()的 n次 Taylor多项式，余项 ))(()(
0
n
n
xxoxr?= 称为Peano 余项。
§ 3 Taylor公式和插值多项式证 考虑?= )()( xfxr
n ∑
=
n
k
kk
xxxf
k
0
00
)(
))((
!
1
，只要证明
))(()(
0
n
n
xxoxr?= 。显然
.0)()()()(
0
)1(
000
===
′′
=
′
=
xrxrxrxr
n
nnnn
"
反复应用L ’Hospital法则，可得
0
lim
xx→
n
n
xx
xr
)(
)(
0
=
0
lim
xx→
=
′
1
0
)(
)(
n
n
xxn
xr
0
lim
xx→
2
0
))(1(
)(
′′
n
n
xxnn
xr
= …
=
0
lim
xx→
)(2)1(
)(
0
)1(
xxnn
xr
n
n
"
=
!
1
n
0
lim
xx→
0
00
)(
0
)1()1(
))(()()(
xx
xxxfxfxf
nnn
=
!
1
n 0
lim
xx→
=
)(
)()(
0
)(
0
0
)1()1(
xf
xx
xfxf
n
nn
!
1
n
[ ]=? )()(
0
)(
0
)(
xfxf
nn
0,
因此
))(()(
0
n
n
xxoxr?=,
证毕带 Lagrange余项的 Taylor公式
定理5.3.2（ 带 Lagrange余项的 Taylor公式 ） 设 fx()在 ],[ ba 上具有 n阶连续导数，且在 ),( ba 上有 n+1阶导数。设 ],[
0
bax ∈ 为一定点，则对于任意 []bax,∈,成立
，)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+= "
其中余项 rx
n
()满足
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
n
n
n
f
rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
,ξ在 x和 x
0
之间。
上述公式称为 fx()在 xx=
0
处的带 Lagrange余项的 Taylor公式 。余项
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
n
n
n
f
rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
（ ξ在 x和 x
0
之间）
称为 Lagrange余项 。
证 考虑辅助函数
= )()( xftG
∑
=
n
k
kk
txtf
k
0
)(
))((
!
1
和
1
)()(
+
=
n
txtH 。
那么定理的结论(即需要证明的)就是
)(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
+
=
+
ξ
。
不妨设 xx <
0
。则 )(tG 和 )(tH 在 ],[
0
xx 上连续，在 ),(
0
xx 上可导，且
n
n
tx
n
tf
tG )(
!
)(
)(
)1(
=
′
+
，
n
txntH ))(1()(?+?=
′
。
显然 )(tH
′
在 ),(
0
xx 上不等于零。因为 0)()( == xHxG,由Cauchy中值定理可得
)!1(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)1(
0
0
0
0
+
=
′
′
=
=
+
n
f
H
G
xHxH
xGxG
xH
xG
n
ξ
ξ
ξ
,),(
0
xx∈ξ,
因此 )(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
+
=
+
ξ
。
证毕特别地，当 n = 0时，定理5.3.2成为
00
() ( ) ()( )f x f x f xxξ
′
= +?,ξ在 x和 x
0
之间,
这恰为Lagrange 中值定理的结果。所以，带Lagrange 余项的Taylor 公式可以看成是Lagrange 中值定理的推广。
当 xx→
0
时，带Lagrange 余项的 Taylor公式蕴涵了带Peano 余项的
Taylor公式。但采用带Peano 余项的Taylor 公式时，对 fx()的要求比采用带Lagrange 余项的Taylor 公式时稍弱一些。
在实际使用时，经常将Taylor 公式写成（带Lagrange 余项）
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf Δ++Δ
′′
+Δ
′
+=Δ+
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2
"
1
)1(
)!1(
)(
+
+
Δ
+
Δ+
+
n
n
x
n
xxf θ
（ (0,1)θ∈ ）,
或是（带Peano 余项）
+Δ++Δ
′′
+Δ
′
+=Δ+
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2
"()
n
oxΔ
的形式。
插值多项式和余项
定义5.3.1 设函数 )(xf 在 [ ]ba,上的 m+1个互异点
m
xxx,,,
10
"上的函数值和若干阶导数值 )1,,1,0,,,2,1,0( )(
)(
==
ii
j
njmixf " "是已知的，这里
1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
。
若存在一个 n 次多项式 )(xp
n
，满足如下的 插值条件
px f x i mj n
n
j
i
j
ii
() ()
() () (,,,,,,,,,)== =?012 012 1 " ",
则称 )(xp
n
是 )(xf 在 [ ]ba,上关于 插值节点 (一般就简称 节点 )
m
xxx,,,
10
"的 n次 插值多项式,而
rx fx px
nn
() () ()=?
称为 插值余项。
例如，若在 x
0
,x
1
,x
2
,x
3
4个点处(即 m = 3),已知 fx()的函数值和若干阶导数值如下表,
x
0
x
1
x
2
x
3
m
j
j = 0
fx()
0
fx()
1
fx()
2
fx()
3
4
j = 1
′fx()
0
─
′fx()
2
′fx()
3
3
j = 2
′′fx()
0
─
′′fx()
2
′′fx()
3
3
j = 3 ─ ─
′′′fx()
2
— 1
n
i
3 1 4 3
n+ =111
这里,n
i
表示在点 x
i
处所知道的值的个数，而 m
j
表示已知 j 阶导数值的点的个数（为了叙述问题方便，当 {} 1max +≤≤ njn
i
时，我们认为
m
j
=0）。显然
m
j
j
n
=
+
∑
=
0
1
1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
。
如果能找到一个 10次多项式 px
10
(),在这4个点处相应的 11个值与上表相同,那么按定义 5.3.1，它就是 fx()的10 次插值多项式。
利用Rolle定理，读者很容易自行证明下述结果,
引理 设函数 g x()在 ],[ ba 上连续,在 ),( ba 上可导,在 ],[ ba 上的 l
0
个不同的点上有 g x()=0，同时在其中的 l
1
个点上有 ′gx()= 0，则 ′gx()在
],[ ba 内至少有 l
0
+l
1
-1个不同的零点。
利用上述引理，即可导出下面的重要定理,
定理5.3.3（插值多项式的余项定理） 设 fx()在 ],[ ba 上具有n
阶连续导数，在 ),( ba 上有n+1 阶导数，且 )(xf 在 [ ]ba,上的 m+1个互异点
m
xxx,,,
10
"上的函数值和若干阶导数值;1,,1,0,,,2,1,0( )(
)(
==
ii
j
njmixf " " )1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
是已知的，则对于任意 []bax,∈,上述插值问题有余项估计
∏
=
+
+
=?=
m
i
n
i
n
nn
i
xx
n
f
xpxfxr
0
)1(
)(
)!1(
)(
)()()(
ξ
,
这里 ξ是介于 xxxx
mmin
min(,,,)=
01
"和 xxxx
mmax
max(,,,)=
01
" 之间的一个数（一般依赖于 x） 。
证 设 x是 [ ]ba,中任一给定值。当 x恰为某个插值节点时，余项估计式两端均为0,结论已经成立。
设 ),,2,1,0( mixx
i
"=≠,记 n +1次多项式
1
0
() ( )
i
m
n
ni
i
ttxω
+
=
=?
∏
,
作辅助函数
1
1
()
() () () ( ( ) ( ))
()
n
nn
n
t
tftpt fxpx
x
ω
ω
+
+
=,
则 ()t? 在任意 x
i
处的 j阶导数值 (,,,)jn
i
=?01 1 "为
()
() () ()
1
1
()
() () () (() () 0
()
j
jjj
ni
iini n
n
x
xfxpx fxpx
x
ω
ω
+
+
==；
此外，还有
1
1
()
() () () ( () ()) 0
()
n
nn
n
x
x fxpx fxpx
x
ω
ω
+
+
= =。
所以，使 0)( =t? 的点至少为 m
0
1+ 个，而使得 0)(
)(
=t
j
的点的个数至少为 m
j
,j n= +11,, "。
由引理，在区间 [,]
min max
xx内,()t?
′
至少有 mm
01
+ 个互异的零点；
()t?
′′
至少有 mmm
012
1+ +? 个互异的零点；…… 。由数学归纳法，当
jn≤ +1时，在区间 [ ]baxx,],[
maxmin
内，
()
()
j
t? 至少有 mj
l
l
j
+
=
∑
1
0
个互异的零点。
当 jn=+1时,
mn mnn n
l
l
n
l
l
n
++=?=+?=
=
+
=
+
∑∑
() ()11 1 1
0
1
0
1
,
所以，至少应有1 个点
min max
(,)xxξ∈,使得
(1)
() 0
n
ξ
+
= 。
因为 pt
n
()是 n次多项式，所以 pt
n
n(
()
+
=
1)
0，而
1
()
n
tω
+
是 n+1次的首一多项式（最高项系数为1的多项式），因此
(1)
1
() ( 1)!
n
n
tnω
+
+
= +,于是得到
(1) (1)
1
(1)!
0 () () ( () ())
()
nn
n
n
n
f fx p x
x
ξ ξ
ω
++
+
+
==,
也即
(1)
0
()
() () () ( )
(1)!
i
n m
n
nn
i
f
rx fx px x x
n
ξ
+
=
=? =?
+
∏
。 证毕
定理5.3.4 满足上述插值条件的插值多项式存在且唯一。
证 插值多项式的存在性可利用构造法证明（参见下面的例子，
此处从略）。
设 px
n
()和 qx
n
()都是 )(xf 的 满足插值条件的 n次多项式，考虑
px qx
nn
() ()? 。由插值条件,x
i
是它的 n
i
重根，将 n
i
重根视为 n
i
个根，
则它共有 1
0
+=
∑
=
nn
m
i
i
个根。但 px qx
nn
() ()? 是不超过 n次的多项式，由代数学基本定理,px qx
nn
() ()? 只能恒为零，即
px qx
nn
() ()≡,
唯一性得证。
证毕
Lagrange插值多项式和 Taylor公式
常用的插值多项式有多种类型，我们这里只介绍最重要的两种。
一,nn n mn
m01
1= = = = = ",
这时,n +1个插值条件均为函数值而不包括导数值，即 px
n
()满足
px fx
ni i
() ()=,in= 012,,,,, "
由定理5.3.3，它的插值余项为
(1)
0
()
() ( )
(1)!
n
n
ni
i
f
rx x x
n
ξ
+
=
=?
+
∏
,
min max
(,)xxξ∈ 。
下面我们用基函数法来具体构造这个多项式,如果能够找到一组
n次多项式 qx
k
(),kn= 012,,,, ",满足
qx
ki ik
()=δ,
这里
0,,
1,
ik
ik
ik
δ
≠
=
=
称为Kronecker 记号。 则容易验证,
px fxqx
nkk
k
n
() ( ) ()=
=
∑
0
就是满足条件的插值多项式。函数 {()}qx
kk
n
=0
称为基函数 。
利用上面已定义过的 n +1次多项式
1
()
n
xω
+
以及插值条件，基函数
{()}qx
kk
n
=0
可取为
0
1
1
0
()
()
()
()()
()
n
i
i
ik
n
k
n
kn k
ki
i
ik
xx
x
qx
xx x
xx
ω
ω
=
≠
+
+
=
≠
==
′
∏
∏
,kn= 012,,,, ",
于是我们就得到了 fx()的 n次插值多项式
∑ ∏
=
≠
=
=
n
k
n
ki
i
ik
i
kn
xx
xx
xfxp
0 0
)(
)(
)()(,
这被称为Lagrange 插值多项式。
例5.3.1 用 fx x()= 的二次 Lagrange插值多项式计算 115,的近似值。
解 取 xx x
01 2
112114= = =,.,.为插值节点，则函数 fx x()= 相应的函数值为 fx fx fx(),(),,(),
01 2
11112= = =,于是,由 Lagrange插值公式，
fx p x
xx xx xx
xx
() ()
(.)(.)
(.)(.)
.
()(.)
(,)(.,)
.
()(.)
(,)(.,)
...
≈
=?
+?
+?
≈? + +
2
2
1
121 144
11211144
11
114
121 1 121 144
12
1121
144 1 144 121
0 094108789 0 684170901 0 409937888，
将 x =115,代进去，便得到 115,的近似值
115 115 107227551
2
.(.).≈=p,
它与准确值 "07238053.115.1 = 的差的绝对值(称为 绝对误差 )约为
10 10
4
,×
，而由插值余项估计公式，其误差约为
4
2
1077.2
)2.1)(1.1)(1(
16
1
)15.1(
×≤
=
ξξ
xxx
r
n
,
可见其与理论结果非常吻合。
二,nn m
0
10=+ =,
这时，插值节点只剩下了一个 x
0
，而 n+1个插值条件成了这一点上的函数值与各阶导数值，即 px
n
()满足
px f x
n
jj() ()
() ()
00
=,jn= 012,,,, "。
考虑 k 次多项式
qx
xx
k
k
k
()
()
!
=
0
,kn= 012,,,, ",
则显然有
()
0
()
j
kjk
qx δ=,
于是它们构成了一组基函数，作
px f xqx
n
k
k
k
n
() ( ) ()
()
=
=
∑
0
0
,
易知 px
n
()就是满足条件的插值多项式。
将上述表达式代入 fx p x rx
nn
() () ()= +,并利用定理5.3.3结果，便得到了定理5.3.2的结论，即带Lagrange 余项的Taylor公式
，)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+= "
其中
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
n
n
n
f
rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
（ ξ在 x和 x
0
之间）。
例5.3.2 用 fx x()= 在 1=x 处的二次 Taylor多项式计算 115,的近似值,并将结果与例5.3.1相比较。
解 由于 fx x f x
x
fx
xx
(),(),()= ′ = ′′ =?
1
2
1
4
,
所以 ff f(),(),()11 1
1
2
1
1
4
= ′ = ′′ =? 。
代入 Taylor公式并取 n = 2,则得到
,
8
3
4
3
8
1
)1(
8
1
)1(
2
1
1)(
22
2
++?=+=≈ xxxxxpx
于是可算出
115 115 10721875
2
.(.).≈=p 。
它与准确值 "07238053.115.1 = 相比，绝对误差约为 19 10
4
,×
，而此时的余项估计为
4
2
3
101.2
15.0
16
1
)15.1(
×≤=
ξξ
n
r,
与理论结果也吻合得很好。
