无穷大量
随着 n的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大量,其严格的分析定义为,
定义2.3.1 若对于任意给定的 G > 0,可以找到正整数 N,使得当 n N> 时成立
n
xG>,
则称数列｛ x
n
｝是无穷大量，记为
lim
n
n
x
→∞
= ∞。
§3 无穷大量无穷大量
随着 n的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大量,其严格的分析定义为,
定义2.3.1 若对于任意给定的 G > 0,可以找到正整数 N,使得当 n N> 时成立
n
xG>,
则称数列｛ x
n
｝是无穷大量，记为
lim
n
n
x
→∞
= ∞。
符号表述法
“数列 { x
n
}是无穷大量”,? >G 0,? N,?>nN：｜ x
n
｜ > G。
§3 无穷大量注
(1) 与极限定义中 ε表示任意给定的很小的正数相类似，这里的 G表示任意给定的很大的正数。
(2) 如果无穷大量｛ x
n
｝从某一项开始都是正的(或负的)，则称其为 正无穷大量(或 负无穷大量 )，统称为 定号无穷大量,分别记为
lim
n
n
x
→∞
=+∞ (或 lim
n
n
x
→∞
=?∞)。
例如：{ n
2
}是正无穷大量，{
n
10? }是负无穷大量，而｛ ()?2
n
｝
是(不定号)无穷大量。
例2.3.1 设 1|| >q,证明{ q
n
}是无穷大量。
证?>G 1，取
=
||lg
lg
q
G
N,于是? >nN，成立
n
q ||
||lg
lg
||
q
G
q> = G。
因此{ q
n
}是无穷大量。
例2.3.2 证明
+
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
证 当 5>n 时，有不等式
n
n
2
1
5
+
2
n
>,
于是? >G 0，取 N G= max{[ ],}25,? >nN，成立
n
n
2
1
5
+
2
n
> > G。
因此
+
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
例2.3.1 设 1|| >q,证明{ q
n
}是无穷大量。
证?>G 1，取
=
||lg
lg
q
G
N,于是? >nN，成立
n
q ||
||lg
lg
||
q
G
q> = G。
因此{ q
n
}是无穷大量。
无穷大量与无穷小量之间的关系,
定理2.3.1 设 x
n
≠0，则｛ x
n
｝ 是无穷大量的充分必要条件是
n
x
1
是无穷小量。
证 设{ x
n
}是无穷大量,0ε? >,取 0
1
>=
ε
G,于是? N,
>nN,｜ x
n
｜ > G
1
ε
=,从而
n
x
1
ε<,即
n
x
1
是无穷小量。
反过来，设
n
x
1
是无穷小量,? >G 0，取 0
1
>=
G
ε,于是? N,
>nN,<
n
x
1 1
G
ε =,从而｜ x
n
｜ > G，即｛ x
n
｝是无穷大量。
证 毕关于无穷大量的运算性质,
同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，而异号无穷大量之差是无穷大量，其符号与被减无穷大量的符号相同；
无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量；
同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无穷大量。
定理2.3.2 设 {}
n
x 是无穷大量，若当
0
Nn > 时,0>≥δ
n
y
成立，则 {}
nn
x y 是无穷大量。
推论 设 {}
n
x 是无穷大量,lim 0
n
n
yb
→∞
= ≠,则 {}
nn
x y 与
n
n
y
x
都是无穷大量 。
定理2.3.2 设 {}
n
x 是无穷大量，若当
0
Nn > 时,0>≥δ
n
y
成立，则 {}
nn
x y 是无穷大量。
推论 设 {}
n
x 是无穷大量,lim 0
n
n
yb
→∞
= ≠,则 {}
nn
x y 与
n
n
y
x
都是无穷大量 。
例题：
lim
n→∞
( n
n
+10 )=+∞，
lim
n→∞
n
n
1
lg =+∞，
lim
n→∞
nn tanarc =+∞，
lim
n→∞
n
nsin
=∞。
例2.3.3 讨论极限
lim
n→∞
an an a n a
bn bn b n b
kk
kk
ll
ll
01
1
1
01
1
1
++++
++++
null
null
,
其中 kl,为正整数,a
0
0≠,b
0
0≠ 。
解
an an a n a
bn bn b n b
kk
kk
ll
ll
01
1
1
01
1
1
++++
++++
null
null
=
+++ +
+++ +
n
a
a
n
a
n
a
n
b
b
n
b
n
b
n
kl
k
k
k
k
l
l
l
l
0
11
1
0
11
1
null
null
。
由于
lim
n→∞
11
0
1
0
11
0
0
1
0
kk
ll
aaa
a
a
nnn
bbb
b
b
nnn
+++ +
=≠
+++ +
null
null
,
可以得到
lim
n→∞
an an a n a
bn bn b n b
kk
kk
ll
ll
01
1
1
01
1
1
++++
++++
null
null
>∞
=
<
=
.,
,,
,,0
0
0
lk
lk
b
a
lk
待定型
分别以 +∞,?∞,∞,0表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
∞
∞±∞ +∞? +∞ +∞ +?∞ ∞
∞
i 等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为待定型。
例如当 lim
n→∞
0
n
aa= ≠ 时,lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + +null
就是
∞
∞
待定型。
下面介绍的Stolz 定理将为求某些类型的待定型极限带来很大的方便。
待定型
分别以 +∞,?∞,∞,0表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
∞
∞±∞ +∞? +∞ +∞ +?∞ ∞
∞
i 等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为 待定型 。
例如当 lim
n→∞
0
n
aa= ≠ 时,lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + +null
就是
∞
∞
待定型。
定义2.3.2
如果数列{ x
n
}满足
x
n 1+
≤
n
x,n = 123,,,null,
则称{ x
n
}为 单调增加数列；
如果数列{ x
n
}满足
x
n 1+
<
n
x,n = 123,,,null,
则称{ x
n
}为 严格单调增加数列。
类似地可定义 单调减少数列 和 严格单调减少数列。
注 因为数列前面有限项的变化不会影响它的收敛性，所以下面遇到单调数列的时候,都可以理解为,从某一项开始为单调的数列” 。
定理2.3.3 (Stolz 定理) 设 {}
n
y 是严格单调增加的正无穷大量，且
lim
n→∞
xx
yy
a
nn
nn
=
1
1
( a可以为有限量,+∞与?∞ ),
则
lim
n→∞
x
y
a
n
n
= 。
证 先考虑 a = 0的情况。
由 lim
n→∞
xx
yy
nn
nn
=
1
1
0，可知 0ε? >,? N
1
,? >nN
1
,
｜ xx
nn
1
｜ ε< (yy
nn
1
)。
定理2.3.3 (Stolz 定理) 设 {}
n
y 是严格单调增加的正无穷大量，且
lim
n→∞
xx
yy
a
nn
nn
=
1
1
( a可以为有限量,+∞与?∞ ),
则
lim
n→∞
x
y
a
n
n
= 。
由于{ y
n
}是正无穷大量，显然可要求 0
1
>
N
y,于是
｜ xx
nN
1
｜≤｜ xx
nn
1
｜+｜ xx
nn
12
｜+ … +｜ xx
NN
11
1+
｜
ε< (yy
nn
1
)+ε (yy
nn
12
)+…+ ε (yy
NN
11
1+
) ε= (yy
nN
1
)。
不等式两边同除以
n
y,得到
≤?
n
N
n
n
y
x
y
x
1
ε
n
N
y
y
1
1 <ε,
对于固定的
1
N,又可以取到
1
NN >,使得 nN?>,ε<
n
N
y
x
1
，从而
n
n
y
x
1
N
n
x
y
ε< +<2ε。
当 a是非零有限数时，令 ′x
n
=xay
nn
,于是由
lim
n→∞
′? ′
=
xx
yy
nn
nn
1
1
lim
n→∞
xx
yy
a
nn
nn
=
1
1
0,
得到 lim
n→∞
′
=
x
y
n
n
0，从而
lim
n→∞
x
y
n
n
= lim
n→∞
′
+=
x
y
aa
n
n
。
对于 a =+∞的情况，首先? N,? >nN,
>?
1nn
xx yy
nn
1
,
这说明{ x
n
}也严格单调增加，且从 >?
Nn
xx yy
nN
可知 {}
n
x 是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n→∞
n
n
y
x
= lim
n→∞
yy
xx
nn
nn
=
1
1
0
因而
lim
n→∞
x
y
n
n
= +∞。
对于 a =?∞的情况，证明方法类同。
证毕例如：若 lim
n→∞
n
aa=,则 lim
n→∞
12 n
aa a
a
n
+ ++
=
null
。这只要在Stolz 定理中令 x
n
=++ +aa a
n12
null,yn
n
= 即可直接得到。
对于 a =+∞的情况，首先? N,? >nN,
>?
1nn
xx yy
nn
1
,
这说明{ x
n
}也严格单调增加，且从 >?
Nn
xx yy
nN
可知 {}
n
x 是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n→∞
n
n
y
x
= lim
n→∞
yy
xx
nn
nn
=
1
1
0
因而
lim
n→∞
x
y
n
n
= +∞。
对于 a =?∞的情况，证明方法类同。
证毕例2.3.4 求极限
lim
n→∞
12
1
kk k
k
n
n
+++
+
null
(k为正整数)。
解 令 x
n
= + + +12
kk k
nnull,yn
n
k
=
+1
，由
lim
n→∞
xx
yy
nn
nn
=
1
1
lim
n→∞
n
nn
k
kk++
11
1()
= lim
n→∞
n
kn n k
k
k
k
k
()C+? +
=
+
+
1
1
1
1
21
null
,
得到
lim
n→∞
12
1
kk k
k
n
n
+++
+
null
=
+
1
1k
。
例2.3.5 设 lim
n→∞
a
n
= a,求极限
lim
n→∞
aa na
n
n12
2
2+ + +null
。
解 令 x
n
= + + +aa na
n12
2 null,yn
n
=
2
，由
lim
n→∞
xx
yy
nn
nn
=
1
1
lim
n→∞
na
nn
n
22
1()
=lim
n→∞
na
n
n
21?
=
a
2
,
得到
lim
n→∞
aa na
n
n12
2
2+ + +null
=
a
2
。
随着 n的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大量,其严格的分析定义为,
定义2.3.1 若对于任意给定的 G > 0,可以找到正整数 N,使得当 n N> 时成立
n
xG>,
则称数列｛ x
n
｝是无穷大量，记为
lim
n
n
x
→∞
= ∞。
§3 无穷大量无穷大量
随着 n的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大量,其严格的分析定义为,
定义2.3.1 若对于任意给定的 G > 0,可以找到正整数 N,使得当 n N> 时成立
n
xG>,
则称数列｛ x
n
｝是无穷大量，记为
lim
n
n
x
→∞
= ∞。
符号表述法
“数列 { x
n
}是无穷大量”,? >G 0,? N,?>nN：｜ x
n
｜ > G。
§3 无穷大量注
(1) 与极限定义中 ε表示任意给定的很小的正数相类似，这里的 G表示任意给定的很大的正数。
(2) 如果无穷大量｛ x
n
｝从某一项开始都是正的(或负的)，则称其为 正无穷大量(或 负无穷大量 )，统称为 定号无穷大量,分别记为
lim
n
n
x
→∞
=+∞ (或 lim
n
n
x
→∞
=?∞)。
例如：{ n
2
}是正无穷大量，{
n
10? }是负无穷大量，而｛ ()?2
n
｝
是(不定号)无穷大量。
例2.3.1 设 1|| >q,证明{ q
n
}是无穷大量。
证?>G 1，取
=
||lg
lg
q
G
N,于是? >nN，成立
n
q ||
||lg
lg
||
q
G
q> = G。
因此{ q
n
}是无穷大量。
例2.3.2 证明
+
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
证 当 5>n 时，有不等式
n
n
2
1
5
+
2
n
>,
于是? >G 0，取 N G= max{[ ],}25,? >nN，成立
n
n
2
1
5
+
2
n
> > G。
因此
+
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
例2.3.1 设 1|| >q,证明{ q
n
}是无穷大量。
证?>G 1，取
=
||lg
lg
q
G
N,于是? >nN，成立
n
q ||
||lg
lg
||
q
G
q> = G。
因此{ q
n
}是无穷大量。
无穷大量与无穷小量之间的关系,
定理2.3.1 设 x
n
≠0，则｛ x
n
｝ 是无穷大量的充分必要条件是
n
x
1
是无穷小量。
证 设{ x
n
}是无穷大量,0ε? >,取 0
1
>=
ε
G,于是? N,
>nN,｜ x
n
｜ > G
1
ε
=,从而
n
x
1
ε<,即
n
x
1
是无穷小量。
反过来，设
n
x
1
是无穷小量,? >G 0，取 0
1
>=
G
ε,于是? N,
>nN,<
n
x
1 1
G
ε =,从而｜ x
n
｜ > G，即｛ x
n
｝是无穷大量。
证 毕关于无穷大量的运算性质,
同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，而异号无穷大量之差是无穷大量，其符号与被减无穷大量的符号相同；
无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量；
同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无穷大量。
定理2.3.2 设 {}
n
x 是无穷大量，若当
0
Nn > 时,0>≥δ
n
y
成立，则 {}
nn
x y 是无穷大量。
推论 设 {}
n
x 是无穷大量,lim 0
n
n
yb
→∞
= ≠,则 {}
nn
x y 与
n
n
y
x
都是无穷大量 。
定理2.3.2 设 {}
n
x 是无穷大量，若当
0
Nn > 时,0>≥δ
n
y
成立，则 {}
nn
x y 是无穷大量。
推论 设 {}
n
x 是无穷大量,lim 0
n
n
yb
→∞
= ≠,则 {}
nn
x y 与
n
n
y
x
都是无穷大量 。
例题：
lim
n→∞
( n
n
+10 )=+∞，
lim
n→∞
n
n
1
lg =+∞，
lim
n→∞
nn tanarc =+∞，
lim
n→∞
n
nsin
=∞。
例2.3.3 讨论极限
lim
n→∞
an an a n a
bn bn b n b
kk
kk
ll
ll
01
1
1
01
1
1
++++
++++
null
null
,
其中 kl,为正整数,a
0
0≠,b
0
0≠ 。
解
an an a n a
bn bn b n b
kk
kk
ll
ll
01
1
1
01
1
1
++++
++++
null
null
=
+++ +
+++ +
n
a
a
n
a
n
a
n
b
b
n
b
n
b
n
kl
k
k
k
k
l
l
l
l
0
11
1
0
11
1
null
null
。
由于
lim
n→∞
11
0
1
0
11
0
0
1
0
kk
ll
aaa
a
a
nnn
bbb
b
b
nnn
+++ +
=≠
+++ +
null
null
,
可以得到
lim
n→∞
an an a n a
bn bn b n b
kk
kk
ll
ll
01
1
1
01
1
1
++++
++++
null
null
>∞
=
<
=
.,
,,
,,0
0
0
lk
lk
b
a
lk
待定型
分别以 +∞,?∞,∞,0表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
∞
∞±∞ +∞? +∞ +∞ +?∞ ∞
∞
i 等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为待定型。
例如当 lim
n→∞
0
n
aa= ≠ 时,lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + +null
就是
∞
∞
待定型。
下面介绍的Stolz 定理将为求某些类型的待定型极限带来很大的方便。
待定型
分别以 +∞,?∞,∞,0表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
∞
∞±∞ +∞? +∞ +∞ +?∞ ∞
∞
i 等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为 待定型 。
例如当 lim
n→∞
0
n
aa= ≠ 时,lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + +null
就是
∞
∞
待定型。
定义2.3.2
如果数列{ x
n
}满足
x
n 1+
≤
n
x,n = 123,,,null,
则称{ x
n
}为 单调增加数列；
如果数列{ x
n
}满足
x
n 1+
<
n
x,n = 123,,,null,
则称{ x
n
}为 严格单调增加数列。
类似地可定义 单调减少数列 和 严格单调减少数列。
注 因为数列前面有限项的变化不会影响它的收敛性，所以下面遇到单调数列的时候,都可以理解为,从某一项开始为单调的数列” 。
定理2.3.3 (Stolz 定理) 设 {}
n
y 是严格单调增加的正无穷大量，且
lim
n→∞
xx
yy
a
nn
nn
=
1
1
( a可以为有限量,+∞与?∞ ),
则
lim
n→∞
x
y
a
n
n
= 。
证 先考虑 a = 0的情况。
由 lim
n→∞
xx
yy
nn
nn
=
1
1
0，可知 0ε? >,? N
1
,? >nN
1
,
｜ xx
nn
1
｜ ε< (yy
nn
1
)。
定理2.3.3 (Stolz 定理) 设 {}
n
y 是严格单调增加的正无穷大量，且
lim
n→∞
xx
yy
a
nn
nn
=
1
1
( a可以为有限量,+∞与?∞ ),
则
lim
n→∞
x
y
a
n
n
= 。
由于{ y
n
}是正无穷大量，显然可要求 0
1
>
N
y,于是
｜ xx
nN
1
｜≤｜ xx
nn
1
｜+｜ xx
nn
12
｜+ … +｜ xx
NN
11
1+
｜
ε< (yy
nn
1
)+ε (yy
nn
12
)+…+ ε (yy
NN
11
1+
) ε= (yy
nN
1
)。
不等式两边同除以
n
y,得到
≤?
n
N
n
n
y
x
y
x
1
ε
n
N
y
y
1
1 <ε,
对于固定的
1
N,又可以取到
1
NN >,使得 nN?>,ε<
n
N
y
x
1
，从而
n
n
y
x
1
N
n
x
y
ε< +<2ε。
当 a是非零有限数时，令 ′x
n
=xay
nn
,于是由
lim
n→∞
′? ′
=
xx
yy
nn
nn
1
1
lim
n→∞
xx
yy
a
nn
nn
=
1
1
0,
得到 lim
n→∞
′
=
x
y
n
n
0，从而
lim
n→∞
x
y
n
n
= lim
n→∞
′
+=
x
y
aa
n
n
。
对于 a =+∞的情况，首先? N,? >nN,
>?
1nn
xx yy
nn
1
,
这说明{ x
n
}也严格单调增加，且从 >?
Nn
xx yy
nN
可知 {}
n
x 是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n→∞
n
n
y
x
= lim
n→∞
yy
xx
nn
nn
=
1
1
0
因而
lim
n→∞
x
y
n
n
= +∞。
对于 a =?∞的情况，证明方法类同。
证毕例如：若 lim
n→∞
n
aa=,则 lim
n→∞
12 n
aa a
a
n
+ ++
=
null
。这只要在Stolz 定理中令 x
n
=++ +aa a
n12
null,yn
n
= 即可直接得到。
对于 a =+∞的情况，首先? N,? >nN,
>?
1nn
xx yy
nn
1
,
这说明{ x
n
}也严格单调增加，且从 >?
Nn
xx yy
nN
可知 {}
n
x 是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n→∞
n
n
y
x
= lim
n→∞
yy
xx
nn
nn
=
1
1
0
因而
lim
n→∞
x
y
n
n
= +∞。
对于 a =?∞的情况，证明方法类同。
证毕例2.3.4 求极限
lim
n→∞
12
1
kk k
k
n
n
+++
+
null
(k为正整数)。
解 令 x
n
= + + +12
kk k
nnull,yn
n
k
=
+1
，由
lim
n→∞
xx
yy
nn
nn
=
1
1
lim
n→∞
n
nn
k
kk++
11
1()
= lim
n→∞
n
kn n k
k
k
k
k
()C+? +
=
+
+
1
1
1
1
21
null
,
得到
lim
n→∞
12
1
kk k
k
n
n
+++
+
null
=
+
1
1k
。
例2.3.5 设 lim
n→∞
a
n
= a,求极限
lim
n→∞
aa na
n
n12
2
2+ + +null
。
解 令 x
n
= + + +aa na
n12
2 null,yn
n
=
2
，由
lim
n→∞
xx
yy
nn
nn
=
1
1
lim
n→∞
na
nn
n
22
1()
=lim
n→∞
na
n
n
21?
=
a
2
,
得到
lim
n→∞
aa na
n
n12
2
2+ + +null
=
a
2
。
