外微分设 n? RU 为区域,f x x x
n(,,,)1 2?
为 U 上的可微函数，则它的全微分为
1
dd
n
i
n i
ffx
x?


。
这可以理解为一个 0 - 形式作微分运算后成为 1 - 形式。
§ 4 微分形式的外微分现在将微分运算
d
推广到? k 上去。对 k? 中的任意一个 k - 形式
1212
12
,,,
1
( ) d d d
kk
k
i i i i i i
i i i n
g x x x x?


,
定义
12
12
12
12
12
12
,,,
1
,,,
11
d (d ( ) ) d d d
d d d d
kk
k
k
k
k
i i i i i i
i i i n
n
i i i
i i i i
i i i n i i
g x x x x
g
x x x x
x




。
同时，对空间0 1? n上的任意一个元素
i
in,10?
,
定义
01d d d d n
。
这样的 微分运算
d
称为 外微分 。
显然，微分运算 d, 具有线性性，即 d ( ) d d,
,,其中,为常数。
由定义可直接得到
1 2 1 2
12
d ( d d d ) d ( 1 d d d )
( d 1 ) d d d 0
kk
k
i i i i i i
i i i
x x x x x x
x x x

。
例 1 4,4,1 设 (,) d (,) dP x y x Q x y y 为 2R 上的 1 - 形式，则
d ( d ) d ( d ) d d d d d d d
d d d d d d
P P Q Q
P x Q y x y x x y y
x y x y
P Q Q P
y x x y x y
y x x y






。
显然，微分运算 d, 具有线性性，即 d ( ) d d,
,,其中,为常数。
由定义可直接得到
1 2 1 2
12
d ( d d d ) d ( 1 d d d )
( d 1 ) d d d 0
kk
k
i i i i i i
i i i
x x x x x x
x x x

。
例 1 4,4,2 设
(,,) d (,,) d (,,) dP x y z x Q x y z y R x y z z
为 3R 上的 1 - 形式，则
d ( d ) d ( d ) d ( d ) dP x Q y R z
d d d d d d d d
d d d d
d d d d d d
P P P Q Q Q
x y z x x y z y
x y z x y z
R R R
x y z z
xyz
R Q P R Q P
y z z x x y
y z z x x y















。
例 1 4,4,3 设 (,,) d d (,,) d d (,,) d dP x y z y z Q x y z z x R x y z x y为 3R
上的 2 - 形式，则
d ( d ) d d ( d ) d d ( d ) d dP y z Q z x R x y
d d d d d d d d d dP P P Q Q Qx y z y z x y z z x
x y z x y z



d d d d dR R Rx y z x y
xyz



d d dP Q R x y z
x y z



。
下面列出外微分的两个性质。
性质 1 设
为 k - 形式,
为 l - 形式,则
d ( ) d ( 1 ) dk
。
证 由于 d 的线性性质，只要证明
1 2 1 2
( ) d d d,( ) d d d
kli i i j j j
a x x x x b x x x x
的情形即可。这时
1 2 1 2
1 2 1 2
d ( ) d ( ( ) ( ) d d d d d d )
d ( ( ) ( ) ) d d d d d d
kl
kl
i i i j j j
i i i j j j
a x b x x x x x x x
a x b x x x x x x x


1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
1
d d d d d d d d
d d d d d d d
( 1 ) ( d d d ) d d d
kl
kl
kl
n
i i i i i j j j
i
ii
n
i i i i j j j
i
i
n
k
i i i i j j j
i
i
ab
b x a x x x x x x x
xx
a
b x x x x x x x
x
b
a x x x dx x x x
x













d ( 1 ) dk
。
在以下讨论中，总假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数。
设,定义
2d d ( d )
。
例 1 4,4,4 设
f 0
为 0 - 形式，则
2d0f?
。
证 由于
f
具有二阶连续偏导数，因此
ijji xx
f
xx
f


22
。所以
2
1
2 2 2
11
d d (d ) d d
d d d d 0,
n
i
i i
nn
j i i j
i j i jj i i j j i
f
f f x
x
f f f
x x x x
x x x x x x









性质 2 对任意,有 2d0 。
证 由于 d 的线性性质，只要证明
1 2 1 2( ) d d d ( ) d d dkki i i i i ia x x x x a x x x x
的情形即可。这时
1 2 1 2d d ( ( ) d d d ) ( d ( ) ) d d dkki i i i i ia x x x x a x x x x
,
由性质 1 和例 1 4,4,4 的结果,
1 2 1 2
12
22
d d (d ) (d ) d d d (d ) d (d d d )
0 d d d (d ) 0 0
kk
k
i i i i i i
i i i
a x x x a x x x
x x x a

。
外微分的应用首先看 G ree n 公式
d d d d
QP
P x Q y x y
xy




DD
,
其中?D 取 D 的诱导定向。将
ddxy?
看成正面积元素
ddxy
，上式就可以表示为
d d d d
QP
P x Q y x y
xy




DD
。
由例 1 4,4,1,对于 1 - 形式
(,) d (,) dP x y x Q x y y
，上式就是
d

DD
。
再看 S t o k es 公式
d d dP x Q y R z


d d d d d d
R Q P R Q P
y z z x x y
y z z x x y?



,
其中 取? 的诱导定向。由例 1 4,4,2,对于 1 - 形式
(,,)dP x y z x
(,,)dQ x y z y (,,) dR x y z z?
，上式就是
d

。
同样地，对于 G au s s 公式
d d d d d dP y z Q z x R x y

ddd
P Q R
xyz
x y z



,
将
d d dx y z
看成正体积元素
dddxyz
，它就可以表示为
d d d d d dP y z Q z x R x y

d d d
P Q R
x y z
x y z



,
其中 取? 的诱导定向。由例 1 4,4,3,对于 2 - 形式
(,,) dP x y z y
d z? (,,) d d (,,) d dQ x y z z x R x y z x y，上式就是

d
。
最后看看 N ew t o n - L ei b n i z 公式
d ( ) ( )
b b
aa
f x f x
,
将上式右端视为 0 - 形式
)( xf
在区间
[,]ab?D
的诱导定向边界
{,}abD
上的积分，那么上式就可以表示为
dff

DD
。
这样一来,N ew t o n - L ei b n i z 公式,G reen 公式,G a u s s 公式和 S t o k e s
公式就可以统一地写成如下形式,
d

MM
。
这个式子统称为 S t o k es 公式 。 它说明了,高次的微分形式 d? 在给定区域上的积分等于低一次的微分形式? 在低一维的区域边界上的积分 。 S t o k es 公式是单变量情形的 N e w t o n - L ei b n i z 公式在多变量情形的推广，是数学分析中最精彩的结论之一。
最后看看 N ew t o n - L ei b n i z 公式
d ( ) ( )
b b
aa
f x f x
,
将上式右端视为 0 - 形式
)( xf
在区间
[,]ab?D
的诱导定向边界
{,}abD
上的积分，那么上式就可以表示为
dff

DD
。
这样一来,N ew t o n - L ei b n i z 公式,G reen 公式,G a u s s 公式和 S t o k e s
公式就可以统一地写成如下形式,
d

MM
。