有向面积与向量的外积
前面导出二重积分变量代换公式
()
(,)
(,)d d ((,),(,)) d d
(,)
T
xy
f xy x y fxuv yuv u v
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
时已经指出，加了绝对值号的 Jacobi 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义是 xy平面的面积微元 ddxy与 uv平面的面积微元 dduv之间的比例系数。那么，
不加绝对值号的 Jacobi 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义又是什么呢？一个顺理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。
§ 5 微分形式带符号的面积称为 有向面积。下面从最简单的平行四边形出发，
给出一个定义有向面积的例子。
设 ),(
21
aa=a,),(
21
bb=b 为平面
2
R 上两个线性无关向量,Π为
2
R 上由向量 a 和 b 所张成的平行四边形,我们规定,如果从向量 a 出发在 Π
中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向,b 的方向和指向读者的方向成右手定则，见图 13.5.1）,这个平行四边形的面积为正，否则为负。
b Π
a
图 13.5.1
容易看出，二阶行列式
21
21
bb
aa
正是由 a 和 b 所张成的平行四边 形
Π的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是 Π在普通意义下的面积。将这两个向量用极坐标表示为
)sin,cos(),sin,cos(
22221111
θθθθ rrbrra ==,
若从 a 出发在 Π中旋转到 b 是逆时针方向的，则有
121
πθ θθ< <+，因此
12
12 1 2 1 2 12 2 1
12
(cos sin sin cos ) sin( ) 0
aa
rr rr
bb
θθ θθ θθ=?=?>,
与 Π的有向面积的符号规定一致。
若交换 a 和 b 的位置,即从 a 出发在 Π中旋转到 b 是顺时针方向的，则结果反号。
我们将这种运算称为向量 a 与 b 的 外积，记为 a∧b，即
a∧b =
21
21
bb
aa
。
易验证外积运算具有以下性质,
（ 1） 反称性
a∧b = - a∧b,a,b ∈
2
R,
由此立即得出
a∧a = 0,a ∈
2
R 。
（ 2） 双线性（分配律）
a∧(b + c) = a∧b + a∧c,
(a + b)∧c = a∧c + b∧c,a,b,c∈
2
R,λ∈R 。
(λa)∧b = a∧(λb ) = λ(a∧b ),
例13.5.1 设
1
e,
2
e 为
2
R 上的一组基（不一定要求正交）,
2221212
2121111
,
eea
eea
aa
aa
+=
+=
是
2
R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到
21
aa ∧ = (
212111
ee aa + )∧(
222121
ee aa + )
=
2111
aa
1
e ∧
1
e +
2211
aa
1
e ∧
2
e +
2112
aa
2
e ∧
1
e +
2212
aa
2
e ∧
2
e
=
2211
aa
1
e ∧
2
e ++
2112
aa
2
e ∧
1
e
=(
2211
aa -
2112
aa )
1
e ∧
2
e
2221
1211
aa
aa
=
1
e ∧
2
e 。
上式两端的
21
aa ∧ 和
1
e ∧
2
e 分别表示由
1
a,
2
a 和
1
e,
2
e 所张成的平行四边形的有向面积，而行列式
2221
1211
aa
aa
就是这两个有向面积之间的比例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从
1
e 到
2
e 的旋转方向与从
21
aa 到 的旋转方向相同；若行列式小于零，说明这两个有向面积的符号相反，即从
1
e 到
2
e 的旋转方向与从
21
aa 到 的旋转方向相反。
微分形式
从例 13.5.1 得到启发,若能将重积分变量代换公式中的微元关系
dxdy =
),(
),(
vu
yx
dudv
写成形式
dx∧dy =
),(
),(
vu
yx
du∧dv,
而 dx∧dy 和 du∧dv 理解为带符号的面积微元，就无须对变量代换的
Jacobi 行列式取绝对值了。但是，这里的 dx,dy (或 du,dv)并非向量，
因此需要引入微分形式和外积的概念。
设 U 为
n
R 上的区域，记 ),,,(
21 n
xxx "=x,
1
()C U 为 U 上具有连续偏导数的函数全体。将{
n
xxx d,,d,d
21
"}看作一组基，其线性组合
nn
xaxaxa d)(d)(d)(
2211
xxx +++ ",∈)(x
i
a
1
()C U （ ni,,2,1 "= ）
称为 一次微分形式,简称 1-形式 。 1-形式的全体记为 Λ
1
。
对于任意 ωη,∈Λ
1
,
,d)(d)(d)(
,)d(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xxbxxbxxb
xxaxxaxxa
+++=
+++=
"
"
η
ω
我们定义 ω η+ 和 λω（
1
()Cλ∈ U ）为
。
nn
nnn
xxaxxxaxxxax
xxbxaxxbxaxxbxa
d))()((d))()((d))()((
,d))()((d))()((d))()((
2211
222111
λλλλω
ηω
+++=
++++++=+
"
"
这显然满足交换律、结合律以及对
1
()C U 的乘法分配律。若定义 Λ
1
中的“零元”为
n
xxx d0d0d00
21
+++= ",
而且定义?ω 为
,d))((d))((d))((
2211 nn
xxaxxaxxa?++?+?=? "ω
那么 Λ
1
成为
1
()C U 上的向量空间。
进一步，在 {
n
xxx d,,d,d
21
"}中任取 2 个组成二元有序元，记为
ji
xx dd ∧ ),,2,1,( nji "=,称为
i
xd 与
j
xd 的外积。
仿照向量的外积，规定
,dddd
ijji
xxxx ∧?=∧ 0dd =∧
ii
xx,nji,,2,1, "= 。
因此共有
2
C
n
个有序元
njixx
ji
≤<≤∧ 1,dd 。
同 Λ
1
的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个
1
()C U 上的向量空间 Λ
2
。
2
Λ 的元素称为 二次微分形式，简称 2-形式。于是 Λ
2
的元素就可表为
∑
≤<≤
∧
nji
jiji
xxxg
1
dd)( 。
这称为 2-形式的标准形式。
一般地，在 {
n
xxx d,,d,d
21
"}中任意选取 k 个组成有序元，记为
k
iii
xxx ddd
21
∧∧∧ ",
这里 ii i
k12
,,, "是从集合 {,,,}12 "n 中选取的任意 k 个整数。规定
krrkrr
iiiiiiii
xxxxxxxx dddddddd
1111
∧∧∧∧?=∧∧∧∧
++
" " " ",11≤ ≤?r k,
而且如果 ii i
k12
,,, "中有两个是相同的，则规定 0ddd
21
=∧∧∧
k
iii
xxx "。
因此共有 C
k
n
个有序元
niiixxx
kiii
k
≤<<<≤∧∧∧ " "
21
1,ddd
21
。
以这些有序元为基构造一个
1
()C U 上的向量空间
k
Λ 。
k
Λ 的元素称为 k
次微分形式,简称 k-形式 。于是一般 k -形式就可表示为
∑
≤<<<≤
∧∧∧
niii
iiiiii
k
k
k
xxxxg
"
"
"
21
21
21
1
,,,
ddd)( 。
这称为 k-形式的标准形式。
特别地,Λ
n
是
1
()C U 上的 C1
n
n
= 维的向量空间，它的基为
n
xxx ddd
21
∧∧∧ "，因此一般 n -形式为
1
12
dd d,()
n
gx x x g C∧∧∧ ∈ "。U
注意当 k n> 时，
k
iii
xxx d,,d,d
21
"中必有两个是相同的，因此总有
0ddd
21
=∧∧∧
k
iii
xxx "，即 }0{=Λ
k
。
U 上的具有连续偏导数的函数称为 0-形式，它们的全体记为
0
Λ,
它也是一个向量空间，函数 1≡g 是它的一个基。
例13.5.2 在
3
R 上,Λ
2
的基为
3121
dd,dd xxxx ∧∧ 和
32
dd xx ∧,而
3
R
上的 2-形式为
∑
≤<≤
∧
31
dd)(
ji
jiji
xxg x 。
例13.5.2 在
3
R 上,Λ
2
的基为
3121
dd,dd xxxx ∧∧ 和
32
dd xx ∧,而
3
R
上的 2-形式为
∑
≤<≤
∧
31
dd)(
ji
jiji
xxg x 。
例13.5.3 在
3
R 上,
31
2
121323232121
dddddddddd xxxxxxxxxxxxxx ∧+∧+∧+∧?∧=ω
的标准形式为
323231
2
1211
dd)(dddd)1( xxxxxxxxxx ∧++∧+∧?=ω 。
微分形式的外积
现在把
ji
xx dd ∧ 中的 ∧理解为一种运算。先考虑任意 ωη,∈Λ
1
,
,d)(d)(d)(
,d)(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xbxbxb
xaxaxa
xxx
xxx
+++=
+++=
"
"
η
ω
定义 ω与 η的 外 积 为
∑
=
∧=∧
n
ji
jiji
xxba
1,
dd)()( xxηω
∑
≤<≤
∧?=
nji
jiijji
xxbaba
1
dd))()()()(( xxxx
∑
≤<≤
∧=
nji
ji
ji
ji
xx
bb
aa
1
dd
)()(
)()(
xx
xx
,
它是
2
Λ 中的元素。
显然，这样的外积定义可以推广到任意的
i
Λ 与
j
Λ 中去。为此,将前面的向量空间 ΛΛ Λ
01
,,, "
n
合并为
Λ Λ Λ Λ= + + +
01
"
n
,
则 Λ是一个
1
()C U 上的
01
CC C2
nn
nn n
+ ++ = "维的向量空间。它的基即为
ΛΛ Λ
01
,,, "
n
中的基的全体,Λ中的元素的一般形式为
i
in
Λ∈+++= ωωωωω,
10
",ni,,1,0 "= 。
现在在 Λ上引入外积运算 ∧,
记
p
iiiI
xxxx dddd
21
∧∧∧= "，
q
jjjJ
xxxx dddd
21
∧∧∧= "。则
I
xd 与
J
xd 的外积定义为
qp
jjjiiiJI
xxxxxxxx dddddddd
2121
∧∧∧∧∧∧∧=∧ " ",
它是 )( qp+ -形式。 显然如果
I
xd 和
J
xd 中有公共元素,那么 0dd =∧
JI
xx 。
对于一般 p -形式
∑
=
I
II
xxg d)(ω 和 q -形式
∑
=
J
JJ
xxh d)(η,定义 ω和 η的外积 ω η∧ 为
∑
∧=∧
JI
JIJI
xxxhxg
,
dd)()(ηω 。
它是 )( qp+ -形式。对于 0-形式 f,补充定义
∑
=∧=
I
II
xxgxfff d)()(ωω,
p
Λ∈ω 。
外积有以下性质。
性质 1 设ωη∈∈ΛΛ
pq
,，则当pqn+ >时,
ω η∧ = 0。
这是因为当 nqp >+ 时,},,,{
21 p
iii "和 },,,{
21 q
jjj "必有公共元素。
性质 2 设ωη∈∈ΛΛ
pq
,，则
ωη ηω∧=? ∧()1
pq
。
证 由外积的向量性质，只要对
p
iii
xxxxg ddd)(
21
∧∧∧= "ω 和
q
jjj
xxxxh ddd)(
21
∧∧∧= "η 证明即可。
若 {,,,}ii i
p12
"与 {,,,}jj j
q12
"有公共元素，则有 =∧ηω η ω∧ = 0，命题已经成立。否则由定义可知
。
pq
qp
iiijjj
jjjiii
xxxxxxxgxh
xxxxxxxhxg
dddddd)()(
,dddddd)()(
2121
2121
∧∧∧∧∧∧∧=∧
∧∧∧∧∧∧∧=∧
" "
" "
ωη
ηω
要使 ω η∧ 中的微分顺序变到 η ω∧ 中的微分顺序，只要依次把每个
d(,1,,2,1)
i
r
xrpp=? "与 q个 ),2,1(d qsx
s
j
"= 交换次序，每次交换次序都要改变符号，而总共要进行 pq 个外积次序的交换。
外积有以下性质。
性质 1 设ωη∈∈ΛΛ
pq
,，则当pqn+ >时,
ω η∧ = 0。
这是因为当 nqp >+ 时,},,,{
21 p
iii "和 },,,{
21 q
jjj "必有公共元素。
推论 设ωω∈≠Λ
p
,0，则当p为奇数时,ω ω∧ = 0。
注 当 p为偶数时，不一定成立 ω ω∧ = 0。
例 13.5.4 在
4
R 上，如果
4321
dddd xxxx ∧+∧=ω,那么
.dddd2
dddddddd
)dddd()dddd(
4321
21434321
43214321
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
∧∧∧=
∧∧∧+∧∧∧=
∧+∧∧∧+∧=∧ωω
这时 0≠∧ωω 。
性质 3 对于任意Λ∈σηω,,，成立
分配律,σησωσηω ∧+∧=∧+ )(,ησωσηωσ ∧+∧=+∧ )( 。
结合律,)()( σηωσηω ∧∧=∧∧ 。
例 13.5.5 在
n
R 上，如果
∑∑
==
j
jj
i
ii
xgxf d,d ηω,则
∑∑
≤<≤
∧?=∧=∧
nji
jiijji
ji
jiji
xxgfgfxxgf
1,
dd)(ddηω 。
如果
∑
≤<≤
∧=
nkj
kjkj
xxh
1
ddλ,则
∑∑
≤<<≤<
∧∧+?=∧∧=∧
nkji
kjijikkijkji
kji
kjikji
xxxhfhfhfxxxhf
1,
ddd)(dddλω 。
性质 3 对于任意Λ∈σηω,,，成立
分配律,σησωσηω ∧+∧=∧+ )(,ησωσηωσ ∧+∧=+∧ )( 。
结合律,)()( σηωσηω ∧∧=∧∧ 。
例 13.5.6 设
),(),,(,vuyyvuxxT ==
为区域 D )(
2
R? 上具有连续导数的映射。则
ddd,ddd
uv uv
xxuxv yyuyv= +=+。
因此
dd(d d)(d d)
dd dd( )dd
(,)
dd.
(,)
uv uv
uv vu uv vu
xyxuxv yuyv
xy u v xy v u xy xy u v
xy
uv
uv
∧= + ∧ +
= ∧+ ∧=? ∧
=∧
现在回到一开始讲的问题，介绍微分形式的一个应用。先以极 坐标变换 T,θθ sin,cos ryrx == 为例。这时
yx dd ∧
(,)
(,)
xy
r θ
=
θdd ∧r θdd ∧= rr 。
如果我们将 yx dd ∧ 与 θdd ∧r 看作有向面积微元，上式就是极坐标变 换下的有向面积微元之间的关系，而 0
),(
),(
>=
r
r
yx
θ
说明这两个有向面积微元具有相同的符号。将 yx dd ∧ 与 θdd ∧r 分别看成正面积微元 ddxy与
ddr θ,就得到变量代换公式
()
(,)d d
T
f xy x y∧
∫∫
D
(,)
(cos,sin ) d d
(,)
xy
fr r r
r
θ θθ
θ
=∧
∫∫
D
。
一般地，设
n
R 中的坐标变换为
),,(,),,,(),,,(:
1122111 nnnnn
xxyyxxyyxxyyT " " " "=== 。
对上式取微分，得到
),,2,1(dd nix
x
y
y
k
k
k
i
i
"=
=
∑
,。
从此式即可得到
。
n
n
n
n
xxx
xxx
yyy
yyy ddd
),,,(
),,,(
ddd
21
21
21
21
∧∧∧
=∧∧∧ "
"
"
"
在此坐标变换下，基本 n -形式之间相差的因子就是映射的 Jacobi
行列式。如果也将
n
yyy ddd
21
∧∧∧ "和
n
xxx ddd
21
∧∧∧ "分别看成坐标系
),,,(
21 n
yyy "和坐标系 ),,,(
21 n
xxx "中的有向体积元素 （ 2=n 时为有向面积元素）,那么同样成立用微分形式表示的重积分变量代换公式
12 1 2
()
(,,,)d d d
nn
T
fyy y y y y∧∧∧
∫
" "
D
12
12 12
12
(,,,)
((),(),,() d d d
(,,,)
n
n
yy y
fy y y x x x
xx x
=∧∧
∫
"
"
D
xx x 。
以后将知道，这样做会带来很大的方便。这也是引入微分形式的目的之一。
前面导出二重积分变量代换公式
()
(,)
(,)d d ((,),(,)) d d
(,)
T
xy
f xy x y fxuv yuv u v
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
时已经指出，加了绝对值号的 Jacobi 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义是 xy平面的面积微元 ddxy与 uv平面的面积微元 dduv之间的比例系数。那么，
不加绝对值号的 Jacobi 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义又是什么呢？一个顺理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。
§ 5 微分形式带符号的面积称为 有向面积。下面从最简单的平行四边形出发，
给出一个定义有向面积的例子。
设 ),(
21
aa=a,),(
21
bb=b 为平面
2
R 上两个线性无关向量,Π为
2
R 上由向量 a 和 b 所张成的平行四边形,我们规定,如果从向量 a 出发在 Π
中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向,b 的方向和指向读者的方向成右手定则，见图 13.5.1）,这个平行四边形的面积为正，否则为负。
b Π
a
图 13.5.1
容易看出，二阶行列式
21
21
bb
aa
正是由 a 和 b 所张成的平行四边 形
Π的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是 Π在普通意义下的面积。将这两个向量用极坐标表示为
)sin,cos(),sin,cos(
22221111
θθθθ rrbrra ==,
若从 a 出发在 Π中旋转到 b 是逆时针方向的，则有
121
πθ θθ< <+，因此
12
12 1 2 1 2 12 2 1
12
(cos sin sin cos ) sin( ) 0
aa
rr rr
bb
θθ θθ θθ=?=?>,
与 Π的有向面积的符号规定一致。
若交换 a 和 b 的位置,即从 a 出发在 Π中旋转到 b 是顺时针方向的，则结果反号。
我们将这种运算称为向量 a 与 b 的 外积，记为 a∧b，即
a∧b =
21
21
bb
aa
。
易验证外积运算具有以下性质,
（ 1） 反称性
a∧b = - a∧b,a,b ∈
2
R,
由此立即得出
a∧a = 0,a ∈
2
R 。
（ 2） 双线性（分配律）
a∧(b + c) = a∧b + a∧c,
(a + b)∧c = a∧c + b∧c,a,b,c∈
2
R,λ∈R 。
(λa)∧b = a∧(λb ) = λ(a∧b ),
例13.5.1 设
1
e,
2
e 为
2
R 上的一组基（不一定要求正交）,
2221212
2121111
,
eea
eea
aa
aa
+=
+=
是
2
R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到
21
aa ∧ = (
212111
ee aa + )∧(
222121
ee aa + )
=
2111
aa
1
e ∧
1
e +
2211
aa
1
e ∧
2
e +
2112
aa
2
e ∧
1
e +
2212
aa
2
e ∧
2
e
=
2211
aa
1
e ∧
2
e ++
2112
aa
2
e ∧
1
e
=(
2211
aa -
2112
aa )
1
e ∧
2
e
2221
1211
aa
aa
=
1
e ∧
2
e 。
上式两端的
21
aa ∧ 和
1
e ∧
2
e 分别表示由
1
a,
2
a 和
1
e,
2
e 所张成的平行四边形的有向面积，而行列式
2221
1211
aa
aa
就是这两个有向面积之间的比例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从
1
e 到
2
e 的旋转方向与从
21
aa 到 的旋转方向相同；若行列式小于零，说明这两个有向面积的符号相反，即从
1
e 到
2
e 的旋转方向与从
21
aa 到 的旋转方向相反。
微分形式
从例 13.5.1 得到启发,若能将重积分变量代换公式中的微元关系
dxdy =
),(
),(
vu
yx
dudv
写成形式
dx∧dy =
),(
),(
vu
yx
du∧dv,
而 dx∧dy 和 du∧dv 理解为带符号的面积微元，就无须对变量代换的
Jacobi 行列式取绝对值了。但是，这里的 dx,dy (或 du,dv)并非向量，
因此需要引入微分形式和外积的概念。
设 U 为
n
R 上的区域，记 ),,,(
21 n
xxx "=x,
1
()C U 为 U 上具有连续偏导数的函数全体。将{
n
xxx d,,d,d
21
"}看作一组基，其线性组合
nn
xaxaxa d)(d)(d)(
2211
xxx +++ ",∈)(x
i
a
1
()C U （ ni,,2,1 "= ）
称为 一次微分形式,简称 1-形式 。 1-形式的全体记为 Λ
1
。
对于任意 ωη,∈Λ
1
,
,d)(d)(d)(
,)d(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xxbxxbxxb
xxaxxaxxa
+++=
+++=
"
"
η
ω
我们定义 ω η+ 和 λω（
1
()Cλ∈ U ）为
。
nn
nnn
xxaxxxaxxxax
xxbxaxxbxaxxbxa
d))()((d))()((d))()((
,d))()((d))()((d))()((
2211
222111
λλλλω
ηω
+++=
++++++=+
"
"
这显然满足交换律、结合律以及对
1
()C U 的乘法分配律。若定义 Λ
1
中的“零元”为
n
xxx d0d0d00
21
+++= ",
而且定义?ω 为
,d))((d))((d))((
2211 nn
xxaxxaxxa?++?+?=? "ω
那么 Λ
1
成为
1
()C U 上的向量空间。
进一步，在 {
n
xxx d,,d,d
21
"}中任取 2 个组成二元有序元，记为
ji
xx dd ∧ ),,2,1,( nji "=,称为
i
xd 与
j
xd 的外积。
仿照向量的外积，规定
,dddd
ijji
xxxx ∧?=∧ 0dd =∧
ii
xx,nji,,2,1, "= 。
因此共有
2
C
n
个有序元
njixx
ji
≤<≤∧ 1,dd 。
同 Λ
1
的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个
1
()C U 上的向量空间 Λ
2
。
2
Λ 的元素称为 二次微分形式，简称 2-形式。于是 Λ
2
的元素就可表为
∑
≤<≤
∧
nji
jiji
xxxg
1
dd)( 。
这称为 2-形式的标准形式。
一般地，在 {
n
xxx d,,d,d
21
"}中任意选取 k 个组成有序元，记为
k
iii
xxx ddd
21
∧∧∧ ",
这里 ii i
k12
,,, "是从集合 {,,,}12 "n 中选取的任意 k 个整数。规定
krrkrr
iiiiiiii
xxxxxxxx dddddddd
1111
∧∧∧∧?=∧∧∧∧
++
" " " ",11≤ ≤?r k,
而且如果 ii i
k12
,,, "中有两个是相同的，则规定 0ddd
21
=∧∧∧
k
iii
xxx "。
因此共有 C
k
n
个有序元
niiixxx
kiii
k
≤<<<≤∧∧∧ " "
21
1,ddd
21
。
以这些有序元为基构造一个
1
()C U 上的向量空间
k
Λ 。
k
Λ 的元素称为 k
次微分形式,简称 k-形式 。于是一般 k -形式就可表示为
∑
≤<<<≤
∧∧∧
niii
iiiiii
k
k
k
xxxxg
"
"
"
21
21
21
1
,,,
ddd)( 。
这称为 k-形式的标准形式。
特别地,Λ
n
是
1
()C U 上的 C1
n
n
= 维的向量空间，它的基为
n
xxx ddd
21
∧∧∧ "，因此一般 n -形式为
1
12
dd d,()
n
gx x x g C∧∧∧ ∈ "。U
注意当 k n> 时，
k
iii
xxx d,,d,d
21
"中必有两个是相同的，因此总有
0ddd
21
=∧∧∧
k
iii
xxx "，即 }0{=Λ
k
。
U 上的具有连续偏导数的函数称为 0-形式，它们的全体记为
0
Λ,
它也是一个向量空间，函数 1≡g 是它的一个基。
例13.5.2 在
3
R 上,Λ
2
的基为
3121
dd,dd xxxx ∧∧ 和
32
dd xx ∧,而
3
R
上的 2-形式为
∑
≤<≤
∧
31
dd)(
ji
jiji
xxg x 。
例13.5.2 在
3
R 上,Λ
2
的基为
3121
dd,dd xxxx ∧∧ 和
32
dd xx ∧,而
3
R
上的 2-形式为
∑
≤<≤
∧
31
dd)(
ji
jiji
xxg x 。
例13.5.3 在
3
R 上,
31
2
121323232121
dddddddddd xxxxxxxxxxxxxx ∧+∧+∧+∧?∧=ω
的标准形式为
323231
2
1211
dd)(dddd)1( xxxxxxxxxx ∧++∧+∧?=ω 。
微分形式的外积
现在把
ji
xx dd ∧ 中的 ∧理解为一种运算。先考虑任意 ωη,∈Λ
1
,
,d)(d)(d)(
,d)(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xbxbxb
xaxaxa
xxx
xxx
+++=
+++=
"
"
η
ω
定义 ω与 η的 外 积 为
∑
=
∧=∧
n
ji
jiji
xxba
1,
dd)()( xxηω
∑
≤<≤
∧?=
nji
jiijji
xxbaba
1
dd))()()()(( xxxx
∑
≤<≤
∧=
nji
ji
ji
ji
xx
bb
aa
1
dd
)()(
)()(
xx
xx
,
它是
2
Λ 中的元素。
显然，这样的外积定义可以推广到任意的
i
Λ 与
j
Λ 中去。为此,将前面的向量空间 ΛΛ Λ
01
,,, "
n
合并为
Λ Λ Λ Λ= + + +
01
"
n
,
则 Λ是一个
1
()C U 上的
01
CC C2
nn
nn n
+ ++ = "维的向量空间。它的基即为
ΛΛ Λ
01
,,, "
n
中的基的全体,Λ中的元素的一般形式为
i
in
Λ∈+++= ωωωωω,
10
",ni,,1,0 "= 。
现在在 Λ上引入外积运算 ∧,
记
p
iiiI
xxxx dddd
21
∧∧∧= "，
q
jjjJ
xxxx dddd
21
∧∧∧= "。则
I
xd 与
J
xd 的外积定义为
qp
jjjiiiJI
xxxxxxxx dddddddd
2121
∧∧∧∧∧∧∧=∧ " ",
它是 )( qp+ -形式。 显然如果
I
xd 和
J
xd 中有公共元素,那么 0dd =∧
JI
xx 。
对于一般 p -形式
∑
=
I
II
xxg d)(ω 和 q -形式
∑
=
J
JJ
xxh d)(η,定义 ω和 η的外积 ω η∧ 为
∑
∧=∧
JI
JIJI
xxxhxg
,
dd)()(ηω 。
它是 )( qp+ -形式。对于 0-形式 f,补充定义
∑
=∧=
I
II
xxgxfff d)()(ωω,
p
Λ∈ω 。
外积有以下性质。
性质 1 设ωη∈∈ΛΛ
pq
,，则当pqn+ >时,
ω η∧ = 0。
这是因为当 nqp >+ 时,},,,{
21 p
iii "和 },,,{
21 q
jjj "必有公共元素。
性质 2 设ωη∈∈ΛΛ
pq
,，则
ωη ηω∧=? ∧()1
pq
。
证 由外积的向量性质，只要对
p
iii
xxxxg ddd)(
21
∧∧∧= "ω 和
q
jjj
xxxxh ddd)(
21
∧∧∧= "η 证明即可。
若 {,,,}ii i
p12
"与 {,,,}jj j
q12
"有公共元素，则有 =∧ηω η ω∧ = 0，命题已经成立。否则由定义可知
。
pq
qp
iiijjj
jjjiii
xxxxxxxgxh
xxxxxxxhxg
dddddd)()(
,dddddd)()(
2121
2121
∧∧∧∧∧∧∧=∧
∧∧∧∧∧∧∧=∧
" "
" "
ωη
ηω
要使 ω η∧ 中的微分顺序变到 η ω∧ 中的微分顺序，只要依次把每个
d(,1,,2,1)
i
r
xrpp=? "与 q个 ),2,1(d qsx
s
j
"= 交换次序，每次交换次序都要改变符号，而总共要进行 pq 个外积次序的交换。
外积有以下性质。
性质 1 设ωη∈∈ΛΛ
pq
,，则当pqn+ >时,
ω η∧ = 0。
这是因为当 nqp >+ 时,},,,{
21 p
iii "和 },,,{
21 q
jjj "必有公共元素。
推论 设ωω∈≠Λ
p
,0，则当p为奇数时,ω ω∧ = 0。
注 当 p为偶数时，不一定成立 ω ω∧ = 0。
例 13.5.4 在
4
R 上，如果
4321
dddd xxxx ∧+∧=ω,那么
.dddd2
dddddddd
)dddd()dddd(
4321
21434321
43214321
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
∧∧∧=
∧∧∧+∧∧∧=
∧+∧∧∧+∧=∧ωω
这时 0≠∧ωω 。
性质 3 对于任意Λ∈σηω,,，成立
分配律,σησωσηω ∧+∧=∧+ )(,ησωσηωσ ∧+∧=+∧ )( 。
结合律,)()( σηωσηω ∧∧=∧∧ 。
例 13.5.5 在
n
R 上，如果
∑∑
==
j
jj
i
ii
xgxf d,d ηω,则
∑∑
≤<≤
∧?=∧=∧
nji
jiijji
ji
jiji
xxgfgfxxgf
1,
dd)(ddηω 。
如果
∑
≤<≤
∧=
nkj
kjkj
xxh
1
ddλ,则
∑∑
≤<<≤<
∧∧+?=∧∧=∧
nkji
kjijikkijkji
kji
kjikji
xxxhfhfhfxxxhf
1,
ddd)(dddλω 。
性质 3 对于任意Λ∈σηω,,，成立
分配律,σησωσηω ∧+∧=∧+ )(,ησωσηωσ ∧+∧=+∧ )( 。
结合律,)()( σηωσηω ∧∧=∧∧ 。
例 13.5.6 设
),(),,(,vuyyvuxxT ==
为区域 D )(
2
R? 上具有连续导数的映射。则
ddd,ddd
uv uv
xxuxv yyuyv= +=+。
因此
dd(d d)(d d)
dd dd( )dd
(,)
dd.
(,)
uv uv
uv vu uv vu
xyxuxv yuyv
xy u v xy v u xy xy u v
xy
uv
uv
∧= + ∧ +
= ∧+ ∧=? ∧
=∧
现在回到一开始讲的问题，介绍微分形式的一个应用。先以极 坐标变换 T,θθ sin,cos ryrx == 为例。这时
yx dd ∧
(,)
(,)
xy
r θ
=
θdd ∧r θdd ∧= rr 。
如果我们将 yx dd ∧ 与 θdd ∧r 看作有向面积微元，上式就是极坐标变 换下的有向面积微元之间的关系，而 0
),(
),(
>=
r
r
yx
θ
说明这两个有向面积微元具有相同的符号。将 yx dd ∧ 与 θdd ∧r 分别看成正面积微元 ddxy与
ddr θ,就得到变量代换公式
()
(,)d d
T
f xy x y∧
∫∫
D
(,)
(cos,sin ) d d
(,)
xy
fr r r
r
θ θθ
θ
=∧
∫∫
D
。
一般地，设
n
R 中的坐标变换为
),,(,),,,(),,,(:
1122111 nnnnn
xxyyxxyyxxyyT " " " "=== 。
对上式取微分，得到
),,2,1(dd nix
x
y
y
k
k
k
i
i
"=
=
∑
,。
从此式即可得到
。
n
n
n
n
xxx
xxx
yyy
yyy ddd
),,,(
),,,(
ddd
21
21
21
21
∧∧∧
=∧∧∧ "
"
"
"
在此坐标变换下，基本 n -形式之间相差的因子就是映射的 Jacobi
行列式。如果也将
n
yyy ddd
21
∧∧∧ "和
n
xxx ddd
21
∧∧∧ "分别看成坐标系
),,,(
21 n
yyy "和坐标系 ),,,(
21 n
xxx "中的有向体积元素 （ 2=n 时为有向面积元素）,那么同样成立用微分形式表示的重积分变量代换公式
12 1 2
()
(,,,)d d d
nn
T
fyy y y y y∧∧∧
∫
" "
D
12
12 12
12
(,,,)
((),(),,() d d d
(,,,)
n
n
yy y
fy y y x x x
xx x
=∧∧
∫
"
"
D
xx x 。
以后将知道，这样做会带来很大的方便。这也是引入微分形式的目的之一。
