第二类曲线积分
设 L为空间中一条可求长的连续曲线，起点为 A，终点为 B（ 这时称 L为定向的） 。一个质点在力
kjiF ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
的作用下沿 L从 A移动到 B,
我们要计算 ),,( zyxF 所作的
功。
§ 2 第二类曲线积分与第二类曲面积分
x
y
O
P
0
=A
P
1
P
2
P
i
P
i+1
P
n
=B
)(,,
iii
ζηξF
τK
i
z
为了解决这个问题，在曲线 L上插入一些分点
),,(,),,,(),,,(
111122221111 nnnn
zyxPzyxPzyxP ",
并令 BzyxPAzyxP
nnnn
== ),,(,),,(
0000
（见图14.2.1） 。 并且这些点是从 A
到 B 计数的。这样 L就被这些分点分成 n个小弧段
ii
PP
1?
( ni,,2,1 "= )。
在小弧段
ii
PP
1?
上任取一点 ),,(
iiii
K ζηξ,取曲线 L在
i
K 的单位切向量
cos cos cos
ii i i
α βγ= ++τ ijk,
使它的方向与 L的定向一致。那么质点从
1?i
P 移动到
i
P时（ ni,,2,1 "= ）
F 所作的功近似地等于
),,(
iii
ζηξF τ
i i
sΔ
iiiiiiiiiiiii
sRQP Δ++= ]cos),,(cos),,(cos),,([ γζηξβζηξαζηξ 。
这里
i
sΔ 是小弧段
ii
PP
1?
的弧长。
因此 F 将质点沿 L从 A移动到 B 所作的功为
0
1
lim (,,)
n
iii
i
W
λ
ξ ηζ
→
=
=?
∑
F τ
i i
sΔ
[]
0
1
lim (,,)cos (,,)cos (,,)cos
(,,)cos (,,)cos (,,)cos d,
n
iii i iii i iii i i
i
L
P QR
Pxyz Qxyz Rxyz s
λ
ξηζ α ξηζ β ξηζ γ
αβγ
→
=
=++Δ
+
∑
∫
其中 λ为所有的小弧段的最大长度。
根据这一思想我们引入下面的定义。
定义 14.2.1 设 L 为一条定向的可求长连续曲线,起点为 A，终点为 B 。在 L 上每一点取单位切向量 τ,(cosα= )cos,cos γβ,使它与 L的定向相一致。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
是定义在 L 上的向量值函数,则称
L
∫
f τ ds
[ ]
(,,)cos (,,)cos (,,)cos d
L
P x y zQxy zRxy zsαβγ=++
∫
为 f 在 L 上的 第二类曲线积分 。
在曲线 L上的点 ),,( zyx 处取 L的弧长微元 ds,作向量 ds= dsτ,其中
τ,cos,(cos βα= )cosγ 为曲线 L在点 ),,( zyx 处与 L同向的单位切向量。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 cos dsα,记为 dx,即 dcosdx sα= 。同理 记
d cos dy sβ=,dcosdzsγ= 。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
∫
f τ ds = d
L
∫
fs (,,)d (,,)d (,,)d
L
P xyz x Qxyz y Rxyz z=++
∫
。
它也称为 1-形式 (,,)d (,,)d (,,)dP xyz x Qxyz y Rxyz zω = ++在 L上的第二类曲线积分，记为
L
ω
∫
。
特别地，如果 L为 xy平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积 分就简化为
(,)d (,)d [ (,)cos (,)cos ]d
[(,)cos (,)sin ]d,
LL
L
P xy x Qxy y Pxy Qxy s
Pxy Qxy s
αβ
αα
+= +
=+
∫∫
∫
其中 α 为 L的沿 L方向的切向量与 x轴正向的夹角。
在曲线 L上的点 ),,( zyx 处取 L的弧长微元 ds,作向量 ds= dsτ,其中
τ,cos,(cos βα= )cosγ 为曲线 L在点 ),,( zyx 处与 L同向的单位切向量。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 cos dsα,记为 dx,即 dcosdx sα= 。同理 记
dcosdy sβ=,dcosdzsγ= 。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
∫
f τ ds = d
L
∫
fs (,,)d (,,)d (,,)d
L
P xyz x Qxyz y Rxyz z=++
∫
。
它也称为 1-形式 (,,)d (,,)d (,,)dP xyz x Qxyz y Rxyz zω = ++在 L上的第二类曲线积分，记为
L
ω
∫
。
第二类曲线积分定义在定向曲线（即指定了方向的曲线 ） 上,它具有如下性质,
性质 1 （方向性） 设向量值函数 f 在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在。记 L? 是定向曲线 L 的反向曲线,则 f 在 L? 上的第二类曲线积分也存在，且成立
L
∫
f τ ds = -
L
∫
-
f τ ds 。
注意这个等式两边的 τ 是方向相反的。
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 gf,在定向的 分段光 滑 曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数 βα,,gf βα + 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
αβ+?
∫
fgτ ds
L
α=?
∫
f τ ds
L
β+?
∫
g τ ds 。
性质3 （路径可加性） 设定向分段光滑曲线 L 分成了两段
1
L 和
2
L,
它们与 L 的取向相同 （ 这时记为
12
LLL= + ）,如果向量值函数 f 在 L 上的第二类曲线积分存在，则它在
1
L 和
2
L 上的第二类曲线积分也存在 。
反之，如果 f 在
1
L 和
2
L 上的第二类曲线积分存在，则它在 L 上的 第二类曲线积分也存在。且成立
L
∫
f τ ds
1
L
=?
∫
f τ ds
2
L
+?
∫
f τ ds 。
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 gf,在定向的 分段光 滑 曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数 βα,,gf βα + 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
αβ+?
∫
fgτ ds
L
α=?
∫
f τ ds
L
β+?
∫
g τ ds 。
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L的方程为
battzztyytxx →===,),(),(),(,
这里 bat →,表示参数 t从 a变化到 b,这就确定了 L的方向。则 L是 可求长的，且曲线的弧长的微分
222
d()()()dsxtytztt
′′′
=++。注意到
))(),(),(( tztytx
′′′ 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ= ))(),(),((
)()()(
1
)cos,cos,(cos
222
tztytx
tztytx
′′′
′
+
′
+
′
=γβα 。
若向量值函数
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
在 L上连续，那么由定理 14.1.1 得到第二类曲线积分的计算公式
(,,) (,,)d (,,)d
L
P xyzx Qxyz y Rxyz z++
∫
[ ]
(,,)cos (,,)cos (,,)cos d
L
P xyz Qxyz Rxyz sαβγ=++
∫
[]
( (),(),()) () ( (),(),()) () ( (),(),()) ()d,
b
a
P xt yt zt x t Qxt yt zt y t Rxt yt zt z t t
′′′
+
∫
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L的方程为
battzztyytxx →===,),(),(),(,
这里 bat →,表示参数 t从 a变化到 b,这就确定了 L的方向。则 L是 可求长的，且曲线的弧长的微分
222
d()()()dsxtytztt
′′′
=++。注意到
))(),(),(( tztytx
′′′ 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ= ))(),(),((
)()()(
1
)cos,cos,(cos
222
tztytx
tztytx
′′′
′
+
′
+
′
=γβα 。
特别地，如果 L的方程是
baxxzzxyy →==,),(),(,
则
[]
(,,)d (,,)d (,,)d
(,(),()) (,(),()) () (,(),()) ()d
L
b
a
Pxyz x Qxyz y Rxyz z
P xyxzx Qxyxzxyx Rxyxzxzx x
++
′′
=+ +
∫
∫
。
如果 L为 xy平面上光滑曲线，其方程为
)(),( tyytxx ==,bat →,。
则
[]
(,)d (,)d ( (),()) () ( (),()) ()d
b
a
L
P x y xQxyy Pxt y txt Qxty t y tt
′′
+= +
∫∫
。
因此，如果 L是 xy平面上的方程为
)(xyy =,bax →,
的光滑曲线，则
[]
(,)d (,)d (,()) (,()) ()d
b
a
L
P x y xQxyy Pxy xQxy x y xx
′
+= +
∫∫
。
特别地，如果 L的方程是
baxxzzxyy →==,),(),(,
则
[]
(,,)d (,,)d (,,)d
(,(),()) (,(),()) () (,(),()) ()d
L
b
a
Pxyz x Qxyz y Rxyz z
P xyxzx Qxyxzxyx Rxyxzxzx x
++
′′
=+ +
∫
∫
。
例 14.2.1 计算
22
dd
L
y xxy+
∫
，其中 L：（ 1）圆周 xyR
22 2
+=的上 半部分，方向为逆时针方向； （ 2）从点 M R(,)0 到点 N R(,)? 0 的直线段。
解 （ 1）这时 L的参数方程为
cos,sin,,0 πxR t yR t t= =→,
因此
π
22 22 22
0
d d sin ( sin ) cos ( cos ) d
L
yxxy R t R t R tR t t+=? +
∫∫
π
32 2 3
0
4
(1 cos )( sin ) (1 sin )cos d
3
RttttR=+? =?
∫
。
（ 2）这时 L的方程为
RRxxyy?→==,,0)(,
因此
22
dd 0d0
R
R
L
yxxy x
+ =?=
∫∫
。
xy R
22 2
+ =
R Rx
y
O
图 14.2.2
例14.2.2 求空间中一质量为 m的物体沿某一光滑曲线 L从 A点移动到 B点时，重力所做的功。
解 作直角坐标系，使 z 轴铅直向上。在这个坐标系下，设
),,(
111
zyxA =,),,(
222
zyxB = 。设 L的方程为
βα →===,),(),(),( ttzztyytxx 。
则 ))(),(),((),,()),(),(),((),,(
222111
βββααα zyxzyxBzyxzyxA ==== 。
显然重力 kF mg?=,这里 g 为重力加速度。则重力所做的功为
12
()d d ()d
(( ) ( )) ( ).
LL
Wmg zmg zmg zt t
mg z z mg z z
β
α
βα
′
=? =? =?
= =?
∫∫∫
这说明了，重力所作的功与路径无关，它仅取决于物体下降（或上升）的距离。
这两个例子说明了第二类曲线积分既可能与路径有关,也可能与路径无关。
x
y
z
B
A
图 14.2.3
O
例14.2.3 计算
22 22 2 2
()d()d()d
L
yzxzxyxyz?+?+?
∫
，其中 L为球面
xyz
222
1++=在第一卦限部分的边界，从球面外面看为顺时针方向。
解 曲线是由圆弧段
p p p
,,ABBC CA组成（见图 12.2.4） 。而圆弧段
p
AB 的参数方程为
π
0,cos,sin,,0
2
xytzt t== = →,
因此
p
22 22 2 2
0
22
π
2
π
33
2
0
()d()d()d
[sin ( sin ) cos (cos )]d
4
(sin cos )d
3
AB
yzxzxyxyz
tt ttt
ttt
+?+?
=
=+=
∫
∫
∫
。
图 12.2.4
A
B
C
x
y
xyz
222
1
++=
z
O
由对称性得到
p
p
p
22 22 2 2
22 22 2 2
22 22 2 2
()d()d()d
()d()d()d
4
()d()d()d
3
BC
CA
AB
yzxzxyxyz
yzxzxyxyz
yzxzxyxyz
+?+?
=?+?+?
=?+?+?=
∫
∫
∫
。
于是
p
22 22 2 2
22 22 2 2
()d()d()d
3 ( )d ( )d ( )d 4
L
AB
yzxzxyxyz
yzxzxyxyz
+?+?
=?+?+?=
∫
∫
。
曲面的侧
如果放一只蚂蚁在一张白纸上，无论它怎样爬，只要它不越过白纸的边界，当它再爬回到原来的位置时，还是在纸的上方，不会到 下面去。这就像在白纸上的一点处选择一个指向上方的单位法向量，然后沿任何一条不越过边界的闭曲线连续地移动它,使它与所过之点 处的一个单位法向量相合，并保持这种相合的连续性，那么当它又回到原来的位置时，它还是原来的那个单位法向量，而不会变成指向白 纸下方的那个单位法向量。
具有这种性质的曲面叫做双侧曲面。具体的定义是,
定义 14.2.2 设 ∑ 是一张光滑曲面,P 为 ∑ 上任一点,
P
Γ 是过 P
点且不越过曲面边界的任意一条闭曲线 。 取定 ∑ 在 P 点的一个单位法向量,让它沿
P
Γ 连续移动,使它与所过之点处的一个单位法向量连续地相合 。 如果当它再回到 P 点时,法向量的指向仍与原选的方向相同,则称 ∑ 为 双侧曲面。
在双侧曲面 ∑ 上，如果选定了一点 P 和曲面 ∑ 在该点的一个 法向量，通过从这点连续地移动法向量就可以唯一地确定 ∑ 上其他点的法向量的方向。于是曲面 ∑ 就由法向量的方向被分为两侧（例如，
球面有内侧和外侧）。选好一侧的曲面称为 定向曲面。
并非所有光滑曲面都是双侧曲面。例如，把长方形 ABCD 先扭 转一次再首尾相粘，即 A 与 C 相粘,B 与 D 点相粘，就做成了所谓的
M?bius 带 （见图 14.2.5） 。如果从某一点开始，用刷子在 M?bius 带上连续地涂色（即指定法向量），当第一次回到起始点时，涂的是反面（即法向量与原来选择的方向相反）,继续下去最后就会涂满整条带子。这样的曲面叫做 单侧曲面。我们今后只讨论双侧曲面（注意 数片双侧曲面拼在一起不一定仍是双侧曲面，如 M?bius 带可以看成 是由两片双侧曲面拼成的） 。
图 14.2.5
设双侧曲面 ∑ 的方程为
(,),(,),(,),(,)x xuv y yuv z zuv uv=== ∈D。
这里 D为 uv平面上具有分段光滑边界的区域。进一步假设 x y z,,对 uv和有连续偏导数，且相应的 Jacobi 矩阵
x x
uv
yy
J
uv
zz
uv
=
总是满秩的。这时曲面 ∑ 是光滑的。
曲面的法向量可以表示为
±=×±
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
vu
rr,
其中,±” 表示曲面上每个点 )),(),,(),,(( vuzvuyvux 都有方向相反的两个法向量。于是在这点的单位法向量及方向余弦为
2
1(,)(,)(,)
(cos,cos,cos )
(,) (,) (,)
y zzxxy
uv uv uv
EG F
αβγ
==
±
，，n,
这里
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
+
+
=?
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG 。
在根号前取定一个符号后，曲面对每一点 )),(),,(),,(( vuzvuyvux 都确定了一个单位法向量。而又由假设，方向余弦是连续的，因此所确定的单位法向量是连续变动的，曲面的双侧性就保证了法向量不会指向另一侧去。这就是说，在根号前取定一个符号后，也就确定了曲面的一侧。
例如，光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)z zxy xy= ∈D,
其中 D为平面区域。那么
)1,,(
1
1
)cos,cos,(cos
22
yx
yx
zz
zz
++±
== γβαn 。
如果取正号，则 cosγ > 0，这时法向量与 z 轴成锐角，意味着取定了曲面的上侧，而取负号则意味着取定了曲面的下侧。
第二类曲面积分
已知不可压缩流体（设其密度为 1）在 ),,( zyx 处的流速可以表 示为
kjiv ),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxP ++=,
并设它与时间无关，我们来计算单位时间内通过定向曲面 ∑ 的（质量）流量。
用光滑曲线网将 ∑ 分成 n片小曲面
12
,,,
n
ΣΣ ΣΔΔ Δ " 。设
i
ΣΔ 的面 积为 ΔS
i
，在它上面任取一点 ),,(
iiii
M ζηξ,那么在这点的流速为
kjiv ),,(),,(),,(
iiiiiiiiii
RQP ζηξζηξζηξ ++= 。
记曲面 ∑ 在
i
M 点的单位法向量为
kjin
iiii
γβα coscoscos ++=,
那么单位时间内流过
i
ΔΣ 的流量（见图 14.2.6）就近似地为
iiiiiiiiiiiiiiii
SRQPS Δ++=Δ? ]cos),,(cos),,(cos),,([ γζηξβζηξαζηξnv 。
因此单位时间内通过 Σ的（质量）流量为
0
1
0
1
lim
lim [(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]
[ (,,)cos (,,)cos (,,)cos ]d,
n
iii
i
n
iii i iii i iii i i
i
S
P QRS
Pxyz Qxyz Rxyz S
λ
λ
Σ
Φ
ξηζ α ξηζ β ξηζ γ
αβγ
→
=
→
=
=?Δ
=++Δ
+
∑
∑
∫∫
vn
其中 λ 是所有小曲面片的最大直径。
i
n
i
v
i
ΔΣ
i
M
图12.2.6
根据这一思想我们引入下面的定义,
定义 14.2.3 设 ∑ 为定向的光滑曲面,曲面上面的每一点指定了单位法向量,(cosα=n )cos,cos γβ 。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
是定义在 ∑ 上的向量值函数,则称
[ ]
d (,,)cos (,,)cos (,,)cos dSPxy zQxy zRxy zS
ΣΣ
αβγ?= + +
∫∫ ∫∫
fn
为 f 在 ∑ 上的第二类曲面积分 。
第二类曲面积分定义在定向曲面上，它具有与第二类曲线积分类似的性质,
性质 1（方向性） 设向量值函数 f 在定向的光滑曲面 ∑ 上 的 第二类曲面积分存在。记 -∑ 为与 ∑ 取相反侧的曲面,则 f 在 -∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
ddSS
ΣΣ?
=?
∫∫∫∫
fn 。
注意这个等式两边的 n是方向相反的。
性质 2（线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上 的第二 类 曲面积分存在，则对任何常数 βα,,α β+fg在 ∑ 上 的第二类 曲 面积 分也存在，且成立
()dS
Σ
αβ+?=
∫∫
fgn ddSS
ΣΣ
αβ?+?
∫∫ ∫∫
fn gn 。
性质 3 （曲面可加性） 设定向的光滑曲面 ∑ 分成了两片
1
Σ 和
2
Σ,
它们与 ∑ 的取向相同 （ 这时记为
12
Σ ΣΣ= + ）,如果向量值函数 f 在 ∑
上的第二类曲面积分存在，则它在
1
Σ 和
2
Σ 上的 第二类曲面积分也 存在。反之，如果 f 在
1
Σ 和
2
Σ 上的第二类曲面积分存在，则它在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在。且成立
12
dddSSS
ΣΣΣ
=?+?
∫∫ ∫∫ ∫∫
fn fn fn 。
性质 2（线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上 的第二 类 曲面积分存在，则对任何常数 βα,,α β+fg在 ∑ 上 的第二类 曲 面积 分也存在，且成立
()dS
Σ
αβ+?=
∫∫
fgn ddSS
ΣΣ
αβ?+?
∫∫ ∫∫
fn gn 。
在 ∑ 上的点 ),,( zyx 处取一个 ∑ 的面积微元 dS,作定向曲面微元
dS = dSn,其中,cos,(cos βα=n )cosγ 为 ∑ 在点 ),,( zyx 处的单位法向量。
记 dS在 xy平面上的投影的面积为 dσ 。如果我们用微分形式 ddxy∧ 表示 dS在 xy平面上的有向投影面积，即
d,cos 0
dd d,cos 0
0c
xy
σγ
γ
>?
∧=? <
=；
。
当时；
当时
，当时
那么 ddcosdxy Sγ∧ = 。
类似地有
ddcosdyz Sα∧ =,ddcosdzx Sγ∧ = 。
为方便起见，常简记 ddxy∧ 为 ddxy,ddy z∧ 为 ddy z,ddzx∧ 为 ddzx。
于是，第二类曲面积分又可以表示为
(,,)d d (,,)d d (,,)d d
(,,)dd (,,)dd (,,)dd.
dPxy z y zQxy zz xRxy zx y
Pxyz yz Qxyz zx Rxyz xy
ΣΣ
Σ
= ∧+ ∧+ ∧
=++
∫∫ ∫∫
∫∫
fS
这也称为 2-形式 (,,)d d (,,)d d (,,)d dP xyzy zQxyzz xRxyzx yω = ∧+ ∧+ ∧在 ∑
上的第二类曲面积分，记为
∫
Σ
ω。
下面讨论如何计算第二类曲面积分。
若定向光滑曲面 ∑ 的参数方程为
),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx ===,(,)uv∈D,
其中 D为 uv平面上有分段光滑边界的有界区域。 (,,),(,,),P xyz Qxyz
(,,)Rxy z 为 ∑ 上的连续函数。首先有
±=
),(
),(
),(
),(
),(
),(1
)cos,cos,(cos
2
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG
，，γβα,
以及
2
dddSEGFuv=? 。
于是由第一类曲面积分的计算公式,第二类曲面积分可由如下公式 计算,
(,,)dd (,,)dd (,,)ddP xyzyzQxyzzxRxyzxy
Σ
++
∫∫
[ ]
(,,)cos (,,)cos (,,)cos dP xyz Qxyz Rxyz S
Σ
αβγ=++
∫∫
(,) (,)
((,),(,),(,)) ((,),(,),(,))
(,) (,)
yz zx
Pxuv yuv zuv Qxuv yuv zuv
uv uv
=± +
∫∫
D
(,)
((,),(,),(,)) dd
(,)
xy
Rxuv yuv zuv uv
uv
+
,
式中符号由曲面的侧，即方向余弦（或单位法向量）的计算公式中 所取符号决定。
特别地，如果定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)
xy
z zxy xy= ∈D,
其中
xy
D 为 xy平面上具有分段光滑边界的有界闭区域。设 Rxyz(,,)为
∑ 上的连续函数，则
(,,)d d (,,(,))dd
xy
Rxyz x y Rxyzxy xy
Σ
∧=±
∫∫ ∫∫
D
。
等式右端是二重积分，当曲面的定向为上侧时，积分号前取“+” ；
当曲面的定向为下侧时，积分号前取“-” 。
读者不难推出当定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)
yz
xxyz yz= ∈D,
或 (,),(,)
zx
y yzx zx= ∈D 时的类似公式。
例 14.2.4 计算 (1)dd(1)dd(1)ddI x y z y zx z xy
Σ
=+ ++ ++
∫∫
，其中 ∑ 为平面 x y zx y+ += = =100,,和 z = 0所围立体的表面，方向取外侧。
解 将曲面划分如图所示的四片：
123
,,Σ ΣΣ和
4
Σ 。
1
Σ 的方程为 zyxx= ≤ ≤? ≤ ≤00 1 0 1,,。 根据定向，其法向量与 x轴和 y 轴的夹角都是 π /2，与 z 轴的夹角为 π?,因此
1
01
1
01
(1)dd(1)dd(1)dd
1
(1)dd dd
2
x
yx
xyzyzxzxy
zxy xy
Σ
Σ ≤≤
≤≤?
+++++
= +=? =?
∫∫
∫∫ ∫∫
。
同理
2
3
1
( 1)d d ( 1)d d ( 1)d d
2
1
(1)dd(1)dd(1)dd
2
xyzyzxzxy
xyzyzxzxy
Σ
Σ
+++++=?
+++++=?
∫∫
∫∫
，
。
z
Σ
2
Σ
4
1,xyz++=
Σ
3
O y
x Σ
1
图 14.2.7
4
Σ 的方程可表为 10,10,1 ≤≤?≤≤= xxyyxz 。因此
01
4
01
2
(1)dd (2 )dd
3
x
yx
zxy xyxy
Σ ≤≤
≤≤?
+ ==
∫∫ ∫∫
。
由对称性得
4
(1)ddx yz
Σ
+ =
∫∫
4
2
(1)dd
3
yzx
Σ
+ =
∫∫
。
因此
4
( 1)d d ( 1)d d ( 1)d d 2xyzyzxzxy
Σ
+ ++ ++ =
∫∫
。
相加后即得到 I =
1
2
。
例 14.2.5 计算
333
dd dd ddxyz yzx zxy
Σ
++
∫∫
，其中 ∑ 为上半椭球面
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
,0≥z ( 0,,>cba )，方向取上侧。
解 利用广义球面坐标，就可得曲面的参数方程为
π
sin cos,sin sin,cos,0 2π,0
2
xa yb zc?θ?θ? θ?= ==≤≤。
经计算得到
2
2
(,)
sin cos,
(,)
(,)
sin sin
(,)
(,)
sin cos
(,)
yz
bc
zx
ac
xy
ab
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
=
，
。
图14.2.8
222
222
1
xyz
abc
+ +=
x
y
z
O
因此
333
dd dd ddxyz yzx zxy
Σ
++
∫∫
3543543 4
02π
π
0
2
( sin cos sin sin sin cos )d dabc bac cab
θ
θ?θθ
≤≤
≤≤
=++
∫∫
()
π
2π
25 4 25 4 2 4
2
00
222
d sin cos sin sin sin cos d
2
π ()
5
abc a b c
abc a b c
θ?θθ=++
=++
∫∫
。
这里积分号前取“+,,是因为曲面的定向为上侧，所以在 ∑ 上方向余弦 0cos >γ （除去在边界上
π
2
= ）,而由方向余弦的计算公式，
22
1(,)sincos
cos
(,)
xy ab
EG F EG F
γ
θ
=± =±
,
等式成立必须取,+”号。
例 14.2.6 计算
2
( )dd ddzxy zzxy
Σ
++
∫∫
，其中 ∑ 为抛物面
zxy=+
1
2
22
()在平面 z = 0与 z = 2之间的部分，方向取下侧。
图14.2.9
zxy=+
1
2
22
()
z=2
y
x
z
O
解 由于 dd cos d,dd cos dyz S xy Sα γ= =,所以
22 2
cos
()d ()cosd () d
cos
zxy zzx Szx xy
ΣΣ Σ
α
α
γ
+=+ =+
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
由于 ∑ 定向为下侧，所以
2222
1
1
cos,
1
cos
yxyx
x
++
=
++
= γα 。
注意到 ∑ 在 xy平面的投影区域为
22
{(,)| 2}xy x y= +≤D,于是有
22
2
22 22
2π 2
522
00
( )dd dd ( )( ) dd
11
()()()d
118
dcoscos d42π
423
zxyz zxy zxx zxy
xy x x xy xy
rr rr
ΣΣ
θθθ
++ =+?+
=? + +? + +
= + =?
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
。
D
设 L为空间中一条可求长的连续曲线，起点为 A，终点为 B（ 这时称 L为定向的） 。一个质点在力
kjiF ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
的作用下沿 L从 A移动到 B,
我们要计算 ),,( zyxF 所作的
功。
§ 2 第二类曲线积分与第二类曲面积分
x
y
O
P
0
=A
P
1
P
2
P
i
P
i+1
P
n
=B
)(,,
iii
ζηξF
τK
i
z
为了解决这个问题，在曲线 L上插入一些分点
),,(,),,,(),,,(
111122221111 nnnn
zyxPzyxPzyxP ",
并令 BzyxPAzyxP
nnnn
== ),,(,),,(
0000
（见图14.2.1） 。 并且这些点是从 A
到 B 计数的。这样 L就被这些分点分成 n个小弧段
ii
PP
1?
( ni,,2,1 "= )。
在小弧段
ii
PP
1?
上任取一点 ),,(
iiii
K ζηξ,取曲线 L在
i
K 的单位切向量
cos cos cos
ii i i
α βγ= ++τ ijk,
使它的方向与 L的定向一致。那么质点从
1?i
P 移动到
i
P时（ ni,,2,1 "= ）
F 所作的功近似地等于
),,(
iii
ζηξF τ
i i
sΔ
iiiiiiiiiiiii
sRQP Δ++= ]cos),,(cos),,(cos),,([ γζηξβζηξαζηξ 。
这里
i
sΔ 是小弧段
ii
PP
1?
的弧长。
因此 F 将质点沿 L从 A移动到 B 所作的功为
0
1
lim (,,)
n
iii
i
W
λ
ξ ηζ
→
=
=?
∑
F τ
i i
sΔ
[]
0
1
lim (,,)cos (,,)cos (,,)cos
(,,)cos (,,)cos (,,)cos d,
n
iii i iii i iii i i
i
L
P QR
Pxyz Qxyz Rxyz s
λ
ξηζ α ξηζ β ξηζ γ
αβγ
→
=
=++Δ
+
∑
∫
其中 λ为所有的小弧段的最大长度。
根据这一思想我们引入下面的定义。
定义 14.2.1 设 L 为一条定向的可求长连续曲线,起点为 A，终点为 B 。在 L 上每一点取单位切向量 τ,(cosα= )cos,cos γβ,使它与 L的定向相一致。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
是定义在 L 上的向量值函数,则称
L
∫
f τ ds
[ ]
(,,)cos (,,)cos (,,)cos d
L
P x y zQxy zRxy zsαβγ=++
∫
为 f 在 L 上的 第二类曲线积分 。
在曲线 L上的点 ),,( zyx 处取 L的弧长微元 ds,作向量 ds= dsτ,其中
τ,cos,(cos βα= )cosγ 为曲线 L在点 ),,( zyx 处与 L同向的单位切向量。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 cos dsα,记为 dx,即 dcosdx sα= 。同理 记
d cos dy sβ=,dcosdzsγ= 。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
∫
f τ ds = d
L
∫
fs (,,)d (,,)d (,,)d
L
P xyz x Qxyz y Rxyz z=++
∫
。
它也称为 1-形式 (,,)d (,,)d (,,)dP xyz x Qxyz y Rxyz zω = ++在 L上的第二类曲线积分，记为
L
ω
∫
。
特别地，如果 L为 xy平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积 分就简化为
(,)d (,)d [ (,)cos (,)cos ]d
[(,)cos (,)sin ]d,
LL
L
P xy x Qxy y Pxy Qxy s
Pxy Qxy s
αβ
αα
+= +
=+
∫∫
∫
其中 α 为 L的沿 L方向的切向量与 x轴正向的夹角。
在曲线 L上的点 ),,( zyx 处取 L的弧长微元 ds,作向量 ds= dsτ,其中
τ,cos,(cos βα= )cosγ 为曲线 L在点 ),,( zyx 处与 L同向的单位切向量。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 cos dsα,记为 dx,即 dcosdx sα= 。同理 记
dcosdy sβ=,dcosdzsγ= 。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
∫
f τ ds = d
L
∫
fs (,,)d (,,)d (,,)d
L
P xyz x Qxyz y Rxyz z=++
∫
。
它也称为 1-形式 (,,)d (,,)d (,,)dP xyz x Qxyz y Rxyz zω = ++在 L上的第二类曲线积分，记为
L
ω
∫
。
第二类曲线积分定义在定向曲线（即指定了方向的曲线 ） 上,它具有如下性质,
性质 1 （方向性） 设向量值函数 f 在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在。记 L? 是定向曲线 L 的反向曲线,则 f 在 L? 上的第二类曲线积分也存在，且成立
L
∫
f τ ds = -
L
∫
-
f τ ds 。
注意这个等式两边的 τ 是方向相反的。
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 gf,在定向的 分段光 滑 曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数 βα,,gf βα + 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
αβ+?
∫
fgτ ds
L
α=?
∫
f τ ds
L
β+?
∫
g τ ds 。
性质3 （路径可加性） 设定向分段光滑曲线 L 分成了两段
1
L 和
2
L,
它们与 L 的取向相同 （ 这时记为
12
LLL= + ）,如果向量值函数 f 在 L 上的第二类曲线积分存在，则它在
1
L 和
2
L 上的第二类曲线积分也存在 。
反之，如果 f 在
1
L 和
2
L 上的第二类曲线积分存在，则它在 L 上的 第二类曲线积分也存在。且成立
L
∫
f τ ds
1
L
=?
∫
f τ ds
2
L
+?
∫
f τ ds 。
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 gf,在定向的 分段光 滑 曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数 βα,,gf βα + 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
αβ+?
∫
fgτ ds
L
α=?
∫
f τ ds
L
β+?
∫
g τ ds 。
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L的方程为
battzztyytxx →===,),(),(),(,
这里 bat →,表示参数 t从 a变化到 b,这就确定了 L的方向。则 L是 可求长的，且曲线的弧长的微分
222
d()()()dsxtytztt
′′′
=++。注意到
))(),(),(( tztytx
′′′ 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ= ))(),(),((
)()()(
1
)cos,cos,(cos
222
tztytx
tztytx
′′′
′
+
′
+
′
=γβα 。
若向量值函数
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
在 L上连续，那么由定理 14.1.1 得到第二类曲线积分的计算公式
(,,) (,,)d (,,)d
L
P xyzx Qxyz y Rxyz z++
∫
[ ]
(,,)cos (,,)cos (,,)cos d
L
P xyz Qxyz Rxyz sαβγ=++
∫
[]
( (),(),()) () ( (),(),()) () ( (),(),()) ()d,
b
a
P xt yt zt x t Qxt yt zt y t Rxt yt zt z t t
′′′
+
∫
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L的方程为
battzztyytxx →===,),(),(),(,
这里 bat →,表示参数 t从 a变化到 b,这就确定了 L的方向。则 L是 可求长的，且曲线的弧长的微分
222
d()()()dsxtytztt
′′′
=++。注意到
))(),(),(( tztytx
′′′ 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ= ))(),(),((
)()()(
1
)cos,cos,(cos
222
tztytx
tztytx
′′′
′
+
′
+
′
=γβα 。
特别地，如果 L的方程是
baxxzzxyy →==,),(),(,
则
[]
(,,)d (,,)d (,,)d
(,(),()) (,(),()) () (,(),()) ()d
L
b
a
Pxyz x Qxyz y Rxyz z
P xyxzx Qxyxzxyx Rxyxzxzx x
++
′′
=+ +
∫
∫
。
如果 L为 xy平面上光滑曲线，其方程为
)(),( tyytxx ==,bat →,。
则
[]
(,)d (,)d ( (),()) () ( (),()) ()d
b
a
L
P x y xQxyy Pxt y txt Qxty t y tt
′′
+= +
∫∫
。
因此，如果 L是 xy平面上的方程为
)(xyy =,bax →,
的光滑曲线，则
[]
(,)d (,)d (,()) (,()) ()d
b
a
L
P x y xQxyy Pxy xQxy x y xx
′
+= +
∫∫
。
特别地，如果 L的方程是
baxxzzxyy →==,),(),(,
则
[]
(,,)d (,,)d (,,)d
(,(),()) (,(),()) () (,(),()) ()d
L
b
a
Pxyz x Qxyz y Rxyz z
P xyxzx Qxyxzxyx Rxyxzxzx x
++
′′
=+ +
∫
∫
。
例 14.2.1 计算
22
dd
L
y xxy+
∫
，其中 L：（ 1）圆周 xyR
22 2
+=的上 半部分，方向为逆时针方向； （ 2）从点 M R(,)0 到点 N R(,)? 0 的直线段。
解 （ 1）这时 L的参数方程为
cos,sin,,0 πxR t yR t t= =→,
因此
π
22 22 22
0
d d sin ( sin ) cos ( cos ) d
L
yxxy R t R t R tR t t+=? +
∫∫
π
32 2 3
0
4
(1 cos )( sin ) (1 sin )cos d
3
RttttR=+? =?
∫
。
（ 2）这时 L的方程为
RRxxyy?→==,,0)(,
因此
22
dd 0d0
R
R
L
yxxy x
+ =?=
∫∫
。
xy R
22 2
+ =
R Rx
y
O
图 14.2.2
例14.2.2 求空间中一质量为 m的物体沿某一光滑曲线 L从 A点移动到 B点时，重力所做的功。
解 作直角坐标系，使 z 轴铅直向上。在这个坐标系下，设
),,(
111
zyxA =,),,(
222
zyxB = 。设 L的方程为
βα →===,),(),(),( ttzztyytxx 。
则 ))(),(),((),,()),(),(),((),,(
222111
βββααα zyxzyxBzyxzyxA ==== 。
显然重力 kF mg?=,这里 g 为重力加速度。则重力所做的功为
12
()d d ()d
(( ) ( )) ( ).
LL
Wmg zmg zmg zt t
mg z z mg z z
β
α
βα
′
=? =? =?
= =?
∫∫∫
这说明了，重力所作的功与路径无关，它仅取决于物体下降（或上升）的距离。
这两个例子说明了第二类曲线积分既可能与路径有关,也可能与路径无关。
x
y
z
B
A
图 14.2.3
O
例14.2.3 计算
22 22 2 2
()d()d()d
L
yzxzxyxyz?+?+?
∫
，其中 L为球面
xyz
222
1++=在第一卦限部分的边界，从球面外面看为顺时针方向。
解 曲线是由圆弧段
p p p
,,ABBC CA组成（见图 12.2.4） 。而圆弧段
p
AB 的参数方程为
π
0,cos,sin,,0
2
xytzt t== = →,
因此
p
22 22 2 2
0
22
π
2
π
33
2
0
()d()d()d
[sin ( sin ) cos (cos )]d
4
(sin cos )d
3
AB
yzxzxyxyz
tt ttt
ttt
+?+?
=
=+=
∫
∫
∫
。
图 12.2.4
A
B
C
x
y
xyz
222
1
++=
z
O
由对称性得到
p
p
p
22 22 2 2
22 22 2 2
22 22 2 2
()d()d()d
()d()d()d
4
()d()d()d
3
BC
CA
AB
yzxzxyxyz
yzxzxyxyz
yzxzxyxyz
+?+?
=?+?+?
=?+?+?=
∫
∫
∫
。
于是
p
22 22 2 2
22 22 2 2
()d()d()d
3 ( )d ( )d ( )d 4
L
AB
yzxzxyxyz
yzxzxyxyz
+?+?
=?+?+?=
∫
∫
。
曲面的侧
如果放一只蚂蚁在一张白纸上，无论它怎样爬，只要它不越过白纸的边界，当它再爬回到原来的位置时，还是在纸的上方，不会到 下面去。这就像在白纸上的一点处选择一个指向上方的单位法向量，然后沿任何一条不越过边界的闭曲线连续地移动它,使它与所过之点 处的一个单位法向量相合，并保持这种相合的连续性，那么当它又回到原来的位置时，它还是原来的那个单位法向量，而不会变成指向白 纸下方的那个单位法向量。
具有这种性质的曲面叫做双侧曲面。具体的定义是,
定义 14.2.2 设 ∑ 是一张光滑曲面,P 为 ∑ 上任一点,
P
Γ 是过 P
点且不越过曲面边界的任意一条闭曲线 。 取定 ∑ 在 P 点的一个单位法向量,让它沿
P
Γ 连续移动,使它与所过之点处的一个单位法向量连续地相合 。 如果当它再回到 P 点时,法向量的指向仍与原选的方向相同,则称 ∑ 为 双侧曲面。
在双侧曲面 ∑ 上，如果选定了一点 P 和曲面 ∑ 在该点的一个 法向量，通过从这点连续地移动法向量就可以唯一地确定 ∑ 上其他点的法向量的方向。于是曲面 ∑ 就由法向量的方向被分为两侧（例如，
球面有内侧和外侧）。选好一侧的曲面称为 定向曲面。
并非所有光滑曲面都是双侧曲面。例如，把长方形 ABCD 先扭 转一次再首尾相粘，即 A 与 C 相粘,B 与 D 点相粘，就做成了所谓的
M?bius 带 （见图 14.2.5） 。如果从某一点开始，用刷子在 M?bius 带上连续地涂色（即指定法向量），当第一次回到起始点时，涂的是反面（即法向量与原来选择的方向相反）,继续下去最后就会涂满整条带子。这样的曲面叫做 单侧曲面。我们今后只讨论双侧曲面（注意 数片双侧曲面拼在一起不一定仍是双侧曲面，如 M?bius 带可以看成 是由两片双侧曲面拼成的） 。
图 14.2.5
设双侧曲面 ∑ 的方程为
(,),(,),(,),(,)x xuv y yuv z zuv uv=== ∈D。
这里 D为 uv平面上具有分段光滑边界的区域。进一步假设 x y z,,对 uv和有连续偏导数，且相应的 Jacobi 矩阵
x x
uv
yy
J
uv
zz
uv
=
总是满秩的。这时曲面 ∑ 是光滑的。
曲面的法向量可以表示为
±=×±
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
vu
rr,
其中,±” 表示曲面上每个点 )),(),,(),,(( vuzvuyvux 都有方向相反的两个法向量。于是在这点的单位法向量及方向余弦为
2
1(,)(,)(,)
(cos,cos,cos )
(,) (,) (,)
y zzxxy
uv uv uv
EG F
αβγ
==
±
，，n,
这里
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
+
+
=?
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG 。
在根号前取定一个符号后，曲面对每一点 )),(),,(),,(( vuzvuyvux 都确定了一个单位法向量。而又由假设，方向余弦是连续的，因此所确定的单位法向量是连续变动的，曲面的双侧性就保证了法向量不会指向另一侧去。这就是说，在根号前取定一个符号后，也就确定了曲面的一侧。
例如，光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)z zxy xy= ∈D,
其中 D为平面区域。那么
)1,,(
1
1
)cos,cos,(cos
22
yx
yx
zz
zz
++±
== γβαn 。
如果取正号，则 cosγ > 0，这时法向量与 z 轴成锐角，意味着取定了曲面的上侧，而取负号则意味着取定了曲面的下侧。
第二类曲面积分
已知不可压缩流体（设其密度为 1）在 ),,( zyx 处的流速可以表 示为
kjiv ),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxP ++=,
并设它与时间无关，我们来计算单位时间内通过定向曲面 ∑ 的（质量）流量。
用光滑曲线网将 ∑ 分成 n片小曲面
12
,,,
n
ΣΣ ΣΔΔ Δ " 。设
i
ΣΔ 的面 积为 ΔS
i
，在它上面任取一点 ),,(
iiii
M ζηξ,那么在这点的流速为
kjiv ),,(),,(),,(
iiiiiiiiii
RQP ζηξζηξζηξ ++= 。
记曲面 ∑ 在
i
M 点的单位法向量为
kjin
iiii
γβα coscoscos ++=,
那么单位时间内流过
i
ΔΣ 的流量（见图 14.2.6）就近似地为
iiiiiiiiiiiiiiii
SRQPS Δ++=Δ? ]cos),,(cos),,(cos),,([ γζηξβζηξαζηξnv 。
因此单位时间内通过 Σ的（质量）流量为
0
1
0
1
lim
lim [(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]
[ (,,)cos (,,)cos (,,)cos ]d,
n
iii
i
n
iii i iii i iii i i
i
S
P QRS
Pxyz Qxyz Rxyz S
λ
λ
Σ
Φ
ξηζ α ξηζ β ξηζ γ
αβγ
→
=
→
=
=?Δ
=++Δ
+
∑
∑
∫∫
vn
其中 λ 是所有小曲面片的最大直径。
i
n
i
v
i
ΔΣ
i
M
图12.2.6
根据这一思想我们引入下面的定义,
定义 14.2.3 设 ∑ 为定向的光滑曲面,曲面上面的每一点指定了单位法向量,(cosα=n )cos,cos γβ 。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=
是定义在 ∑ 上的向量值函数,则称
[ ]
d (,,)cos (,,)cos (,,)cos dSPxy zQxy zRxy zS
ΣΣ
αβγ?= + +
∫∫ ∫∫
fn
为 f 在 ∑ 上的第二类曲面积分 。
第二类曲面积分定义在定向曲面上，它具有与第二类曲线积分类似的性质,
性质 1（方向性） 设向量值函数 f 在定向的光滑曲面 ∑ 上 的 第二类曲面积分存在。记 -∑ 为与 ∑ 取相反侧的曲面,则 f 在 -∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
ddSS
ΣΣ?
=?
∫∫∫∫
fn 。
注意这个等式两边的 n是方向相反的。
性质 2（线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上 的第二 类 曲面积分存在，则对任何常数 βα,,α β+fg在 ∑ 上 的第二类 曲 面积 分也存在，且成立
()dS
Σ
αβ+?=
∫∫
fgn ddSS
ΣΣ
αβ?+?
∫∫ ∫∫
fn gn 。
性质 3 （曲面可加性） 设定向的光滑曲面 ∑ 分成了两片
1
Σ 和
2
Σ,
它们与 ∑ 的取向相同 （ 这时记为
12
Σ ΣΣ= + ）,如果向量值函数 f 在 ∑
上的第二类曲面积分存在，则它在
1
Σ 和
2
Σ 上的 第二类曲面积分也 存在。反之，如果 f 在
1
Σ 和
2
Σ 上的第二类曲面积分存在，则它在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在。且成立
12
dddSSS
ΣΣΣ
=?+?
∫∫ ∫∫ ∫∫
fn fn fn 。
性质 2（线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上 的第二 类 曲面积分存在，则对任何常数 βα,,α β+fg在 ∑ 上 的第二类 曲 面积 分也存在，且成立
()dS
Σ
αβ+?=
∫∫
fgn ddSS
ΣΣ
αβ?+?
∫∫ ∫∫
fn gn 。
在 ∑ 上的点 ),,( zyx 处取一个 ∑ 的面积微元 dS,作定向曲面微元
dS = dSn,其中,cos,(cos βα=n )cosγ 为 ∑ 在点 ),,( zyx 处的单位法向量。
记 dS在 xy平面上的投影的面积为 dσ 。如果我们用微分形式 ddxy∧ 表示 dS在 xy平面上的有向投影面积，即
d,cos 0
dd d,cos 0
0c
xy
σγ
γ
>?
∧=? <
=；
。
当时；
当时
，当时
那么 ddcosdxy Sγ∧ = 。
类似地有
ddcosdyz Sα∧ =,ddcosdzx Sγ∧ = 。
为方便起见，常简记 ddxy∧ 为 ddxy,ddy z∧ 为 ddy z,ddzx∧ 为 ddzx。
于是，第二类曲面积分又可以表示为
(,,)d d (,,)d d (,,)d d
(,,)dd (,,)dd (,,)dd.
dPxy z y zQxy zz xRxy zx y
Pxyz yz Qxyz zx Rxyz xy
ΣΣ
Σ
= ∧+ ∧+ ∧
=++
∫∫ ∫∫
∫∫
fS
这也称为 2-形式 (,,)d d (,,)d d (,,)d dP xyzy zQxyzz xRxyzx yω = ∧+ ∧+ ∧在 ∑
上的第二类曲面积分，记为
∫
Σ
ω。
下面讨论如何计算第二类曲面积分。
若定向光滑曲面 ∑ 的参数方程为
),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx ===,(,)uv∈D,
其中 D为 uv平面上有分段光滑边界的有界区域。 (,,),(,,),P xyz Qxyz
(,,)Rxy z 为 ∑ 上的连续函数。首先有
±=
),(
),(
),(
),(
),(
),(1
)cos,cos,(cos
2
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG
，，γβα,
以及
2
dddSEGFuv=? 。
于是由第一类曲面积分的计算公式,第二类曲面积分可由如下公式 计算,
(,,)dd (,,)dd (,,)ddP xyzyzQxyzzxRxyzxy
Σ
++
∫∫
[ ]
(,,)cos (,,)cos (,,)cos dP xyz Qxyz Rxyz S
Σ
αβγ=++
∫∫
(,) (,)
((,),(,),(,)) ((,),(,),(,))
(,) (,)
yz zx
Pxuv yuv zuv Qxuv yuv zuv
uv uv
=± +
∫∫
D
(,)
((,),(,),(,)) dd
(,)
xy
Rxuv yuv zuv uv
uv
+
,
式中符号由曲面的侧，即方向余弦（或单位法向量）的计算公式中 所取符号决定。
特别地，如果定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)
xy
z zxy xy= ∈D,
其中
xy
D 为 xy平面上具有分段光滑边界的有界闭区域。设 Rxyz(,,)为
∑ 上的连续函数，则
(,,)d d (,,(,))dd
xy
Rxyz x y Rxyzxy xy
Σ
∧=±
∫∫ ∫∫
D
。
等式右端是二重积分，当曲面的定向为上侧时，积分号前取“+” ；
当曲面的定向为下侧时，积分号前取“-” 。
读者不难推出当定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)
yz
xxyz yz= ∈D,
或 (,),(,)
zx
y yzx zx= ∈D 时的类似公式。
例 14.2.4 计算 (1)dd(1)dd(1)ddI x y z y zx z xy
Σ
=+ ++ ++
∫∫
，其中 ∑ 为平面 x y zx y+ += = =100,,和 z = 0所围立体的表面，方向取外侧。
解 将曲面划分如图所示的四片：
123
,,Σ ΣΣ和
4
Σ 。
1
Σ 的方程为 zyxx= ≤ ≤? ≤ ≤00 1 0 1,,。 根据定向，其法向量与 x轴和 y 轴的夹角都是 π /2，与 z 轴的夹角为 π?,因此
1
01
1
01
(1)dd(1)dd(1)dd
1
(1)dd dd
2
x
yx
xyzyzxzxy
zxy xy
Σ
Σ ≤≤
≤≤?
+++++
= +=? =?
∫∫
∫∫ ∫∫
。
同理
2
3
1
( 1)d d ( 1)d d ( 1)d d
2
1
(1)dd(1)dd(1)dd
2
xyzyzxzxy
xyzyzxzxy
Σ
Σ
+++++=?
+++++=?
∫∫
∫∫
，
。
z
Σ
2
Σ
4
1,xyz++=
Σ
3
O y
x Σ
1
图 14.2.7
4
Σ 的方程可表为 10,10,1 ≤≤?≤≤= xxyyxz 。因此
01
4
01
2
(1)dd (2 )dd
3
x
yx
zxy xyxy
Σ ≤≤
≤≤?
+ ==
∫∫ ∫∫
。
由对称性得
4
(1)ddx yz
Σ
+ =
∫∫
4
2
(1)dd
3
yzx
Σ
+ =
∫∫
。
因此
4
( 1)d d ( 1)d d ( 1)d d 2xyzyzxzxy
Σ
+ ++ ++ =
∫∫
。
相加后即得到 I =
1
2
。
例 14.2.5 计算
333
dd dd ddxyz yzx zxy
Σ
++
∫∫
，其中 ∑ 为上半椭球面
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
,0≥z ( 0,,>cba )，方向取上侧。
解 利用广义球面坐标，就可得曲面的参数方程为
π
sin cos,sin sin,cos,0 2π,0
2
xa yb zc?θ?θ? θ?= ==≤≤。
经计算得到
2
2
(,)
sin cos,
(,)
(,)
sin sin
(,)
(,)
sin cos
(,)
yz
bc
zx
ac
xy
ab
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
=
，
。
图14.2.8
222
222
1
xyz
abc
+ +=
x
y
z
O
因此
333
dd dd ddxyz yzx zxy
Σ
++
∫∫
3543543 4
02π
π
0
2
( sin cos sin sin sin cos )d dabc bac cab
θ
θ?θθ
≤≤
≤≤
=++
∫∫
()
π
2π
25 4 25 4 2 4
2
00
222
d sin cos sin sin sin cos d
2
π ()
5
abc a b c
abc a b c
θ?θθ=++
=++
∫∫
。
这里积分号前取“+,,是因为曲面的定向为上侧，所以在 ∑ 上方向余弦 0cos >γ （除去在边界上
π
2
= ）,而由方向余弦的计算公式，
22
1(,)sincos
cos
(,)
xy ab
EG F EG F
γ
θ
=± =±
,
等式成立必须取,+”号。
例 14.2.6 计算
2
( )dd ddzxy zzxy
Σ
++
∫∫
，其中 ∑ 为抛物面
zxy=+
1
2
22
()在平面 z = 0与 z = 2之间的部分，方向取下侧。
图14.2.9
zxy=+
1
2
22
()
z=2
y
x
z
O
解 由于 dd cos d,dd cos dyz S xy Sα γ= =,所以
22 2
cos
()d ()cosd () d
cos
zxy zzx Szx xy
ΣΣ Σ
α
α
γ
+=+ =+
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
由于 ∑ 定向为下侧，所以
2222
1
1
cos,
1
cos
yxyx
x
++
=
++
= γα 。
注意到 ∑ 在 xy平面的投影区域为
22
{(,)| 2}xy x y= +≤D,于是有
22
2
22 22
2π 2
522
00
( )dd dd ( )( ) dd
11
()()()d
118
dcoscos d42π
423
zxyz zxy zxx zxy
xy x x xy xy
rr rr
ΣΣ
θθθ
++ =+?+
=? + +? + +
= + =?
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
。
D
