第二类曲线积分设 L 为空间中一条可求长的连续曲线，起点为 A,终点为 B （这时称 L 为定向的）。一个质点在力
kjiF ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
的作用下沿 L 从 A 移动到 B,
我们要计算
),,( zyxF
所作的功。
§ 2 第二类曲线积分与第二类曲面积分
x
y
OP0=A
P1 P2
Pi
Pi+1
Pn=B
)(,,iiiF
tKi
z
为了解决这个问题，在曲线 L 上插入一些分点
),,(,),,,(),,,( 111122221111 nnnn zyxPzyxPzyxP?
,
并令
BzyxPAzyxP nnnn ),,(,),,( 0000
（见图 1 4,2,1 ）。并且这些点是从 A
到 B 计数的。这样 L 就 被这些分点分成 n 个小弧段
ii PP 1?
(
ni,,2,1
) 。
在小弧段
ii PP 1?
上任取一点
),,( iiiiK
，取曲线 L 在
iK
的单位切向量
c o s c o s c o si i i it i j k
,
使它的方向与 L 的定向一致。 那么质点从
1?iP
移动到
iP
时（
ni,,2,1
）
F 所作的功近似地等于
),,( iiiF
τ
i is?
iiiiiiiiiiiii sRQP ]c o s),,(c o s),,(c o s),,([
。
这里
is?
是 小弧段
ii PP 1?
的弧长。
因此 F 将 质点沿 L 从 A 移动到 B 所作的功为
0
1
l i m (,,)
n
i i i
i
W
F
τ
i is?
0
1
l im (,,) c os (,,) c os (,,) c os
(,,) c os (,,) c os (,,) c os d,
n
i i i i i i i i i i i i i
i
L
P Q R s
P x y z Q x y z R x y z s
其中? 为所有的小弧段的最大长度。
根据这一思想我们引入 下面的定义。
定义 1 4,2,1 设 L 为一条定向的可求长连续曲线,起点为 A,终点为 B 。在 L 上每一点取单位切向量 τ
,( c o s )c o s,c o s
，使它与 L 的定向相一致 。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
是定义在 L 上的向量值函数,则 称
L
f
τ d s
(,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s d
L
P x y z Q x y z R x y z s
为
f
在 L 上的 第二类曲线积分 。
在曲线 L 上的点
),,( zyx
处取 L 的弧长 微元 d s,作向量 d s = dst,其中
τ
,c o s,( c o s
)c o s?
为 曲线 L 在点
),,( zyx
处与 L 同向的 单位切向量 。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 c o s d s?,记为 d x,即 d c o s dxs 。同理记
d c o s dys
，
d c o s dzs
。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
f t
d s =
d
L
fs (,,) d (,,) d (,,) d
L
P x y z x Q x y z y R x y z z
。
它也称为 1 - 形式
(,,) d (,,) d (,,) dP x y z x Q x y z y R x y z z
在 L 上的第二类曲线积分，记为
L
。
特别地，如果 L 为 xy 平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积分就简化为
(,) d (,) d [ (,) c o s (,) c o s ] d
[ (,) c o s (,) s in ] d,
LL
L
P x y x Q x y y P x y Q x y s
P x y Q x y s
其中? 为 L 的沿 L 方向的切向量与 x 轴正向的夹角。
在曲线 L 上的点
),,( zyx
处取 L 的弧长 微元 d s,作向量 d s = dst,其中
τ
,c o s,( c o s
)c o s?
为 曲线 L 在点
),,( zyx
处与 L 同向的 单位切向量 。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 c o s d s?,记为 d x,即 d c o s dxs 。同理记
d c o s dys
，
d c o s dzs
。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
f t
d s =
d
L
fs (,,) d (,,) d (,,) d
L
P x y z x Q x y z y R x y z z
。
它也称为 1 - 形式
(,,) d (,,) d (,,) dP x y z x Q x y z y R x y z z
在 L 上的第二类曲线积分，记为
L
。
第二类 曲线积分 定义在 定向 曲线（即指定了方向的曲线 ） 上，它具有如下性质,
性质 1 （方向性） 设 向量值函数
f
在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在。记 L? 是定向曲线 L 的反向曲线,则
f
在 L? 上的第二类曲线积分也存在，且成立
L
f
τ d s = -
L
-
f
τ d s 。
注意这个等式两边的 τ 是方向相反的。
性质 2 （线性性） 设两个 向量值函数 gf,在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数,,gf 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
fg
τ d s
L
f
τ d s
L
g
τ d s 。
性质 3 （路径可加性） 设定向分段光滑曲线 L 分成了两段
1L
和
2L
，
它们与 L 的取向相同 （ 这时记为
12L L L
）,如果向量值函数 f 在 L 上的第二类曲线积分存在，则它在
1L
和
2L
上的第二类曲线积分也存在。
反之，如果 f 在
1L
和
2L
上的第二类曲线积分存在，则它在 L 上的第二类曲线积分也存在。且成立
L
f
τ d s
1L
f
τ d s
2L
f
τ d s 。
性质 2 （线性性） 设两个 向量值函数 gf,在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数,,gf 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
fg
τ d s
L
f
τ d s
L
g
τ d s 。
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L 的方程为
battzztyytxx,),(),(),(
,
这里 bat?,表示参数 t 从 a 变化到 b,这就确定了 L 的方向。则 L 是可求长的，且曲线的弧长的微分
2 2 2d ( ) ( ) ( ) ds x t y t z t t
。注意到
))(),(),(( tztytx
是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ =
))(),(),((
)()()(
1
)c o s,c o s,( c o s
222
tztytx
tztytx
。
若 向量值函数
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
在 L 上连续,那么由定理 1 4,1,1 得到第二类曲线积分的计算公式
(,,) (,,) d (,,) d
L
P x y z x Q x y z y R x y z z
(,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s d
L
P x y z Q x y z R x y z s
( ( ),( ),( ) ) ( ) ( ( ),( ),( ) ) ( ) ( ( ),( ),( ) ) ( ) d,b
a
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t t
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L 的方程为
battzztyytxx,),(),(),(
,
这里 bat?,表示参数 t 从 a 变化到 b,这就确定了 L 的方向。则 L 是可求长的，且曲线的弧长的微分
2 2 2d ( ) ( ) ( ) ds x t y t z t t
。注意到
))(),(),(( tztytx
是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ =
))(),(),((
)()()(
1
)c o s,c o s,( c o s
222
tztytx
tztytx
。
特别地，如果 L 的方程是
baxxzzxyy,),(),(,
则
(,,) d (,,) d (,,) d
(,( ),( ) ) (,( ),( ) ) ( ) (,( ),( ) ) ( ) d
L
b
a
P x y z x Q x y z y R x y z z
P x y x z x Q x y x z x y x R x y x z x z x x
。
如果 L 为
xy
平面上光滑曲线，其方程为
)(),( tyytxx
,bat?,。
则
(,) d (,) d ( ( ),( ) ) ( ) ( ( ),( ) ) ( ) d
b
a
L
P x y x Q x y y P x t y t x t Q x t y t y t t
。
因此，如果 L 是
xy
平面上的方程为
)( xyy?
,bax?,
的光滑曲线，则
(,) d (,) d (,( ) ) (,( ) ) ( ) d
b
a
L
P x y x Q x y y P x y x Q x y x y x x
。
特别地，如果 L 的方程是
baxxzzxyy,),(),(,
则
(,,) d (,,) d (,,) d
(,( ),( ) ) (,( ),( ) ) ( ) (,( ),( ) ) ( ) d
L
b
a
P x y z x Q x y z y R x y z z
P x y x z x Q x y x z x y x R x y x z x z x x
。
例 1 4,2,1 计算
22
dd
L
y x x y
，其中 L,（ 1 ）圆周
x y R2 2 2
的上半部分，方向为逆时针方向；（ 2 ）从点
M R(,)0
到点
N R(,)? 0
的直线段。
解 （ 1 ）这时 L 的参数方程为
c o s,s i n,,0 πx R t y R t t
,
因此
π
2 2 2 2 2 2
0
d d s in ( s in ) c o s ( c o s ) d
L
y x x y R t R t R t R t t
π
3 2 2 3
0
4
( 1 c o s ) ( sin ) ( 1 sin ) c o s d
3
R t t t t t R
。
（ 2 ）这时 L 的方程为
RRxxyy,,0)(
,
因此
22
d d 0 d 0
R
R
L
y x x y x
。
x y R2 2 2
R R x
y
O
图 14.2.2
例 1 4,2,2 求空间中一质量为 m 的物体沿某一光滑曲线 L 从 A 点移动到 B 点时，重力所做的功。
解 作直角坐标系，使 z 轴铅直向上。在这个坐标系下，设
),,( 111 zyxA?
，
),,( 222 zyxB?
。设 L 的方程为
,),(),(),( ttzztyytxx
。
则
))(),(),((),,()),(),(),((),,( 222111 zyxzyxBzyxzyxA
。
显然重力
kF mg
，这里
g
为重力加速度。则重力所做的功为
12
( ) d d ( ) d
( ( ) ( ) ) ( ),
LL
W m g z m g z m g z t t
m g z z m g z z
这说明了，重力所作的功与路径无关，它仅取决于物体下降（或上升）的距离。
这两个例子说明了 第二类曲线积分既 可能与路径有关,也 可能与路径无关。
x
y
z
B
A
图 14.2.3
O
例 1 4,2,3 计算
2 2 2 2 2 2( ) d ( ) d ( ) d
L
y z x z x y x y z
，其中 L 为球面
x y z2 2 2 1
在第一卦限部分的边界，从球面外面看为顺时针方向。
解 曲线是由圆弧段
,,A B B C C A
组成（见图 1 2,2,4 ）。而圆弧段 AB 的参数方程为
π
0,c o s,sin,,0
2
x y t z t t
,
因此
2 2 2 2 2 2
0
22
π
2
π
33
2
0
( ) d ( ) d ( ) d
[ si n ( si n ) c os ( c os ) ] d
4
( si n c os ) d
3
AB
y z x z x y x y z
t t t t t
t t t
。
图 12.2.4
A
B
C
x
y
x y z2 2 2 1
z
O
由对称性得到
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) d ( ) d ( ) d
( ) d ( ) d ( ) d
4
( ) d ( ) d ( ) d
3
BC
CA
AB
y z x z x y x y z
y z x z x y x y z
y z x z x y x y z
。
于是
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )d ( )d ( )d
3 ( )d ( )d ( )d 4
L
AB
y z x z x y x y z
y z x z x y x y z
。
曲面的侧如果放一只蚂蚁在一张白纸上，无论它怎样爬，只要它不越过白纸的边界，当它再爬回到原来的位置时，还是在纸的上方，不会到下面去。这就 像 在白纸上的一点处选择一个指向上方的单位法向量，然后沿任何一条不越过边界的闭曲线连续地移动它，使它与所过之点处的一个单位法向量相合，并保持这种相合的连续性，那么当它又回到原来的位置时，它还是原来的那个单位法向量，而不会变成指向白纸下方的那个单位法向量。
具有这种性质的曲面叫做双侧曲面。具体的定义是,
定义 14,2,2 设 ∑ 是一张光滑曲面,P 为 ∑ 上任一点,
P?
是过 P
点且不越过曲面边界的任意一条闭曲线 。 取定 ∑ 在 P 点的一个单位法向量,让它沿
P?
连续移动,使它与所过之点处的一个单位法向量连续地相合 。 如果当它再回到 P 点时,法向量的指向仍与原选的方向相同,则称 ∑ 为 双侧曲面 。
在双侧曲面 ∑ 上，如果选定了一点 P 和曲面 ∑ 在该点的一个法向量，通过从这点连续地移动法向量就可以唯一地确定 ∑ 上其 他 点的法向量的方向。于是曲面 ∑ 就由法向量的方向被分为两侧（例如，
球面有内侧和外侧）。选好一侧的曲面称为 定向曲面 。
并非所有光滑曲面都是双侧曲面。例如，把长方形 A B CD 先扭转一次再首尾相粘，即 A 与 C 相粘,B 与 D 点相粘，就做成了所谓的
M? bi us 带 （见图 1 4,2,5 ）。如果从某一点开始，用刷子在 M? b i u s 带上连续地涂色（即指定法向量），当第一次回到起始点时，涂的是反面（即法向量与原来选择的方向相反），继续下去最后就会涂满整条带子。这样的曲面叫做 单侧曲面 。我们今后只讨论双侧曲面（注意数片双侧曲面拼在一起不一定仍是双侧曲面，如 M? b i u s 带可以看成是由两片双侧曲面拼成的）。
图 1 4,2,5
设双侧曲面 ∑ 的方程为
(,),(,),(,),(,)x x u v y y u v z z u v u v D
。
这里 D 为 uv 平面上具有分段光滑边界的区域。进一步假设
x y z,,
对
u v和有连续偏导数，且相应的 J aco b i 矩阵
xx
uv
yy
J
uv
zz
uv
总是满秩的。这时曲面 ∑ 是光滑的。
曲面的法向量可以表示为
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
vu
rr
,
其中,?,表示曲面上每个点
)),(),,(),,(( vuzvuyvux
都有方向相反的两个法向量。于是在这点的单位法向量及方向余弦为
2
1 (,) (,) (,)
( c o s,c o s,c o s )
(,) (,) (,)
y z z x x y
u v u v u vE G F
，,n
,
这里
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG
。
在根号前取定一个符号后，曲面对每一点
)),(),,(),,(( vuzvuyvux
都确定了一个单位法向量。而又由假设，方向余弦是连续的，因此所确定的单位法 向量是连续变动的，曲面的双侧性就保证了法向量不会指向另一侧去。这就是说，在根号前取定一个符号后，也就确定了曲面的一侧。
例如，光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)z z x y x y D,
其中 D 为平面区域。那么
)1,,(
1
1
)c o s,c o s,( c o s
22 yx
yx
zz
zz
n
。
如果取正号，则 c os 0,这时法向量与 z 轴成锐角，意味着取定了曲面的上侧，而取负号则意味着取定了曲面的下侧。
第二类曲面积分已知不可压缩流体（设其密度为 1 ）在
),,( zyx
处的流速可以表示为
kjiv ),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxP
,
并设它与时间无关，我们来计算单位时间内通过定向曲面 ∑ 的（质量）流量。
用光滑曲线网将 ∑ 分成 n 片小曲面
12,,,n
。设
i
的面积为
S i
，在它上面任取一点
),,( iiiiM
，那么在这点的流速为
kjiv ),,(),,(),,( iiiiiiiiii RQP
。
记曲面 ∑ 在
iM
点的单位法向量为
kjin iiii co sco sco s
,
那么单位时间内流过
i
的流量（见图 1 4,2,6 ）就近似地为
iiiiiiiiiiiiiiii SRQPS ]c o s),,(c o s),,(c o s),,([nv
。
因此 单位时间内通过? 的（质量）流量为
0
1
0
1
l im
l im [ (,,) c os (,,) c os (,,) c os ]
[ (,,) c os (,,) c os (,,) c os ] d,
n
i i i
i
n
i i i i i i i i i i i i i
i
S
P Q R S
P x y z Q x y z R x y z S
vn
其中? 是所有小曲面片的最大直径。
i
n
i
v
i
i
M
图 12.2.6
根据这一思想我们引入 下面的定义,
定义 14,2,3 设 ∑ 为定向的光滑曲面,曲面上面的每一点指定了单位法向量
,( c o sn )c o s,c o s
。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
是定义在 ∑ 上的向量值函数,则 称
d (,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s dS P x y z Q x y z R x y z S
fn
为
f
在 ∑ 上的 第二类曲面积分 。
第二类 曲 面 积分 定义在定向曲面上，它具有与第二类曲线积分类似的性质,
性质 1 （方向性） 设 向量值函数
f
在定向的光滑曲面 ∑ 上的第二类曲面积分存在。记 - ∑ 为与 ∑ 取相 反侧的曲面,则
f
在 - ∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
ddSS
fn
。
注意这个等式两边的 n 是方向相反的。
性质 2 （线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上的第二类曲面 积分存在，则对任何常数,,fg 在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
( ) d S
f g n ddSS
f n g n
。
性质 3 （曲面可加性） 设定向的光滑曲面 ∑ 分成了两片
1?
和
2?
，
它们与 ∑ 的取向相同 （ 这时记为
12
）,如果向量值函数 f 在 ∑
上的第二类曲面积分存在，则它在
1?
和
2?
上的第二类曲面积分也存在。反之，如果 f 在
1?
和
2?
上的第二类曲面积分存在，则它在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在。且成立
12
d d dS S S
f n f n f n
。
性质 2 （线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上的第二类曲面 积分存在，则对任何常数,,fg 在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
( ) d S
f g n ddSS
f n g n
。
在 ∑ 上的点
),,( zyx
处取一个 ∑ 的面积微元 d S,作 定向曲面微元
d S = d Sn,其中,c o s,( c o sn )c o s? 为 ∑ 在点 ),,( zyx 处的单位法向量。
记 d S 在
xy
平面上的投影的面 积为 d? 。如果我们用微分形式
ddxy?
表示 d S 在
xy
平面上的有向投影面积，即
d,c o s 0
d d d,c o s 0
0 c o s 0
xy
；
。
当 时 ；
当 时
,当 时那么
d d c o s dx y S
。
类似地有
d d c o s dy z S
，
d d c o s dz x S
。
为方便起见，常 简记
ddxy?
为
ddxy
，
ddyz?
为
ddyz
,ddzx? 为 ddzx 。
于是，第二类曲面积分又可以表示为
(,,) d d (,,) d d (,,) d d
(,,) d d (,,) d d (,,) d d,
d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y
P x y z y z Q x y z z x R x y z x y
fS
这也称为 2 - 形式
(,,) d d (,,) d d (,,) d dP x y z y z Q x y z z x R x y z x y
在 ∑
上的第二类曲面积分，记为
。
下面讨论如何计算第二类曲面积分。
若定向光滑曲面 ∑ 的参数方程为
),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx
，
(,)uv? D
,
其中 D 为 uv 平面上有分段光滑边界的有界区域。
(,,),(,,),P x y z Q x y z
(,,)R x y z
为 ∑ 上的连续函数。首先有
),(
),(
),(
),(
),(
),(1
)c o s,c o s,( c o s
2 vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG
，，
,
以及 2d d dS E G F u v 。
于是由第一类曲面积分的计算公式，第二类曲面积分可由如下公式计算,
(,,) d d (,,) d d (,,) d dP x y z y z Q x y z z x R x y z x y
(,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s dP x y z Q x y z R x y z S
(,) (,)
( (,),(,),(,) ) ( (,),(,),(,) )
(,) (,)
y z z x
P x u v y u v z u v Q x u v y u v z u v
u v u v
D
(,)
( (,),(,),(,) ) d d
(,)
xy
R x u v y u v z u v u v
uv
,
式中符号由曲面的侧，即方向余弦（或单位法向量）的计算公式中所取符号决定。
特别地，如果 定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,) xyz z x y x y D
,
其中
xyD
为
xy
平面上具有分段光滑边界的有界闭区域。设
R x y z(,,)
为
∑ 上的连续函数，则
(,,) d d (,,(,) ) d d
xy
R x y z x y R x y z x y x y
D
。
等式右端是二重积分，当曲面的定向为上侧时，积分号前取,+,；
当曲面的定向为下侧时，积分号前取,-,。
读者不难推出当定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,) yzx x y z y z D
,
或
(,),(,) zxy y z x z x D
时的类似公式。
例 1 4,2,4 计算
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d dI x y z y z x z x y
，其中 ∑ 为平面
x y z x y1 0 0,,
和 z? 0 所围立体的表面，方向取外侧。
解 将曲面划分如图所示的四片：
1 2 3,,
和
4?
。
1?
的方程为
z y x x0 0 1 0 1,,
。根据定向，其法向量与
x
轴和
y
轴的夹角都是
π /2
，与 z 轴的夹角为
π?
，因此
1
01
1
01
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d d
1
( 1 ) d d d d
2
x
yx
x y z y z x z x y
z x y x y
。
同理
2
3
1
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d d
2
1
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d d
2
x y z y z x z x y
x y z y z x z x y
，
。
z
2
4
1,x y z
3
O y
x?
1
图 14,2.7
4?
的方程可表为
10,10,1 xxyyxz
。因此
01
4
01
2
( 1 )d d ( 2 )d d
3
x
yx
z x y x y x y
。
由对称性得
4
( 1 ) d dx y z
4
2
( 1 ) d d
3
y z x
。
因此
4
( 1 )d d ( 1 )d d ( 1 )d d 2x y z y z x z x y
。
相加后即得到
I?
1
2
。
例 14,2,5 计算
3 3 3
d d d d d dx y z y z x z x y
，其中 ∑ 为上半椭球面
1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
，
0?z
(
0,,?cba
),方向取上侧。
解 利用广义球面坐标，就可得曲面的参数方程为
π
sin c o s,sin sin,c o s,0 2 π,0
2
x a y b z c
。
经计算得到
2
2
(,)
sin c o s,
(,)
(,)
sin sin
(,)
(,)
sin c o s
(,)
yz
bc
zx
ac
xy
ab
，
。
图 14.2.8
2 2 2
2 2 2 1
x y za b c
x
y
z
O
因此
3 3 3
d d d d d dx y z y z x z x y
3 5 4 3 5 4 3 4
02 π
π
0
2
( s i n c o s s i n s i n s i n c o s ) d da b c b a c c a b
π
2 π
2 5 4 2 5 4 2 4
2
00
2 2 2
d s i n c o s s i n s i n s i n c o s d
2
π ()
5
a b c a b c
a b c a b c
。
这里积分号前取,+,，是因为曲面的定向为上侧，所以在 ∑ 上方向余弦
0c o s
（除去在边界上
π
2
），而由方向余弦的计算公式,
22
1 (,) s i n c o s
c o s
(,)
x y a b
E G F E G F
,
等式成立必须取,+,号。
例 1 4,2,6 计算
2( ) d d d dz x y z z x y
，其中 ∑ 为抛物面
z x y12 2 2( )在平面 z? 0 与 z? 2 之间的部分，方向取下侧。
图 14.2.9
z x y12 2 2( )
z?2
y
x
z
O
解 由于
d d c o s d,d d c o s dy z S x y S
，所以
2 2 2 c o s
( )d d ( ) c o s d ( ) d d
c o s
z x y z z x S z x x y
。
由于 ∑ 定向为下侧，所以
2222
1
1
c o s,
1
c o s
yxyx
x
。
注意到 ∑ 在
xy
平面的投影区域为
22{ (,) | 2 }x y x yD
，于是有
22
2
2 2 2 2
2 π 2
5 2 2
00
( ) d d d d ( ) ( ) d d
11
( ) ( ) ( ) d d
22
1 1 8
d c os c os d 4 2 π
4 2 3
z x y z z x y z x x z x y
x y x x x y x y
r r r r r
。
D
kjiF ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
的作用下沿 L 从 A 移动到 B,
我们要计算
),,( zyxF
所作的功。
§ 2 第二类曲线积分与第二类曲面积分
x
y
OP0=A
P1 P2
Pi
Pi+1
Pn=B
)(,,iiiF
tKi
z
为了解决这个问题，在曲线 L 上插入一些分点
),,(,),,,(),,,( 111122221111 nnnn zyxPzyxPzyxP?
,
并令
BzyxPAzyxP nnnn ),,(,),,( 0000
（见图 1 4,2,1 ）。并且这些点是从 A
到 B 计数的。这样 L 就 被这些分点分成 n 个小弧段
ii PP 1?
(
ni,,2,1
) 。
在小弧段
ii PP 1?
上任取一点
),,( iiiiK
，取曲线 L 在
iK
的单位切向量
c o s c o s c o si i i it i j k
,
使它的方向与 L 的定向一致。 那么质点从
1?iP
移动到
iP
时（
ni,,2,1
）
F 所作的功近似地等于
),,( iiiF
τ
i is?
iiiiiiiiiiiii sRQP ]c o s),,(c o s),,(c o s),,([
。
这里
is?
是 小弧段
ii PP 1?
的弧长。
因此 F 将 质点沿 L 从 A 移动到 B 所作的功为
0
1
l i m (,,)
n
i i i
i
W
F
τ
i is?
0
1
l im (,,) c os (,,) c os (,,) c os
(,,) c os (,,) c os (,,) c os d,
n
i i i i i i i i i i i i i
i
L
P Q R s
P x y z Q x y z R x y z s
其中? 为所有的小弧段的最大长度。
根据这一思想我们引入 下面的定义。
定义 1 4,2,1 设 L 为一条定向的可求长连续曲线,起点为 A,终点为 B 。在 L 上每一点取单位切向量 τ
,( c o s )c o s,c o s
，使它与 L 的定向相一致 。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
是定义在 L 上的向量值函数,则 称
L
f
τ d s
(,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s d
L
P x y z Q x y z R x y z s
为
f
在 L 上的 第二类曲线积分 。
在曲线 L 上的点
),,( zyx
处取 L 的弧长 微元 d s,作向量 d s = dst,其中
τ
,c o s,( c o s
)c o s?
为 曲线 L 在点
),,( zyx
处与 L 同向的 单位切向量 。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 c o s d s?,记为 d x,即 d c o s dxs 。同理记
d c o s dys
，
d c o s dzs
。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
f t
d s =
d
L
fs (,,) d (,,) d (,,) d
L
P x y z x Q x y z y R x y z z
。
它也称为 1 - 形式
(,,) d (,,) d (,,) dP x y z x Q x y z y R x y z z
在 L 上的第二类曲线积分，记为
L
。
特别地，如果 L 为 xy 平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积分就简化为
(,) d (,) d [ (,) c o s (,) c o s ] d
[ (,) c o s (,) s in ] d,
LL
L
P x y x Q x y y P x y Q x y s
P x y Q x y s
其中? 为 L 的沿 L 方向的切向量与 x 轴正向的夹角。
在曲线 L 上的点
),,( zyx
处取 L 的弧长 微元 d s,作向量 d s = dst,其中
τ
,c o s,( c o s
)c o s?
为 曲线 L 在点
),,( zyx
处与 L 同向的 单位切向量 。
那么 sd 在 x 轴上的投影是 c o s d s?,记为 d x,即 d c o s dxs 。同理记
d c o s dys
，
d c o s dzs
。于是，第二类曲线积分又可以表示为
ds
L
f t
d s =
d
L
fs (,,) d (,,) d (,,) d
L
P x y z x Q x y z y R x y z z
。
它也称为 1 - 形式
(,,) d (,,) d (,,) dP x y z x Q x y z y R x y z z
在 L 上的第二类曲线积分，记为
L
。
第二类 曲线积分 定义在 定向 曲线（即指定了方向的曲线 ） 上，它具有如下性质,
性质 1 （方向性） 设 向量值函数
f
在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在。记 L? 是定向曲线 L 的反向曲线,则
f
在 L? 上的第二类曲线积分也存在，且成立
L
f
τ d s = -
L
-
f
τ d s 。
注意这个等式两边的 τ 是方向相反的。
性质 2 （线性性） 设两个 向量值函数 gf,在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数,,gf 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
fg
τ d s
L
f
τ d s
L
g
τ d s 。
性质 3 （路径可加性） 设定向分段光滑曲线 L 分成了两段
1L
和
2L
，
它们与 L 的取向相同 （ 这时记为
12L L L
）,如果向量值函数 f 在 L 上的第二类曲线积分存在，则它在
1L
和
2L
上的第二类曲线积分也存在。
反之，如果 f 在
1L
和
2L
上的第二类曲线积分存在，则它在 L 上的第二类曲线积分也存在。且成立
L
f
τ d s
1L
f
τ d s
2L
f
τ d s 。
性质 2 （线性性） 设两个 向量值函数 gf,在定向的分段光滑曲线 L 上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数,,gf 在 L 上的第二类曲线积分也存在，且成立
()
L
fg
τ d s
L
f
τ d s
L
g
τ d s 。
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L 的方程为
battzztyytxx,),(),(),(
,
这里 bat?,表示参数 t 从 a 变化到 b,这就确定了 L 的方向。则 L 是可求长的，且曲线的弧长的微分
2 2 2d ( ) ( ) ( ) ds x t y t z t t
。注意到
))(),(),(( tztytx
是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ =
))(),(),((
)()()(
1
)c o s,c o s,( c o s
222
tztytx
tztytx
。
若 向量值函数
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
在 L 上连续,那么由定理 1 4,1,1 得到第二类曲线积分的计算公式
(,,) (,,) d (,,) d
L
P x y z x Q x y z y R x y z z
(,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s d
L
P x y z Q x y z R x y z s
( ( ),( ),( ) ) ( ) ( ( ),( ),( ) ) ( ) ( ( ),( ),( ) ) ( ) d,b
a
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t t
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L 的方程为
battzztyytxx,),(),(),(
,
这里 bat?,表示参数 t 从 a 变化到 b,这就确定了 L 的方向。则 L 是可求长的，且曲线的弧长的微分
2 2 2d ( ) ( ) ( ) ds x t y t z t t
。注意到
))(),(),(( tztytx
是曲线的切向量，因此它的单位切向量为
τ =
))(),(),((
)()()(
1
)c o s,c o s,( c o s
222
tztytx
tztytx
。
特别地，如果 L 的方程是
baxxzzxyy,),(),(,
则
(,,) d (,,) d (,,) d
(,( ),( ) ) (,( ),( ) ) ( ) (,( ),( ) ) ( ) d
L
b
a
P x y z x Q x y z y R x y z z
P x y x z x Q x y x z x y x R x y x z x z x x
。
如果 L 为
xy
平面上光滑曲线，其方程为
)(),( tyytxx
,bat?,。
则
(,) d (,) d ( ( ),( ) ) ( ) ( ( ),( ) ) ( ) d
b
a
L
P x y x Q x y y P x t y t x t Q x t y t y t t
。
因此，如果 L 是
xy
平面上的方程为
)( xyy?
,bax?,
的光滑曲线，则
(,) d (,) d (,( ) ) (,( ) ) ( ) d
b
a
L
P x y x Q x y y P x y x Q x y x y x x
。
特别地，如果 L 的方程是
baxxzzxyy,),(),(,
则
(,,) d (,,) d (,,) d
(,( ),( ) ) (,( ),( ) ) ( ) (,( ),( ) ) ( ) d
L
b
a
P x y z x Q x y z y R x y z z
P x y x z x Q x y x z x y x R x y x z x z x x
。
例 1 4,2,1 计算
22
dd
L
y x x y
，其中 L,（ 1 ）圆周
x y R2 2 2
的上半部分，方向为逆时针方向；（ 2 ）从点
M R(,)0
到点
N R(,)? 0
的直线段。
解 （ 1 ）这时 L 的参数方程为
c o s,s i n,,0 πx R t y R t t
,
因此
π
2 2 2 2 2 2
0
d d s in ( s in ) c o s ( c o s ) d
L
y x x y R t R t R t R t t
π
3 2 2 3
0
4
( 1 c o s ) ( sin ) ( 1 sin ) c o s d
3
R t t t t t R
。
（ 2 ）这时 L 的方程为
RRxxyy,,0)(
,
因此
22
d d 0 d 0
R
R
L
y x x y x
。
x y R2 2 2
R R x
y
O
图 14.2.2
例 1 4,2,2 求空间中一质量为 m 的物体沿某一光滑曲线 L 从 A 点移动到 B 点时，重力所做的功。
解 作直角坐标系，使 z 轴铅直向上。在这个坐标系下，设
),,( 111 zyxA?
，
),,( 222 zyxB?
。设 L 的方程为
,),(),(),( ttzztyytxx
。
则
))(),(),((),,()),(),(),((),,( 222111 zyxzyxBzyxzyxA
。
显然重力
kF mg
，这里
g
为重力加速度。则重力所做的功为
12
( ) d d ( ) d
( ( ) ( ) ) ( ),
LL
W m g z m g z m g z t t
m g z z m g z z
这说明了，重力所作的功与路径无关，它仅取决于物体下降（或上升）的距离。
这两个例子说明了 第二类曲线积分既 可能与路径有关,也 可能与路径无关。
x
y
z
B
A
图 14.2.3
O
例 1 4,2,3 计算
2 2 2 2 2 2( ) d ( ) d ( ) d
L
y z x z x y x y z
，其中 L 为球面
x y z2 2 2 1
在第一卦限部分的边界，从球面外面看为顺时针方向。
解 曲线是由圆弧段
,,A B B C C A
组成（见图 1 2,2,4 ）。而圆弧段 AB 的参数方程为
π
0,c o s,sin,,0
2
x y t z t t
,
因此
2 2 2 2 2 2
0
22
π
2
π
33
2
0
( ) d ( ) d ( ) d
[ si n ( si n ) c os ( c os ) ] d
4
( si n c os ) d
3
AB
y z x z x y x y z
t t t t t
t t t
。
图 12.2.4
A
B
C
x
y
x y z2 2 2 1
z
O
由对称性得到
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) d ( ) d ( ) d
( ) d ( ) d ( ) d
4
( ) d ( ) d ( ) d
3
BC
CA
AB
y z x z x y x y z
y z x z x y x y z
y z x z x y x y z
。
于是
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )d ( )d ( )d
3 ( )d ( )d ( )d 4
L
AB
y z x z x y x y z
y z x z x y x y z
。
曲面的侧如果放一只蚂蚁在一张白纸上，无论它怎样爬，只要它不越过白纸的边界，当它再爬回到原来的位置时，还是在纸的上方，不会到下面去。这就 像 在白纸上的一点处选择一个指向上方的单位法向量，然后沿任何一条不越过边界的闭曲线连续地移动它，使它与所过之点处的一个单位法向量相合，并保持这种相合的连续性，那么当它又回到原来的位置时，它还是原来的那个单位法向量，而不会变成指向白纸下方的那个单位法向量。
具有这种性质的曲面叫做双侧曲面。具体的定义是,
定义 14,2,2 设 ∑ 是一张光滑曲面,P 为 ∑ 上任一点,
P?
是过 P
点且不越过曲面边界的任意一条闭曲线 。 取定 ∑ 在 P 点的一个单位法向量,让它沿
P?
连续移动,使它与所过之点处的一个单位法向量连续地相合 。 如果当它再回到 P 点时,法向量的指向仍与原选的方向相同,则称 ∑ 为 双侧曲面 。
在双侧曲面 ∑ 上，如果选定了一点 P 和曲面 ∑ 在该点的一个法向量，通过从这点连续地移动法向量就可以唯一地确定 ∑ 上其 他 点的法向量的方向。于是曲面 ∑ 就由法向量的方向被分为两侧（例如，
球面有内侧和外侧）。选好一侧的曲面称为 定向曲面 。
并非所有光滑曲面都是双侧曲面。例如，把长方形 A B CD 先扭转一次再首尾相粘，即 A 与 C 相粘,B 与 D 点相粘，就做成了所谓的
M? bi us 带 （见图 1 4,2,5 ）。如果从某一点开始，用刷子在 M? b i u s 带上连续地涂色（即指定法向量），当第一次回到起始点时，涂的是反面（即法向量与原来选择的方向相反），继续下去最后就会涂满整条带子。这样的曲面叫做 单侧曲面 。我们今后只讨论双侧曲面（注意数片双侧曲面拼在一起不一定仍是双侧曲面，如 M? b i u s 带可以看成是由两片双侧曲面拼成的）。
图 1 4,2,5
设双侧曲面 ∑ 的方程为
(,),(,),(,),(,)x x u v y y u v z z u v u v D
。
这里 D 为 uv 平面上具有分段光滑边界的区域。进一步假设
x y z,,
对
u v和有连续偏导数，且相应的 J aco b i 矩阵
xx
uv
yy
J
uv
zz
uv
总是满秩的。这时曲面 ∑ 是光滑的。
曲面的法向量可以表示为
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
vu
rr
,
其中,?,表示曲面上每个点
)),(),,(),,(( vuzvuyvux
都有方向相反的两个法向量。于是在这点的单位法向量及方向余弦为
2
1 (,) (,) (,)
( c o s,c o s,c o s )
(,) (,) (,)
y z z x x y
u v u v u vE G F
，,n
,
这里
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG
。
在根号前取定一个符号后，曲面对每一点
)),(),,(),,(( vuzvuyvux
都确定了一个单位法向量。而又由假设，方向余弦是连续的，因此所确定的单位法 向量是连续变动的，曲面的双侧性就保证了法向量不会指向另一侧去。这就是说，在根号前取定一个符号后，也就确定了曲面的一侧。
例如，光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,)z z x y x y D,
其中 D 为平面区域。那么
)1,,(
1
1
)c o s,c o s,( c o s
22 yx
yx
zz
zz
n
。
如果取正号，则 c os 0,这时法向量与 z 轴成锐角，意味着取定了曲面的上侧，而取负号则意味着取定了曲面的下侧。
第二类曲面积分已知不可压缩流体（设其密度为 1 ）在
),,( zyx
处的流速可以表示为
kjiv ),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxP
,
并设它与时间无关，我们来计算单位时间内通过定向曲面 ∑ 的（质量）流量。
用光滑曲线网将 ∑ 分成 n 片小曲面
12,,,n
。设
i
的面积为
S i
，在它上面任取一点
),,( iiiiM
，那么在这点的流速为
kjiv ),,(),,(),,( iiiiiiiiii RQP
。
记曲面 ∑ 在
iM
点的单位法向量为
kjin iiii co sco sco s
,
那么单位时间内流过
i
的流量（见图 1 4,2,6 ）就近似地为
iiiiiiiiiiiiiiii SRQPS ]c o s),,(c o s),,(c o s),,([nv
。
因此 单位时间内通过? 的（质量）流量为
0
1
0
1
l im
l im [ (,,) c os (,,) c os (,,) c os ]
[ (,,) c os (,,) c os (,,) c os ] d,
n
i i i
i
n
i i i i i i i i i i i i i
i
S
P Q R S
P x y z Q x y z R x y z S
vn
其中? 是所有小曲面片的最大直径。
i
n
i
v
i
i
M
图 12.2.6
根据这一思想我们引入 下面的定义,
定义 14,2,3 设 ∑ 为定向的光滑曲面,曲面上面的每一点指定了单位法向量
,( c o sn )c o s,c o s
。 设
kjif ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
是定义在 ∑ 上的向量值函数,则 称
d (,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s dS P x y z Q x y z R x y z S
fn
为
f
在 ∑ 上的 第二类曲面积分 。
第二类 曲 面 积分 定义在定向曲面上，它具有与第二类曲线积分类似的性质,
性质 1 （方向性） 设 向量值函数
f
在定向的光滑曲面 ∑ 上的第二类曲面积分存在。记 - ∑ 为与 ∑ 取相 反侧的曲面,则
f
在 - ∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
ddSS
fn
。
注意这个等式两边的 n 是方向相反的。
性质 2 （线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上的第二类曲面 积分存在，则对任何常数,,fg 在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
( ) d S
f g n ddSS
f n g n
。
性质 3 （曲面可加性） 设定向的光滑曲面 ∑ 分成了两片
1?
和
2?
，
它们与 ∑ 的取向相同 （ 这时记为
12
）,如果向量值函数 f 在 ∑
上的第二类曲面积分存在，则它在
1?
和
2?
上的第二类曲面积分也存在。反之，如果 f 在
1?
和
2?
上的第二类曲面积分存在，则它在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在。且成立
12
d d dS S S
f n f n f n
。
性质 2 （线性性） 设 f 和 g 在定向的光滑曲面 ∑ 上的第二类曲面 积分存在，则对任何常数,,fg 在 ∑ 上的第二类曲面积分也存在，且成立
( ) d S
f g n ddSS
f n g n
。
在 ∑ 上的点
),,( zyx
处取一个 ∑ 的面积微元 d S,作 定向曲面微元
d S = d Sn,其中,c o s,( c o sn )c o s? 为 ∑ 在点 ),,( zyx 处的单位法向量。
记 d S 在
xy
平面上的投影的面 积为 d? 。如果我们用微分形式
ddxy?
表示 d S 在
xy
平面上的有向投影面积，即
d,c o s 0
d d d,c o s 0
0 c o s 0
xy
；
。
当 时 ；
当 时
,当 时那么
d d c o s dx y S
。
类似地有
d d c o s dy z S
，
d d c o s dz x S
。
为方便起见，常 简记
ddxy?
为
ddxy
，
ddyz?
为
ddyz
,ddzx? 为 ddzx 。
于是，第二类曲面积分又可以表示为
(,,) d d (,,) d d (,,) d d
(,,) d d (,,) d d (,,) d d,
d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y
P x y z y z Q x y z z x R x y z x y
fS
这也称为 2 - 形式
(,,) d d (,,) d d (,,) d dP x y z y z Q x y z z x R x y z x y
在 ∑
上的第二类曲面积分，记为
。
下面讨论如何计算第二类曲面积分。
若定向光滑曲面 ∑ 的参数方程为
),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx
，
(,)uv? D
,
其中 D 为 uv 平面上有分段光滑边界的有界区域。
(,,),(,,),P x y z Q x y z
(,,)R x y z
为 ∑ 上的连续函数。首先有
),(
),(
),(
),(
),(
),(1
)c o s,c o s,( c o s
2 vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG
，，
,
以及 2d d dS E G F u v 。
于是由第一类曲面积分的计算公式，第二类曲面积分可由如下公式计算,
(,,) d d (,,) d d (,,) d dP x y z y z Q x y z z x R x y z x y
(,,) c o s (,,) c o s (,,) c o s dP x y z Q x y z R x y z S
(,) (,)
( (,),(,),(,) ) ( (,),(,),(,) )
(,) (,)
y z z x
P x u v y u v z u v Q x u v y u v z u v
u v u v
D
(,)
( (,),(,),(,) ) d d
(,)
xy
R x u v y u v z u v u v
uv
,
式中符号由曲面的侧，即方向余弦（或单位法向量）的计算公式中所取符号决定。
特别地，如果 定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,) xyz z x y x y D
,
其中
xyD
为
xy
平面上具有分段光滑边界的有界闭区域。设
R x y z(,,)
为
∑ 上的连续函数，则
(,,) d d (,,(,) ) d d
xy
R x y z x y R x y z x y x y
D
。
等式右端是二重积分，当曲面的定向为上侧时，积分号前取,+,；
当曲面的定向为下侧时，积分号前取,-,。
读者不难推出当定向的光滑曲面 ∑ 的方程为
(,),(,) yzx x y z y z D
,
或
(,),(,) zxy y z x z x D
时的类似公式。
例 1 4,2,4 计算
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d dI x y z y z x z x y
，其中 ∑ 为平面
x y z x y1 0 0,,
和 z? 0 所围立体的表面，方向取外侧。
解 将曲面划分如图所示的四片：
1 2 3,,
和
4?
。
1?
的方程为
z y x x0 0 1 0 1,,
。根据定向，其法向量与
x
轴和
y
轴的夹角都是
π /2
，与 z 轴的夹角为
π?
，因此
1
01
1
01
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d d
1
( 1 ) d d d d
2
x
yx
x y z y z x z x y
z x y x y
。
同理
2
3
1
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d d
2
1
( 1 ) d d ( 1 ) d d ( 1 ) d d
2
x y z y z x z x y
x y z y z x z x y
，
。
z
2
4
1,x y z
3
O y
x?
1
图 14,2.7
4?
的方程可表为
10,10,1 xxyyxz
。因此
01
4
01
2
( 1 )d d ( 2 )d d
3
x
yx
z x y x y x y
。
由对称性得
4
( 1 ) d dx y z
4
2
( 1 ) d d
3
y z x
。
因此
4
( 1 )d d ( 1 )d d ( 1 )d d 2x y z y z x z x y
。
相加后即得到
I?
1
2
。
例 14,2,5 计算
3 3 3
d d d d d dx y z y z x z x y
，其中 ∑ 为上半椭球面
1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
，
0?z
(
0,,?cba
),方向取上侧。
解 利用广义球面坐标，就可得曲面的参数方程为
π
sin c o s,sin sin,c o s,0 2 π,0
2
x a y b z c
。
经计算得到
2
2
(,)
sin c o s,
(,)
(,)
sin sin
(,)
(,)
sin c o s
(,)
yz
bc
zx
ac
xy
ab
，
。
图 14.2.8
2 2 2
2 2 2 1
x y za b c
x
y
z
O
因此
3 3 3
d d d d d dx y z y z x z x y
3 5 4 3 5 4 3 4
02 π
π
0
2
( s i n c o s s i n s i n s i n c o s ) d da b c b a c c a b
π
2 π
2 5 4 2 5 4 2 4
2
00
2 2 2
d s i n c o s s i n s i n s i n c o s d
2
π ()
5
a b c a b c
a b c a b c
。
这里积分号前取,+,，是因为曲面的定向为上侧，所以在 ∑ 上方向余弦
0c o s
（除去在边界上
π
2
），而由方向余弦的计算公式,
22
1 (,) s i n c o s
c o s
(,)
x y a b
E G F E G F
,
等式成立必须取,+,号。
例 1 4,2,6 计算
2( ) d d d dz x y z z x y
，其中 ∑ 为抛物面
z x y12 2 2( )在平面 z? 0 与 z? 2 之间的部分，方向取下侧。
图 14.2.9
z x y12 2 2( )
z?2
y
x
z
O
解 由于
d d c o s d,d d c o s dy z S x y S
，所以
2 2 2 c o s
( )d d ( ) c o s d ( ) d d
c o s
z x y z z x S z x x y
。
由于 ∑ 定向为下侧，所以
2222
1
1
c o s,
1
c o s
yxyx
x
。
注意到 ∑ 在
xy
平面的投影区域为
22{ (,) | 2 }x y x yD
，于是有
22
2
2 2 2 2
2 π 2
5 2 2
00
( ) d d d d ( ) ( ) d d
11
( ) ( ) ( ) d d
22
1 1 8
d c os c os d 4 2 π
4 2 3
z x y z z x y z x x z x y
x y x x x y x y
r r r r r
。
D
