§ 2 连续函数连续函数的定义
定义3.2.1 设函数fx()在点x
0
的某个邻域中有定义，并且成立
lim
xx→
0
fx()= fx()
0
,
则称函数fx()在点x
0
连续，而称x
0
是函数fx()的连续点 。
“函数 fx()在点 x
0
连续”的符号表述（或称,ε δ?,表述）,
0ε >,? 0δ >,? x (
0
||xx δ? < ),
0
|() ( )|fx fx ε? < 。
§ 2 连续函数定义3.2.2 若函数fx()在区间),( ba的每一点都连续，则称函数
fx()在开区间 ),( ba 上连续 。
连续函数的定义
定义3.2.1 设函数fx()在点x
0
的某个邻域中有定义，并且成立
lim
xx→
0
fx()= fx()
0
,
则称函数fx()在点x
0
连续，而称x
0
是函数fx()的连续点 。
“函数 fx()在点 x
0
连续”的符号表述（或称,ε δ?,表述）,
0ε >,? 0δ >,? x (
0
||xx δ? < ),
0
|() ( )|fx fx ε? < 。
例3.2.1 函数 ()f x =
1
x
在区间 (0,1)上连续。
证 设 x
0
是 (0,1)中任意一点。对于任意给定的 0ε >,要找 0δ >,
使得当
0
||xx δ?<时，有
0
11
xx
=
0
0
xx
xx?
ε< 。
为了放大左边不等式，加上条件 ||xx
x
<
0
0
2
，于是 x
x
>
0
2
，从而
xx
x
0
0
2
2
> 。
取 minδ =
ε
2
,
2
2
00
xx
，当 δ<? ||
0
xx 时,
0
11
xx
=
0
0
xx
xx?
0
2
0
2| |xx
x
ε
< <,
所以 fx()=
1
x
在 (0,1) 上连续。
证 毕为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义3.2.3
若lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
左连续 ；
若lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
右连续 。
lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0xxδ? <? ≤）：
0
| () ( )|fx fx ε? < ；
lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0 xx δ≤?<）：
0
| () ( )|fx fx ε? < 。
定义3.2.4 若fx()在),( ba连续，且在左端点a右连续，在右端点
b左连续，则称函数fx()在闭区间 ],[ ba 上连续。
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义3.2.3
若lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
左连续 ；
若lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
右连续 。
lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0xxδ? <? ≤）：
0
| () ( )|fx fx ε? < ；
lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0 xx δ≤?<）：
0
| () ( )|fx fx ε? < 。
例3.2.2 fx()= xx()1? 在闭区间 [0,1]上连续。
证 设
0
(0,1)x ∈ 是任意一点，令 minη= { x
0
,
0
1 x? } 0>,当
0
||xx η? < 时，
(0,1)x∈,因而
| xx()1? - xx
00
1()? |
=
||
() ( )
1
11
0
00
+?
xx
xx x x
||xx?
0
00
1
(1 )xx
<
||xx?
0
。
对任意给定的 0ε >,取 minδ = {η，
00
(1 )xxε? ｝，当
0
||xx δ? < 时，成立
| xx()1? - xx
00
1()? |
00
1
(1 )xx
<
||xx?
0
ε<,
所以 fx()= xx()1? 在 (0,1)上连续。
现考虑区间的端点，对任意给定的 0ε >,取
2
δ ε=,
则当 0 x δ≤ < 时,
|() (0)|fx f x ε? ≤<；
而当 10xδ? <?≤时,
|() (1)| 1fx f x ε? ≤?<。
这说明 fx()在 0x = 右连续，在 1x = 左连续。
由此得出 fx()= xx()1? 在闭区间 [0,1]上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )(xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx ∈?
0
与 0>?ε,0>?δ,)(
0
δ<?∈? xxXx,
ε<? )()(
0
xfxf,则称函数 )(xf 在区间 X 上连续。
例3.2.3 () sinf xx= 在 ),( +∞?∞ 上连续。
证 设 x
0
∈ ),( +∞?∞ 是任意一点，由于
|
0
sin sinxx? | =
00
2cos sin
22
xx xx+?
≤ ||xx?
0
,
对任意给定的 0ε >,取 δ ε=,当
0
||xx δ? < 时，成立
|
0
sin sinxx? |
0
||xx≤? ε< 。
所以 () sinf xx= 在 ),( +∞?∞ 上连续。
同样可以按定义证明 () cosf xx= 在 ),( +∞?∞ 上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )(xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx ∈?
0
与 0>?ε,0>?δ,)(
0
δ<?∈? xxXx,
ε<? )()(
0
xfxf,则称函数 )(xf 在区间 X 上连续。
例3.2.4 指数函数 fx()=a
x
（ 0,1aa>≠）在 ),( +∞?∞ 上连续。
证 首先，对任意一点 x
0
∈ ),( +∞?∞,有
x
a? a
x
0
=a
x
0
(
0
1
xx
a
)。
所以证 lim
xx→
0
a
x
=a
x
0
就归结为证 lim
t→0
1
t
a = 。
若 0t →+，则当 1a > 时，成立
1
t
a< ≤
t
a
1
1
,
因 lim
n→∞
1
n
a =,由极限的夹逼性，得到
lim
t→+0
1
t
a = 。
当 01a<<，由极限的除法运算，得到
lim
t→+0
a
t
= lim
t→+0
t
a
1
1
0
1/ lim
t→+
=
1
1
t
a
=
；
若 0t →?，则令 ut=?,于是
lim
t→?0
t
a = lim
u→+0
1
1
u
a
= 。
综合起来，得到 lim
t→0
1
t
a =,从而有 lim
xx→
0
a
x
= a
x
0
。
连续函数的四则运算
设lim
xx→
0
fx()= fx()
0
,lim
xx→
0
g x()= gx()
0
，则
(Ⅰ ) lim
xx→
0
(α fx()+β g x())=α fx()
0
+β gx()
0
(α,β是常数) ；
(Ⅱ ) lim
xx→
0
( fx()g x())= fx()
0
gx()
0；
(Ⅲ ) lim
xx→
0
fx
gx
()
()
=
fx
gx
()
()
0
0
(
0
()0gx ≠ )。
由上述运算法则，设有有限个函数在某区间连续，则它们之间 进行有限次加、减、乘、除四则运算，所得到的函数在该区间除去使 分母为零的点后余下的范围连续。
例3.2.5 对于常数函数 ()f xc= 与恒等函数 ()gx x=,容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
(Ⅰ ) 任意多项式
1
110
()
nn
nnn
p xaxax axa
= ++++null 在 ),( +∞?∞ 上连续；
(Ⅱ ) 任意有理函数
1
1
110
()
nn
mm
mm
ax a x ax a
Qx
bx b x bx b
+ ++ +
=
+ ++ +
null
null
在其定义域上连续，即 Q x()在 ),( +∞?∞ 去掉分母 bx b x bx b
m
m
m
m
++++
1
1
10
null 的零点 (至多
m个点 )的范围连续。
例3.2.6 证明了三角函数 sin x 与 cos x的连续性，由连续函数的四则运算规则，可知 tan x =
sin
cos
x
x
，
1
sec
cos
x
x
= 在其定义域
{
π
| π+
2
xx x k k∈ ≠∈RZ，,}上连续； cot x =
cos
sin
x
x
，
1
csc
sin
x
x
= 在其定义域 { | πxx x k k∈ ≠∈，,}上连续。
例3.2.5 对于常数函数 ()f xc= 与恒等函数 ()gx x=,容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
(Ⅰ ) 任意多项式
1
110
()
nn
nnn
p xaxax axa
= ++++null 在 ),( +∞?∞ 上连续；
(Ⅱ ) 任意有理函数
1
1
110
()
nn
mm
mm
ax a x ax a
Qx
bx b x bx b
+ ++ +
=
+ ++ +
null
null
在其定义域上连续，即 Q x()在 ),( +∞?∞ 去掉分母 bx b x bx b
m
m
m
m
++++
1
1
10
null 的零点 (至多
m 个点 )的范围连续。
不连续点类型
按照连续性定义，函数 fx()在点 x
0
连续必须满足,
(1) 函数 fx()在点 x
0
有定义，即 fx()
0
为有限值；
(2) 函数 fx()在点 x
0
有左极限，且 fx()
0
= fx()
0;
(3) 函数 fx()在点 x
0
有右极限，且 fx()
0
+ = fx()
0
。
三者缺一不可。否则，函数 fx()在点 x
0
不连续,亦称 fx()在点 x
0
间断 ； 这时点 x
0
是函数 fx()的不连续点,亦称 间断点 。
通常将不连续点分成三类。
第一类不连续点,函数 fx()在点 x
0
的左,右极限都存在但不相等，
即
0
()fx+ ≠ fx()
0
。
例如 () sgnfx x=,0x = 是它的第一类不连续点。
在函数的第一类不连续点处，图像会出现一个跳跃，所以第一 类不连续点又称为 跳跃点,
00
()()f xfx+称为函数 fx()在点 x
0
的 跃度。
例如符号函数 sgn x在 0x = 的跃度为 2。
第二类不连续点：函数 fx()在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 fx()= e
1
x
,0x = 是它的第二类不连续点（图 3.1.4）,
f ()0? = lim
x→?0
1
e0
x
=,f ()0+ = lim
x→+0
1
e
x
=+∞。
又如 fx()= sin
1
x
,0x = 也是它的第二类不连续点（图 3.1.3），因为 sin
1
x
在 0x = 的左、右极限都不存在。
第二类不连续点：函数 fx()在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 fx()= e
1
x
,0x = 是它的第二类不连续点（图 3.1.4）,
f ()0? = lim
x→?0
1
e0
x
=,f ()0+ = lim
x→+0
1
e
x
=+∞。
第三类不连续点,函数 fx()在点 x
0
的左、右极限都存在而且相等，
但不等于 fx()
0
或者 fx()在点 x
0
无定义。
例如 fx()= x
x
sin
1
，它在 0x = 没有定义，但在 0x = 的左、右极限都等于 0，所以 0x = 是它的第三类不连续点。通过重新定义
fx()=
x
x
x
x
sin,
,,
1
0
00
≠
=
，
则 fx()就是 ),( +∞?∞ 上的连续函数。
在函数的第三类不连续点，可以通过重新定义在该点的函数值，
使之成为函数的连续点，因此第三类不连续点又称为 可去不连续点 或可去间断点 。
例3.2.7 设 Riemann函数 ()Rx定义如下,
Rx() =
=
∈∈=
+
是无理数，
互质
x
x
qpqp
q
p
x
p
,0
,0,1
),,,}0{\,(,
1
ZN
其中定义 (0) 1R = （这是因为 0x = 可写成
0
1
x =,同时这样定义也保证了 ()Rx的周期性）。证明 ()Rx在任意点 x
0
的极限存在，且极限值为 0。
换言之，一切无理点是 Rx()的连续点，而一切有理点是 Rx()的第三类不连续点。
证 Rx()是以 1 为周期的周期函数，所以只要讨论区间
[ ]
0,1 上的函数性质。
在
[ ]
0,1 上，分母为 1 的有理点只有两个：
0
1
和
1
1；分母为 2 的有理点只有一个：
1
2；分母为 3 的有理点只有两个：
1
3
和
2
3；分母为 4 的有理点只有两个：
1
4
和
3
4；分母为 5 的有理点只有四个：
1
5
，
2
5
，
3
5
和
4
5；…，总之，对任意正整数 k，在
[ ]
0,1 上分母不超过 k 的有理点个数是有限的。
设 x
0
∈
[ ]
0,1 是任意一点,对任意给定的 0ε >,设k =
ε
1
,因为在
[ ]
0,1
上分母不超过k的有理点个数有限，设它们为 r
1
,r
2
，…,r
n
。令
δ = min
1
0
≤≤
≠
in
rx
i
{ |r
i
-x
0
| },
显然 0δ > 。当
[ ]
0,1x∈ 且
0
0 ||xx δ<?<时，若x是无理数，则R (x) = 0； 若
x是有理数，其分母必大于
ε
1
，于是
1
()
1
1
Rx
ε
≤<
+
ε,因此成立
| () 0|Rx ε? < 。
此即说明 ()Rx在 x
0
的极限为0 （
0
0x = 时是指右极限，
0
1x = 时是指左极限）。根据 ()Rx的周期性，对一切 x
0
∈ ),( +∞?∞ 成立
0
lim ( ) 0
xx
Rx
→
= 。
例3.2.8 区间 ),( ba 上单调函数的不连续点必为第一类不连续点。
证 不妨设 fx()在 ),( ba 单调增加。
设 x
0
∈ ),( ba 是任意一点。显然集合 { fx()| x ∈(a,x
0
)}有上界，由
“确界存在定理”，必定存在上确界，记它为 α,
supα = { fx()| x ∈(a,x
0
)}。
对一切 x ∈(a,x
0
)，成立 ()f x ≤α ；而对任意给定的 0ε >,必存在
′x ∈(a,x
0
)，使得 ()f x′ >α ε? 。取 δ = x
0
- 0x
′
>,则当
0
0xxδ? <? <时，
有 x x
′
< < x
0
，于是成立
-ε ()fx α
′
<? ()f x≤ - 0α ≤,
这就说明 lim
xx→?
0
fx()=α 。同理可证 lim
xx→+
0
()fx β=,其中
infβ = { fx()| x ∈( x
0
,b) }。
所以单调函数在任意点的左、右极限都存在。换言之，单调函 数的不连续点必定是跳跃点。
反函数连续性定理
定理3.2.1 （ 反函数存在性定理）若函数yfx= (),x ∈D
f
是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
1
()xf y
=,y∈ R
f
，并且fy
1
()
也是严格单调增加（减少）的。
反函数连续性定理
定理3.2.1 （ 反函数存在性定理）若函数yfx= (),x ∈D
f
是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
1
()xf y
=,y∈ R
f
，并且fy
1
()
也是严格单调增加（减少）的。
证 不妨设 yfx= (),x ∈ D
f
严格单调增加。对任意两点 ′x,
′′x ∈ D
f
及它们相应的函数值 ′ = ′yfx(),′′ = ′′yfx()，由 fx()严格单调增加，可知 x′< ′′x? y′< ′′y 。显然它保证了逆像的唯一性，所以存在反函数
1
()x fy
=,
f
yR∈ 。
设 y
1
,y
2
∈ R
f
，
1
y < y
2
，它们的逆像相应为
1
x = fy
1
1
()，
2
x =
fy
1
2
()。则 x
1
,x
2
的大小只有三种可能：(1)
1
x > x
2
，(2)
12
x x=,
(3)
12
x x< 。 但
1
x > x
2
违背 f 的严格单调增加性，
1
x = x
2
违背 f 具有像的唯一性，于是必然有
1
x < x
2
，这表明 fy
1
()也是严格单调增加的。
证毕
定理3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数yfx= ()在闭区间],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa α=,()fb β=,则它的反函数
1
()x fy
=
在],[ βα连续且严格单调增加。
证 首先证明 ([,])f ab = ],[ βα,即 f 的值域(也就是 f
1
的定义域)
是 ],[ βα 。
显然 α,β ∈ ([,])f ab 。设 γ ),( βα∈ 是任意一点，记
S ={ |x x∈[,]ab,()fx γ< },
则集合 S 非空且有上界，由确界存在定理,S 必有上确界,记
0
supx S=,则 x
0
∈ ),( ba 。
根据 fx()的严格单调增加性，当
0
x x< 时,()fx γ< ；当
0
x x> 时，
()fx γ> 。于是 fx()
0
γ≤ ≤ fx()
0
+ 。
由 fx()在点 x
0
的连续性，得到
00 0
() ( ) ( )fx fx fx γ=+=?=。这说明
fx()的值域是闭区间 ],[ βα 。
定理3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数yfx= ()在闭区间],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa α=,()fb β=,则它的反函数
1
()x fy
=
在],[ βα连续且严格单调增加。
y
yfx= ()
y
2
y
0
δ
y
1
0
x ε? x
0
0
x ε+ x
根据定理3.2.1,在 ],[ βα 上必定存在 f 的反函数
1
()xf y
=,且 fy
1
()
也是严格单调增加函数。
现在只需要证明反函数
1
()xf y
= 在 ],[ βα 上的连续性。(图
3.2.1)
设 y
0
∈ ),( βα,相应地有 fy
1
0
()
= x
0
∈ ),( ba 。对于任意给定的 0ε >,
要找出 0δ >,使当
0
||yy δ? < 时，成立
|() ()|fyfy
11
0
= ε<?
|)(|
0
1
xyf,
即
0
x ε
1
()fy
< < x
0
+ε。
图 3.2.1
令 y
1
=
0
()fx ε?,y
2
=
0
()fx ε+,取 minδ = {?
0
y y
1
,?
2
y y
0
} 0>,则当
0
||yy δ? < 时，成立
|() ()|fyfy
11
0
ε< 。
同样可证
1
()xf y
= 在
0
y α= 的右连续性，在
0
y = β 的左连续性。
证毕例3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域 连续,
arcsinyx=,[1,1]x∈?,y∈
ππ
,
22
；
arccosyx=,x∈ ]1,1[?,y∈[0,π]；
arctany x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈
ππ
,
22
；
arccoty x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈(0,π) 。
例 3.2.10 指数函数
x
ya= 的反函数 log
a
y x= （ 0,1aa>≠）在 ),0( +∞
连续。
例3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域 连续,
arcsinyx=,[1,1]x∈?,y∈
ππ
,
22
；
arccosyx=,x∈ ]1,1[?,y∈[0,π]；
arctany x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈
ππ
,
22
；
arccoty x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈(0,π) 。
复合函数的连续性
设 lim
xx→
0
g x()=u
0
,lim
uu→
0
()f uA=,对于复合函数 f g xnull ()，我们不能 得出 lim
xx→
0
()f gx A=null 的结论。反例,
()yfu= =
0,0,
1,0,
u
u
=
≠
()ugx==
1
sinx
x
,
显然有
lim
x→0
() 0gx=,lim
u→0
() 1fu=,
但是复合函数 f g xnull ()在 0x = 没有极限。
但是当 f 与 g 都是连续函数时，则上述的结论是成立的。
定理3.2.3 若()u g x=在点x
0
连续,g( x
0
)
0
u=,又()yfu=在点u
0
连续，则复合函数()yfgx= null在点x
0
连续。
证 对于任意给定的 0ε >,由于 lim
uu→
0
()f u = fu()
0
，所以存在 0η >,
当
0
||uu η? < 时，成立
0
|() ( )|fu fu ε? < 。
对上面这个 0η >,由于 lim
xx→
0
()g x =
0
()g x
0
u=,所以存在 0δ >,当
0
||xx δ? <
时，成立
0
|() |gx u η? < 。
由此得出，当
0
||xx δ? < 时,
|?)(xgf null fgxnull ()
0
|=|?)(xgf null fu()
0
| ε<,
即
lim
xx→
0
0
() ( )f gx f gx=nullnull。
证毕
例3.2.10 双曲正弦函数
ee
sh
2
x x
x
= 与双曲余弦函数
ee
ch
2
x x
x
+
= 在 ),( +∞?∞ 连续。
例3.2.11 对于任意实数 α,幂函数 ()f x = x
α
在 ),0( +∞ 连续。
解 事实上，幂函数 ()f x = x
α
是由
fx() x
α
= =
ln
e
xα
,(0,)x∈+∞
定义的，即它是由 e
u
y =,(,)u∈?∞ +∞ 与 lnuxα=,x∈ ),0( +∞ 复合而成。
根据定理3.2.3,()f xx
α
= 在 ),0( +∞ 连续。
例3.2.10 双曲正弦函数
ee
sh
2
x x
x
= 与双曲余弦函数
ee
ch
2
x x
x
+
= 在 ),( +∞?∞ 连续。
注 对于具体给定的实数 α,()fx= x
α
的定义域可以扩大。例如当 α 是正整数 n时,()f x = x
n
的定义域是 ),( +∞?∞ ；当 α 是负整数 - n 时，
()fx= x
n?
的定义域是 )0,(?∞ ∪ ),0( +∞ ；当 α是正有理数
q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),( +∞?∞,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ +∞ ； …。
总的来说，幂函数 ()f xx
α
= 在其定义域连续。
结论,常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数这6类基本初等函数在它们的定义域上连续，且从这些基本初等函数出发，经过有限次四则运算及复合运算所产生的函数（即初等函数）也在它们各自的定义域上连续。
定理3.2.4 一切初等函数在其定义域上连续。
注 对于具体给定的实数 α,()fx= x
α
的定义域可以扩大。例如当 α 是正整数 n时,()f x = x
n
的定义域是 ),( +∞?∞ ；当 α 是负整数 - n 时，
()fx= x
n?
的定义域是 )0,(?∞ ∪ ),0( +∞ ；当 α是正有理数
q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),( +∞?∞,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ +∞ ； …。
总的来说，幂函数 ()f xx
α
= 在其定义域连续。
在函数极限的计算中，经常需要用到函数的连续性。
例3.2.12 计算极限 lim
x→0
(cos )x
x
1
2
。
解 利用对数恒等式，有
2
1
(cos )
x
x = e
u
，其中
()ugx= =
1
2
x
xln(cos )
2
2
1
ln 1 2sin
2
x
x
=?=
2
sin2
1
2
2
2
2
2
sin21ln
2
sin2
x
x
x
x
,
由对数函数的连续性,
lim
x→0
g x()
0
lim
x→
=
2
12
2sin
2
2
2
0
2sin
2
lim ln 1 2sin
2
x
x
x
x
x
→
11
ln
2e
= =
2
1
。
再由指数函数 e
u
的连续性，得到
lim
x→0
(cos )x
x
1
2
1
2
lim
u→?
= e
u
1
e
= 。
例3.2.13 放射性物质的质量变化规律
设时刻 0t = 时有质量为 M 的某种放射性物质，它的瞬时放射速率与该时刻放射性物质的质量成正比，比例系数为 k 。求时刻 t时该放射性物质的质量 M t()。
解 随着时间从 0变到 t，放射性物质的质量在连续不断地减少，
而放射速率也随之连续地减小。为了便于进行计算，我们采用下述处理方法,
将时间区间 ( ]t,0 平均分成 n个小区间
( ]
0,t =
∪
n
i
i
1=
Δ,
i
Δ =
n
it
n
ti
,
)1(
,
并在每个小区间
i
Δ 上，将放射速率近似地取为常数
n
ti
kM
)1(
。
在时间段
1
Δ
上，因放射速率近似为 kM,于是
n
t
M ≈ M? kM
t
n
M=
n
t
k1 ；
在时间段
2
Δ 上，因放射速率近似为 ()
t
kM
n
，于是
n
t
M
2
≈ M?
n
t
k1 kM
n
t
k1
t
n
M=
2
1
n
t
k ；
……
继续不断地做下去，可得到 M t()的近似值
M t()≈ M
n
n
t
k
1 。
显然分割的区间数 n越大，近似值就越接近 M t()的精确值。于是
()M t = lim
n→∞
M
n
n
t
k
1 M= lim
n→∞
ln 1
e
n
t
k
n
= M e
kt
。
例 3.2.13 说明放射性物质的质量函数是时间 t 的指数函数。自然界中这类函数关系是很普遍的，例如一类物种在不考虑种种灾难性因素的前提下，它的数量函数也是时间 t 的指数函数。
定义3.2.1 设函数fx()在点x
0
的某个邻域中有定义，并且成立
lim
xx→
0
fx()= fx()
0
,
则称函数fx()在点x
0
连续，而称x
0
是函数fx()的连续点 。
“函数 fx()在点 x
0
连续”的符号表述（或称,ε δ?,表述）,
0ε >,? 0δ >,? x (
0
||xx δ? < ),
0
|() ( )|fx fx ε? < 。
§ 2 连续函数定义3.2.2 若函数fx()在区间),( ba的每一点都连续，则称函数
fx()在开区间 ),( ba 上连续 。
连续函数的定义
定义3.2.1 设函数fx()在点x
0
的某个邻域中有定义，并且成立
lim
xx→
0
fx()= fx()
0
,
则称函数fx()在点x
0
连续，而称x
0
是函数fx()的连续点 。
“函数 fx()在点 x
0
连续”的符号表述（或称,ε δ?,表述）,
0ε >,? 0δ >,? x (
0
||xx δ? < ),
0
|() ( )|fx fx ε? < 。
例3.2.1 函数 ()f x =
1
x
在区间 (0,1)上连续。
证 设 x
0
是 (0,1)中任意一点。对于任意给定的 0ε >,要找 0δ >,
使得当
0
||xx δ?<时，有
0
11
xx
=
0
0
xx
xx?
ε< 。
为了放大左边不等式，加上条件 ||xx
x
<
0
0
2
，于是 x
x
>
0
2
，从而
xx
x
0
0
2
2
> 。
取 minδ =
ε
2
,
2
2
00
xx
，当 δ<? ||
0
xx 时,
0
11
xx
=
0
0
xx
xx?
0
2
0
2| |xx
x
ε
< <,
所以 fx()=
1
x
在 (0,1) 上连续。
证 毕为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义3.2.3
若lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
左连续 ；
若lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
右连续 。
lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0xxδ? <? ≤）：
0
| () ( )|fx fx ε? < ；
lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0 xx δ≤?<）：
0
| () ( )|fx fx ε? < 。
定义3.2.4 若fx()在),( ba连续，且在左端点a右连续，在右端点
b左连续，则称函数fx()在闭区间 ],[ ba 上连续。
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义3.2.3
若lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
左连续 ；
若lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
，则称函数fx()在x
0
右连续 。
lim
xx→?
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0xxδ? <? ≤）：
0
| () ( )|fx fx ε? < ；
lim
xx→+
0
fx()= fx()
0
可表述为,? 0ε >,? 0δ >,? x（
0
0 xx δ≤?<）：
0
| () ( )|fx fx ε? < 。
例3.2.2 fx()= xx()1? 在闭区间 [0,1]上连续。
证 设
0
(0,1)x ∈ 是任意一点，令 minη= { x
0
,
0
1 x? } 0>,当
0
||xx η? < 时，
(0,1)x∈,因而
| xx()1? - xx
00
1()? |
=
||
() ( )
1
11
0
00
+?
xx
xx x x
||xx?
0
00
1
(1 )xx
<
||xx?
0
。
对任意给定的 0ε >,取 minδ = {η，
00
(1 )xxε? ｝，当
0
||xx δ? < 时，成立
| xx()1? - xx
00
1()? |
00
1
(1 )xx
<
||xx?
0
ε<,
所以 fx()= xx()1? 在 (0,1)上连续。
现考虑区间的端点，对任意给定的 0ε >,取
2
δ ε=,
则当 0 x δ≤ < 时,
|() (0)|fx f x ε? ≤<；
而当 10xδ? <?≤时,
|() (1)| 1fx f x ε? ≤?<。
这说明 fx()在 0x = 右连续，在 1x = 左连续。
由此得出 fx()= xx()1? 在闭区间 [0,1]上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )(xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx ∈?
0
与 0>?ε,0>?δ,)(
0
δ<?∈? xxXx,
ε<? )()(
0
xfxf,则称函数 )(xf 在区间 X 上连续。
例3.2.3 () sinf xx= 在 ),( +∞?∞ 上连续。
证 设 x
0
∈ ),( +∞?∞ 是任意一点，由于
|
0
sin sinxx? | =
00
2cos sin
22
xx xx+?
≤ ||xx?
0
,
对任意给定的 0ε >,取 δ ε=,当
0
||xx δ? < 时，成立
|
0
sin sinxx? |
0
||xx≤? ε< 。
所以 () sinf xx= 在 ),( +∞?∞ 上连续。
同样可以按定义证明 () cosf xx= 在 ),( +∞?∞ 上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )(xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx ∈?
0
与 0>?ε,0>?δ,)(
0
δ<?∈? xxXx,
ε<? )()(
0
xfxf,则称函数 )(xf 在区间 X 上连续。
例3.2.4 指数函数 fx()=a
x
（ 0,1aa>≠）在 ),( +∞?∞ 上连续。
证 首先，对任意一点 x
0
∈ ),( +∞?∞,有
x
a? a
x
0
=a
x
0
(
0
1
xx
a
)。
所以证 lim
xx→
0
a
x
=a
x
0
就归结为证 lim
t→0
1
t
a = 。
若 0t →+，则当 1a > 时，成立
1
t
a< ≤
t
a
1
1
,
因 lim
n→∞
1
n
a =,由极限的夹逼性，得到
lim
t→+0
1
t
a = 。
当 01a<<，由极限的除法运算，得到
lim
t→+0
a
t
= lim
t→+0
t
a
1
1
0
1/ lim
t→+
=
1
1
t
a
=
；
若 0t →?，则令 ut=?,于是
lim
t→?0
t
a = lim
u→+0
1
1
u
a
= 。
综合起来，得到 lim
t→0
1
t
a =,从而有 lim
xx→
0
a
x
= a
x
0
。
连续函数的四则运算
设lim
xx→
0
fx()= fx()
0
,lim
xx→
0
g x()= gx()
0
，则
(Ⅰ ) lim
xx→
0
(α fx()+β g x())=α fx()
0
+β gx()
0
(α,β是常数) ；
(Ⅱ ) lim
xx→
0
( fx()g x())= fx()
0
gx()
0；
(Ⅲ ) lim
xx→
0
fx
gx
()
()
=
fx
gx
()
()
0
0
(
0
()0gx ≠ )。
由上述运算法则，设有有限个函数在某区间连续，则它们之间 进行有限次加、减、乘、除四则运算，所得到的函数在该区间除去使 分母为零的点后余下的范围连续。
例3.2.5 对于常数函数 ()f xc= 与恒等函数 ()gx x=,容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
(Ⅰ ) 任意多项式
1
110
()
nn
nnn
p xaxax axa
= ++++null 在 ),( +∞?∞ 上连续；
(Ⅱ ) 任意有理函数
1
1
110
()
nn
mm
mm
ax a x ax a
Qx
bx b x bx b
+ ++ +
=
+ ++ +
null
null
在其定义域上连续，即 Q x()在 ),( +∞?∞ 去掉分母 bx b x bx b
m
m
m
m
++++
1
1
10
null 的零点 (至多
m个点 )的范围连续。
例3.2.6 证明了三角函数 sin x 与 cos x的连续性，由连续函数的四则运算规则，可知 tan x =
sin
cos
x
x
，
1
sec
cos
x
x
= 在其定义域
{
π
| π+
2
xx x k k∈ ≠∈RZ，,}上连续； cot x =
cos
sin
x
x
，
1
csc
sin
x
x
= 在其定义域 { | πxx x k k∈ ≠∈，,}上连续。
例3.2.5 对于常数函数 ()f xc= 与恒等函数 ()gx x=,容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
(Ⅰ ) 任意多项式
1
110
()
nn
nnn
p xaxax axa
= ++++null 在 ),( +∞?∞ 上连续；
(Ⅱ ) 任意有理函数
1
1
110
()
nn
mm
mm
ax a x ax a
Qx
bx b x bx b
+ ++ +
=
+ ++ +
null
null
在其定义域上连续，即 Q x()在 ),( +∞?∞ 去掉分母 bx b x bx b
m
m
m
m
++++
1
1
10
null 的零点 (至多
m 个点 )的范围连续。
不连续点类型
按照连续性定义，函数 fx()在点 x
0
连续必须满足,
(1) 函数 fx()在点 x
0
有定义，即 fx()
0
为有限值；
(2) 函数 fx()在点 x
0
有左极限，且 fx()
0
= fx()
0;
(3) 函数 fx()在点 x
0
有右极限，且 fx()
0
+ = fx()
0
。
三者缺一不可。否则，函数 fx()在点 x
0
不连续,亦称 fx()在点 x
0
间断 ； 这时点 x
0
是函数 fx()的不连续点,亦称 间断点 。
通常将不连续点分成三类。
第一类不连续点,函数 fx()在点 x
0
的左,右极限都存在但不相等，
即
0
()fx+ ≠ fx()
0
。
例如 () sgnfx x=,0x = 是它的第一类不连续点。
在函数的第一类不连续点处，图像会出现一个跳跃，所以第一 类不连续点又称为 跳跃点,
00
()()f xfx+称为函数 fx()在点 x
0
的 跃度。
例如符号函数 sgn x在 0x = 的跃度为 2。
第二类不连续点：函数 fx()在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 fx()= e
1
x
,0x = 是它的第二类不连续点（图 3.1.4）,
f ()0? = lim
x→?0
1
e0
x
=,f ()0+ = lim
x→+0
1
e
x
=+∞。
又如 fx()= sin
1
x
,0x = 也是它的第二类不连续点（图 3.1.3），因为 sin
1
x
在 0x = 的左、右极限都不存在。
第二类不连续点：函数 fx()在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 fx()= e
1
x
,0x = 是它的第二类不连续点（图 3.1.4）,
f ()0? = lim
x→?0
1
e0
x
=,f ()0+ = lim
x→+0
1
e
x
=+∞。
第三类不连续点,函数 fx()在点 x
0
的左、右极限都存在而且相等，
但不等于 fx()
0
或者 fx()在点 x
0
无定义。
例如 fx()= x
x
sin
1
，它在 0x = 没有定义，但在 0x = 的左、右极限都等于 0，所以 0x = 是它的第三类不连续点。通过重新定义
fx()=
x
x
x
x
sin,
,,
1
0
00
≠
=
，
则 fx()就是 ),( +∞?∞ 上的连续函数。
在函数的第三类不连续点，可以通过重新定义在该点的函数值，
使之成为函数的连续点，因此第三类不连续点又称为 可去不连续点 或可去间断点 。
例3.2.7 设 Riemann函数 ()Rx定义如下,
Rx() =
=
∈∈=
+
是无理数，
互质
x
x
qpqp
q
p
x
p
,0
,0,1
),,,}0{\,(,
1
ZN
其中定义 (0) 1R = （这是因为 0x = 可写成
0
1
x =,同时这样定义也保证了 ()Rx的周期性）。证明 ()Rx在任意点 x
0
的极限存在，且极限值为 0。
换言之，一切无理点是 Rx()的连续点，而一切有理点是 Rx()的第三类不连续点。
证 Rx()是以 1 为周期的周期函数，所以只要讨论区间
[ ]
0,1 上的函数性质。
在
[ ]
0,1 上，分母为 1 的有理点只有两个：
0
1
和
1
1；分母为 2 的有理点只有一个：
1
2；分母为 3 的有理点只有两个：
1
3
和
2
3；分母为 4 的有理点只有两个：
1
4
和
3
4；分母为 5 的有理点只有四个：
1
5
，
2
5
，
3
5
和
4
5；…，总之，对任意正整数 k，在
[ ]
0,1 上分母不超过 k 的有理点个数是有限的。
设 x
0
∈
[ ]
0,1 是任意一点,对任意给定的 0ε >,设k =
ε
1
,因为在
[ ]
0,1
上分母不超过k的有理点个数有限，设它们为 r
1
,r
2
，…,r
n
。令
δ = min
1
0
≤≤
≠
in
rx
i
{ |r
i
-x
0
| },
显然 0δ > 。当
[ ]
0,1x∈ 且
0
0 ||xx δ<?<时，若x是无理数，则R (x) = 0； 若
x是有理数，其分母必大于
ε
1
，于是
1
()
1
1
Rx
ε
≤<
+
ε,因此成立
| () 0|Rx ε? < 。
此即说明 ()Rx在 x
0
的极限为0 （
0
0x = 时是指右极限，
0
1x = 时是指左极限）。根据 ()Rx的周期性，对一切 x
0
∈ ),( +∞?∞ 成立
0
lim ( ) 0
xx
Rx
→
= 。
例3.2.8 区间 ),( ba 上单调函数的不连续点必为第一类不连续点。
证 不妨设 fx()在 ),( ba 单调增加。
设 x
0
∈ ),( ba 是任意一点。显然集合 { fx()| x ∈(a,x
0
)}有上界，由
“确界存在定理”，必定存在上确界，记它为 α,
supα = { fx()| x ∈(a,x
0
)}。
对一切 x ∈(a,x
0
)，成立 ()f x ≤α ；而对任意给定的 0ε >,必存在
′x ∈(a,x
0
)，使得 ()f x′ >α ε? 。取 δ = x
0
- 0x
′
>,则当
0
0xxδ? <? <时，
有 x x
′
< < x
0
，于是成立
-ε ()fx α
′
<? ()f x≤ - 0α ≤,
这就说明 lim
xx→?
0
fx()=α 。同理可证 lim
xx→+
0
()fx β=,其中
infβ = { fx()| x ∈( x
0
,b) }。
所以单调函数在任意点的左、右极限都存在。换言之，单调函 数的不连续点必定是跳跃点。
反函数连续性定理
定理3.2.1 （ 反函数存在性定理）若函数yfx= (),x ∈D
f
是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
1
()xf y
=,y∈ R
f
，并且fy
1
()
也是严格单调增加（减少）的。
反函数连续性定理
定理3.2.1 （ 反函数存在性定理）若函数yfx= (),x ∈D
f
是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
1
()xf y
=,y∈ R
f
，并且fy
1
()
也是严格单调增加（减少）的。
证 不妨设 yfx= (),x ∈ D
f
严格单调增加。对任意两点 ′x,
′′x ∈ D
f
及它们相应的函数值 ′ = ′yfx(),′′ = ′′yfx()，由 fx()严格单调增加，可知 x′< ′′x? y′< ′′y 。显然它保证了逆像的唯一性，所以存在反函数
1
()x fy
=,
f
yR∈ 。
设 y
1
,y
2
∈ R
f
，
1
y < y
2
，它们的逆像相应为
1
x = fy
1
1
()，
2
x =
fy
1
2
()。则 x
1
,x
2
的大小只有三种可能：(1)
1
x > x
2
，(2)
12
x x=,
(3)
12
x x< 。 但
1
x > x
2
违背 f 的严格单调增加性，
1
x = x
2
违背 f 具有像的唯一性，于是必然有
1
x < x
2
，这表明 fy
1
()也是严格单调增加的。
证毕
定理3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数yfx= ()在闭区间],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa α=,()fb β=,则它的反函数
1
()x fy
=
在],[ βα连续且严格单调增加。
证 首先证明 ([,])f ab = ],[ βα,即 f 的值域(也就是 f
1
的定义域)
是 ],[ βα 。
显然 α,β ∈ ([,])f ab 。设 γ ),( βα∈ 是任意一点，记
S ={ |x x∈[,]ab,()fx γ< },
则集合 S 非空且有上界，由确界存在定理,S 必有上确界,记
0
supx S=,则 x
0
∈ ),( ba 。
根据 fx()的严格单调增加性，当
0
x x< 时,()fx γ< ；当
0
x x> 时，
()fx γ> 。于是 fx()
0
γ≤ ≤ fx()
0
+ 。
由 fx()在点 x
0
的连续性，得到
00 0
() ( ) ( )fx fx fx γ=+=?=。这说明
fx()的值域是闭区间 ],[ βα 。
定理3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数yfx= ()在闭区间],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa α=,()fb β=,则它的反函数
1
()x fy
=
在],[ βα连续且严格单调增加。
y
yfx= ()
y
2
y
0
δ
y
1
0
x ε? x
0
0
x ε+ x
根据定理3.2.1,在 ],[ βα 上必定存在 f 的反函数
1
()xf y
=,且 fy
1
()
也是严格单调增加函数。
现在只需要证明反函数
1
()xf y
= 在 ],[ βα 上的连续性。(图
3.2.1)
设 y
0
∈ ),( βα,相应地有 fy
1
0
()
= x
0
∈ ),( ba 。对于任意给定的 0ε >,
要找出 0δ >,使当
0
||yy δ? < 时，成立
|() ()|fyfy
11
0
= ε<?
|)(|
0
1
xyf,
即
0
x ε
1
()fy
< < x
0
+ε。
图 3.2.1
令 y
1
=
0
()fx ε?,y
2
=
0
()fx ε+,取 minδ = {?
0
y y
1
,?
2
y y
0
} 0>,则当
0
||yy δ? < 时，成立
|() ()|fyfy
11
0
ε< 。
同样可证
1
()xf y
= 在
0
y α= 的右连续性，在
0
y = β 的左连续性。
证毕例3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域 连续,
arcsinyx=,[1,1]x∈?,y∈
ππ
,
22
；
arccosyx=,x∈ ]1,1[?,y∈[0,π]；
arctany x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈
ππ
,
22
；
arccoty x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈(0,π) 。
例 3.2.10 指数函数
x
ya= 的反函数 log
a
y x= （ 0,1aa>≠）在 ),0( +∞
连续。
例3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域 连续,
arcsinyx=,[1,1]x∈?,y∈
ππ
,
22
；
arccosyx=,x∈ ]1,1[?,y∈[0,π]；
arctany x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈
ππ
,
22
；
arccoty x=,x∈ ),( +∞?∞,y∈(0,π) 。
复合函数的连续性
设 lim
xx→
0
g x()=u
0
,lim
uu→
0
()f uA=,对于复合函数 f g xnull ()，我们不能 得出 lim
xx→
0
()f gx A=null 的结论。反例,
()yfu= =
0,0,
1,0,
u
u
=
≠
()ugx==
1
sinx
x
,
显然有
lim
x→0
() 0gx=,lim
u→0
() 1fu=,
但是复合函数 f g xnull ()在 0x = 没有极限。
但是当 f 与 g 都是连续函数时，则上述的结论是成立的。
定理3.2.3 若()u g x=在点x
0
连续,g( x
0
)
0
u=,又()yfu=在点u
0
连续，则复合函数()yfgx= null在点x
0
连续。
证 对于任意给定的 0ε >,由于 lim
uu→
0
()f u = fu()
0
，所以存在 0η >,
当
0
||uu η? < 时，成立
0
|() ( )|fu fu ε? < 。
对上面这个 0η >,由于 lim
xx→
0
()g x =
0
()g x
0
u=,所以存在 0δ >,当
0
||xx δ? <
时，成立
0
|() |gx u η? < 。
由此得出，当
0
||xx δ? < 时,
|?)(xgf null fgxnull ()
0
|=|?)(xgf null fu()
0
| ε<,
即
lim
xx→
0
0
() ( )f gx f gx=nullnull。
证毕
例3.2.10 双曲正弦函数
ee
sh
2
x x
x
= 与双曲余弦函数
ee
ch
2
x x
x
+
= 在 ),( +∞?∞ 连续。
例3.2.11 对于任意实数 α,幂函数 ()f x = x
α
在 ),0( +∞ 连续。
解 事实上，幂函数 ()f x = x
α
是由
fx() x
α
= =
ln
e
xα
,(0,)x∈+∞
定义的，即它是由 e
u
y =,(,)u∈?∞ +∞ 与 lnuxα=,x∈ ),0( +∞ 复合而成。
根据定理3.2.3,()f xx
α
= 在 ),0( +∞ 连续。
例3.2.10 双曲正弦函数
ee
sh
2
x x
x
= 与双曲余弦函数
ee
ch
2
x x
x
+
= 在 ),( +∞?∞ 连续。
注 对于具体给定的实数 α,()fx= x
α
的定义域可以扩大。例如当 α 是正整数 n时,()f x = x
n
的定义域是 ),( +∞?∞ ；当 α 是负整数 - n 时，
()fx= x
n?
的定义域是 )0,(?∞ ∪ ),0( +∞ ；当 α是正有理数
q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),( +∞?∞,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ +∞ ； …。
总的来说，幂函数 ()f xx
α
= 在其定义域连续。
结论,常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数这6类基本初等函数在它们的定义域上连续，且从这些基本初等函数出发，经过有限次四则运算及复合运算所产生的函数（即初等函数）也在它们各自的定义域上连续。
定理3.2.4 一切初等函数在其定义域上连续。
注 对于具体给定的实数 α,()fx= x
α
的定义域可以扩大。例如当 α 是正整数 n时,()f x = x
n
的定义域是 ),( +∞?∞ ；当 α 是负整数 - n 时，
()fx= x
n?
的定义域是 )0,(?∞ ∪ ),0( +∞ ；当 α是正有理数
q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),( +∞?∞,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ +∞ ； …。
总的来说，幂函数 ()f xx
α
= 在其定义域连续。
在函数极限的计算中，经常需要用到函数的连续性。
例3.2.12 计算极限 lim
x→0
(cos )x
x
1
2
。
解 利用对数恒等式，有
2
1
(cos )
x
x = e
u
，其中
()ugx= =
1
2
x
xln(cos )
2
2
1
ln 1 2sin
2
x
x
=?=
2
sin2
1
2
2
2
2
2
sin21ln
2
sin2
x
x
x
x
,
由对数函数的连续性,
lim
x→0
g x()
0
lim
x→
=
2
12
2sin
2
2
2
0
2sin
2
lim ln 1 2sin
2
x
x
x
x
x
→
11
ln
2e
= =
2
1
。
再由指数函数 e
u
的连续性，得到
lim
x→0
(cos )x
x
1
2
1
2
lim
u→?
= e
u
1
e
= 。
例3.2.13 放射性物质的质量变化规律
设时刻 0t = 时有质量为 M 的某种放射性物质，它的瞬时放射速率与该时刻放射性物质的质量成正比，比例系数为 k 。求时刻 t时该放射性物质的质量 M t()。
解 随着时间从 0变到 t，放射性物质的质量在连续不断地减少，
而放射速率也随之连续地减小。为了便于进行计算，我们采用下述处理方法,
将时间区间 ( ]t,0 平均分成 n个小区间
( ]
0,t =
∪
n
i
i
1=
Δ,
i
Δ =
n
it
n
ti
,
)1(
,
并在每个小区间
i
Δ 上，将放射速率近似地取为常数
n
ti
kM
)1(
。
在时间段
1
Δ
上，因放射速率近似为 kM,于是
n
t
M ≈ M? kM
t
n
M=
n
t
k1 ；
在时间段
2
Δ 上，因放射速率近似为 ()
t
kM
n
，于是
n
t
M
2
≈ M?
n
t
k1 kM
n
t
k1
t
n
M=
2
1
n
t
k ；
……
继续不断地做下去，可得到 M t()的近似值
M t()≈ M
n
n
t
k
1 。
显然分割的区间数 n越大，近似值就越接近 M t()的精确值。于是
()M t = lim
n→∞
M
n
n
t
k
1 M= lim
n→∞
ln 1
e
n
t
k
n
= M e
kt
。
例 3.2.13 说明放射性物质的质量函数是时间 t 的指数函数。自然界中这类函数关系是很普遍的，例如一类物种在不考虑种种灾难性因素的前提下，它的数量函数也是时间 t 的指数函数。
