待定型极限和L'Hospital 法则
lim
x→∞
ax a x ax a
bx b x bx b
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
1
1
10
1
1
10
"
"
=
a
b
nm
nm
nm
n
n
,,
,,
,,
=
<
∞>
0
我们将这种类型的极限称为
∞
∞
待定型，简称
∞
∞
型。
待定型极限除了
∞
∞
型以外，还有
0
0
型,0?∞型、∞ ±∞型、
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型等几种。我们先讨论如何求
0
0
型和
∞
∞
型的极限，其余几种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算。
§ 2 L’Hospital 法则定理5.2.1（ L'Hospital法则） 设函数 )(xf 和 )(xg 在 ],( daa + 上可导( d 是某个正常数),且 0)( ≠′ xg 。 若此时有
lim ( ) lim ( )
xa xa
fx gx
→+ →+
= = 0
或
lim ( )
xa
gx
→+
= ∞,
且 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
存在（可以是有限数或∞）,则成立
lim
()
()
lim
()
()
xa xa
fx
gx
fx
gx
→+ →+
=
′
′
。
证 这里仅对 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
= A为有限数时来证明。
先证明 lim ( ) lim ( )
xa xa
fx gx
→+ →+
= = 0 的情况。
补充定义 0)()( == agaf,则 )(xf 和 )(xg 在 [ ]daa +,上连续，在
[]daa +,上满足 Cauchy中值定理的条件，因而对于任意 ),( daax +∈,存在 ),( daa +∈ξ,满足
() () () ()
() () () ()
fx fx fa f
gx gx ga g
ξ
ξ
′
==
′
。
当 x a→+时显然有 aξ →+。两端令 x a→+，即有
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
g
f
xg
xf
axaax
′
′
=
′
′
=
+→+→+→
ξ
ξ
ξ
。
下面证明 lim ( )
xa
gx
→+
= ∞时的情况。
fx
gx
fx fx
gx
fx
gx
()
()
() ( )
()
()
()
=
+
00
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xgxg
+
=
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
+
= 。
于是,
A
xg
xf
)(
)(
A
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
+
=
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
+?
≤ 。
因为 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
= A，所以对于任意 0>ε,存在 0>ρ ( dρ < )，当
0 xaρ<?<时,
ε<?
′
′
A
xg
xf
)(
)(
。
取
0
xaρ= +,由Cauchy 中值定理，对于任意 ),(
0
xax∈,存在
),(),(
0
ρξ +?∈ aaxx 满足
0
0
() ( ) ()
() ( ) ()
fx fx f
gx gx g
ξ
ξ
′?
=
′
,
于是得到
ε
ξ
ξ
<?
′
′
=?
A
g
f
A
xgxg
xfxf
)(
)(
)()(
)()(
0
0
。
又因为 lim ( )
xa
gx
→+
=∞，所以可以找到正数 δ ρ<,当 0 xaδ<?<时，成立
ε<
<?
)(
)()(
,2
)(
)(
1
000
xg
xAgxf
xg
xg
。
综上所述，即知对于任意 0>ε,存在 0>δ,当 0 xaδ<?<时,
A
xg
xf
)(
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
+?
≤
23ε εε< +=,
所以
lim
()
()
lim
()
()
xa xa
fx
gx
A
fx
gx
→+ →+
==
′
′
。
证毕
以上结论在 ±→ ax,ax → 或 ∞→x （包括+∞和-∞）时都是成立的。
例5.2.1 求
2
0
2cos1
lim
x
x
x
→
。
解 这是
0
0
型。
因为 2
cossin2
)(
)2cos1(
2
→=
′
′?
x
xx
x
x
（ 0→x ），由 L'Hospital法则，就可以得到
2
2cos1
lim
2
0
=
→
x
x
x
。
一般可以写成如下格式,
22
00
000
1cos2 (1cos2)
lim lim
()
2sin cos sin
lim 2lim lim cos 2.
xx
xxx
xx
xx x
x
→→
→→→
′
=
′
= =?=
例5.2.2 求
π
arctan
2
lim
1
sin
x
x
x
→+∞
。
解 由 L'Hospital法则得,
π
arctan
2
lim
1
sin
x
x
x
→+∞
+
=
+∞→
2
2
11
cos
1
1
lim
xx
x
x
.1
1
lim
1
coslim
1
2
2
=
+
=
+∞→
+∞→
x
x
x
x
x
若使用了L'Hospital 法则之后，所得到的 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
仍是
0
0
型或
∞
∞
型，并且函数 )(xf ′ 和 )(xg′ 依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次使用L'Hospital 法则，讨论 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′′
′′
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例5.2.3 求
3
0
tan
lim
x
xx
x
→
。
解 这是
0
0
型，由 L'Hospital法则
2
2
0
3
0
3
sec1
lim
tan
lim
x
x
x
xx
xx
=
→→
（仍是
0
0
型，再用L'Hospital 法则）
x
xx
x
6
tansec2
lim
2
0
=
→
3
0
1sin 1 1
lim( ),
3cos 3
x
x
xx
→
= =?
若使用了L'Hospital 法则之后，所得到的 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
仍是
0
0
型或
∞
∞
型，并且函数 )(xf ′ 和 )(xg′ 依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次使用L'Hospital 法则，讨论 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′′
′′
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例5.2.4 求 lim
e
x
a
bx
x
→+∞
( 0a >,0b > )。
解 这是
∞
∞
型。设 []an
+
= （记号 []x
+
表示不小于 x的最小整数），
反复使用L'Hospital法则 n次，即有
.0
e
)1()2)(1(
lim
e
)1(
lim
e
lim
e
lim
2
21
=
+
==
=
=
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
bxnan
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
naaaa
b
xaa
b
xax
"
"
这说明当 x → +∞的时候，指数函数
x
a （ a >1）与任何次数的幂函数
n
x 相比，都是更高阶的无穷大量。同样可以导出,x
n
a
log ( 1a > )与任何次数的幂函数 x
α
( 0α > )相比，都是更低阶的无穷大量。
可化为
0
0
型或
∞
∞
型的极限
前面已经指出,0?∞型、∞ ±∞型、
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型等类型的极限都可以化成
0
0
型或
∞
∞
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0?∞型可化成
1
∞
∞
型或
1
0
0
型，即
∞
∞
型或
0
0
型。
例5.2.5 求 lim ln
x
xx
→+0
。
解 这是 0?∞型，将其转化为
∞
∞
型
lim ln lim
ln
xx
xx
x
x
→+ →+
=
001
。
再由 L'Hospital法则得
上式 =
→+
lim
x
x
x
0
2
1
1
.0)(lim
0
=?=
+→
x
x
可化为
0
0
型或
∞
∞
型的极限
前面已经指出,0?∞型、∞ ±∞型、
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型等类型的极限都可以化成
0
0
型或
∞
∞
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0?∞型可化成
1
∞
∞
型或
1
0
0
型，即
∞
∞
型或
0
0
型。
⑵ ∞?∞ 型可化成
0
1
0
1
型，再通分变成
0
00?
型，即
0
0
型。
例5.2.6 求
+→
x
x
x
1
cotlim
0
。
解 这是 ∞?∞ 型，先对它通分,
+→
x
x
x
1
cotlim
0
=
+→
xx
x
x
1
sin
cos
lim
0
=
→+
lim
cos sin
sin
x
xx x
xx
0
,
现在它已被转变成
0
0
型了。
由 L'Hospital法则得
+→
x
x
x
1
cotlim
0
=
′
′
→+
lim
(cos sin)
(sin)
x
xx x
xx
0
xxx
xxxx
x
cossin
cossincos
lim
0
+
=
+→
0
cos
sin
1
lim
0
=
+
=
+→
x
x
x
x
x
。
⑶
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型极限
lim ( )
()
fx
gx
可以通过对数恒等式统一化成
()
ln () ()ln () lim ()ln ()
lim e lim e e
gx
f x gxfx gxfx
==
这里的 )(ln)(lim xfxg 已成为 0?∞型，于是便可用例5.2.5所示的方法来求出极限。
例5.2.7 求 lim
x
x
x
→+0
。
解 这是
0
0 型。将其改写为
lim
x
x
x
→+0
==
→+
→+
lime e
ln
lim ln
x
xx
xx
x
0
0
,
由例5.2.5知 lim ln
x
xx
→+
=
0
0。于是
lim
x
x
x
→+0
=
→+
e
lim ln
x
xx
0
==e
0
1。
⑶
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型极限
lim ( )
()
fx
gx
可以通过对数恒等式统一化成
()
ln () ()ln () lim ()ln ()
lim e lim e e
gx
f x gxfx gxfx
==
这里的 )(ln)(lim xfxg 已成为 0?∞型，于是便可用例5.2.5所示的方法来求出极限。
例5.2.8 求 lim ln
x
x
x
→+0
1
。
解 这是
0
∞ 型，将其改写为
.eelim
1
lnlim
1
lnlnlim
1
lnln
00
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+→
==
+→+→
由 L'Hospital法则得
1
1
00 0 0
2
11
1
ln ln
ln1
lim ln ln lim lim lim 0
1
ln
1
x
xx x x
x
x x
x
x
x
x
x
→+ →+ →+ →+
′
= ===
′
,
于是
lim ln e e
lim ln ln
x
x
x
x
x
x
→+
===
→+
0
1
0
1
1
0
。
例5.2.9 求
tan
π
2
lim (sin )
x
x
x
→+
。
解 这是
∞
1 型，将其改写为
π
2
lim tan ln sin
tan tan lnsin
ππ
22
lim (sin ) lim e e,
x
x x
xxx
xx
x
→+
→+ →+
==
由 L'Hospital法则得
ππ
22
2
π
2
(ln sin )
lim tan ln sin lim
(cot )
cos
lim 0
sin ( csc )
xx
x
x
xx
x
x
xx
→+ →+
→+
′
=
′
= =
，
于是
π
2
lim tan ln sin
tan
π
2
lim (sin ) e
x
x x
x
x
x
→+
→+
= ==e
0
1。
最后，指出使用 L'Hospital法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
不是
0
0
型或
∞
∞
型时，不能使用 L'Hospital法则，
否则将会造成错误。
例5.2.10 求
π
2
1sin
lim
1cos
x
x
x
→
+
。
解 这不是
0
0
型，也不是
∞
∞
型，它的极限为
π
2
π
1sin
1sin
2
lim 2
π
1cos
1cos
2
x
x
x
→
+
+
= =
。
若不问情况地贸然使用 L'Hospital法则,
x
x
x
cos1
sin1
lim
2
π
+
→
x
x
x
sin
cos
lim
2
π
→
= = 0,
就会得出不正确的结果。因此，每次使用 L'Hospital法则之前都必须对极限的类型加以检验。
最后，指出使用 L'Hospital法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
不是
0
0
型或
∞
∞
型时，不能使用 L'Hospital法则，
否则将会造成错误。
第二,L'Hospital法则只告诉我们，对于
0
0
型或
∞
∞
型，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
存在时，它的值等于 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
。那么这是否意味着，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
不存在时,lim
()
()
xa
fx
gx
→+
也不存在呢？请看下面的例子。
例5.2.11 求
x
xx
x
cos
lim
+
∞→
。
解 这是
∞
∞
型，但我们并不能根据当 ∞→x 时 x
x
xx
sin1
)cos(
=
′
′
+
的极限不存在，就错误地得出
x
xx
x
cos
lim
+
∞→
也不存在的结论——事实上，
显然有
1
cos
lim =
+
∞→
x
xx
x
。
因此,lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
不存在并不表示 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
不存在，它仅仅意味着，
此时不能使用L'Hospital 法则，而应改用其他方法来讨论 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
。
第二,L'Hospital法则只告诉我们，对于
0
0
型或
∞
∞
型，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
存在时，它的值等于 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
。那么这是否意味着，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
不存在时,lim
()
()
xa
fx
gx
→+
也不存在呢？请看下面的例子。
lim
x→∞
ax a x ax a
bx b x bx b
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
1
1
10
1
1
10
"
"
=
a
b
nm
nm
nm
n
n
,,
,,
,,
=
<
∞>
0
我们将这种类型的极限称为
∞
∞
待定型，简称
∞
∞
型。
待定型极限除了
∞
∞
型以外，还有
0
0
型,0?∞型、∞ ±∞型、
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型等几种。我们先讨论如何求
0
0
型和
∞
∞
型的极限，其余几种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算。
§ 2 L’Hospital 法则定理5.2.1（ L'Hospital法则） 设函数 )(xf 和 )(xg 在 ],( daa + 上可导( d 是某个正常数),且 0)( ≠′ xg 。 若此时有
lim ( ) lim ( )
xa xa
fx gx
→+ →+
= = 0
或
lim ( )
xa
gx
→+
= ∞,
且 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
存在（可以是有限数或∞）,则成立
lim
()
()
lim
()
()
xa xa
fx
gx
fx
gx
→+ →+
=
′
′
。
证 这里仅对 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
= A为有限数时来证明。
先证明 lim ( ) lim ( )
xa xa
fx gx
→+ →+
= = 0 的情况。
补充定义 0)()( == agaf,则 )(xf 和 )(xg 在 [ ]daa +,上连续，在
[]daa +,上满足 Cauchy中值定理的条件，因而对于任意 ),( daax +∈,存在 ),( daa +∈ξ,满足
() () () ()
() () () ()
fx fx fa f
gx gx ga g
ξ
ξ
′
==
′
。
当 x a→+时显然有 aξ →+。两端令 x a→+，即有
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
g
f
xg
xf
axaax
′
′
=
′
′
=
+→+→+→
ξ
ξ
ξ
。
下面证明 lim ( )
xa
gx
→+
= ∞时的情况。
fx
gx
fx fx
gx
fx
gx
()
()
() ( )
()
()
()
=
+
00
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xgxg
+
=
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
+
= 。
于是,
A
xg
xf
)(
)(
A
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
+
=
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
+?
≤ 。
因为 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
= A，所以对于任意 0>ε,存在 0>ρ ( dρ < )，当
0 xaρ<?<时,
ε<?
′
′
A
xg
xf
)(
)(
。
取
0
xaρ= +,由Cauchy 中值定理，对于任意 ),(
0
xax∈,存在
),(),(
0
ρξ +?∈ aaxx 满足
0
0
() ( ) ()
() ( ) ()
fx fx f
gx gx g
ξ
ξ
′?
=
′
,
于是得到
ε
ξ
ξ
<?
′
′
=?
A
g
f
A
xgxg
xfxf
)(
)(
)()(
)()(
0
0
。
又因为 lim ( )
xa
gx
→+
=∞，所以可以找到正数 δ ρ<,当 0 xaδ<?<时，成立
ε<
<?
)(
)()(
,2
)(
)(
1
000
xg
xAgxf
xg
xg
。
综上所述，即知对于任意 0>ε,存在 0>δ,当 0 xaδ<?<时,
A
xg
xf
)(
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
+?
≤
23ε εε< +=,
所以
lim
()
()
lim
()
()
xa xa
fx
gx
A
fx
gx
→+ →+
==
′
′
。
证毕
以上结论在 ±→ ax,ax → 或 ∞→x （包括+∞和-∞）时都是成立的。
例5.2.1 求
2
0
2cos1
lim
x
x
x
→
。
解 这是
0
0
型。
因为 2
cossin2
)(
)2cos1(
2
→=
′
′?
x
xx
x
x
（ 0→x ），由 L'Hospital法则，就可以得到
2
2cos1
lim
2
0
=
→
x
x
x
。
一般可以写成如下格式,
22
00
000
1cos2 (1cos2)
lim lim
()
2sin cos sin
lim 2lim lim cos 2.
xx
xxx
xx
xx x
x
→→
→→→
′
=
′
= =?=
例5.2.2 求
π
arctan
2
lim
1
sin
x
x
x
→+∞
。
解 由 L'Hospital法则得,
π
arctan
2
lim
1
sin
x
x
x
→+∞
+
=
+∞→
2
2
11
cos
1
1
lim
xx
x
x
.1
1
lim
1
coslim
1
2
2
=
+
=
+∞→
+∞→
x
x
x
x
x
若使用了L'Hospital 法则之后，所得到的 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
仍是
0
0
型或
∞
∞
型，并且函数 )(xf ′ 和 )(xg′ 依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次使用L'Hospital 法则，讨论 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′′
′′
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例5.2.3 求
3
0
tan
lim
x
xx
x
→
。
解 这是
0
0
型，由 L'Hospital法则
2
2
0
3
0
3
sec1
lim
tan
lim
x
x
x
xx
xx
=
→→
（仍是
0
0
型，再用L'Hospital 法则）
x
xx
x
6
tansec2
lim
2
0
=
→
3
0
1sin 1 1
lim( ),
3cos 3
x
x
xx
→
= =?
若使用了L'Hospital 法则之后，所得到的 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
仍是
0
0
型或
∞
∞
型，并且函数 )(xf ′ 和 )(xg′ 依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次使用L'Hospital 法则，讨论 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′′
′′
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例5.2.4 求 lim
e
x
a
bx
x
→+∞
( 0a >,0b > )。
解 这是
∞
∞
型。设 []an
+
= （记号 []x
+
表示不小于 x的最小整数），
反复使用L'Hospital法则 n次，即有
.0
e
)1()2)(1(
lim
e
)1(
lim
e
lim
e
lim
2
21
=
+
==
=
=
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
bxnan
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
naaaa
b
xaa
b
xax
"
"
这说明当 x → +∞的时候，指数函数
x
a （ a >1）与任何次数的幂函数
n
x 相比，都是更高阶的无穷大量。同样可以导出,x
n
a
log ( 1a > )与任何次数的幂函数 x
α
( 0α > )相比，都是更低阶的无穷大量。
可化为
0
0
型或
∞
∞
型的极限
前面已经指出,0?∞型、∞ ±∞型、
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型等类型的极限都可以化成
0
0
型或
∞
∞
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0?∞型可化成
1
∞
∞
型或
1
0
0
型，即
∞
∞
型或
0
0
型。
例5.2.5 求 lim ln
x
xx
→+0
。
解 这是 0?∞型，将其转化为
∞
∞
型
lim ln lim
ln
xx
xx
x
x
→+ →+
=
001
。
再由 L'Hospital法则得
上式 =
→+
lim
x
x
x
0
2
1
1
.0)(lim
0
=?=
+→
x
x
可化为
0
0
型或
∞
∞
型的极限
前面已经指出,0?∞型、∞ ±∞型、
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型等类型的极限都可以化成
0
0
型或
∞
∞
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0?∞型可化成
1
∞
∞
型或
1
0
0
型，即
∞
∞
型或
0
0
型。
⑵ ∞?∞ 型可化成
0
1
0
1
型，再通分变成
0
00?
型，即
0
0
型。
例5.2.6 求
+→
x
x
x
1
cotlim
0
。
解 这是 ∞?∞ 型，先对它通分,
+→
x
x
x
1
cotlim
0
=
+→
xx
x
x
1
sin
cos
lim
0
=
→+
lim
cos sin
sin
x
xx x
xx
0
,
现在它已被转变成
0
0
型了。
由 L'Hospital法则得
+→
x
x
x
1
cotlim
0
=
′
′
→+
lim
(cos sin)
(sin)
x
xx x
xx
0
xxx
xxxx
x
cossin
cossincos
lim
0
+
=
+→
0
cos
sin
1
lim
0
=
+
=
+→
x
x
x
x
x
。
⑶
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型极限
lim ( )
()
fx
gx
可以通过对数恒等式统一化成
()
ln () ()ln () lim ()ln ()
lim e lim e e
gx
f x gxfx gxfx
==
这里的 )(ln)(lim xfxg 已成为 0?∞型，于是便可用例5.2.5所示的方法来求出极限。
例5.2.7 求 lim
x
x
x
→+0
。
解 这是
0
0 型。将其改写为
lim
x
x
x
→+0
==
→+
→+
lime e
ln
lim ln
x
xx
xx
x
0
0
,
由例5.2.5知 lim ln
x
xx
→+
=
0
0。于是
lim
x
x
x
→+0
=
→+
e
lim ln
x
xx
0
==e
0
1。
⑶
∞
0
型、
1
∞
型、
0
0
型极限
lim ( )
()
fx
gx
可以通过对数恒等式统一化成
()
ln () ()ln () lim ()ln ()
lim e lim e e
gx
f x gxfx gxfx
==
这里的 )(ln)(lim xfxg 已成为 0?∞型，于是便可用例5.2.5所示的方法来求出极限。
例5.2.8 求 lim ln
x
x
x
→+0
1
。
解 这是
0
∞ 型，将其改写为
.eelim
1
lnlim
1
lnlnlim
1
lnln
00
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+→
==
+→+→
由 L'Hospital法则得
1
1
00 0 0
2
11
1
ln ln
ln1
lim ln ln lim lim lim 0
1
ln
1
x
xx x x
x
x x
x
x
x
x
x
→+ →+ →+ →+
′
= ===
′
,
于是
lim ln e e
lim ln ln
x
x
x
x
x
x
→+
===
→+
0
1
0
1
1
0
。
例5.2.9 求
tan
π
2
lim (sin )
x
x
x
→+
。
解 这是
∞
1 型，将其改写为
π
2
lim tan ln sin
tan tan lnsin
ππ
22
lim (sin ) lim e e,
x
x x
xxx
xx
x
→+
→+ →+
==
由 L'Hospital法则得
ππ
22
2
π
2
(ln sin )
lim tan ln sin lim
(cot )
cos
lim 0
sin ( csc )
xx
x
x
xx
x
x
xx
→+ →+
→+
′
=
′
= =
，
于是
π
2
lim tan ln sin
tan
π
2
lim (sin ) e
x
x x
x
x
x
→+
→+
= ==e
0
1。
最后，指出使用 L'Hospital法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
不是
0
0
型或
∞
∞
型时，不能使用 L'Hospital法则，
否则将会造成错误。
例5.2.10 求
π
2
1sin
lim
1cos
x
x
x
→
+
。
解 这不是
0
0
型，也不是
∞
∞
型，它的极限为
π
2
π
1sin
1sin
2
lim 2
π
1cos
1cos
2
x
x
x
→
+
+
= =
。
若不问情况地贸然使用 L'Hospital法则,
x
x
x
cos1
sin1
lim
2
π
+
→
x
x
x
sin
cos
lim
2
π
→
= = 0,
就会得出不正确的结果。因此，每次使用 L'Hospital法则之前都必须对极限的类型加以检验。
最后，指出使用 L'Hospital法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
不是
0
0
型或
∞
∞
型时，不能使用 L'Hospital法则，
否则将会造成错误。
第二,L'Hospital法则只告诉我们，对于
0
0
型或
∞
∞
型，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
存在时，它的值等于 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
。那么这是否意味着，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
不存在时,lim
()
()
xa
fx
gx
→+
也不存在呢？请看下面的例子。
例5.2.11 求
x
xx
x
cos
lim
+
∞→
。
解 这是
∞
∞
型，但我们并不能根据当 ∞→x 时 x
x
xx
sin1
)cos(
=
′
′
+
的极限不存在，就错误地得出
x
xx
x
cos
lim
+
∞→
也不存在的结论——事实上，
显然有
1
cos
lim =
+
∞→
x
xx
x
。
因此,lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
不存在并不表示 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
不存在，它仅仅意味着，
此时不能使用L'Hospital 法则，而应改用其他方法来讨论 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
。
第二,L'Hospital法则只告诉我们，对于
0
0
型或
∞
∞
型，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
存在时，它的值等于 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
。那么这是否意味着，当 lim
()
()
xa
fx
gx
→+
′
′
不存在时,lim
()
()
xa
fx
gx
→+
也不存在呢？请看下面的例子。
