§ 2 数列极限数列与数列极限数列 是指按正整数编了号的一串数,
x x x n1 2,,,,,
通常表示成 { x
n
},其中 x
n
称为该数列的 通项 。
数列的例子,
n
1,1,1
2
,1
3
,?,1
n
,?；
3n
n,1
4
,2
5
,3
6
,?,n
n? 3
,?；
2n
,1,4,9,?,n 2,?；
n)1(?,- 1,1,- 1,1,?,( )? 1 n,?。
数列与数列极限数列 是指按正整数编了号的一串数,
x x x n1 2,,,,,
通常表示成 { x
n
},其中 x
n
称为该数列的 通项 。
§ 2 数列极限注 尽管数列与数集的记号是类似的，但两者的概念是有区别的。在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成是同一个元素；但在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不能颠倒，重复出现的数不能随便舍去。
中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率
π （即圆的周长与直径之比），采用单位圆的内接正 n 边形的半周长
nL
去逼近它。就如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
极限的定义定义 2.2.1 设
{ }x n
是一给定数列,a 是一个实常数。如果对于任意给定的 0,可以找到正整数 N,使得当 n N? 时，成立
｜
x n? a
｜,
则称数列
{ }x n
收敛 于 a （或 a 是数列
{ }x n
的 极限 ）,记为
lim
n
x n? a
,
有时也记为
x n? a
( n ) 。
如果不存在 实数 a,使 {
x n
} 收敛于 a,则称数列
{ }x n
发散 。
注
（ 1 ）取以 a 为中心,? 为半径的一个开区间
),( aa
，称它为点 a 的? 邻域,记为
),(?aO
,
),(?aO }|{ axax
。
“当 n N? 时，成立｜
x n? a
｜,表示数列中从 N +1 项起的所有的项都落在点 a 的? 邻域中，即
(,),nx O a n N
。
由于? 具有任意性，也就是说邻域 ),(?aO 的长度可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这个邻域中，所以不难理解,a 必为这个数列的极限值。
注
（ 1 ）取以 a 为中心,? 为半径的一个开区间
),( aa
，称它为点 a 的? 邻域,记为
),(?aO
,
),(?aO }|{ axax
。
“当 n N? 时，成立｜
x n? a
｜,表示数列中从 N +1 项起的所有的项都落在点 a 的? 邻域中，即
(,),nx O a n N
。
注
（ 2 ）在上述的定义中,? 既是任意的，又是给定的。因为只有当? 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
（ 3 ）从极限的定义可知，一个数列 { }x
n
收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。
注
（ 2 ）在上述的定义中,? 既是任意的，又是给定的。因为只有当? 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
例 2.2.1 证明数列
3n
n
的极限为 1 。
证 对任意给定的 0,要使
1
3
n
n?
3
3n
,
只须
33
n
。
取
13
N
,其中 ][ x 表示 x 的整数部分，则当 n N? 时，必有 3
3n
，于是成立
1
3
n
n?
3
3n
。
显然，下面两数列
{ n 2 },1,4,9,?,n 2,?
{ ( )? 1
n
},- 1,1,- 1,1,?
是发散数列。
显然，下面两数列
{ n 2 },1,4,9,?,n 2,?
{ ( )? 1
n
},- 1,1,- 1,1,?
是发散数列。
无穷小量极限为 0 的数列称为 无穷小量,例如数列
n
1,
1
)1(
2n
n 都是无穷小量。
l i m { }nnn x a x a
是无穷小量。
例 2.2.2 证明 {
q n
}(
1||0 q )
是无穷小量。
证 对任意给定的 0,要找正整数 N,使得当 n N? 时，成立
|0| nq nq ||
,
对上式两边取对数，即得
n?
||lg
lg
q
。
为保证 N 为正整数，可取
1,
||lg
lgm a x
q
N?
,则当 n N? 时，成立
|0| nq nq ||? ||lg
lg
|| qq
。
因此
0l i m nn q
，即 { q n } 是无穷小量。
注
（ 1 ）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0,不妨考虑任意给定的
q0
,则 N 可取为
||lg
lg
q
,当
n N? 时，成立 | 0 |nq 。
（ 2 ）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对任意给定的 0 寻找正整数 N 。在上面的两例题中,N 都是通过解不等式
nxa
而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数 N,所以在证明中常常对 适度地做一些放大处理，
这是一种常用的技巧。
nxa?
注
（ 1 ）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0,不妨考虑任意给定的
q0
,则 N 可取为
||lg
lg
q
,当
n N? 时，成立 | 0 |nq 。
例 2,2,3 设 a? 1,证明,lim
n
a
n
1 。
证 令 a y
n
n
1,y
n
0? (?,3,2?n ),
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya
1
2
)1(
1)1(
2
,
便得到
1?
n
a
||
n
y?
a
n
1
。
例 2,2,3 设 a? 1,证明,lim
n
a
n
1 。
证 令 a y
n
n
1,y
n
0? (?,3,2?n ),
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya
1
2
)1(
1)1(
2
,
便得到
1?
n
a
||
n
y?
a
n
1
。于是，对于任意给定的
0,取 1a
N
，当 n N? 时，成立
1?n aa n 1
。
因此
limn a
n? 1 。
例 2.2.4 证明,
limn
nn? 1 。
证 令 n yn
n1
,y
n 0?
(?,3,2?n ),应用二项式定理得
22
2
)1(1
2
)1(1)1(
n
n
nnn
n
n y
nnyynnnyyn,
即得到
1?n n || ny?
n
2? 。
于是，对于任意给定的 0,取
2
2
N
，当 n N? 时，成立
1?n n?
2
n
。
因此
lim
n
nn? 1 。
于是，对于任意给定的 0,取
2
2
N
，当 n N? 时，成立
1?n n?
2
n
。
因此
lim
n
nn? 1 。
同理可知
lim
n
1 1,2,3,n knk
。
例 2.2.4 证明,
limn
nn? 1 。
证 令 n yn
n1
,y
n 0?
(?,3,2?n ),应用二项式定理得
22
2
)1(1
2
)1(1)1(
n
n
nnn
n
n y
nnyynnnyyn,
即得到
1?n n || ny?
n
2? 。
例 2.2.5 证明：
lim
n
n
n n
2
2
1
2 7
1
2
。
证 首先有
2
1
72
1
2
2
nn
n
=
)72(2
27
nn
n
。
显然当 n? 6 时,
)72(2
27
nn
n 8
2
4
2
n
n n
,
于是，对任意给定的
0
，取
4
,6m a xN
，当 n N? 时，成立
2
1
72
1
2
2
nn
n
4
n
。
因此
lim
n
n
n n
2
2
1
2 7
1
2
。
注意：上述不等式的放大，是在条件,n? 6,前题下才成立，
所以在取 N 时，必须要求
4N
与 6?N 同时成立。
例 2.2.6 证明：若
lim
n
a n? a
,则
lim
n
a a a
n
n1 2
a 。
证 先假设 a? 0,即｛
a n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0,
存在正整数
N 1
，当
n N? 1
时，成立
|| na
2
。
现在，
a a a N1 2
1
是一个固定的数，因此可以取
N N? 1
,使得当 n N? 时成立
n
aaa N
121
2
。
于是，利用三角不等式，就得到
n
aaa n21
n
aaa N
121
n
aaa nNN21
11
n
aaa N
121
n
aaa nNN21
11
22
。
例 2.2.6 证明：若
lim
n
a n? a
,则
lim
n
a a a
n
n1 2
a 。
证 先假设 a? 0,即｛
a n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0,
存在正整数
N 1
，当
n N? 1
时，成立
|| na
2
。
现在，
a a a N1 2
1
是一个固定的数，因此可以取
N N? 1
,使得当 n N? 时成立
n
aaa N
121
2
。
当 a? 0 时，则 { a a
n?
} 是无穷小量，于是
limn
a
n
aaa n?21
=
limn
( ) ( ) ( )a a a a a a
n
n1 2 0
,
此即
limn
a a a
n
n1 2 a
。
数列极限的性质为了表达上的方便，通常采用前面已经介绍过的记号,?,
与,?,,
将“对于任意给定的 0,写成,0,,
将“可以找到正整数 N,（即“存在 正整数 N,）写成,N?,,
将“当 nN? 时”（即“对于每 一个 nN?,）写成,nN,，
于是就有 下述的符号表述法,
lim
n
nxa?
0,
N
，
n N
：｜
nxa?
｜ 。
(1) 极限的唯一性定理 2.2.1 收敛数列的极限必唯一 。
证 假设
{ }x n
有极限 a 与 b,根据极限的定义,0,
N 1
,
n N 1
,｜
x n? a
｜
2
；
N 2
,
n N 2
,｜
x n? b
｜
2
。
取 N N N? m a x {,}
1 2
,利用三角不等式，则n N,
｜ ab? ｜ = ｜
nna x x b
｜
｜
nxa?
｜ + ｜ x
n? b
｜
22
。
由? 可以任意接近于 0,即知 ab? 。
证毕
(2) 数列的有界性对于数列
{ }x n
，如果存在实数 M,使数列的所有的项都满足
x n? M
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 M 是数列
{ }x n
的上界。如果存在实数 m,使数列的所有的项都满足
m? x
n
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 m 是数列
{ }x n
的下界。
一个数列
{ }x n
,若既有上界又有下界，则称之为 有界数列 。显然数列
{ }x n
有界的一个等价定义是：存在正实数 X,使数列的所有项都满足
｜
x n
｜? X,
n? 1 2 3,,,?
。
定理 2.2.2 收敛数列必有界 。
证 设数列
{ }x n
收敛，极限为 a,由极限的定义，取 1,则
N
，
n N
：｜
x n? a
｜ 1?,即
a x an1 1
。
取
}1,,,,m ax { 21 axxxM N?
,
}1,,,,m i n { 21 axxxm N?
，则对
{ }x n
所有的项，成立
m?
x n? M
,
n? 1 2 3,,,?
。
证毕注 定理 2.2.2 的逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如｛ ( )? 1 n ｝是有界数列，但它并不收敛。
定理 2.2.2 收敛数列必有界 。
证 设数列
{ }x n
收敛，极限为 a,由极限的定义，取 1,则
N
，
n N
：｜
x n? a
｜ 1?,即
a x an1 1
。
取
}1,,,,m ax { 21 axxxM N?
,
}1,,,,m i n { 21 axxxm N?
，则对
{ }x n
所有的项，成立
m?
x n? M
,
n? 1 2 3,,,?
。
证毕
(3) 数列的保序性定理 2.2.3 设数列
{ }x n
,
{ }y n
均收敛，若
lim
n
x n
a,
lim
n
y n
b,
且 a b?,则存在正整数 N,当 n N? 时，成立
x n
y n
。
证 取
0
2
ba
。由
lim
n
x n
= a,
N 1
,
n N 1
,｜
nxa?
｜
b a
2
，因而
x n
a
b a
2
a b
2；
而由
lim
n
y n
b,
N 2
,
n N 2
,｜
y n
b ｜
b a
2
,因而
y n
b
b a
2
a b
2
。
取
N N N? m a x {,}1 2
，
n N
,
x n
a b
2
y n
。
证毕推论
(1) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
＞
0
2
b；
(2) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
0
2
b
。
这说明若数列 {
y n
} 收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y n
与 0 的距离不能任意小。
注 定理 2,2,3 的逆命题同样不成立。如果
limn x n
a,
limn y n
b,
且 x
n ny?
对 n N? 成立，我们并不能得出 a b? 的结论。
反例：数列 x
n? 1
n
与 y
n? 2
n
。
事实上只能有如下结论,
,若
limn x n
a,
limn y n
b,且 x
n
y
n
对 n N? 成立,则 a b? 。”
推论
(1) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
＞
0
2
b；
(2) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
0
2
b
。
这说明若数列 {
y n
} 收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y n
与 0 的距离不能任意小。
( 4 ) 极限的夹逼性定理 2.2.4 若三个数列
}{ nx
，
}{ ny
，
}{ nz
从某项开始成立
nx
ny
nz
,
0Nn?
,
且
n
lim nx
=
n
lim nz
a?,则
n
lim ny
a? 。
证 0,由
limn nx
a,可知
1N?
,n N
1
∶｜ x
n
a ｜,
从而有 a x
n；
由 lim
n
zn? a,可知? N 2,n N 2 ∶｜ zn? a ｜,从而有
zn a 。
取 },,m ax {
210 NNNN?
,n N ∶
a n n nx y z a,
此即
｜ y
n? a
｜,
所以
limn y n? a
。 证毕在应用夹逼性求极限时，｛ y
n
｝是要求极限的数列，而 { x
n
},{ z
n
}
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 { }x n 与 { zn } 具有相同极限。
例 2.2.7 求数列 { n n1 } 的极限。
解 首先有
n n1
( )( )n n n n
n n
1 1
1
1
1n n
。
取
0?nx
，
y n
= n n1,
zn
1
n
，则有
x n ny zn
,
且
lim
n
x n
=
lim
n
0?nz
。
利用极限的夹逼性，得到
l im ( 1 ) 0
n
nn
。
在应用夹逼性求极限时，｛ y
n
｝是要求极限的数列，而 { x
n
},{ z
n
}
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 { }x n 与 { zn } 具有相同极限。
例 2.2.8 证明,
lim
n
( )a a an n pn n1 2
1
i
pi
a
1
m a x
,
其中
a i? 0
(
i p? 1 2 3,,,,?
) 。
证 不失一般性，设
1
1
m a x i
ip
aa
,于是
a 1( )a a an n pn n1 2
1
a pn1
。
因为
lim
n
pn? 1
，易知
lim
n
11 apa
n?
，利用极限的夹逼性，得到
lim
n
( )a a an n pn n1 2
1
1 1m a x iipaa
。
数列极限的四则运算定理 2.2.5 设
limn x n
a,
limn y n
b,则
( I )
limn
(?
x n
+
y n
)=? a +
b
(?,
是常数 ) ；
( II )
limn
(
x n y n
)= ab ；
( III )
limn
n
n
y
x = a
b
( b? 0 ) 。
数列极限的四则运算定理 2.2.5 设
limn x n
a,
limn y n
b,则
( I )
limn
(?
x n
+
y n
)=? a +
b
(?,
是常数 ) ；
( II )
limn
(
x n y n
)= ab ；
( III )
limn
n
n
y
x = a
b
( b? 0 ) 。
证 由 lim
n
x n? a,可知X 0,使得 | |x n? X,且 0,? N 1,
n N 1,｜ x n? a ｜ 。
由 lim
n
y n? b,可知? N 2,n N 2,｜ y n? b ｜ 。
取 N N N? m a x {,}
1 2
,n N,
｜ (? x
n
+)
ny
(? a +? b ) ｜
||? ax
n
+?||?
by n
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,
以及
( ) ( ) ( ),n n n n nx y a b x y b b x a X b
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
对于 ( III ) 式，由定理 2.2.3 的推论,? N
0
,n N
0
：
ny?
| |b
2
。
取 N N N N? m a x {,,}
0 1 2
,n N,
b
a
y
x
n
n?
=
by
byaaxb
n
nn )()(
2
2 (| | | | )ab
b
,
因此 ( III ) 也成立。
证毕取 N N N? m a x {,}
1 2
,n N,
｜ (? x
n
+)
ny
(? a +? b ) ｜
||? ax
n
+?||?
by n
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,
以及
( ) ( ) ( ),n n n n nx y a b x y b b x a X b
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜ (? x
n
+
)ny
(? a +? b ) ｜，｜ x
n y n
a b ｜和
b
a
y
x
n
n?
的不等式都不是小于任意给定的 0,而是小于? 乘一个常数
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,( X + ｜ b ｜ )? 和
2
2 (| | | | )ab
b
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例 2.2.9 求极限
limn
5 2
3 5 2 3
1n n
n n
( ) 。
解
limn
5 2
3 5 2 3
1n n
n n
( )
limn n
n
5
3
23
5
2
5
53
。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜ (? x
n
+
)ny
(? a +? b ) ｜，｜ x
n y n
a b ｜和
b
a
y
x
n
n?
的不等式都不是小于任意给定的 0,而是小于? 乘一个常数
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,( X + ｜ b ｜ )? 和
2
2 (| | | | )ab
b
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例 2.2.10 证明,当 a? 0 时，
limn
an? 1 。
证 已经知道当 a? 1 时，
limn
an? 1 。当 a? 1 时，结论是平凡的。
现考虑 0 1a,这时 1
1a?
，利用极限的四则运算,
limn
an?
limn
1
1
1
a
n
。
例 2.2.11 求极限
limn11
22 nnn 。
解
limn11
22 nnn =
limn 2
1 12 2
n
n n
=
limn 2
1
1
1
1
1
2 2
n n
。
例 2.2.10 证明,当 a? 0 时，
limn
an? 1 。
证 已经知道当 a? 1 时，
limn
an? 1 。当 a? 1 时，结论是平凡的。
现考虑 0 1a,这时 1
1a?
，利用极限的四则运算,
limn
an?
limn
1
1
1
a
n
。
注 数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况，而不能随意推广到无限个数列或不定个数的数列上去。例如
lim
n
1
1
2n
+
2
1
2n
+
nn 2
1
,
若轻率使用定理 2.2.5 性质 ( Ⅰ ),就会得出极限为 0 的错误结论。事实上，由
n
n n2?
1
12n?
+ 1
22n?
+? + 1
2n n?
n
n 2 1
,
利用极限的夹逼性，就可以得到极限为 1 。
例 2.2.12 设
0?na
，且
lim
n
a n? a
，证明,
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
证 当 a? 0 时，应用平均值不等式（定理 1.2.2 ），有
a a a
n
n1 2
a a a
n
n
1 2?
n
aaa
n
111
21
。
将不等式的右端写成
n
aaa
n
111
1
21
，由
lim
n
a n? a 0?
,可知
lim
n
1
a
n
= 1
a
，由例 2.2.6 和极限的四则运算，即知上面不等式左,右两端的极限都是 a 。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
例 2.2.12 设
0?na
，且
lim
n
a n? a
，证明,
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
证 当 a? 0 时，应用平均值不等式（定理 1.2.2 ），有
a a a
n
n1 2
a a a
n
n
1 2?
n
aaa
n
111
21
。
将不等式的右端写成
n
aaa
n
111
1
21
，由
lim
n
a n? a 0?
,可知
lim
n
1
a
n
= 1
a
，由例 2.2.6 和极限的四则运算，即知上面不等式左,右两端的极限都是 a 。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
当 a? 0 时，显然有
a a a
n n1 2
a a a nn 1 2? a 0 。
同样可由极限的夹逼性推出结论成立。
x x x n1 2,,,,,
通常表示成 { x
n
},其中 x
n
称为该数列的 通项 。
数列的例子,
n
1,1,1
2
,1
3
,?,1
n
,?；
3n
n,1
4
,2
5
,3
6
,?,n
n? 3
,?；
2n
,1,4,9,?,n 2,?；
n)1(?,- 1,1,- 1,1,?,( )? 1 n,?。
数列与数列极限数列 是指按正整数编了号的一串数,
x x x n1 2,,,,,
通常表示成 { x
n
},其中 x
n
称为该数列的 通项 。
§ 2 数列极限注 尽管数列与数集的记号是类似的，但两者的概念是有区别的。在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成是同一个元素；但在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不能颠倒，重复出现的数不能随便舍去。
中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率
π （即圆的周长与直径之比），采用单位圆的内接正 n 边形的半周长
nL
去逼近它。就如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
极限的定义定义 2.2.1 设
{ }x n
是一给定数列,a 是一个实常数。如果对于任意给定的 0,可以找到正整数 N,使得当 n N? 时，成立
｜
x n? a
｜,
则称数列
{ }x n
收敛 于 a （或 a 是数列
{ }x n
的 极限 ）,记为
lim
n
x n? a
,
有时也记为
x n? a
( n ) 。
如果不存在 实数 a,使 {
x n
} 收敛于 a,则称数列
{ }x n
发散 。
注
（ 1 ）取以 a 为中心,? 为半径的一个开区间
),( aa
，称它为点 a 的? 邻域,记为
),(?aO
,
),(?aO }|{ axax
。
“当 n N? 时，成立｜
x n? a
｜,表示数列中从 N +1 项起的所有的项都落在点 a 的? 邻域中，即
(,),nx O a n N
。
由于? 具有任意性，也就是说邻域 ),(?aO 的长度可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这个邻域中，所以不难理解,a 必为这个数列的极限值。
注
（ 1 ）取以 a 为中心,? 为半径的一个开区间
),( aa
，称它为点 a 的? 邻域,记为
),(?aO
,
),(?aO }|{ axax
。
“当 n N? 时，成立｜
x n? a
｜,表示数列中从 N +1 项起的所有的项都落在点 a 的? 邻域中，即
(,),nx O a n N
。
注
（ 2 ）在上述的定义中,? 既是任意的，又是给定的。因为只有当? 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
（ 3 ）从极限的定义可知，一个数列 { }x
n
收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。
注
（ 2 ）在上述的定义中,? 既是任意的，又是给定的。因为只有当? 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
例 2.2.1 证明数列
3n
n
的极限为 1 。
证 对任意给定的 0,要使
1
3
n
n?
3
3n
,
只须
33
n
。
取
13
N
,其中 ][ x 表示 x 的整数部分，则当 n N? 时，必有 3
3n
，于是成立
1
3
n
n?
3
3n
。
显然，下面两数列
{ n 2 },1,4,9,?,n 2,?
{ ( )? 1
n
},- 1,1,- 1,1,?
是发散数列。
显然，下面两数列
{ n 2 },1,4,9,?,n 2,?
{ ( )? 1
n
},- 1,1,- 1,1,?
是发散数列。
无穷小量极限为 0 的数列称为 无穷小量,例如数列
n
1,
1
)1(
2n
n 都是无穷小量。
l i m { }nnn x a x a
是无穷小量。
例 2.2.2 证明 {
q n
}(
1||0 q )
是无穷小量。
证 对任意给定的 0,要找正整数 N,使得当 n N? 时，成立
|0| nq nq ||
,
对上式两边取对数，即得
n?
||lg
lg
q
。
为保证 N 为正整数，可取
1,
||lg
lgm a x
q
N?
,则当 n N? 时，成立
|0| nq nq ||? ||lg
lg
。
因此
0l i m nn q
，即 { q n } 是无穷小量。
注
（ 1 ）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0,不妨考虑任意给定的
q0
,则 N 可取为
||lg
lg
q
,当
n N? 时，成立 | 0 |nq 。
（ 2 ）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对任意给定的 0 寻找正整数 N 。在上面的两例题中,N 都是通过解不等式
nxa
而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数 N,所以在证明中常常对 适度地做一些放大处理，
这是一种常用的技巧。
nxa?
注
（ 1 ）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0,不妨考虑任意给定的
q0
,则 N 可取为
||lg
lg
q
,当
n N? 时，成立 | 0 |nq 。
例 2,2,3 设 a? 1,证明,lim
n
a
n
1 。
证 令 a y
n
n
1,y
n
0? (?,3,2?n ),
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya
1
2
)1(
1)1(
2
,
便得到
1?
n
a
||
n
y?
a
n
1
。
例 2,2,3 设 a? 1,证明,lim
n
a
n
1 。
证 令 a y
n
n
1,y
n
0? (?,3,2?n ),
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya
1
2
)1(
1)1(
2
,
便得到
1?
n
a
||
n
y?
a
n
1
。于是，对于任意给定的
0,取 1a
N
，当 n N? 时，成立
1?n aa n 1
。
因此
limn a
n? 1 。
例 2.2.4 证明,
limn
nn? 1 。
证 令 n yn
n1
,y
n 0?
(?,3,2?n ),应用二项式定理得
22
2
)1(1
2
)1(1)1(
n
n
nnn
n
n y
nnyynnnyyn,
即得到
1?n n || ny?
n
2? 。
于是，对于任意给定的 0,取
2
2
N
，当 n N? 时，成立
1?n n?
2
n
。
因此
lim
n
nn? 1 。
于是，对于任意给定的 0,取
2
2
N
，当 n N? 时，成立
1?n n?
2
n
。
因此
lim
n
nn? 1 。
同理可知
lim
n
1 1,2,3,n knk
。
例 2.2.4 证明,
limn
nn? 1 。
证 令 n yn
n1
,y
n 0?
(?,3,2?n ),应用二项式定理得
22
2
)1(1
2
)1(1)1(
n
n
nnn
n
n y
nnyynnnyyn,
即得到
1?n n || ny?
n
2? 。
例 2.2.5 证明：
lim
n
n
n n
2
2
1
2 7
1
2
。
证 首先有
2
1
72
1
2
2
nn
n
=
)72(2
27
nn
n
。
显然当 n? 6 时,
)72(2
27
nn
n 8
2
4
2
n
n n
,
于是，对任意给定的
0
，取
4
,6m a xN
，当 n N? 时，成立
2
1
72
1
2
2
nn
n
4
n
。
因此
lim
n
n
n n
2
2
1
2 7
1
2
。
注意：上述不等式的放大，是在条件,n? 6,前题下才成立，
所以在取 N 时，必须要求
4N
与 6?N 同时成立。
例 2.2.6 证明：若
lim
n
a n? a
,则
lim
n
a a a
n
n1 2
a 。
证 先假设 a? 0,即｛
a n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0,
存在正整数
N 1
，当
n N? 1
时，成立
|| na
2
。
现在，
a a a N1 2
1
是一个固定的数，因此可以取
N N? 1
,使得当 n N? 时成立
n
aaa N
121
2
。
于是，利用三角不等式，就得到
n
aaa n21
n
aaa N
121
n
aaa nNN21
11
n
aaa N
121
n
aaa nNN21
11
22
。
例 2.2.6 证明：若
lim
n
a n? a
,则
lim
n
a a a
n
n1 2
a 。
证 先假设 a? 0,即｛
a n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0,
存在正整数
N 1
，当
n N? 1
时，成立
|| na
2
。
现在，
a a a N1 2
1
是一个固定的数，因此可以取
N N? 1
,使得当 n N? 时成立
n
aaa N
121
2
。
当 a? 0 时，则 { a a
n?
} 是无穷小量，于是
limn
a
n
aaa n?21
=
limn
( ) ( ) ( )a a a a a a
n
n1 2 0
,
此即
limn
a a a
n
n1 2 a
。
数列极限的性质为了表达上的方便，通常采用前面已经介绍过的记号,?,
与,?,,
将“对于任意给定的 0,写成,0,,
将“可以找到正整数 N,（即“存在 正整数 N,）写成,N?,,
将“当 nN? 时”（即“对于每 一个 nN?,）写成,nN,，
于是就有 下述的符号表述法,
lim
n
nxa?
0,
N
，
n N
：｜
nxa?
｜ 。
(1) 极限的唯一性定理 2.2.1 收敛数列的极限必唯一 。
证 假设
{ }x n
有极限 a 与 b,根据极限的定义,0,
N 1
,
n N 1
,｜
x n? a
｜
2
；
N 2
,
n N 2
,｜
x n? b
｜
2
。
取 N N N? m a x {,}
1 2
,利用三角不等式，则n N,
｜ ab? ｜ = ｜
nna x x b
｜
｜
nxa?
｜ + ｜ x
n? b
｜
22
。
由? 可以任意接近于 0,即知 ab? 。
证毕
(2) 数列的有界性对于数列
{ }x n
，如果存在实数 M,使数列的所有的项都满足
x n? M
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 M 是数列
{ }x n
的上界。如果存在实数 m,使数列的所有的项都满足
m? x
n
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 m 是数列
{ }x n
的下界。
一个数列
{ }x n
,若既有上界又有下界，则称之为 有界数列 。显然数列
{ }x n
有界的一个等价定义是：存在正实数 X,使数列的所有项都满足
｜
x n
｜? X,
n? 1 2 3,,,?
。
定理 2.2.2 收敛数列必有界 。
证 设数列
{ }x n
收敛，极限为 a,由极限的定义，取 1,则
N
，
n N
：｜
x n? a
｜ 1?,即
a x an1 1
。
取
}1,,,,m ax { 21 axxxM N?
,
}1,,,,m i n { 21 axxxm N?
，则对
{ }x n
所有的项，成立
m?
x n? M
,
n? 1 2 3,,,?
。
证毕注 定理 2.2.2 的逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如｛ ( )? 1 n ｝是有界数列，但它并不收敛。
定理 2.2.2 收敛数列必有界 。
证 设数列
{ }x n
收敛，极限为 a,由极限的定义，取 1,则
N
，
n N
：｜
x n? a
｜ 1?,即
a x an1 1
。
取
}1,,,,m ax { 21 axxxM N?
,
}1,,,,m i n { 21 axxxm N?
，则对
{ }x n
所有的项，成立
m?
x n? M
,
n? 1 2 3,,,?
。
证毕
(3) 数列的保序性定理 2.2.3 设数列
{ }x n
,
{ }y n
均收敛，若
lim
n
x n
a,
lim
n
y n
b,
且 a b?,则存在正整数 N,当 n N? 时，成立
x n
y n
。
证 取
0
2
ba
。由
lim
n
x n
= a,
N 1
,
n N 1
,｜
nxa?
｜
b a
2
，因而
x n
a
b a
2
a b
2；
而由
lim
n
y n
b,
N 2
,
n N 2
,｜
y n
b ｜
b a
2
,因而
y n
b
b a
2
a b
2
。
取
N N N? m a x {,}1 2
，
n N
,
x n
a b
2
y n
。
证毕推论
(1) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
＞
0
2
b；
(2) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
0
2
b
。
这说明若数列 {
y n
} 收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y n
与 0 的距离不能任意小。
注 定理 2,2,3 的逆命题同样不成立。如果
limn x n
a,
limn y n
b,
且 x
n ny?
对 n N? 成立，我们并不能得出 a b? 的结论。
反例：数列 x
n? 1
n
与 y
n? 2
n
。
事实上只能有如下结论,
,若
limn x n
a,
limn y n
b,且 x
n
y
n
对 n N? 成立,则 a b? 。”
推论
(1) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
＞
0
2
b；
(2) 若
lim
n
y n? b 0?
，则存在正整数 N,当 n N? 时,
y n
0
2
b
。
这说明若数列 {
y n
} 收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y n
与 0 的距离不能任意小。
( 4 ) 极限的夹逼性定理 2.2.4 若三个数列
}{ nx
，
}{ ny
，
}{ nz
从某项开始成立
nx
ny
nz
,
0Nn?
,
且
n
lim nx
=
n
lim nz
a?,则
n
lim ny
a? 。
证 0,由
limn nx
a,可知
1N?
,n N
1
∶｜ x
n
a ｜,
从而有 a x
n；
由 lim
n
zn? a,可知? N 2,n N 2 ∶｜ zn? a ｜,从而有
zn a 。
取 },,m ax {
210 NNNN?
,n N ∶
a n n nx y z a,
此即
｜ y
n? a
｜,
所以
limn y n? a
。 证毕在应用夹逼性求极限时，｛ y
n
｝是要求极限的数列，而 { x
n
},{ z
n
}
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 { }x n 与 { zn } 具有相同极限。
例 2.2.7 求数列 { n n1 } 的极限。
解 首先有
n n1
( )( )n n n n
n n
1 1
1
1
1n n
。
取
0?nx
，
y n
= n n1,
zn
1
n
，则有
x n ny zn
,
且
lim
n
x n
=
lim
n
0?nz
。
利用极限的夹逼性，得到
l im ( 1 ) 0
n
nn
。
在应用夹逼性求极限时，｛ y
n
｝是要求极限的数列，而 { x
n
},{ z
n
}
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 { }x n 与 { zn } 具有相同极限。
例 2.2.8 证明,
lim
n
( )a a an n pn n1 2
1
i
pi
a
1
m a x
,
其中
a i? 0
(
i p? 1 2 3,,,,?
) 。
证 不失一般性，设
1
1
m a x i
ip
aa
,于是
a 1( )a a an n pn n1 2
1
a pn1
。
因为
lim
n
pn? 1
，易知
lim
n
11 apa
n?
，利用极限的夹逼性，得到
lim
n
( )a a an n pn n1 2
1
1 1m a x iipaa
。
数列极限的四则运算定理 2.2.5 设
limn x n
a,
limn y n
b,则
( I )
limn
(?
x n
+
y n
)=? a +
b
(?,
是常数 ) ；
( II )
limn
(
x n y n
)= ab ；
( III )
limn
n
n
y
x = a
b
( b? 0 ) 。
数列极限的四则运算定理 2.2.5 设
limn x n
a,
limn y n
b,则
( I )
limn
(?
x n
+
y n
)=? a +
b
(?,
是常数 ) ；
( II )
limn
(
x n y n
)= ab ；
( III )
limn
n
n
y
x = a
b
( b? 0 ) 。
证 由 lim
n
x n? a,可知X 0,使得 | |x n? X,且 0,? N 1,
n N 1,｜ x n? a ｜ 。
由 lim
n
y n? b,可知? N 2,n N 2,｜ y n? b ｜ 。
取 N N N? m a x {,}
1 2
,n N,
｜ (? x
n
+)
ny
(? a +? b ) ｜
||? ax
n
+?||?
by n
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,
以及
( ) ( ) ( ),n n n n nx y a b x y b b x a X b
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
对于 ( III ) 式，由定理 2.2.3 的推论,? N
0
,n N
0
：
ny?
| |b
2
。
取 N N N N? m a x {,,}
0 1 2
,n N,
b
a
y
x
n
n?
=
by
byaaxb
n
nn )()(
2
2 (| | | | )ab
b
,
因此 ( III ) 也成立。
证毕取 N N N? m a x {,}
1 2
,n N,
｜ (? x
n
+)
ny
(? a +? b ) ｜
||? ax
n
+?||?
by n
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,
以及
( ) ( ) ( ),n n n n nx y a b x y b b x a X b
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜ (? x
n
+
)ny
(? a +? b ) ｜，｜ x
n y n
a b ｜和
b
a
y
x
n
n?
的不等式都不是小于任意给定的 0,而是小于? 乘一个常数
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,( X + ｜ b ｜ )? 和
2
2 (| | | | )ab
b
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例 2.2.9 求极限
limn
5 2
3 5 2 3
1n n
n n
( ) 。
解
limn
5 2
3 5 2 3
1n n
n n
( )
limn n
n
5
3
23
5
2
5
53
。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜ (? x
n
+
)ny
(? a +? b ) ｜，｜ x
n y n
a b ｜和
b
a
y
x
n
n?
的不等式都不是小于任意给定的 0,而是小于? 乘一个常数
( ｜? ｜ + ｜? ｜ )?,( X + ｜ b ｜ )? 和
2
2 (| | | | )ab
b
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例 2.2.10 证明,当 a? 0 时，
limn
an? 1 。
证 已经知道当 a? 1 时，
limn
an? 1 。当 a? 1 时，结论是平凡的。
现考虑 0 1a,这时 1
1a?
，利用极限的四则运算,
limn
an?
limn
1
1
1
a
n
。
例 2.2.11 求极限
limn11
22 nnn 。
解
limn11
22 nnn =
limn 2
1 12 2
n
n n
=
limn 2
1
1
1
1
1
2 2
n n
。
例 2.2.10 证明,当 a? 0 时，
limn
an? 1 。
证 已经知道当 a? 1 时，
limn
an? 1 。当 a? 1 时，结论是平凡的。
现考虑 0 1a,这时 1
1a?
，利用极限的四则运算,
limn
an?
limn
1
1
1
a
n
。
注 数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况，而不能随意推广到无限个数列或不定个数的数列上去。例如
lim
n
1
1
2n
+
2
1
2n
+
nn 2
1
,
若轻率使用定理 2.2.5 性质 ( Ⅰ ),就会得出极限为 0 的错误结论。事实上，由
n
n n2?
1
12n?
+ 1
22n?
+? + 1
2n n?
n
n 2 1
,
利用极限的夹逼性，就可以得到极限为 1 。
例 2.2.12 设
0?na
，且
lim
n
a n? a
，证明,
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
证 当 a? 0 时，应用平均值不等式（定理 1.2.2 ），有
a a a
n
n1 2
a a a
n
n
1 2?
n
aaa
n
111
21
。
将不等式的右端写成
n
aaa
n
111
1
21
，由
lim
n
a n? a 0?
,可知
lim
n
1
a
n
= 1
a
，由例 2.2.6 和极限的四则运算，即知上面不等式左,右两端的极限都是 a 。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
例 2.2.12 设
0?na
，且
lim
n
a n? a
，证明,
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
证 当 a? 0 时，应用平均值不等式（定理 1.2.2 ），有
a a a
n
n1 2
a a a
n
n
1 2?
n
aaa
n
111
21
。
将不等式的右端写成
n
aaa
n
111
1
21
，由
lim
n
a n? a 0?
,可知
lim
n
1
a
n
= 1
a
，由例 2.2.6 和极限的四则运算，即知上面不等式左,右两端的极限都是 a 。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n
a a a nn 1 2 a
。
当 a? 0 时，显然有
a a a
n n1 2
a a a nn 1 2? a 0 。
同样可由极限的夹逼性推出结论成立。
