D i r i c h l e t 积分仔细观察上一节中的几幅图 像 后可以得到这样的直觉：对于一般的以 2 π 为周期的函数
f x( )
，除了个别点之外（看来是不连续点）,当
m 时,它的 F o u r i er 级数的部分和函数序列)( xS
m
,
0
1
( ) ( c o s s i n )
2
m
m n n
n
a
S x a n x b n x
,
是收敛于
f x( )
的。下面从理论上来探讨这个问题。
§ 2 Fourier级数的收敛判别法将 E u l e r - F o u ri er 公式
a n? π
π
1
( ) c o s d
π
f t n t t
，
b n? π
π
1
( ) s in d
π
f t n t t
代入
S xm ( )
,
S xm ( ) π
π
1
( ) d
2 π
f t t
π π
π π
1
1
( ) c o s d c o s ( ) s i n d s i n
π
m
n
f t n t t n x f t n t t n x
π
π
1
11
( ) ( c o s c o s s i n s i n ) d
π 2
m
n
f t n t n x n t n x t
π
π
1
11
( ) c o s ( ) d
π 2
m
n
f t n t x t
。
当 0 时,由三角函数的积化和差公式，有
m
n
m
n
1
2
s in2
2
12
s in
c o s
2
1
。
当 0 时，将等式右端理解为当 0 时的极限值，则等式依然成立。
因此，上式对任意 [ π,π ] 都是正确的。
将 E u l e r - F o u ri er 公式
a n? π
π
1
( ) c o s d
π
f t n t t
，
b n? π
π
1
( ) s in d
π
f t n t t
代入
S xm ( )
,
S xm ( ) π
π
1
( ) d
2 π
f t t
π π
π π
1
1
( ) c o s d c o s ( ) s i n d s i n
π
m
n
f t n t t n x f t n t t n x
π
π
1
11
( ) ( c o s c o s s i n s i n ) d
π 2
m
n
f t n t n x n t n x t
π
π
1
11
( ) c o s ( ) d
π 2
m
n
f t n t x t
。
于是
S xm ( )
π
π
21
s in ( )
1
2
( ) d
π
2 s in
2
m
tx
f t t
tx?
( 作代换 t x u )
π
π
21
s in
1
2
( ) d
π
2 s in
2
x
x
m
u
f x u u
u
π
π
21
s in
1
2
( ) d
π
2 s in
2
m
u
f x u u
u?
。
这样，就把部分和 函数序列 转 化成了积分 形式。 这个积分称为
D i r i c h l e t 积分,它是研究 Fo u ri er 级数敛散性的重要工具。
将 积分区间
[ π,π ]?
分成
[ π,0 ]?
和
[ 0,π ]
，稍加整理，就得到了
D i r i c h l e t 积分的惯用形式
S xm ( )
π
0
21
s in
1 2
[ ( ) ( ) ] d
π
2 s in
2
m
u
f x u f x u u
u
。
由前面的三角函数关系式，有
π
0
21
s in
2 2
d
π
2 s in
2
m
u
u
u
π
0
1
21
c o s d 1
π 2
m
n
n u u
,
因此，对任意给定的函数
)( x?
，有
)()( xxS m
π
0
21
s in
1
2
[ ( ) ( ) 2 ( ) ] d
π
2 s in
2
m
u
f x u f x u x u
u
。
这样，若记
)(2)()(),( xuxfuxfxu
,
则
f x( )
的 Fo u ri er 级数是否收敛于某个
)( x?
就等价于极限
π
0
21
sin
2
l im (,) d
2 sin
2
m
m
u
u x u
u
是否存在且等于 0 。
R i e ma n n 引理及其推论定理 1 6,2,1 （ R i e m a n n 引理） 设函数 )( x? 在 [,]a b 上可积或绝对可积，则成立
l i m ( ) s i n dbap x p x x l i m ( ) c o s d 0bap x p x x
。
证 先考虑
)( x?
有界的情况，这时
)( x?
R i e m a n n 可积。
对于任意给定的 0,由 定理 7,1,3,存在着一种划分
a x x x x bn0 1 2?
,
满足
21
n
i
ii x
,
这里? x x x
i i i 1
，
i?
是 )( x? 在 [,]x x
i i? 1
中的振幅。
R i e ma n n 引理及其推论定理 1 6,2,1 （ R i e m a n n 引理） 设函数 )( x? 在 [,]a b 上可积或绝对可积，则成立
l i m ( ) s i n dbap x p x x l i m ( ) c o s d 0bap x p x x
。
对于这种固定的划分，记
m i
是
)( x?
在
[,]x xi i? 1
中的下确界，并取实数
0||
4
1
n
i
i
mP
，则当
p P?
时，有
2
||
2
1
n
i
i
m
p
。
于是，对于任意给定的
0
，存在实数
P? 0
，当
p P?
时，有
( ) sin d
b
a
x px x
1
1
( ) s i n d
i
i
n
x
x
i
x p x x?
1
1
( ( ) ) s i n d
i
i
n
x
i
x
i
x m p x x?
1
1
s i n d
i
i
n
x
i
x
i
m p x x
1
1
| ( ) | | s i n | d
i
i
n
x
i
x
i
x m p x x?
1
1
| | s i n d
i
i
n
x
i
x
i
m p x x
1
1
| ( ) | d
i
i
n
x
i
x
i
x m x?
n
i
i
m
p
1
||
2
n
i
ii
x
1
n
i
i
m
p
1
||
2
。
再考虑
)( x?
无界的情况，这时
)( x?
绝对可积。
不妨假设 b 是
)( x?
的唯一奇点。 由 无界函数反常积分绝对收敛的定义，对于任意 给定的 0,存在 0,当
时,
| ( ) | d
2
b
b
xx
,
固定
，则
)( x?
在
],[ba
上 R i e m a n n 可积，应 用上面的结论，存在实数
P? 0
，当
p P?
时,
( ) sin d
2
b
a
x px x
。
因此,
( ) sin d
b
a
x px x ( ) s i n d
b
a
x p x x
| ( ) s i n | d
b
b
x p x x
( ) si n d
b
a
x px x
| ( ) | d
b
b
xx
。
所以无论对哪一种情况，都有
l i m ( ) s i n d 0
b
ap
x p x x?
。
同理可证
l i m ( ) c o s d 0
b
ap
x p x x?
。
推论 1 6,2,1（局部性原理） 可积或绝对可积函数 f x( ) 的 Fou rie r
级数在 x 点是否收敛只与 f x( ) 在 ),( xx 的性质有关,这里? 是任意小的正常数。
推论 1 6,2,1（局部性原理） 可积或绝对可积函数 f x( ) 的 Fou rie r
级数在 x 点是否收敛只与 f x( ) 在 ),( xx 的性质有关,这里? 是任意小的正常数。
证 由于对任意给定的 0,f x u f x u
u
( ) ( )
s i n
2
2
关于 u 在
[,π ]?
可积或绝对可积，由 R i e ma n n 引理,
π
21
s in
2
l im [ ( ) ( ) ] d 0
2 s in
2
m
m
u
f x u f x u u
u
。
因此，若将 S x
m ( )
的表达式中积分区间分成 ],0[? 和
[,π ]?
两部分，
则当 m 时,S x
m ( )
的敛散性显然只与
0
21
s in
1 2
[ ( ) ( ) ] d
π
2 s in
2
m
u
f x u f x u u
u
有关，而这个积分只涉及 f x( ) 在 ),( xx 的性质。
推论 1 6,2,2 设函数 )( u? 在 ],0[? 上可积或绝对可积，则成立
0
21s in
2l im ( ) d
2 s in
2
m
m u
uu
u
0
21s i n
2l i m ( ) d
m
m u
uu u
。
证 令
,0,0
,0,
1
s i n2
1
)(
2
u
u
uug
u
容易验证
g u( )
是
],0[?
上的连续函数，由 R i e ma n n 引理，当 m 时，
有
0
1 1 1
( ) s i n ( ) d
2
2 s i n
2
u m u u
u u
0
1
( ) ( ) si n( ) d
2
u g u m u u
0,
推论 1 6,2,2 设函数 )( u? 在 ],0[? 上可积或绝对可积，则成立
0
21s in
2l im ( ) d
2 s in
2
m
m u
uu
u
0
21s i n
2l i m ( ) d
m
m u
uu u
。
F o uri er 级数的收敛判别法以上推论告诉我们，如果对点 x,能找到适当的
)( x?
，使得对于充分小的定数 0,有
0
(,) 21
l im sin d 0
2m
ux m
uu
u
,
则
f x( )
的 Fo u r i er 级数在 x 点必定收敛于这个
)( x?
。
显然，对
[ π,π ]x
，只要存在某个 0,使
u
xuxfuxf
u
xu )(2)()(),(
关于 u 在
],0[?
上 可积或绝对可积（这被称为 D i ni 条件 ）,就可以由
R i e ma n n 引理 导出上面的结果。
以下 假设点 x 是
f x( )
的连续点或 第一类不连续点,而上述积分的极限存在与否只 涉及
u
xu ),(
当 u? 0 时的性质,显然，要满足 D i n i
条件 首先必须有
0)](2)()([lim
0
xuxfuxf
u
,
即必须有
2
)()(
)(
xfxf
x?
（显然当
f x( )
在 点 x 连 续 时,有
)()( xfx
）,于是，问题最终转化为研究使得
0
( ) ( ) s i n
l i m ( ) ( ) 2 d 0
2p
f x f x p u
f x u f x u u
u
成立的条件 —— 这是探索 F o u ri er 级数收敛性的一把钥匙。
德国数学家 D i ri ch l e t 在 1 8 2 9 年 —— F o u r i er 级数问世约四分之一个世纪之后，首先得到了一个函数的 Fo u r i er 级数的收敛条件；又过了约半个世纪，另一位德国数学家 L i p s ch i t z 得到了与之不同的 收敛条件 。 他们的结果经后人完善，可以表述为如下定理,
定理 1 6,2,2 设函数
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或绝对可积，且满足下 列 两 个 条 件 之一,则
f x( )
的 F o u r i e r 级数在点 x 处收敛于
2
)()( xfxf
。
⑴ （ D i r i c h l e t - J o r d a n 判别法 ）
f x( )
在 点 x 的某个邻域
),(?xO
上是分段单调有界函 数；
⑵ （ D i n i - L i p s c h i t z 判别法 ）
f x( )
在 点 x 处满足指数为
]1,0(
的
H? l d e r 条件。
所谓的 分段单调函数是这样定义的,
定义 1 6,2,1 设 函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ）上有定义。 如果在 ],[ ba （或
),( ba ）上存在有限个点
10 xxa?2x bx N,
使得 f 在每 个区间 ),(
1 ii xx?
（ Ni,,2,1 ）上是 单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上 分段单调 。
所谓的,H? l d e r 条件”是这样定义的,
定义 1 6,2,2 设点 x 是函数 f x( ) 的连续点或 第一类不连续点，若对于充分小的正数?,存在常数 L? 0 和 ]1,0(,使得成立
Luxfuxf |)()(| )0( u,
则称 f x( ) 在点 x 处满足指数为 ]1,0( 的 H? l d e r 条件 （当 1 也称为
L i p s c h i t z 条件 ）。
所谓的 分段单调函数是这样定义的,
定义 1 6,2,1 设 函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ）上有定义。 如果在 ],[ ba （或
),( ba ）上存在有限个点
10 xxa?2x bx N,
使得 f 在每 个区间 ),(
1 ii xx?
（ Ni,,2,1 ）上是 单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上 分段单调 。
定理 1 6,2,3 （ D i r i c h l e t 引理） 设函数 )( u? 在 ],0[? 上单调，则成立
0
( ) ( 0 )l im sin d 0
p
u p u uu
,
证 不妨设
)( x?
单调增加。 于是对任意给定的 0,存在
),0(
，当
],0(u
时,
)0()(0 u
,
将积分分为两部分,
0
( ) ( 0 )
sin d
u
p u u
u
=
0
( ) ( 0 )
si n d
u
pu u
u
( ) ( 0 )
sin d
u
p u u
u
。
定理 1 6,2,3 （ D i r i c h l e t 引理） 设函数 )( u? 在 ],0[? 上单调，则成立
0
( ) ( 0 )l im sin d 0
p
u p u uu
,
对等式右边的第一项，由积分第二中值定理，存在
],0[
,
0
( ) (0 )
s i n d
u
p u u
u
s i n
[ ( ) (0 ) ] d
pu
u
u
s i n
d
pu
u
u
s in
d
p
p
u
u
u
,
利用含参变量积分中已经得到的结论
0
sin π
d
2
x
x
x
,
可知存在与
p
无关的常数 K,使得
s i n
d
p
p
u
uK
u
,
于是
0
( ) (0 )
s i n d
u
p u u
u
K
。
对等式右边的第二项，由于
u
u )0()( 在 ],[ 上显然是可积或绝对可积的，由 R i em an n 引理，存在常数 0?P,当 Pp? 时，有
s i n
[ ( ) (0 ) ] dpuuu
u
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
注 D i r i c h l e t 引理也经常表达为等价形式
0
sin πl im ( ) d ( 0 )
2p
puuu
u
。
如果 ()u? 是 分段单调有界函数,易知 D i r i c h l e t 引理依然成立。
对等式右边的第二项，由于
u
u )0()( 在 ],[ 上显然是可积或绝对可积的，由 R i em an n 引理，存在常数 0?P,当 Pp? 时，有
s i n
[ ( ) (0 ) ] dpuuu
u
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
定理 1 6,2,2 的证明当
f x( )
满足条件（ 1 ）时,由 D i r i c h l e t 引理,
0
( ) ( )
l im sin d 0
p
f x u f x
p u u
u
,
0
( ) ( )
l im sin d 0
p
f x u f x
p u u
u
,
两式相加，即有
0
( ) ( ) s i n
l i m ( ) ( ) 2 d 0
2p
f x f x p u
f x u f x u u
u
。
当
f x( )
满足条件（ 2 ）时，在
),0(?
上，有
1
|)()(|
u
L
u
xfuxf
（ 10 ）,
所以,
u
xfuxf
u
xfuxf
u
xu )()()()(),(
在
],0[?
可积或绝对可积，由 R i e ma n n 引理,
0
( ) ( ) s i n
l i m ( ) ( ) 2 d 0
2p
f x f x p u
f x u f x u u
u
。
因此无论哪种情况，
f x( )
的 F o u r i e r 级数在点 x 处均收敛于
2
)()( xfxf
。
注 由于“可导”强于,满足 L i p s c h i t z 条件”,且易 于 验证，因此实际中往往使用 如下条件 （ 2 ）的 推论。
推论 1 6,2,3 若
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或绝对可积，在 点 x 处两个单侧导数
)( xf
和
)( xf
都存在，或更进一步，只要 两个拟单侧导数
h
xfhxf
h
)()(
l im
0
存在,则
f x( )
的 F o u r i e r 级数在点 x 处收敛于
2
)()( xfxf
。
D i r i c h l e t - J o r d a n 判别法和 D i n i - L i p s c h i t z 判别法都是 F o u r i e r 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的 （参见本节习题 10 ）。附带指出，直至今天，还没有找到一个 判别 F o u r i e r 级数敛散性的既充分又必要的条件。
D i r i c h l e t - J o r d a n 判别法和 D i n i - L i p s c h i t z 判别法都是 F o u r i e r 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的 （参见本节习题 10 ）。附带指出，直至今天，还没有找到一个 判别 F o u r i e r 级数敛散性的既充分又必要的条件。
定理 16,2,2 告诉我们，若收敛条件满足，则
f x( )
的 F o u r i e r 级数在连续点收敛于函数值本身，而 在 第一类不连续点收敛于它左右极限的算术平均值。
所以，对于连续的周期函数
f x( )
，应将
f x( )
与它的 F o u r i e r 级数间的,~,改为,=,。
如例 1 6,1,2 中
f x( )
的 余弦级数 可以直接写成
2 2 2
π 4 c o s 3 c o s 5 c o s ( 2 1 )
c o s
2 π 3 5 ( 2 1 )
x x k x
x
k
,[ 0,π ]xx
。
若周期函数
f x( )
有第一类不连续点，那么展成 F o u r i e r 级数后，
要对这些点予以特别说明，画图时也要将它们的函数值标为其左右极限的算术平均值。
如例 1 6,1,1,应该写成
f x( ) 1 2 s i n 3 s i n ( 2 1 )
~ s i n
2 π 3 2 1
x k x
x
k
1
2
1,( π,0),
,0,π,
0,( 0,π ).
x
x
x
F o u r i e r 级数的图 像 为图 1 6,2,1 。
y
0
x
图 16.2.1
取
π
2
x?
，得到
π
2
1 2 s in 3 s in 5 s in ( 2 1 ) π
s in 0
2 π 3 5 2 1 2
x
x x k x
xf
k
,
整理后便有熟知的
π 1 1 11 ( 1 )
4 3 5 2 1
k
k
,
这与在
xy a r c ta n?
的幂级数展开中取 x? 1 得到的结果相同。
例 1 6,1,2 中
f x( )
的 正弦级数 应该写成
f x( )
n
nxx
x
n s in
)1(
2
2s in
s in2~
1
,( π,π ),
0,0,π,
xx
x
F o u r i e r 级数的图 像 为图 1 6,2,2 。
注 例 1 6,1,2 中的 余弦级数与正弦级数在
[ 0,π )
上表示的是同一个函数，这正是上一节中指出的结果。
y
0
x
图 16.2.2
例 1 6,1,3 的式子也应写成
f x( )
22
1
1 2 ( 1 )
~ c o s π
6 π
n
n
nx
n
1
32
1
1 ( 1 ) ( 1 ) 1
2 s i n π
π π
nn
n
nx
nn
).1,0(
,1
],0,1(
,
,
,0
2
2
1
x
x
x
x
F o u r i e r 级数的图 像 为图 1 6,2,3 。
在上式中令 x? 1,就可得到
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1 π
1
2 3 4 6n n
。
由它 还可以导出一系列类似级数的和，如
2
2 2 2
1 1 1 π
1
2 3 4 1 2
,
2
2 2 2
1 1 1 π
1
3 5 7 8
。
y
- 1 0 1 x
图 1 6,2,3
这些等式可以应用于某些计算问题，如
1
0
l n ( 1 )
d
x
x
x
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
1
1
0
2
n
n
n
x 2
2
1
1 π
6n n
。
由这些等式出发还可以获得一些有趣的结果，如对于 c o s x 的全部零点
π
2
，
3 π
2
,?，
( 2 1 ) π
2
k?
,?,有
1
2 1
2
2
1 [ ]
( )k
k
1
2 1
2
2
1 [ ]
( )k
k
2
2 2 2
1
4 1 4 π
2 2 1
π ( 2 1 ) π 8k k
,
即 c o s x 全部零点的倒数的平方和恰为 1 ！
f x( )
，除了个别点之外（看来是不连续点）,当
m 时,它的 F o u r i er 级数的部分和函数序列)( xS
m
,
0
1
( ) ( c o s s i n )
2
m
m n n
n
a
S x a n x b n x
,
是收敛于
f x( )
的。下面从理论上来探讨这个问题。
§ 2 Fourier级数的收敛判别法将 E u l e r - F o u ri er 公式
a n? π
π
1
( ) c o s d
π
f t n t t
，
b n? π
π
1
( ) s in d
π
f t n t t
代入
S xm ( )
,
S xm ( ) π
π
1
( ) d
2 π
f t t
π π
π π
1
1
( ) c o s d c o s ( ) s i n d s i n
π
m
n
f t n t t n x f t n t t n x
π
π
1
11
( ) ( c o s c o s s i n s i n ) d
π 2
m
n
f t n t n x n t n x t
π
π
1
11
( ) c o s ( ) d
π 2
m
n
f t n t x t
。
当 0 时,由三角函数的积化和差公式，有
m
n
m
n
1
2
s in2
2
12
s in
c o s
2
1
。
当 0 时，将等式右端理解为当 0 时的极限值，则等式依然成立。
因此，上式对任意 [ π,π ] 都是正确的。
将 E u l e r - F o u ri er 公式
a n? π
π
1
( ) c o s d
π
f t n t t
，
b n? π
π
1
( ) s in d
π
f t n t t
代入
S xm ( )
,
S xm ( ) π
π
1
( ) d
2 π
f t t
π π
π π
1
1
( ) c o s d c o s ( ) s i n d s i n
π
m
n
f t n t t n x f t n t t n x
π
π
1
11
( ) ( c o s c o s s i n s i n ) d
π 2
m
n
f t n t n x n t n x t
π
π
1
11
( ) c o s ( ) d
π 2
m
n
f t n t x t
。
于是
S xm ( )
π
π
21
s in ( )
1
2
( ) d
π
2 s in
2
m
tx
f t t
tx?
( 作代换 t x u )
π
π
21
s in
1
2
( ) d
π
2 s in
2
x
x
m
u
f x u u
u
π
π
21
s in
1
2
( ) d
π
2 s in
2
m
u
f x u u
u?
。
这样，就把部分和 函数序列 转 化成了积分 形式。 这个积分称为
D i r i c h l e t 积分,它是研究 Fo u ri er 级数敛散性的重要工具。
将 积分区间
[ π,π ]?
分成
[ π,0 ]?
和
[ 0,π ]
，稍加整理，就得到了
D i r i c h l e t 积分的惯用形式
S xm ( )
π
0
21
s in
1 2
[ ( ) ( ) ] d
π
2 s in
2
m
u
f x u f x u u
u
。
由前面的三角函数关系式，有
π
0
21
s in
2 2
d
π
2 s in
2
m
u
u
u
π
0
1
21
c o s d 1
π 2
m
n
n u u
,
因此，对任意给定的函数
)( x?
，有
)()( xxS m
π
0
21
s in
1
2
[ ( ) ( ) 2 ( ) ] d
π
2 s in
2
m
u
f x u f x u x u
u
。
这样，若记
)(2)()(),( xuxfuxfxu
,
则
f x( )
的 Fo u ri er 级数是否收敛于某个
)( x?
就等价于极限
π
0
21
sin
2
l im (,) d
2 sin
2
m
m
u
u x u
u
是否存在且等于 0 。
R i e ma n n 引理及其推论定理 1 6,2,1 （ R i e m a n n 引理） 设函数 )( x? 在 [,]a b 上可积或绝对可积，则成立
l i m ( ) s i n dbap x p x x l i m ( ) c o s d 0bap x p x x
。
证 先考虑
)( x?
有界的情况，这时
)( x?
R i e m a n n 可积。
对于任意给定的 0,由 定理 7,1,3,存在着一种划分
a x x x x bn0 1 2?
,
满足
21
n
i
ii x
,
这里? x x x
i i i 1
，
i?
是 )( x? 在 [,]x x
i i? 1
中的振幅。
R i e ma n n 引理及其推论定理 1 6,2,1 （ R i e m a n n 引理） 设函数 )( x? 在 [,]a b 上可积或绝对可积，则成立
l i m ( ) s i n dbap x p x x l i m ( ) c o s d 0bap x p x x
。
对于这种固定的划分，记
m i
是
)( x?
在
[,]x xi i? 1
中的下确界，并取实数
0||
4
1
n
i
i
mP
，则当
p P?
时，有
2
||
2
1
n
i
i
m
p
。
于是，对于任意给定的
0
，存在实数
P? 0
，当
p P?
时，有
( ) sin d
b
a
x px x
1
1
( ) s i n d
i
i
n
x
x
i
x p x x?
1
1
( ( ) ) s i n d
i
i
n
x
i
x
i
x m p x x?
1
1
s i n d
i
i
n
x
i
x
i
m p x x
1
1
| ( ) | | s i n | d
i
i
n
x
i
x
i
x m p x x?
1
1
| | s i n d
i
i
n
x
i
x
i
m p x x
1
1
| ( ) | d
i
i
n
x
i
x
i
x m x?
n
i
i
m
p
1
||
2
n
i
ii
x
1
n
i
i
m
p
1
||
2
。
再考虑
)( x?
无界的情况，这时
)( x?
绝对可积。
不妨假设 b 是
)( x?
的唯一奇点。 由 无界函数反常积分绝对收敛的定义，对于任意 给定的 0,存在 0,当
时,
| ( ) | d
2
b
b
xx
,
固定
，则
)( x?
在
],[ba
上 R i e m a n n 可积，应 用上面的结论，存在实数
P? 0
，当
p P?
时,
( ) sin d
2
b
a
x px x
。
因此,
( ) sin d
b
a
x px x ( ) s i n d
b
a
x p x x
| ( ) s i n | d
b
b
x p x x
( ) si n d
b
a
x px x
| ( ) | d
b
b
xx
。
所以无论对哪一种情况，都有
l i m ( ) s i n d 0
b
ap
x p x x?
。
同理可证
l i m ( ) c o s d 0
b
ap
x p x x?
。
推论 1 6,2,1（局部性原理） 可积或绝对可积函数 f x( ) 的 Fou rie r
级数在 x 点是否收敛只与 f x( ) 在 ),( xx 的性质有关,这里? 是任意小的正常数。
推论 1 6,2,1（局部性原理） 可积或绝对可积函数 f x( ) 的 Fou rie r
级数在 x 点是否收敛只与 f x( ) 在 ),( xx 的性质有关,这里? 是任意小的正常数。
证 由于对任意给定的 0,f x u f x u
u
( ) ( )
s i n
2
2
关于 u 在
[,π ]?
可积或绝对可积，由 R i e ma n n 引理,
π
21
s in
2
l im [ ( ) ( ) ] d 0
2 s in
2
m
m
u
f x u f x u u
u
。
因此，若将 S x
m ( )
的表达式中积分区间分成 ],0[? 和
[,π ]?
两部分，
则当 m 时,S x
m ( )
的敛散性显然只与
0
21
s in
1 2
[ ( ) ( ) ] d
π
2 s in
2
m
u
f x u f x u u
u
有关，而这个积分只涉及 f x( ) 在 ),( xx 的性质。
推论 1 6,2,2 设函数 )( u? 在 ],0[? 上可积或绝对可积，则成立
0
21s in
2l im ( ) d
2 s in
2
m
m u
uu
u
0
21s i n
2l i m ( ) d
m
m u
uu u
。
证 令
,0,0
,0,
1
s i n2
1
)(
2
u
u
uug
u
容易验证
g u( )
是
],0[?
上的连续函数，由 R i e ma n n 引理，当 m 时，
有
0
1 1 1
( ) s i n ( ) d
2
2 s i n
2
u m u u
u u
0
1
( ) ( ) si n( ) d
2
u g u m u u
0,
推论 1 6,2,2 设函数 )( u? 在 ],0[? 上可积或绝对可积，则成立
0
21s in
2l im ( ) d
2 s in
2
m
m u
uu
u
0
21s i n
2l i m ( ) d
m
m u
uu u
。
F o uri er 级数的收敛判别法以上推论告诉我们，如果对点 x,能找到适当的
)( x?
，使得对于充分小的定数 0,有
0
(,) 21
l im sin d 0
2m
ux m
uu
u
,
则
f x( )
的 Fo u r i er 级数在 x 点必定收敛于这个
)( x?
。
显然，对
[ π,π ]x
，只要存在某个 0,使
u
xuxfuxf
u
xu )(2)()(),(
关于 u 在
],0[?
上 可积或绝对可积（这被称为 D i ni 条件 ）,就可以由
R i e ma n n 引理 导出上面的结果。
以下 假设点 x 是
f x( )
的连续点或 第一类不连续点,而上述积分的极限存在与否只 涉及
u
xu ),(
当 u? 0 时的性质,显然，要满足 D i n i
条件 首先必须有
0)](2)()([lim
0
xuxfuxf
u
,
即必须有
2
)()(
)(
xfxf
x?
（显然当
f x( )
在 点 x 连 续 时,有
)()( xfx
）,于是，问题最终转化为研究使得
0
( ) ( ) s i n
l i m ( ) ( ) 2 d 0
2p
f x f x p u
f x u f x u u
u
成立的条件 —— 这是探索 F o u ri er 级数收敛性的一把钥匙。
德国数学家 D i ri ch l e t 在 1 8 2 9 年 —— F o u r i er 级数问世约四分之一个世纪之后，首先得到了一个函数的 Fo u r i er 级数的收敛条件；又过了约半个世纪，另一位德国数学家 L i p s ch i t z 得到了与之不同的 收敛条件 。 他们的结果经后人完善，可以表述为如下定理,
定理 1 6,2,2 设函数
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或绝对可积，且满足下 列 两 个 条 件 之一,则
f x( )
的 F o u r i e r 级数在点 x 处收敛于
2
)()( xfxf
。
⑴ （ D i r i c h l e t - J o r d a n 判别法 ）
f x( )
在 点 x 的某个邻域
),(?xO
上是分段单调有界函 数；
⑵ （ D i n i - L i p s c h i t z 判别法 ）
f x( )
在 点 x 处满足指数为
]1,0(
的
H? l d e r 条件。
所谓的 分段单调函数是这样定义的,
定义 1 6,2,1 设 函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ）上有定义。 如果在 ],[ ba （或
),( ba ）上存在有限个点
10 xxa?2x bx N,
使得 f 在每 个区间 ),(
1 ii xx?
（ Ni,,2,1 ）上是 单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上 分段单调 。
所谓的,H? l d e r 条件”是这样定义的,
定义 1 6,2,2 设点 x 是函数 f x( ) 的连续点或 第一类不连续点，若对于充分小的正数?,存在常数 L? 0 和 ]1,0(,使得成立
Luxfuxf |)()(| )0( u,
则称 f x( ) 在点 x 处满足指数为 ]1,0( 的 H? l d e r 条件 （当 1 也称为
L i p s c h i t z 条件 ）。
所谓的 分段单调函数是这样定义的,
定义 1 6,2,1 设 函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ）上有定义。 如果在 ],[ ba （或
),( ba ）上存在有限个点
10 xxa?2x bx N,
使得 f 在每 个区间 ),(
1 ii xx?
（ Ni,,2,1 ）上是 单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上 分段单调 。
定理 1 6,2,3 （ D i r i c h l e t 引理） 设函数 )( u? 在 ],0[? 上单调，则成立
0
( ) ( 0 )l im sin d 0
p
u p u uu
,
证 不妨设
)( x?
单调增加。 于是对任意给定的 0,存在
),0(
，当
],0(u
时,
)0()(0 u
,
将积分分为两部分,
0
( ) ( 0 )
sin d
u
p u u
u
=
0
( ) ( 0 )
si n d
u
pu u
u
( ) ( 0 )
sin d
u
p u u
u
。
定理 1 6,2,3 （ D i r i c h l e t 引理） 设函数 )( u? 在 ],0[? 上单调，则成立
0
( ) ( 0 )l im sin d 0
p
u p u uu
,
对等式右边的第一项，由积分第二中值定理，存在
],0[
,
0
( ) (0 )
s i n d
u
p u u
u
s i n
[ ( ) (0 ) ] d
pu
u
u
s i n
d
pu
u
u
s in
d
p
p
u
u
u
,
利用含参变量积分中已经得到的结论
0
sin π
d
2
x
x
x
,
可知存在与
p
无关的常数 K,使得
s i n
d
p
p
u
uK
u
,
于是
0
( ) (0 )
s i n d
u
p u u
u
K
。
对等式右边的第二项，由于
u
u )0()( 在 ],[ 上显然是可积或绝对可积的，由 R i em an n 引理，存在常数 0?P,当 Pp? 时，有
s i n
[ ( ) (0 ) ] dpuuu
u
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
注 D i r i c h l e t 引理也经常表达为等价形式
0
sin πl im ( ) d ( 0 )
2p
puuu
u
。
如果 ()u? 是 分段单调有界函数,易知 D i r i c h l e t 引理依然成立。
对等式右边的第二项，由于
u
u )0()( 在 ],[ 上显然是可积或绝对可积的，由 R i em an n 引理，存在常数 0?P,当 Pp? 时，有
s i n
[ ( ) (0 ) ] dpuuu
u
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
定理 1 6,2,2 的证明当
f x( )
满足条件（ 1 ）时,由 D i r i c h l e t 引理,
0
( ) ( )
l im sin d 0
p
f x u f x
p u u
u
,
0
( ) ( )
l im sin d 0
p
f x u f x
p u u
u
,
两式相加，即有
0
( ) ( ) s i n
l i m ( ) ( ) 2 d 0
2p
f x f x p u
f x u f x u u
u
。
当
f x( )
满足条件（ 2 ）时，在
),0(?
上，有
1
|)()(|
u
L
u
xfuxf
（ 10 ）,
所以,
u
xfuxf
u
xfuxf
u
xu )()()()(),(
在
],0[?
可积或绝对可积，由 R i e ma n n 引理,
0
( ) ( ) s i n
l i m ( ) ( ) 2 d 0
2p
f x f x p u
f x u f x u u
u
。
因此无论哪种情况，
f x( )
的 F o u r i e r 级数在点 x 处均收敛于
2
)()( xfxf
。
注 由于“可导”强于,满足 L i p s c h i t z 条件”,且易 于 验证，因此实际中往往使用 如下条件 （ 2 ）的 推论。
推论 1 6,2,3 若
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或绝对可积，在 点 x 处两个单侧导数
)( xf
和
)( xf
都存在，或更进一步，只要 两个拟单侧导数
h
xfhxf
h
)()(
l im
0
存在,则
f x( )
的 F o u r i e r 级数在点 x 处收敛于
2
)()( xfxf
。
D i r i c h l e t - J o r d a n 判别法和 D i n i - L i p s c h i t z 判别法都是 F o u r i e r 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的 （参见本节习题 10 ）。附带指出，直至今天，还没有找到一个 判别 F o u r i e r 级数敛散性的既充分又必要的条件。
D i r i c h l e t - J o r d a n 判别法和 D i n i - L i p s c h i t z 判别法都是 F o u r i e r 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的 （参见本节习题 10 ）。附带指出，直至今天，还没有找到一个 判别 F o u r i e r 级数敛散性的既充分又必要的条件。
定理 16,2,2 告诉我们，若收敛条件满足，则
f x( )
的 F o u r i e r 级数在连续点收敛于函数值本身，而 在 第一类不连续点收敛于它左右极限的算术平均值。
所以，对于连续的周期函数
f x( )
，应将
f x( )
与它的 F o u r i e r 级数间的,~,改为,=,。
如例 1 6,1,2 中
f x( )
的 余弦级数 可以直接写成
2 2 2
π 4 c o s 3 c o s 5 c o s ( 2 1 )
c o s
2 π 3 5 ( 2 1 )
x x k x
x
k
,[ 0,π ]xx
。
若周期函数
f x( )
有第一类不连续点，那么展成 F o u r i e r 级数后，
要对这些点予以特别说明，画图时也要将它们的函数值标为其左右极限的算术平均值。
如例 1 6,1,1,应该写成
f x( ) 1 2 s i n 3 s i n ( 2 1 )
~ s i n
2 π 3 2 1
x k x
x
k
1
2
1,( π,0),
,0,π,
0,( 0,π ).
x
x
x
F o u r i e r 级数的图 像 为图 1 6,2,1 。
y
0
x
图 16.2.1
取
π
2
x?
，得到
π
2
1 2 s in 3 s in 5 s in ( 2 1 ) π
s in 0
2 π 3 5 2 1 2
x
x x k x
xf
k
,
整理后便有熟知的
π 1 1 11 ( 1 )
4 3 5 2 1
k
k
,
这与在
xy a r c ta n?
的幂级数展开中取 x? 1 得到的结果相同。
例 1 6,1,2 中
f x( )
的 正弦级数 应该写成
f x( )
n
nxx
x
n s in
)1(
2
2s in
s in2~
1
,( π,π ),
0,0,π,
xx
x
F o u r i e r 级数的图 像 为图 1 6,2,2 。
注 例 1 6,1,2 中的 余弦级数与正弦级数在
[ 0,π )
上表示的是同一个函数，这正是上一节中指出的结果。
y
0
x
图 16.2.2
例 1 6,1,3 的式子也应写成
f x( )
22
1
1 2 ( 1 )
~ c o s π
6 π
n
n
nx
n
1
32
1
1 ( 1 ) ( 1 ) 1
2 s i n π
π π
nn
n
nx
nn
).1,0(
,1
],0,1(
,
,
,0
2
2
1
x
x
x
x
F o u r i e r 级数的图 像 为图 1 6,2,3 。
在上式中令 x? 1,就可得到
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1 π
1
2 3 4 6n n
。
由它 还可以导出一系列类似级数的和，如
2
2 2 2
1 1 1 π
1
2 3 4 1 2
,
2
2 2 2
1 1 1 π
1
3 5 7 8
。
y
- 1 0 1 x
图 1 6,2,3
这些等式可以应用于某些计算问题，如
1
0
l n ( 1 )
d
x
x
x
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
1
1
0
2
n
n
n
x 2
2
1
1 π
6n n
。
由这些等式出发还可以获得一些有趣的结果，如对于 c o s x 的全部零点
π
2
，
3 π
2
,?，
( 2 1 ) π
2
k?
,?,有
1
2 1
2
2
1 [ ]
( )k
k
1
2 1
2
2
1 [ ]
( )k
k
2
2 2 2
1
4 1 4 π
2 2 1
π ( 2 1 ) π 8k k
,
即 c o s x 全部零点的倒数的平方和恰为 1 ！
