F o uri er 变换及其逆变换前面关于 F o u ri er 级数 的论述都是对周期函数而言的，那么对于非周期函数，又该如何处理呢？
在
),(
上可积的非周期函数
f x( )
可以看成是周期函数的极限情况，处理思路是这样的,
（ 1 ） 先取
f x( )
在
[,]? T T
上的部分（即把它视为仅定义在
[,]? T T
上的函数），再以 2 T 为周期，将它延拓为
),(
上的周期函数
f xT ( )；
（ 2 ） 对得到的周期函数
f xT ( )
作 Fo u ri er 展开；
（ 3 ） 令 T 趋于无穷大。
§ 4 Fourier变换和 Fourier积分下面叙述处理过程（但省略具体细节）。将 E u l er 公式
iiee
c o s
2
,ii
iie e is in ( e e )
2 i 2
代入周期为 2 T 的函数
f xT ( )
的 Fo u ri er 级数，记
π
T
是圆频率（下面就简称为频率），
π
n
n
T
，得到
f xT ( )
1
0 )s inc o s(
2
~
n
nnnn xbxa
a
ii0
1
ii
ee
2 2 2
nnxxn n n n
n
a a b a b
。
f xT ( )
1
0
)s inc o s(
2
~
n
nnnn
xbxa
a
ii0
1
ii
ee
2 2 2
nnxxn n n n
n
a a b a b
。
记
00 ac?,
in n nc a b i1 ( ) e dnT t
T
T
f t t
T
c n
（
,2,1?n
）,
则得到
f xT ( ) ~ ii0
1
1
( e e )
22
nnxx
nn
n
c
cc
i1
e
2
n x
n
n
c
,
这称为 F o u ri er 级数的复数形式 。
将
c n
的表达式代入,即有
f xT ( ) ~ ii1
( ) e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
f t t
T
。
记
1
π
nn T
，于是当 T 时 0,即得到
f x( )?
lim ( ) ~
T T
f x
ii
0
1
l i m ( ) e d e
2 π
nn
T
tx
T
T
n
f t t
。
记
ii1( ) ( ) e d e
2 π
T tx
TT T f t t
，则上式可写成
f x( ) ~
n
nT
)(lim
0
。
由于当 0 时,)(
T
将随之趋于
ii1( ) ( ) e d e
2 π
txf t t
，
所以将上式右端 看成,,)( 在 ),( 上的“积分”，于是（ 形式上,,,）就有
f x( ) ~
ii1 ( ) e d e d
2
txf t t
。
将
c n
的表达式代入,即有
f xT ( ) ~ ii1
( ) e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
f t t
T
。
记
1
π
nn T
，于是当 T 时 0,即得到
f x( )?
lim ( ) ~
T T
f x
ii
0
1
l i m ( ) e d e
2 π
nn
T
tx
T
T
n
f t t
。
记
ii1( ) ( ) e d e
2 π
T tx
TT T f t t
，则上式可写成
f x( ) ~
n
nT
)(lim
0
。
方括号中的函数
i? ( ) ( ) e dxf f x x
（ ),( ）
称为 f 的 F o uri er 变换 （ 或 像 函数 ）,记为 ][ fF,即
i?[ ] ( ) ( ) ( ) e d,xF f f f x x
方括号中的函数
i? ( ) ( ) e dxf f x x
（ ),( ）
称为 f 的 F o uri er 变换 （ 或 像 函数 ）,记为 ][ fF,即
i?[ ] ( ) ( ) ( ) e d,xF f f f x x
函数
i1? ( ) e d
2 π
xf
（ ),(x ）
称为 f? 的 F o uri er 逆 变换 （ 或 像 原函数 ）,记为 ]?[1 fF?,即
1i 1[ ] ( ) ( ) e d
2 π
xF f x f
。
函数
ii1 ( ) e d e d2 π txf t t
i ( )1 d ( ) e d2 π xtf t t
称为 f 的 F o urier 积分 。
方括号中的函数
i? ( ) ( ) e dxf f x x
（ ),( ）
称为 f 的 F o uri er 变换 （ 或 像 函数 ）,记为 ][ fF,即
i?[ ] ( ) ( ) ( ) e d,xF f f f x x
函数
i1? ( ) e d
2 π
xf
（ ),(x ）
称为 f? 的 F o uri er 逆 变换 （ 或 像 原函数 ）,记为 ]?[1 fF?,即
1i 1[ ] ( ) ( ) e d
2 π
xF f x f
。
容易想到，在一定条件下，它应与 f x( ) 相等，但 研究这些条件已超出本课程的要 求，现在不加证明 地给出以下充分条 件 。
定理 1 6,4,1 设函数 f 在 ),( 上绝对可积，且在 ),( 中的任何闭区间上分段可导。则 f 的 F o u ri er 积分满足：对于任意 ),(x
成立
i ( )1 d ( ) e d
2 π
xtf t t
2
)()( xfxf 。
所谓在闭区间上 分段可导是如下定义的,
定义 1 6,4,1 设函数
f
在
],[ ba
上除有限个点
10 xxa?2x
bx N
外均可导，而在
ix
（
),,2,1,0 Ni
处
f
的左右极限
)(?ixf
和
)(?ixf
都存在（在
ax?0
只要求右极限存在，在
bx N?
只要求左极限存在），并且极限
h
xfhxf ii
h
)()(
lim
0
和
h
xfhxf ii
h
)()(
lim
0
都存在（在
ax?0
只要求上述第二个极限存在，在
bx N?
只要求上述第一个极限存在），那么称
f
在
],[ ba
上 分 段可导 。
例 1 6,4,1 求孤立矩形波
||,0
,||,
)(
x
xh
xf
（图 1 6,4,1 ）的 F o u r i er 变换
)(f
和
)(f
的 Fo u ri er 逆变换。
解 当
0
时,
i?
( ) ( ) e d
x
f f x x
i
ed
x
hx
i
e
i
x
h
)s i n (
2
h
,
当
0
时,
( 0 ) ( ) df f x x
2 h?
(
)(?lim
0
f
) 。
y
h
x
图 16.4.1
利用熟知的结果
0
si n πd sg n( )
2
ax xa
x
,
可以求得
f?
的 逆变换为
F f1 [? ] i1? ( ) e d
2 π
xf
isi n( ) ed
π
xh
0
2 sin( ) c os( ) d
π
h x
.||
,
,||
,0
,
2
,
x
x
x
h
h
设
f x( )
在
),(
上连续,且满足 定理 1 6,4,1 的条件，则将
f
的
Fo u ri er 积分的实部和虚部分开，得到
f x( ) 1
d ( ) c os ( ) d
2 π
f t x t t
i
d ( ) sin ( ) d
2 π
f t x t t
,
因为
d e f
( ) ( ) s i n ( ) dsg f t x t t
是奇函数（其中符号,de f
”表示“定义为” ），而
de f
( ) ( ) c os ( ) dcg f t x t t
是偶函数，由此得到
f x( )
的 F o uri er 积分的三角形式 （ 也称为 实形式 ）
f x( )
0
1
d ( ) c o s ( ) d
π
f t x t t
。
当
f x( )
本身是偶函数时，上式又可化成
f x( )
00
2
( ) c o s d c o s d
π
f t t t x
，
它可以看成是由 F o uri er 余弦 变换
0
[ ] ( ) ( ) c o s d
ccF f f f x x x
及其逆变换
1
0
2
[ ] ( ) c o s d
πc c c
F f f x
复合而成的。
当
f x( )
本身是奇函数时，可以类似地得到
f x( )
00
2
( ) sin d sin d
π
f t t t x
,
它可以看成是由 F o uri er 正弦 变换
0
[ ] ( ) ( ) s i n d
ssF f f f x x x
及其逆变换
1
0
2
[ ] ( ) si n d
πs s s
F f f x
复合而成的。
例 1 6,4,2 求
( ) e s i nxf x x
（
),0[x
）的余弦变换。
解 由 F o u r i er 余弦变换公式，得到
0
e s i n c o s dx x x x?
0
1
e [ sin( 1 ) sin( 1 ) ] d
2
x x x x
0
22
)1(1
])1c o s ()1()1[ s in (e
)1(1
])1c o s ()1()1[ s in (e
2
1
xxxx
xx
22
)1(1
1
)1(1
1
2
1
ω
ω
ω
ω
44
2
ω
ω
。
F o uri er 变换的性质
Fo u ri e r 变换和 Fo u r i er 逆 变换的 下列性质对于理论分析和实际计算都很重要。
⑴ 线性性质设
21,cc
是常数。若
gf,
的 Fo u ri er 变换存在,则
][][][ 2121 gFcfFcgcfcF；
若
][?],[? gFgfFf
的 Fo u r i er 逆 变换存在,则
]?[]?[][ 1211211 gFcfFcgcfcF
。
(2 ) 位移性质若函数
f
的 F o u ri er 变换存在,则
0i
0[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e
xF f x x F f；
若
][? fFf?
的 Fo u r i er 逆 变换存在,则
0i11
0
[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e xF f x F f x 。
注 以上两式常简记为
0i
0[ ( ) ] [ ] e
xF f x x F f；
0i11
0
[ ( ) ] [ ] e xF f F f 。
(3 ) 时间尺度性,
afaaxfF|| 1)]([；
频率尺度性,
)(?1?afaxfaF
。
(2 ) 位移性质若函数
f
的 F o u ri er 变换存在,则
0i
0[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e
xF f x x F f；
若
][? fFf?
的 Fo u r i er 逆 变换存在,则
0i11
0
[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e xF f x F f x 。
注 以上两式常简记为
0i
0[ ( ) ] [ ] e
xF f x x F f；
0i11
0
[ ( ) ] [ ] e xF f F f 。
(4 ) 微分性质
1 ） 设函数
)( xf
在
),(
上连续 可导,且绝对可积。若
0)(lim?
xf
x
，则有
[ ] i [ ]F f F f；
2 ） 若
)( xf
和
)( xxf
在
),(
上绝对可积，则
[ i ]F x f
=
)][(?fF
。
证 1 ） 由分部积分公式,
))(][?fF i
( ) e d
x
f x x
i
( ) e
x
fx
ii ( ) e dxf x x
i [ ] ( )Ff
。
2 ）
[ i ] ( )F x f i
( i ( ) ) e d
x
x f x x
id
( ( ) e ) d
d
x
f x x
idd
( ) e d [ ( ) ] ( )
dd
x
f x x F f
(5 ) 积分性质设函数
)( xf
和
( ) d
x
f t t
在
),(
上绝对可积,则
( ) d
x
F f t t
1
[]
i
Ff
。
证 因为
d
( ) d ( )
d
x
f t t f x
x
,
且由
( ) d
x
f t t
和
)( xf
在
),(
上 的 绝对可积性，易知
l i m ( ) d 0
x
x
f t t
，
所以由 F o u r i er 变换的 微分性质，得到
d
[ ] ( ) ( ) d ( ) i ( ) d ( )
d
xx
F f F f t t F f t t
x
,
即
( ) d ( )
x
F f t t?
1
[ ]( )
i
Ff?
。
卷积定义 1 6,4,2 设函数 f 和 g 在 ),( 上定义，且积分
( ) ( ) ( ) ( ) df g x f t g x t t
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积 。
显然，卷积具有对称性，即 fggf 。
关于 卷积有下述两个重要的定理。
定理 1 6,4,2 （ 卷积的 F o uri er 变换 ） 设函数
f
和
g
在
),(
上绝对可积，则有
][][][ gFfFgfF
。
定理 1 6,4,3 （ P a rs e v a l 等式） 设函数
f
在
),(
上绝对可积，
且
2[ ( ) ] df x x
收敛。 记
f
的 F o u r i er 变换为 f?,则
22 1?[ ( ) ] d | ( ) | d
2 π
f x x f
。
卷积定义 1 6,4,2 设函数 f 和 g 在 ),( 上定义，且积分
( ) ( ) ( ) ( ) df g x f t g x t t
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积 。
显然，卷积具有对称性，即 fggf 。
例 1 6,4,3 求解微分方程
0)(2)()( 2 xafxuaxu
（ a? 0 为常数，
),(x
）。
解 由 F o u r i er 变换的 微分性质，得到
2[ ] i [ ] [ ]F u F u F u
。
对方程两边作 F o u r i er 变换，整理后即有
][
2
][
22
fF
a
a
uF
。
利用本节习题 1（ 2 ）的结果
22
|| 2
][e
a
a
F
xa
（ a? 0 ）和定理 1 6,4,2
的结论，得到
][
2
)(
22
1
fF
a
a
Fxu
*
2
22
1
a
a
F
F F f? 1 [ [ ] ]
||e* xaf
||( ) e da x tf t t
。
在
),(
上可积的非周期函数
f x( )
可以看成是周期函数的极限情况，处理思路是这样的,
（ 1 ） 先取
f x( )
在
[,]? T T
上的部分（即把它视为仅定义在
[,]? T T
上的函数），再以 2 T 为周期，将它延拓为
),(
上的周期函数
f xT ( )；
（ 2 ） 对得到的周期函数
f xT ( )
作 Fo u ri er 展开；
（ 3 ） 令 T 趋于无穷大。
§ 4 Fourier变换和 Fourier积分下面叙述处理过程（但省略具体细节）。将 E u l er 公式
iiee
c o s
2
,ii
iie e is in ( e e )
2 i 2
代入周期为 2 T 的函数
f xT ( )
的 Fo u ri er 级数，记
π
T
是圆频率（下面就简称为频率），
π
n
n
T
，得到
f xT ( )
1
0 )s inc o s(
2
~
n
nnnn xbxa
a
ii0
1
ii
ee
2 2 2
nnxxn n n n
n
a a b a b
。
f xT ( )
1
0
)s inc o s(
2
~
n
nnnn
xbxa
a
ii0
1
ii
ee
2 2 2
nnxxn n n n
n
a a b a b
。
记
00 ac?,
in n nc a b i1 ( ) e dnT t
T
T
f t t
T
c n
（
,2,1?n
）,
则得到
f xT ( ) ~ ii0
1
1
( e e )
22
nnxx
nn
n
c
cc
i1
e
2
n x
n
n
c
,
这称为 F o u ri er 级数的复数形式 。
将
c n
的表达式代入,即有
f xT ( ) ~ ii1
( ) e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
f t t
T
。
记
1
π
nn T
，于是当 T 时 0,即得到
f x( )?
lim ( ) ~
T T
f x
ii
0
1
l i m ( ) e d e
2 π
nn
T
tx
T
T
n
f t t
。
记
ii1( ) ( ) e d e
2 π
T tx
TT T f t t
，则上式可写成
f x( ) ~
n
nT
)(lim
0
。
由于当 0 时,)(
T
将随之趋于
ii1( ) ( ) e d e
2 π
txf t t
，
所以将上式右端 看成,,)( 在 ),( 上的“积分”，于是（ 形式上,,,）就有
f x( ) ~
ii1 ( ) e d e d
2
txf t t
。
将
c n
的表达式代入,即有
f xT ( ) ~ ii1
( ) e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
f t t
T
。
记
1
π
nn T
，于是当 T 时 0,即得到
f x( )?
lim ( ) ~
T T
f x
ii
0
1
l i m ( ) e d e
2 π
nn
T
tx
T
T
n
f t t
。
记
ii1( ) ( ) e d e
2 π
T tx
TT T f t t
，则上式可写成
f x( ) ~
n
nT
)(lim
0
。
方括号中的函数
i? ( ) ( ) e dxf f x x
（ ),( ）
称为 f 的 F o uri er 变换 （ 或 像 函数 ）,记为 ][ fF,即
i?[ ] ( ) ( ) ( ) e d,xF f f f x x
方括号中的函数
i? ( ) ( ) e dxf f x x
（ ),( ）
称为 f 的 F o uri er 变换 （ 或 像 函数 ）,记为 ][ fF,即
i?[ ] ( ) ( ) ( ) e d,xF f f f x x
函数
i1? ( ) e d
2 π
xf
（ ),(x ）
称为 f? 的 F o uri er 逆 变换 （ 或 像 原函数 ）,记为 ]?[1 fF?,即
1i 1[ ] ( ) ( ) e d
2 π
xF f x f
。
函数
ii1 ( ) e d e d2 π txf t t
i ( )1 d ( ) e d2 π xtf t t
称为 f 的 F o urier 积分 。
方括号中的函数
i? ( ) ( ) e dxf f x x
（ ),( ）
称为 f 的 F o uri er 变换 （ 或 像 函数 ）,记为 ][ fF,即
i?[ ] ( ) ( ) ( ) e d,xF f f f x x
函数
i1? ( ) e d
2 π
xf
（ ),(x ）
称为 f? 的 F o uri er 逆 变换 （ 或 像 原函数 ）,记为 ]?[1 fF?,即
1i 1[ ] ( ) ( ) e d
2 π
xF f x f
。
容易想到，在一定条件下，它应与 f x( ) 相等，但 研究这些条件已超出本课程的要 求，现在不加证明 地给出以下充分条 件 。
定理 1 6,4,1 设函数 f 在 ),( 上绝对可积，且在 ),( 中的任何闭区间上分段可导。则 f 的 F o u ri er 积分满足：对于任意 ),(x
成立
i ( )1 d ( ) e d
2 π
xtf t t
2
)()( xfxf 。
所谓在闭区间上 分段可导是如下定义的,
定义 1 6,4,1 设函数
f
在
],[ ba
上除有限个点
10 xxa?2x
bx N
外均可导，而在
ix
（
),,2,1,0 Ni
处
f
的左右极限
)(?ixf
和
)(?ixf
都存在（在
ax?0
只要求右极限存在，在
bx N?
只要求左极限存在），并且极限
h
xfhxf ii
h
)()(
lim
0
和
h
xfhxf ii
h
)()(
lim
0
都存在（在
ax?0
只要求上述第二个极限存在，在
bx N?
只要求上述第一个极限存在），那么称
f
在
],[ ba
上 分 段可导 。
例 1 6,4,1 求孤立矩形波
||,0
,||,
)(
x
xh
xf
（图 1 6,4,1 ）的 F o u r i er 变换
)(f
和
)(f
的 Fo u ri er 逆变换。
解 当
0
时,
i?
( ) ( ) e d
x
f f x x
i
ed
x
hx
i
e
i
x
h
)s i n (
2
h
,
当
0
时,
( 0 ) ( ) df f x x
2 h?
(
)(?lim
0
f
) 。
y
h
x
图 16.4.1
利用熟知的结果
0
si n πd sg n( )
2
ax xa
x
,
可以求得
f?
的 逆变换为
F f1 [? ] i1? ( ) e d
2 π
xf
isi n( ) ed
π
xh
0
2 sin( ) c os( ) d
π
h x
.||
,
,||
,0
,
2
,
x
x
x
h
h
设
f x( )
在
),(
上连续,且满足 定理 1 6,4,1 的条件，则将
f
的
Fo u ri er 积分的实部和虚部分开，得到
f x( ) 1
d ( ) c os ( ) d
2 π
f t x t t
i
d ( ) sin ( ) d
2 π
f t x t t
,
因为
d e f
( ) ( ) s i n ( ) dsg f t x t t
是奇函数（其中符号,de f
”表示“定义为” ），而
de f
( ) ( ) c os ( ) dcg f t x t t
是偶函数，由此得到
f x( )
的 F o uri er 积分的三角形式 （ 也称为 实形式 ）
f x( )
0
1
d ( ) c o s ( ) d
π
f t x t t
。
当
f x( )
本身是偶函数时，上式又可化成
f x( )
00
2
( ) c o s d c o s d
π
f t t t x
，
它可以看成是由 F o uri er 余弦 变换
0
[ ] ( ) ( ) c o s d
ccF f f f x x x
及其逆变换
1
0
2
[ ] ( ) c o s d
πc c c
F f f x
复合而成的。
当
f x( )
本身是奇函数时，可以类似地得到
f x( )
00
2
( ) sin d sin d
π
f t t t x
,
它可以看成是由 F o uri er 正弦 变换
0
[ ] ( ) ( ) s i n d
ssF f f f x x x
及其逆变换
1
0
2
[ ] ( ) si n d
πs s s
F f f x
复合而成的。
例 1 6,4,2 求
( ) e s i nxf x x
（
),0[x
）的余弦变换。
解 由 F o u r i er 余弦变换公式，得到
0
e s i n c o s dx x x x?
0
1
e [ sin( 1 ) sin( 1 ) ] d
2
x x x x
0
22
)1(1
])1c o s ()1()1[ s in (e
)1(1
])1c o s ()1()1[ s in (e
2
1
xxxx
xx
22
)1(1
1
)1(1
1
2
1
ω
ω
ω
ω
44
2
ω
ω
。
F o uri er 变换的性质
Fo u ri e r 变换和 Fo u r i er 逆 变换的 下列性质对于理论分析和实际计算都很重要。
⑴ 线性性质设
21,cc
是常数。若
gf,
的 Fo u ri er 变换存在,则
][][][ 2121 gFcfFcgcfcF；
若
][?],[? gFgfFf
的 Fo u r i er 逆 变换存在,则
]?[]?[][ 1211211 gFcfFcgcfcF
。
(2 ) 位移性质若函数
f
的 F o u ri er 变换存在,则
0i
0[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e
xF f x x F f；
若
][? fFf?
的 Fo u r i er 逆 变换存在,则
0i11
0
[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e xF f x F f x 。
注 以上两式常简记为
0i
0[ ( ) ] [ ] e
xF f x x F f；
0i11
0
[ ( ) ] [ ] e xF f F f 。
(3 ) 时间尺度性,
afaaxfF|| 1)]([；
频率尺度性,
)(?1?afaxfaF
。
(2 ) 位移性质若函数
f
的 F o u ri er 变换存在,则
0i
0[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e
xF f x x F f；
若
][? fFf?
的 Fo u r i er 逆 变换存在,则
0i11
0
[ ( ) ] ( ) [ ] ( ) e xF f x F f x 。
注 以上两式常简记为
0i
0[ ( ) ] [ ] e
xF f x x F f；
0i11
0
[ ( ) ] [ ] e xF f F f 。
(4 ) 微分性质
1 ） 设函数
)( xf
在
),(
上连续 可导,且绝对可积。若
0)(lim?
xf
x
，则有
[ ] i [ ]F f F f；
2 ） 若
)( xf
和
)( xxf
在
),(
上绝对可积，则
[ i ]F x f
=
)][(?fF
。
证 1 ） 由分部积分公式,
))(][?fF i
( ) e d
x
f x x
i
( ) e
x
fx
ii ( ) e dxf x x
i [ ] ( )Ff
。
2 ）
[ i ] ( )F x f i
( i ( ) ) e d
x
x f x x
id
( ( ) e ) d
d
x
f x x
idd
( ) e d [ ( ) ] ( )
dd
x
f x x F f
(5 ) 积分性质设函数
)( xf
和
( ) d
x
f t t
在
),(
上绝对可积,则
( ) d
x
F f t t
1
[]
i
Ff
。
证 因为
d
( ) d ( )
d
x
f t t f x
x
,
且由
( ) d
x
f t t
和
)( xf
在
),(
上 的 绝对可积性，易知
l i m ( ) d 0
x
x
f t t
，
所以由 F o u r i er 变换的 微分性质，得到
d
[ ] ( ) ( ) d ( ) i ( ) d ( )
d
xx
F f F f t t F f t t
x
,
即
( ) d ( )
x
F f t t?
1
[ ]( )
i
Ff?
。
卷积定义 1 6,4,2 设函数 f 和 g 在 ),( 上定义，且积分
( ) ( ) ( ) ( ) df g x f t g x t t
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积 。
显然，卷积具有对称性，即 fggf 。
关于 卷积有下述两个重要的定理。
定理 1 6,4,2 （ 卷积的 F o uri er 变换 ） 设函数
f
和
g
在
),(
上绝对可积，则有
][][][ gFfFgfF
。
定理 1 6,4,3 （ P a rs e v a l 等式） 设函数
f
在
),(
上绝对可积，
且
2[ ( ) ] df x x
收敛。 记
f
的 F o u r i er 变换为 f?,则
22 1?[ ( ) ] d | ( ) | d
2 π
f x x f
。
卷积定义 1 6,4,2 设函数 f 和 g 在 ),( 上定义，且积分
( ) ( ) ( ) ( ) df g x f t g x t t
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积 。
显然，卷积具有对称性，即 fggf 。
例 1 6,4,3 求解微分方程
0)(2)()( 2 xafxuaxu
（ a? 0 为常数，
),(x
）。
解 由 F o u r i er 变换的 微分性质，得到
2[ ] i [ ] [ ]F u F u F u
。
对方程两边作 F o u r i er 变换，整理后即有
][
2
][
22
fF
a
a
uF
。
利用本节习题 1（ 2 ）的结果
22
|| 2
][e
a
a
F
xa
（ a? 0 ）和定理 1 6,4,2
的结论，得到
][
2
)(
22
1
fF
a
a
Fxu
*
2
22
1
a
a
F
F F f? 1 [ [ ] ]
||e* xaf
||( ) e da x tf t t
。
