Dirichlet 积分
仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉,对于一 般的以 2π为周期的函数 fx()，除了个别点之外（看来是不连续点）,当
m→∞时，它的 Fourier 级数的部分和函数序列 { })(xS
m
,
0
1
() ( cos sin )
2
m
mn
n
a
Sx a nxb nx
=
=+ +
∑
,
是收敛于 fx()的。下面从理论上来探讨这个问题。
§ 2 Fourier级数的收敛判别法将 Euler-Fourier 公式
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f tntt
∫
,b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f tntt
∫
代入 Sx
m
(),
Sx
m
()
π
π
1
()d
2π
f tt
=
∫
( ) ( )
ππ
1
1
()cos d cos ()sin d sin
π
m
n
f t nt t nx f t nt t nx
=
++
∑
∫∫
π
π
1
11
() (cos cos sin sin ) d
π 2
m
n
f tntnxtxt
=
=+ +
∑
∫
π
π
1
11
() cos ( ) d
π 2
m
n
f tntxt
=
=+?
∑
∫
。
当 0≠θ 时,由三角函数的积化和差公式，有
∑
=
+
=+
m
n
m
n
1
2
sin2
2
12
sin
cos
2
1
θ
θ
θ 。
当 0=θ 时，将等式右端理解为当 θ→ 0时的极限值，则等式依然成立。
因此，上式对任意 [ π,π]θ∈? 都是正确的。
将 Euler-Fourier 公式
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f tntt
∫
,b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f tntt
∫
代入 Sx
m
(),
Sx
m
()
π
π
1
()d
2π
f tt
=
∫
( ) ( )
ππ
1
1
()cos d cos ()sin d sin
π
m
n
f t nt t nx f t nt t nx
=
++
∑
∫∫
π
π
1
11
() (cos cos sin sin ) d
π 2
m
n
f t nt nx nt nx t
=
=+ +
∑
∫
π
π
1
11
() cos ( ) d
π 2
m
n
f tntxt
=
=+?
∑
∫
。
于是
Sx
m
()
π
π
21
sin ( )
1
2
() d
π
2sin
2
m
tx
f tt
tx
+
=
∫
(作代换 t x u? = )
π
π
21
sin
1
2
() d
π
2sin
2
x
x
m
u
f xu u
u
+
=+
∫
π
π
21
sin
1
2
() d
π
2sin
2
m
u
f xu u
u
+
=+
∫
。
这样，就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为
Dirichlet 积分,它是研究 Fourier 级数敛散性的重要工具。
将积分区间 [ π,π]? 分成 [ π,0]? 和 [0,π],稍加整理，就得到了
Dirichlet 积分的惯用形式
Sx
m
()
π
0
21
sin
1
2
[( ) ( )] d
π
2sin
2
m
u
fx u fx u u
u
+
=++?
∫
。
由前面的三角函数关系式，有
π
0
21
sin
2
2
d
π
2sin
2
m
u
u
u
+
=
∫
π
0
1
21
cos d 1
π 2
m
n
nu u
=
+ =
∑
∫
,
因此，对任意给定的函数 )(xσ,有
)()( xxS
m
σ?
π
0
21
sin
1
2
[( ) ( ) 2()] d
π
2sin
2
m
u
f xu fxu x u
u
σ
+
=++
∫
。
这样，若记
)(2)()(),( xuxfuxfxu σ?
σ
++=,
则 fx()的 Fourier 级数是否收敛于某个 )(xσ 就等价于极限
π
0
21
sin
2
lim (,) d
2sin
2
m
m
u
ux u
u
σ
→∞
+
∫
是否存在且等于0。
Riemann 引理及其推论
定理 16.2.1 （ Riemann 引理） 设函数 )(xψ 在 [,]ab上可积或绝对可积，则成立
lim ( )sin d
b
ap
x px xψ
→+∞
=
∫
lim ( ) cos d 0
b
ap
xpxxψ
→+∞
=
∫
。
证 先考虑 )(xψ 有界的情况，这时 )(xψ Riemann 可积。
对于任意给定的 0>ε,由定理 7.1.3，存在着一种划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
满足
2
1
ε
ω <Δ
∑
=
n
i
ii
x,
这里 Δxxx
iii
=?
1
，
i
ω 是 )(xψ 在 [,]xx
ii?1
中的振幅。
Riemann 引理及其推论
定理 16.2.1 （ Riemann 引理） 设函数 )(xψ 在 [,]ab上可积或绝对可积，则成立
lim ( )sin d
b
ap
x px xψ
→+∞
=
∫
lim ( ) cos d 0
b
ap
xpxxψ
→+∞
=
∫
。
对于这种固定的划分，记 m
i
是 )(xψ 在 [,]xx
ii?1
中的下确界，并取 实数 0||
4
1
>?
=
∑
=
n
i
i
mP
ε
，则当 pP> 时，有
2
||
2
1
ε
<?
∑
=
n
i
i
m
p
。
于是，对于任意给定的 0>ε,存在实数 P > 0，当 pP> 时，有
()sin d
b
a
xpxxψ
∫
1
1
()sin d
i
i
n
x
x
i
xpxxψ
=
=
∑
∫
1
1
(() )sin d
i
i
n
x
i
x
i
xm pxxψ
=
=?
∑
∫
1
1
sin d
i
i
n
x
i
x
i
mpx
=
+
∑
∫
1
1
| () ||sin | d
i
i
n
x
i
x
i
x mpxxψ
=
≤
∑
∫
1
1
|| sin d
i
i
n
x
i
x
i
mpx
=
+
∑
∫
1
1
|() |d
i
i
n
x
i
x
i
x mxψ
=
≤?
∑
∫
+
∑
=
n
i
i
m
p
1
||
2
∑
=
Δ≤
n
i
ii
x
1
ω?
+
∑
=
n
i
i
m
p
1
||
2
<ε。
再考虑 )(xψ 无界的情况，这时 )(xψ 绝对可积。
不妨假设 b是 )(xψ 的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛的定义，对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,当 δη < 时,
|()|d
2
b
b
xx
η
ε
ψ
<
∫
,
固定 η，则 )(xψ 在 ],[ η?ba 上 Riemann 可积，应用上面的结论，存在 实数 P > 0，当 pP> 时,
()sin d
2
b
a
xpxx
η
ε
ψ
<
∫
。
因此,
()sin d
b
a
xpxxψ
∫
()sin d
b
a
xpxx
η
ψ
≤
∫
| ()sin |d
b
b
x px x
η
ψ
+
∫
()sin d
b
a
xpxx
η
ψ
≤
∫
| ()|d
b
b
x x
η
ψ
+
∫
<ε。
所以无论对哪一种情况，都有
lim ( )sin d 0
b
ap
x px xψ
→+∞
=
∫
。
同理可证
lim ( ) cos d 0
b
ap
xpxxψ
→+∞
=
∫
。
推论16.2.1 （局部性原理） 可积或绝对可积函数 fx()的 Fourier
级数在 x点是否收敛只与 fx()在 ),( δδ +? xx 的性质有关，这里 δ 是任意小的正常数。
推论16.2.1 （局部性原理） 可积或绝对可积函数 fx()的 Fourier
级数在 x点是否收敛只与 fx()在 ),( δδ +? xx 的性质有关，这里 δ 是任意小的正常数。
证 由于对任意给定的 0>δ,
fx u fx u
u
()()
sin
+ +?
2
2
关于 u 在 [,π]δ 可积或绝对可积，由 Riemann 引理,
π
21
sin
2
lim [ ( ) ( )] d 0
2sin
2
m
m
u
fx u fx u u
u
δ→∞
+
+ +? =
∫
。
因此，若将 Sx
m
()的表达式中积分区间分成 ],0[ δ 和 [,π]δ 两部分，
则当 m→∞时,Sx
m
()的敛散性显然只与
0
21
sin
1
2
[( ) ( )] d
π
2sin
2
m
u
f xu fxu u
u
δ
+
++?
∫
有关，而这个积分只涉及 fx()在 ),( δδ +? xx 的性质。
推论 16.2.2 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上可积或绝对可积，则成立
0
21
sin
2
lim ( ) d
2sin
2
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
∫
0
21
sin
2
lim ( ) d
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
=
∫
。
证 令
=
>?
=
,0,0
,0,
1
sin2
1
)(
2
u
u
u
ug
u
容易验证 gu()是 ],0[ δ 上的连续函数，由 Riemann 引理，当 m→∞时，
有
0
11 1
() sin( ) d
2
2sin
2
umu
u
u
δ
ψ
+
∫
0
1
() ()sin( ) d
2
u g umuu
δ
ψ=+
∫
→ 0,
推论 16.2.2 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上可积或绝对可积，则成立
0
21
sin
2
lim ( ) d
2sin
2
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
∫
0
21
sin
2
lim ( ) d
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
=
∫
。
Fourier 级数的收敛判别法
以上推论告诉我们，如果对点 x，能找到适当的 )(xσ,使得对 于充分小的定数 0>δ,有
0
(,) 21
lim sin d 0
2
m
ux m
uu
u
δ
σ
→∞
+
=
∫
,
则 fx()的 Fourier 级数在 x点必定收敛于这个 )(xσ 。
显然，对 [ π,π]x∈?,只要存在某个 0>δ,使
u
xuxfuxf
u
xu )(2)()(),( σ?
σ
++
=
关于 u在 ],0[ δ 上可积或绝对可积（这被称为 Dini 条件 ）,就可以由
Riemann 引理导出上面的结果。
以下假设点 x是 fx()的连续点或第一类不连续点,而上述积分的极限存在与否只涉及
u
xu ),(
σ
当 u → 0时的性质，显然，要满足 Dini
条件首先必须有
0)](2)()([lim
0
=++
→
xuxfuxf
u
σ,
即必须有
2
)()(
)(
++
=
xfxf
xσ （显然当 fx()在点 x 连续时，有
)()( xfx =σ ）,于是，问题最终转化为研究使得
0
() ()sin
lim ( ) ( ) 2 d 0
2
p
fx fx pu
fx u fx u u
u
δ
→+∞
++?
+ + =
∫
成立的条件 —— 这是探索 Fourier 级数收敛性的一把钥匙。
德国数学家 Dirichlet 在 1829 年 —— Fourier 级数问世约四分 之一个世纪之后，首先得到了一个函数的 Fourier 级数的收敛条件； 又过了约半个世纪，另一位德国数学家 Lipschitz 得到了与之不同的 收敛条件。他们的结果经后人完善，可以表述为如下定理,
定理 16.2.2 设函数 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积,且满 足下列两个条件之一，则 fx()的 Fourier 级数在点 x 处收 敛于
2
)()(?++ xfxf
。
⑴ （ Dirichlet-Jordan 判别法） fx()在点 x的某个邻域 ),( δxO 上是分段单调有界函数；
⑵ （ Dini-Lipschitz 判别法 ） fx()在点 x处满足指数为 ]1,0(∈α 的
H?lder 条件。
所谓的分段单调函数是这样定义的,
定义 16.2.1 设函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ） 上有定义。 如果在 ],[ ba （ 或
),( ba ）上存在有限个点
<<=
10
xxa <
2
x bx
N
=< ",
使得 f 在每个区间 ),(
1 ii
xx
（ Ni,,2,1 "= ）上是单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上分段单调 。
所谓的,H?lder 条件”是这样定义的,
定义 16.2.2 设点 x是函数 fx()的连续点或第一类不连续点,若对于充分小的正数 δ,存在常数 L > 0和 ]1,0(∈α,使得成立
α
Luxfuxf <±?± |)()(| )0( δ<< u,
则称 fx()在点 x处满足指数为 ]1,0(∈α 的 H?lder 条件 （当 1=α 也称为
Lipschitz 条件 ） 。
所谓的分段单调函数是这样定义的,
定义 16.2.1 设函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ） 上有定义。 如果在 ],[ ba （ 或
),( ba ）上存在有限个点
<<=
10
xxa <
2
x bx
N
=< ",
使得 f 在每个区间 ),(
1 ii
xx
（ Ni,,2,1 "= ）上是单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上分段单调 。
定理 16.2.3 （ Dirichlet 引理） 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上单调,则成立
0
() (0)
lim sin d 0
p
u
pu u
u
δ
ψ ψ
→+∞
+
=
∫
,
证 不妨设 )(xψ 单调增加。于是对任意给定的 0>ε,存 在
),0( δη∈,当 ],0( η∈u 时,
εψψ <+?≤ )0()(0 u,
将积分分为两部分,
0
() (0)
sin d
u
puu
u
δ
ψ ψ? +
∫
=
0
() (0)
sin d
u
pu u
u
η
ψ ψ? +
+
∫
() (0)
sin d
u
pu u
u
δ
η
ψ ψ? +
∫
。
定理 16.2.3 （ Dirichlet 引理） 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上单调,则成立
0
() (0)
lim sin d 0
p
u
pu u
u
δ
ψ ψ
→+∞
+
=
∫
,
对等式右边的第一项，由积分第二中值定理，存在 ],0[ ηξ ∈,
0
() (0)
sin d
u
puu
u
η
ψψ?+
∫
sin
[() (0)] d
pu
u
u
η
ξ
ψη ψ=?+?
∫
sin
d
pu
u
u
η
ξ
ε<?
∫
sin
d
p
p
u
u
u
η
ξ
ε=?
∫
,
利用含参变量积分中已经得到的结论
0
sin π
d
2
x
x
x
+∞
=
∫
,
可知存在与 p 无关的常数 K,使得
sin
d
p
p
u
uK
u
η
ξ
<
∫
,
于是
0
() (0)
sin d
u
puu
u
η
ψψ?+
∫
ε< K 。
对等式右边的第二项,由于
u
u )0()( +?ψψ
在 ],[ δη 上显然是可积或 绝对可积的，由 Riemann 引理，存在常数 0>P,当 Pp > 时，有
sin
[() (0)] d
pu
uu
u
δ
η
ψ ψε? +<
∫
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
注 Dirichlet 引理也经常表达为等价形式
0
sin π
lim ( ) d (0 )
2
p
pu
uu
u
δ
ψψ
→+∞
=+
∫
。
如果 ()uψ 是分段单调有界函数，易知 Dirichlet 引理依然成立。
对等式右边的第二项,由于
u
u )0()( +?ψψ
在 ],[ δη 上显然是可积或 绝对可积的，由 Riemann 引理，存在常数 0>P,当 Pp > 时，有
sin
[() (0)] d
pu
uu
u
δ
η
ψ ψε? +<
∫
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
定理16.2.2的证明
当 fx()满足条件（1）时，由 Dirichlet 引理,
0
()()
lim sin d 0
p
fx u fx
pu u
u
δ
→+∞
+?+
=
∫
,
0
()()
lim sin d 0
p
fx u fx
pu u
u
δ
→+∞
=
∫
,
两式相加，即有
0
() ()sin
lim ( ) ( ) 2 d 0
2
p
fx fx pu
fx u fx u u
u
δ
→+∞
++?
+ + =
∫
。
当 fx()满足条件（2）时，在 ),0( δ 上，有
α?
<
±?±
1
|)()(|
u
L
u
xfuxf
（ 10 ≤<α ）,
所以,
u
xfuxf
u
xfuxf
u
xu )()()()(),(
+
+?+
=
σ
在 ],0[ δ 可积或绝对可积，由 Riemann 引理,
0
() ()sin
lim ( ) ( ) 2 d 0
2
p
fx fx pu
fx u fx u u
u
δ
→+∞
++?
+ + =
∫
。
因此无论哪种情况,fx()的 Fourier 级数在点 x 处均收敛 于
2
)()(?++ xfxf
。
注 由于“可导”强于“满足 Lipschitz 条件”,且易于验证，因此实际中往往使用如下条件（2）的推论。
推论 16.2.3 若 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，在点 x处两个单侧导数 )(xf
+
′
和 )(xf
′
都存在，或更进一步，只要两个拟单侧导数
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
±?±
→
存在，则 fx()的 Fourier 级数在点 x处收敛于
2
)()(?++ xfxf
。
Dirichlet-Jordan 判别法和 Dini-Lipschitz 判别法都是 Fourier 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的（参见本节习题 10） 。附带指出，直至今天，还没有找到一个判别 Fourier 级数敛散性的既充分又必要的条件。
Dirichlet-Jordan 判别法和 Dini-Lipschitz 判别法都是 Fourier 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的（参见本节习题 10） 。附带指出，直至今天，还没有找到一个判别 Fourier 级数敛散性的既充分又必要的条件。
定理 16.2.2 告诉我们，若收敛条件满足，则 fx()的 Fourier 级数在连续点收敛于函数值本身,而在第一类不连续点收敛于它左右 极限的算术平均值。
所以，对于连续的周期函数 fx()，应将 fx()与它的 Fourier 级数间的“~,改为“=” 。
如例16.1.2中 fx()的余弦级数可以直接写成
22 2
π 4 cos3 cos5 cos(2 1)
cos
2 π 35 (21)
xx kx
x
k
+
++++ +
+
" ",[0,π]xx= ∈ 。
若周期函数 fx()有第一类不连续点，那么展成 Fourier 级数后，
要对这些点予以特别说明,画图时也要将它们的函数值标为其左右 极限的算术平均值。
如例16.1.1，应该写成
fx()
12 sin3 sin(2 1)
~sin
2 π 32
xkx
x
k
+
+++ +
+
" "
1
2
1,( π,0),
,0,π,
0,(0,π).
x
x
x
∈?
==±
∈
Fourier 级数的图像为图16.2.1。
y
π 0 π x
图 16.2.1
取
π
2
x =,得到
π
2
1 2 sin3 sin5 sin(2 1) π
sin 0
2 π 35 21 2
x
xx kx
xf
k
=
+
++++ + =
+
" ",
整理后便有熟知的
π 11 1
1(1)
435 21
k
k
=?+ +? +
+
" ",
这与在 xy arctan= 的幂级数展开中取 x =1得到的结果相同。
例16.1.2中 fx()的正弦级数应该写成
fx()
+?++?
+
" "
n
nxx
x
n
sin
)1(
2
2sin
sin2~
1
,(π,π),
0,0,π.
xx
x
∈?
=
= ±
Fourier 级数的图像为图16.2.2。
注 例16.1.2中的余弦级数与正弦级数在 [0,π)上表示的是同一个函数，这正是上一节中指出的结果。
y
π
0 π x
图16.2.2
例16.1.3 的式子也应写成
fx()
22
1
12 (1)
~cosπ
6 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1
32
1
1(1) (1)1
2sinπ
ππ
nn
n
nx
nn
+
∞
=
++
∑
∈
±=
∈
=
).1,0(
,1
],0,1(
,
,
,0
2
2
1
x
x
x
x
Fourier 级数的图像为图16.2.3。
在上式中令 x =1，就可得到
2
2222
1
1111 π
1
234 6
n
n
∞
=
=+ + + + =
∑
"。
由它还可以导出一系列类似级数的和，如
2
222
111 π
1
234 12
+?+= ",
2
222
111 π
1
357 8
++++= "。
y
-1 0 1 x
图16.2.3
这些等式可以应用于某些计算问题，如
1
0
ln(1 )
d
x
x
x
∫
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
∞
=
=?
∑
∫
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
∞
=
=?
∑
∫
∑
∞
=
=
1
1
0
2
n
n
n
x
2
2
1
1 π
6
n
n
∞
=
=?=?
∑
。
由这些等式出发还可以获得一些有趣的结果,如对于 cos x 的全部零点
π
2
±,
3π
2
±,…，
(2 1)π
2
k?
±,…,有
1
21
2
2
1 []
()k
k
=
∞
∑
π
+
=
=
∞
∑
1
21
2
2
1 []
()k
k
π
2
222
1
41 4π
1
π (2 1) π 8
k
k
∞
=
= =
∑
,
即 cos x 全部零点的倒数的平方和恰为1！
仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉,对于一 般的以 2π为周期的函数 fx()，除了个别点之外（看来是不连续点）,当
m→∞时，它的 Fourier 级数的部分和函数序列 { })(xS
m
,
0
1
() ( cos sin )
2
m
mn
n
a
Sx a nxb nx
=
=+ +
∑
,
是收敛于 fx()的。下面从理论上来探讨这个问题。
§ 2 Fourier级数的收敛判别法将 Euler-Fourier 公式
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f tntt
∫
,b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f tntt
∫
代入 Sx
m
(),
Sx
m
()
π
π
1
()d
2π
f tt
=
∫
( ) ( )
ππ
1
1
()cos d cos ()sin d sin
π
m
n
f t nt t nx f t nt t nx
=
++
∑
∫∫
π
π
1
11
() (cos cos sin sin ) d
π 2
m
n
f tntnxtxt
=
=+ +
∑
∫
π
π
1
11
() cos ( ) d
π 2
m
n
f tntxt
=
=+?
∑
∫
。
当 0≠θ 时,由三角函数的积化和差公式，有
∑
=
+
=+
m
n
m
n
1
2
sin2
2
12
sin
cos
2
1
θ
θ
θ 。
当 0=θ 时，将等式右端理解为当 θ→ 0时的极限值，则等式依然成立。
因此，上式对任意 [ π,π]θ∈? 都是正确的。
将 Euler-Fourier 公式
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f tntt
∫
,b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f tntt
∫
代入 Sx
m
(),
Sx
m
()
π
π
1
()d
2π
f tt
=
∫
( ) ( )
ππ
1
1
()cos d cos ()sin d sin
π
m
n
f t nt t nx f t nt t nx
=
++
∑
∫∫
π
π
1
11
() (cos cos sin sin ) d
π 2
m
n
f t nt nx nt nx t
=
=+ +
∑
∫
π
π
1
11
() cos ( ) d
π 2
m
n
f tntxt
=
=+?
∑
∫
。
于是
Sx
m
()
π
π
21
sin ( )
1
2
() d
π
2sin
2
m
tx
f tt
tx
+
=
∫
(作代换 t x u? = )
π
π
21
sin
1
2
() d
π
2sin
2
x
x
m
u
f xu u
u
+
=+
∫
π
π
21
sin
1
2
() d
π
2sin
2
m
u
f xu u
u
+
=+
∫
。
这样，就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为
Dirichlet 积分,它是研究 Fourier 级数敛散性的重要工具。
将积分区间 [ π,π]? 分成 [ π,0]? 和 [0,π],稍加整理，就得到了
Dirichlet 积分的惯用形式
Sx
m
()
π
0
21
sin
1
2
[( ) ( )] d
π
2sin
2
m
u
fx u fx u u
u
+
=++?
∫
。
由前面的三角函数关系式，有
π
0
21
sin
2
2
d
π
2sin
2
m
u
u
u
+
=
∫
π
0
1
21
cos d 1
π 2
m
n
nu u
=
+ =
∑
∫
,
因此，对任意给定的函数 )(xσ,有
)()( xxS
m
σ?
π
0
21
sin
1
2
[( ) ( ) 2()] d
π
2sin
2
m
u
f xu fxu x u
u
σ
+
=++
∫
。
这样，若记
)(2)()(),( xuxfuxfxu σ?
σ
++=,
则 fx()的 Fourier 级数是否收敛于某个 )(xσ 就等价于极限
π
0
21
sin
2
lim (,) d
2sin
2
m
m
u
ux u
u
σ
→∞
+
∫
是否存在且等于0。
Riemann 引理及其推论
定理 16.2.1 （ Riemann 引理） 设函数 )(xψ 在 [,]ab上可积或绝对可积，则成立
lim ( )sin d
b
ap
x px xψ
→+∞
=
∫
lim ( ) cos d 0
b
ap
xpxxψ
→+∞
=
∫
。
证 先考虑 )(xψ 有界的情况，这时 )(xψ Riemann 可积。
对于任意给定的 0>ε,由定理 7.1.3，存在着一种划分
ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
满足
2
1
ε
ω <Δ
∑
=
n
i
ii
x,
这里 Δxxx
iii
=?
1
，
i
ω 是 )(xψ 在 [,]xx
ii?1
中的振幅。
Riemann 引理及其推论
定理 16.2.1 （ Riemann 引理） 设函数 )(xψ 在 [,]ab上可积或绝对可积，则成立
lim ( )sin d
b
ap
x px xψ
→+∞
=
∫
lim ( ) cos d 0
b
ap
xpxxψ
→+∞
=
∫
。
对于这种固定的划分，记 m
i
是 )(xψ 在 [,]xx
ii?1
中的下确界，并取 实数 0||
4
1
>?
=
∑
=
n
i
i
mP
ε
，则当 pP> 时，有
2
||
2
1
ε
<?
∑
=
n
i
i
m
p
。
于是，对于任意给定的 0>ε,存在实数 P > 0，当 pP> 时，有
()sin d
b
a
xpxxψ
∫
1
1
()sin d
i
i
n
x
x
i
xpxxψ
=
=
∑
∫
1
1
(() )sin d
i
i
n
x
i
x
i
xm pxxψ
=
=?
∑
∫
1
1
sin d
i
i
n
x
i
x
i
mpx
=
+
∑
∫
1
1
| () ||sin | d
i
i
n
x
i
x
i
x mpxxψ
=
≤
∑
∫
1
1
|| sin d
i
i
n
x
i
x
i
mpx
=
+
∑
∫
1
1
|() |d
i
i
n
x
i
x
i
x mxψ
=
≤?
∑
∫
+
∑
=
n
i
i
m
p
1
||
2
∑
=
Δ≤
n
i
ii
x
1
ω?
+
∑
=
n
i
i
m
p
1
||
2
<ε。
再考虑 )(xψ 无界的情况，这时 )(xψ 绝对可积。
不妨假设 b是 )(xψ 的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛的定义，对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,当 δη < 时,
|()|d
2
b
b
xx
η
ε
ψ
<
∫
,
固定 η，则 )(xψ 在 ],[ η?ba 上 Riemann 可积，应用上面的结论，存在 实数 P > 0，当 pP> 时,
()sin d
2
b
a
xpxx
η
ε
ψ
<
∫
。
因此,
()sin d
b
a
xpxxψ
∫
()sin d
b
a
xpxx
η
ψ
≤
∫
| ()sin |d
b
b
x px x
η
ψ
+
∫
()sin d
b
a
xpxx
η
ψ
≤
∫
| ()|d
b
b
x x
η
ψ
+
∫
<ε。
所以无论对哪一种情况，都有
lim ( )sin d 0
b
ap
x px xψ
→+∞
=
∫
。
同理可证
lim ( ) cos d 0
b
ap
xpxxψ
→+∞
=
∫
。
推论16.2.1 （局部性原理） 可积或绝对可积函数 fx()的 Fourier
级数在 x点是否收敛只与 fx()在 ),( δδ +? xx 的性质有关，这里 δ 是任意小的正常数。
推论16.2.1 （局部性原理） 可积或绝对可积函数 fx()的 Fourier
级数在 x点是否收敛只与 fx()在 ),( δδ +? xx 的性质有关，这里 δ 是任意小的正常数。
证 由于对任意给定的 0>δ,
fx u fx u
u
()()
sin
+ +?
2
2
关于 u 在 [,π]δ 可积或绝对可积，由 Riemann 引理,
π
21
sin
2
lim [ ( ) ( )] d 0
2sin
2
m
m
u
fx u fx u u
u
δ→∞
+
+ +? =
∫
。
因此，若将 Sx
m
()的表达式中积分区间分成 ],0[ δ 和 [,π]δ 两部分，
则当 m→∞时,Sx
m
()的敛散性显然只与
0
21
sin
1
2
[( ) ( )] d
π
2sin
2
m
u
f xu fxu u
u
δ
+
++?
∫
有关，而这个积分只涉及 fx()在 ),( δδ +? xx 的性质。
推论 16.2.2 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上可积或绝对可积，则成立
0
21
sin
2
lim ( ) d
2sin
2
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
∫
0
21
sin
2
lim ( ) d
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
=
∫
。
证 令
=
>?
=
,0,0
,0,
1
sin2
1
)(
2
u
u
u
ug
u
容易验证 gu()是 ],0[ δ 上的连续函数，由 Riemann 引理，当 m→∞时，
有
0
11 1
() sin( ) d
2
2sin
2
umu
u
u
δ
ψ
+
∫
0
1
() ()sin( ) d
2
u g umuu
δ
ψ=+
∫
→ 0,
推论 16.2.2 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上可积或绝对可积，则成立
0
21
sin
2
lim ( ) d
2sin
2
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
∫
0
21
sin
2
lim ( ) d
m
m
u
uu
u
δ
ψ
→∞
+
=
∫
。
Fourier 级数的收敛判别法
以上推论告诉我们，如果对点 x，能找到适当的 )(xσ,使得对 于充分小的定数 0>δ,有
0
(,) 21
lim sin d 0
2
m
ux m
uu
u
δ
σ
→∞
+
=
∫
,
则 fx()的 Fourier 级数在 x点必定收敛于这个 )(xσ 。
显然，对 [ π,π]x∈?,只要存在某个 0>δ,使
u
xuxfuxf
u
xu )(2)()(),( σ?
σ
++
=
关于 u在 ],0[ δ 上可积或绝对可积（这被称为 Dini 条件 ）,就可以由
Riemann 引理导出上面的结果。
以下假设点 x是 fx()的连续点或第一类不连续点,而上述积分的极限存在与否只涉及
u
xu ),(
σ
当 u → 0时的性质，显然，要满足 Dini
条件首先必须有
0)](2)()([lim
0
=++
→
xuxfuxf
u
σ,
即必须有
2
)()(
)(
++
=
xfxf
xσ （显然当 fx()在点 x 连续时，有
)()( xfx =σ ）,于是，问题最终转化为研究使得
0
() ()sin
lim ( ) ( ) 2 d 0
2
p
fx fx pu
fx u fx u u
u
δ
→+∞
++?
+ + =
∫
成立的条件 —— 这是探索 Fourier 级数收敛性的一把钥匙。
德国数学家 Dirichlet 在 1829 年 —— Fourier 级数问世约四分 之一个世纪之后，首先得到了一个函数的 Fourier 级数的收敛条件； 又过了约半个世纪，另一位德国数学家 Lipschitz 得到了与之不同的 收敛条件。他们的结果经后人完善，可以表述为如下定理,
定理 16.2.2 设函数 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积,且满 足下列两个条件之一，则 fx()的 Fourier 级数在点 x 处收 敛于
2
)()(?++ xfxf
。
⑴ （ Dirichlet-Jordan 判别法） fx()在点 x的某个邻域 ),( δxO 上是分段单调有界函数；
⑵ （ Dini-Lipschitz 判别法 ） fx()在点 x处满足指数为 ]1,0(∈α 的
H?lder 条件。
所谓的分段单调函数是这样定义的,
定义 16.2.1 设函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ） 上有定义。 如果在 ],[ ba （ 或
),( ba ）上存在有限个点
<<=
10
xxa <
2
x bx
N
=< ",
使得 f 在每个区间 ),(
1 ii
xx
（ Ni,,2,1 "= ）上是单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上分段单调 。
所谓的,H?lder 条件”是这样定义的,
定义 16.2.2 设点 x是函数 fx()的连续点或第一类不连续点,若对于充分小的正数 δ,存在常数 L > 0和 ]1,0(∈α,使得成立
α
Luxfuxf <±?± |)()(| )0( δ<< u,
则称 fx()在点 x处满足指数为 ]1,0(∈α 的 H?lder 条件 （当 1=α 也称为
Lipschitz 条件 ） 。
所谓的分段单调函数是这样定义的,
定义 16.2.1 设函数 f 在 ],[ ba （或 ),( ba ） 上有定义。 如果在 ],[ ba （ 或
),( ba ）上存在有限个点
<<=
10
xxa <
2
x bx
N
=< ",
使得 f 在每个区间 ),(
1 ii
xx
（ Ni,,2,1 "= ）上是单调函数，则称 f 在 ],[ ba
（或 ),( ba ）上分段单调 。
定理 16.2.3 （ Dirichlet 引理） 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上单调,则成立
0
() (0)
lim sin d 0
p
u
pu u
u
δ
ψ ψ
→+∞
+
=
∫
,
证 不妨设 )(xψ 单调增加。于是对任意给定的 0>ε,存 在
),0( δη∈,当 ],0( η∈u 时,
εψψ <+?≤ )0()(0 u,
将积分分为两部分,
0
() (0)
sin d
u
puu
u
δ
ψ ψ? +
∫
=
0
() (0)
sin d
u
pu u
u
η
ψ ψ? +
+
∫
() (0)
sin d
u
pu u
u
δ
η
ψ ψ? +
∫
。
定理 16.2.3 （ Dirichlet 引理） 设函数 )(uψ 在 ],0[ δ 上单调,则成立
0
() (0)
lim sin d 0
p
u
pu u
u
δ
ψ ψ
→+∞
+
=
∫
,
对等式右边的第一项，由积分第二中值定理，存在 ],0[ ηξ ∈,
0
() (0)
sin d
u
puu
u
η
ψψ?+
∫
sin
[() (0)] d
pu
u
u
η
ξ
ψη ψ=?+?
∫
sin
d
pu
u
u
η
ξ
ε<?
∫
sin
d
p
p
u
u
u
η
ξ
ε=?
∫
,
利用含参变量积分中已经得到的结论
0
sin π
d
2
x
x
x
+∞
=
∫
,
可知存在与 p 无关的常数 K,使得
sin
d
p
p
u
uK
u
η
ξ
<
∫
,
于是
0
() (0)
sin d
u
puu
u
η
ψψ?+
∫
ε< K 。
对等式右边的第二项,由于
u
u )0()( +?ψψ
在 ],[ δη 上显然是可积或 绝对可积的，由 Riemann 引理，存在常数 0>P,当 Pp > 时，有
sin
[() (0)] d
pu
uu
u
δ
η
ψ ψε? +<
∫
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
注 Dirichlet 引理也经常表达为等价形式
0
sin π
lim ( ) d (0 )
2
p
pu
uu
u
δ
ψψ
→+∞
=+
∫
。
如果 ()uψ 是分段单调有界函数，易知 Dirichlet 引理依然成立。
对等式右边的第二项,由于
u
u )0()( +?ψψ
在 ],[ δη 上显然是可积或 绝对可积的，由 Riemann 引理，存在常数 0>P,当 Pp > 时，有
sin
[() (0)] d
pu
uu
u
δ
η
ψ ψε? +<
∫
。
综合上述两项估计，即知结论成立。
定理16.2.2的证明
当 fx()满足条件（1）时，由 Dirichlet 引理,
0
()()
lim sin d 0
p
fx u fx
pu u
u
δ
→+∞
+?+
=
∫
,
0
()()
lim sin d 0
p
fx u fx
pu u
u
δ
→+∞
=
∫
,
两式相加，即有
0
() ()sin
lim ( ) ( ) 2 d 0
2
p
fx fx pu
fx u fx u u
u
δ
→+∞
++?
+ + =
∫
。
当 fx()满足条件（2）时，在 ),0( δ 上，有
α?
<
±?±
1
|)()(|
u
L
u
xfuxf
（ 10 ≤<α ）,
所以,
u
xfuxf
u
xfuxf
u
xu )()()()(),(
+
+?+
=
σ
在 ],0[ δ 可积或绝对可积，由 Riemann 引理,
0
() ()sin
lim ( ) ( ) 2 d 0
2
p
fx fx pu
fx u fx u u
u
δ
→+∞
++?
+ + =
∫
。
因此无论哪种情况,fx()的 Fourier 级数在点 x 处均收敛 于
2
)()(?++ xfxf
。
注 由于“可导”强于“满足 Lipschitz 条件”,且易于验证，因此实际中往往使用如下条件（2）的推论。
推论 16.2.3 若 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，在点 x处两个单侧导数 )(xf
+
′
和 )(xf
′
都存在，或更进一步，只要两个拟单侧导数
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
±?±
→
存在，则 fx()的 Fourier 级数在点 x处收敛于
2
)()(?++ xfxf
。
Dirichlet-Jordan 判别法和 Dini-Lipschitz 判别法都是 Fourier 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的（参见本节习题 10） 。附带指出，直至今天，还没有找到一个判别 Fourier 级数敛散性的既充分又必要的条件。
Dirichlet-Jordan 判别法和 Dini-Lipschitz 判别法都是 Fourier 级数收敛的充分条件，但可以构造例子说明它们是互不包含的（参见本节习题 10） 。附带指出，直至今天，还没有找到一个判别 Fourier 级数敛散性的既充分又必要的条件。
定理 16.2.2 告诉我们，若收敛条件满足，则 fx()的 Fourier 级数在连续点收敛于函数值本身,而在第一类不连续点收敛于它左右 极限的算术平均值。
所以，对于连续的周期函数 fx()，应将 fx()与它的 Fourier 级数间的“~,改为“=” 。
如例16.1.2中 fx()的余弦级数可以直接写成
22 2
π 4 cos3 cos5 cos(2 1)
cos
2 π 35 (21)
xx kx
x
k
+
++++ +
+
" ",[0,π]xx= ∈ 。
若周期函数 fx()有第一类不连续点，那么展成 Fourier 级数后，
要对这些点予以特别说明,画图时也要将它们的函数值标为其左右 极限的算术平均值。
如例16.1.1，应该写成
fx()
12 sin3 sin(2 1)
~sin
2 π 32
xkx
x
k
+
+++ +
+
" "
1
2
1,( π,0),
,0,π,
0,(0,π).
x
x
x
∈?
==±
∈
Fourier 级数的图像为图16.2.1。
y
π 0 π x
图 16.2.1
取
π
2
x =,得到
π
2
1 2 sin3 sin5 sin(2 1) π
sin 0
2 π 35 21 2
x
xx kx
xf
k
=
+
++++ + =
+
" ",
整理后便有熟知的
π 11 1
1(1)
435 21
k
k
=?+ +? +
+
" ",
这与在 xy arctan= 的幂级数展开中取 x =1得到的结果相同。
例16.1.2中 fx()的正弦级数应该写成
fx()
+?++?
+
" "
n
nxx
x
n
sin
)1(
2
2sin
sin2~
1
,(π,π),
0,0,π.
xx
x
∈?
=
= ±
Fourier 级数的图像为图16.2.2。
注 例16.1.2中的余弦级数与正弦级数在 [0,π)上表示的是同一个函数，这正是上一节中指出的结果。
y
π
0 π x
图16.2.2
例16.1.3 的式子也应写成
fx()
22
1
12 (1)
~cosπ
6 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1
32
1
1(1) (1)1
2sinπ
ππ
nn
n
nx
nn
+
∞
=
++
∑
∈
±=
∈
=
).1,0(
,1
],0,1(
,
,
,0
2
2
1
x
x
x
x
Fourier 级数的图像为图16.2.3。
在上式中令 x =1，就可得到
2
2222
1
1111 π
1
234 6
n
n
∞
=
=+ + + + =
∑
"。
由它还可以导出一系列类似级数的和，如
2
222
111 π
1
234 12
+?+= ",
2
222
111 π
1
357 8
++++= "。
y
-1 0 1 x
图16.2.3
这些等式可以应用于某些计算问题，如
1
0
ln(1 )
d
x
x
x
∫
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
∞
=
=?
∑
∫
1
1
0
1
d
n
n
x
x
n
∞
=
=?
∑
∫
∑
∞
=
=
1
1
0
2
n
n
n
x
2
2
1
1 π
6
n
n
∞
=
=?=?
∑
。
由这些等式出发还可以获得一些有趣的结果,如对于 cos x 的全部零点
π
2
±,
3π
2
±,…，
(2 1)π
2
k?
±,…,有
1
21
2
2
1 []
()k
k
=
∞
∑
π
+
=
=
∞
∑
1
21
2
2
1 []
()k
k
π
2
222
1
41 4π
1
π (2 1) π 8
k
k
∞
=
= =
∑
,
即 cos x 全部零点的倒数的平方和恰为1！
