无条件极值定义 1 2,6,1 设 D nR? 为开区域,
)( xf
为定义在 D 上的函数,
0x ),,,(
00
2
0
1 nxxx
D 。 若存在
0x
的邻域
),( 0 rO x
,使得
) ),()(()()( 00 xxxx ffff 或?x ),( 0 rO x
,
则称
0x
为
f
的 极大值点 （ 或 极小值点 ）； 相应地，称
)( 0xf
为相应的 极大值 （ 或 极小值 ）； 极大值点与极小值点统称为 极值点,极大值与极小值统称为 极值 。
§ 6 无条件极值先考察一个点为极值点的必要条件。
定理 1 2,6,1 （必要条件） 设
0x
为函数
f
的极值点,且
f
在
0x
点可偏导,则
f
在
0x
点的各个一阶偏导数都为零,即
0)()()( 000
21
xxx
nxxx
fff?
。
证 只证明
0)( 0
1
xxf
，其 他 类似。考虑一元函数
),,,()( 00211 nxxxfx
,
则
0
1x
是
)( 1x?
的极值点。由于
f
在
0x
点可偏导，因此
)( 1x?
在
0
1x
点可导，
由 Ferm at 引理，即得到
)( 01x
=
0),,,( 00201
1
nx xxxf?
。
使函数
f
的各个一阶偏导数同时为零的点称为
f
的 驻点 。
注 首先，定理 1 2,6,1 的条件不是充分的，即 驻点不一定是极值点 。如马鞍面方程 xyyxf?),( 满足
0)0,0()0,0( yx ff,
但在 )0,0( 的任何邻域里，总同时存在使 ),( yxf 为正和为负的点。而
0)0,0(?f,因此 )0,0( 不是 f 的极值点（见图 1 2,6,1 ）。
z
y
O
x
图 12,6,1
其次，偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程
||),( xyxf?
，整个
y
轴上的每一点
),0( y
都是
f
的极小值点。但在
y
轴上的任一点
),0( y
处，
f
关于
x
的偏导数都不存在（见图 12,6,2 ）。
z
O y
x
图 12,6,2
那么，要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢？我们先对二元函数进行讨论。
设
),( yxfz?
在
),( 00 yx
点附近具有二阶连续偏导数，且
),( 00 yx
为
f
的驻点，即
0),(),( 0000 yxfyxf yx
,
那么由 T ay l o r 公式得到
22
0 0 0 0
1
(,) (,) { ( ) 2 ( ) ( ) }
2
x x x y y y
f x x y y f x y f P x f P x y f P y
,
其中
10),,(~ 00 yyxxP
。由于
f
的二阶偏导数在
),( 00 yx
点连续，因此
),()~(,),()~(,),()~( 000000 yxfPfyxfPfyxfPf yyyyxyxyxxxx
,
其中
,,
为当
022 yx?
时的无穷小量。
于是
222
0000
2
00
0000
2),(),(2),(
2
1
),(),(
yyxxyyxfyxyxfxyxf
yxfyyxxf
yyxyxx
)1(),(),(2),(
2
1 2
0000
2
00
2
oyxfyxfyxf
yyxyxx
)0(
,
其中
yx?
,
。
由于
122
，因此，判断
),( 00 yxf
是否为极值的问题就转化为判断二次型
2
0000
2
00 ),(),(2),(),( yxfyxfyxfg yyxyxx
在单位圆周
S
}1),{( 222 R
上是否保号的问题。
若二次型
),(g
是正定的，那么
),(g
在 S 上的最小值一定满足
(,)
m in { (,) } 0gm
S
。
因此当
0
且
充分小时,
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
(,) (,)
1
(,) 2 (,) (,) ( 1 )
2
1
( 1 ) 0,
2
x x x y y y
f x x y y f x y
f x y f x y f x y o
mo
即
),( 00 yxf
为极小值。
若二次型
),(g
是正定的，那么
),(g
在 S 上的最小值一定满足
(,)
m in { (,) } 0gm
S
。
因此当
0
且
充分小时,
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
(,) (,)
1
(,) 2 (,) (,) ( 1 )
2
1
( 1 ) 0,
2
x x x y y y
f x x y y f x y
f x y f x y f x y o
mo
即
),( 00 yxf
为极小值。
类似地，若二次型 ),(g 为负定的，那么 ),( 00 yxf 为极大值。
若二次型 ),(g 是不定的，同样易知 ),( 00 yxf 既不是极大值，也不是极小值。
综合以上讨论，结合代数学的知识，就得到定理 1 2,6,2 设
),( 00 yx
为
f
的驻点,
f
在
),( 00 yx
附近具有二阶连续偏导数 。 记
),(),,(),,( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx
,
并记
2
BAC
CB
BA
H
,
那么
（ 1 ） 若
0?H
：
0?A
时
),( 00 yxf
为极小值 ；
0?A
时
),( 00 yxf
为极大值 ；
（ 2 ） 若
0?H
：
),( 00 yxf
不是极值 。
（ 3 ） 当
0?H
时，不难举例说明，
),( 00 yxf
可能是极值，也可能不是极值。
例 1 2,6,1 求函数
)0()(),( ayxaxyyxf
的极值。
解 先找驻点，即解方程组
.0)(
,0)(
xyyxax
y
f
xyyxay
x
f
易解出驻点为
),0(),0,(),0,0( aa
和
3
,
3
aa
。
再求二阶偏导数,
x
y
f
yxa
yx
f
y
x
f
2,22,2
2
22
2
2
,
得到计算结果
A B C
H
)0,0(
0 a 0 2a?
)0,( a
0 a? a2? 2a?
),0( a
a2?
a?
0
2a?
3
,
3
aa
a
3
2
3
a
a
3
2
2
3
1
a
从表中可以看出，
)0,(),0,0( a
和
),0( a
都不是
f
的极值点。而在
3
,
3
aa
点处，当 0?a 时，
273
,
3
3
aaa
f
为极大值；当 0?a 时，
273
,
3
3
aaa
f
为极小值。
例 1 2,6,2 讨论
5422 2),( yyxyxyxf
的极值。
解 解方程组
.0544
,022
43
2
yyxy
y
f
yx
x
f
求得驻点
)0,0(
。再计算二阶偏导数,
32
2
22
2
2
20124,4,2 yyx
y
f
y
yx
f
x
f
,
在
)0,0(
处有 02 BAC,这时候无法用定理判定。
注意到
0)0,0(?f
，以及
522 )(),( yyxyxf
，那么，在曲线
0,2 yyx
上
0),(?yxf；在曲线
0,2 yyx
上
0),(?yxf
，因此
0)0,0(?f
不是极值（见图 12,6,3 ）。
y
0,2 yyx
O x
2,0x y y
图 12,6,3
对于一般的多元函数，可同样得出定理 1 2,6,3 设 n 元函数 )( xf 在
0x ),,,( 00201 nxxx
附近具有二阶连续偏导数,且
0x
为 )( xf 的驻点 。 那么当二次型
()g?
0
,1
()
ij
n
x x i j
ij
f
x
正定时,
)( 0xf
为极小值 ； 当 ()g? 负定时,
)( 0xf
为极大值 ； 当 ()g? 不定时,
)( 0xf
不是极值 。
记
)( 0x
ji xxij
fa?
，并记
kknn
n
n
k
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,
它称为
f
的 k 阶 H es s e 矩阵。 由代数学知识即可得到推论 1 2,6,1 若
),,2,1(0d et nkA k
,则二次型
()g?
是正定的,
此时
)( 0xf
为极小值 ； 若
),,2,1(0d e t)1( nkA kk
,则二次型
()g?
是负定的,此时
)( 0xf
为极大值 。
例 1 2,6,3 设
22
2
2
1e),,,(
21
nxxx
nxxxf
，讨论它的极值。
解 显然
22
2
2
1e2),,,(
21
n
i
xxx
inx xxxxf
，
ni,,2,1
。
令
0
21
nxxx
fff?
,
解得驻点为
)0,,0,0(?
。再计算二阶偏导数得到
22
2
2
1e)21(2),,,( 2
21
n
ii
xxx
inxx xxxxf
，
ni,,2,1
,
及
22
2
2
1e4),,,(
21
n
ji
xxx
jinxx xxxxxf
，
jinji,,,2,1,?
。
那么
2)0,0,0(
ii xx
f
,
ni,,2,1
。
0)0,0,0(
ji xx
f
，
jinji,,,2,1,?
。
因此
f
的 H es s e 矩阵为
kk
IA 2
200
020
002
,
其中
kI
为 k 阶单位矩阵。于是
02d e t)1( kkk A
（
nk,,2,1
），因此
nA
是负定的。由推论 1 2,6,1,
1)0,,0,0(f
为极大值。
函数的最值最值问题是求函数在其定义域内某个区域上的最大值和最小值。
最值点可能在区域内部（此时必是极值点），也可能在区域的边界上，
因此，求函数的最值时，要求出它在区域内部的所有极值以及在区域边界上的最值，再加以比较，从中找出 f 在整个区域上的最值。
例 1 2,6,4 在以
)0,1(),0,0( AO
和
)1,0(B
为顶点的三角形所围成的闭区域上找点，使它们到三个顶点的距离平方和分别为最大和最小，并求出最大值和最小值。
y
),( yxP
O x
图 12,6,4
B
A
函数的最值最值问题是求函数在其定义域内某个区域上的最大值和最小值。
最值点可能在区域内部（此时必是极值点），也可能在区域的边界上，
因此，求函数的最值时，要求出它在区域内部的所有极值以及在区域边界上的最值，再加以比较，从中找出 f 在整个区域上的最值。
解 设
A B C?
上的一点为
),( yxP
，那么它到
BAO,,
三点的距离的平方和为
2 2 2 2 2 2
22
( 1 ) ( 1 )
3 3 2 2 2,
z x y x y x y
x y x y
我们先求函数 z 在
A B C?
内部的驻点。解方程组
.026
,026
y
y
z
x
x
z
得到驻点
3
1
,
3
1
。由于
6,0,6
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
，因此
0362 BACH,06A,于是
3
4
3
1
,
3
1
z
是极小值。
再讨论函数 z 在区域边界上的最大值与最小值。
在 OA 边上，
0?y
，因此
10,223 2 xxxz
。这个函数在区间
]1,0[
的端点 1?x 处（即 A 点）达到最大值 3,在
3
1
x
处达到最小值
3
5
。
在 OB 边上,0?x,因此
10,223 2 yyyz
。这个函数在区间
]1,0[
的端点
1?y
处（即 B 点）达到最大值 3,在
3
1
y
处达到最小值
3
5
。
在 AB 边上，
1 yx
，故有
10,366 2 xxxz
。这个函数在区间
]1,0[
的端点 0?x 和 1?x 处（即 A 点和 B 点）达到最大值 3,在
2
1
x
处达到最小值
2
3
。
综上所述,A,B 两点到 A B C? 的三个顶点的距离平方和最大，最大值为 3 。
3
1
,
3
1
点到三个顶点的距离平方和最小，最小值为
3
4
。
注 事实上，
3
1
,
3
1
点就是这个三角形的三条中线的交点，即重心。读者可以证明更一般的结论：三角形的重心到它的三个顶点的距离平方和最小。
计算函数在区域边界上的最值有时较为复杂。在实际问题中，往往可以根据问题的性质，判定函数的最值就在区域内部。此时，若偏导数在区域内处处存在，只要比较函数在驻点的值就能得到最值。特别地，如果函数在区域内只有一个驻点，就可以断定，它就是函数的最值点。
例 1 2,6,5 有一宽为 24 厘米的长方形铁板，把它两边折起来，做成一个横截面为等腰梯形的水槽。问采用怎样的折法，才能使梯形的截面积最大。
图 12,6,5
x x
24 24 2x?
解 设折起来的边长为
x
厘米，折角为
（如图 12,6,5 ），那么梯形的横截面的面积为
.c o ss ins in2s in24
s inc o s2)224()224(
2
1
),(
22
xxx
xxxxxA
依题意，其定义域为
(,) | 0 1 2,0 πxxD
。由于
).1c o s2(c o s2c o s24
)s in( c o sc o s2c o s24
),c o s212(s in2c o ss in2s in4s in24
222
2222
xxx
xxx
A
xxxx
x
A
令
0,0?
A
x
A
，得到方程组
.0)]1c o s2(c o s2c o s24[
,0)c o s212(s i n2
2
xxx
xx
我们求
),(?xA
在区域 D 内部的驻点。这时
0,0,πx
，上面的方程组就化为
.0)1c o s2(c o s2c o s24
,0c o s212
2
xx
xx
解此方程组得到
π
8,
3
x
，即
),(?xA
在 D 内的驻点为
π
8,
3
。
由实际背景，截面面积的最大值一定存在，且不在边界达到。现在面积函数
),(?xA
在 D 内只有一个驻点
π
8,
3
，因此它必为最大值点。
于是得到截面面积的最大值为
2π
8,4 8 3
3
A
厘 米
。
例 1 2,6,6 证明,
l n e,1,0yx y x x x x y
。
证 设?D
}0,1|),{( yxyx
，定义
(,) l n e yf x y x x x x y
，
(,)xy? D
。
对于每个
10?x
，由于在半直线
0xx?
，
0?y
上，
),( yxf
满足
0 0 0
0 0 0
(,) e 0,0 l n,
(,) e 0,l n,
y
y
f
x y x y x
y
f
x y x x y
y
因此在半直线
0xx?
，
0?y
上，
),( 0 yxf
在
00 ln xy?
达到最小值。
由于在曲线
l n ( 1 )y x x
上
),( yxf
满足
ln(,l n ) l n e l n 0xf x x x x x x x
,
因此在区域 D 上总成立
0),(?yxf
，即
l n e,1,0yx y x x x x y
,
且等号仅在曲线
l n ( 1 )y x x
上成立。
最小二乘法问题的一般提法是：已知一组大致满足线性关系的实验数据
x
1x
2x
3x
…
nx
y
1y
2y
3y
…
ny
要确定直线
baxy
，使得所有观测值
iy
与函数值
bax i?
之差的平方和
n
i
ii
baxyQ
1
2
)(
最小。这种方法叫做 最小二乘法 。
将
baxy
视为变量
y
与
x
之间的近似函数关系，称为这组数据在最小二乘意义下的 拟合曲线 （实践中常称为 经验公式 ）。确定常数
ba,
的方法就是二元函数求极值的方法。
显然
Q
是
ba,
的函数，令
,0222)(2
,0222)(2
111
111
2
1
nbyxabaxy
b
Q
xbyxxaxbaxy
a
Q
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
iii
就得到线性方程组
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
yx
b
a
nx
xx
1
1
1
11
2
。
解这个方程组，得到
.,
2
11
2
1111
2
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxxyx
b
xxn
yxyxn
a
由问题的实际情况，可知
Q
在
),( ba
点取最小值。
最小二乘法广泛应用于实际生活与科学研究中，物理学、化学、
生物学、医学、经济学、商业统计等方面都要用到它来确定经验公式。
在数学上，数理统计中的回归分析方法就要用到这个工具。熟悉计算机的读者会发现，许多计算机软件也是用这种方法来作出拟合曲线的。
)( xf
为定义在 D 上的函数,
0x ),,,(
00
2
0
1 nxxx
D 。 若存在
0x
的邻域
),( 0 rO x
,使得
) ),()(()()( 00 xxxx ffff 或?x ),( 0 rO x
,
则称
0x
为
f
的 极大值点 （ 或 极小值点 ）； 相应地，称
)( 0xf
为相应的 极大值 （ 或 极小值 ）； 极大值点与极小值点统称为 极值点,极大值与极小值统称为 极值 。
§ 6 无条件极值先考察一个点为极值点的必要条件。
定理 1 2,6,1 （必要条件） 设
0x
为函数
f
的极值点,且
f
在
0x
点可偏导,则
f
在
0x
点的各个一阶偏导数都为零,即
0)()()( 000
21
xxx
nxxx
fff?
。
证 只证明
0)( 0
1
xxf
，其 他 类似。考虑一元函数
),,,()( 00211 nxxxfx
,
则
0
1x
是
)( 1x?
的极值点。由于
f
在
0x
点可偏导，因此
)( 1x?
在
0
1x
点可导，
由 Ferm at 引理，即得到
)( 01x
=
0),,,( 00201
1
nx xxxf?
。
使函数
f
的各个一阶偏导数同时为零的点称为
f
的 驻点 。
注 首先，定理 1 2,6,1 的条件不是充分的，即 驻点不一定是极值点 。如马鞍面方程 xyyxf?),( 满足
0)0,0()0,0( yx ff,
但在 )0,0( 的任何邻域里，总同时存在使 ),( yxf 为正和为负的点。而
0)0,0(?f,因此 )0,0( 不是 f 的极值点（见图 1 2,6,1 ）。
z
y
O
x
图 12,6,1
其次，偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程
||),( xyxf?
，整个
y
轴上的每一点
),0( y
都是
f
的极小值点。但在
y
轴上的任一点
),0( y
处，
f
关于
x
的偏导数都不存在（见图 12,6,2 ）。
z
O y
x
图 12,6,2
那么，要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢？我们先对二元函数进行讨论。
设
),( yxfz?
在
),( 00 yx
点附近具有二阶连续偏导数，且
),( 00 yx
为
f
的驻点，即
0),(),( 0000 yxfyxf yx
,
那么由 T ay l o r 公式得到
22
0 0 0 0
1
(,) (,) { ( ) 2 ( ) ( ) }
2
x x x y y y
f x x y y f x y f P x f P x y f P y
,
其中
10),,(~ 00 yyxxP
。由于
f
的二阶偏导数在
),( 00 yx
点连续，因此
),()~(,),()~(,),()~( 000000 yxfPfyxfPfyxfPf yyyyxyxyxxxx
,
其中
,,
为当
022 yx?
时的无穷小量。
于是
222
0000
2
00
0000
2),(),(2),(
2
1
),(),(
yyxxyyxfyxyxfxyxf
yxfyyxxf
yyxyxx
)1(),(),(2),(
2
1 2
0000
2
00
2
oyxfyxfyxf
yyxyxx
)0(
,
其中
yx?
,
。
由于
122
，因此，判断
),( 00 yxf
是否为极值的问题就转化为判断二次型
2
0000
2
00 ),(),(2),(),( yxfyxfyxfg yyxyxx
在单位圆周
S
}1),{( 222 R
上是否保号的问题。
若二次型
),(g
是正定的，那么
),(g
在 S 上的最小值一定满足
(,)
m in { (,) } 0gm
S
。
因此当
0
且
充分小时,
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
(,) (,)
1
(,) 2 (,) (,) ( 1 )
2
1
( 1 ) 0,
2
x x x y y y
f x x y y f x y
f x y f x y f x y o
mo
即
),( 00 yxf
为极小值。
若二次型
),(g
是正定的，那么
),(g
在 S 上的最小值一定满足
(,)
m in { (,) } 0gm
S
。
因此当
0
且
充分小时,
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
(,) (,)
1
(,) 2 (,) (,) ( 1 )
2
1
( 1 ) 0,
2
x x x y y y
f x x y y f x y
f x y f x y f x y o
mo
即
),( 00 yxf
为极小值。
类似地，若二次型 ),(g 为负定的，那么 ),( 00 yxf 为极大值。
若二次型 ),(g 是不定的，同样易知 ),( 00 yxf 既不是极大值，也不是极小值。
综合以上讨论，结合代数学的知识，就得到定理 1 2,6,2 设
),( 00 yx
为
f
的驻点,
f
在
),( 00 yx
附近具有二阶连续偏导数 。 记
),(),,(),,( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx
,
并记
2
BAC
CB
BA
H
,
那么
（ 1 ） 若
0?H
：
0?A
时
),( 00 yxf
为极小值 ；
0?A
时
),( 00 yxf
为极大值 ；
（ 2 ） 若
0?H
：
),( 00 yxf
不是极值 。
（ 3 ） 当
0?H
时，不难举例说明，
),( 00 yxf
可能是极值，也可能不是极值。
例 1 2,6,1 求函数
)0()(),( ayxaxyyxf
的极值。
解 先找驻点，即解方程组
.0)(
,0)(
xyyxax
y
f
xyyxay
x
f
易解出驻点为
),0(),0,(),0,0( aa
和
3
,
3
aa
。
再求二阶偏导数,
x
y
f
yxa
yx
f
y
x
f
2,22,2
2
22
2
2
,
得到计算结果
A B C
H
)0,0(
0 a 0 2a?
)0,( a
0 a? a2? 2a?
),0( a
a2?
a?
0
2a?
3
,
3
aa
a
3
2
3
a
a
3
2
2
3
1
a
从表中可以看出，
)0,(),0,0( a
和
),0( a
都不是
f
的极值点。而在
3
,
3
aa
点处，当 0?a 时，
273
,
3
3
aaa
f
为极大值；当 0?a 时，
273
,
3
3
aaa
f
为极小值。
例 1 2,6,2 讨论
5422 2),( yyxyxyxf
的极值。
解 解方程组
.0544
,022
43
2
yyxy
y
f
yx
x
f
求得驻点
)0,0(
。再计算二阶偏导数,
32
2
22
2
2
20124,4,2 yyx
y
f
y
yx
f
x
f
,
在
)0,0(
处有 02 BAC,这时候无法用定理判定。
注意到
0)0,0(?f
，以及
522 )(),( yyxyxf
，那么，在曲线
0,2 yyx
上
0),(?yxf；在曲线
0,2 yyx
上
0),(?yxf
，因此
0)0,0(?f
不是极值（见图 12,6,3 ）。
y
0,2 yyx
O x
2,0x y y
图 12,6,3
对于一般的多元函数，可同样得出定理 1 2,6,3 设 n 元函数 )( xf 在
0x ),,,( 00201 nxxx
附近具有二阶连续偏导数,且
0x
为 )( xf 的驻点 。 那么当二次型
()g?
0
,1
()
ij
n
x x i j
ij
f
x
正定时,
)( 0xf
为极小值 ； 当 ()g? 负定时,
)( 0xf
为极大值 ； 当 ()g? 不定时,
)( 0xf
不是极值 。
记
)( 0x
ji xxij
fa?
，并记
kknn
n
n
k
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,
它称为
f
的 k 阶 H es s e 矩阵。 由代数学知识即可得到推论 1 2,6,1 若
),,2,1(0d et nkA k
,则二次型
()g?
是正定的,
此时
)( 0xf
为极小值 ； 若
),,2,1(0d e t)1( nkA kk
,则二次型
()g?
是负定的,此时
)( 0xf
为极大值 。
例 1 2,6,3 设
22
2
2
1e),,,(
21
nxxx
nxxxf
，讨论它的极值。
解 显然
22
2
2
1e2),,,(
21
n
i
xxx
inx xxxxf
，
ni,,2,1
。
令
0
21
nxxx
fff?
,
解得驻点为
)0,,0,0(?
。再计算二阶偏导数得到
22
2
2
1e)21(2),,,( 2
21
n
ii
xxx
inxx xxxxf
，
ni,,2,1
,
及
22
2
2
1e4),,,(
21
n
ji
xxx
jinxx xxxxxf
，
jinji,,,2,1,?
。
那么
2)0,0,0(
ii xx
f
,
ni,,2,1
。
0)0,0,0(
ji xx
f
，
jinji,,,2,1,?
。
因此
f
的 H es s e 矩阵为
kk
IA 2
200
020
002
,
其中
kI
为 k 阶单位矩阵。于是
02d e t)1( kkk A
（
nk,,2,1
），因此
nA
是负定的。由推论 1 2,6,1,
1)0,,0,0(f
为极大值。
函数的最值最值问题是求函数在其定义域内某个区域上的最大值和最小值。
最值点可能在区域内部（此时必是极值点），也可能在区域的边界上，
因此，求函数的最值时，要求出它在区域内部的所有极值以及在区域边界上的最值，再加以比较，从中找出 f 在整个区域上的最值。
例 1 2,6,4 在以
)0,1(),0,0( AO
和
)1,0(B
为顶点的三角形所围成的闭区域上找点，使它们到三个顶点的距离平方和分别为最大和最小，并求出最大值和最小值。
y
),( yxP
O x
图 12,6,4
B
A
函数的最值最值问题是求函数在其定义域内某个区域上的最大值和最小值。
最值点可能在区域内部（此时必是极值点），也可能在区域的边界上，
因此，求函数的最值时，要求出它在区域内部的所有极值以及在区域边界上的最值，再加以比较，从中找出 f 在整个区域上的最值。
解 设
A B C?
上的一点为
),( yxP
，那么它到
BAO,,
三点的距离的平方和为
2 2 2 2 2 2
22
( 1 ) ( 1 )
3 3 2 2 2,
z x y x y x y
x y x y
我们先求函数 z 在
A B C?
内部的驻点。解方程组
.026
,026
y
y
z
x
x
z
得到驻点
3
1
,
3
1
。由于
6,0,6
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
，因此
0362 BACH,06A,于是
3
4
3
1
,
3
1
z
是极小值。
再讨论函数 z 在区域边界上的最大值与最小值。
在 OA 边上，
0?y
，因此
10,223 2 xxxz
。这个函数在区间
]1,0[
的端点 1?x 处（即 A 点）达到最大值 3,在
3
1
x
处达到最小值
3
5
。
在 OB 边上,0?x,因此
10,223 2 yyyz
。这个函数在区间
]1,0[
的端点
1?y
处（即 B 点）达到最大值 3,在
3
1
y
处达到最小值
3
5
。
在 AB 边上，
1 yx
，故有
10,366 2 xxxz
。这个函数在区间
]1,0[
的端点 0?x 和 1?x 处（即 A 点和 B 点）达到最大值 3,在
2
1
x
处达到最小值
2
3
。
综上所述,A,B 两点到 A B C? 的三个顶点的距离平方和最大，最大值为 3 。
3
1
,
3
1
点到三个顶点的距离平方和最小，最小值为
3
4
。
注 事实上，
3
1
,
3
1
点就是这个三角形的三条中线的交点，即重心。读者可以证明更一般的结论：三角形的重心到它的三个顶点的距离平方和最小。
计算函数在区域边界上的最值有时较为复杂。在实际问题中，往往可以根据问题的性质，判定函数的最值就在区域内部。此时，若偏导数在区域内处处存在，只要比较函数在驻点的值就能得到最值。特别地，如果函数在区域内只有一个驻点，就可以断定，它就是函数的最值点。
例 1 2,6,5 有一宽为 24 厘米的长方形铁板，把它两边折起来，做成一个横截面为等腰梯形的水槽。问采用怎样的折法，才能使梯形的截面积最大。
图 12,6,5
x x
24 24 2x?
解 设折起来的边长为
x
厘米，折角为
（如图 12,6,5 ），那么梯形的横截面的面积为
.c o ss ins in2s in24
s inc o s2)224()224(
2
1
),(
22
xxx
xxxxxA
依题意，其定义域为
(,) | 0 1 2,0 πxxD
。由于
).1c o s2(c o s2c o s24
)s in( c o sc o s2c o s24
),c o s212(s in2c o ss in2s in4s in24
222
2222
xxx
xxx
A
xxxx
x
A
令
0,0?
A
x
A
，得到方程组
.0)]1c o s2(c o s2c o s24[
,0)c o s212(s i n2
2
xxx
xx
我们求
),(?xA
在区域 D 内部的驻点。这时
0,0,πx
，上面的方程组就化为
.0)1c o s2(c o s2c o s24
,0c o s212
2
xx
xx
解此方程组得到
π
8,
3
x
，即
),(?xA
在 D 内的驻点为
π
8,
3
。
由实际背景，截面面积的最大值一定存在，且不在边界达到。现在面积函数
),(?xA
在 D 内只有一个驻点
π
8,
3
，因此它必为最大值点。
于是得到截面面积的最大值为
2π
8,4 8 3
3
A
厘 米
。
例 1 2,6,6 证明,
l n e,1,0yx y x x x x y
。
证 设?D
}0,1|),{( yxyx
，定义
(,) l n e yf x y x x x x y
，
(,)xy? D
。
对于每个
10?x
，由于在半直线
0xx?
，
0?y
上，
),( yxf
满足
0 0 0
0 0 0
(,) e 0,0 l n,
(,) e 0,l n,
y
y
f
x y x y x
y
f
x y x x y
y
因此在半直线
0xx?
，
0?y
上，
),( 0 yxf
在
00 ln xy?
达到最小值。
由于在曲线
l n ( 1 )y x x
上
),( yxf
满足
ln(,l n ) l n e l n 0xf x x x x x x x
,
因此在区域 D 上总成立
0),(?yxf
，即
l n e,1,0yx y x x x x y
,
且等号仅在曲线
l n ( 1 )y x x
上成立。
最小二乘法问题的一般提法是：已知一组大致满足线性关系的实验数据
x
1x
2x
3x
…
nx
y
1y
2y
3y
…
ny
要确定直线
baxy
，使得所有观测值
iy
与函数值
bax i?
之差的平方和
n
i
ii
baxyQ
1
2
)(
最小。这种方法叫做 最小二乘法 。
将
baxy
视为变量
y
与
x
之间的近似函数关系，称为这组数据在最小二乘意义下的 拟合曲线 （实践中常称为 经验公式 ）。确定常数
ba,
的方法就是二元函数求极值的方法。
显然
Q
是
ba,
的函数，令
,0222)(2
,0222)(2
111
111
2
1
nbyxabaxy
b
Q
xbyxxaxbaxy
a
Q
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
iii
就得到线性方程组
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
yx
b
a
nx
xx
1
1
1
11
2
。
解这个方程组，得到
.,
2
11
2
1111
2
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxxyx
b
xxn
yxyxn
a
由问题的实际情况，可知
Q
在
),( ba
点取最小值。
最小二乘法广泛应用于实际生活与科学研究中，物理学、化学、
生物学、医学、经济学、商业统计等方面都要用到它来确定经验公式。
在数学上，数理统计中的回归分析方法就要用到这个工具。熟悉计算机的读者会发现，许多计算机软件也是用这种方法来作出拟合曲线的。
