含参变量反常积分的一致收敛含参变量的反常积分也有两种,无穷区间上的含参变量反常积分和 无界函数的含参变量反常积分 。
设二元函数
),( yxf
定义在
],[),[ dca
上，若对某个
],[0 dcy?
，反常积分
0(,) d
a
f x y x
收敛，则称含参变量反常积分
0(,) d
a
f x y x
在
0y
处收敛，并称
0y
为它的 收敛点 。记 E 为所有收敛点组成的点集，则 E
就是函数
( ) (,) d
a
I y f x y x
的定义域，也称为
(,)d
a
f x y x
的 收敛域 。
§ 2 含参变量的反常积分为讨论
)( yI
的连续性、可微性和可积性,引进一致收敛的概念。
定义 1 5,2,1 设二元函数
),( yxf
定义在
],[),[ dca
上,且对任意的
],[ dcy?
，反常积分
( ) (,) d
a
I y f x y x
存在。如果对于任意给定的的
0
，存在与
y
无关的正数
0A
，使 得当
0AA?
时,对于所有的
],[ dcy?
,成立
(,) d ( )
A
a
f x y x I y
,
即
(,) d
A
f x y x?
,
则称
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 （ 于
)( yI
）。 在参变量明确时，
也常简称
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上一致收敛 。
对
(,) d
a
f x y x
与
(,) df x y x
可同样定义 关于
y
的 一致收敛概念。
例 1 5,2,1 含参变量
的反常积分
0
ed
x
x
关于
在
),[ 0
上一致收敛（
00
），但在
),0(
上不一致收敛。
解 先说明
0
ed
x
x
在
),[ 0
上一致收敛。由于当
0
时,
0
0
1 1 1
0 e d e d e e
xt
Ax t A
AA
xt
令
,
而
0e
1
lim 0
0
A
A
,
所以对于任意给定的
0
，存在正数
0A
，使得当
0AA?
时，
0
0
1
e
A?
。
这时成立
ed
x
A
x
0
0
1
e
A?
,
这说明
0
ed
x
x
在
),[ 0
上 一致收敛。
再说明
0
ed x x
在 ),0( 上不一致收敛。对于任意取定的正数
A,由于
1e d exA
A
x
,
而
A?
e1l i m
0
，所以必存在某个 ),0()(A?,使得
()e d 1Ax
A
x
。
因此
0
ed x x
在 ),0( 上不一致收敛。
对于无界函数的含参变量反常积分，同样也有一致收敛的概念,
定义 1 5,2,1 ' 设二元函数
),( yxf
定义在
],[),[ dcba?
上，且对任意的
],[ dcy?
，以
b
为奇点的反常积分
( ) (,) d
b
a
I y f x y x
存在。如果对于任意
0
，存在与
y
无关的
0
，使得当
0
时，
对所有
],[ dcy?
成立
(,) d ( )
b
a
f x y x I y
,
即
(,) d
b
b
f x y x
,
则称
(,)d
b
a
f x y x?
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 （ 于
)( yI
） 。在参变量明确时，
也常简称
(,)d
b
a
f x y x?
在
],[ dc
上一致收敛 。
一致收敛的判别法下面仅以
(,)d
a
f x y x
为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 1 5,2,1（ C a uch y 收敛原理） 含参变量反常积分
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
,使得对于任意的
0,AAA
,成立
(,) d
A
A
f x y x?
，
],[ dcy?
。
由 Cauc h y 收敛原理立即得知,
推论 1 5,2,1 若存在 0
0
，使得对于任意大的 正数
0A
，总存在
0,AAA
及
],[0 dcy A?
，使得
0 0
(,) dA A
A
f x y x
,
那么含参变量反常积分
(,) da f x y x
在 ],[ dc 上非一致收敛。
一致收敛的判别法下面仅以
(,)d
a
f x y x
为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 1 5,2,1（ C a uch y 收敛原理） 含参变量反常积分
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
,使得对于任意的
0,AAA
,成立
(,) d
A
A
f x y x?
，
],[ dcy?
。
定理 1 5,2,2 （ W e i er s tr a s s 判别法） 如果存在函数 )( xF 使得
（ 1 ） dycxaxFyxf,),(|),(|,
（ 2 ） 反常积分
( ) da F x x
收敛 。
那么含参变量的反常积分
(,)da f x y x
在 ],[ dc 上 一致收敛 。
证 因为
( ) d
a
F x x
收敛，由反常积分的 C au c h y 收敛原理，对于任意给定的 0,存在正数
0A
，使得对于任意的
0,AAA
，成立
( ) d
A
A
F x x?
。
因此当
0,AAA
时，对于任意
],[ dcy?
，不等式
(,) d ( ) d
AA
AA
f x y x F x x?
成立，由定理 1 5,2,1,
( ) d
a
F x x
在
],[ dc
上一致收敛。
定理 1 5,2,2 （ W e i er s tr a s s 判别法） 如果存在函数 )( xF 使得
（ 1 ） dycxaxFyxf,),(|),(|,
（ 2 ） 反常积分
( ) da F x x
收敛 。
那么含参变量的反常积分
(,)da f x y x
在 ],[ dc 上 一致收敛 。
例 1 5,2,2 证明
20
e d
1
x
x
x
关于? 在 ),0[ 上一致收敛。
解 由于
0,0,
1
1
1
e0
22 xxx
x,
而
20
1 πd
12
x
x
收敛，由 W ei er s t r as s 判别法，
20
e d
1
x
x
x
在 ),0[ 上一致收敛。
定理 1 5,2,3 设函数
),( yxf
和
),( yxg
满足以下两组条件之一,则含参变量的反常积分
(,) (,) d
a
f x y g x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 。
1,（ A b el 判别法）
（ 1 ）
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 ；
（ 2 ）
),( yxg
关于 x 单调,即对每个固定的
],[ dcy?
，
g
关于 x 是单调函数 ；
（ 3 ）
),( yxg
一致有界,即存在正数 L,使得
dycxaLyxg,,|),(|
。
2,（ D i r i ch l et 判别法 ）
（ 1 ）
(,) d
A
a
f x y x?
一致有界,即存在正数 L,使得
(,) d
A
a
f x y x L
, Aa,
],[ dcy?；
（ 2 ）
),( yxg
关于 x 单调,即对每个固定的
],[ dcy?
，
g
关于 x 是单调函数；
（ 3 ） 当x 时
),( yxg
关于
y
在
],[ dc
上 一致趋于零,即对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
,使得当
0Ax?
时,对于任意
],[ dcy?
成立
|),(| yxg
。
证 我们只证明 A b e l 判别法,D i r i c h l e t 判别法的证明类似 。
由于
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，由 Cau c h y 收敛原理，对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
，使得当
0,AAA
时,
(,) d
A
A
f x y x?
。
那么当
0,AAA
时，对于任意
],[ dcy?
，由积分第二中值定理,
(,) (,) d (,) (,) d (,) (,) d
(,) (,) d (,) (,) d 2,
AA
AA
A
A
f x y g x y x g A y f x y x g A y f x y x
g A y f x y x g A y f x y x L
其中
在 A 与 A? 之间。于是由定理 1 5,2,1,
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛。
关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性，同样有 Cauc h y
收敛原理,W ei er s t r as s 判别法,A b el 判别法和 D i r i c h l et 判别法。
证 我们只证明 A b e l 判别法,D i r i c h l e t 判别法的证明类似 。
由于
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，由 Cau c h y 收敛原理，对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
，使得当
0,AAA
时,
(,) d
A
A
f x y x?
。
那么当
0,AAA
时，对于任意
],[ dcy?
，由积分第二中值定理,
(,) (,) d (,) (,) d (,) (,) d
(,) (,) d (,) (,) d 2,
AA
AA
A
A
f x y g x y x g A y f x y x g A y f x y x
g A y f x y x g A y f x y x L
其中
在 A 与 A? 之间。于是由定理 1 5,2,1,
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛。
例 1 5,2,3 证明含参变量反常积分
0
s i ned x x x
x
关于? 在
),0[
上一致收敛。
证 因为
0
sin dx x
x
收敛，它当然关于? 一致收敛。 显然 xe 关于 x
单调，且
xx 0,0,1e0,
即 xe 一致有界。由 A b el 判别法，
0
s i ned x x x
x
在
),0[
上一致收敛。
例 1 5,2,4 证明
0
sin
d
xy
x
x
关于
y
在
),[ 0y
（
00?y
）上一致收敛，
但在
),0(
上非一致收敛。
证 先证明
0
sin
d
xy
x
x
在
),[ 0y
（
00?y
）上一致收敛。由于
0
0
1 c o s ( ) 2 2
s i n d
A Ay
x y x
y y y
,0?A,
0,yy?
因此它在
),[ 0y
一致有界。
x
1
是关于 x 的单调减少函数，且
0
1
l i m?
xx
，
由于
x
1
与
y
无关，因此这个极限关于
y
在
),[ 0y
上是一致的。于是由
D i ri c h l et 判别法，
0
sin
d
xy
x
x
在
),[ 0y
上一致收敛。
再证明
0
sin
d
xy
x
x
在
),0(
上非一致收敛。对于任意正整数 n,取
n
y n
1
，这时
3 3 3
π π π
2 2 2
π π π
s i n
s i n 12
d d s i n d
3 3 π
π
2
n n n
n
n n n
x
xy x
n
x x x
x x n
n
。
因此，只要取
0
2
3 π
，则对于 任意大的 正数
0A
，总存在正整数 n 满足
0πnA?
，及
n
y n
1 ),0(
，使得 3
π
2
0
π
s i n 2
d
3 π
n
n
n
xy
x
x
。由 Cau ch y 收敛原理的推论 1 5,2,1,
0
sin
d
xy
x
x
关于
y
在
),0(
上非一致收敛。
例 1 5,2,5 证明 2
0
c o s
d
p
x
x
x
关于
p
在
)1,1(?
上内闭一致收敛。
证 注意到被积函数
p
x
x
2
c o s
在
0?x
附近无界，将 2
0
c o s
d
p
x
x
x
写为
2 2 2
1
12
0 0 1
c o s c o s c o s
d d d
p p p
x x x
x x x I I
x x x
,
现证对于任意的
)1,1(],[ 10pp
,2
1
1
0
c os
d
p
x
Ix
x
与 2
2
1
c os
d
p
x
Ix
x
在
],[ 10 pp
上都一致收敛。
先看 2
1
1
0
c os
d
p
x
Ix
x
，这是一个含参变量的无界函数的反常积分。
显然
1
11c o s
2
ppp
xxx
x
，
10 x
，
10 ppp
,
由于
11?p
，因此
1
1
0
d
p
x
x
收敛。于是由 W ei ers t ra s s 判别法,2
1
1
0
c os
d
p
x
Ix
x
在
],[ 10 pp
上一致收敛。
再看 2
2
1
c os
d
p
x
Ix
x
。作变换 2xt?,得到
2
1
11 ( 1 )
2
c o s 1 c o s
dd
2
p
p
xt
xt
x
t
。
由于
1
c os d si n si n 1 2
A
t t A
, A1,
即
1
c o s d
A
tt?
一致有界。而对于每个
],[ 10 ppp?
，函数
)1(
2
1
1
p
t
关于 t 单调减少，且成立
)1(
2
1
)1(
2
1
0
11
pp
tt
, t1,
10 ppp
,
因此当t 时，
)1(
2
1
1
p
t
关于
p
在
],[ 10 pp
上一致趋于零。于是由 D i ri c h l et
判别法，
11
( 1 )
2
c o s
d
p
t
t
t
在
],[ 10 pp
上一致收敛，所以 2
2 1
c os
dp
x
Ix
x
在
],[ 10 pp
上一致收敛。
综上所述,2
0
c o s
dp
x
x
x
在
)1,1(?
上内闭一致收敛。
定理 1 5,2,4 （ D i n i 定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca 上连续且保持定号,如果含参变量积分
( ) (,) d
a
I y f x y x
在 ],[ dc 上连续,那么含参变量积分
(,) d
a
f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 。
证 用反证法。不妨设
0),(?yxf
。若
(,)d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 不一致收敛，那么存在某个正数
0?
，对于任何正整数
an?
，总存在
],[ dcy n?
，使得
0
(,) d
n
n
f x y x?
。
由于有界数列
}{ ny
必有收敛 子列，不妨就设
}{ ny
收敛，并记
],[l i m0 dcyy n
n
。
由于反常积分
0
(,) d
a
f x y x
收敛，所以必存在 A （
a?
），使得
0
0
(,) d
2A
f x y x
。
并且由
0),(?yxf
，可知当
An?
时,
0
(,) d (,) d
nn
An
f x y x f x y x?
。
由于
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上连续，而且由常义含参变量积分的连续性定理，
(,) d
A
a
f x y x?
在
],[ dc
上也连续，因此从
(,) d (,) d (,) d
A
A a a
f x y x f x y x f x y x
可知
(,) d
A
f x y x
在
],[ dc
上连续。于是由
0l i m yy nn
可推出
0
0l im (,) d (,) d 2nAA
n
f x y x f x y x
,
这与
0(,) dnA f x y x?
（ An? ）矛盾。因此
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛。
一致收敛积分的分析性质现在讨论含参变量反常积分的 分析性质,即连续性、可微性和可积性。
设反常积分
(,) d
a
f x y x
对于每个
],[ dcy?
都收敛，这样就定义了函数
( ) (,) d
a
I y f x y x
，
],[ dcy?
。
任 取 一 列 严 格 单 调 增 加 的 数 列
}{ na
,它 满 足
aa?0
以及
na )(n
。令
1
( ) (,) d
n
n
a
n
a
u y f x y x
，
,2,1?n
,
那么
1
11
(,)d (,)d ( )
n
n
a
n
aa
nn
f x y x f x y x u y
。
利用 Ca u ch y 收敛原理容易证明如下的引理,
引理 1 5,2,1 若含参变量反常积分
(,) da f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛，则函数项级数
1
)(
n
n yu
在 ],[ dc 上一致收敛。
定理 1 5,2,5 （连续性定理） 设
),( yxf
在
],[),[ dca
上连续,
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛,则函数
( ) (,) d
a
I y f x y x
在
],[ dc
上连续,即
00
l i m (,) d l i m (,) d
aay y y y
f x y x f x y x
,
],[0 dcy?
。
也就是说,极限运算与积分运算可以交换 。
证 因为
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，由 引理 1 5,2,1,
1
)(
n
n yu
在
],[ dc
上 一致收敛。由于
),( yxf
在
],[],[ 1 dcaa nn
上连续，由常义含参变量积分的连续性定理,
1
( ) (,) d
n
n
a
n au y f x y x
连续（
,2,1?n
）。根据一致收敛级数的性质，可知和函数
1
( ) (,)d ( )n
a
n
I y f x y x u y
连续。
注意,D i n i 定理并不是这个定理的逆定理。 D i n i 定理只说明了在
),( yxf 保持定号的情况下，由 ( ) (,)d
aI y f x y x
的连续性可以推出
(,)da f x y x 的一致收敛。可以举例说明：去掉“保持定号”条件可能导致结论不成立。
定理 1 5,2,6 （积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca 上连续,
(,)da f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛,则
d (,) d d (,) dddc a a cy f x y x x f x y y
,
即 积分次序可交换 。
证 由 引理 1 5,2,1,可知
1
)(
n
n yu
在
],[ dc
上 一致收敛。根据一致收敛级数的和号与积分号可以交换的结论,
1
d (,) d ( ) d
dd
n
c a c
n
y f x y x u y y
111 1 1
( )d (,)d d d (,)d
nn
nn
d d a d a
n
c c a c a
n n n
u y y f x y x y y f x y x
1 01
d (,)d d (,)d
n
n
a d d
a c c
n
x f x y y x f x y y
。
其中第二行到第三行的推导是利用了常义含参变量积分的积分次序可交换定理。
定理 1 5,2,6 （积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca 上连续,
(,)da f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛,则
d (,) d d (,) dddc a a cy f x y x x f x y y
,
即 积分次序可交换 。
当
],[ dc
也改为无穷区间
),[c
时，本定理的条件就不足以保证积分次序可交换，但有下面的结论,
定理 1 5,2,6 ' 设
),( yxf
在
),[),[ ca
上连续,且
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ Cc
上 一致收敛 （ Cc ），
(,)d
c
f x y y
关于 x 在
],[ Aa
上 一致 收 敛 （ Aa ）。 进 一 步 假 设
d | (,) |d
ac
x f x y y
和
d | (,) |d
ca
y f x y x
中有一个存在,那么
d (,) d d (,) d
c a a c
y f x y x x f x y y
。
证明从略。
定理 1 5,2,7 （ 积 分 号 下 求 导 定 理 ） 设
),(),,( yxfyxf y
都在
],[),[ dca
上连续，且
(,)d
a
f x y x
对于每个
y ],[ dc
收敛。进一步假设
(,)dy
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛。则
)( yI (,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上可导，并且在
],[ dc
上成立
( ) (,) dy
a
I y f x y x
,
即
d
(,)d (,)d
d aa
f x y x f x y x
yy
,
也就是说，求导运算与积分运算可交换 。
证 记
( ) (,) dy
a
y f x y x?
，由于
(,)dy
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，可知
)( y?
在
],[ dc
上连续。于是对于
],[ dcy?
，由定理 1 5,2,6,
( ) d d (,) d d (,) d
[ (,) (,) ] d (,) d (,) d
y y y
zz
c c a a c
a a a
z z z f x z x x f x z z
f x y f x c x f x y x f x c x
( ) ( )I y I c
。
由于
)( y?
在
],[ dc
上连续，所以函数
( ) d
y
c
zz
可导，从而
)( yI
可导。两边求导就得到
( ) ( ) (,) dy
a
I y y f x y x?
。
例 1 5,2,6 确定函数 3
0
l n ( 1 )
( ) d
x
Ix
x?
的连续范围。
解 注意到 0?x 可能为奇点（ 0 时显然积分发散），将积分写为
33
1
1201
l n ( 1 ) l n ( 1 )
( ) d d ( ) ( )
xx
I x x I I
xx
。
因为当 0x 时
x
x )1l n ( 3
3
1
x
，所以只有当 13 即 4 时
)(1?I
才收敛；而显然只有当 1 时
)(2?I
才收敛。所以
)(?I
的定义域为
)4,1(
。
现在说明
)(?I
在其定义域
)4,1(
上连续。为此只要说明在任意闭区间
)4,1(],[?ba
上
)(?I
连续 即可。
对任意闭区间
)4,1(],[?ba
，由于
bx
x
x
x
x
x )1ln ()1ln ()1ln ( 333?
，
bax,10 4?
,
且 3
1
0
l n ( 1 )
db
x
x
x
收敛，由 W ei er s t r as s 判别法，
)(1?I
= 3
1
0
l n ( 1 )
d
x
x
x?
在
],[ ba
上一致收敛。由被积函数
x
x )1l n ( 3? 在 ],[]1,0( ba? 上的连续性，可知 )(1?I
在
],[ ba
上连续。
又由于
ax
x
x
x
x
x )1ln ()1ln ()1ln ( 333?
，
bax1,
,
且 3
1
l n( 1 )
d
a
x
x
x
收敛，由 W ei ers t ras s 判别法,3
2 1
l n ( 1 )
( ) d
x
Ix
x?
在
],[ ba
上一致收敛。由被积函数
x
x )1l n ( 3? 在 ],[),1[ ba 上的连续性，可知
)(2?I
在
],[ ba
上连续。
综上所述，
)()()( 21 III
在其定义域
)4,1(
上连续。
例 1 5,2,7 计算 D i r i chl et 积分
0
sin
d
x
Ix
x
。
解 考虑含参变量反常积分
0
s in
( ) e d
x x
Ix
x
，
0
。
（这里引进了 收敛因子 x
e
，这是改善被积函数收敛性质的一种常用方法）。记
.0,1
,0,
s i n
e
),(
x
x
x
x
xf
x?
显然
),(?xf
与
xxf x s i ne),(
都在
),0[),0[
上连续。
由例 1 5,2.3 知道，
0
s i n
ed
x x
x
x
关于
在
),0[
上一致收敛，因此
)(?I
在
),0[
上连续，从而
)(l i m)0(
0
III
。
为了找出
)(?I
，利用积分号下求导的方法。考虑
00
(,) d e s i n dxf x x x x
。
对于任意
00
，由于
xx x 0e|s i ne|
（ x0,
0
），且
0
0
ed x x?
收敛，由 W ei er s t ra s s 判别法，
00
(,) d e s i n dxf x x x x
在
),[ 0
上一致收敛。由定理 1 5,2,7,
22
0
0
e ( s i n c o s ) 1
( ) e s i n d
11
x
x xx
I x x
。
由
0?
的任意性，可知上式在
),0(
上成立。对上式积分，得到
CI a r c t a n)(
。
现在确定常数 C 。由于在
),0(
上
00
s i n 1
| ( ) | e d e dxx
x
I x x
x
,
因此
0)(lim?
I
，所以
π
2
C?
，从而
π
( ) a rc t a n
2
I
。于是,
0
sin
d
x
x
x
00
π π
(0 ) l i m ( ) l i m a r c t a n
22
II
。
从这个结果可推出一个有趣的结论,
0
2 s in
s g n ( ) d
π
xt
xt
t
。
例 1 5,2,8 计算
2
0
( ) e c o s 2 d
t
I x x t t
。
解 记
2
(,) e c o s 2tf x t x t
，则
2
(,) 2 e s i n 2txf x t t x t
。这时有
22
e|2s i ne2||),(| ttx txtttxf
，
tx 0,
。
由于反常积分
2
0
ed
t
tt
收敛，由 W ei ers t ra s s 判别法,
2
00
(,) d 2 e s i n 2 d
t
x
f x t t t x t t
关于
x
在
),(
上一致收敛。应用积分号下求导定理，得到
2 2 2
00 0
( ) 2 e s i n 2 d e s i n 2 2 e c o s 2 d 2 ( )
t t t
I x t x t t x t x x t t x I x
。
将这个式子写成
x
xI
xI
2
)(
)(
，再对等式两边积分，得到
2
( ) e xI x C
。
由于
2
0
π
(0 ) e d
2
t
It
，因此
π
2
C?
。于是
2π
( ) e
2
x
Ix
,
x
。
例 1 5,2,9 计算
20
c o s c o s
d
a x b x
Ix
x
,
0 ab
。
解 由于
c os c os
sin d
b
a
ax bx
x y y
x
,
所以
0
sin
dd
b
a
xy
I x y
x
。
由例 1 5,2,4 知道含参变量反常积分
0
sin
d
xy
x
x
在
],[ ba
上一致收敛，并注意到
0
si n π
d
2
xy
x
x
（
0?y
），就得到
00
sin sin π π
d d d d d ( )
22
b b b
a a a
x y x y
I x y y x y b a
xx
。
设二元函数
),( yxf
定义在
],[),[ dca
上，若对某个
],[0 dcy?
，反常积分
0(,) d
a
f x y x
收敛，则称含参变量反常积分
0(,) d
a
f x y x
在
0y
处收敛，并称
0y
为它的 收敛点 。记 E 为所有收敛点组成的点集，则 E
就是函数
( ) (,) d
a
I y f x y x
的定义域，也称为
(,)d
a
f x y x
的 收敛域 。
§ 2 含参变量的反常积分为讨论
)( yI
的连续性、可微性和可积性,引进一致收敛的概念。
定义 1 5,2,1 设二元函数
),( yxf
定义在
],[),[ dca
上,且对任意的
],[ dcy?
，反常积分
( ) (,) d
a
I y f x y x
存在。如果对于任意给定的的
0
，存在与
y
无关的正数
0A
，使 得当
0AA?
时,对于所有的
],[ dcy?
,成立
(,) d ( )
A
a
f x y x I y
,
即
(,) d
A
f x y x?
,
则称
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 （ 于
)( yI
）。 在参变量明确时，
也常简称
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上一致收敛 。
对
(,) d
a
f x y x
与
(,) df x y x
可同样定义 关于
y
的 一致收敛概念。
例 1 5,2,1 含参变量
的反常积分
0
ed
x
x
关于
在
),[ 0
上一致收敛（
00
），但在
),0(
上不一致收敛。
解 先说明
0
ed
x
x
在
),[ 0
上一致收敛。由于当
0
时,
0
0
1 1 1
0 e d e d e e
xt
Ax t A
AA
xt
令
,
而
0e
1
lim 0
0
A
A
,
所以对于任意给定的
0
，存在正数
0A
，使得当
0AA?
时，
0
0
1
e
A?
。
这时成立
ed
x
A
x
0
0
1
e
A?
,
这说明
0
ed
x
x
在
),[ 0
上 一致收敛。
再说明
0
ed x x
在 ),0( 上不一致收敛。对于任意取定的正数
A,由于
1e d exA
A
x
,
而
A?
e1l i m
0
，所以必存在某个 ),0()(A?,使得
()e d 1Ax
A
x
。
因此
0
ed x x
在 ),0( 上不一致收敛。
对于无界函数的含参变量反常积分，同样也有一致收敛的概念,
定义 1 5,2,1 ' 设二元函数
),( yxf
定义在
],[),[ dcba?
上，且对任意的
],[ dcy?
，以
b
为奇点的反常积分
( ) (,) d
b
a
I y f x y x
存在。如果对于任意
0
，存在与
y
无关的
0
，使得当
0
时，
对所有
],[ dcy?
成立
(,) d ( )
b
a
f x y x I y
,
即
(,) d
b
b
f x y x
,
则称
(,)d
b
a
f x y x?
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 （ 于
)( yI
） 。在参变量明确时，
也常简称
(,)d
b
a
f x y x?
在
],[ dc
上一致收敛 。
一致收敛的判别法下面仅以
(,)d
a
f x y x
为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 1 5,2,1（ C a uch y 收敛原理） 含参变量反常积分
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
,使得对于任意的
0,AAA
,成立
(,) d
A
A
f x y x?
，
],[ dcy?
。
由 Cauc h y 收敛原理立即得知,
推论 1 5,2,1 若存在 0
0
，使得对于任意大的 正数
0A
，总存在
0,AAA
及
],[0 dcy A?
，使得
0 0
(,) dA A
A
f x y x
,
那么含参变量反常积分
(,) da f x y x
在 ],[ dc 上非一致收敛。
一致收敛的判别法下面仅以
(,)d
a
f x y x
为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 1 5,2,1（ C a uch y 收敛原理） 含参变量反常积分
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
,使得对于任意的
0,AAA
,成立
(,) d
A
A
f x y x?
，
],[ dcy?
。
定理 1 5,2,2 （ W e i er s tr a s s 判别法） 如果存在函数 )( xF 使得
（ 1 ） dycxaxFyxf,),(|),(|,
（ 2 ） 反常积分
( ) da F x x
收敛 。
那么含参变量的反常积分
(,)da f x y x
在 ],[ dc 上 一致收敛 。
证 因为
( ) d
a
F x x
收敛，由反常积分的 C au c h y 收敛原理，对于任意给定的 0,存在正数
0A
，使得对于任意的
0,AAA
，成立
( ) d
A
A
F x x?
。
因此当
0,AAA
时，对于任意
],[ dcy?
，不等式
(,) d ( ) d
AA
AA
f x y x F x x?
成立，由定理 1 5,2,1,
( ) d
a
F x x
在
],[ dc
上一致收敛。
定理 1 5,2,2 （ W e i er s tr a s s 判别法） 如果存在函数 )( xF 使得
（ 1 ） dycxaxFyxf,),(|),(|,
（ 2 ） 反常积分
( ) da F x x
收敛 。
那么含参变量的反常积分
(,)da f x y x
在 ],[ dc 上 一致收敛 。
例 1 5,2,2 证明
20
e d
1
x
x
x
关于? 在 ),0[ 上一致收敛。
解 由于
0,0,
1
1
1
e0
22 xxx
x,
而
20
1 πd
12
x
x
收敛，由 W ei er s t r as s 判别法，
20
e d
1
x
x
x
在 ),0[ 上一致收敛。
定理 1 5,2,3 设函数
),( yxf
和
),( yxg
满足以下两组条件之一,则含参变量的反常积分
(,) (,) d
a
f x y g x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 。
1,（ A b el 判别法）
（ 1 ）
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛 ；
（ 2 ）
),( yxg
关于 x 单调,即对每个固定的
],[ dcy?
，
g
关于 x 是单调函数 ；
（ 3 ）
),( yxg
一致有界,即存在正数 L,使得
dycxaLyxg,,|),(|
。
2,（ D i r i ch l et 判别法 ）
（ 1 ）
(,) d
A
a
f x y x?
一致有界,即存在正数 L,使得
(,) d
A
a
f x y x L
, Aa,
],[ dcy?；
（ 2 ）
),( yxg
关于 x 单调,即对每个固定的
],[ dcy?
，
g
关于 x 是单调函数；
（ 3 ） 当x 时
),( yxg
关于
y
在
],[ dc
上 一致趋于零,即对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
,使得当
0Ax?
时,对于任意
],[ dcy?
成立
|),(| yxg
。
证 我们只证明 A b e l 判别法,D i r i c h l e t 判别法的证明类似 。
由于
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，由 Cau c h y 收敛原理，对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
，使得当
0,AAA
时,
(,) d
A
A
f x y x?
。
那么当
0,AAA
时，对于任意
],[ dcy?
，由积分第二中值定理,
(,) (,) d (,) (,) d (,) (,) d
(,) (,) d (,) (,) d 2,
AA
AA
A
A
f x y g x y x g A y f x y x g A y f x y x
g A y f x y x g A y f x y x L
其中
在 A 与 A? 之间。于是由定理 1 5,2,1,
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛。
关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性，同样有 Cauc h y
收敛原理,W ei er s t r as s 判别法,A b el 判别法和 D i r i c h l et 判别法。
证 我们只证明 A b e l 判别法,D i r i c h l e t 判别法的证明类似 。
由于
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，由 Cau c h y 收敛原理，对于任意给定的 0,存在与
y
无关的正数
0A
，使得当
0,AAA
时,
(,) d
A
A
f x y x?
。
那么当
0,AAA
时，对于任意
],[ dcy?
，由积分第二中值定理,
(,) (,) d (,) (,) d (,) (,) d
(,) (,) d (,) (,) d 2,
AA
AA
A
A
f x y g x y x g A y f x y x g A y f x y x
g A y f x y x g A y f x y x L
其中
在 A 与 A? 之间。于是由定理 1 5,2,1,
(,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛。
例 1 5,2,3 证明含参变量反常积分
0
s i ned x x x
x
关于? 在
),0[
上一致收敛。
证 因为
0
sin dx x
x
收敛，它当然关于? 一致收敛。 显然 xe 关于 x
单调，且
xx 0,0,1e0,
即 xe 一致有界。由 A b el 判别法，
0
s i ned x x x
x
在
),0[
上一致收敛。
例 1 5,2,4 证明
0
sin
d
xy
x
x
关于
y
在
),[ 0y
（
00?y
）上一致收敛，
但在
),0(
上非一致收敛。
证 先证明
0
sin
d
xy
x
x
在
),[ 0y
（
00?y
）上一致收敛。由于
0
0
1 c o s ( ) 2 2
s i n d
A Ay
x y x
y y y
,0?A,
0,yy?
因此它在
),[ 0y
一致有界。
x
1
是关于 x 的单调减少函数，且
0
1
l i m?
xx
，
由于
x
1
与
y
无关，因此这个极限关于
y
在
),[ 0y
上是一致的。于是由
D i ri c h l et 判别法，
0
sin
d
xy
x
x
在
),[ 0y
上一致收敛。
再证明
0
sin
d
xy
x
x
在
),0(
上非一致收敛。对于任意正整数 n,取
n
y n
1
，这时
3 3 3
π π π
2 2 2
π π π
s i n
s i n 12
d d s i n d
3 3 π
π
2
n n n
n
n n n
x
xy x
n
x x x
x x n
n
。
因此，只要取
0
2
3 π
，则对于 任意大的 正数
0A
，总存在正整数 n 满足
0πnA?
，及
n
y n
1 ),0(
，使得 3
π
2
0
π
s i n 2
d
3 π
n
n
n
xy
x
x
。由 Cau ch y 收敛原理的推论 1 5,2,1,
0
sin
d
xy
x
x
关于
y
在
),0(
上非一致收敛。
例 1 5,2,5 证明 2
0
c o s
d
p
x
x
x
关于
p
在
)1,1(?
上内闭一致收敛。
证 注意到被积函数
p
x
x
2
c o s
在
0?x
附近无界，将 2
0
c o s
d
p
x
x
x
写为
2 2 2
1
12
0 0 1
c o s c o s c o s
d d d
p p p
x x x
x x x I I
x x x
,
现证对于任意的
)1,1(],[ 10pp
,2
1
1
0
c os
d
p
x
Ix
x
与 2
2
1
c os
d
p
x
Ix
x
在
],[ 10 pp
上都一致收敛。
先看 2
1
1
0
c os
d
p
x
Ix
x
，这是一个含参变量的无界函数的反常积分。
显然
1
11c o s
2
ppp
xxx
x
，
10 x
，
10 ppp
,
由于
11?p
，因此
1
1
0
d
p
x
x
收敛。于是由 W ei ers t ra s s 判别法,2
1
1
0
c os
d
p
x
Ix
x
在
],[ 10 pp
上一致收敛。
再看 2
2
1
c os
d
p
x
Ix
x
。作变换 2xt?,得到
2
1
11 ( 1 )
2
c o s 1 c o s
dd
2
p
p
xt
xt
x
t
。
由于
1
c os d si n si n 1 2
A
t t A
, A1,
即
1
c o s d
A
tt?
一致有界。而对于每个
],[ 10 ppp?
，函数
)1(
2
1
1
p
t
关于 t 单调减少，且成立
)1(
2
1
)1(
2
1
0
11
pp
tt
, t1,
10 ppp
,
因此当t 时，
)1(
2
1
1
p
t
关于
p
在
],[ 10 pp
上一致趋于零。于是由 D i ri c h l et
判别法，
11
( 1 )
2
c o s
d
p
t
t
t
在
],[ 10 pp
上一致收敛，所以 2
2 1
c os
dp
x
Ix
x
在
],[ 10 pp
上一致收敛。
综上所述,2
0
c o s
dp
x
x
x
在
)1,1(?
上内闭一致收敛。
定理 1 5,2,4 （ D i n i 定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca 上连续且保持定号,如果含参变量积分
( ) (,) d
a
I y f x y x
在 ],[ dc 上连续,那么含参变量积分
(,) d
a
f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 。
证 用反证法。不妨设
0),(?yxf
。若
(,)d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 不一致收敛，那么存在某个正数
0?
，对于任何正整数
an?
，总存在
],[ dcy n?
，使得
0
(,) d
n
n
f x y x?
。
由于有界数列
}{ ny
必有收敛 子列，不妨就设
}{ ny
收敛，并记
],[l i m0 dcyy n
n
。
由于反常积分
0
(,) d
a
f x y x
收敛，所以必存在 A （
a?
），使得
0
0
(,) d
2A
f x y x
。
并且由
0),(?yxf
，可知当
An?
时,
0
(,) d (,) d
nn
An
f x y x f x y x?
。
由于
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上连续，而且由常义含参变量积分的连续性定理，
(,) d
A
a
f x y x?
在
],[ dc
上也连续，因此从
(,) d (,) d (,) d
A
A a a
f x y x f x y x f x y x
可知
(,) d
A
f x y x
在
],[ dc
上连续。于是由
0l i m yy nn
可推出
0
0l im (,) d (,) d 2nAA
n
f x y x f x y x
,
这与
0(,) dnA f x y x?
（ An? ）矛盾。因此
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛。
一致收敛积分的分析性质现在讨论含参变量反常积分的 分析性质,即连续性、可微性和可积性。
设反常积分
(,) d
a
f x y x
对于每个
],[ dcy?
都收敛，这样就定义了函数
( ) (,) d
a
I y f x y x
，
],[ dcy?
。
任 取 一 列 严 格 单 调 增 加 的 数 列
}{ na
,它 满 足
aa?0
以及
na )(n
。令
1
( ) (,) d
n
n
a
n
a
u y f x y x
，
,2,1?n
,
那么
1
11
(,)d (,)d ( )
n
n
a
n
aa
nn
f x y x f x y x u y
。
利用 Ca u ch y 收敛原理容易证明如下的引理,
引理 1 5,2,1 若含参变量反常积分
(,) da f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛，则函数项级数
1
)(
n
n yu
在 ],[ dc 上一致收敛。
定理 1 5,2,5 （连续性定理） 设
),( yxf
在
],[),[ dca
上连续,
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛,则函数
( ) (,) d
a
I y f x y x
在
],[ dc
上连续,即
00
l i m (,) d l i m (,) d
aay y y y
f x y x f x y x
,
],[0 dcy?
。
也就是说,极限运算与积分运算可以交换 。
证 因为
(,)d
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，由 引理 1 5,2,1,
1
)(
n
n yu
在
],[ dc
上 一致收敛。由于
),( yxf
在
],[],[ 1 dcaa nn
上连续，由常义含参变量积分的连续性定理,
1
( ) (,) d
n
n
a
n au y f x y x
连续（
,2,1?n
）。根据一致收敛级数的性质，可知和函数
1
( ) (,)d ( )n
a
n
I y f x y x u y
连续。
注意,D i n i 定理并不是这个定理的逆定理。 D i n i 定理只说明了在
),( yxf 保持定号的情况下，由 ( ) (,)d
aI y f x y x
的连续性可以推出
(,)da f x y x 的一致收敛。可以举例说明：去掉“保持定号”条件可能导致结论不成立。
定理 1 5,2,6 （积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca 上连续,
(,)da f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛,则
d (,) d d (,) dddc a a cy f x y x x f x y y
,
即 积分次序可交换 。
证 由 引理 1 5,2,1,可知
1
)(
n
n yu
在
],[ dc
上 一致收敛。根据一致收敛级数的和号与积分号可以交换的结论,
1
d (,) d ( ) d
dd
n
c a c
n
y f x y x u y y
111 1 1
( )d (,)d d d (,)d
nn
nn
d d a d a
n
c c a c a
n n n
u y y f x y x y y f x y x
1 01
d (,)d d (,)d
n
n
a d d
a c c
n
x f x y y x f x y y
。
其中第二行到第三行的推导是利用了常义含参变量积分的积分次序可交换定理。
定理 1 5,2,6 （积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca 上连续,
(,)da f x y x
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛,则
d (,) d d (,) dddc a a cy f x y x x f x y y
,
即 积分次序可交换 。
当
],[ dc
也改为无穷区间
),[c
时，本定理的条件就不足以保证积分次序可交换，但有下面的结论,
定理 1 5,2,6 ' 设
),( yxf
在
),[),[ ca
上连续,且
(,) d
a
f x y x
关于
y
在
],[ Cc
上 一致收敛 （ Cc ），
(,)d
c
f x y y
关于 x 在
],[ Aa
上 一致 收 敛 （ Aa ）。 进 一 步 假 设
d | (,) |d
ac
x f x y y
和
d | (,) |d
ca
y f x y x
中有一个存在,那么
d (,) d d (,) d
c a a c
y f x y x x f x y y
。
证明从略。
定理 1 5,2,7 （ 积 分 号 下 求 导 定 理 ） 设
),(),,( yxfyxf y
都在
],[),[ dca
上连续，且
(,)d
a
f x y x
对于每个
y ],[ dc
收敛。进一步假设
(,)dy
a
f x y x
关于
y
在
],[ dc
上 一致收敛。则
)( yI (,) d
a
f x y x
在
],[ dc
上可导，并且在
],[ dc
上成立
( ) (,) dy
a
I y f x y x
,
即
d
(,)d (,)d
d aa
f x y x f x y x
yy
,
也就是说，求导运算与积分运算可交换 。
证 记
( ) (,) dy
a
y f x y x?
，由于
(,)dy
a
f x y x
在
],[ dc
上 一致收敛，可知
)( y?
在
],[ dc
上连续。于是对于
],[ dcy?
，由定理 1 5,2,6,
( ) d d (,) d d (,) d
[ (,) (,) ] d (,) d (,) d
y y y
zz
c c a a c
a a a
z z z f x z x x f x z z
f x y f x c x f x y x f x c x
( ) ( )I y I c
。
由于
)( y?
在
],[ dc
上连续，所以函数
( ) d
y
c
zz
可导，从而
)( yI
可导。两边求导就得到
( ) ( ) (,) dy
a
I y y f x y x?
。
例 1 5,2,6 确定函数 3
0
l n ( 1 )
( ) d
x
Ix
x?
的连续范围。
解 注意到 0?x 可能为奇点（ 0 时显然积分发散），将积分写为
33
1
1201
l n ( 1 ) l n ( 1 )
( ) d d ( ) ( )
xx
I x x I I
xx
。
因为当 0x 时
x
x )1l n ( 3
3
1
x
，所以只有当 13 即 4 时
)(1?I
才收敛；而显然只有当 1 时
)(2?I
才收敛。所以
)(?I
的定义域为
)4,1(
。
现在说明
)(?I
在其定义域
)4,1(
上连续。为此只要说明在任意闭区间
)4,1(],[?ba
上
)(?I
连续 即可。
对任意闭区间
)4,1(],[?ba
，由于
bx
x
x
x
x
x )1ln ()1ln ()1ln ( 333?
，
bax,10 4?
,
且 3
1
0
l n ( 1 )
db
x
x
x
收敛，由 W ei er s t r as s 判别法，
)(1?I
= 3
1
0
l n ( 1 )
d
x
x
x?
在
],[ ba
上一致收敛。由被积函数
x
x )1l n ( 3? 在 ],[]1,0( ba? 上的连续性，可知 )(1?I
在
],[ ba
上连续。
又由于
ax
x
x
x
x
x )1ln ()1ln ()1ln ( 333?
，
bax1,
,
且 3
1
l n( 1 )
d
a
x
x
x
收敛，由 W ei ers t ras s 判别法,3
2 1
l n ( 1 )
( ) d
x
Ix
x?
在
],[ ba
上一致收敛。由被积函数
x
x )1l n ( 3? 在 ],[),1[ ba 上的连续性，可知
)(2?I
在
],[ ba
上连续。
综上所述，
)()()( 21 III
在其定义域
)4,1(
上连续。
例 1 5,2,7 计算 D i r i chl et 积分
0
sin
d
x
Ix
x
。
解 考虑含参变量反常积分
0
s in
( ) e d
x x
Ix
x
，
0
。
（这里引进了 收敛因子 x
e
，这是改善被积函数收敛性质的一种常用方法）。记
.0,1
,0,
s i n
e
),(
x
x
x
x
xf
x?
显然
),(?xf
与
xxf x s i ne),(
都在
),0[),0[
上连续。
由例 1 5,2.3 知道，
0
s i n
ed
x x
x
x
关于
在
),0[
上一致收敛，因此
)(?I
在
),0[
上连续，从而
)(l i m)0(
0
III
。
为了找出
)(?I
，利用积分号下求导的方法。考虑
00
(,) d e s i n dxf x x x x
。
对于任意
00
，由于
xx x 0e|s i ne|
（ x0,
0
），且
0
0
ed x x?
收敛，由 W ei er s t ra s s 判别法，
00
(,) d e s i n dxf x x x x
在
),[ 0
上一致收敛。由定理 1 5,2,7,
22
0
0
e ( s i n c o s ) 1
( ) e s i n d
11
x
x xx
I x x
。
由
0?
的任意性，可知上式在
),0(
上成立。对上式积分，得到
CI a r c t a n)(
。
现在确定常数 C 。由于在
),0(
上
00
s i n 1
| ( ) | e d e dxx
x
I x x
x
,
因此
0)(lim?
I
，所以
π
2
C?
，从而
π
( ) a rc t a n
2
I
。于是,
0
sin
d
x
x
x
00
π π
(0 ) l i m ( ) l i m a r c t a n
22
II
。
从这个结果可推出一个有趣的结论,
0
2 s in
s g n ( ) d
π
xt
xt
t
。
例 1 5,2,8 计算
2
0
( ) e c o s 2 d
t
I x x t t
。
解 记
2
(,) e c o s 2tf x t x t
，则
2
(,) 2 e s i n 2txf x t t x t
。这时有
22
e|2s i ne2||),(| ttx txtttxf
，
tx 0,
。
由于反常积分
2
0
ed
t
tt
收敛，由 W ei ers t ra s s 判别法,
2
00
(,) d 2 e s i n 2 d
t
x
f x t t t x t t
关于
x
在
),(
上一致收敛。应用积分号下求导定理，得到
2 2 2
00 0
( ) 2 e s i n 2 d e s i n 2 2 e c o s 2 d 2 ( )
t t t
I x t x t t x t x x t t x I x
。
将这个式子写成
x
xI
xI
2
)(
)(
，再对等式两边积分，得到
2
( ) e xI x C
。
由于
2
0
π
(0 ) e d
2
t
It
，因此
π
2
C?
。于是
2π
( ) e
2
x
Ix
,
x
。
例 1 5,2,9 计算
20
c o s c o s
d
a x b x
Ix
x
,
0 ab
。
解 由于
c os c os
sin d
b
a
ax bx
x y y
x
,
所以
0
sin
dd
b
a
xy
I x y
x
。
由例 1 5,2,4 知道含参变量反常积分
0
sin
d
xy
x
x
在
],[ ba
上一致收敛，并注意到
0
si n π
d
2
xy
x
x
（
0?y
），就得到
00
sin sin π π
d d d d d ( )
22
b b b
a a a
x y x y
I x y y x y b a
xx
。
