含参变量常义积分的定义设
),( yxf
是定义在闭矩形
],[],[ dcba?
上的连续函数，对于任意固定的
],[ dcy?
，
),( yxf
是
],[ ba
上关于 x 的一元连续函数，因此它在
],[ ba
上的积分存在，且积分值
(,)d
b
a
f x y x?
由
y
唯一确定。也就是说,
( ) (,) d,[,]
b
a
I y f x y x y c d
确定了一个关于
y
的一元函数。由于式中的
y
可以看成一个参变量，
所以称它为 含参变量
y
的积分 。同理可定义含参变量 x 的积分
( ) (,) d
d
c
J x f x y y
，
],[ bax?
。它们统称 含参变量常义积分,一般就称为 含参变量积分 。
第十五章 含参变量积分
§ 1 含参变量的常义积分例如计算椭圆
)0(1
2
2
2
2
ab
b
y
a
x
的周长时，利用椭圆的参数方程
tbytax s i n,c o s
，记 L 为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四分之一为
π π
2 2 2 2 2 2 2 2
22
00
π π22
2 2 2
22
2
00
d sin c os d sin ( 1 sin ) d
1 sin d 1 sin d,
s a t b t t a t b t t
ba
b t t b k t t
b




L
这里
b
ab
k
22
。
222
0
1 s in dk t t

就是含参变量
k
的积分，称 为 第二类完全椭圆积分 。遗憾的是，
被积函数
tk 22 s i n1?
的原函数不能用初等函数表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计算的方法。
L
x
z
O
图 15.1.1
含参变量常义积分的分析性质定理 1 5,1,1 （连续性定理） 设 ),( yxf 在闭矩形?D ],[],[ dcba? 上连续,则函数
( ) (,) dbaI y f x y x
在 ],[ dc 上连续 。
证 因为
),( yxf
在闭矩形 D 上连续，所以一致连续。因此对于任意给定的 0,存在 0,使得对于任意两点
),,( 11 yx?),( 22 yx D
，当
221221 )()( yyxx
时，成立
|),(),(| 2211 yxfyxf
。
对任意定点
],[0 dcy?
，只要
|| 0yy
，就有
00
0
| ( ) ( ) | [ (,) (,) ] d
| (,) (,) | d ( ),
b
a
b
a
I y I y f x y f x y x
f x y f x y x b a?


这说明
)( yI
在
],[ dc
上连续。
含参变量常义积分的分析性质定理 1 5,1,1 （连续性定理） 设 ),( yxf 在闭矩形?D ],[],[ dcba? 上连续,则函数
( ) (,) dbaI y f x y x
在 ],[ dc 上连续 。
由这个结论可知
00
l i m (,) d l i m (,) dbbaay y y yf x y x f x y x,],[0 dcy? 。
即 极限运算与积分号可以交换 。
例 1 5,1,1 求
1
200
dl i m
1 c os
x
xx
。
解 由于函数
xx
xf
c o s1
1),(
2
在闭矩形



2
1,
2
1]1,0[ 上连续，因此由定理 1 5,1,1,
1 1 1
2 2 20 0 000
d d 1 πl im l im d
1 c o s 1 c o s 1 4
xx x
x x x x x


。
由这个结论可知
00
l i m (,) d l i m (,) dbbaay y y yf x y x f x y x,],[0 dcy? 。
即 极限运算与积分号可以交换 。
定理 1 5,1,2 （积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在闭矩形 ],[],[ dcba?
上连续,则
d (,) d d (,) dd b b d
c a a c
y f x y x x f x y y
。
证 由于 ),( yxf 在 ],[],[ dcba? 上连续，因此由二重积分的计算公式可知
[,] [,]
d (,)d (,)d d d (,)d
d b b d
c a a c
a b c d
y f x y x f x y x y x f x y y

。
例 1 5,1,2 计算
1
0
d
ln
baxx
Ix
x

，其中 0 ab 。
解 由于
d
ln
ba
b
y
a
xx
xy
x

,
因此
1
0
dd
b y
a
I x x y
。
由于
yxyxf?),(
在闭矩形
],[]1,0[ ba?
上连续，所以积分次序可以交换，
即
11
00
11
d d d d d l n
11
b b b
yy
a a a
b
I x x y y x x y
ya


。
定理 1 5,1,3 （积分号下求导定理） 设
),(),,( yxfyxf y
都在闭矩形
],[],[ dcba?
上连续,则
)( yI
在
],[ dc
上可导,并且在
],[ dc
上成立
d ( )
(,)d
d
b
y
a
Iy
f x y x
y

。
证 对任意
],[ dcy?
，当
],[ dcyy
时，利用微分中值定理,
( ) ( ) (,) (,)
d (,)d
bb
y
aa
I y y I y f x y y f x y
x f x y y x
yy



( 10 ) 。
由定理 1 5,1,1,即有
00
0
d ( ) ( ) ( )
l i m l i m (,) d
d
l i m (,) d (,) d,
b
y
ayy
bb
yy
aa y
I y I y y I y
f x y y x
yy
f x y y x f x y x






这个定理的结论也可写为
d (,) d (,) d
d
bb
aa f x y x f x y xyy


。
这说明求导运算与积分号可以交换。
定理 1 5,1,3 （积分号下求导定理） 设
),(),,( yxfyxf y
都在闭矩形
],[],[ dcba?
上连续,则
)( yI
在
],[ dc
上可导,并且在
],[ dc
上成立
d ( )
(,)d
d
b
y
a
Iy
f x y x
y

。
证 对任意
],[ dcy?
，当
],[ dcyy
时，利用微分中值定理,
( ) ( ) (,) (,)
d (,)d
bb
y
aa
I y y I y f x y y f x y
x f x y y x
yy



( 10 ) 。
由定理 1 5,1,1,即有
00
0
d ( ) ( ) ( )
l i m l i m (,) d
d
l i m (,) d (,) d,
b
y
ayy
bb
yy
aa y
I y I y y I y
f x y y x
yy
f x y y x f x y x






定理 1 5,1,4 设
),(),,( yxfyxf y
都是闭矩形 ],[],[ dcba? 上的连续函数,又设 )(),( ybya 是在 ],[ dc 上的可导函数,满足 bybabyaa )(,)(,
则函数
()
()
( ) (,) dby
ay
F y f x y x
在 ],[ dc 上可导,并且在 ],[ dc 上成立
()
()
( ) (,) d ( ( ),) ( ) ( ( ),) ( )by y
ay
F y f x y x f b y y b y f a y y a y
。
证 将
)( yF
写成复合函数形式
( ) (,) d (,,)
v
u
F y f x y x I y u v
，
)(),( ybvyau
。
由定理 1 5,1,3,
(,,) (,) d
v
y
u
I
u v y f x y x
y
,
容易验证
)( y,v,u
y
I
是连续函数。由积分上限函数的求导法则,
),(),,( yvf
v
I
yuf
u
I

,
它们都是连续的。所以函数
),,( vuyI
可微，于是按复合函数的链式规则得到
dd
( ) (,,)
dd
I I u I v
F y I y u v
y y u y v y



()
()
(,) d ( ( ),) ( ) ( ( ),) ( )
by
y
ay
f x y x f b y y b y f a y y a y
。
注意这时我们顺便得到：函数
)( yF
在
],[ dc
上连续 。
例 1 5,1,3 设
0
l n( 1 )( ) dy xyF y x
x
,0?y,
求 )( yF? 。
解
22
2
0
0
l n ( 1 ) d l n ( 1 ) l n ( 1 ) 2
( ) l n ( 1 )
1
y
yy x y x y
F y y
y x y y y y



。
例 1 5,1,4 计算
π
0
( ) l n ( 1 c o s ) d ( | | 1 )I x x
。
解 对于任意满足
1||
的?,必有正数 1?a,使得
a?||?
。记
)c o s1l n (),( xxf
，易知
),(?xf
与
x
x
xf
c o s1
c o s
),(

都 在 闭 矩 形
[0,π ] [,]aa
上连续。因此由定 理 1 5,1,3,
π π π
0 0 0
c o s 1 1 π 1d
( ) d 1 d
1 c o s 1 c o s 1 c o s
xx
I x x
x x x




。
对于最后一个积分，作万能代换
2
t a n
x
t?
，就得到
π
22
0 0 0
2
d 2 d 2 d
11 c o s 1 ( 1 ) 1
1
1
x t t
x t t
t





22
0
21 π
a r c t a n
111
t






。
于是
2
π π
()
1
I?


。
在此式两边对
积分，即得到
2() π l n ( 1 1 )IC
。
由于
0)0(?I
，代入上式得到
π l n 2C
，于是
2
11
() π ln
2
I

。