§4 闭区间上的连续函数有界性定理
定理3.4.1 若函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续,则它在 ],[ ba 上有界 。
证 用反证法。
若 fx()在 ],[ ba 上无界，将 ],[ ba 等分为两个小区间
+
2
,
ba
a 与
+
b
ba
,
2
，则 fx()至少在其中之一上无界，把它记为
[ ]
11
,ab；
再将闭区间
[ ]
11
,ab与等分为两个小区间
+
2
,
11
1
ba
a 与
+
1
11
,
2
b
ba
，
同样 fx()至少在其中之一上无界，把它记为 [ a
2
,b
2
]；
……
这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{ [,]
nn
ab},fx()在其中任何一个闭区间 [,]
nn
ab上都是无界的。
根据闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间 [,]
nn
ab，
并且
ξ = lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
。
因为 ξ ∈ ],[ ba,而 fx()在点 ξ连续，所以存在 0δ >,0>M,对于一切
x ),( δξO∈ ∩ ],[ ba,成立
()f xM≤ 。
由于 lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=ξ，又可知道对于充分大的n,
[,]
nn
ab ),( δξO? ∩ ],[ ba,
于是得到 fx()在这些闭区间 [,]
nn
ab(n充分大)上有界的结论，从而产生矛盾。
证毕开区间上的连续函数不一定是有界的。
例如
1
()fx
x
= 在开区间 (0,1)上连续，但显然是无界的。
最值定理
定理3.4.2 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,则它在 ],[ ba 上必能取到最大值与最小值,即存在 ξ和 [,]abη∈,对于一切 [,]x ab∈ 成立
() ()ffxξ ≤ ≤ ()f η 。
证 集合 R
f
= { ()| [,]f xx ab∈ }是有界数集，所以必有上确界与下确界，记
α inf
f
R=,β sup
f
R= 。
由于对任意给定的 0ε >,存在 [,]x ab∈,使得 ()f x <α ε+ 。于是取
n
ε =
1
n
（ n = 123,,, "）相应地得到数列{ x
n
},x
n
∈ ],[ ba,满足
α ()
n
fx≤ <
1
n
α+ 。
因为{ x
n
}是有界数列，应用 Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列
{ x
n
k
},
lim
k→∞
x
n
k
=ξ，且 ξ ∈ ],[ ba 。
考虑不等式
α ()
k
n
fx≤ <α +
1
n
k
,k = 1,2,3，…,
令 k→∞，由极限的夹逼性与 fx()在点 ξ的连续性，得到
()f ξ α= 。
这说明 fx()在 ],[ ba 上取到最小值 α,即 α min
f
R= 。
同样可以证明存在 [,]abη∈,使得 == βη)(f max
f
R 。
证毕
同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最 大
（小）值。例如,()f xx= 在 (0,1)上连续而且有界，因而有上、下确 界
infα = { ()f x | (0,1)x∈ } 0=,
supβ = { ()f x | (0,1)x∈ } 1=,
但是 fx()在区间 (0,1)上取不到 0α = 与 1β = 。
零点存在定理
定理3.4.3 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上 连续,且 () () 0fa fb? <,则一定存在 ξ ∈ ),( ba,使 () 0f ξ = 。
证 不失一般性，设 () 0fa<,() 0fb>,定义集合 V,
V = { () 0,[,]x f xxab<∈ }。
集合V 有界，非空，所以必有上确界。令
supVξ =,
现证 ξ ∈ ),( ba,且 () 0f ξ = 。
由于 fx()连续,() 0fa<,?
1
0δ >,
1
[,]xaaδ? ∈+,() 0fx< ； 再由 () 0fb>,
2
0δ >,? x ∈
2
(,]bbδ?,() 0fx> 。于是可知
1
a δ+ ξ≤ ≤
2
b δ?,
即 ξ ∈ ),( ba 。
取 (1,2,)
n
xVn∈= ",
n
x ξ→ （ n→∞）,因 ()0
n
fx <,得到
() lim ( ) 0
n
n
ffxξ
→∞
= ≤ 。
若 () 0f ξ <,由 fx()在点 ξ的连续性,0δ? >,(,)xOξ δ? ∈,
() 0fx<,
这就与 supVξ = 产生矛盾。于是必然有
() 0f ξ = 。
证 毕例3.4.1 讨论多项式
32
() 2 3 3 2p xxxx=+零点的位置。
解
x -2 0 1 3
()p x
-20 2 -2 20
()p x 的三个零点（或根）分别落在区间 (2,0)?,(0,1)与 (1,3) 内。事实上，
1
() 2( 1)( )( 2)
2
px x x x= +，它的三个零点为 1
1
=x,=
2
x
1
2
,2
3
=x 。
例3.4.2 设函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续，且 ]),([ baf
],[ ba,则存在 ξ ∈ ],[ ba,=)(ξf ξ（ 这样的 ξ 称为 fx()的一个不动点 。）
证 设 () ()gx f x x=?，则 ()gx在 ],[ ba 上连续，由 ([,])f ab
],[ ba,可知 () 0ga≥,() 0gb≤ 。
若 () 0ga=,则有 aξ = ；若 () 0gb=,则有 bξ = ；若 () 0ga>,() 0gb<,
则由定理3.4.3，必存在 ξ ∈ ),( ba,使得 () 0g ξ =,即 ()f ξ = ξ。
本例中闭区间 ],[ ba 不能改为开区间。 例如 ()
2
x
fx= 在开区间 (0,1)上连续，
且 ((0,1)) (0,1)f?,但 ()f x 在开区间 (0,1)中没有不动点。
中间值定理
定理3.4.4 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,则它一定能取到最大值 maxM = { ()| [,]}f xx ab∈ 和最小值 minm = { ()| [,]}f xx ab∈ 之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在,ξ η∈ ],[ ba,使得
()f mξ =,()f Mη = 。
不妨设 ξ <η，对任何一个中间值,Cm C M< <,考察辅助函数
() ()xfxC? =? 。
因为 ()x? 在闭区间 [,]ξ η 上连续,() () 0fC? ξξ=?<，
() () 0fC? ηη=?>，由零点存在定理，必有 (,)? ξη∈,使得
() 0 =,即 ()f C? = 。
证 毕推论 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上 连续,m是最小值,M是最大值,则 fx()的值域是闭区间
[,]
f
RmM= 。
中间值定理
定理3.4.4 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,则它一定能取到最大值 maxM = { ()| [,]}f xx ab∈ 和最小值 minm = { ()| [,]}f xx ab∈ 之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在,ξ η∈ ],[ ba,使得
()f mξ =,()f Mη = 。
不妨设 ξ <η，对任何一个中间值,Cm C M< <,考察辅助函数
() ()xfxC? =? 。
因为 ()x? 在闭区间 [,]ξ η 上连续,() () 0fC? ξξ=?<，
() () 0fC? ηη=?>，由零点存在定理，必有 (,)? ξη∈,使得
() 0 =,即 ()f C? = 。
证 毕一致连续概念
设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间 ],[ ba,开区间 ),( ba,(,)a +∞,(,)b?∞,(,)?∞+∞,半开半闭区间 [ )ba,,( ]ba,,( ]b,∞?,
[ )+∞,a 等等。
定义3.4.1 设函数 fx()在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0ε >,存在 0δ >,只要 ′x,x X
′′
∈ 满足 |x
′
′′x | δ<,就成立 | ()f x
′
()fx
′′
| ε<,则称函数 fx()在区间 X 上 一致连续 。
在上面定义中，若固定
0
xxX
′′
= ∈,就得到 fx()在点 x
0
的连续性。
由于 x
0
可以是 X 中的任意一点，于是得到
fx()在区间 X 上一致连续? fx()在区间 X 上连续。
至于反向的命题，就不一定成立。
一致连续概念
设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间 ],[ ba,开区间 ),( ba,(,)a +∞,(,)b?∞,(,)?∞+∞,半开半闭区间 [ )ba,,( ]ba,,( ]b,∞?,
[ )+∞,a 等等。
定义3.4.1 设函数 fx()在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0ε >,存在 0δ >,只要 ′x,x X
′′
∈ 满足 |x
′
′′x | δ<,就成立 | ()f x
′
()fx
′′
| ε<,则称函数 fx()在区间 X 上 一致连续 。
例3.4.3 () sinf xx= 在 ),( +∞?∞ 上一致连续。
证 由不等式
|sin x
′
sin x
′′
| 2cos sin
22
x xxx
′ ′′ ′ ′′
+?
= ||x x
′ ′′
≤?,
对于任意给定的 0ε >,取 δ ε=,则对于任意两点 ′x,x
′′
∈ ),( +∞?∞,只要 <′′?′ || xx δ,就一定成立
|sin x
′
sin x
′′
| ||x x
′ ′′
≤?<δ ε= 。
由定义,sin x 在 ),( +∞?∞ 上是一致连续的。
例 3.4.4 ()f x =
1
x
在 (0,1)上连续，但非一致连续。
证 对于任意给定的,0 1ε ε< <,我们通过精确地解出
*
δ ( x
0
,ε )
0
inf
x
δ= ( x
0
,ε )，来说明不存在适用于整个区间 (0,1)的 δ () 0ε > 。
对任意
0
,(0,1)xx∈,关系式
0
11
xx
ε< 即为
1
0
x
ε?
1
x
< <
1
0
x
ε+,
它等价于
0
0
1
x
x
x ε
< <
+
0
0
1
x
x ε?
,
即
2
0
0
1
x
x
x
ε
ε
<?
+
x
0
2
0
0
1
x
x
ε
ε
<
,
由此得到
δ
0
(,) minx ε =
+ ε
ε
ε
ε
0
2
0
0
2
0
1
,
1 x
x
x
x
=
2
0
0
1
x
x
ε
ε+
。
显然，这就是
*
δ
0
(,)x ε 。
但是当
0
0x → 时，有
*
δ
0
(,) 0x ε →,所以不存在对区间 (0,1)中一切点都适用的 δ () 0ε >,因此 ()f x =
1
x
在 (0,1)上非一致连续。
对于大部分函数，要精确解出
*
δ ( x
0
,ε )往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致连 续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理3.4.5 函数 fx()在区间 X 上定义,则 fx()在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 { ′x
n
}( ′ ∈xX
n
)和{ ′′x
n
}( ′′∈xX
n
)，只要满足
lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,就成立 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 0= 。
证 必要性,
函数 fx()在 X 上的一致连续性可表述为,? 0ε >,? 0δ >,
′x,(xX′′∈ | ′x - ′′x | )δ<,| ()f x′? ()f x′′ | ε< 。
对上述的 0δ >,由 lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,可知 N?,nN? >,
| ′x
n
- ′′x
n
| δ<,从而得到
| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
| ε<,
这就证明了 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 0= 。
对于大部分函数，要精确解出
*
δ ( x
0
,ε )往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致连 续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理3.4.5 函数 fx()在区间 X 上定义,则 fx()在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 { ′x
n
}( ′ ∈xX
n
)和{ ′′x
n
}( ′′∈xX
n
)，只要满足
lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,就成立 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 0= 。
充分性：采用反证法。
函数 fx()在 X 上的非一致连续性可表述为,?
0
0ε >,? 0δ >,
′x,x X′′∈ (| ′x - ′′x | δ< )：| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
|
0
ε≥ 。
取
n
δ =
1
n
（ n = 123,,, "），于是存在 ′x
n
,
n
x X
′′
∈,满足
| ′x
n
- ′′x
n
|
1
n
<,| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
|
0
ε≥ 。
显然,lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,但 { () ()}
nn
f x f x
′ ′′
不可能收敛于 0，这就产生矛盾。
证毕
对例3.4.4，只要取 ′x
n
=
1
2n
,′′x
n
=
1
n
，就有 lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,但
lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
)= lim(2 )
n
nn
→∞
=∞,
由定理3.4.5可知
1
()fx
x
= 在 (0,1)上非一致连续。
但是若将区间 (0,1)换成 [,1)η,0η>,则
1
()fx
x
= 就在 [,1)η 上一致 连续。这是因为
xx
′′
′
11 ||xx
xx
′ ′′
= ≤
′′′
2
||x x
η
′′′
,
对于任意给定的 0ε >,只要取 δ =
2
0ηε> 即可。
例3.4.5
2
()f xx= 在
[ )
0,+∞ 上非一致连续，但是在 [0,]A 上一致连续
(A为任意有限正数)
证 取
n
x
′
= n +1，
n
x
′′
= n （ n = 123,,, "），于是
lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) lim
n→∞
= ( n +1- n ) 0=,
但是 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 1=,由定理3.4.5可知 ()f x 在
[ )
0,+∞ 上非一致连续。
当区间限制在 [0,]A 时，有
| ′x
2
- ′′x
2
| = |( ′x + ′′x )( ′x - ′′x )| 2A≤ | ′x - ′′x |,
对于任意给定的 0ε >,取 δ 0
2A
ε
= >,对任意 ′x,[0,]x A
′′
∈,只要
| ′x - ′′x | δ<,就成立| ′x
2
- ′′x
2
| ε<,即
2
()f xx= 在 [0,]A 上一致连续。
通过 上面几个例子可以知道，长度 无限的区间，如 ),[ +∞a 上的连续函数不一定一致连续； 长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
通过 上面几个例子可以知道，长度 无限的区间，如 ),[ +∞a 上的连续函数不一定一致连续； 长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
定理3.4.6 （ Cantor定理 ） 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,
则它在 ],[ ba 上一致连续 。
证 采用反证法。
假设 fx()在 ],[ ba 上非一致连续，可知存在
0
0ε > 及两列点列 {}
n
x
′
和
{ ′′x
n
},′x
n
,
n
x
′′
∈ ],[ ba,满足
| ′x
n
- ′′x
n
|
1
n
<,且| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
|
0
ε≥ （ n = 123,,, "）。
因为{ ′x
n
}有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列{ ′x
n
k
}:
lim
k→∞
k
n
x
′
=ξ,ξ∈ ],[ ba 。
在点列 { ′′x
n
}中取子列 { ′′x
n
k
}，其下标与 { ′x
n
k
}下标相同，则由
| ′x
n
k
- ′′x
n
k
|
1
k
n
<,k = 1,2,3,…，又得到
lim
k→∞
k
n
x
′′
= lim
k→∞
[
k
n
x
′
+ (
k
n
x
′′
)
k
n
x
′
]lim
k→∞
=
k
n
x ξ
′
= 。
由于函数 fx()在点 ξ连续，因而
lim
k→∞
()
k
n
fx
′
= lim
k→∞
()
k
n
f x
′′
()f ξ=,
所以
lim
k→∞
( ()
k
n
fx
′
()
k
n
f x
′′
) 0=,
这与 | ()
n
fx
′
()
n
fx
′′
|
0
ε≥ 产生矛盾,从而得到 fx()在 ],[ ba 上的一致连续性结论。
证毕有限开区间 ),( ba 上的连续函数 fx()不一定一致连续。那么要具备怎样的条件，才能保证它在 ),( ba 上一致连续呢？
定理3.4.7 函数 fx()在有限开区间 ),( ba 连续，则 fx()在 ),( ba 上一致连续的充分必要条件是,()f a+ 与 ()f b? 存在。
证 充分性,
设 ()f aA+=,()f bB? =,定义函数
~
()fx,
~
()fx =
=
<<
=
,,
,),(
,,
bxB
bxaxf
axA
则
~
()fx是闭区间 ],[ ba 上的连续函数。
由 Cantor定理，
~
()fx在 ],[ ba 上一致连续。显然，对于一致连续的函数，当定义域缩小时，其一致连续性仍然保持。于是
~
()fx在开区间
),( ba 上也是一致连续的，这就说明 fx()在 ),( ba 上一致连续。
必要性,设函数 fx()在开区间 ),( ba 上一致连续，则? 0ε >,
0δ >,? ′x,′′x ∈ ),( ba (|x′? ′′x | δ< ),
| ()f x
′
()f x
′′
| ε< 。
任意选取数列{ x
n
},x
n
∈ ),( ba 且 lim
n→∞
n
x a= 。因{ x
n
}是基本数列，
对于上述 0δ >,N?,,nm N? >,|
n
x? x
m
| δ<,从而
| ()
n
fx? ()
m
f x | ε< 。
这说明了函数值数列{ ()
n
f x }也是基本数列，因而必定收敛。
由定理3.1.5'，可知 ()fa+ = lim ( )
xa
fx
→+
存在。
同理可以证明 ()fb? = lim ( )
xb
f x
→?
存在。
证毕注意：定理3.4.7不适用于无限开区间的情况。例如,() sinf xx= 在
(,)?∞ +∞ 上是一致连续的，但 ()f?∞ 与 ()f +∞ 都不存在。
必要性,设函数 fx()在开区间 ),( ba 上一致连续，则? 0ε >,
0δ >,? ′x,′′x ∈ ),( ba (|x′? ′′x | δ< ),
| ()f x
′
()f x
′′
| ε< 。
任意选取数列{ x
n
},x
n
∈ ),( ba 且 lim
n→∞
n
x a= 。因{ x
n
}是基本数列，
对于上述 0δ >,N?,,nm N? >,|
n
x? x
m
| δ<,从而
| ()
n
fx? ()
m
f x | ε< 。
这说明了函数值数列{ ()
n
f x }也是基本数列，因而必定收敛。
由定理3.1.5'，可知 ()fa+ = lim ( )
xa
f x
→+
存在。
同理可以证明 ()fb? = lim ( )
xb
f x
→?
存在。
证毕注
1,本节中给出的 5个定理：有界性定理、最值定理、零点存在定理、中间值定理,Cantor定理（即一致连续定理），是闭区间上连续函数最重要的分析性质，必须牢记并熟练掌握。
2,在证明这 5个定理时，分别采用了确界存在定理、闭区间套定理,Bolzano-Weierstrass定理和 Cauchy收敛原理。 事实上，由于实数系的 5个基本定理是等价的，所以在理论上，可以采用从实数系的连续性到实数系的完备性中的任何一个定理，来证明上述的闭区间上连续函数的任何一个性质，只是证明的难度稍有差别罢了。
定理3.4.1 若函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续,则它在 ],[ ba 上有界 。
证 用反证法。
若 fx()在 ],[ ba 上无界，将 ],[ ba 等分为两个小区间
+
2
,
ba
a 与
+
b
ba
,
2
，则 fx()至少在其中之一上无界，把它记为
[ ]
11
,ab；
再将闭区间
[ ]
11
,ab与等分为两个小区间
+
2
,
11
1
ba
a 与
+
1
11
,
2
b
ba
，
同样 fx()至少在其中之一上无界，把它记为 [ a
2
,b
2
]；
……
这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{ [,]
nn
ab},fx()在其中任何一个闭区间 [,]
nn
ab上都是无界的。
根据闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间 [,]
nn
ab，
并且
ξ = lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
。
因为 ξ ∈ ],[ ba,而 fx()在点 ξ连续，所以存在 0δ >,0>M,对于一切
x ),( δξO∈ ∩ ],[ ba,成立
()f xM≤ 。
由于 lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=ξ，又可知道对于充分大的n,
[,]
nn
ab ),( δξO? ∩ ],[ ba,
于是得到 fx()在这些闭区间 [,]
nn
ab(n充分大)上有界的结论，从而产生矛盾。
证毕开区间上的连续函数不一定是有界的。
例如
1
()fx
x
= 在开区间 (0,1)上连续，但显然是无界的。
最值定理
定理3.4.2 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,则它在 ],[ ba 上必能取到最大值与最小值,即存在 ξ和 [,]abη∈,对于一切 [,]x ab∈ 成立
() ()ffxξ ≤ ≤ ()f η 。
证 集合 R
f
= { ()| [,]f xx ab∈ }是有界数集，所以必有上确界与下确界，记
α inf
f
R=,β sup
f
R= 。
由于对任意给定的 0ε >,存在 [,]x ab∈,使得 ()f x <α ε+ 。于是取
n
ε =
1
n
（ n = 123,,, "）相应地得到数列{ x
n
},x
n
∈ ],[ ba,满足
α ()
n
fx≤ <
1
n
α+ 。
因为{ x
n
}是有界数列，应用 Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列
{ x
n
k
},
lim
k→∞
x
n
k
=ξ，且 ξ ∈ ],[ ba 。
考虑不等式
α ()
k
n
fx≤ <α +
1
n
k
,k = 1,2,3，…,
令 k→∞，由极限的夹逼性与 fx()在点 ξ的连续性，得到
()f ξ α= 。
这说明 fx()在 ],[ ba 上取到最小值 α,即 α min
f
R= 。
同样可以证明存在 [,]abη∈,使得 == βη)(f max
f
R 。
证毕
同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最 大
（小）值。例如,()f xx= 在 (0,1)上连续而且有界，因而有上、下确 界
infα = { ()f x | (0,1)x∈ } 0=,
supβ = { ()f x | (0,1)x∈ } 1=,
但是 fx()在区间 (0,1)上取不到 0α = 与 1β = 。
零点存在定理
定理3.4.3 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上 连续,且 () () 0fa fb? <,则一定存在 ξ ∈ ),( ba,使 () 0f ξ = 。
证 不失一般性，设 () 0fa<,() 0fb>,定义集合 V,
V = { () 0,[,]x f xxab<∈ }。
集合V 有界，非空，所以必有上确界。令
supVξ =,
现证 ξ ∈ ),( ba,且 () 0f ξ = 。
由于 fx()连续,() 0fa<,?
1
0δ >,
1
[,]xaaδ? ∈+,() 0fx< ； 再由 () 0fb>,
2
0δ >,? x ∈
2
(,]bbδ?,() 0fx> 。于是可知
1
a δ+ ξ≤ ≤
2
b δ?,
即 ξ ∈ ),( ba 。
取 (1,2,)
n
xVn∈= ",
n
x ξ→ （ n→∞）,因 ()0
n
fx <,得到
() lim ( ) 0
n
n
ffxξ
→∞
= ≤ 。
若 () 0f ξ <,由 fx()在点 ξ的连续性,0δ? >,(,)xOξ δ? ∈,
() 0fx<,
这就与 supVξ = 产生矛盾。于是必然有
() 0f ξ = 。
证 毕例3.4.1 讨论多项式
32
() 2 3 3 2p xxxx=+零点的位置。
解
x -2 0 1 3
()p x
-20 2 -2 20
()p x 的三个零点（或根）分别落在区间 (2,0)?,(0,1)与 (1,3) 内。事实上，
1
() 2( 1)( )( 2)
2
px x x x= +，它的三个零点为 1
1
=x,=
2
x
1
2
,2
3
=x 。
例3.4.2 设函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续，且 ]),([ baf
],[ ba,则存在 ξ ∈ ],[ ba,=)(ξf ξ（ 这样的 ξ 称为 fx()的一个不动点 。）
证 设 () ()gx f x x=?，则 ()gx在 ],[ ba 上连续，由 ([,])f ab
],[ ba,可知 () 0ga≥,() 0gb≤ 。
若 () 0ga=,则有 aξ = ；若 () 0gb=,则有 bξ = ；若 () 0ga>,() 0gb<,
则由定理3.4.3，必存在 ξ ∈ ),( ba,使得 () 0g ξ =,即 ()f ξ = ξ。
本例中闭区间 ],[ ba 不能改为开区间。 例如 ()
2
x
fx= 在开区间 (0,1)上连续，
且 ((0,1)) (0,1)f?,但 ()f x 在开区间 (0,1)中没有不动点。
中间值定理
定理3.4.4 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,则它一定能取到最大值 maxM = { ()| [,]}f xx ab∈ 和最小值 minm = { ()| [,]}f xx ab∈ 之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在,ξ η∈ ],[ ba,使得
()f mξ =,()f Mη = 。
不妨设 ξ <η，对任何一个中间值,Cm C M< <,考察辅助函数
() ()xfxC? =? 。
因为 ()x? 在闭区间 [,]ξ η 上连续,() () 0fC? ξξ=?<，
() () 0fC? ηη=?>，由零点存在定理，必有 (,)? ξη∈,使得
() 0 =,即 ()f C? = 。
证 毕推论 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上 连续,m是最小值,M是最大值,则 fx()的值域是闭区间
[,]
f
RmM= 。
中间值定理
定理3.4.4 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,则它一定能取到最大值 maxM = { ()| [,]}f xx ab∈ 和最小值 minm = { ()| [,]}f xx ab∈ 之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在,ξ η∈ ],[ ba,使得
()f mξ =,()f Mη = 。
不妨设 ξ <η，对任何一个中间值,Cm C M< <,考察辅助函数
() ()xfxC? =? 。
因为 ()x? 在闭区间 [,]ξ η 上连续,() () 0fC? ξξ=?<，
() () 0fC? ηη=?>，由零点存在定理，必有 (,)? ξη∈,使得
() 0 =,即 ()f C? = 。
证 毕一致连续概念
设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间 ],[ ba,开区间 ),( ba,(,)a +∞,(,)b?∞,(,)?∞+∞,半开半闭区间 [ )ba,,( ]ba,,( ]b,∞?,
[ )+∞,a 等等。
定义3.4.1 设函数 fx()在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0ε >,存在 0δ >,只要 ′x,x X
′′
∈ 满足 |x
′
′′x | δ<,就成立 | ()f x
′
()fx
′′
| ε<,则称函数 fx()在区间 X 上 一致连续 。
在上面定义中，若固定
0
xxX
′′
= ∈,就得到 fx()在点 x
0
的连续性。
由于 x
0
可以是 X 中的任意一点，于是得到
fx()在区间 X 上一致连续? fx()在区间 X 上连续。
至于反向的命题，就不一定成立。
一致连续概念
设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间 ],[ ba,开区间 ),( ba,(,)a +∞,(,)b?∞,(,)?∞+∞,半开半闭区间 [ )ba,,( ]ba,,( ]b,∞?,
[ )+∞,a 等等。
定义3.4.1 设函数 fx()在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0ε >,存在 0δ >,只要 ′x,x X
′′
∈ 满足 |x
′
′′x | δ<,就成立 | ()f x
′
()fx
′′
| ε<,则称函数 fx()在区间 X 上 一致连续 。
例3.4.3 () sinf xx= 在 ),( +∞?∞ 上一致连续。
证 由不等式
|sin x
′
sin x
′′
| 2cos sin
22
x xxx
′ ′′ ′ ′′
+?
= ||x x
′ ′′
≤?,
对于任意给定的 0ε >,取 δ ε=,则对于任意两点 ′x,x
′′
∈ ),( +∞?∞,只要 <′′?′ || xx δ,就一定成立
|sin x
′
sin x
′′
| ||x x
′ ′′
≤?<δ ε= 。
由定义,sin x 在 ),( +∞?∞ 上是一致连续的。
例 3.4.4 ()f x =
1
x
在 (0,1)上连续，但非一致连续。
证 对于任意给定的,0 1ε ε< <,我们通过精确地解出
*
δ ( x
0
,ε )
0
inf
x
δ= ( x
0
,ε )，来说明不存在适用于整个区间 (0,1)的 δ () 0ε > 。
对任意
0
,(0,1)xx∈,关系式
0
11
xx
ε< 即为
1
0
x
ε?
1
x
< <
1
0
x
ε+,
它等价于
0
0
1
x
x
x ε
< <
+
0
0
1
x
x ε?
,
即
2
0
0
1
x
x
x
ε
ε
<?
+
x
0
2
0
0
1
x
x
ε
ε
<
,
由此得到
δ
0
(,) minx ε =
+ ε
ε
ε
ε
0
2
0
0
2
0
1
,
1 x
x
x
x
=
2
0
0
1
x
x
ε
ε+
。
显然，这就是
*
δ
0
(,)x ε 。
但是当
0
0x → 时，有
*
δ
0
(,) 0x ε →,所以不存在对区间 (0,1)中一切点都适用的 δ () 0ε >,因此 ()f x =
1
x
在 (0,1)上非一致连续。
对于大部分函数，要精确解出
*
δ ( x
0
,ε )往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致连 续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理3.4.5 函数 fx()在区间 X 上定义,则 fx()在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 { ′x
n
}( ′ ∈xX
n
)和{ ′′x
n
}( ′′∈xX
n
)，只要满足
lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,就成立 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 0= 。
证 必要性,
函数 fx()在 X 上的一致连续性可表述为,? 0ε >,? 0δ >,
′x,(xX′′∈ | ′x - ′′x | )δ<,| ()f x′? ()f x′′ | ε< 。
对上述的 0δ >,由 lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,可知 N?,nN? >,
| ′x
n
- ′′x
n
| δ<,从而得到
| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
| ε<,
这就证明了 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 0= 。
对于大部分函数，要精确解出
*
δ ( x
0
,ε )往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致连 续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理3.4.5 函数 fx()在区间 X 上定义,则 fx()在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 { ′x
n
}( ′ ∈xX
n
)和{ ′′x
n
}( ′′∈xX
n
)，只要满足
lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,就成立 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 0= 。
充分性：采用反证法。
函数 fx()在 X 上的非一致连续性可表述为,?
0
0ε >,? 0δ >,
′x,x X′′∈ (| ′x - ′′x | δ< )：| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
|
0
ε≥ 。
取
n
δ =
1
n
（ n = 123,,, "），于是存在 ′x
n
,
n
x X
′′
∈,满足
| ′x
n
- ′′x
n
|
1
n
<,| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
|
0
ε≥ 。
显然,lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,但 { () ()}
nn
f x f x
′ ′′
不可能收敛于 0，这就产生矛盾。
证毕
对例3.4.4，只要取 ′x
n
=
1
2n
,′′x
n
=
1
n
，就有 lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) 0=,但
lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
)= lim(2 )
n
nn
→∞
=∞,
由定理3.4.5可知
1
()fx
x
= 在 (0,1)上非一致连续。
但是若将区间 (0,1)换成 [,1)η,0η>,则
1
()fx
x
= 就在 [,1)η 上一致 连续。这是因为
xx
′′
′
11 ||xx
xx
′ ′′
= ≤
′′′
2
||x x
η
′′′
,
对于任意给定的 0ε >,只要取 δ =
2
0ηε> 即可。
例3.4.5
2
()f xx= 在
[ )
0,+∞ 上非一致连续，但是在 [0,]A 上一致连续
(A为任意有限正数)
证 取
n
x
′
= n +1，
n
x
′′
= n （ n = 123,,, "），于是
lim
n→∞
( ′x
n
- ′′x
n
) lim
n→∞
= ( n +1- n ) 0=,
但是 lim
n→∞
( ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
) 1=,由定理3.4.5可知 ()f x 在
[ )
0,+∞ 上非一致连续。
当区间限制在 [0,]A 时，有
| ′x
2
- ′′x
2
| = |( ′x + ′′x )( ′x - ′′x )| 2A≤ | ′x - ′′x |,
对于任意给定的 0ε >,取 δ 0
2A
ε
= >,对任意 ′x,[0,]x A
′′
∈,只要
| ′x - ′′x | δ<,就成立| ′x
2
- ′′x
2
| ε<,即
2
()f xx= 在 [0,]A 上一致连续。
通过 上面几个例子可以知道，长度 无限的区间，如 ),[ +∞a 上的连续函数不一定一致连续； 长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
通过 上面几个例子可以知道，长度 无限的区间，如 ),[ +∞a 上的连续函数不一定一致连续； 长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
定理3.4.6 （ Cantor定理 ） 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续,
则它在 ],[ ba 上一致连续 。
证 采用反证法。
假设 fx()在 ],[ ba 上非一致连续，可知存在
0
0ε > 及两列点列 {}
n
x
′
和
{ ′′x
n
},′x
n
,
n
x
′′
∈ ],[ ba,满足
| ′x
n
- ′′x
n
|
1
n
<,且| ()
n
fx
′
()
n
f x
′′
|
0
ε≥ （ n = 123,,, "）。
因为{ ′x
n
}有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列{ ′x
n
k
}:
lim
k→∞
k
n
x
′
=ξ,ξ∈ ],[ ba 。
在点列 { ′′x
n
}中取子列 { ′′x
n
k
}，其下标与 { ′x
n
k
}下标相同，则由
| ′x
n
k
- ′′x
n
k
|
1
k
n
<,k = 1,2,3,…，又得到
lim
k→∞
k
n
x
′′
= lim
k→∞
[
k
n
x
′
+ (
k
n
x
′′
)
k
n
x
′
]lim
k→∞
=
k
n
x ξ
′
= 。
由于函数 fx()在点 ξ连续，因而
lim
k→∞
()
k
n
fx
′
= lim
k→∞
()
k
n
f x
′′
()f ξ=,
所以
lim
k→∞
( ()
k
n
fx
′
()
k
n
f x
′′
) 0=,
这与 | ()
n
fx
′
()
n
fx
′′
|
0
ε≥ 产生矛盾,从而得到 fx()在 ],[ ba 上的一致连续性结论。
证毕有限开区间 ),( ba 上的连续函数 fx()不一定一致连续。那么要具备怎样的条件，才能保证它在 ),( ba 上一致连续呢？
定理3.4.7 函数 fx()在有限开区间 ),( ba 连续，则 fx()在 ),( ba 上一致连续的充分必要条件是,()f a+ 与 ()f b? 存在。
证 充分性,
设 ()f aA+=,()f bB? =,定义函数
~
()fx,
~
()fx =
=
<<
=
,,
,),(
,,
bxB
bxaxf
axA
则
~
()fx是闭区间 ],[ ba 上的连续函数。
由 Cantor定理，
~
()fx在 ],[ ba 上一致连续。显然，对于一致连续的函数，当定义域缩小时，其一致连续性仍然保持。于是
~
()fx在开区间
),( ba 上也是一致连续的，这就说明 fx()在 ),( ba 上一致连续。
必要性,设函数 fx()在开区间 ),( ba 上一致连续，则? 0ε >,
0δ >,? ′x,′′x ∈ ),( ba (|x′? ′′x | δ< ),
| ()f x
′
()f x
′′
| ε< 。
任意选取数列{ x
n
},x
n
∈ ),( ba 且 lim
n→∞
n
x a= 。因{ x
n
}是基本数列，
对于上述 0δ >,N?,,nm N? >,|
n
x? x
m
| δ<,从而
| ()
n
fx? ()
m
f x | ε< 。
这说明了函数值数列{ ()
n
f x }也是基本数列，因而必定收敛。
由定理3.1.5'，可知 ()fa+ = lim ( )
xa
fx
→+
存在。
同理可以证明 ()fb? = lim ( )
xb
f x
→?
存在。
证毕注意：定理3.4.7不适用于无限开区间的情况。例如,() sinf xx= 在
(,)?∞ +∞ 上是一致连续的，但 ()f?∞ 与 ()f +∞ 都不存在。
必要性,设函数 fx()在开区间 ),( ba 上一致连续，则? 0ε >,
0δ >,? ′x,′′x ∈ ),( ba (|x′? ′′x | δ< ),
| ()f x
′
()f x
′′
| ε< 。
任意选取数列{ x
n
},x
n
∈ ),( ba 且 lim
n→∞
n
x a= 。因{ x
n
}是基本数列，
对于上述 0δ >,N?,,nm N? >,|
n
x? x
m
| δ<,从而
| ()
n
fx? ()
m
f x | ε< 。
这说明了函数值数列{ ()
n
f x }也是基本数列，因而必定收敛。
由定理3.1.5'，可知 ()fa+ = lim ( )
xa
f x
→+
存在。
同理可以证明 ()fb? = lim ( )
xb
f x
→?
存在。
证毕注
1,本节中给出的 5个定理：有界性定理、最值定理、零点存在定理、中间值定理,Cantor定理（即一致连续定理），是闭区间上连续函数最重要的分析性质，必须牢记并熟练掌握。
2,在证明这 5个定理时，分别采用了确界存在定理、闭区间套定理,Bolzano-Weierstrass定理和 Cauchy收敛原理。 事实上，由于实数系的 5个基本定理是等价的，所以在理论上，可以采用从实数系的连续性到实数系的完备性中的任何一个定理，来证明上述的闭区间上连续函数的任何一个性质，只是证明的难度稍有差别罢了。
