中值定理定义 1 2,3,1 设 n? RD 是区域。若连结 D 中任意两点的线段都完全属于 D,即对于任意两点
0x
，
1x
D 和一切 ]1,0[,恒有
)( 010 xxx D
,
则称 D 为凸区域。
例如 2R 上的开圆盘
2 2 2 2{ (,) | ( ) ( ) }x y x a y b rRD
就是凸区域。
§ 3 中值定理和 Taylor公式定理 1 2,3,1 ( 中值定理 ) 设二元函数
),( yxf
在凸区域 2? RD 上可微，则对于 D 内任意两点
),( 00 yx
和
),( 00 yyxx
，至少存在一个
（
10
），使得
.),(),(
),(),(
0000
0000
yyyxxfxyyxxf
yxfyyxxf
yx



证 因为 D 是凸区域，所以
00(,)x t x y t y D
，
]1,0[?t
。
作辅助函数
),()( 00 ytyxtxft
,
这是定义在
]1,0[
上的一元函数，由已知条件，
)( t?
在
]1,0[
连续，在
)1,0(
可导，且
yytyxtxfxytyxtxft yx ),(),()( 0000?
。
由 L a g r a n g e 中值定理,可知存在
（
10
），使得
)()0()1(
。
注意
),()1( 00 yyxxf
，
),()0( 00 yxf
，并将
)( t
的表达式代入上式，即得到定理的结论。
推论 1 2,3,1 如果函数
),( yxf
在区域 2? RD 上的偏导数恒为零，
那么它在 D 上必是常值函数。
证 设
),( yx
是区域 D 上任意一点，则存在
0r
，使得点
),( yx
的邻域
)),,(( ryxO
D 。由定理 1 2,3,1,对任意的
),( yx )),,(( ryxO
，存在
（
10
），使得
0),(),(),(),( yyyxxfxyyxxfyxfyxf yx
,
其中
xxx
，
yyy
。因此
),(),( yxfyxf
，
),( yx )),,(( ryxO
,
即
),( yxf
在
)),,(( ryxO
上是常值函数。
现设
),( 00 yx
为区域 D 上一定点，
),( yx
为区域 D 上任意一点，则存在连续映射
]1,0[:?
D,满足
])1,0([?
D,
)0(? ),(
00 yx
，
)1(? ),( yx
，
即
是区域 D 中以
),( 00 yx
为起点，以
),( yx
为终点的道路。于是函数
))(( tf?
在
]1,0[
连续，且满足
),())0(( 00 yxff
，
),())1(( yxff
。
记
]},0[),,())0(())((|]1,0[s u p { 000 styxfftfst
,
则
00?t
，且由
))(( tf?
的连续性，有
),())(( 000 yxftf
。
由于
0()t D
，根据上面的证明，存在
)( 0t?
的邻域
)),(( 00 rtO?
，使得
)),(( 00 rtO?
D,且对于一切?),( yx
)),(( 00 rtO?
，成立
),( yxf ),())(( 000 yxftf
。
如果
10?t
，由
)( t?
的连续性可知，对于充分小的
0 t
，有
10 tt
及
)),(()( 000 rtOtt
，从而又成立
))(( 0 ttf ),())(( 000 yxftf
，
这与
0t
的定义矛盾，于是必有
10?t
。所以
),())0(())1((),( 00 yxfffyxf
,
即
),( yxf
在 D 上是常值函数。
下面是一般 n 元函数的中值定理。
定理 1 2,3,2 设 n 元函数
),,,( 21 nxxxf?
在凸区域 n? RD 上连续，
且在 D 上可微，则对于 D 内任意两点
),,,( 00201 nxxx?
和
),,,( 0202101 nn xxxxxx
，至少存在一个? （ 10 ），使得
),,,(),,,( 002010202101 nnn xxxfxxxxxxf
inn
n
i
x xxxxxxxf i
),,,( 0202101
1

。
T a y l o r 公式定理 1 2,3,3 （ T a y l o r 公式 ） 设
),( yxf
在 点
),( 00 yx
的邻域
U?
)),,(( 00 ryxO
上具有
1?k
阶 连 续 偏导 数,那么对于
U
内每一点
),( 00 yyxx
都成立
),( 00 yyxxf
=




),(
!2
1
),(),(
00
2
0000
yxf
y
y
x
xyxf
y
y
x
xyxf
),(
!
1
00
yxf
y
y
x
x
k
k


+
kR
,
其中
),(
)!1(
1
00
1
yyxxf
y
y
x
x
k
R
k
k



（
10
） 称为
La g ra n g e 余项 。
注
0 0 0 0
0
(,) C (,) ( ) ( )
p
pp
i p i i
p p i i
i
f
x y f x y x y x y
x y x y



（
1?p
）。
证 对于给定点
),( 00 yyxx
U,构造辅助函数
),()( 00 ytyxtxft
,
则由定理条件，一元函数
)( t?
在
|| t
≤ 1 上具有
1?k
阶 连续导数，因此在 t = 0 处成立 T ay l o r 公式
10,)(
)!1(
1
)0(
!
1
)0(
!2
1
)0()0()(
1)1()(2




kkkk
tt
k
t
k
ttt?
。
特别当
1?t
时，有
10),(
)!1(
1
)0(
!
1
)0(
!2
1
)0()0()1(
)1()(



kk
kk
。
应用复合函数求导的链式规则易算出
),,()(
),,()(
00
2
00
ytyxtxf
y
y
x
xt
ytyxtxf
y
y
x
xt






……
),,()(
00
)(
ytyxtxf
y
y
x
xt
k
k



代入上面
(1 ) 的表示式即得定理结论。
当
0?k
时，就得到在
U? )),,((
00 ryxO
上的中值公式
0 0 0 0(,) (,)f x x y y f x y
0 0 0 0(,) (,),0 1xyf x x y y x f x x y y y
。
推论 1 2,3,2 设 ),( yxf 在点
),( 00 yx
的某个邻域上具有 1?k 阶连续偏导数，那么在点
),( 00 yx
附近成立
),( 00 yyxxf
=






),(
!2
1
),(),( 00
2
0000 yxfyyxxyxfyyxxyxf
),(
!
1
00 yxfyyxxk
k




+

k
yxo 22
。
例 1 2,3,1 在计算机上求
x
f
在点
),( yx
的值，通常选取一个很小的
h,然后用 中心差商
h
y
h
xfy
h
xf ),
2
(),
2
(
近似代替
x
f
),( yx
。对
),(
2
2
yx
x
f
作同样处理，即有
),(
2
2
yx
x
f
≈
h
1
[
x
f
),
2
( y
h
x?
-
x
f
),
2
( y
h
x?
]
≈
h
h
yhxfyxf
h
yxfyhxf ),(),(),(),(

=
2
),(),(2),(
h
yhxfyxfyhxf
。
在 y 方向也采用这个方法，并记
),( yxfh? =
2
),(4),(),(),(),(
h
yxfhyxfyhxfhyxfyhxf,
就可以通过计算 ),( yxf
h?
来求得
),(2
2
2
2
yxfyx


的近似值。
这是一个重要的近似计算公式。由于在计算
),( yx
处的二阶偏导数时用到了
),( yxf
在它及它的上下左右共五个点的函数值 ( 见图 1 2,3.1 ),
因此称
),( yxfh?
为 五点差分格式 。
图 1 2,3,1
(,)xy
(,)x y h?
(,)x h y?(,)x h y?
(,)x y h?
在 y 方向也采用这个方法，并记
),( yxfh? =
2
),(4),(),(),(),(
h
yxfhyxfyhxfhyxfyhxf,
就可以通过计算 ),( yxf
h?
来求得
),(2
2
2
2
yxfyx


的近似值。
定理 1 2,3,4 设 n 元函数
),,,( 21 nxxxf?
在点
),,,( 00201 nxxx?
附近具有
1?k
阶的连续偏导数,那么在这点附近成立如下的 T ay l o r 公式,
),,,( 0202101 nn xxxxxxf



),,,(
!2
1
),,,(),,,(
00
2
0
1
2
1
00
2
0
1
1
00
2
0
1 n
n
i i
in
n
i i
in
xxxf
x
xxxxf
x
xxxxf
),,,(
!
1 00
2
0
1
1
n
k
n
i i
i
xxxf
x
x
k


+
kR
,
其中
kR
=
10),,,,(
)!1(
1 0
2
0
21
0
1
1
1

nn
k
n
i i
i
xxxxxxf
x
x
k
,
为 L a g ra n g e 余项。