前面讨论的函数大多是
),( yxfz?
形式，如
xyz?
和
22 yxz
等。
这种函数表达形式通常称为显函数。
但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 K ep l e r 方程
),( yxF 10,0s i n yxy
,
这里 x 是时间，
y
是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度,? 是行星运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑，
y
必定是 x 的函数，
但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。
这种自变量和因变量混合在一起的方程（组）
(,) 0F x y?
，在一定条件下也表示 y 与 x 之间的函数关系，通称 隐函数 。
那么自然要问，这种函数方程（组）在什么条件下确实表示了 一个隐函数（向量值隐函数），如何保证该隐函数 连续和可微？
§ 4 隐函数那么
（ ⅰ ）在点
),( 00 yx
附近可以从函数方程
0),(?yxF
唯一确定隐函数
),(),( 0?xOxxfy
,
它满足
0))(,(?xfxF
，以及
)( 00 xfy?；
（ ⅱ ） 隐函数
)( xfy?
在
),( 0?xOx?
上 连续 ；
（ ⅲ ） 隐函数
)( xfy?
在
),( 0?xOx?
上 具有连续的导数,且
(,)d
d (,)
x
y
F x yy
x F x y
。
单个方程的情形定理 1 2,4,1 （一元隐函数存在定理） 若二元函数
),( yxF
满足条件,
（ 1 ）
0),( 00?yxF；
（ 2 ） 在闭矩形
00{ (,) | | |,| | }x y x x a y y bD
上,
),( yxF
连续,且具有连续偏导数 ；
（ 3 ）
0),( 00?yxF y
。
证 不失一般性，设
0),( 00?yxF y
。
先证明隐函数的存在性。
由
0),( 00?yxF y
与
),( yxF y
的连续性，可知存在
ba 0,0
，
使得在闭矩形
*
00{ (,) | | |,| | }x y x x y yD
上成立
0),(?yxF y
。
于是，对固定的
0x
,y 的函数
),( 0 yxF
在
],[ 00 yy
是严格单调增加的。又由于
0),( 00?yxF
，从而
0),(,0),( 0000 yxFyxF
。
由于
),( yxF
在 *D 上连续性，于是存在
0
，使得在线段
000,yyxxx
上
0),( 0yxF
，而在线段
000,yyxxx
上
0),( 0yxF
。
因此，对于
),( 00 xx
内的任一点 x,将
),( yxF
看成 y 的函数，
它在
],[ 00 yy
上是连续的，而由刚才的讨论知道
0),(,0),( 00 yxFyxF
,
根据零点存在定理，必有
),( 00 yyy
使得
0),(?yxF
。又因为在 *D
上
0?yF
，因此这样的
y
是唯一的。
将
y
与
x
的对应关系记为
y )( xf?
，就得到定义在
),( 00 xx
上的函数
)( xfy?
，它满足
0))(,(?xfxF
，而且显然成立
)( 00 xfy?
。
y
0y
0?F
0y
),( 00 yx
y
0y
0?F
O
x
0x
0x
x
图 12,4,2
0x
再证隐函数
)( xfy?
在
),( 00 xx
上的连续性。
设 x 为
),( 00 xx
上的任一点。对于任意给定的 0 （? 充分小），由于
0),(?yxF
（
)( xfy?
），由前面的讨论知道
0),(,0),( yxFyxF
。
而由于
),( yxF
在 *D 上的连续性，一定存在 0,使得当
),(?xOx?
时,
0),(,0),( yxFyxF
。
通过类似前面的讨论即得到，当
),(?xOx?
时，相应的隐函数值必满足
),()( yyxf
，即
|)()(| xfxf
。
这就是说，
)( xfy?
在
),( 00 xx
上连续。
最后证明
)( xfy?
在
),( 00 xx
上的可导性。
设
x
为
),( 00 xx
上的任一点。取
x?
充分小使得
xx
),( 00 xx
，记
)( xfy?
以及
)( xxfyy
，则显然成立
0),(?yxF
和
0),( yyxxF
。
应用多元函数的微分中值定理，得到
),(),(0 yxFyyxxF
yyyxxFxyyxxF yx ),(),(
,
其中
10
。注意到在 *D 上
0?yF
，因此
),(
),(
yyxxF
yyxxF
x
y
y
x
。
令
0 x
,注意到
xF
和
yF
的连续性，就得到
(,)d
d (,)
x
xx y
F x yy
x F x y
。
即
))(,(
))(,(
)(
xfxF
xfxF
xf
y
x
。
定理 1 2,4,1 只是保证了在一定的条件下，函数方程 0),(?yxF 在局部（不一定是整体）确定了
y
关于 x 的函数关系 )( xfy?,而并不意味这种关系能用显式具体表示出来。例如 K ep l er 方程
10,0s i n yxy,
如果取 yxyyxF s i n),(,那么
0c o s1),(yxF y
，所以
y
对 x 的依赖关系，即隐函数 )( xfy? 是肯定存在的。但遗憾的是，它不能用显式表示。
定理 1 2,4,1 可以直接推广到多元函数的情形。
定理 1 2,4,2（多元隐函数存在定理） 若 1?n 元函数
),,,,( 21 yxxxF n?
满足条件,
（ 1 ）
0),,,,( 000201?yxxxF n?；
（ 2 ） 在闭长方体
00{ (,) | | |,| |,1,2,,}
i i ix y y y b x x a i nD
上,函数 F 连续,且具有连续偏导数
niFF ixy,,2,1,,；
（ 3 ）
0),,,,( 000201?yxxxF ny?
。
那么
（ ⅰ ） 在点
),,,,( 000201 yxxx n?
附近可以从函数方程
0),,,,( 21?yxxxF n?
唯一确定隐函数
),,,(),,,,( 2121 nn xxxxxxfy )),,,,(( 00201?nxxxO
,
它满足
0)),,,(,,,,( 2121?nn xxxfxxxF
，以及
),,,( 002010 nxxxfy；
（ ⅱ ） 隐函数
),,,( 21 nxxxfy
在
)),,,,(( 00201?nxxxO?
上 连续 ；
（ ⅲ ） 隐函数
),,,( 21 nxxxfy
在
)),,,,(( 00201?nxxxO?
上 具有连续的偏导数,且
ni
yxxxF
yxxxF
x
y
ny
nx
i
i
,,2,1,
),,,,(
),,,,(
21
21
。
在具体计算中，方程
0),,,,( 21?yxxxF n?
所确定的隐函数
),,,( 21 nxxxfy
的偏导数通常可如下直接计算：在方程两边对
ix
求偏导，利用复合函数求导的链式规则即得
0?
ii x
y
y
F
x
F
,
于是
y
x
i
i
F
F
y
F
x
F
x
y
i
,
ni,,2,1
。
例 1 2,4,1 在上半椭球面
)0(1
2
2
2
2
2
2
z
c
z
b
y
a
x
上，求
x
z
和
y
z
。
解 记
01),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyxF
,
则
0
2
2
c
z
F
z
保证了隐函数
),( yxfz?
的存在性。
在方程两边分别对
x
和
y
求偏导，得到
0
22
22
x
z
c
z
a
x
,
0
22
22
y
z
c
z
b
y
,
从而有
z
x
a
c
x
z
2
2
,
z
y
b
c
y
z
2
2
。
例 1 2,4,2 设方程
zzyx 4222
确定 z 为
yx,
的函数，求
2
2
x
z
和
yx
z
2 。
解 在方程
zzyx 4222
两边对
x
求偏导,
x
z
x
z
zx
422
,
于是
z
x
x
z
2
。
再在前一 等式两边对
x
求偏导,
2
2
2
22
4222
x
z
x
z
z
x
z
,
得到
3
22
2
2
2
)2(
)2(
2
1
z
xz
z
x
z
x
z
。
在方程
zzyx 4222
两边对
y
求偏导,
y
z
y
z
zy
422
,
于是
z
y
y
z
2
。
再在前一等式两边对 x 求偏导,
yx
z
yx
z
z
y
z
x
z
22
422
,
得到
3
2
)2(2 z
xy
z
y
z
x
z
yx
z
。
例 1 2,4,3 设方程
0),(?yzxzF
确定 z 为
yx,
的函数，其中 F 具有二阶连续偏导数，求
2
2
x
z
。
解 当
0
21
yFxF
z
F
，可以应用隐函数存在定理，在方程
0),(?yzxzF
两边对
x
求偏导,
0
21
F
x
z
yF
x
z
xz
,
于是
21
1
yFxF
zF
x
z
。
再在前一等式两边对
x
求偏导，得到
2222
1 11 12 2 2222
2 2 0
z z z z z z z
x F z x F z x y F y F y F
x x x x x x x
。
于是
.
22
22
21
22
2
1211
2
1
21
22
2
1211
2
1
2
2
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
x
z
将
21
1
yFxF
zF
x
z
代入上式，就得到
2 2 2 2
22
2 1 1 1 2 1 2 1 2 2
1
232
1 2 1 2
22 y z F F F F F F FzFz
x x F y F x F y F
。
多个方程的情形由线性代数的知识知道，在
0
22
11
ba
ba
时，从线性方程组
0
,0
2222
1111
ydxcvbua
ydxcvbua
中可以唯一解出
)(
)()(
,
)(
)()(
2121
21212121
2121
21212121
abba
yaddaxacca
v
abba
ydbbdxcbbc
u
。
也就是说，这时可以确定
vu,
为
yx,
的函数，或者说
),( vu
是
),( yx
的向量值函数。
对于一般的函数方程组
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
在一定的条件下，也可以在某个局部确定
vu,
为
yx,
的函数。
定理 1 2,4,3 （多元向量值隐函数存在定理） 设函数
),,,( vuyxF
和
),,,( vuyxG
满足条件,
（ 1 ）
0),,,(,0),,,( 00000000 vuyxGvuyxF；
（ 2 ） 在闭长方体
0 0 0 0{ (,,,) | | |,| |,| |,| | }x y u v x x a y y b u u c v v dD
上,函数
GF,
连续,且具有连续偏导数 ；
（ 3 ） 在
),,,( 0000 vuyx
点,行列式
0
),(
),(
vu
vu
GG
FF
vu
GF
。
那么
（ ⅰ ） 在点
),,,( 0000 vuyx
附近可以从函数方程组
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
唯一确定向量值隐函数
)),,((),(,
),(
),(
00
yxOyx
yxg
yxf
v
u
,
它满足
,0)),(),,(,,(
,0)),(),,(,,(
yxgyxfyxG
yxgyxfyxF
以及
),(),,( 000000 yxgvyxfu；
（ ⅱ ） 这个 向量值隐函数在
)),,(( 00?yxO
上 连续 ；
（ ⅲ ） 这个 向量值 隐函数 在
)),,(( 00?yxO
上 具有连续的导数,且
yx
yx
vu
vu
GG
FF
GG
FF
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
证 我们先证明向量值隐函数的存在性、连续性和可导性。
由于在点
),,,( 0000 vuyx
处
0
),(
),(
vu
vu
GG
FF
vu
GF
,
所以
uF
与
vF
至少有一个在此点不为零。不妨假设
uF
不等于零，那么对方程
0),,,(?vuyxF
应用隐函数存在定理，知道在
),,,( 0000 vuyx
附近，存在具有连续偏导数的隐函数
),,( vyxu
，满足
0)),,,(,,(?vvyxyxF?
，
),,( 0000 vyxu
，且
u
v
v
F
F
。
将
),,( vyxu
代入
0),,,(?vuyxG
，得到函数方程
0)),,,(,,(),,( vvyxyxGvyxH?
。
由于在
),,( 000 vyx
点处,
0
),(
),(1
vu
GF
FF
GFGF
G
F
F
GGGH
uu
uvvu
v
u
v
uvvuv?
,
对方程
(,,) 0H x y v?
应用隐函数存在定理，知道在
),,( 000 vyx
附近，存在具有连续偏导数的隐函数
),( yxgv?
，它满足
0)),(,,(?yxgyxH
，即
0)),()),,(,,(,,(?yxgyxgyxyxG?
。记
)),(,,(),( yxgyxyxf
，那么在
),( 00 yx
附近成立
(,,(,),(,) ) 0,
(,,(,),(,) ) 0,
F x y f x y g x y
G x y f x y g x y
由隐函数存在定理知道函数 ),,( vyxu 在 ),,(
000 vyx
附近、
),( yxgv? 在 ),( 00 yx 附 近 都 具 有 连 续 偏 导 数,因 此 复 合 函 数
)),(,,(),( yxgyxyxf 在 ),( 00 yx 附近具有连续偏导数。即向量值函数
),(
),(
yxg
yxf
v
u 在某个邻域 )),,(( 00?yxO 内具有连续导数。
为了求向量值隐函数的导数，应用多元函数求导的链式规则，就有
,0
,0
x
v
v
G
x
u
u
G
x
G
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
因此
x
G
x
F
x
v
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
同理得到
y
G
y
F
y
v
y
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
将两个矩阵式子合并，就得到
y
G
x
G
y
F
x
F
y
v
x
v
y
u
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
,
即
y
G
x
G
y
F
x
F
v
G
u
G
v
F
u
F
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
注 将（ ⅲ ）的导数公式分解出来就是
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
x
v
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
yu
GF
y
v
。
进一步，我们考虑一般地
m
个
mn?
元函数组成的方程组
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
称
m
mmm
m
m
m
m
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
yyy
FFF
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
21
),,,(
),,,(
为函数
mFFF,,,21?
关于变量
myyy,,,21?
的 J a c o bi 行列式 。
定理 1 2,4,4 设 m 个 mn? 元函数
),,2,1(),,,,,,,( 2121 miyyyxxxF mni
满足以下条件,
1 ）
miyyyxxxF mni,,2,1,0),,,,,,,( 0020100201；
2 ） 在闭长方体
00
1 2 1 2{ (,,,,,,,) | | |,| |,1,2,,; 1,2,,}n m i i i j j jx x x y y y x x a y y b i n j mD
上,函数
),,2,1( miF i
连续,且具有连续偏导数 ；
3 ） 在
),,,,,,,( 0020100201 mn yyyxxx
点处,J ac o b i 行列式
0
),,,(
),,,(
21
21?
m
m
yyy
FFF
。
那么
( ⅰ ) 在点
),,,,,,,( 0020100201 mn yyyxxx
的某个邻域上，可以从函数方程组
0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
唯一确定向量值隐函数
)),,,,((),,,(,
),,,(
),,,(
),,,(
00
2
0
121
21
212
211
2
1
nn
nm
n
n
m
xxxOxxx
xxxf
xxxf
xxxf
y
y
y
,
它满足方程
0)),,,(,),,,,(),,,,(,,,,(
2121221121
nmnnni
xxxfxxxfxxxfxxxF,
以及 ),,2,1(),,,(
00
2
0
1
0
mixxxfy
nii
；
( ⅱ ) 这个向量值隐函数在
)),,,,((
00
2
0
1
n
xxxO?
上连续 ；
( ⅲ ) 这个向量值隐函数在
)),,,,((
00
2
0
1
n
xxxO?
上具有连续的导数,
且
n
mmm
n
n
m
mmm
m
m
n
mmm
n
n
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
。
在具体计算向量值隐函数的导数时，通常用如下方法：分别对
miyyyxxxF
mni
,,2,1,0),,,,,,,(
2121
关于 jx 求偏导，得到
m
k j
k
k
i
j
i
mi
x
y
y
F
x
F
1
,,2,1,0? 。
解这个联立方程组，应用 Cram er 法则就得到
njmk
yyy
FFF
yyxyy
FFFFF
x
y
m
m
mkjk
mkkk
j
k
,,2,1;,,2,1,
),,,(
),,,(
),,,,,,(
),,,,,,(
21
21
111
111
。
例 1 2,4,4 设
)(
),(
xzz
xyy 是由方程组
0),,(
),(
zyxF
yxxfz 所确定的 向量值隐函数，其中
f
和 F 分别具有连续的导数和偏导数，求
d
d
z
x
。
解 分别对方程
)( yxxfz
和
0),,(?zyxF
的两边关于 x 求偏导数,
dd
( ) 1 ( ),
dd
dd
0.
dd
zy
f x y x f x y
xx
F F y F z
x y x z x
整理后得到
dd
( ) ( ) ( ),
dd
dd
.
dd
yz
x f x y f x y x f x y
xx
F y F z F
y x z x x
解此方程组即得
( ) ( ) ( )
d
d
()
FF
f x y x f x y x f x y
z yx
FFx
x f x y
zy
。
例 1 2,4,5 设函数方程组
333333
222222
,
,
cyxwvu
byxwvu
ayxwvu
确定
wvu,,
为
yx,
的隐函数。求
x
w
x
v
x
u
,,
。
解 将方程组化为
,0),,,,(
,0),,,,(
,0),,,,(
333333
222222
cyxwvuwvuyxH
byxwvuwvuyxG
ayxwvuwvuyxF
那么在
0))()((6
333
222
111
),,(
),,(
222
uwvwuv
wvu
wvu
wvu
HGF
的条件下，可以确定
),,( wvu
为
),( yx
的向量值函数。
此时，对以上三个方程关于 x 求偏导，得到
.03333
,02222
,01
2222
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
w
x
v
x
u
解此方程组就得到
))((
))((
,
))((
))((
,
))((
))((
wvwu
xvxu
x
w
vwvu
xwxu
x
v
uwuv
xwxv
x
u
。
例 1 2,4,6 设函数
),( yxzz?
具有二阶连续偏导数，并满足方程
02
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
。
对自变量作变换
,
,
yxv
yxu
对因变量也作变换
zxyw
，导出
w
关于
vu,
的偏导数所满足的方程。
解 从自变量的变换中可以解出
2
,
2
vu
y
vu
x
，因此
zxyw
也是
vu,
的函数。由于
wxyz
，利用复合函数求导的链式规则对此等式两边关于
x
和
y
分别求偏导，得到
.
,
v
w
u
w
x
y
v
v
w
y
u
u
w
x
y
z
v
w
u
w
y
x
v
v
w
x
u
u
w
y
x
z
进一步还可得到
.2
,11
,2
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
22
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
y
z
v
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
yx
z
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
x
z
将这些表达式代入方程
02
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
，就得到
2
1
2
2
u
w
。
实际上，还可以将这个方程解出来。对等式
2
1
2
2
u
w
两边求积分，
得到
)(
2
1
vu
u
w
,
再求一次积分，就得到
)()(
4
1 2
vuvuw
,
其中
与
是任意的二阶连续可微函数。根据所用的变量代换，就知道方程
02
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
的解的一般形式为
)()()()(
4
1 2
yxyxyxyxxyz
。
这个例子说明，通过 适当的变量代换，可以将微分方程化简乃至解出，这是微分方程和数学物理中常用的方法。
逆映射定理设 D 为 2R 中的开集，
f,?D
2R 为映射，其坐标分量函数表示为
).,(
),,(
vuyy
vuxx
如果
f
在 D 上可导（即
),( vux
和
),( vuy
在 D 上可偏导），我们称
),(
),(
vu
yx
为映射
f
的 J a co b i 行列式 。
定理 1 2,4,5 设
),( 000 vuP
D,
),(),,( 000000 vuyyvuxx
，
),( 000 yxP
,且
f
在 D 上具有连续导数 。 如果在
0P
点处
f
的 J ac o b i 行列式
0
),(
),(
vu
yx
。
那么存在
0P?
的一个邻域
),( 0?P?O
,在这个邻域上存在
f
的 具有连续导数的逆映射 g,
),,(
),,(
yxvv
yxuu ),(),(
0?P Oyx
,
满足
（ 1 ）
),(),,( 000000 yxvvyxuu；
（ 2 ）
(,) (,)
,
(,) (,)
uu y x y x x y
v u v v u vxy
,
(,) (,)
,
(,) (,)
vv y x y x x y
u u v u u vxy
。
证 考虑函数方程组
.0),(),,,(
,0),(),,,(
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
由假设，在
),,,( 0000 vuyx
点处
0
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
GF
。
由向量值函数的隐函数存在定理，在
),,,( 0000 vuyx
附近存在向量值函数
(,),
:
(,),
u u x y
v v x y
g
),(),( 0?P Oyx
,
满足
（ i ）
),(),,( 000000 yxvvyxuu；
（ ii ）
,)),(),,((
,)),(),,((
yyxvyxuy
xyxvyxux
而且
),( yxu
和
),( yxv
在
),( 0?P?O
上具有连续的偏导数。这也说明在
),( 0?P?O
上 g 为
f
的逆映射。
在（ ii ）式中对 x 求偏导，得到
1?
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0?
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
。
注 从定理的结论（ 2 ）可以立即得到
1),( ),(),( ),( yx vuvu yx
,
即映射 f 与其逆映射 g 的 J a co b i 行列式互为倒数，这是一元函数的反函数求导公式的推广。
在（ ii ）式中对 x 求偏导，得到
1?
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0?
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
。
例如极坐标变换 （即映射）
,s in
,c o s
ry
rx
的 J ac o b i 行列式为
r
r
r
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),( 。
因此在任意点
),( yx
（ 022 yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr
。
一般来说，连续映射不一定将开集映射为开集。例如，常值映射就不是将开集映射为开集。但若一个连续映射在某个开集上的 J ac o b i
行列式恒不等于零，那么它将这个开集映射为开集，这就是下面的定理。
例如极坐标变换 （即映射）
,s in
,c o s
ry
rx
的 J ac o b i 行列式为
r
r
r
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),( 。
因此在任意点
),( yx
（ 022 yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr
。
定理 12.4,6 设 D 为 2R 中的开集,且映射 f 2,? RD 在 D 上具有连续导数 。 如果 f 的 Ja c o bi 行列式在 D 上恒不为零,那么 D 的像集 f ()D
是开集 。
证 设
),( 000 yxP
为 f )( D 上的任一点，那么从定理 12.4,5 的证明可知，存在
0P?
的一个邻域
),( 0?P?O
，使得这个邻域中的点都是 f 的像点，因此
0P?
是 f ()D 的内点。这就是说,f ()D 是开集。
),( yxfz?
形式，如
xyz?
和
22 yxz
等。
这种函数表达形式通常称为显函数。
但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 K ep l e r 方程
),( yxF 10,0s i n yxy
,
这里 x 是时间，
y
是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度,? 是行星运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑，
y
必定是 x 的函数，
但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。
这种自变量和因变量混合在一起的方程（组）
(,) 0F x y?
，在一定条件下也表示 y 与 x 之间的函数关系，通称 隐函数 。
那么自然要问，这种函数方程（组）在什么条件下确实表示了 一个隐函数（向量值隐函数），如何保证该隐函数 连续和可微？
§ 4 隐函数那么
（ ⅰ ）在点
),( 00 yx
附近可以从函数方程
0),(?yxF
唯一确定隐函数
),(),( 0?xOxxfy
,
它满足
0))(,(?xfxF
，以及
)( 00 xfy?；
（ ⅱ ） 隐函数
)( xfy?
在
),( 0?xOx?
上 连续 ；
（ ⅲ ） 隐函数
)( xfy?
在
),( 0?xOx?
上 具有连续的导数,且
(,)d
d (,)
x
y
F x yy
x F x y
。
单个方程的情形定理 1 2,4,1 （一元隐函数存在定理） 若二元函数
),( yxF
满足条件,
（ 1 ）
0),( 00?yxF；
（ 2 ） 在闭矩形
00{ (,) | | |,| | }x y x x a y y bD
上,
),( yxF
连续,且具有连续偏导数 ；
（ 3 ）
0),( 00?yxF y
。
证 不失一般性，设
0),( 00?yxF y
。
先证明隐函数的存在性。
由
0),( 00?yxF y
与
),( yxF y
的连续性，可知存在
ba 0,0
，
使得在闭矩形
*
00{ (,) | | |,| | }x y x x y yD
上成立
0),(?yxF y
。
于是，对固定的
0x
,y 的函数
),( 0 yxF
在
],[ 00 yy
是严格单调增加的。又由于
0),( 00?yxF
，从而
0),(,0),( 0000 yxFyxF
。
由于
),( yxF
在 *D 上连续性，于是存在
0
，使得在线段
000,yyxxx
上
0),( 0yxF
，而在线段
000,yyxxx
上
0),( 0yxF
。
因此，对于
),( 00 xx
内的任一点 x,将
),( yxF
看成 y 的函数，
它在
],[ 00 yy
上是连续的，而由刚才的讨论知道
0),(,0),( 00 yxFyxF
,
根据零点存在定理，必有
),( 00 yyy
使得
0),(?yxF
。又因为在 *D
上
0?yF
，因此这样的
y
是唯一的。
将
y
与
x
的对应关系记为
y )( xf?
，就得到定义在
),( 00 xx
上的函数
)( xfy?
，它满足
0))(,(?xfxF
，而且显然成立
)( 00 xfy?
。
y
0y
0?F
0y
),( 00 yx
y
0y
0?F
O
x
0x
0x
x
图 12,4,2
0x
再证隐函数
)( xfy?
在
),( 00 xx
上的连续性。
设 x 为
),( 00 xx
上的任一点。对于任意给定的 0 （? 充分小），由于
0),(?yxF
（
)( xfy?
），由前面的讨论知道
0),(,0),( yxFyxF
。
而由于
),( yxF
在 *D 上的连续性，一定存在 0,使得当
),(?xOx?
时,
0),(,0),( yxFyxF
。
通过类似前面的讨论即得到，当
),(?xOx?
时，相应的隐函数值必满足
),()( yyxf
，即
|)()(| xfxf
。
这就是说，
)( xfy?
在
),( 00 xx
上连续。
最后证明
)( xfy?
在
),( 00 xx
上的可导性。
设
x
为
),( 00 xx
上的任一点。取
x?
充分小使得
xx
),( 00 xx
，记
)( xfy?
以及
)( xxfyy
，则显然成立
0),(?yxF
和
0),( yyxxF
。
应用多元函数的微分中值定理，得到
),(),(0 yxFyyxxF
yyyxxFxyyxxF yx ),(),(
,
其中
10
。注意到在 *D 上
0?yF
，因此
),(
),(
yyxxF
yyxxF
x
y
y
x
。
令
0 x
,注意到
xF
和
yF
的连续性，就得到
(,)d
d (,)
x
xx y
F x yy
x F x y
。
即
))(,(
))(,(
)(
xfxF
xfxF
xf
y
x
。
定理 1 2,4,1 只是保证了在一定的条件下，函数方程 0),(?yxF 在局部（不一定是整体）确定了
y
关于 x 的函数关系 )( xfy?,而并不意味这种关系能用显式具体表示出来。例如 K ep l er 方程
10,0s i n yxy,
如果取 yxyyxF s i n),(,那么
0c o s1),(yxF y
，所以
y
对 x 的依赖关系，即隐函数 )( xfy? 是肯定存在的。但遗憾的是，它不能用显式表示。
定理 1 2,4,1 可以直接推广到多元函数的情形。
定理 1 2,4,2（多元隐函数存在定理） 若 1?n 元函数
),,,,( 21 yxxxF n?
满足条件,
（ 1 ）
0),,,,( 000201?yxxxF n?；
（ 2 ） 在闭长方体
00{ (,) | | |,| |,1,2,,}
i i ix y y y b x x a i nD
上,函数 F 连续,且具有连续偏导数
niFF ixy,,2,1,,；
（ 3 ）
0),,,,( 000201?yxxxF ny?
。
那么
（ ⅰ ） 在点
),,,,( 000201 yxxx n?
附近可以从函数方程
0),,,,( 21?yxxxF n?
唯一确定隐函数
),,,(),,,,( 2121 nn xxxxxxfy )),,,,(( 00201?nxxxO
,
它满足
0)),,,(,,,,( 2121?nn xxxfxxxF
，以及
),,,( 002010 nxxxfy；
（ ⅱ ） 隐函数
),,,( 21 nxxxfy
在
)),,,,(( 00201?nxxxO?
上 连续 ；
（ ⅲ ） 隐函数
),,,( 21 nxxxfy
在
)),,,,(( 00201?nxxxO?
上 具有连续的偏导数,且
ni
yxxxF
yxxxF
x
y
ny
nx
i
i
,,2,1,
),,,,(
),,,,(
21
21
。
在具体计算中，方程
0),,,,( 21?yxxxF n?
所确定的隐函数
),,,( 21 nxxxfy
的偏导数通常可如下直接计算：在方程两边对
ix
求偏导，利用复合函数求导的链式规则即得
0?
ii x
y
y
F
x
F
,
于是
y
x
i
i
F
F
y
F
x
F
x
y
i
,
ni,,2,1
。
例 1 2,4,1 在上半椭球面
)0(1
2
2
2
2
2
2
z
c
z
b
y
a
x
上，求
x
z
和
y
z
。
解 记
01),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyxF
,
则
0
2
2
c
z
F
z
保证了隐函数
),( yxfz?
的存在性。
在方程两边分别对
x
和
y
求偏导，得到
0
22
22
x
z
c
z
a
x
,
0
22
22
y
z
c
z
b
y
,
从而有
z
x
a
c
x
z
2
2
,
z
y
b
c
y
z
2
2
。
例 1 2,4,2 设方程
zzyx 4222
确定 z 为
yx,
的函数，求
2
2
x
z
和
yx
z
2 。
解 在方程
zzyx 4222
两边对
x
求偏导,
x
z
x
z
zx
422
,
于是
z
x
x
z
2
。
再在前一 等式两边对
x
求偏导,
2
2
2
22
4222
x
z
x
z
z
x
z
,
得到
3
22
2
2
2
)2(
)2(
2
1
z
xz
z
x
z
x
z
。
在方程
zzyx 4222
两边对
y
求偏导,
y
z
y
z
zy
422
,
于是
z
y
y
z
2
。
再在前一等式两边对 x 求偏导,
yx
z
yx
z
z
y
z
x
z
22
422
,
得到
3
2
)2(2 z
xy
z
y
z
x
z
yx
z
。
例 1 2,4,3 设方程
0),(?yzxzF
确定 z 为
yx,
的函数，其中 F 具有二阶连续偏导数，求
2
2
x
z
。
解 当
0
21
yFxF
z
F
，可以应用隐函数存在定理，在方程
0),(?yzxzF
两边对
x
求偏导,
0
21
F
x
z
yF
x
z
xz
,
于是
21
1
yFxF
zF
x
z
。
再在前一等式两边对
x
求偏导，得到
2222
1 11 12 2 2222
2 2 0
z z z z z z z
x F z x F z x y F y F y F
x x x x x x x
。
于是
.
22
22
21
22
2
1211
2
1
21
22
2
1211
2
1
2
2
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
x
z
将
21
1
yFxF
zF
x
z
代入上式，就得到
2 2 2 2
22
2 1 1 1 2 1 2 1 2 2
1
232
1 2 1 2
22 y z F F F F F F FzFz
x x F y F x F y F
。
多个方程的情形由线性代数的知识知道，在
0
22
11
ba
ba
时，从线性方程组
0
,0
2222
1111
ydxcvbua
ydxcvbua
中可以唯一解出
)(
)()(
,
)(
)()(
2121
21212121
2121
21212121
abba
yaddaxacca
v
abba
ydbbdxcbbc
u
。
也就是说，这时可以确定
vu,
为
yx,
的函数，或者说
),( vu
是
),( yx
的向量值函数。
对于一般的函数方程组
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
在一定的条件下，也可以在某个局部确定
vu,
为
yx,
的函数。
定理 1 2,4,3 （多元向量值隐函数存在定理） 设函数
),,,( vuyxF
和
),,,( vuyxG
满足条件,
（ 1 ）
0),,,(,0),,,( 00000000 vuyxGvuyxF；
（ 2 ） 在闭长方体
0 0 0 0{ (,,,) | | |,| |,| |,| | }x y u v x x a y y b u u c v v dD
上,函数
GF,
连续,且具有连续偏导数 ；
（ 3 ） 在
),,,( 0000 vuyx
点,行列式
0
),(
),(
vu
vu
GG
FF
vu
GF
。
那么
（ ⅰ ） 在点
),,,( 0000 vuyx
附近可以从函数方程组
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
唯一确定向量值隐函数
)),,((),(,
),(
),(
00
yxOyx
yxg
yxf
v
u
,
它满足
,0)),(),,(,,(
,0)),(),,(,,(
yxgyxfyxG
yxgyxfyxF
以及
),(),,( 000000 yxgvyxfu；
（ ⅱ ） 这个 向量值隐函数在
)),,(( 00?yxO
上 连续 ；
（ ⅲ ） 这个 向量值 隐函数 在
)),,(( 00?yxO
上 具有连续的导数,且
yx
yx
vu
vu
GG
FF
GG
FF
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
证 我们先证明向量值隐函数的存在性、连续性和可导性。
由于在点
),,,( 0000 vuyx
处
0
),(
),(
vu
vu
GG
FF
vu
GF
,
所以
uF
与
vF
至少有一个在此点不为零。不妨假设
uF
不等于零，那么对方程
0),,,(?vuyxF
应用隐函数存在定理，知道在
),,,( 0000 vuyx
附近，存在具有连续偏导数的隐函数
),,( vyxu
，满足
0)),,,(,,(?vvyxyxF?
，
),,( 0000 vyxu
，且
u
v
v
F
F
。
将
),,( vyxu
代入
0),,,(?vuyxG
，得到函数方程
0)),,,(,,(),,( vvyxyxGvyxH?
。
由于在
),,( 000 vyx
点处,
0
),(
),(1
vu
GF
FF
GFGF
G
F
F
GGGH
uu
uvvu
v
u
v
uvvuv?
,
对方程
(,,) 0H x y v?
应用隐函数存在定理，知道在
),,( 000 vyx
附近，存在具有连续偏导数的隐函数
),( yxgv?
，它满足
0)),(,,(?yxgyxH
，即
0)),()),,(,,(,,(?yxgyxgyxyxG?
。记
)),(,,(),( yxgyxyxf
，那么在
),( 00 yx
附近成立
(,,(,),(,) ) 0,
(,,(,),(,) ) 0,
F x y f x y g x y
G x y f x y g x y
由隐函数存在定理知道函数 ),,( vyxu 在 ),,(
000 vyx
附近、
),( yxgv? 在 ),( 00 yx 附 近 都 具 有 连 续 偏 导 数,因 此 复 合 函 数
)),(,,(),( yxgyxyxf 在 ),( 00 yx 附近具有连续偏导数。即向量值函数
),(
),(
yxg
yxf
v
u 在某个邻域 )),,(( 00?yxO 内具有连续导数。
为了求向量值隐函数的导数，应用多元函数求导的链式规则，就有
,0
,0
x
v
v
G
x
u
u
G
x
G
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
因此
x
G
x
F
x
v
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
同理得到
y
G
y
F
y
v
y
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
将两个矩阵式子合并，就得到
y
G
x
G
y
F
x
F
y
v
x
v
y
u
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
,
即
y
G
x
G
y
F
x
F
v
G
u
G
v
F
u
F
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
注 将（ ⅲ ）的导数公式分解出来就是
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
x
v
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
yu
GF
y
v
。
进一步，我们考虑一般地
m
个
mn?
元函数组成的方程组
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
称
m
mmm
m
m
m
m
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
yyy
FFF
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
21
),,,(
),,,(
为函数
mFFF,,,21?
关于变量
myyy,,,21?
的 J a c o bi 行列式 。
定理 1 2,4,4 设 m 个 mn? 元函数
),,2,1(),,,,,,,( 2121 miyyyxxxF mni
满足以下条件,
1 ）
miyyyxxxF mni,,2,1,0),,,,,,,( 0020100201；
2 ） 在闭长方体
00
1 2 1 2{ (,,,,,,,) | | |,| |,1,2,,; 1,2,,}n m i i i j j jx x x y y y x x a y y b i n j mD
上,函数
),,2,1( miF i
连续,且具有连续偏导数 ；
3 ） 在
),,,,,,,( 0020100201 mn yyyxxx
点处,J ac o b i 行列式
0
),,,(
),,,(
21
21?
m
m
yyy
FFF
。
那么
( ⅰ ) 在点
),,,,,,,( 0020100201 mn yyyxxx
的某个邻域上，可以从函数方程组
0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
唯一确定向量值隐函数
)),,,,((),,,(,
),,,(
),,,(
),,,(
00
2
0
121
21
212
211
2
1
nn
nm
n
n
m
xxxOxxx
xxxf
xxxf
xxxf
y
y
y
,
它满足方程
0)),,,(,),,,,(),,,,(,,,,(
2121221121
nmnnni
xxxfxxxfxxxfxxxF,
以及 ),,2,1(),,,(
00
2
0
1
0
mixxxfy
nii
；
( ⅱ ) 这个向量值隐函数在
)),,,,((
00
2
0
1
n
xxxO?
上连续 ；
( ⅲ ) 这个向量值隐函数在
)),,,,((
00
2
0
1
n
xxxO?
上具有连续的导数,
且
n
mmm
n
n
m
mmm
m
m
n
mmm
n
n
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
。
在具体计算向量值隐函数的导数时，通常用如下方法：分别对
miyyyxxxF
mni
,,2,1,0),,,,,,,(
2121
关于 jx 求偏导，得到
m
k j
k
k
i
j
i
mi
x
y
y
F
x
F
1
,,2,1,0? 。
解这个联立方程组，应用 Cram er 法则就得到
njmk
yyy
FFF
yyxyy
FFFFF
x
y
m
m
mkjk
mkkk
j
k
,,2,1;,,2,1,
),,,(
),,,(
),,,,,,(
),,,,,,(
21
21
111
111
。
例 1 2,4,4 设
)(
),(
xzz
xyy 是由方程组
0),,(
),(
zyxF
yxxfz 所确定的 向量值隐函数，其中
f
和 F 分别具有连续的导数和偏导数，求
d
d
z
x
。
解 分别对方程
)( yxxfz
和
0),,(?zyxF
的两边关于 x 求偏导数,
dd
( ) 1 ( ),
dd
dd
0.
dd
zy
f x y x f x y
xx
F F y F z
x y x z x
整理后得到
dd
( ) ( ) ( ),
dd
dd
.
dd
yz
x f x y f x y x f x y
xx
F y F z F
y x z x x
解此方程组即得
( ) ( ) ( )
d
d
()
FF
f x y x f x y x f x y
z yx
FFx
x f x y
zy
。
例 1 2,4,5 设函数方程组
333333
222222
,
,
cyxwvu
byxwvu
ayxwvu
确定
wvu,,
为
yx,
的隐函数。求
x
w
x
v
x
u
,,
。
解 将方程组化为
,0),,,,(
,0),,,,(
,0),,,,(
333333
222222
cyxwvuwvuyxH
byxwvuwvuyxG
ayxwvuwvuyxF
那么在
0))()((6
333
222
111
),,(
),,(
222
uwvwuv
wvu
wvu
wvu
HGF
的条件下，可以确定
),,( wvu
为
),( yx
的向量值函数。
此时，对以上三个方程关于 x 求偏导，得到
.03333
,02222
,01
2222
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
w
x
v
x
u
解此方程组就得到
))((
))((
,
))((
))((
,
))((
))((
wvwu
xvxu
x
w
vwvu
xwxu
x
v
uwuv
xwxv
x
u
。
例 1 2,4,6 设函数
),( yxzz?
具有二阶连续偏导数，并满足方程
02
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
。
对自变量作变换
,
,
yxv
yxu
对因变量也作变换
zxyw
，导出
w
关于
vu,
的偏导数所满足的方程。
解 从自变量的变换中可以解出
2
,
2
vu
y
vu
x
，因此
zxyw
也是
vu,
的函数。由于
wxyz
，利用复合函数求导的链式规则对此等式两边关于
x
和
y
分别求偏导，得到
.
,
v
w
u
w
x
y
v
v
w
y
u
u
w
x
y
z
v
w
u
w
y
x
v
v
w
x
u
u
w
y
x
z
进一步还可得到
.2
,11
,2
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
22
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
y
z
v
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
yx
z
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
x
z
将这些表达式代入方程
02
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
，就得到
2
1
2
2
u
w
。
实际上，还可以将这个方程解出来。对等式
2
1
2
2
u
w
两边求积分，
得到
)(
2
1
vu
u
w
,
再求一次积分，就得到
)()(
4
1 2
vuvuw
,
其中
与
是任意的二阶连续可微函数。根据所用的变量代换，就知道方程
02
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
的解的一般形式为
)()()()(
4
1 2
yxyxyxyxxyz
。
这个例子说明，通过 适当的变量代换，可以将微分方程化简乃至解出，这是微分方程和数学物理中常用的方法。
逆映射定理设 D 为 2R 中的开集，
f,?D
2R 为映射，其坐标分量函数表示为
).,(
),,(
vuyy
vuxx
如果
f
在 D 上可导（即
),( vux
和
),( vuy
在 D 上可偏导），我们称
),(
),(
vu
yx
为映射
f
的 J a co b i 行列式 。
定理 1 2,4,5 设
),( 000 vuP
D,
),(),,( 000000 vuyyvuxx
，
),( 000 yxP
,且
f
在 D 上具有连续导数 。 如果在
0P
点处
f
的 J ac o b i 行列式
0
),(
),(
vu
yx
。
那么存在
0P?
的一个邻域
),( 0?P?O
,在这个邻域上存在
f
的 具有连续导数的逆映射 g,
),,(
),,(
yxvv
yxuu ),(),(
0?P Oyx
,
满足
（ 1 ）
),(),,( 000000 yxvvyxuu；
（ 2 ）
(,) (,)
,
(,) (,)
uu y x y x x y
v u v v u vxy
,
(,) (,)
,
(,) (,)
vv y x y x x y
u u v u u vxy
。
证 考虑函数方程组
.0),(),,,(
,0),(),,,(
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
由假设，在
),,,( 0000 vuyx
点处
0
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
GF
。
由向量值函数的隐函数存在定理，在
),,,( 0000 vuyx
附近存在向量值函数
(,),
:
(,),
u u x y
v v x y
g
),(),( 0?P Oyx
,
满足
（ i ）
),(),,( 000000 yxvvyxuu；
（ ii ）
,)),(),,((
,)),(),,((
yyxvyxuy
xyxvyxux
而且
),( yxu
和
),( yxv
在
),( 0?P?O
上具有连续的偏导数。这也说明在
),( 0?P?O
上 g 为
f
的逆映射。
在（ ii ）式中对 x 求偏导，得到
1?
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0?
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
。
注 从定理的结论（ 2 ）可以立即得到
1),( ),(),( ),( yx vuvu yx
,
即映射 f 与其逆映射 g 的 J a co b i 行列式互为倒数，这是一元函数的反函数求导公式的推广。
在（ ii ）式中对 x 求偏导，得到
1?
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0?
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
。
例如极坐标变换 （即映射）
,s in
,c o s
ry
rx
的 J ac o b i 行列式为
r
r
r
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),( 。
因此在任意点
),( yx
（ 022 yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr
。
一般来说，连续映射不一定将开集映射为开集。例如，常值映射就不是将开集映射为开集。但若一个连续映射在某个开集上的 J ac o b i
行列式恒不等于零，那么它将这个开集映射为开集，这就是下面的定理。
例如极坐标变换 （即映射）
,s in
,c o s
ry
rx
的 J ac o b i 行列式为
r
r
r
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),( 。
因此在任意点
),( yx
（ 022 yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr
。
定理 12.4,6 设 D 为 2R 中的开集,且映射 f 2,? RD 在 D 上具有连续导数 。 如果 f 的 Ja c o bi 行列式在 D 上恒不为零,那么 D 的像集 f ()D
是开集 。
证 设
),( 000 yxP
为 f )( D 上的任一点，那么从定理 12.4,5 的证明可知，存在
0P?
的一个邻域
),( 0?P?O
，使得这个邻域中的点都是 f 的像点，因此
0P?
是 f ()D 的内点。这就是说,f ()D 是开集。
