单调有界数列收敛定理
定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
证 不妨设数列{ x
n
}单调增加且有上界，根据确界存在定理，由
{x
n
}构成的数集必有上确界 β,β满足,
(1)
+
∈? Nn,β≤
n
x ；
(2) 0ε?>,? x
n
0
,x
n
0
εβ?> 。
取
0
Nn=,? >nN,
βεβ ≤≤<?
nn
xx
0
,
因而
n
x β ε?<，于是得到
lim
n→∞
x
n
=β。
证毕
§4 收敛准则注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是 什么。定理2.4.1的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研 究其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的极限。
例2.4.1 设 0
1
>x,x
n+1
=1
1
+
+
x
x
n
n
,n = 123,,, "。证明数列{ x
n
}
收敛，并求它的极限。
解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当 n ≥ 2时,
21 <<
n
x 。
然后由 x
n+1
=1
1
+
+
x
x
n
n
(n = 123,,, ") 可得
1nn
xx
+
=
xx
xx
nn
nn
++
1
1
11()( )
。
这说明对一切 n ≥ 2,
1nn
xx
+
具有相同符号，从而 {}
n
x 是单调数列。由定理2.4.1，{ x
n
}收敛。
设 lim
n→∞
=
n
x a，在等式 x
n+1
=1
1
+
+
x
x
n
n
两边同时求极限，得到方程
a=1
1
+
+
a
a
,
解得方程的根为 a=
15
2
±
。由 1>
n
x,舍去负值，即有
lim
n→∞
x
n
=
15
2
+
。
例2.4.2 设 10
1
<< x,x
n+1
=xx
nn
()1?,n = 123,,, "。证明{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切
+
∈Nn,
10 <<
n
x 。
由 x
n+1
=xx
nn
()1? ( ",2,1=n )，可得
x
n+1
-x
n
= 0
2
<?
n
x,
即{ x
n
}单调减少有下界，由定理2.4.1,{}
n
x 收敛。
例2.4.2 设 10
1
<< x,x
n+1
=xx
nn
()1?,n = 123,,, "。证明{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切
+
∈Nn,
10 <<
n
x 。
由 x
n+1
=xx
nn
()1? ( ",2,1=n )，可得
x
n+1
-x
n
= 0
2
<?
n
x,
即{ x
n
}单调减少有下界，由定理2.4.1,{}
n
x 收敛。
设 lim
n→∞
=
n
x a，在等式 x
n+1
= xx
nn
()1? 两边同时求极限，得到方程
aa a=?()1,解得 a = 0。于是得到,
lim
n→∞
0=
n
x 。
应用 Stolz定理,
lim
n→∞
()nx
n
=lim
n→∞
n
x
n
1
=lim
n→∞
1
11
1
xx
nn+
=lim
n→∞
xx
xx
nn
nn
+
+
1
1
=lim
n→∞
xx
x
nn
n
2
2
1
1
()?
= 。
换言之,不管 10
1
<< x 如何选取,当 n充分大时,无穷小量 {}
n
x 的变化规律与无穷小量
n
1
愈来愈趋于一致，在许多场合,{}
n
x 可以用
n
1
来代替。这两个无穷小量称为是等价的。
例2.4.3 设 x
1
= 2,x
n+1
= 32+ x
n
, ",3,2,1=n 。证明数列{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 首先有 30
1
<< x 。设 30 <<
k
x,则
1
0
+
<
k
x = 323 <+
k
x,由数学归纳法，可知对一切 n，成立
30 <<
n
x 。
由于 x
n+1
-x
n
= 32+ x
n
-x
n
= 0
23
)1)(3(
>
++
+?
nn
nn
xx
xx
,数列{ x
n
}单调增加且有上界，由定理2.4.1可知{ x
n
}收敛。
例2.4.3 设 x
1
= 2,x
n+1
= 32+ x
n
, ",3,2,1=n 。证明数列{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 首先有 30
1
<< x 。设 30 <<
k
x,则
1
0
+
<
k
x = 323 <+
k
x,由数学归纳法，可知对一切 n，成立
30 <<
n
x 。
由于 x
n+1
-x
n
= 32+ x
n
-x
n
= 0
23
)1)(3(
>
++
+?
nn
nn
xx
xx
,数列{ x
n
}单调增加且有上界，由定理2.4.1可知{ x
n
}收敛。
设 lim
n→∞
=
n
x a，对 x
n+1
= 32+ x
n
两边求极限，得到 a = 32+ a,解此方程，得到 3=a,即
lim
n→∞
3=
n
x 。
例2.4.4,Fibonacci数列” 与兔群增长率：
设 一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。
解
设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表：
季度 小兔对数 成长期兔对数 成熟期兔对数 兔对总和
11 0 0 1
20 1
31 0 1 2
41 1 3
52 2 5
63 2 3 8
75 3 5 13
设 a
n
是第 n季度兔对总数，则
a
1
=1,a
2
=1,a
3
=2,a
4
=3,a
5
=5,…
数列{ a
n
}称为 Fibonacci数列。
到第 n+1季度，能产小兔的兔对数为 a
n?1
,所以第 n+1季度兔对的总数应等于第 n季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n?1
，于是
{a
n
}具有性质,
a
n+1
=a
n
+a
n?1
,n = 234,,, "。
令 b
n
=
a
a
n
n
+1
，则 1?
n
b 表示了兔群在第 n+1季度的增长率。由
b
n
=
a
a
n
n
+1
=
aa
a
nn
n
+
1
=1
1
+
a
a
n
n
=1
1
1
+
b
n
,
可知当 b
n
2
15 +
> 时,b
n+1
2
15 +
< ；当 b
n
2
15 +
< 时,b
n+1
2
15 +
> 。
设 a
n
是第 n季度兔对总数，则
a
1
=1,a
2
=1,a
3
=2,a
4
=3,a
5
=5,…
数列{ a
n
}称为 Fibonacci数列。
到第 n+1季度，能产小兔的兔对数为 a
n?1
,所以第 n+1季度兔对的总数应等于第 n季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n?1
，于是
{a
n
}具有性质,
a
n+1
=a
n
+a
n?1
,n = 234,,, "。
{b
n
}并不是单调数列。但是有关系
b
k21?
∈
+
2
15
,0,b
k2
∈
+∞
+
,
2
15
,k = 123,,, ",
b
k22+
b
k2
=1
1
1
1
2
+
+
b
k
-b
k2
= 0
1
2
15
2
15
2
22
<
+
+
+
k
kk
b
bb
,
b
k21+
-b
k21?
=1
1
1
1
21
+
+
b
k
-b
k21?
= 0
1
2
15
2
15
12
1212
>
+
+
+
k
kk
b
bb
。
所以{ b
k2
}是单调减少的有下界的数列，{ b
k21+
}是单调增加的有上界的数列，因而都是收敛数列。
{b
n
}并不是单调数列。但是有关系
b
k21?
∈
+
2
15
,0,b
k2
∈
+∞
+
,
2
15
,k = 123,,, ",
b
k22+
b
k2
=1
1
1
1
2
+
+
b
k
-b
k2
= 0
1
2
15
2
15
2
22
<
+
+
+
k
kk
b
bb
,
b
k21+
-b
k21?
=1
1
1
1
21
+
+
b
k
-b
k21?
= 0
1
2
15
2
15
12
1212
>
+
+
+
k
kk
b
bb
。
由 lim
k→∞
b
k22+
= lim
k→∞
12
1
2
2
+
+
b
b
k
k
得到
a
a
a
=
+
+
12
1；
由 lim
k→∞
b
k21+
= lim
k→∞
12
1
21
21
+
+
b
b
k
k
得到
b
b
b
=
+
+
12
1
。
这两个方程有相同的解 a =b=
15
2
±
,舍去负根，于是得出结论：在不考虑兔子死亡的前提下，经过较长 一段时间，兔群逐季增长率趋于
2
15?
≈ 0.618。
设
∞→k
lim =
k
b
2
a,
∞→k
lim bb
k
=
+12
，则有
51
2
+
<≤ a +∞,≤< b0
51
2
+
。
π和 e
设单位圆内接正 n边形的半周长为 L
n
，则 Ln
n
n
= sin
o
180
。数列 {}
n
L
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 π。现在来严格证明 {}
n
L 的极限存在。
例2.4.5 数列
n
n
o
180
sin 收敛。
证 令 t
nn
=
+
180
1
o
()
，则当 n≥ 3时,nt ≤ 45
o
。
=nttan ≥
+?
ttn
ttn
tan)1tan(1
tan)1tan(
≥+? ttn tan)1tan( tntan≥ ",
于是
sin( ) sin cos cos sinnt ntt ntt+ = +1
+=
nt
t
tnt
tan
tan
1cossin ≤
+n
n
nt
1
sin,
π和 e
设单位圆内接正 n边形的半周长为 L
n
，则 Ln
n
n
= sin
o
180
。数列 {}
n
L
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 π。现在来严格证明 {}
n
L 的极限存在。
所以，当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
≤+
+
=
+
()sin
o
n
n
L
n
1
180
1
1
。
另一方面，单位圆内接正 n边形的面积
Sn
nn
n
=<sin cos
oo
180 180
4,
因此当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
<
4
180
cos
o
n
≤=
4
60
8
cos
o
。
所以，当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
≤+
+
=
+
()sin
o
n
n
L
n
1
180
1
1
。
另一方面，单位圆内接正 n边形的面积
Sn
nn
n
=<sin cos
oo
180 180
4,
因此当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
<
4
180
cos
o
n
≤=
4
60
8
cos
o
。
综上所述，数列 { L
n
}单调增加且有上界，因而收敛。将这个极限用希腊字母 π来记，就有
lim
n→∞
π
180
sin
o
=
n
n 。
注 有了 π的定义，就可以定义角度的弧度制。
由于单位圆的半周长为 π，就把半个圆周所对的圆心角（即
o
180 ）
的弧度定义为 π,其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说，
一个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。
设单位圆的内接正 n边形的面积为 S
n
，则 S
n
的极限就是单位圆的面积。由于
π
180
cos
180
sinlimlim
oo
==
∞→∞→
nn
nS
n
n
n
,
可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。
在弧度制下，上例中 的极限式又可以写成
lim
n→∞
sin( )π
π
n
n
=1。
例2.4.6 数列
+
n
n
1
1 单调增加，
+
+1
1
1
n
n
单调减少，两者收敛于同一极限。
证 记 x
n
=
n
n
+
1
1,y
n
=
1
1
1
+
+
n
n
，由平均值不等式
aa a
n
n
12
"
n
aaa
n
+++
≤
"
21
( 0>
k
a,k n= 123,,,, "),
得到
x
n
= ≤?
+ 1
1
1
n
n
1
1
1
1
1
+
+
+
+
n
n
n
n
=x
n+1
,
1
y
n
= ≤?
+
+
1
1
1n
n
n
2
2
1
1
)1(
+
+
+
+
+
n
n
n
n
n
=
1
1
y
n+
。
即 { x
n
}单调增加，{ y
n
}单调减少。又由于
≤=
1
2 x x
n
< y
n
4
1
=≤ y,
可知数列{ x
n
},{ y
n
}都收敛。因为
1
1
nn
yx
n
=+
,所以它们具有相同的极限。
即 { x
n
}单调增加，{ y
n
}单调减少。又由于
≤=
1
2 x x
n
< y
n
4
1
=≤ y,
可知数列{ x
n
},{ y
n
}都收敛。因为
1
1
nn
yx
n
=+
,所以它们具有相同的极限。
习惯上用字母 e来表示这一极限，即
lim
n→∞
n
n
+
1
1 =lim
n→∞
1
1
1
+
+
n
n
e= 。
e=2.718281828459...是一个无理数。以 e为底的对数称为 自然对数,通常记为
e
ln ( log )x x= 。
作为定理2.4.1的进一步应用，讨论数列 {}
n
a,其中
11 1
1
23
n
p pp
a
n
=+ + + + " ( 0>p )。
例 2.4.7 当 1>p 时，数列 {}
n
a 收敛；当 10 ≤< p 时，数列 {}
n
a 是正无穷大量。
作为定理2.4.1的进一步应用，讨论数列 {}
n
a,其中
11 1
1
23
n
p pp
a
n
=+ + + + " ( 0>p )。
证 数列 {}
n
a 单调增加，它的收敛与否取决于其是否有界。
当 1>p 时，记
1
2
1p?
= r,则 10 << r 。由于
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
1pp pp p
r+<+= =
,
1
4
1
5
1
6
1
7
1
4
1
4
1
4
1
4
2
pppppppp
r+++<+++=,
例 2.4.7 当 1>p 时，数列 {}
n
a 收敛；当 10 ≤< p 时，数列 {}
n
a 是正无穷大量。
一般有，对 k = 1,2,3,……
1(1)
11 1 2
2(21) (21)2 2
k
k
kp k p k p kp k p
r
+?
+++ <==
+?
",
可知
a
n
<≤
12
n
a <++++
12
1
n
rrr "
1
1?r
,
这说明当 1>p 时，数列{ a
n
}收敛。
当 1≤p 时，有
1
2
1
2
p
≥
1
3
1
4
1
4
1
4
1
2
pp
+>+=,
1
5
1
6
1
7
1
8
4
8
1
2
pppp
+++>=,
……
1
21
1
22
1
2
2
2
1
2
11
()( ) ()
kp k p kp
k
k
+
+
+
++ > =
++
",
因而
≥
n
a
2
1
2
+
n
。
这说明当 1≤p 时,数列｛ a
n
2
｝是正无穷大量。由于数列{ a
n
}单调增加，所以{ a
n
}是正无穷大量。
特别当 p=1时，
n
a
n
1
3
1
2
1
1 ++++= "（ ",3,2,1=n ），{ a
n
}是无穷大量。
例2.4.8 记 b
n
=1
1
2
1
3
1
++++? "
n
nln,则数列{ b
n
}收敛。
证 由例2.4.6，可知
n
n
+
1
1 e< <
1
1
1
+
+
n
n
,
由此得到
1
1n+
<
+
<
n
n 1
ln
1
n
。
例2.4.8 记 b
n
=1
1
2
1
3
1
++++? "
n
nln,则数列{ b
n
}收敛。
证 由例2.4.6，可知
n
n
+
1
1 e< <
1
1
1
+
+
n
n
,
由此得到
1
1n+
<
+
<
n
n 1
ln
1
n
。
这说明数列｛ b
n
｝单调减少有下界，从而收敛。
{b
n
}的极限 =γ 0.57721566490…称为 Euler 常数 。
于是有
b
n+1
-b
n
=
1
1n+
-ln( )n+1 + lnn =
1
1n+
- 0
1
ln <
+
n
n
,
b
n
=1
1
2
1
3
1
++++? "
n
nln > ln
2
1
+ ln
3
2
+ln
4
3
… + ln
n
n
+1
-lnn = ln( )n+1 - 0ln >n 。
例2.4.9 lim
n→∞
=
++
+
+
+ nnn 2
1
2
1
1
1
"2ln 。
解 记
n
c =
nnn 2
1
2
1
1
1
++
+
+
+
"，则有
n
c = b
n2
-b
n
+ln( )2n -lnn=b
n2
-b
n
+ln 2。
由
lim
n→∞
n
b = lim
n→∞
2n
b γ=,
即得到
lim
n→∞
n
c = lim
n→∞
++
+
+
+ nnn 2
1
2
1
1
1
"ln 2= 。
例2.4.10 lim
n→∞
=
+?+?
+
n
n
1
)1(
3
1
2
1
1
1
"ln 2。
解 记 d
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
+?+?
+
"()
n
n
，由于
b
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
++++
+? "
nn
nln →γ（ n→∞）,
和
b
n2
=1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
22
1
21
1
2
2+++++++
+
+? "
nnn
nln →γ（ n→∞）,
例2.4.10 lim
n→∞
=
+?+?
+
n
n
1
)1(
3
1
2
1
1
1
"ln 2。
解 记 d
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
+?+?
+
"()
n
n
，由于
b
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
++++
+? "
nn
nln →γ（ n→∞）,
和
b
n2
=1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
22
1
21
1
2
2+++++++
+
+? "
nnn
nln →γ（ n→∞）,
考虑 b
n2 n
b?,用
n
b
2
中的第 k2 项与
n
b 中的第 k项（ nk,,2,1 "= ）对应相减，得到
b
n2 n
b? =1
1
2
1
3
1
4
1
21
1
2
2?+?++
"
nn
ln =?d
n2
2ln → 0 （ n→∞）。
由于 dd
n
nn21 2
1
21
+
=?
+
及 lim
n→∞
0
12
1
=
+n
，即可得到
lim
n→∞
d
n
= lim
n→∞
=
+?+?
+
n
n
1
)1(
3
1
2
1
1
1
"ln 2。
闭区间套定理
定义2.4.1 如果一列闭区间 {[a
n
,b
n
]}满足条件
(1) [a
n+1
,b
n+1
]? [a
n
,b
n
],n = 123,,, ";
(2) lim
n→∞
(b
n
-a
n
) 0=,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
定理2.4.2( 闭区间套定理) 如果{ [a
n
,b
n
]}形成一个闭区间套，
则存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间 [a
n
,b
n
],且 ξ=lim
n→∞
a
n
=lim
n→∞
b
n
。
闭区间套定理
定义2.4.1 如果一列闭区间 {[a
n
,b
n
]}满足条件
(1) [a
n+1
,b
n+1
]? [a
n
,b
n
],n = 123,,, ";
(2) lim
n→∞
(b
n
-a
n
) 0=,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
证 由条件(1)可得
a
1
≤… ≤ a
n?1
≤ a
n
< b
n
≤ b
n?1
≤… ≤ b
1
。
{a
n
}单调增加而有上界 b
1
,{b
n
}单调减少而有下界 a
1
,由定理2.4.1，
{a
n
}与{ b
n
}都收敛。
设 lim
n→∞
a
n
=ξ，则
lim
n→∞
b
n
=lim
n→∞
[(b
n
-a
n
)+a
n
]=lim
n→∞
(b
n
-a
n
)+lim
n→∞
a
n
=ξ。
由于 ξ是{ a
n
}所构成的数集的上确界，也是 {}
n
b 所构成的数集的下确界，于是有 a
n
≤ξ ≤b
n
,n = 123,,, "，即 ξ属于所有闭区间 [a
n
,b
n
]。
若另有实数 'ξ 属于所有的闭区间 [a
n
,b
n
]，则也有 a
n
≤ 'ξ ≤ b
n
，
n = 123,,, "，令 n→∞，由极限的夹逼性得到
'ξ = lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=ξ,
此即说明满足定理结论的实数 ξ是唯一的。
证 毕证 由条件(1)可得
a
1
≤… ≤ a
n?1
≤ a
n
< b
n
≤ b
n?1
≤… ≤ b
1
。
{a
n
}单调增加而有上界 b
1
,{b
n
}单调减少而有下界 a
1
,由定理2.4.1，
{a
n
}与{ b
n
}都收敛。
设 lim
n→∞
a
n
=ξ，则
lim
n→∞
b
n
=lim
n→∞
[(b
n
-a
n
)+a
n
]=lim
n→∞
(b
n
-a
n
)+lim
n→∞
a
n
=ξ。
由于 ξ是{ a
n
}所构成的数集的上确界，也是 {}
n
b 所构成的数集的下确界，于是有 a
n
≤ξ ≤b
n
,n = 123,,, "，即 ξ属于所有闭区间 [a
n
,b
n
]。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列
{},{}
nn
ab
依然收敛于同一个极限 ξ,但这个 ξ 可能不属于任何一个开区间
(a
n
,b
n
)。
在定理1.1.2我们证明了有理数集 Q是可列集，利用闭区间套定理，可以证明
定理2.4.3 实数集 R 是不可列集 。
证 用反证法。假设实数集 R 是可列集，即可以找到一种排列的规则，使
R ={x
1
,x
2
,…,x
n
,…}。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列
{},{}
nn
ab
依然收敛于同一个极限 ξ,但这个 ξ 可能不属于任何一个开区间
(a
n
,b
n
)。
取闭区间
[a
1
,
b
1
]
，使
x
1 1
[a∈
,
b
1
]；
将［
a
1
,
b
1
］ 三等分,则在闭区间
+
3
2
,
11
1
ba
a
,
+
3
2
11
ba
,
+
3
2
11
ba
+
1
11
,
3
2
b
ba
中，至少有一个不含有
x
2,把它记为
22
[,]ab；
将
22
[,]ab三等分，在闭区间
+
3
2
,
22
2
ba
a,
+
3
2
22
ba
,
+
3
2
22
ba
,
+
2
22
,
3
2
b
ba
中，至少有一个不含有 x
3
,把它记为
33
[,]ab,
……
这样的步骤可一直做下去，于是得到一个闭区间套 {[,]}
nn
ab,
满足
x
n
∈ [a
n
,b
n
],n = 123,,, "。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间 [a
n
,b
n
]，
换言之,ξ ≠ x
n
(n = 123,,, ")，这就与集合{ x
1
,x
2
,…,x
n
,… }表示 实数集 R 产生矛盾。
证毕子列
定义2.4.2 设 ｛ x
n
｝ 是一个数列，而
n
1
< n
2
<… < n
k
< n
k+1
<…
是一列严格单调增加的正整数，则
x
n
1
,x
n
2
,…,x
n
k
,…
也形成一个数列，称为数列 {x
n
}的 子列,记为{ x
n
k
}。
下标,n
k
”表示子列中的第 k项恰好是原数列中的第 n
k
项。
由于子列下标,n
k
”的严格单调增加性质，可知成立
k
nk≥,
+
∈Nk
和
j k
nn≥,j k≥,
+
∈Nkj,。
子列
定义2.4.2 设 ｛ x
n
｝ 是一个数列，而
n
1
< n
2
<… < n
k
< n
k+1
<…
是一列严格单调增加的正整数，则
x
n
1
,x
n
2
,…,x
n
k
,…
也形成一个数列，称为数列 {x
n
}的 子列,记为{ x
n
k
}。
定理2.4.4 若数列{ x
n
}收敛于 a,则它的任何子列 {x
n
k
}也收敛于 a,即
lim
n→∞
x
n
= a
lim
k→∞
x
n
k
= a。
证 由 lim
n→∞
x
n
= a，可知 0ε? >,? N,Nn >?,
｜ x
n
a｜ ε< 。
取 NK =,于是当 k K> 时，有
k
nkN≥>，因而成立
｜ x
n
k
a｜ ε< 。
证 毕定理2.4.4经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
n
x 的两个子列
(1)
{}
k
n
x 与
(2)
{}
k
n
x,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
n
x 必定发散 。
例2.4.11 数列
π
sin
4
n
发散
证 取 n
k
()1
= k4,n
k
()2
= 28 +k,则子列
(1)
{}
k
n
x 收敛于 0,而子列
(2)
{}
k
n
x
收敛于 1，由上述推论可知 {}
n
x 发散。
定理2.4.4经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
n
x 的两个子列
(1)
{}
k
n
x 与
(2)
{}
k
n
x,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
n
x 必定发散 。
Bolzano-Weierstrass定理
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理) 有 界 数列必有收敛子列。
证 设数列{ x
n
}有界，于是存在实数 a
1
,b
1
，成立
a
1
≤ x
n
≤ b
1
,n =123,,, "。
将闭区间［ a
1
,b
1
］等分为两个小区间
+
2
,
11
1
ba
a 与
+
1
11
,
2
b
ba
，
则其中至少有一个含有数列{ x
n
}中的无穷多项，把它记为 [a
2
,b
2
]；
再将闭区间 [a
2
,b
2
] 等分为两个小区间
+
2
,
22
2
ba
a 与
+
2
22
,
2
b
ba
，同样其中至少有一个含有数列{ x
n
}中的无穷多项,把它记为[ a
3
,b
3
]；
……
这样的步骤可以一直做下去，于是得到一个闭区间 套
｛[ a
k
,b
k
]｝,其中每一个闭区间[
k
a,b
k
]中都含有数列{ x
n
}中的 无穷多项。
根据闭区间套定理，存在实数 ξ，满足
ξ=lim
k
k
a
→∞
=lim
k→∞
b
k
。
现在证明数列{ x
n
}必有一子列收敛于实数 ξ。
在[ a
1
,b
1
]中选取{ x
n
}中某一项，记它为 x
n
1；
因为在 [a
2
,b
2
]中含有{ x
n
}中的无穷多项,可以选取位于 x
n
1
后的某一项，记它为 x
n
2
，
21
nn> ；
……
在选取 x
n
k
∈[a
k
,b
k
]后，因为在[ a
k+1
,b
k+1
]中仍含有{ x
n
}中无穷多项，可以选取位于 x
n
k
后的某一项，记它为 x
n
k+1
,n
k+1
> n
k；
继续这样做下去，就得到了数列{ x
n
}的一个子列{ x
n
k
}，满足
a
k
≤ x
n
k
≤ b
k
,k =123,,, "。
由 lim
k→∞
a
k
=lim
k→∞
b
k
=ξ，利用极限的夹逼性，得到
lim
k→∞
k
n
x ξ= 。
证毕当数列无界时，也有与定理2.4.5相对应的结论。
定理2.4.6 若 {x
n
}是一个无界数列，则存在子列 {x
n
k
}，使得
lim
k→∞
x
n
k
= ∞。
证 由于{ x
n
}无界，因此对任意 M 0>,{ x
n
}中必存在无穷多个
x
n
，满足｜ x
n
｜ > M (否则可以得出{ x
n
}有界的结论)。
令 1
1
=M,则存在 x
n
1
，使得
1
1
n
x > ；
令 2
2
=M,因为在 { x
n
}中有无穷多项满足 2
n
x >,可以取到位于
x
n
1
之后的 x
n
2
,n
2
> n
1
，使得
2
2
n
x > ；
令 3
3
=M,同理可以取到 x
n
3
，
32
nn>,使得
3
3
n
x > ；
……
这样便得到｛ x
n
｝的一个子列 { x
n
k
}，满足
k
n
xk>,由定义,
lim
k→∞
x
n
k
= ∞。
证毕
定义2.4.3 如果数列 ｛ x
n
｝ 具有以下特性,对 于任意给定 的
0>ε,存在正整数 N,使得当 Nmn >,时成立
｜?
n
x x
m
｜＜ ε,
则称数列 {x
n
}是一个 基本数列 。
例2.4.12 设 x
n
=1
1
2
1
3
1
22 2
++++ "
n
，则{ x
n
}是一个基本数列。
证 对任意正整数 n与 m，不妨设 mn>,则
m
x x
n
=
1
1
1
2
1
222
()( )nn m+
+
+
++ "
＜
1
1
1
12
1
1nn n n m m()()( ) ( )+
+
++
++
"
=
++
+
+
+
+
mmnnnn
1
1
1
2
1
1
1
1
11
"
=
11
nm
＜
1
n
,
对任意给定的 0ε >,取
=
ε
1
N,当 mnN>> 时，成立
｜?
m
x x
n
｜＜ ε 。
例2.4.13 设 x
n
= 1
1
2
1
3
1
++++ "
n
，则{ x
n
}不是基本数列。
证 对任意正整数 n,有
n
x
2
x
n
=
1
1
1
2
1
2nn n+
+
+
++ "
＞ n
n
=
1
2
1
2
,
取
0
1
2
ε =,无论 N 多么大，总存在正整数 n N>,mnN= >2,使得
｜?
m
x x
n
｜=｜?
n
x
2
x
n
｜＞
0
ε,
因此｛ x
n
｝不是基本数列。
定理2.4.7 (Cauchy收敛原理 ) 数列 { x
n
}收 敛的充分必要 条件是：｛ x
n
｝是基本数列。
证 必要性。
设{ x
n
}收敛于 a，按照定义,? 0ε >,? N,? >nm N,,
2
n
xa
ε
<,
2
m
xa
ε
<,
于是
mn m n
xx xaxaε? ≤?+?<。
充分性。
先证明基本数列必定有界。取 1
0
=ε,因为{ x
n
}是基本数列，所以? N
0
,?>nN
0
,
｜?
n
x x
N
0
1+
｜ 1< 。
令 M=max{｜ x
1
｜,｜ x
2
｜,…,｜ x
N
0
｜,｜ x
N
0
1+
｜ 1+ }，则对一切 n，
成立
｜ x
n
｜ M≤ 。
由Bolzano-Weierstrass定理，在｛ x
n
｝中必有收敛子列,
lim
k→∞
x
n
k
ξ= 。
因为｛ x
n
｝是基本数列，所以? 0>ε,? N,? >nm N,,
｜?
n
x x
m
｜
2
ε
< 。
取 x
m
= x
n
k
，其中 k充分大，满足 n
k
> N,并且令 k → ∞，于是得到
｜?
n
x ξ｜ ≤ ε
ε
<
2
,
此即表明数列｛ x
n
｝收敛。
证毕
Cauchy收敛原理表明由实数构成的基本数列{ x
n
}必存在实数 极限，这一性质称为实数系的完备性。
注意有理数集不具有完备性。例如
+
n
n
1
1 是由有理数构成的基本数列，其极限 e并不是有理数。
例2.4.14 设数列{ x
n
}满足 压缩性条件,
｜?
+1n
x x
n
｜ ≤ k｜?
n
x x
n?1
｜,10 << k,n = 23,, ",
则｛ x
n
｝收敛。
证 只要证明｛ x
n
｝是基本数列即可。
首先对于一切 n，有
｜?
+1n
x x
n
｜ ≤ k｜?
n
x x
n?1
｜ ≤ k
2
｜?
1n
x x
n?2
｜ ≤… ≤ k
n?1
｜?
2
x x
1
｜。
设 m＞ n，则
｜?
m
x x
n
｜ ≤｜?
m
x x
m?1
｜+｜?
1m
x x
m?2
｜+ … +｜?
+1n
x x
n
｜
≤ k
m?2
｜?
2
x x
1
｜+ k
m?3
｜?
2
x x
1
｜+ … +k
n?1
|?
2
x x
1
｜
k
k
n
<
1
1
｜?
2
x x
1
｜ 0→ (n→∞）,
因此｛ x
n
｝是基本数列，从而收敛。
实数系的基本定理
在 §1中证明了实数系连续性定理 ——确界存在定理。 在本节中，
又依次证明了单调有界数列收敛定理、闭区间套定理、Bolzano-
Weierstrass定理与实数系完备性定理 ——Cauchy收敛原理。它们之间的逻辑推理关系,
确界存在定理
单调有界数列收敛定理
闭区间套定理
Bolzano-Weierstrass定理
Cauchy收敛原理
也就是说，实数系的连续性包含了实数系的完备性。
下面证明实数系的完备性也包含了实数系的连续性。即在实数系中，完备性与连续性这两个概念是等价的。
定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性 。
证 分两步来证明实数系的完备性 包含实数系的连续性，即
Cauchy收敛原理? 闭区间套定理? 确界存在定理。
Cauchy收敛原理? 闭区间套定理,
设｛［ a
n
,b
n
］｝是一列闭区间，满足条件
(i) ［ a
n+1
,
1n
b
+
］?［ a
n
,b
n
］,n =123,,, "；
(ii) lim
n→∞
(?
n
b a
n
) 0= 。
设 mn>,则
00
mnnn
aaba≤?<?→
( ∞→n ）,
所以数列｛ a
n
｝是一基本数列，从而有
lim
n→∞
a
n
=ξ,
并由此得到
lim
n→∞
b
n
=lim
n→∞
(?
n
b a
n
)+lim
n→∞
a
n
=ξ。
由于数列{ a
n
}单调增加，数列｛ b
n
｝单调减少，可以知道 ξ是属于 所有闭区间［
n
a,b
n
］的唯一实数。闭区间套定理得证。
闭区间套定理? 确界存在定理,
设 S 是非空有上界的实数集合，又设 T 是由 S 的所有上界所组成的集合，现证 T含有最小数，即 S 有上确界。
取 a
1
T∈,b
1
∈T，显然 <
1
a b
1
。现按下述规则构造一列闭区间：
[a
2
,b
2
]=
∈
+
+
∈
+
+;
2
,,
2
,
2
,
2
,
11
1
11
1111
1
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
[a
3
,b
3
]=
∈
+
+
∈
+
+;
2
,,
2
,
2
,
2
,
22
2
22
2222
2
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
……,
由此得到一个闭区间套｛［ a
n
,b
n
］｝，满足
a
n T∈
,b
n
∈T,n =123,,, "。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间
n
a[,]
n
b,且
∞→n
lim
n
a =
∞→n
lim
n
b =ξ。现只需说明 ξ是集合 T 的最小数，也就是集合 S的上确界。
若 Tξ ∈,即 ξ 不是集合 S 的上界，则存在 xS∈,使得 xξ < 。由
∞→n
lim
n
b ξ=,可知当 n充分大时，成立
n
bx<,这就与
n
b T∈ 发生矛盾，所以 Tξ∈ 。
若存在 η T∈,使得 η ξ<,则由 lim
n
n
a ξ
→∞
=,可知当 n充分大时，成 立
n
aη < 。由于
n
aT∈,于是存在 y S∈,使得
n
a yη <<,这就与 Tη∈ 发生 矛盾。从而得出 ξ是集合 S的最小上界。
证 毕上述五个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其他的定理，所以，这五个定理中的每一个都可以称为是实数系的基本定理。
定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
证 不妨设数列{ x
n
}单调增加且有上界，根据确界存在定理，由
{x
n
}构成的数集必有上确界 β,β满足,
(1)
+
∈? Nn,β≤
n
x ；
(2) 0ε?>,? x
n
0
,x
n
0
εβ?> 。
取
0
Nn=,? >nN,
βεβ ≤≤<?
nn
xx
0
,
因而
n
x β ε?<，于是得到
lim
n→∞
x
n
=β。
证毕
§4 收敛准则注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是 什么。定理2.4.1的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研 究其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的极限。
例2.4.1 设 0
1
>x,x
n+1
=1
1
+
+
x
x
n
n
,n = 123,,, "。证明数列{ x
n
}
收敛，并求它的极限。
解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当 n ≥ 2时,
21 <<
n
x 。
然后由 x
n+1
=1
1
+
+
x
x
n
n
(n = 123,,, ") 可得
1nn
xx
+
=
xx
xx
nn
nn
++
1
1
11()( )
。
这说明对一切 n ≥ 2,
1nn
xx
+
具有相同符号，从而 {}
n
x 是单调数列。由定理2.4.1，{ x
n
}收敛。
设 lim
n→∞
=
n
x a，在等式 x
n+1
=1
1
+
+
x
x
n
n
两边同时求极限，得到方程
a=1
1
+
+
a
a
,
解得方程的根为 a=
15
2
±
。由 1>
n
x,舍去负值，即有
lim
n→∞
x
n
=
15
2
+
。
例2.4.2 设 10
1
<< x,x
n+1
=xx
nn
()1?,n = 123,,, "。证明{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切
+
∈Nn,
10 <<
n
x 。
由 x
n+1
=xx
nn
()1? ( ",2,1=n )，可得
x
n+1
-x
n
= 0
2
<?
n
x,
即{ x
n
}单调减少有下界，由定理2.4.1,{}
n
x 收敛。
例2.4.2 设 10
1
<< x,x
n+1
=xx
nn
()1?,n = 123,,, "。证明{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切
+
∈Nn,
10 <<
n
x 。
由 x
n+1
=xx
nn
()1? ( ",2,1=n )，可得
x
n+1
-x
n
= 0
2
<?
n
x,
即{ x
n
}单调减少有下界，由定理2.4.1,{}
n
x 收敛。
设 lim
n→∞
=
n
x a，在等式 x
n+1
= xx
nn
()1? 两边同时求极限，得到方程
aa a=?()1,解得 a = 0。于是得到,
lim
n→∞
0=
n
x 。
应用 Stolz定理,
lim
n→∞
()nx
n
=lim
n→∞
n
x
n
1
=lim
n→∞
1
11
1
xx
nn+
=lim
n→∞
xx
xx
nn
nn
+
+
1
1
=lim
n→∞
xx
x
nn
n
2
2
1
1
()?
= 。
换言之,不管 10
1
<< x 如何选取,当 n充分大时,无穷小量 {}
n
x 的变化规律与无穷小量
n
1
愈来愈趋于一致，在许多场合,{}
n
x 可以用
n
1
来代替。这两个无穷小量称为是等价的。
例2.4.3 设 x
1
= 2,x
n+1
= 32+ x
n
, ",3,2,1=n 。证明数列{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 首先有 30
1
<< x 。设 30 <<
k
x,则
1
0
+
<
k
x = 323 <+
k
x,由数学归纳法，可知对一切 n，成立
30 <<
n
x 。
由于 x
n+1
-x
n
= 32+ x
n
-x
n
= 0
23
)1)(3(
>
++
+?
nn
nn
xx
xx
,数列{ x
n
}单调增加且有上界，由定理2.4.1可知{ x
n
}收敛。
例2.4.3 设 x
1
= 2,x
n+1
= 32+ x
n
, ",3,2,1=n 。证明数列{ x
n
}收敛，并求它的极限。
解 首先有 30
1
<< x 。设 30 <<
k
x,则
1
0
+
<
k
x = 323 <+
k
x,由数学归纳法，可知对一切 n，成立
30 <<
n
x 。
由于 x
n+1
-x
n
= 32+ x
n
-x
n
= 0
23
)1)(3(
>
++
+?
nn
nn
xx
xx
,数列{ x
n
}单调增加且有上界，由定理2.4.1可知{ x
n
}收敛。
设 lim
n→∞
=
n
x a，对 x
n+1
= 32+ x
n
两边求极限，得到 a = 32+ a,解此方程，得到 3=a,即
lim
n→∞
3=
n
x 。
例2.4.4,Fibonacci数列” 与兔群增长率：
设 一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。
解
设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表：
季度 小兔对数 成长期兔对数 成熟期兔对数 兔对总和
11 0 0 1
20 1
31 0 1 2
41 1 3
52 2 5
63 2 3 8
75 3 5 13
设 a
n
是第 n季度兔对总数，则
a
1
=1,a
2
=1,a
3
=2,a
4
=3,a
5
=5,…
数列{ a
n
}称为 Fibonacci数列。
到第 n+1季度，能产小兔的兔对数为 a
n?1
,所以第 n+1季度兔对的总数应等于第 n季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n?1
，于是
{a
n
}具有性质,
a
n+1
=a
n
+a
n?1
,n = 234,,, "。
令 b
n
=
a
a
n
n
+1
，则 1?
n
b 表示了兔群在第 n+1季度的增长率。由
b
n
=
a
a
n
n
+1
=
aa
a
nn
n
+
1
=1
1
+
a
a
n
n
=1
1
1
+
b
n
,
可知当 b
n
2
15 +
> 时,b
n+1
2
15 +
< ；当 b
n
2
15 +
< 时,b
n+1
2
15 +
> 。
设 a
n
是第 n季度兔对总数，则
a
1
=1,a
2
=1,a
3
=2,a
4
=3,a
5
=5,…
数列{ a
n
}称为 Fibonacci数列。
到第 n+1季度，能产小兔的兔对数为 a
n?1
,所以第 n+1季度兔对的总数应等于第 n季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n?1
，于是
{a
n
}具有性质,
a
n+1
=a
n
+a
n?1
,n = 234,,, "。
{b
n
}并不是单调数列。但是有关系
b
k21?
∈
+
2
15
,0,b
k2
∈
+∞
+
,
2
15
,k = 123,,, ",
b
k22+
b
k2
=1
1
1
1
2
+
+
b
k
-b
k2
= 0
1
2
15
2
15
2
22
<
+
+
+
k
kk
b
bb
,
b
k21+
-b
k21?
=1
1
1
1
21
+
+
b
k
-b
k21?
= 0
1
2
15
2
15
12
1212
>
+
+
+
k
kk
b
bb
。
所以{ b
k2
}是单调减少的有下界的数列，{ b
k21+
}是单调增加的有上界的数列，因而都是收敛数列。
{b
n
}并不是单调数列。但是有关系
b
k21?
∈
+
2
15
,0,b
k2
∈
+∞
+
,
2
15
,k = 123,,, ",
b
k22+
b
k2
=1
1
1
1
2
+
+
b
k
-b
k2
= 0
1
2
15
2
15
2
22
<
+
+
+
k
kk
b
bb
,
b
k21+
-b
k21?
=1
1
1
1
21
+
+
b
k
-b
k21?
= 0
1
2
15
2
15
12
1212
>
+
+
+
k
kk
b
bb
。
由 lim
k→∞
b
k22+
= lim
k→∞
12
1
2
2
+
+
b
b
k
k
得到
a
a
a
=
+
+
12
1；
由 lim
k→∞
b
k21+
= lim
k→∞
12
1
21
21
+
+
b
b
k
k
得到
b
b
b
=
+
+
12
1
。
这两个方程有相同的解 a =b=
15
2
±
,舍去负根，于是得出结论：在不考虑兔子死亡的前提下，经过较长 一段时间，兔群逐季增长率趋于
2
15?
≈ 0.618。
设
∞→k
lim =
k
b
2
a,
∞→k
lim bb
k
=
+12
，则有
51
2
+
<≤ a +∞,≤< b0
51
2
+
。
π和 e
设单位圆内接正 n边形的半周长为 L
n
，则 Ln
n
n
= sin
o
180
。数列 {}
n
L
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 π。现在来严格证明 {}
n
L 的极限存在。
例2.4.5 数列
n
n
o
180
sin 收敛。
证 令 t
nn
=
+
180
1
o
()
，则当 n≥ 3时,nt ≤ 45
o
。
=nttan ≥
+?
ttn
ttn
tan)1tan(1
tan)1tan(
≥+? ttn tan)1tan( tntan≥ ",
于是
sin( ) sin cos cos sinnt ntt ntt+ = +1
+=
nt
t
tnt
tan
tan
1cossin ≤
+n
n
nt
1
sin,
π和 e
设单位圆内接正 n边形的半周长为 L
n
，则 Ln
n
n
= sin
o
180
。数列 {}
n
L
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 π。现在来严格证明 {}
n
L 的极限存在。
所以，当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
≤+
+
=
+
()sin
o
n
n
L
n
1
180
1
1
。
另一方面，单位圆内接正 n边形的面积
Sn
nn
n
=<sin cos
oo
180 180
4,
因此当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
<
4
180
cos
o
n
≤=
4
60
8
cos
o
。
所以，当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
≤+
+
=
+
()sin
o
n
n
L
n
1
180
1
1
。
另一方面，单位圆内接正 n边形的面积
Sn
nn
n
=<sin cos
oo
180 180
4,
因此当 n≥ 3时,
Ln
n
n
= sin
o
180
<
4
180
cos
o
n
≤=
4
60
8
cos
o
。
综上所述，数列 { L
n
}单调增加且有上界，因而收敛。将这个极限用希腊字母 π来记，就有
lim
n→∞
π
180
sin
o
=
n
n 。
注 有了 π的定义，就可以定义角度的弧度制。
由于单位圆的半周长为 π，就把半个圆周所对的圆心角（即
o
180 ）
的弧度定义为 π,其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说，
一个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。
设单位圆的内接正 n边形的面积为 S
n
，则 S
n
的极限就是单位圆的面积。由于
π
180
cos
180
sinlimlim
oo
==
∞→∞→
nn
nS
n
n
n
,
可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。
在弧度制下，上例中 的极限式又可以写成
lim
n→∞
sin( )π
π
n
n
=1。
例2.4.6 数列
+
n
n
1
1 单调增加，
+
+1
1
1
n
n
单调减少，两者收敛于同一极限。
证 记 x
n
=
n
n
+
1
1,y
n
=
1
1
1
+
+
n
n
，由平均值不等式
aa a
n
n
12
"
n
aaa
n
+++
≤
"
21
( 0>
k
a,k n= 123,,,, "),
得到
x
n
= ≤?
+ 1
1
1
n
n
1
1
1
1
1
+
+
+
+
n
n
n
n
=x
n+1
,
1
y
n
= ≤?
+
+
1
1
1n
n
n
2
2
1
1
)1(
+
+
+
+
+
n
n
n
n
n
=
1
1
y
n+
。
即 { x
n
}单调增加，{ y
n
}单调减少。又由于
≤=
1
2 x x
n
< y
n
4
1
=≤ y,
可知数列{ x
n
},{ y
n
}都收敛。因为
1
1
nn
yx
n
=+
,所以它们具有相同的极限。
即 { x
n
}单调增加，{ y
n
}单调减少。又由于
≤=
1
2 x x
n
< y
n
4
1
=≤ y,
可知数列{ x
n
},{ y
n
}都收敛。因为
1
1
nn
yx
n
=+
,所以它们具有相同的极限。
习惯上用字母 e来表示这一极限，即
lim
n→∞
n
n
+
1
1 =lim
n→∞
1
1
1
+
+
n
n
e= 。
e=2.718281828459...是一个无理数。以 e为底的对数称为 自然对数,通常记为
e
ln ( log )x x= 。
作为定理2.4.1的进一步应用，讨论数列 {}
n
a,其中
11 1
1
23
n
p pp
a
n
=+ + + + " ( 0>p )。
例 2.4.7 当 1>p 时，数列 {}
n
a 收敛；当 10 ≤< p 时，数列 {}
n
a 是正无穷大量。
作为定理2.4.1的进一步应用，讨论数列 {}
n
a,其中
11 1
1
23
n
p pp
a
n
=+ + + + " ( 0>p )。
证 数列 {}
n
a 单调增加，它的收敛与否取决于其是否有界。
当 1>p 时，记
1
2
1p?
= r,则 10 << r 。由于
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
1pp pp p
r+<+= =
,
1
4
1
5
1
6
1
7
1
4
1
4
1
4
1
4
2
pppppppp
r+++<+++=,
例 2.4.7 当 1>p 时，数列 {}
n
a 收敛；当 10 ≤< p 时，数列 {}
n
a 是正无穷大量。
一般有，对 k = 1,2,3,……
1(1)
11 1 2
2(21) (21)2 2
k
k
kp k p k p kp k p
r
+?
+++ <==
+?
",
可知
a
n
<≤
12
n
a <++++
12
1
n
rrr "
1
1?r
,
这说明当 1>p 时，数列{ a
n
}收敛。
当 1≤p 时，有
1
2
1
2
p
≥
1
3
1
4
1
4
1
4
1
2
pp
+>+=,
1
5
1
6
1
7
1
8
4
8
1
2
pppp
+++>=,
……
1
21
1
22
1
2
2
2
1
2
11
()( ) ()
kp k p kp
k
k
+
+
+
++ > =
++
",
因而
≥
n
a
2
1
2
+
n
。
这说明当 1≤p 时,数列｛ a
n
2
｝是正无穷大量。由于数列{ a
n
}单调增加，所以{ a
n
}是正无穷大量。
特别当 p=1时，
n
a
n
1
3
1
2
1
1 ++++= "（ ",3,2,1=n ），{ a
n
}是无穷大量。
例2.4.8 记 b
n
=1
1
2
1
3
1
++++? "
n
nln,则数列{ b
n
}收敛。
证 由例2.4.6，可知
n
n
+
1
1 e< <
1
1
1
+
+
n
n
,
由此得到
1
1n+
<
+
<
n
n 1
ln
1
n
。
例2.4.8 记 b
n
=1
1
2
1
3
1
++++? "
n
nln,则数列{ b
n
}收敛。
证 由例2.4.6，可知
n
n
+
1
1 e< <
1
1
1
+
+
n
n
,
由此得到
1
1n+
<
+
<
n
n 1
ln
1
n
。
这说明数列｛ b
n
｝单调减少有下界，从而收敛。
{b
n
}的极限 =γ 0.57721566490…称为 Euler 常数 。
于是有
b
n+1
-b
n
=
1
1n+
-ln( )n+1 + lnn =
1
1n+
- 0
1
ln <
+
n
n
,
b
n
=1
1
2
1
3
1
++++? "
n
nln > ln
2
1
+ ln
3
2
+ln
4
3
… + ln
n
n
+1
-lnn = ln( )n+1 - 0ln >n 。
例2.4.9 lim
n→∞
=
++
+
+
+ nnn 2
1
2
1
1
1
"2ln 。
解 记
n
c =
nnn 2
1
2
1
1
1
++
+
+
+
"，则有
n
c = b
n2
-b
n
+ln( )2n -lnn=b
n2
-b
n
+ln 2。
由
lim
n→∞
n
b = lim
n→∞
2n
b γ=,
即得到
lim
n→∞
n
c = lim
n→∞
++
+
+
+ nnn 2
1
2
1
1
1
"ln 2= 。
例2.4.10 lim
n→∞
=
+?+?
+
n
n
1
)1(
3
1
2
1
1
1
"ln 2。
解 记 d
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
+?+?
+
"()
n
n
，由于
b
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
++++
+? "
nn
nln →γ（ n→∞）,
和
b
n2
=1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
22
1
21
1
2
2+++++++
+
+? "
nnn
nln →γ（ n→∞）,
例2.4.10 lim
n→∞
=
+?+?
+
n
n
1
)1(
3
1
2
1
1
1
"ln 2。
解 记 d
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
+?+?
+
"()
n
n
，由于
b
n
=1
1
2
1
3
1
1
1
++++
+? "
nn
nln →γ（ n→∞）,
和
b
n2
=1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
22
1
21
1
2
2+++++++
+
+? "
nnn
nln →γ（ n→∞）,
考虑 b
n2 n
b?,用
n
b
2
中的第 k2 项与
n
b 中的第 k项（ nk,,2,1 "= ）对应相减，得到
b
n2 n
b? =1
1
2
1
3
1
4
1
21
1
2
2?+?++
"
nn
ln =?d
n2
2ln → 0 （ n→∞）。
由于 dd
n
nn21 2
1
21
+
=?
+
及 lim
n→∞
0
12
1
=
+n
，即可得到
lim
n→∞
d
n
= lim
n→∞
=
+?+?
+
n
n
1
)1(
3
1
2
1
1
1
"ln 2。
闭区间套定理
定义2.4.1 如果一列闭区间 {[a
n
,b
n
]}满足条件
(1) [a
n+1
,b
n+1
]? [a
n
,b
n
],n = 123,,, ";
(2) lim
n→∞
(b
n
-a
n
) 0=,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
定理2.4.2( 闭区间套定理) 如果{ [a
n
,b
n
]}形成一个闭区间套，
则存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间 [a
n
,b
n
],且 ξ=lim
n→∞
a
n
=lim
n→∞
b
n
。
闭区间套定理
定义2.4.1 如果一列闭区间 {[a
n
,b
n
]}满足条件
(1) [a
n+1
,b
n+1
]? [a
n
,b
n
],n = 123,,, ";
(2) lim
n→∞
(b
n
-a
n
) 0=,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
证 由条件(1)可得
a
1
≤… ≤ a
n?1
≤ a
n
< b
n
≤ b
n?1
≤… ≤ b
1
。
{a
n
}单调增加而有上界 b
1
,{b
n
}单调减少而有下界 a
1
,由定理2.4.1，
{a
n
}与{ b
n
}都收敛。
设 lim
n→∞
a
n
=ξ，则
lim
n→∞
b
n
=lim
n→∞
[(b
n
-a
n
)+a
n
]=lim
n→∞
(b
n
-a
n
)+lim
n→∞
a
n
=ξ。
由于 ξ是{ a
n
}所构成的数集的上确界，也是 {}
n
b 所构成的数集的下确界，于是有 a
n
≤ξ ≤b
n
,n = 123,,, "，即 ξ属于所有闭区间 [a
n
,b
n
]。
若另有实数 'ξ 属于所有的闭区间 [a
n
,b
n
]，则也有 a
n
≤ 'ξ ≤ b
n
，
n = 123,,, "，令 n→∞，由极限的夹逼性得到
'ξ = lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=ξ,
此即说明满足定理结论的实数 ξ是唯一的。
证 毕证 由条件(1)可得
a
1
≤… ≤ a
n?1
≤ a
n
< b
n
≤ b
n?1
≤… ≤ b
1
。
{a
n
}单调增加而有上界 b
1
,{b
n
}单调减少而有下界 a
1
,由定理2.4.1，
{a
n
}与{ b
n
}都收敛。
设 lim
n→∞
a
n
=ξ，则
lim
n→∞
b
n
=lim
n→∞
[(b
n
-a
n
)+a
n
]=lim
n→∞
(b
n
-a
n
)+lim
n→∞
a
n
=ξ。
由于 ξ是{ a
n
}所构成的数集的上确界，也是 {}
n
b 所构成的数集的下确界，于是有 a
n
≤ξ ≤b
n
,n = 123,,, "，即 ξ属于所有闭区间 [a
n
,b
n
]。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列
{},{}
nn
ab
依然收敛于同一个极限 ξ,但这个 ξ 可能不属于任何一个开区间
(a
n
,b
n
)。
在定理1.1.2我们证明了有理数集 Q是可列集，利用闭区间套定理，可以证明
定理2.4.3 实数集 R 是不可列集 。
证 用反证法。假设实数集 R 是可列集，即可以找到一种排列的规则，使
R ={x
1
,x
2
,…,x
n
,…}。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列
{},{}
nn
ab
依然收敛于同一个极限 ξ,但这个 ξ 可能不属于任何一个开区间
(a
n
,b
n
)。
取闭区间
[a
1
,
b
1
]
，使
x
1 1
[a∈
,
b
1
]；
将［
a
1
,
b
1
］ 三等分,则在闭区间
+
3
2
,
11
1
ba
a
,
+
3
2
11
ba
,
+
3
2
11
ba
+
1
11
,
3
2
b
ba
中，至少有一个不含有
x
2,把它记为
22
[,]ab；
将
22
[,]ab三等分，在闭区间
+
3
2
,
22
2
ba
a,
+
3
2
22
ba
,
+
3
2
22
ba
,
+
2
22
,
3
2
b
ba
中，至少有一个不含有 x
3
,把它记为
33
[,]ab,
……
这样的步骤可一直做下去，于是得到一个闭区间套 {[,]}
nn
ab,
满足
x
n
∈ [a
n
,b
n
],n = 123,,, "。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间 [a
n
,b
n
]，
换言之,ξ ≠ x
n
(n = 123,,, ")，这就与集合{ x
1
,x
2
,…,x
n
,… }表示 实数集 R 产生矛盾。
证毕子列
定义2.4.2 设 ｛ x
n
｝ 是一个数列，而
n
1
< n
2
<… < n
k
< n
k+1
<…
是一列严格单调增加的正整数，则
x
n
1
,x
n
2
,…,x
n
k
,…
也形成一个数列，称为数列 {x
n
}的 子列,记为{ x
n
k
}。
下标,n
k
”表示子列中的第 k项恰好是原数列中的第 n
k
项。
由于子列下标,n
k
”的严格单调增加性质，可知成立
k
nk≥,
+
∈Nk
和
j k
nn≥,j k≥,
+
∈Nkj,。
子列
定义2.4.2 设 ｛ x
n
｝ 是一个数列，而
n
1
< n
2
<… < n
k
< n
k+1
<…
是一列严格单调增加的正整数，则
x
n
1
,x
n
2
,…,x
n
k
,…
也形成一个数列，称为数列 {x
n
}的 子列,记为{ x
n
k
}。
定理2.4.4 若数列{ x
n
}收敛于 a,则它的任何子列 {x
n
k
}也收敛于 a,即
lim
n→∞
x
n
= a
lim
k→∞
x
n
k
= a。
证 由 lim
n→∞
x
n
= a，可知 0ε? >,? N,Nn >?,
｜ x
n
a｜ ε< 。
取 NK =,于是当 k K> 时，有
k
nkN≥>，因而成立
｜ x
n
k
a｜ ε< 。
证 毕定理2.4.4经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
n
x 的两个子列
(1)
{}
k
n
x 与
(2)
{}
k
n
x,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
n
x 必定发散 。
例2.4.11 数列
π
sin
4
n
发散
证 取 n
k
()1
= k4,n
k
()2
= 28 +k,则子列
(1)
{}
k
n
x 收敛于 0,而子列
(2)
{}
k
n
x
收敛于 1，由上述推论可知 {}
n
x 发散。
定理2.4.4经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
n
x 的两个子列
(1)
{}
k
n
x 与
(2)
{}
k
n
x,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
n
x 必定发散 。
Bolzano-Weierstrass定理
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理) 有 界 数列必有收敛子列。
证 设数列{ x
n
}有界，于是存在实数 a
1
,b
1
，成立
a
1
≤ x
n
≤ b
1
,n =123,,, "。
将闭区间［ a
1
,b
1
］等分为两个小区间
+
2
,
11
1
ba
a 与
+
1
11
,
2
b
ba
，
则其中至少有一个含有数列{ x
n
}中的无穷多项，把它记为 [a
2
,b
2
]；
再将闭区间 [a
2
,b
2
] 等分为两个小区间
+
2
,
22
2
ba
a 与
+
2
22
,
2
b
ba
，同样其中至少有一个含有数列{ x
n
}中的无穷多项,把它记为[ a
3
,b
3
]；
……
这样的步骤可以一直做下去，于是得到一个闭区间 套
｛[ a
k
,b
k
]｝,其中每一个闭区间[
k
a,b
k
]中都含有数列{ x
n
}中的 无穷多项。
根据闭区间套定理，存在实数 ξ，满足
ξ=lim
k
k
a
→∞
=lim
k→∞
b
k
。
现在证明数列{ x
n
}必有一子列收敛于实数 ξ。
在[ a
1
,b
1
]中选取{ x
n
}中某一项，记它为 x
n
1；
因为在 [a
2
,b
2
]中含有{ x
n
}中的无穷多项,可以选取位于 x
n
1
后的某一项，记它为 x
n
2
，
21
nn> ；
……
在选取 x
n
k
∈[a
k
,b
k
]后，因为在[ a
k+1
,b
k+1
]中仍含有{ x
n
}中无穷多项，可以选取位于 x
n
k
后的某一项，记它为 x
n
k+1
,n
k+1
> n
k；
继续这样做下去，就得到了数列{ x
n
}的一个子列{ x
n
k
}，满足
a
k
≤ x
n
k
≤ b
k
,k =123,,, "。
由 lim
k→∞
a
k
=lim
k→∞
b
k
=ξ，利用极限的夹逼性，得到
lim
k→∞
k
n
x ξ= 。
证毕当数列无界时，也有与定理2.4.5相对应的结论。
定理2.4.6 若 {x
n
}是一个无界数列，则存在子列 {x
n
k
}，使得
lim
k→∞
x
n
k
= ∞。
证 由于{ x
n
}无界，因此对任意 M 0>,{ x
n
}中必存在无穷多个
x
n
，满足｜ x
n
｜ > M (否则可以得出{ x
n
}有界的结论)。
令 1
1
=M,则存在 x
n
1
，使得
1
1
n
x > ；
令 2
2
=M,因为在 { x
n
}中有无穷多项满足 2
n
x >,可以取到位于
x
n
1
之后的 x
n
2
,n
2
> n
1
，使得
2
2
n
x > ；
令 3
3
=M,同理可以取到 x
n
3
，
32
nn>,使得
3
3
n
x > ；
……
这样便得到｛ x
n
｝的一个子列 { x
n
k
}，满足
k
n
xk>,由定义,
lim
k→∞
x
n
k
= ∞。
证毕
定义2.4.3 如果数列 ｛ x
n
｝ 具有以下特性,对 于任意给定 的
0>ε,存在正整数 N,使得当 Nmn >,时成立
｜?
n
x x
m
｜＜ ε,
则称数列 {x
n
}是一个 基本数列 。
例2.4.12 设 x
n
=1
1
2
1
3
1
22 2
++++ "
n
，则{ x
n
}是一个基本数列。
证 对任意正整数 n与 m，不妨设 mn>,则
m
x x
n
=
1
1
1
2
1
222
()( )nn m+
+
+
++ "
＜
1
1
1
12
1
1nn n n m m()()( ) ( )+
+
++
++
"
=
++
+
+
+
+
mmnnnn
1
1
1
2
1
1
1
1
11
"
=
11
nm
＜
1
n
,
对任意给定的 0ε >,取
=
ε
1
N,当 mnN>> 时，成立
｜?
m
x x
n
｜＜ ε 。
例2.4.13 设 x
n
= 1
1
2
1
3
1
++++ "
n
，则{ x
n
}不是基本数列。
证 对任意正整数 n,有
n
x
2
x
n
=
1
1
1
2
1
2nn n+
+
+
++ "
＞ n
n
=
1
2
1
2
,
取
0
1
2
ε =,无论 N 多么大，总存在正整数 n N>,mnN= >2,使得
｜?
m
x x
n
｜=｜?
n
x
2
x
n
｜＞
0
ε,
因此｛ x
n
｝不是基本数列。
定理2.4.7 (Cauchy收敛原理 ) 数列 { x
n
}收 敛的充分必要 条件是：｛ x
n
｝是基本数列。
证 必要性。
设{ x
n
}收敛于 a，按照定义,? 0ε >,? N,? >nm N,,
2
n
xa
ε
<,
2
m
xa
ε
<,
于是
mn m n
xx xaxaε? ≤?+?<。
充分性。
先证明基本数列必定有界。取 1
0
=ε,因为{ x
n
}是基本数列，所以? N
0
,?>nN
0
,
｜?
n
x x
N
0
1+
｜ 1< 。
令 M=max{｜ x
1
｜,｜ x
2
｜,…,｜ x
N
0
｜,｜ x
N
0
1+
｜ 1+ }，则对一切 n，
成立
｜ x
n
｜ M≤ 。
由Bolzano-Weierstrass定理，在｛ x
n
｝中必有收敛子列,
lim
k→∞
x
n
k
ξ= 。
因为｛ x
n
｝是基本数列，所以? 0>ε,? N,? >nm N,,
｜?
n
x x
m
｜
2
ε
< 。
取 x
m
= x
n
k
，其中 k充分大，满足 n
k
> N,并且令 k → ∞，于是得到
｜?
n
x ξ｜ ≤ ε
ε
<
2
,
此即表明数列｛ x
n
｝收敛。
证毕
Cauchy收敛原理表明由实数构成的基本数列{ x
n
}必存在实数 极限，这一性质称为实数系的完备性。
注意有理数集不具有完备性。例如
+
n
n
1
1 是由有理数构成的基本数列，其极限 e并不是有理数。
例2.4.14 设数列{ x
n
}满足 压缩性条件,
｜?
+1n
x x
n
｜ ≤ k｜?
n
x x
n?1
｜,10 << k,n = 23,, ",
则｛ x
n
｝收敛。
证 只要证明｛ x
n
｝是基本数列即可。
首先对于一切 n，有
｜?
+1n
x x
n
｜ ≤ k｜?
n
x x
n?1
｜ ≤ k
2
｜?
1n
x x
n?2
｜ ≤… ≤ k
n?1
｜?
2
x x
1
｜。
设 m＞ n，则
｜?
m
x x
n
｜ ≤｜?
m
x x
m?1
｜+｜?
1m
x x
m?2
｜+ … +｜?
+1n
x x
n
｜
≤ k
m?2
｜?
2
x x
1
｜+ k
m?3
｜?
2
x x
1
｜+ … +k
n?1
|?
2
x x
1
｜
k
k
n
<
1
1
｜?
2
x x
1
｜ 0→ (n→∞）,
因此｛ x
n
｝是基本数列，从而收敛。
实数系的基本定理
在 §1中证明了实数系连续性定理 ——确界存在定理。 在本节中，
又依次证明了单调有界数列收敛定理、闭区间套定理、Bolzano-
Weierstrass定理与实数系完备性定理 ——Cauchy收敛原理。它们之间的逻辑推理关系,
确界存在定理
单调有界数列收敛定理
闭区间套定理
Bolzano-Weierstrass定理
Cauchy收敛原理
也就是说，实数系的连续性包含了实数系的完备性。
下面证明实数系的完备性也包含了实数系的连续性。即在实数系中，完备性与连续性这两个概念是等价的。
定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性 。
证 分两步来证明实数系的完备性 包含实数系的连续性，即
Cauchy收敛原理? 闭区间套定理? 确界存在定理。
Cauchy收敛原理? 闭区间套定理,
设｛［ a
n
,b
n
］｝是一列闭区间，满足条件
(i) ［ a
n+1
,
1n
b
+
］?［ a
n
,b
n
］,n =123,,, "；
(ii) lim
n→∞
(?
n
b a
n
) 0= 。
设 mn>,则
00
mnnn
aaba≤?<?→
( ∞→n ）,
所以数列｛ a
n
｝是一基本数列，从而有
lim
n→∞
a
n
=ξ,
并由此得到
lim
n→∞
b
n
=lim
n→∞
(?
n
b a
n
)+lim
n→∞
a
n
=ξ。
由于数列{ a
n
}单调增加，数列｛ b
n
｝单调减少，可以知道 ξ是属于 所有闭区间［
n
a,b
n
］的唯一实数。闭区间套定理得证。
闭区间套定理? 确界存在定理,
设 S 是非空有上界的实数集合，又设 T 是由 S 的所有上界所组成的集合，现证 T含有最小数，即 S 有上确界。
取 a
1
T∈,b
1
∈T，显然 <
1
a b
1
。现按下述规则构造一列闭区间：
[a
2
,b
2
]=
∈
+
+
∈
+
+;
2
,,
2
,
2
,
2
,
11
1
11
1111
1
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
[a
3
,b
3
]=
∈
+
+
∈
+
+;
2
,,
2
,
2
,
2
,
22
2
22
2222
2
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
……,
由此得到一个闭区间套｛［ a
n
,b
n
］｝，满足
a
n T∈
,b
n
∈T,n =123,,, "。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间
n
a[,]
n
b,且
∞→n
lim
n
a =
∞→n
lim
n
b =ξ。现只需说明 ξ是集合 T 的最小数，也就是集合 S的上确界。
若 Tξ ∈,即 ξ 不是集合 S 的上界，则存在 xS∈,使得 xξ < 。由
∞→n
lim
n
b ξ=,可知当 n充分大时，成立
n
bx<,这就与
n
b T∈ 发生矛盾，所以 Tξ∈ 。
若存在 η T∈,使得 η ξ<,则由 lim
n
n
a ξ
→∞
=,可知当 n充分大时，成 立
n
aη < 。由于
n
aT∈,于是存在 y S∈,使得
n
a yη <<,这就与 Tη∈ 发生 矛盾。从而得出 ξ是集合 S的最小上界。
证 毕上述五个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其他的定理，所以，这五个定理中的每一个都可以称为是实数系的基本定理。
