F o urier 级数的分析性质为简单起见，假定
f x( )
的周期为 2 π 。
首先，利用 R i e ma n n 引理可以直接得出定理 1 6,3,1 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或绝对可积，则对于
f x( )
的
Fou ri er 系数
na
与
nb
，有
0l i m?
nn
a
，
0lim?
nn
b
。
§ 3 Fourier级数的性质定理 1 6,3,2（ F o uri er 级数的 逐项积分定理） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上可积或绝对可积,
f x( ) ~ a a nx b nx
n n
n
0
12
( co s s in )
,
则 f x( ) 的 F o u ri er 级数可以 逐项积分，即对于任意,[ π,π ]cx,
( ) dx
c
f t t? 0
1
d ( c o s s i n )d
2
xx
nncc
n
a t a n t b n t t?
。
证 这里仅对 f x( ) 在 [ π,π ]? 上 只有有限个第一类不连续点的情况加以证明。
定理 1 6,3,2（ F o urier 级数的 逐项积分定理） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上可积或绝对可积,
f x( ) ~ a a nx b nx
n n
n
0
12
( co s s in )
,
则 f x( ) 的 F o u ri er 级数可以 逐项积分，即对于任意,[ π,π ]cx,
( ) dx
c
f t t? 0
1
d ( c o s s i n )d
2
xx
nncc
n
a t a n t b n t t?
。
考虑函数
F x( )? 0
( ) d
2
x
c
a
f t t
。
由定理 7,3,1 可知
F x( )
是周期为
2?
的连续函数，且在
f x( )
的连续点，成立
F x f x
a
( ) ( )
0
2
，而在
f x( )
的第一类不连续点，
F x( )
的两个单侧导数
)( xF )( xf
-
2
0a
都存在。由 D i n i - L i p s c h i t z 判别法的 推论，
F x( )
可展开为 收敛 的 Fo u ri er
级数
F x( )? A
A nx B nx
n n
n
0
12
( c o s s in )
。
利用 分部积分法，即有
A n? π
- π
1
( ) c os d
π
F x nx x?
π
π
π
- π
1 sin 1
( ) ( ) sin d
π π
nx
F x F x nx x
nn?
π
0
π
1
( ) s i n d
π 2
a
f x n x x
n?
b
n
n
。
类似可得
B
a
nn
n?
。
于是
F x( )?
1
0
s i nc o s
2 n
nn
nx
n
a
nx
n
bA
,
令 x c?,有
1
0 s i nc o s
2
0
n
nn nc
n
a
nc
n
bA,
两式相减并整理，即得到
F x( )? 0
( ) d
2
x
c
a
f t t
1
c o sc o ss ins in
n
nn n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
( c o s s in ) d
x
nnc
n
a n t b n t t
。
定理 1 6,3,2 说明，只要 f x( ) 可以展成 F o u r i er 级数
f x( ) ~ a a nx b nx
n nn
0
12
( co s s in ),
哪怕这个级数并不表示 f x( ),甚至根本不收敛，它的 逐项积分 级数也一定能收敛于 )( xf 的积分 。
令 x c?,有
1
0 s i nc o s
2
0
n
nn nc
n
a
nc
n
bA,
两式相减并整理，即得到
F x( )? 0
( ) d
2
x
c
a
f t t
1
c o sc o ss ins in
n
nn n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
( c o s s in ) d
x
nnc
n
a n t b n t t
。
从 定理 1 6,3,2 的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fo u ri er 级数的一个必要条件。
推论 1 6,3,1 a
a nx b nxn n
n
0
12
( co s s in )
是某个在 [ π,π ]? 上 可积或绝对可积函数的 F o u ri er 级数的必要条件是 b
n
n
n?
1
收敛 。
由推论 1 6,3,1 可知 并不是 任意一个收敛的三角 级数就一定是某个 可积或绝对可积 函数的 F o u r i er 级数 的。比如三角 级数
2 ln
s in
n n
nx,由
D i ri c h l et 判别法可知它是点点收敛的，但由于
2 ln
1
n nn
发散，它不可能是某个 可积或绝对可积 函数的 F o u ri er 级数。
从 定理 1 6,3,2 的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fo u ri er 级数的一个必要条件。
推论 1 6,3,1 a
a nx b nxn n
n
0
12
( co s s in )
是某个在 [ π,π ]? 上 可积或绝对可积函数的 F o u ri er 级数的必要条件是 b
n
n
n?
1
收敛 。
Fo u ri e r 级数 逐项微分 的 结果就远没有这么好了。一般说来，
Fo u ri er 级数是不能 逐项微分 的,除非是加上特别的条件。
定理 1 6,3,3（ F o uri er 级数的 逐项微分定理 ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上连续,
f x( ) ~ a
a nx b nx
n n
n
0
12
( co s s in )
,
( π )( π )ff
，且除了有限个点外
)( xf
可导。进一步假设
f x( )
在
[ π,π ]?
上可积或绝对可积（注意：
f x( )
在有限个点可能无定义，但这并不影响其可积性） 。则
f x( )
的 F o u ri er 级数可由
f x( )
的 F o u ri er 级数 逐项 微分得到，即
f x( ) ~
0
1
dd
( c o s s i n )
d 2 d
nn
n
a
a n x b n x
xx
1
)c o ss in(
n
nn
nxnbnxna
。
证 由定理条件，
f x( )
可展开为 F o u ri er 级数。 记
f x( )
的 Fo u ri er
系数为
a bn n和
，则有,
a 0 π
π
1
( ) d
π
f x x
1
[( π )( π ) ] 0
π
ff
,
a n π
π
1
( ) c o s d
π
f x n x x
π
- π
( ) co s
π
f x n x
π
π
( ) s i n d
π
n
f x n x x
nb n
,
,2,1?n
,
b n π
π
1
( ) sin d
π
f x n x x
na n
,
,2,1?n
。
于是
f x( ) ~
( s in cos )
a n nx b n nxn n
n 1
。
F o uri er 级数的逼近性质定义 1 6,3,1 设
S
是一个定义了内积运算
(,)
的线性空间,取
S
中的范数为
(,)
,
T 是 S 一个 n 维子空间,记 T 的一组正交基为
n,,,21?
,即
12s p a n {,,,}nT
,
若对于
xS
,有
1 1 2 2 nnc c cTxT
,
使得
x x T?
m i n
yT
xy
,
则称
x T
是 x 在 T 中的 最佳平方逼近元素 。
x
x x? T
T
x T
图 16.3.1
引理 1 6,3,1 在上述假定下,
（ 1 ）对于任意
xS
,x 在 T 中的最佳平方逼近元素
x T
存在且唯一；
（ 2 ）
TxT
是 x 在 T 中的最佳平方逼近元素的充分必要条件是
Tx x T
，即
0),( kT?xx
,
nk,,2,1
,
或者等价地，
x T
的组合系数为
kc
),(
),(
kk
k
x
,
nk,,2,1；
（ 3 ）最佳平方逼近的余项满足估计式
x x T? 2? x 2? x T 2? x 2 2
1
2
k
n
k
k
c
。
x
x x? T
T
图 16.3.1
Tx
证 先证（ 1 ）和（ 3 ）。
令
kc
),(
),(
kk
k
x
，则 对于任意的
1 1 2 2 nnd d dyT
,
利用
0),(?kj
（
kj?
），得到
2
11
2
11
2 2 2
2
11
2 2 2
22
11
,
(,) 2 (,) (,)
2
( ),
nn
k k k k
kk
nn
k k k k k
kk
nn
k k k k k
kk
nn
k k k k k
kk
dd
dd
c d d
c c d
x y x x
x x x
x
x
于是当且仅当
kk cd?
，
nk,,2,1
时，
yx?
达到最小值。因此取
n
k
kkT c
1
x
，则
x x T? m in
yT
xy
,
且
x x T? 2? x 2 2
1
2
k
n
j
kc
x 2 2Tx?
。
再证（ 2 ）。
对于每个
nk,,2,1
,x 在 T 中的最佳平方逼近元素
n
k
kkT
c
1
x
满足
22
11
(,),(,) (,) 0
nn
T k j j k k j j k k k k k
jj
c c c c
x x x x
。
反之,若
1 1 2 2 nnd d dyT
满足
0),( k?yx
,
nk,,2,1
,
那么,
),(),(),(),(),(),(0
1
kkkkk
n
j
jjkkk
dd
xxyx
，
nk,,2,1
。
因此
kd
),(
),(
kk
k
x
=
kc
,
即
Txy?
。
现在，具体地取
S
为
[ π,π ]?
上 R i e m a n n 可积或在反常积分意义下平方可积 ( 为方便起见，以下都简称为“可积或平方可积” ) 的函数
f x( )
全体。
S
中的内积
(,)
和范数
定义为
(,)f g π
π
1
( ) ( ) d
π
f x g x x
,
f f f? (,)
。
记 T 为
n
阶三角多项式
n
k
kk
kxBkxA
A
1
0
)s i nc o s(
2
的全体，利用前面已得到的正交性，可将 T 表示为
sp a n?T }s i n,c o s,,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1{ nxnxxxxx?
,
这时，有
1 22?
和
1s i nc o s 22 kxkx
,
nk,,2,1
。
由 Fo u ri er 系数的 E u l e r - F o u ri er 公式，得到
)c o s,( kxf π
π
1
( ) c o s d
π
f x k x x
na?
,
nk,,2,1,0
,
)s i n,( kxf
π
π
1
( ) s i n d
π
f x k x x
kb?
,
nk,,2,1
,
于是，由引理 1 6,3,1 即得到下面的重要结论。
定理 1 6,3,4 （ F o u ri er 级数 的平方逼近性质 ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或平方可积，则
f x( )
在 T 中的最佳平方逼近元素恰为
f x( )
的
Fo u ri er 级数的部分和函数
n
k
kkn kxbkxa
a
xS
1
0 )s inc o s(
2
)(
,
逼近的余项为
2
nSf?
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
n
k
kk ba
a
1
22
2
0 )(
2
。
因为 0
2 nSf
，在 余项中令n,即得到推论 1 6,3,2 （ Be s s el 不等式） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上 可积或平方可积，则 f x( ) 的 Fo u r i er 系数满足不等式
1
22
2
0 )(
2 k kk
baa π 2π1 ( ) dπ f x x
。
这表示 F o u r i er 系数的平方组成了一个收敛的级数。
定理 1 6,3,4 （ F o u ri er 级数 的平方逼近性质 ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或平方可积，则
f x( )
在 T 中的最佳平方逼近元素恰为
f x( )
的
Fo u ri er 级数的部分和函数
n
k
kkn kxbkxa
a
xS
1
0 )s inc o s(
2
)(
,
逼近的余项为
2
nSf?
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
n
k
kk ba
a
1
22
2
0 )(
2
。
进一步的研究表明，上面的不等式实际上是一个 等式，称为
P a r s e v a l 等式 （又称 能量恒等式 ）。
定理 1 6,3,5 （ P a rs e v a l 等式） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上 可积或平方可积，则成立 等式
1
22
2
0 )(
2 k kk
baa
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
。
证明从略。
定义 1 6,3,2 若函数序列 )}({ x
n?
满足
0)()(l im 2 xxf nn?
,
这里 f x( ) 是某一个固定函数,则称 )}({ x
n?
按范数? 平方收敛 于 f x( ),
简称 )( x
n?
平方收敛于 f x( ) 。
由 P a r s e v a l 等式
2li m
nn Sf
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
0)(
2 1
22
2
0?
k
kk ba
a,
即 得到下述 重要的结论,
推论 1 6,3,3 （ F o urier 级数 的平方收敛性质 ） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上可积或平方可积，则 f x( ) 的 F o u r i e r 级数的部分和函数 序列 平方收敛于 f x( ) 。
定义 1 6,3,2 若函数序列 )}({ x
n?
满足
0)()(l im 2 xxf nn?
,
这里 f x( ) 是某一个固定函数,则称 )}({ x
n?
按范数? 平方收敛 于 f x( ),
简称 )( x
n?
平方收敛于 f x( ) 。
对于一致收敛，我们不加证明地引进一个同样重要的结论。
定理 1 6,3,6 （ W e i e r s t r a s s 第二逼近定理 ） 对周期为 2 π 的任意一个连续函数 f x( ),都存在三角多项式序 列
n
k
kkn kxBkxA
Ax
1
0 )s i nc o s(
2
)(?
,
使得 )}({ x
n?
一致收敛于 f x( ) 。
等周问题在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
定理 1 6,3,7 平面上具有定长的所有简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。换言之，若 L 是平面上简单闭曲线 C 的长度,A 是曲线 C 所围图形的面积，则
2
4 π
LA?,
且等号成立时,C 必须是圆周。
注 2
4 π
L 就是周长为 L 的圆所围的面积。
等周问题在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
现在仅对平面上分段光滑的简单闭曲线加以讨论。以下的证明是
H u rw i t z 在 1 9 0 2 年给出的。
引理 1 6,3,2 （ W i rt i ng er ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上连续,
( π )( π )ff
，
π
π
( ) d 0f x x
,且除了有限个点外
)( xf
可导，但在不可导点，
)( xf
的单侧导数存在。进一步假设，
f x( )
的导数
)( xf?
在
[ π,π ]?
上 可积或平方可积，则
π π22
π π
( ) d ( ) d,f x x f x x
等号成立当且仅当
xbxaxf s i nc o s)(
（
ba,
为常数）。
证 由 推论 1 6,2,3,
)( xf
的 F o u r i er 级数在
[ π,π ]?
上点点收敛于
)( xf
。由于
π
0 π
1 ( ) d 0
π
a f x x
，所以
)( xf
1
)s inc o s(
n
nn nxbnxa
,
[ π,π ]x；
进一步，由 定理 1 6,3,3,
f x( ) ~
1
)c o ss in(
n
nn nxnbnxna
。
于是，由 Pa rs e v a l 等式得到
π
2
π
1
[ ( )] d
π
f x x
1
22
)(
k
kk
ba
,
π
2
π
1
[ '( ) ] d
π
f x x
2 2 2
1
()
kk
k
k a b
及
π π
22
π π
( ) d ( ) df x x f x x
2 2 2
2
π ( 1 ) ( )
kk
k
k a b
。
上式说明
π π
22
π π
( ) d ( ) d 0f x x f x x
，并且等号成立当 且仅当
0,0 nn ba
（
,3,2?n
），即
xbxaxf s i nco s)( 11
。
定理 1 6,3,7 的证明设曲线 C 以弧长为参数的方程为
)( sxx?
，
)( syy?
,
],0[ Ls?
,
且参数 s 从 0 变到 L 时，点
))(),(( sysx
沿逆时针方向画出曲线 C 。因为 C
是闭曲线，所以
)()0( Lxx?
，
)()0( Lyy?
。作变量代换
2 π 2
LL
st
，可将该曲线的方程改写为
)( tx
，
)( ty
，
[ π,π ]t
,
且成立
( π )( π )
，
( π )( π )
。
不妨假设 π
π
( )d 0tt?
。若 π
π
( )d 0t t k?
，则可考虑闭曲线 C~,
2 π
kxx ()
2 π
kt,)(~ tyy （ [ π,π ]t ）,
C~ 是 C 的一个平移，其所围图形的面积与 C 所围图形的面积相同,
且满足
π
π
( ) d 0
2 π
ktt?
。
定理 1 6,3,7 的证明设曲线 C 以弧长为参数的方程为
)( sxx?
，
)( syy?
,
],0[ Ls?
,
且参数 s 从 0 变到 L 时，点
))(),(( sysx
沿逆时针方向画出曲线 C 。因为 C
是闭曲线，所以
)()0( Lxx?
，
)()0( Lyy?
。作变量代换
2 π 2
LL
st
，可将该曲线的方程改写为
)( tx
，
)( ty
，
[ π,π ]t
,
且成立
( π )( π )
，
( π )( π )
。
由
2 π 2
LL
st
，可知
22
22
2
( ) ( )
4 π
L d s
tt
dt
,
[ π,π ]t
,
对上式在
[ π,π ]?
上取定积分，得到
2
π
22
π
( ) ( ) d
2 π
L
t t t
。
因为
C
所围图形的面积
π
π
d ( ) ( ) d
C
A x y t t t
，因此
2
π
22
π
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) d
2 π
L
A t t t t t
π π 2
22
π π
( ) ( ) d ( ) ( ) dt t t t t t
。
由引理 1 6,3,2,成立
π
22
π
( ) ( ) d 0t t t
，所以
2
4 π
L
A?
,
等号成立当且仅当
π
22
π
( ) ( ) d 0t t t
,
π 2
π
( ) ( ) d 0t t t
,
即
tbtat s i nc o s)(
，
)()( tt
,
[ π,π ]t
。
这时 C 的参数方程为
,c o ss i n)(
,s i nc o s)(
ctbtaty
tbtatx
[ π,π ]t
,
即 C 是一个圆周。
f x( )
的周期为 2 π 。
首先，利用 R i e ma n n 引理可以直接得出定理 1 6,3,1 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或绝对可积，则对于
f x( )
的
Fou ri er 系数
na
与
nb
，有
0l i m?
nn
a
，
0lim?
nn
b
。
§ 3 Fourier级数的性质定理 1 6,3,2（ F o uri er 级数的 逐项积分定理） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上可积或绝对可积,
f x( ) ~ a a nx b nx
n n
n
0
12
( co s s in )
,
则 f x( ) 的 F o u ri er 级数可以 逐项积分，即对于任意,[ π,π ]cx,
( ) dx
c
f t t? 0
1
d ( c o s s i n )d
2
xx
nncc
n
a t a n t b n t t?
。
证 这里仅对 f x( ) 在 [ π,π ]? 上 只有有限个第一类不连续点的情况加以证明。
定理 1 6,3,2（ F o urier 级数的 逐项积分定理） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上可积或绝对可积,
f x( ) ~ a a nx b nx
n n
n
0
12
( co s s in )
,
则 f x( ) 的 F o u ri er 级数可以 逐项积分，即对于任意,[ π,π ]cx,
( ) dx
c
f t t? 0
1
d ( c o s s i n )d
2
xx
nncc
n
a t a n t b n t t?
。
考虑函数
F x( )? 0
( ) d
2
x
c
a
f t t
。
由定理 7,3,1 可知
F x( )
是周期为
2?
的连续函数，且在
f x( )
的连续点，成立
F x f x
a
( ) ( )
0
2
，而在
f x( )
的第一类不连续点，
F x( )
的两个单侧导数
)( xF )( xf
-
2
0a
都存在。由 D i n i - L i p s c h i t z 判别法的 推论，
F x( )
可展开为 收敛 的 Fo u ri er
级数
F x( )? A
A nx B nx
n n
n
0
12
( c o s s in )
。
利用 分部积分法，即有
A n? π
- π
1
( ) c os d
π
F x nx x?
π
π
π
- π
1 sin 1
( ) ( ) sin d
π π
nx
F x F x nx x
nn?
π
0
π
1
( ) s i n d
π 2
a
f x n x x
n?
b
n
n
。
类似可得
B
a
nn
n?
。
于是
F x( )?
1
0
s i nc o s
2 n
nn
nx
n
a
nx
n
bA
,
令 x c?,有
1
0 s i nc o s
2
0
n
nn nc
n
a
nc
n
bA,
两式相减并整理，即得到
F x( )? 0
( ) d
2
x
c
a
f t t
1
c o sc o ss ins in
n
nn n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
( c o s s in ) d
x
nnc
n
a n t b n t t
。
定理 1 6,3,2 说明，只要 f x( ) 可以展成 F o u r i er 级数
f x( ) ~ a a nx b nx
n nn
0
12
( co s s in ),
哪怕这个级数并不表示 f x( ),甚至根本不收敛，它的 逐项积分 级数也一定能收敛于 )( xf 的积分 。
令 x c?,有
1
0 s i nc o s
2
0
n
nn nc
n
a
nc
n
bA,
两式相减并整理，即得到
F x( )? 0
( ) d
2
x
c
a
f t t
1
c o sc o ss ins in
n
nn n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
( c o s s in ) d
x
nnc
n
a n t b n t t
。
从 定理 1 6,3,2 的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fo u ri er 级数的一个必要条件。
推论 1 6,3,1 a
a nx b nxn n
n
0
12
( co s s in )
是某个在 [ π,π ]? 上 可积或绝对可积函数的 F o u ri er 级数的必要条件是 b
n
n
n?
1
收敛 。
由推论 1 6,3,1 可知 并不是 任意一个收敛的三角 级数就一定是某个 可积或绝对可积 函数的 F o u r i er 级数 的。比如三角 级数
2 ln
s in
n n
nx,由
D i ri c h l et 判别法可知它是点点收敛的，但由于
2 ln
1
n nn
发散，它不可能是某个 可积或绝对可积 函数的 F o u ri er 级数。
从 定理 1 6,3,2 的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fo u ri er 级数的一个必要条件。
推论 1 6,3,1 a
a nx b nxn n
n
0
12
( co s s in )
是某个在 [ π,π ]? 上 可积或绝对可积函数的 F o u ri er 级数的必要条件是 b
n
n
n?
1
收敛 。
Fo u ri e r 级数 逐项微分 的 结果就远没有这么好了。一般说来，
Fo u ri er 级数是不能 逐项微分 的,除非是加上特别的条件。
定理 1 6,3,3（ F o uri er 级数的 逐项微分定理 ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上连续,
f x( ) ~ a
a nx b nx
n n
n
0
12
( co s s in )
,
( π )( π )ff
，且除了有限个点外
)( xf
可导。进一步假设
f x( )
在
[ π,π ]?
上可积或绝对可积（注意：
f x( )
在有限个点可能无定义，但这并不影响其可积性） 。则
f x( )
的 F o u ri er 级数可由
f x( )
的 F o u ri er 级数 逐项 微分得到，即
f x( ) ~
0
1
dd
( c o s s i n )
d 2 d
nn
n
a
a n x b n x
xx
1
)c o ss in(
n
nn
nxnbnxna
。
证 由定理条件，
f x( )
可展开为 F o u ri er 级数。 记
f x( )
的 Fo u ri er
系数为
a bn n和
，则有,
a 0 π
π
1
( ) d
π
f x x
1
[( π )( π ) ] 0
π
ff
,
a n π
π
1
( ) c o s d
π
f x n x x
π
- π
( ) co s
π
f x n x
π
π
( ) s i n d
π
n
f x n x x
nb n
,
,2,1?n
,
b n π
π
1
( ) sin d
π
f x n x x
na n
,
,2,1?n
。
于是
f x( ) ~
( s in cos )
a n nx b n nxn n
n 1
。
F o uri er 级数的逼近性质定义 1 6,3,1 设
S
是一个定义了内积运算
(,)
的线性空间,取
S
中的范数为
(,)
,
T 是 S 一个 n 维子空间,记 T 的一组正交基为
n,,,21?
,即
12s p a n {,,,}nT
,
若对于
xS
,有
1 1 2 2 nnc c cTxT
,
使得
x x T?
m i n
yT
xy
,
则称
x T
是 x 在 T 中的 最佳平方逼近元素 。
x
x x? T
T
x T
图 16.3.1
引理 1 6,3,1 在上述假定下,
（ 1 ）对于任意
xS
,x 在 T 中的最佳平方逼近元素
x T
存在且唯一；
（ 2 ）
TxT
是 x 在 T 中的最佳平方逼近元素的充分必要条件是
Tx x T
，即
0),( kT?xx
,
nk,,2,1
,
或者等价地，
x T
的组合系数为
kc
),(
),(
kk
k
x
,
nk,,2,1；
（ 3 ）最佳平方逼近的余项满足估计式
x x T? 2? x 2? x T 2? x 2 2
1
2
k
n
k
k
c
。
x
x x? T
T
图 16.3.1
Tx
证 先证（ 1 ）和（ 3 ）。
令
kc
),(
),(
kk
k
x
，则 对于任意的
1 1 2 2 nnd d dyT
,
利用
0),(?kj
（
kj?
），得到
2
11
2
11
2 2 2
2
11
2 2 2
22
11
,
(,) 2 (,) (,)
2
( ),
nn
k k k k
kk
nn
k k k k k
kk
nn
k k k k k
kk
nn
k k k k k
kk
dd
dd
c d d
c c d
x y x x
x x x
x
x
于是当且仅当
kk cd?
，
nk,,2,1
时，
yx?
达到最小值。因此取
n
k
kkT c
1
x
，则
x x T? m in
yT
xy
,
且
x x T? 2? x 2 2
1
2
k
n
j
kc
x 2 2Tx?
。
再证（ 2 ）。
对于每个
nk,,2,1
,x 在 T 中的最佳平方逼近元素
n
k
kkT
c
1
x
满足
22
11
(,),(,) (,) 0
nn
T k j j k k j j k k k k k
jj
c c c c
x x x x
。
反之,若
1 1 2 2 nnd d dyT
满足
0),( k?yx
,
nk,,2,1
,
那么,
),(),(),(),(),(),(0
1
kkkkk
n
j
jjkkk
dd
xxyx
，
nk,,2,1
。
因此
kd
),(
),(
kk
k
x
=
kc
,
即
Txy?
。
现在，具体地取
S
为
[ π,π ]?
上 R i e m a n n 可积或在反常积分意义下平方可积 ( 为方便起见，以下都简称为“可积或平方可积” ) 的函数
f x( )
全体。
S
中的内积
(,)
和范数
定义为
(,)f g π
π
1
( ) ( ) d
π
f x g x x
,
f f f? (,)
。
记 T 为
n
阶三角多项式
n
k
kk
kxBkxA
A
1
0
)s i nc o s(
2
的全体，利用前面已得到的正交性，可将 T 表示为
sp a n?T }s i n,c o s,,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1{ nxnxxxxx?
,
这时，有
1 22?
和
1s i nc o s 22 kxkx
,
nk,,2,1
。
由 Fo u ri er 系数的 E u l e r - F o u ri er 公式，得到
)c o s,( kxf π
π
1
( ) c o s d
π
f x k x x
na?
,
nk,,2,1,0
,
)s i n,( kxf
π
π
1
( ) s i n d
π
f x k x x
kb?
,
nk,,2,1
,
于是，由引理 1 6,3,1 即得到下面的重要结论。
定理 1 6,3,4 （ F o u ri er 级数 的平方逼近性质 ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或平方可积，则
f x( )
在 T 中的最佳平方逼近元素恰为
f x( )
的
Fo u ri er 级数的部分和函数
n
k
kkn kxbkxa
a
xS
1
0 )s inc o s(
2
)(
,
逼近的余项为
2
nSf?
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
n
k
kk ba
a
1
22
2
0 )(
2
。
因为 0
2 nSf
，在 余项中令n,即得到推论 1 6,3,2 （ Be s s el 不等式） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上 可积或平方可积，则 f x( ) 的 Fo u r i er 系数满足不等式
1
22
2
0 )(
2 k kk
baa π 2π1 ( ) dπ f x x
。
这表示 F o u r i er 系数的平方组成了一个收敛的级数。
定理 1 6,3,4 （ F o u ri er 级数 的平方逼近性质 ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上 可积或平方可积，则
f x( )
在 T 中的最佳平方逼近元素恰为
f x( )
的
Fo u ri er 级数的部分和函数
n
k
kkn kxbkxa
a
xS
1
0 )s inc o s(
2
)(
,
逼近的余项为
2
nSf?
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
n
k
kk ba
a
1
22
2
0 )(
2
。
进一步的研究表明，上面的不等式实际上是一个 等式，称为
P a r s e v a l 等式 （又称 能量恒等式 ）。
定理 1 6,3,5 （ P a rs e v a l 等式） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上 可积或平方可积，则成立 等式
1
22
2
0 )(
2 k kk
baa
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
。
证明从略。
定义 1 6,3,2 若函数序列 )}({ x
n?
满足
0)()(l im 2 xxf nn?
,
这里 f x( ) 是某一个固定函数,则称 )}({ x
n?
按范数? 平方收敛 于 f x( ),
简称 )( x
n?
平方收敛于 f x( ) 。
由 P a r s e v a l 等式
2li m
nn Sf
π 2
π
1 ( ) d
π
f x x
0)(
2 1
22
2
0?
k
kk ba
a,
即 得到下述 重要的结论,
推论 1 6,3,3 （ F o urier 级数 的平方收敛性质 ） 设 f x( ) 在 [ π,π ]? 上可积或平方可积，则 f x( ) 的 F o u r i e r 级数的部分和函数 序列 平方收敛于 f x( ) 。
定义 1 6,3,2 若函数序列 )}({ x
n?
满足
0)()(l im 2 xxf nn?
,
这里 f x( ) 是某一个固定函数,则称 )}({ x
n?
按范数? 平方收敛 于 f x( ),
简称 )( x
n?
平方收敛于 f x( ) 。
对于一致收敛，我们不加证明地引进一个同样重要的结论。
定理 1 6,3,6 （ W e i e r s t r a s s 第二逼近定理 ） 对周期为 2 π 的任意一个连续函数 f x( ),都存在三角多项式序 列
n
k
kkn kxBkxA
Ax
1
0 )s i nc o s(
2
)(?
,
使得 )}({ x
n?
一致收敛于 f x( ) 。
等周问题在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
定理 1 6,3,7 平面上具有定长的所有简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。换言之，若 L 是平面上简单闭曲线 C 的长度,A 是曲线 C 所围图形的面积，则
2
4 π
LA?,
且等号成立时,C 必须是圆周。
注 2
4 π
L 就是周长为 L 的圆所围的面积。
等周问题在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
现在仅对平面上分段光滑的简单闭曲线加以讨论。以下的证明是
H u rw i t z 在 1 9 0 2 年给出的。
引理 1 6,3,2 （ W i rt i ng er ） 设
f x( )
在
[ π,π ]?
上连续,
( π )( π )ff
，
π
π
( ) d 0f x x
,且除了有限个点外
)( xf
可导，但在不可导点，
)( xf
的单侧导数存在。进一步假设，
f x( )
的导数
)( xf?
在
[ π,π ]?
上 可积或平方可积，则
π π22
π π
( ) d ( ) d,f x x f x x
等号成立当且仅当
xbxaxf s i nc o s)(
（
ba,
为常数）。
证 由 推论 1 6,2,3,
)( xf
的 F o u r i er 级数在
[ π,π ]?
上点点收敛于
)( xf
。由于
π
0 π
1 ( ) d 0
π
a f x x
，所以
)( xf
1
)s inc o s(
n
nn nxbnxa
,
[ π,π ]x；
进一步，由 定理 1 6,3,3,
f x( ) ~
1
)c o ss in(
n
nn nxnbnxna
。
于是，由 Pa rs e v a l 等式得到
π
2
π
1
[ ( )] d
π
f x x
1
22
)(
k
kk
ba
,
π
2
π
1
[ '( ) ] d
π
f x x
2 2 2
1
()
kk
k
k a b
及
π π
22
π π
( ) d ( ) df x x f x x
2 2 2
2
π ( 1 ) ( )
kk
k
k a b
。
上式说明
π π
22
π π
( ) d ( ) d 0f x x f x x
，并且等号成立当 且仅当
0,0 nn ba
（
,3,2?n
），即
xbxaxf s i nco s)( 11
。
定理 1 6,3,7 的证明设曲线 C 以弧长为参数的方程为
)( sxx?
，
)( syy?
,
],0[ Ls?
,
且参数 s 从 0 变到 L 时，点
))(),(( sysx
沿逆时针方向画出曲线 C 。因为 C
是闭曲线，所以
)()0( Lxx?
，
)()0( Lyy?
。作变量代换
2 π 2
LL
st
，可将该曲线的方程改写为
)( tx
，
)( ty
，
[ π,π ]t
,
且成立
( π )( π )
，
( π )( π )
。
不妨假设 π
π
( )d 0tt?
。若 π
π
( )d 0t t k?
，则可考虑闭曲线 C~,
2 π
kxx ()
2 π
kt,)(~ tyy （ [ π,π ]t ）,
C~ 是 C 的一个平移，其所围图形的面积与 C 所围图形的面积相同,
且满足
π
π
( ) d 0
2 π
ktt?
。
定理 1 6,3,7 的证明设曲线 C 以弧长为参数的方程为
)( sxx?
，
)( syy?
,
],0[ Ls?
,
且参数 s 从 0 变到 L 时，点
))(),(( sysx
沿逆时针方向画出曲线 C 。因为 C
是闭曲线，所以
)()0( Lxx?
，
)()0( Lyy?
。作变量代换
2 π 2
LL
st
，可将该曲线的方程改写为
)( tx
，
)( ty
，
[ π,π ]t
,
且成立
( π )( π )
，
( π )( π )
。
由
2 π 2
LL
st
，可知
22
22
2
( ) ( )
4 π
L d s
tt
dt
,
[ π,π ]t
,
对上式在
[ π,π ]?
上取定积分，得到
2
π
22
π
( ) ( ) d
2 π
L
t t t
。
因为
C
所围图形的面积
π
π
d ( ) ( ) d
C
A x y t t t
，因此
2
π
22
π
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) d
2 π
L
A t t t t t
π π 2
22
π π
( ) ( ) d ( ) ( ) dt t t t t t
。
由引理 1 6,3,2,成立
π
22
π
( ) ( ) d 0t t t
，所以
2
4 π
L
A?
,
等号成立当且仅当
π
22
π
( ) ( ) d 0t t t
,
π 2
π
( ) ( ) d 0t t t
,
即
tbtat s i nc o s)(
，
)()( tt
,
[ π,π ]t
。
这时 C 的参数方程为
,c o ss i n)(
,s i nc o s)(
ctbtaty
tbtatx
[ π,π ]t
,
即 C 是一个圆周。
