§ 3 无穷小量与无穷大量的阶无穷小量的比较定义 3.3.1 若
limx x?
0
( ) 0fx?,则称当 x? x 0 时 f x( ) 是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x? x
0
可以扩充到
0xx
、
0x?
,?,, 等情况。
§ 3 无穷小量与无穷大量的阶设 u x( ),v x( ) 是两个变量，当 x? x 0 时，它们都是无穷小量。为了比较两者趋于零的速度快慢，我们讨论 u x
v x
( )
( )
的极限情况,
无穷小量的比较定义 3.3.1 若
limx x?
0
( ) 0fx?,则称当 x? x 0 时 f x( ) 是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x? x
0
可以扩充到
0xx
、
0x?
,?,, 等情况。
( 1 ) 若
limx x?
0
() 0
()
ux
vx?
，则称当 x? x
0
时,u x( ) 关于 v x( ) 是 高阶无穷小量 （ 或 v x( ) 关于 u x( ) 是 低阶无穷小量 ）,记为
()ux = ( ( ) )o v x （ x? x 0 ）。
例如
lim
x? 0
1? c o s x
x
=
lim
x? 0
2
2 s in
2 0
x
x
可表示为
1 c os x ()ox （ 0x? ）。
lim
x? 0 2
t an s i nxx
x
0
l i m
x?
s in 1 c o s 0
c o s
xx
x x x
可表示为
tan x - sin x? 2()ox ( 0x? ) 。
( 1 ) 若
limx x?
0
() 0
()
ux
vx?
，则称当 x? x
0
时,u x( ) 关于 v x( ) 是 高阶无穷小量 （ 或 v x( ) 关于 u x( ) 是 低阶无穷小量 ）,记为
()ux = ( ( ) )o v x （ x? x 0 ）。
( 2 ) 若存在 0A?,当 x 在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux A
vx
,
则称当 x? x
0
时,u x
v x
( )
( )
是 有界量,记为
()ux? ( ( ) )O v x ( x? x 0 ) 。
例如当 0x? 时,1
sinx x
与 x 都是无穷小量，且
1
s i n
1
x
x
x
,所以
1sinx
x?
()Ox ( 0x? ) 。
( 2 ) 若存在 0A?,当 x 在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux A
vx
,
则称当 x? x
0
时,u x
v x
( )
( )
是 有界量,记为
()ux? ( ( ) )O v x ( x? x 0 ) 。
若又存在 0a?,当 x 在
x 0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
,
则称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 同阶无穷小量 。
显然，若
lim
x x? 0
()
0
()
ux
c
vx
，则
()ux
与
v x( )
必是同阶无穷小量。
( 3 ) 若
lim
x x? 0
()
1
()
ux
vx
，称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 等价无穷小量,
记为
()ux
～
v x( )
( x?
x 0
)
上式也可写成
()ux
=
v x( )
+
( ( ) )o v x
( x?
x0
),
它表示当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
并不一定相等，两者相差一个关于
v x( )
的高阶无穷小量。
例如
lim
x? 0
s i n x
x
= 1 可表示为
sin xx?
(
0x?
),或者
sin xx ()ox
(
0x?
) ；
lim
x? 0
1
1
2
2
cos x
x
=
lim
x? 0
2
2
2 s in
2
1
2
x
x
可表示为
1 c os x?
～
1
2
2
x
(
0x?
),或者
1 c os x 1
2
2
x
+
2()ox
(
0x?
) ；
lim
x? 0
3
t a n s i n
1
2
xx
x
lim
x? 0
2
s i n 1 c o s
1
c o s
2
xx
xxx
可表示为
ta n sinxx?
～
1
2
3
x
(
0x?
),或者
ta n sinxx?
=
1
2
3
x
+
3()ox
(
0x?
) 。
注 记号,o,、,O,和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说，在使用时应附上记号,( x? x 0 ),，以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
我们往往选取
0( ) ( )
kv x x x
作为与
()ux
进行比较的无穷小量（如果极限过程是 x,则选取
v x( )
= 1
x k
）,这样有便于得出
()ux
作为无穷小量的确切阶数。
例如由 1 c os x? ～ 1
2
2x
( 0x? ) 可知当 0x? 时,1 c os x? 是二阶无穷小量；由 t a n x? s i n x ～ 1
2
3x
（ 0x? ）可知当 0x? 时,t a n x? s i n x 是三阶无穷小量。
注 记号,o,、,O,和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说，在使用时应附上记号,( x? x 0 ),，以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
()ux?
o ( 1 ) (
x? x
0
) 表示当
x? x
0
时，
()ux
是无穷小量；
()ux?
O ( 1 ) (
x? x
0
) 表示当
x? x
0
时，
()ux
是有界量。
例如当
0x?
+ 时,
1
ln x
是无穷小量，但它关于无穷小量?
x
(
为任意小的正数 ) 总是低阶无穷小量，所以它只能表示为
1
ln x
o ( 1 ) (
0x?
+ ) 。
又如当
0x?
时,
1
e sin
x
x
是有界量，所以可表示为
1
e si n
x
x
O ( 1 ) (
0x?
) 。
无穷大量的比较定义 3.3.2 若
lim
x x? 0
f x( )
=? （ 或±? ）,则称当 x?
x 0
时,
f x( )
是无穷大量 （ 或 正,负无穷大量 ） 。
定义中的极限过程同样可以扩充到
0xx
、
0x?
,?,, 等情况。
设
()ux
,
v x( )
是两个变量，当
0xx?
时它们都是无穷大量，为了比较两者趋于无穷大的速度，同样我们讨论
u x
v x
( )
( )
的极限情况,
( 1 ) 若
limx x?
0
()
()
ux
vx
,则当 x? x
0
时,()ux 关于
v x( )
是 高阶无穷大量 ( 或
v x( )
关于 ()ux 是 低阶无穷大量 ) 。
由于对任意正整数 k,有
limx
x
k
a
x
( 1 )a? 和
limx
ln 0k x
x
,所以当
x 时,( 1 )xaa? 关于 kx 是高阶无穷大量,ln k x 关于 x 是低阶无穷大量。
( 2 ) 若存在 0A?,当 x 在 x
0 的某个去心邻域中，成立
()
()
ux A
vx
,
则称当
0xx?
时,u x
v x
( )
( )
是有界量，记为
()ux = O ( v x( ) ) ( 0xx? ) 。
( 1 ) 若
limx x?
0
()
()
ux
vx
,则当 x? x
0
时,()ux 关于
v x( )
是 高阶无穷大量 ( 或
v x( )
关于 ()ux 是 低阶无穷大量 ) 。
由于对任意正整数 k,有
limx
x
k
a
x
( 1 )a? 和
limx
ln 0k x
x
,所以当
x 时,( 1 )xaa? 关于 kx 是高阶无穷大量,ln k x 关于 x 是低阶无穷大量。
例如当 x 时,x ( arct an x + s i n x ) 与 x 都是无穷大量，且
( a r c ta n s in ) 3x x x
x
，从而有表示式
x ( arct an x + s i n x ) = ( )Ox ( 0x? ) 。
若又存在 0a?,当 x 在
x 0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
,
则称当
0xx?
时，
()ux
与
v x( )
是 同阶无穷大量 。
显然，若
lim
x x? 0
()
0
()
ux
c
vx
，则
()ux
与
v x( )
必是同阶无穷大量。
例如当 x 时,x ( arct an x + s i n x ) 与 x 都是无穷大量，且
( a r c ta n s in ) 3x x x
x
，从而有表示式
x ( arct an x + s i n x ) = ( )Ox ( 0x? ) 。
( 3 ) 若
lim
x x? 0
() 1
()
ux
vx
，称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 等价无穷大量,
记为
()ux ～ v x( ) ( x? x 0 ) 。
例 如
limx
3
2
1
s inx
x
x
lim
x
1
sin
1
1
x
x
可表示为
x x3
1
s i n
～ x 2 ( x ) 。
( 3 ) 若
lim
x x? 0
() 1
()
ux
vx
，称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 等价无穷大量,
记为
()ux ～ v x( ) ( x? x 0 ) 。
例 如
limx
3
2
1
s inx
x
x
lim
x
1
sin
1
1
x
x
可表示为
x x3
1
s i n
～ x 2 ( x ) 。
对于极限
lim
x
2
π
2
x
tan x,令 π
2
yx
,得到
lim
x
2
π
2
x
t a n x
0
l i m
y
cos
1
s i n
yy
y
,
此即可表示为
tan x ～ 1
2
x
（ x
2
- ）。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o,，
但仍使用记号,O,和“～”。
例 3.3.1 证明：当 x 0 时，对任意的正整数 k,k
x
ln
1 关于 x 是低阶无穷小量。
证 令
lnyx
,则当 x 0 时，
y
，于是
lim
x0
1
ln
k
x
x
lim
y
0
e
k
y
y
。
例 3.3.2 证明：当 x 0 时，对任意的正整数 k,e? 1x 关于 x k 是高阶无穷小量。
证 令 1
y
x
,则当 x 0 时，
y
，于是
limx0
1
e x
kx
lim
y
0
e
k
y
y? 。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o,，
但仍使用记号,O,和“～”。
例 3.3.1 证明：当 x 0 时，对任意的正整数 k,k
x
ln
1 关于 x 是低阶无穷小量。
证 令
lnyx
,则当 x 0 时，
y
，于是
lim
x0
1
ln
k
x
x
lim
y
0
e
k
y
y
。
等价量等价量 就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例 3.3.3 证明：
l n ( 1 )xx?
( 0?x ) 。
证
lim
x
1
1e
x
x
等价于
lim
x? 0
1
( 1 ) exx
。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x? 0
l n ( )1? x
x
=
lim
x? 0
l n ( )1
1
x x
= 1 。
例 3.3.4 证明,e x - 1 ～ x ( x 0? ) 。
证 令 e1xy,则当 x 0? 时,0y?,且 l n ( 1 )xy,于是
limx? 0 e1
x
x
lim
y? 0 1l n( 1 )
y
y
。
等价量等价量 就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例 3.3.3 证明：
l n ( 1 )xx?
( 0?x ) 。
证
lim
x
1
1e
x
x
等价于
lim
x? 0
1
( 1 ) exx
。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x? 0
l n ( )1? x
x
=
lim
x? 0
l n ( )1
1
x x
= 1 。
例 3.3.5 证明：
( 1 )x
- 1 ～? x ( x 0? )
证 令
( 1 ) 1xy
,则当 x 0? 时，
0y?
。于是
lim
x? 0
( 1 ) 1x
x
lim
x? 0
( 1 ) 1 l n ( 1 )
l n ( 1 )
xx
xx
0
li m
y?
)1l n ( y
y
lim
x? 0
ln ( )1? x
x
。
这三个等价关系连同已经知道的 sin xx? （ 0x? ）,是计算极限时最常用的关系式。
例 3.3.6 设
()ux
= x x? 。
当 x 时，
lim
x
x x
x
=
lim
x
1
11
x
,所以有
()ux
～ x 12 ( x ) ；
当 x 0 时，
lim
x0
x x
x
4
=
lim
x0
11 x
，所以有
()ux
～ x 14 ( 0x ) 。
例 3.3.7 设
v x( )
= 2 33 5x x?
当 x 时，
lim
x
2 3
3
3 5
5
x x
x
= 1,所以有
v x( )
～ 3 5x ( x ）；
当 0x? 时，
lim
x? 0
2 3
2
3 5
3
x x
x
= 1,所以有
v x( )
～ 2 3x ( 0x? ) 。
设一个变量是由几个相互不同阶的成分相加而成，则当它是无穷大量时，它与阶数最高的那个无穷大量成分等价；当它是无穷小量时，
它与阶数最低的那个无穷小量成分等价。
定理 3,3,1 设 )( xu,)( xv 和 )( xw 在
0x
的某个去心邻域 U 上有定义，且
1
)(
)(lim
0
xw
xv
xx
（即 )( xv ～ )( xw （
0xx?
）），那么
（ 1 ）当
Axwxuxx )()(l i m
0
时，
Axvxuxx )()(lim
0；
（ 2 ）当
A
xw
xu
xx
)(
)(l im
0
时，
A
xv
xu
xx
)(
)(lim
0
。
例 3.3.8
limx
a x a x a x
b x b x b x
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
1
1
1
1
=
limx
a x
b x
m
m
m
m
= a
b
m
m
（ 0,?
mm ba
）；
及
limx? 0
a x a x a x
b x b x b x
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
1
1
1
1
=
limx? 0
a x
b x
n
n
n
n
= a
b
n
n
（ 0,?
nn ba
）。
定理 3,3,1 设 )( xu,)( xv 和 )( xw 在
0x
的某个去心邻域 U 上有定义，且
1
)(
)(lim
0
xw
xv
xx
（即 )( xv ～ )( xw （
0xx?
）），那么
（ 1 ）当
Axwxuxx )()(l i m
0
时，
Axvxuxx )()(lim
0；
（ 2 ）当
A
xw
xu
xx
)(
)(l im
0
时，
A
xv
xu
xx
)(
)(lim
0
。
例 3.3.9 计算
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
。
解 由于 xt a n ～ x,2e1x? ～ 2 x,22 ~)1l n ( xx? （ 0?x ），所以
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
2
0
1l im
22x
x
xx
。
例 3.3,10 计算
lim
x? 0
31e
l n ( 1 2 )
x
x
x
。
解
lim
x? 0
31e
l n ( 1 2 )
x
x
x
=
lim
x? 0
3( 1 1 ) ( e 1 )
l n ( 1 2 )
x
x
x
=
lim
x? 0
( ) ( )
23
2
xx
o x o x
x
=
lim
x? 0
()
6
2
x
ox
x
= 1
12
。
例 3.3.9 计算
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
。
解 由于 xt a n ～ x,2e1x? ～ 2 x,22 ~)1l n ( xx? （ 0?x ），所以
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
2
0
1l im
22x
x
xx
。
例 3.3.1 1 计算
limx )(
3 33 3 xxxxx 。
解
limx )(
3 33 3 xxxxx =
limx
1
1
11
1
1 3
2
3
2
2
xx
x
=
limx 2
2 2 2 2
1 1 1 1
33
x o o
x x x x
=
limx 2
22
21
3
xo
xx
= 2
3
。
例 3.3.1 2 计算
limx? 0
( c o s )x x
1
2 。
解
limx? 0
( c o s )x x
1
2 =
limx? 0
[ ( c o s )]1 1
1
2 x x
=
limx? 0
2
1
2
2
1
xx
=
limx? 0
2
1
2
2 2
2
1
xx
= 1
e
。
例 3.3.1 1 计算
limx )(
3 33 3 xxxxx 。
解
limx )(
3 33 3 xxxxx =
limx
1
1
11
1
1 3
2
3
2
2
xx
x
=
limx 2
2 2 2 2
1 1 1 1
33
x o o
x x x x
=
limx 2
22
21
3
xo
xx
= 2
3
。
注意：当计算中出现无穷小量 ( 或无穷大量 ) 相加或相减时，就不能不加考虑便用等价量直接进行代换。例如，在求极限
lim
x? 0 3
t an s i nxx
x
时,若贸然用 tan x ～
( 0 )xx?
与 s i n x ～
( 0 )xx?
进行代换，就会得到
lim
x? 0 3
t an s i nxx
x
=
lim
x? 0 3
0xx
x
的错误结论 —— 我们已经知道
lim
x? 0 3
t an s i nxx
x
= 1
2
。
事实上，虽然当 0?x 时,tan x 与 s i n x 分别等价于 x,但这是省略了关于 x 的高阶无穷小量部分后得到的等价关系，所以 t a n x - s i n x 并不等于 0,而是等价于 x 的高阶无穷小量 x 3
2
。
再比如，在求极限
lim
x? 0
1 1
1
2
2
x x
x
时，也不能直接用
0?x
时的等价关系
1? x
- 1 ～
1
2
x
代入，事实上,
lim
x? 0
1 1
1
2
2
x x
x
=
lim
x? 0
xxx
xx
2
1
11
2
1
1)1(
2
2
=
lim
x? 0
xxx
x
2
1
11
4
1
2
2
= -
1
8
。
（以后可知
1? x
- 1 ～
1
2
x
-
1
8
x 2 ( 0?x ) ）
limx x?
0
( ) 0fx?,则称当 x? x 0 时 f x( ) 是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x? x
0
可以扩充到
0xx
、
0x?
,?,, 等情况。
§ 3 无穷小量与无穷大量的阶设 u x( ),v x( ) 是两个变量，当 x? x 0 时，它们都是无穷小量。为了比较两者趋于零的速度快慢，我们讨论 u x
v x
( )
( )
的极限情况,
无穷小量的比较定义 3.3.1 若
limx x?
0
( ) 0fx?,则称当 x? x 0 时 f x( ) 是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x? x
0
可以扩充到
0xx
、
0x?
,?,, 等情况。
( 1 ) 若
limx x?
0
() 0
()
ux
vx?
，则称当 x? x
0
时,u x( ) 关于 v x( ) 是 高阶无穷小量 （ 或 v x( ) 关于 u x( ) 是 低阶无穷小量 ）,记为
()ux = ( ( ) )o v x （ x? x 0 ）。
例如
lim
x? 0
1? c o s x
x
=
lim
x? 0
2
2 s in
2 0
x
x
可表示为
1 c os x ()ox （ 0x? ）。
lim
x? 0 2
t an s i nxx
x
0
l i m
x?
s in 1 c o s 0
c o s
xx
x x x
可表示为
tan x - sin x? 2()ox ( 0x? ) 。
( 1 ) 若
limx x?
0
() 0
()
ux
vx?
，则称当 x? x
0
时,u x( ) 关于 v x( ) 是 高阶无穷小量 （ 或 v x( ) 关于 u x( ) 是 低阶无穷小量 ）,记为
()ux = ( ( ) )o v x （ x? x 0 ）。
( 2 ) 若存在 0A?,当 x 在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux A
vx
,
则称当 x? x
0
时,u x
v x
( )
( )
是 有界量,记为
()ux? ( ( ) )O v x ( x? x 0 ) 。
例如当 0x? 时,1
sinx x
与 x 都是无穷小量，且
1
s i n
1
x
x
x
,所以
1sinx
x?
()Ox ( 0x? ) 。
( 2 ) 若存在 0A?,当 x 在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux A
vx
,
则称当 x? x
0
时,u x
v x
( )
( )
是 有界量,记为
()ux? ( ( ) )O v x ( x? x 0 ) 。
若又存在 0a?,当 x 在
x 0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
,
则称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 同阶无穷小量 。
显然，若
lim
x x? 0
()
0
()
ux
c
vx
，则
()ux
与
v x( )
必是同阶无穷小量。
( 3 ) 若
lim
x x? 0
()
1
()
ux
vx
，称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 等价无穷小量,
记为
()ux
～
v x( )
( x?
x 0
)
上式也可写成
()ux
=
v x( )
+
( ( ) )o v x
( x?
x0
),
它表示当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
并不一定相等，两者相差一个关于
v x( )
的高阶无穷小量。
例如
lim
x? 0
s i n x
x
= 1 可表示为
sin xx?
(
0x?
),或者
sin xx ()ox
(
0x?
) ；
lim
x? 0
1
1
2
2
cos x
x
=
lim
x? 0
2
2
2 s in
2
1
2
x
x
可表示为
1 c os x?
～
1
2
2
x
(
0x?
),或者
1 c os x 1
2
2
x
+
2()ox
(
0x?
) ；
lim
x? 0
3
t a n s i n
1
2
xx
x
lim
x? 0
2
s i n 1 c o s
1
c o s
2
xx
xxx
可表示为
ta n sinxx?
～
1
2
3
x
(
0x?
),或者
ta n sinxx?
=
1
2
3
x
+
3()ox
(
0x?
) 。
注 记号,o,、,O,和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说，在使用时应附上记号,( x? x 0 ),，以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
我们往往选取
0( ) ( )
kv x x x
作为与
()ux
进行比较的无穷小量（如果极限过程是 x,则选取
v x( )
= 1
x k
）,这样有便于得出
()ux
作为无穷小量的确切阶数。
例如由 1 c os x? ～ 1
2
2x
( 0x? ) 可知当 0x? 时,1 c os x? 是二阶无穷小量；由 t a n x? s i n x ～ 1
2
3x
（ 0x? ）可知当 0x? 时,t a n x? s i n x 是三阶无穷小量。
注 记号,o,、,O,和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说，在使用时应附上记号,( x? x 0 ),，以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
()ux?
o ( 1 ) (
x? x
0
) 表示当
x? x
0
时，
()ux
是无穷小量；
()ux?
O ( 1 ) (
x? x
0
) 表示当
x? x
0
时，
()ux
是有界量。
例如当
0x?
+ 时,
1
ln x
是无穷小量，但它关于无穷小量?
x
(
为任意小的正数 ) 总是低阶无穷小量，所以它只能表示为
1
ln x
o ( 1 ) (
0x?
+ ) 。
又如当
0x?
时,
1
e sin
x
x
是有界量，所以可表示为
1
e si n
x
x
O ( 1 ) (
0x?
) 。
无穷大量的比较定义 3.3.2 若
lim
x x? 0
f x( )
=? （ 或±? ）,则称当 x?
x 0
时,
f x( )
是无穷大量 （ 或 正,负无穷大量 ） 。
定义中的极限过程同样可以扩充到
0xx
、
0x?
,?,, 等情况。
设
()ux
,
v x( )
是两个变量，当
0xx?
时它们都是无穷大量，为了比较两者趋于无穷大的速度，同样我们讨论
u x
v x
( )
( )
的极限情况,
( 1 ) 若
limx x?
0
()
()
ux
vx
,则当 x? x
0
时,()ux 关于
v x( )
是 高阶无穷大量 ( 或
v x( )
关于 ()ux 是 低阶无穷大量 ) 。
由于对任意正整数 k,有
limx
x
k
a
x
( 1 )a? 和
limx
ln 0k x
x
,所以当
x 时,( 1 )xaa? 关于 kx 是高阶无穷大量,ln k x 关于 x 是低阶无穷大量。
( 2 ) 若存在 0A?,当 x 在 x
0 的某个去心邻域中，成立
()
()
ux A
vx
,
则称当
0xx?
时,u x
v x
( )
( )
是有界量，记为
()ux = O ( v x( ) ) ( 0xx? ) 。
( 1 ) 若
limx x?
0
()
()
ux
vx
,则当 x? x
0
时,()ux 关于
v x( )
是 高阶无穷大量 ( 或
v x( )
关于 ()ux 是 低阶无穷大量 ) 。
由于对任意正整数 k,有
limx
x
k
a
x
( 1 )a? 和
limx
ln 0k x
x
,所以当
x 时,( 1 )xaa? 关于 kx 是高阶无穷大量,ln k x 关于 x 是低阶无穷大量。
例如当 x 时,x ( arct an x + s i n x ) 与 x 都是无穷大量，且
( a r c ta n s in ) 3x x x
x
，从而有表示式
x ( arct an x + s i n x ) = ( )Ox ( 0x? ) 。
若又存在 0a?,当 x 在
x 0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
,
则称当
0xx?
时，
()ux
与
v x( )
是 同阶无穷大量 。
显然，若
lim
x x? 0
()
0
()
ux
c
vx
，则
()ux
与
v x( )
必是同阶无穷大量。
例如当 x 时,x ( arct an x + s i n x ) 与 x 都是无穷大量，且
( a r c ta n s in ) 3x x x
x
，从而有表示式
x ( arct an x + s i n x ) = ( )Ox ( 0x? ) 。
( 3 ) 若
lim
x x? 0
() 1
()
ux
vx
，称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 等价无穷大量,
记为
()ux ～ v x( ) ( x? x 0 ) 。
例 如
limx
3
2
1
s inx
x
x
lim
x
1
sin
1
1
x
x
可表示为
x x3
1
s i n
～ x 2 ( x ) 。
( 3 ) 若
lim
x x? 0
() 1
()
ux
vx
，称当 x?
x 0
时，
()ux
与
v x( )
是 等价无穷大量,
记为
()ux ～ v x( ) ( x? x 0 ) 。
例 如
limx
3
2
1
s inx
x
x
lim
x
1
sin
1
1
x
x
可表示为
x x3
1
s i n
～ x 2 ( x ) 。
对于极限
lim
x
2
π
2
x
tan x,令 π
2
yx
,得到
lim
x
2
π
2
x
t a n x
0
l i m
y
cos
1
s i n
yy
y
,
此即可表示为
tan x ～ 1
2
x
（ x
2
- ）。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o,，
但仍使用记号,O,和“～”。
例 3.3.1 证明：当 x 0 时，对任意的正整数 k,k
x
ln
1 关于 x 是低阶无穷小量。
证 令
lnyx
,则当 x 0 时，
y
，于是
lim
x0
1
ln
k
x
x
lim
y
0
e
k
y
y
。
例 3.3.2 证明：当 x 0 时，对任意的正整数 k,e? 1x 关于 x k 是高阶无穷小量。
证 令 1
y
x
,则当 x 0 时，
y
，于是
limx0
1
e x
kx
lim
y
0
e
k
y
y? 。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o,，
但仍使用记号,O,和“～”。
例 3.3.1 证明：当 x 0 时，对任意的正整数 k,k
x
ln
1 关于 x 是低阶无穷小量。
证 令
lnyx
,则当 x 0 时，
y
，于是
lim
x0
1
ln
k
x
x
lim
y
0
e
k
y
y
。
等价量等价量 就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例 3.3.3 证明：
l n ( 1 )xx?
( 0?x ) 。
证
lim
x
1
1e
x
x
等价于
lim
x? 0
1
( 1 ) exx
。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x? 0
l n ( )1? x
x
=
lim
x? 0
l n ( )1
1
x x
= 1 。
例 3.3.4 证明,e x - 1 ～ x ( x 0? ) 。
证 令 e1xy,则当 x 0? 时,0y?,且 l n ( 1 )xy,于是
limx? 0 e1
x
x
lim
y? 0 1l n( 1 )
y
y
。
等价量等价量 就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例 3.3.3 证明：
l n ( 1 )xx?
( 0?x ) 。
证
lim
x
1
1e
x
x
等价于
lim
x? 0
1
( 1 ) exx
。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x? 0
l n ( )1? x
x
=
lim
x? 0
l n ( )1
1
x x
= 1 。
例 3.3.5 证明：
( 1 )x
- 1 ～? x ( x 0? )
证 令
( 1 ) 1xy
,则当 x 0? 时，
0y?
。于是
lim
x? 0
( 1 ) 1x
x
lim
x? 0
( 1 ) 1 l n ( 1 )
l n ( 1 )
xx
xx
0
li m
y?
)1l n ( y
y
lim
x? 0
ln ( )1? x
x
。
这三个等价关系连同已经知道的 sin xx? （ 0x? ）,是计算极限时最常用的关系式。
例 3.3.6 设
()ux
= x x? 。
当 x 时，
lim
x
x x
x
=
lim
x
1
11
x
,所以有
()ux
～ x 12 ( x ) ；
当 x 0 时，
lim
x0
x x
x
4
=
lim
x0
11 x
，所以有
()ux
～ x 14 ( 0x ) 。
例 3.3.7 设
v x( )
= 2 33 5x x?
当 x 时，
lim
x
2 3
3
3 5
5
x x
x
= 1,所以有
v x( )
～ 3 5x ( x ）；
当 0x? 时，
lim
x? 0
2 3
2
3 5
3
x x
x
= 1,所以有
v x( )
～ 2 3x ( 0x? ) 。
设一个变量是由几个相互不同阶的成分相加而成，则当它是无穷大量时，它与阶数最高的那个无穷大量成分等价；当它是无穷小量时，
它与阶数最低的那个无穷小量成分等价。
定理 3,3,1 设 )( xu,)( xv 和 )( xw 在
0x
的某个去心邻域 U 上有定义，且
1
)(
)(lim
0
xw
xv
xx
（即 )( xv ～ )( xw （
0xx?
）），那么
（ 1 ）当
Axwxuxx )()(l i m
0
时，
Axvxuxx )()(lim
0；
（ 2 ）当
A
xw
xu
xx
)(
)(l im
0
时，
A
xv
xu
xx
)(
)(lim
0
。
例 3.3.8
limx
a x a x a x
b x b x b x
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
1
1
1
1
=
limx
a x
b x
m
m
m
m
= a
b
m
m
（ 0,?
mm ba
）；
及
limx? 0
a x a x a x
b x b x b x
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
1
1
1
1
=
limx? 0
a x
b x
n
n
n
n
= a
b
n
n
（ 0,?
nn ba
）。
定理 3,3,1 设 )( xu,)( xv 和 )( xw 在
0x
的某个去心邻域 U 上有定义，且
1
)(
)(lim
0
xw
xv
xx
（即 )( xv ～ )( xw （
0xx?
）），那么
（ 1 ）当
Axwxuxx )()(l i m
0
时，
Axvxuxx )()(lim
0；
（ 2 ）当
A
xw
xu
xx
)(
)(l im
0
时，
A
xv
xu
xx
)(
)(lim
0
。
例 3.3.9 计算
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
。
解 由于 xt a n ～ x,2e1x? ～ 2 x,22 ~)1l n ( xx? （ 0?x ），所以
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
2
0
1l im
22x
x
xx
。
例 3.3,10 计算
lim
x? 0
31e
l n ( 1 2 )
x
x
x
。
解
lim
x? 0
31e
l n ( 1 2 )
x
x
x
=
lim
x? 0
3( 1 1 ) ( e 1 )
l n ( 1 2 )
x
x
x
=
lim
x? 0
( ) ( )
23
2
xx
o x o x
x
=
lim
x? 0
()
6
2
x
ox
x
= 1
12
。
例 3.3.9 计算
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
。
解 由于 xt a n ～ x,2e1x? ～ 2 x,22 ~)1l n ( xx? （ 0?x ），所以
limx? 0
2
2
l n ( 1 )
(e 1 ) t a nx
x
x
2
0
1l im
22x
x
xx
。
例 3.3.1 1 计算
limx )(
3 33 3 xxxxx 。
解
limx )(
3 33 3 xxxxx =
limx
1
1
11
1
1 3
2
3
2
2
xx
x
=
limx 2
2 2 2 2
1 1 1 1
33
x o o
x x x x
=
limx 2
22
21
3
xo
xx
= 2
3
。
例 3.3.1 2 计算
limx? 0
( c o s )x x
1
2 。
解
limx? 0
( c o s )x x
1
2 =
limx? 0
[ ( c o s )]1 1
1
2 x x
=
limx? 0
2
1
2
2
1
xx
=
limx? 0
2
1
2
2 2
2
1
xx
= 1
e
。
例 3.3.1 1 计算
limx )(
3 33 3 xxxxx 。
解
limx )(
3 33 3 xxxxx =
limx
1
1
11
1
1 3
2
3
2
2
xx
x
=
limx 2
2 2 2 2
1 1 1 1
33
x o o
x x x x
=
limx 2
22
21
3
xo
xx
= 2
3
。
注意：当计算中出现无穷小量 ( 或无穷大量 ) 相加或相减时，就不能不加考虑便用等价量直接进行代换。例如，在求极限
lim
x? 0 3
t an s i nxx
x
时,若贸然用 tan x ～
( 0 )xx?
与 s i n x ～
( 0 )xx?
进行代换，就会得到
lim
x? 0 3
t an s i nxx
x
=
lim
x? 0 3
0xx
x
的错误结论 —— 我们已经知道
lim
x? 0 3
t an s i nxx
x
= 1
2
。
事实上，虽然当 0?x 时,tan x 与 s i n x 分别等价于 x,但这是省略了关于 x 的高阶无穷小量部分后得到的等价关系，所以 t a n x - s i n x 并不等于 0,而是等价于 x 的高阶无穷小量 x 3
2
。
再比如，在求极限
lim
x? 0
1 1
1
2
2
x x
x
时，也不能直接用
0?x
时的等价关系
1? x
- 1 ～
1
2
x
代入，事实上,
lim
x? 0
1 1
1
2
2
x x
x
=
lim
x? 0
xxx
xx
2
1
11
2
1
1)1(
2
2
=
lim
x? 0
xxx
x
2
1
11
4
1
2
2
= -
1
8
。
（以后可知
1? x
- 1 ～
1
2
x
-
1
8
x 2 ( 0?x ) ）
