从定义出发求导函数一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数,
常数函数
y C?
的导数恒等于零。
例 4.3.1 求
y x? s in
的导函数。
解
2
s in
2
c o s2s in)s in (
xx
xxxx
，由
c o s x
的连续性与
)0(
2
~
2
s i n
x
xx
，可知
0
sin( ) sin
l im
x
x x x
x
2
2
s in
lim
2
c o slim
00 x
x
x
x
xx?
=
c o s x
,
根据定义，即得
( s i n ) c o sx x
。
§ 3 导数四则运算和反函数求导法则例 4.3.2 求
y x? ln
的导函数。
解
x
x
x
xx
xxx 1lnlnln)l n (
,
由
)0(~1ln
x
x
x
x
x
，可知
00
l n 1
l n ( ) l n 1 1
l i m l i m
xx
x
x x x x
xx x x
x
,
根据定义，即有
( ln )x
x
1 。
例 4.3.3 求
xy e?
的导函数。
解 利用等价关系式
e 1 ~ ( 0 )x xx
，可得
00
e e e 1
l im e l im e
x x x x
xx
xx xx
,
即有
(e ) ex x
。
进一步，利用等价关系
)1,0(ln~1 aaaxa x
，可得
( ) ( l n )a a ax x
。
注意,y x? e 的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数函数和对数函数时经常将底数取成 e 的缘故。以后会知道，若一个函数的导函数等于它本身，那么这个函数与 y x? e 至多相差一个常数因子，即它必为
y C x? e
的形式。
例 4.3.3 求
xy e?
的导函数。
解 利用等价关系式
e 1 ~ ( 0 )x xx
，可得
00
e e e 1
l im e l im e
x x x x
xx
xx xx
,
即有
(e ) ex x
。
进一步，利用等价关系
)1,0(ln~1 aaaxa x
，可得
( ) ( l n )a a ax x
。
例 4.3.4 求幂函数
y x a?
(
0x?
) 的导函数,其中
a
为任意实数。
解 利用等价关系
x
xa
x
x
a
~11
(
0 x
),有
,
11
l i m
11
l i m
)(
l i m
1
0
1
00
a
a
x
a
a
a
x
aa
x
ax
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
于是得到
( )x axa a 1
。
注意：对于具体给定的实数
a
，幂函数
y x a?
的定义域与可导范围可能扩大，例如,
nyx?
（
n
为自然数）的定义域为
(,)
，它的导函数为
1,(,)ny n x x；
1
n
y
x
（
n
为自然数）的定义域为
(,0 ) ( 0,)
，它的导函数为
1
,(,0 ) ( 0,)
n
n
yx
x
；
2
3yx?
的定义域为
(,)
，它的导函数为
3
2
,(,0 ) ( 0,)
3
yx
x
；
1
2yx?
的定义域为
0,
，它的导函数为
1
,(0,)
2
yx
x
。
求导的四则运算法则定理 4.3.1 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的,则对任意常数
c 1
和
c 2
，它们的线性组合
c f x c g x1 2( ) )
也在该区间上可导，且满足如下的线性运算关系
[ ( ) ) ] ( ) )c f x c g x c f x c g x1 2 1 2
。
证 由
f x( )
和
g x( )
可导性,根据定义，可得
12 ( ) ( )c f x c g x
=
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
l i m
x
c f x x c g x x c f x c g x
x
=
1
0
( ) ( )
l i m
x
f x x f x
c
x
+
2
0
( ) ( )
l i m
x
g x x g x
c
x
=
12 ( ) ( ),c f x c g x
证毕对于函数 c f x c g x1 2( ) ) 的微分，也有类似的结果,
)][)]([)])([ 2121 xgcxfcxgcxfc ddd 。
求导的四则运算法则定理 4.3.1 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的,则对任意常数
c 1
和
c 2
，它们的线性组合
c f x c g x1 2( ) )
也在该区间上可导，且满足如下的线性运算关系
[ ( ) ) ] ( ) )c f x c g x c f x c g x1 2 1 2
。
证 由
f x( )
和
g x( )
可导性,根据定义，可得
12 ( ) ( )c f x c g x
=
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
l i m
x
c f x x c g x x c f x c g x
x
=
1
0
( ) ( )
l i m
x
f x x f x
c
x
+
2
0
( ) ( )
l i m
x
g x x g x
c
x
=
12 ( ) ( ),c f x c g x
证毕因为
a
x
xa
ln
ln
l o g?
，由定理 4.3.1 和对数函数的导数公式，有
ax
x
a
xa
ln
1
)( l n
ln
1
l o g
。
例 4.3.5 求
xxy a 3l o g5
的导函数
)1,0( aa
。
解
53
( 5 l o g 3 ) 5 ( l o g ) 3 ( ),
ln 2aa
y x x x x
xa x
。
定理 4.3.2 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的,则它们的积函数也在该区间上可导，且满足
[ ( ) ) ] ( ) ) ( ) )f x g x f x g x f x g x；
相应的微分表达式为
)][)()]([))])([ xgxfxfxgxgxf ddd
。
证 因为
( ) ) ( ) )
[ ( ) ) ( ) ) ] [ ( ) ) ( ) ) ]
) ) ( ) ( )
( ) ),
f x x g x x f x g x
x
f x x g x x f x x g x f x x g x f x g x
x
g x x g x f x x f x
f x x g x
xx
由
f x( )
和
g x( )
可导性（显然
()fx
也具有连续性），即可得到
0
0 0 0
( ) ) ( ) )
[ ( ) ( ) ] l i m
) ) ( ) ( )
l i m ( ) l i m ) l i m
x
x x x
f x x g x x f x g x
f x g x
x
g x x g x f x x f x
f x x g x
xx
。
( ) ( ) ( ) ( ),f x g x f x g x
证毕例 4.3.6 求 y xx? 3 c o s 的导函数。
解
( 3 c o s ) ( 3 ) c o s 3 ( c o s )
l n 3 ( 3 ) c o s 3 s in 3 ( l n 3 c o s s in )
x x x
x x x
y x x x
x x x x
。
例 4.3.7 求
y
x
x?
s in 的导函数。
解
y
x
x
x
x
x
x 1
s i n
1
)( s i n
s i n
2
11c o s s i nxx
xx
x x x
x
c o s si n
2
。
例 4.3.6 求 y xx? 3 c o s 的导函数。
解
( 3 c o s ) ( 3 ) c o s 3 ( c o s )
l n 3 ( 3 ) c o s 3 s in 3 ( l n 3 c o s s in )
x x x
x x x
y x x x
x x x x
。
定理 4.3.3 设
g x( )
在某一区间上可导,且
g x( )? 0
,则它的倒数也在该区间上可导，且满足
2
)][
)
)
1
xg
xg
xg?
；
相应的微分表达形式为
2
11
d d [ ) ]
) [ ) ]
gx
g x g x
。
证 记
y
g x
1
)
，则有
0 0 0
2
00
11
1 ) )))
l im l im l im
( ) ) )
1 ) ) 1 ' ( )
l im l im
) ) [ ( ) ]
x x x
xx
y g x g x xg x x g x
g x x x g x x g x x
g x x g x g x
g x x g x x g x
。
证毕例 4.3.8 求
y x? s ec
的导函数。
解 因为
s ec cosx x? 1
，于是
22
1 ( c os ) si n
( sec ) t a n sec
c os c os c os
xx
x x x
x x x
。
同理可得
xxx c s cc o t)( c s c 。
推论 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的，且
g x( )? 0
,则它们的商函数也在该区间上可导，且满足
2)][
))())(
)
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
；
这一结论的微分形式为
2
( ) )d [ ( ) ] ( )d [ ) ]
d
) [ ) ]
f x g x f x f x g x
g x g x
。
例 4.3.8 求
y x? s ec
的导函数。
解 因为
s ec cosx x? 1
，于是
22
1 ( c os ) si n
( sec ) t a n sec
c os c os c os
xx
x x x
x x x
。
同理可得
xxx c s cc o t)( c s c 。
例 4.3.9 求
xy t a n?
的导函数。
解 因为
x
x
x
c o s
s i n
t a n?
，由上述推论,
2
22
2
2
si n ( si n ) c os si n ( c os )
( t a n )
c os c os
c os si n
se c
c os
x x x x x
x
xx
xx
x
x
。
同理可得
xx 2cs c)( co t
。
反函数求导法则定理 4,3,4 ( 反函数求导定理 ) 若函数
y f x? ( )
在
(,)a b
上连续、
严格单调、可导并且
f x( ) 0
，记
))(),(m i n ( bfaf?
，
))(),(m a x ( bfaf?
,则它的反函数
x f y 1 ( )
在
),(
上可导且有
[ ( ) ]
( )
f y
f x
1
1
。
证 因为函数
)( xfy?
在
(,)a b
上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数
x f y 1 ( )
在
),(
上存在,连续,且严格单调，
所以
( ) ( ) 0y f x x f x
等价于
11( ) ( ) 0x f y y f y
，并且当
y? 0?
时有
x? 0?
。因此
1( ) ( )fy
0
lim
y
11
( ) ( )f y y f y
y
=
0
lim
x
( ) ( )
x
f x x f x
0
1
( ) ( )
l i m
x
f x x f x
x
1
()fx?
。
证毕例 4.3.10 求
xy ta na r c?
和
y x? a r c s in
的导函数。
解 容易验证
yx t a n?
满足定理 4.3.4 的所有条件，将
xy ta na r c?
看成它的反函数，于是有
222
1
1
t a n1
1
s e c
1
)( t a n
1
)t a n( a r c
xyyy
x
。
类似地，将
y x? a r c s in
看成
x y? s in
的反函数，便可得到
( a r c s i n )
( s i n ) c o s s i n
x
y y y x
1 1 1
1
1
1
2 2
。
同样可得到
( a r c c o s )x
x
1
1
2
,
2
1
1
)c o t( a r c
x
x
。
例 4.3.11 求双曲函数及反双曲函数的导函数。
解 由于
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
)(e
)(e
e
1
)(e
22
,
于是
xx
xxxx
ch
2
ee
2
ee
)( s h?
。
同理可得
( c h ) shx x
。
由
sh
th
ch
x
x
x
和
x
x
x
x
sh
ch
th
1
c t h
，可以得到
(t h )
ch
s e c hx
x
x
1
2
2
,
(ct h )
sh
cs chx
x
x
1
2
2
。
反双曲函数的导函数可按反三角函数类似导出，如
( s h )
( s h ) ch sh
1
2 2
1 1 1
1
1
1
x
y y y x
,
这里利用了双曲函数的关系 ch sh2 2 1x x 。
同理可得
(ch )
1
2
1
1
x
x
,
2
11
1
1
)( c th)( th
x
xx
。
基本初等函数的导数和微分公式,
( )C 0
d ( ) 0 d 0Cx
1()xx
1d ( ) dx x x
( s i n ) c o sx x
d ( s i n ) c o s dx x x?
( c o s ) s i nx x
d ( c o s ) s i n dx x x
xx 2s ec)( t an
2d( t a n ) s e cx x x? d
xx 2cs c)( co t
2d ( c o t ) c s cx x x d
xxx s e ct a n)( s e c
d ( s e c ) t a n s e cx x x x? d
xxx c s cc o t)( c s c
d ( c s c ) c o t c s cx x x x d
( a r c s in )x
x
1
1
2
2
d
d ( a r c s in )
1
x
x
x
( a r c c o s )x
x
1
1
2
2
d
d ( a r c c o s )
1
x
x
x
2
1
1
)t a n( a r c
x
x
2
d
d (a rc t a n )
1
x
x
x
2
1
1
)c o t( a r c
x
x
2
d
d (a rc c o t )
1
x
x
x
( ) lna a ax x
,
d ( ) l n dxxa a a x
特别地
(e ) ex x
特别地
d ( e ) e dxx x?
(l og )
ln
a
x
a x
1 1
1d
d ( l o g )
ln
a
x
x
ax
特别地
( l n )x
x
1
特别地
d
d ( l n )
x
x
x
( s h ) chx x
d ( s h ) c h dx x x?
( c h ) shx x
d ( c h ) s h dx x x?
xx 2s e ch)( t h
2d ( t h ) s e c h dx x x?
xx 2cs ch)( ct h
2d ( c t h ) c s c h dx x x
2
1
1
1
)( s h
x
x
1
2
d
d ( s h )
1
x
x
x
(ch )
1
2
1
1
x
x
1
2
d
d ( c h )
1
x
x
x
(th ) (cth )
1 1
2
1
1
x x
x
11
2
d
d ( th ) d ( c th )
1
x
xx
x
定理 4.3.1 和定理 4.3.2 可以推广到多个函数的情况,
⑴ 多个函数线性组合的导函数,
[ ( ) ] ( )c f x c f xi i
i
n
i i
i
n
1 1
,
其中
ic
（
ni,,2,1
）为常数。
⑵ 多个函数乘积的导函数,
[ ( ) ] { ( ) ( ) }f x f x f x
i
i
n
j
j
n
i
i
i j
n
1 1 1
。
例 4.3.12 求 n 次多项式
01
1
1 axaxaxay
n
n
n
n
的导函数。
解
11
1 1 0 1 1 0
12
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 )
n n n n
n n n n
nn
nn
y a x a x a x a a x a x a x a
a n x a n x a
。
n 次多项式的导函数是 n? 1 次多项式。
例 4.3.13 求函数
]ar cs i n)13([e 2 xxxy x
的导函数。
解
]a r c s i n)13([e 2 xxxy x
(e ) ( ) a r c s i n e ( ) a r c s i n e ( ) ( a r c s i n )x x xx x x x x x x x x2 2 23 1 3 1 3 1
e ( ) a r c s i n e ( ) a r c s i n ex x xx x x x x
x x
x
2
2
2
3 1 2 3
3 1
1
2
2
2
31
e ( 5 2 ) a r c s in
1
x xxx x x
x
。
例 4.3.12 求 n 次多项式
01
1
1 axaxaxay
n
n
n
n
的导函数。
解
11
1 1 0 1 1 0
12
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 )
n n n n
n n n n
nn
nn
y a x a x a x a a x a x a x a
a n x a n x a
。
n 次多项式的导函数是 n? 1 次多项式。
常数函数
y C?
的导数恒等于零。
例 4.3.1 求
y x? s in
的导函数。
解
2
s in
2
c o s2s in)s in (
xx
xxxx
，由
c o s x
的连续性与
)0(
2
~
2
s i n
x
xx
，可知
0
sin( ) sin
l im
x
x x x
x
2
2
s in
lim
2
c o slim
00 x
x
x
x
xx?
=
c o s x
,
根据定义，即得
( s i n ) c o sx x
。
§ 3 导数四则运算和反函数求导法则例 4.3.2 求
y x? ln
的导函数。
解
x
x
x
xx
xxx 1lnlnln)l n (
,
由
)0(~1ln
x
x
x
x
x
，可知
00
l n 1
l n ( ) l n 1 1
l i m l i m
xx
x
x x x x
xx x x
x
,
根据定义，即有
( ln )x
x
1 。
例 4.3.3 求
xy e?
的导函数。
解 利用等价关系式
e 1 ~ ( 0 )x xx
，可得
00
e e e 1
l im e l im e
x x x x
xx
xx xx
,
即有
(e ) ex x
。
进一步，利用等价关系
)1,0(ln~1 aaaxa x
，可得
( ) ( l n )a a ax x
。
注意,y x? e 的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数函数和对数函数时经常将底数取成 e 的缘故。以后会知道，若一个函数的导函数等于它本身，那么这个函数与 y x? e 至多相差一个常数因子，即它必为
y C x? e
的形式。
例 4.3.3 求
xy e?
的导函数。
解 利用等价关系式
e 1 ~ ( 0 )x xx
，可得
00
e e e 1
l im e l im e
x x x x
xx
xx xx
,
即有
(e ) ex x
。
进一步，利用等价关系
)1,0(ln~1 aaaxa x
，可得
( ) ( l n )a a ax x
。
例 4.3.4 求幂函数
y x a?
(
0x?
) 的导函数,其中
a
为任意实数。
解 利用等价关系
x
xa
x
x
a
~11
(
0 x
),有
,
11
l i m
11
l i m
)(
l i m
1
0
1
00
a
a
x
a
a
a
x
aa
x
ax
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
于是得到
( )x axa a 1
。
注意：对于具体给定的实数
a
，幂函数
y x a?
的定义域与可导范围可能扩大，例如,
nyx?
（
n
为自然数）的定义域为
(,)
，它的导函数为
1,(,)ny n x x；
1
n
y
x
（
n
为自然数）的定义域为
(,0 ) ( 0,)
，它的导函数为
1
,(,0 ) ( 0,)
n
n
yx
x
；
2
3yx?
的定义域为
(,)
，它的导函数为
3
2
,(,0 ) ( 0,)
3
yx
x
；
1
2yx?
的定义域为
0,
，它的导函数为
1
,(0,)
2
yx
x
。
求导的四则运算法则定理 4.3.1 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的,则对任意常数
c 1
和
c 2
，它们的线性组合
c f x c g x1 2( ) )
也在该区间上可导，且满足如下的线性运算关系
[ ( ) ) ] ( ) )c f x c g x c f x c g x1 2 1 2
。
证 由
f x( )
和
g x( )
可导性,根据定义，可得
12 ( ) ( )c f x c g x
=
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
l i m
x
c f x x c g x x c f x c g x
x
=
1
0
( ) ( )
l i m
x
f x x f x
c
x
+
2
0
( ) ( )
l i m
x
g x x g x
c
x
=
12 ( ) ( ),c f x c g x
证毕对于函数 c f x c g x1 2( ) ) 的微分，也有类似的结果,
)][)]([)])([ 2121 xgcxfcxgcxfc ddd 。
求导的四则运算法则定理 4.3.1 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的,则对任意常数
c 1
和
c 2
，它们的线性组合
c f x c g x1 2( ) )
也在该区间上可导，且满足如下的线性运算关系
[ ( ) ) ] ( ) )c f x c g x c f x c g x1 2 1 2
。
证 由
f x( )
和
g x( )
可导性,根据定义，可得
12 ( ) ( )c f x c g x
=
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
l i m
x
c f x x c g x x c f x c g x
x
=
1
0
( ) ( )
l i m
x
f x x f x
c
x
+
2
0
( ) ( )
l i m
x
g x x g x
c
x
=
12 ( ) ( ),c f x c g x
证毕因为
a
x
xa
ln
ln
l o g?
，由定理 4.3.1 和对数函数的导数公式，有
ax
x
a
xa
ln
1
)( l n
ln
1
l o g
。
例 4.3.5 求
xxy a 3l o g5
的导函数
)1,0( aa
。
解
53
( 5 l o g 3 ) 5 ( l o g ) 3 ( ),
ln 2aa
y x x x x
xa x
。
定理 4.3.2 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的,则它们的积函数也在该区间上可导，且满足
[ ( ) ) ] ( ) ) ( ) )f x g x f x g x f x g x；
相应的微分表达式为
)][)()]([))])([ xgxfxfxgxgxf ddd
。
证 因为
( ) ) ( ) )
[ ( ) ) ( ) ) ] [ ( ) ) ( ) ) ]
) ) ( ) ( )
( ) ),
f x x g x x f x g x
x
f x x g x x f x x g x f x x g x f x g x
x
g x x g x f x x f x
f x x g x
xx
由
f x( )
和
g x( )
可导性（显然
()fx
也具有连续性），即可得到
0
0 0 0
( ) ) ( ) )
[ ( ) ( ) ] l i m
) ) ( ) ( )
l i m ( ) l i m ) l i m
x
x x x
f x x g x x f x g x
f x g x
x
g x x g x f x x f x
f x x g x
xx
。
( ) ( ) ( ) ( ),f x g x f x g x
证毕例 4.3.6 求 y xx? 3 c o s 的导函数。
解
( 3 c o s ) ( 3 ) c o s 3 ( c o s )
l n 3 ( 3 ) c o s 3 s in 3 ( l n 3 c o s s in )
x x x
x x x
y x x x
x x x x
。
例 4.3.7 求
y
x
x?
s in 的导函数。
解
y
x
x
x
x
x
x 1
s i n
1
)( s i n
s i n
2
11c o s s i nxx
xx
x x x
x
c o s si n
2
。
例 4.3.6 求 y xx? 3 c o s 的导函数。
解
( 3 c o s ) ( 3 ) c o s 3 ( c o s )
l n 3 ( 3 ) c o s 3 s in 3 ( l n 3 c o s s in )
x x x
x x x
y x x x
x x x x
。
定理 4.3.3 设
g x( )
在某一区间上可导,且
g x( )? 0
,则它的倒数也在该区间上可导，且满足
2
)][
)
)
1
xg
xg
xg?
；
相应的微分表达形式为
2
11
d d [ ) ]
) [ ) ]
gx
g x g x
。
证 记
y
g x
1
)
，则有
0 0 0
2
00
11
1 ) )))
l im l im l im
( ) ) )
1 ) ) 1 ' ( )
l im l im
) ) [ ( ) ]
x x x
xx
y g x g x xg x x g x
g x x x g x x g x x
g x x g x g x
g x x g x x g x
。
证毕例 4.3.8 求
y x? s ec
的导函数。
解 因为
s ec cosx x? 1
，于是
22
1 ( c os ) si n
( sec ) t a n sec
c os c os c os
xx
x x x
x x x
。
同理可得
xxx c s cc o t)( c s c 。
推论 设
f x( )
和
g x( )
在某一区间上都是可导的，且
g x( )? 0
,则它们的商函数也在该区间上可导，且满足
2)][
))())(
)
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
；
这一结论的微分形式为
2
( ) )d [ ( ) ] ( )d [ ) ]
d
) [ ) ]
f x g x f x f x g x
g x g x
。
例 4.3.8 求
y x? s ec
的导函数。
解 因为
s ec cosx x? 1
，于是
22
1 ( c os ) si n
( sec ) t a n sec
c os c os c os
xx
x x x
x x x
。
同理可得
xxx c s cc o t)( c s c 。
例 4.3.9 求
xy t a n?
的导函数。
解 因为
x
x
x
c o s
s i n
t a n?
，由上述推论,
2
22
2
2
si n ( si n ) c os si n ( c os )
( t a n )
c os c os
c os si n
se c
c os
x x x x x
x
xx
xx
x
x
。
同理可得
xx 2cs c)( co t
。
反函数求导法则定理 4,3,4 ( 反函数求导定理 ) 若函数
y f x? ( )
在
(,)a b
上连续、
严格单调、可导并且
f x( ) 0
，记
))(),(m i n ( bfaf?
，
))(),(m a x ( bfaf?
,则它的反函数
x f y 1 ( )
在
),(
上可导且有
[ ( ) ]
( )
f y
f x
1
1
。
证 因为函数
)( xfy?
在
(,)a b
上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数
x f y 1 ( )
在
),(
上存在,连续,且严格单调，
所以
( ) ( ) 0y f x x f x
等价于
11( ) ( ) 0x f y y f y
，并且当
y? 0?
时有
x? 0?
。因此
1( ) ( )fy
0
lim
y
11
( ) ( )f y y f y
y
=
0
lim
x
( ) ( )
x
f x x f x
0
1
( ) ( )
l i m
x
f x x f x
x
1
()fx?
。
证毕例 4.3.10 求
xy ta na r c?
和
y x? a r c s in
的导函数。
解 容易验证
yx t a n?
满足定理 4.3.4 的所有条件，将
xy ta na r c?
看成它的反函数，于是有
222
1
1
t a n1
1
s e c
1
)( t a n
1
)t a n( a r c
xyyy
x
。
类似地，将
y x? a r c s in
看成
x y? s in
的反函数，便可得到
( a r c s i n )
( s i n ) c o s s i n
x
y y y x
1 1 1
1
1
1
2 2
。
同样可得到
( a r c c o s )x
x
1
1
2
,
2
1
1
)c o t( a r c
x
x
。
例 4.3.11 求双曲函数及反双曲函数的导函数。
解 由于
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
)(e
)(e
e
1
)(e
22
,
于是
xx
xxxx
ch
2
ee
2
ee
)( s h?
。
同理可得
( c h ) shx x
。
由
sh
th
ch
x
x
x
和
x
x
x
x
sh
ch
th
1
c t h
，可以得到
(t h )
ch
s e c hx
x
x
1
2
2
,
(ct h )
sh
cs chx
x
x
1
2
2
。
反双曲函数的导函数可按反三角函数类似导出，如
( s h )
( s h ) ch sh
1
2 2
1 1 1
1
1
1
x
y y y x
,
这里利用了双曲函数的关系 ch sh2 2 1x x 。
同理可得
(ch )
1
2
1
1
x
x
,
2
11
1
1
)( c th)( th
x
xx
。
基本初等函数的导数和微分公式,
( )C 0
d ( ) 0 d 0Cx
1()xx
1d ( ) dx x x
( s i n ) c o sx x
d ( s i n ) c o s dx x x?
( c o s ) s i nx x
d ( c o s ) s i n dx x x
xx 2s ec)( t an
2d( t a n ) s e cx x x? d
xx 2cs c)( co t
2d ( c o t ) c s cx x x d
xxx s e ct a n)( s e c
d ( s e c ) t a n s e cx x x x? d
xxx c s cc o t)( c s c
d ( c s c ) c o t c s cx x x x d
( a r c s in )x
x
1
1
2
2
d
d ( a r c s in )
1
x
x
x
( a r c c o s )x
x
1
1
2
2
d
d ( a r c c o s )
1
x
x
x
2
1
1
)t a n( a r c
x
x
2
d
d (a rc t a n )
1
x
x
x
2
1
1
)c o t( a r c
x
x
2
d
d (a rc c o t )
1
x
x
x
( ) lna a ax x
,
d ( ) l n dxxa a a x
特别地
(e ) ex x
特别地
d ( e ) e dxx x?
(l og )
ln
a
x
a x
1 1
1d
d ( l o g )
ln
a
x
x
ax
特别地
( l n )x
x
1
特别地
d
d ( l n )
x
x
x
( s h ) chx x
d ( s h ) c h dx x x?
( c h ) shx x
d ( c h ) s h dx x x?
xx 2s e ch)( t h
2d ( t h ) s e c h dx x x?
xx 2cs ch)( ct h
2d ( c t h ) c s c h dx x x
2
1
1
1
)( s h
x
x
1
2
d
d ( s h )
1
x
x
x
(ch )
1
2
1
1
x
x
1
2
d
d ( c h )
1
x
x
x
(th ) (cth )
1 1
2
1
1
x x
x
11
2
d
d ( th ) d ( c th )
1
x
xx
x
定理 4.3.1 和定理 4.3.2 可以推广到多个函数的情况,
⑴ 多个函数线性组合的导函数,
[ ( ) ] ( )c f x c f xi i
i
n
i i
i
n
1 1
,
其中
ic
（
ni,,2,1
）为常数。
⑵ 多个函数乘积的导函数,
[ ( ) ] { ( ) ( ) }f x f x f x
i
i
n
j
j
n
i
i
i j
n
1 1 1
。
例 4.3.12 求 n 次多项式
01
1
1 axaxaxay
n
n
n
n
的导函数。
解
11
1 1 0 1 1 0
12
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 )
n n n n
n n n n
nn
nn
y a x a x a x a a x a x a x a
a n x a n x a
。
n 次多项式的导函数是 n? 1 次多项式。
例 4.3.13 求函数
]ar cs i n)13([e 2 xxxy x
的导函数。
解
]a r c s i n)13([e 2 xxxy x
(e ) ( ) a r c s i n e ( ) a r c s i n e ( ) ( a r c s i n )x x xx x x x x x x x x2 2 23 1 3 1 3 1
e ( ) a r c s i n e ( ) a r c s i n ex x xx x x x x
x x
x
2
2
2
3 1 2 3
3 1
1
2
2
2
31
e ( 5 2 ) a r c s in
1
x xxx x x
x
。
例 4.3.12 求 n 次多项式
01
1
1 axaxaxay
n
n
n
n
的导函数。
解
11
1 1 0 1 1 0
12
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 )
n n n n
n n n n
nn
nn
y a x a x a x a a x a x a x a
a n x a n x a
。
n 次多项式的导函数是 n? 1 次多项式。
