无界区域上的反常重积分设 D 为平面 2R 上的无界区域，它的边界是由有限条光滑曲线组成的。假设 D 上的函数
f x y(,)
具有下述性质：它在 D 中有界的、可求面积的子区域上可积。并假设所取的割线? 为一条面积为零的曲线，
它将 D 割出一个有界子区域，记为
D
，并 记
22( ) i n f | (,)d x y x y
为? 到原点的距离。
图 13.4.1
§ 4 反常重积分
D
D
定义 1 3,4,1 若当
()d?
趋于无穷大,即
D
趋于 D 时,
(,) d df x y x y
D
的极限存在,就称
f x y(,)
在 D 上 可积,并记
()
(,) d d l im (,) d d
d
f x y x y f x y x y
DD
。
这个极限值称为
f x y(,)
在 D 上的 反常二重积分,这时也称反常二重积分
(,) d df x y x y
D
收敛 。 如果右端的极限不存在，就称这一 反常二重积分 发散 。
先考虑函数是非负的情况。
引理 1 3,4,1 设
f x y(,)
为无界区域 D 上的非负函数 。 如果
{} n?
是一列曲线,它们割出的 D 的有界子区域
{} nD
满足
12 nD D D
，及
l i m ( )n
n
d?
,
则 反常积分
(,) d df x y x y
D
在 D 上收敛的充分必要条件是：数列
(,)d d
n
f x y x y
D
收敛。且在收敛时成立
(,) d df x y x y
D
l im (,) d d
n
n
f x y x y
D
。
证 必要性是显然的。下面证明充分性。
如果
(,)d d
n
f x y x y
D
收敛，记
l im (,)d d
n
n
f x y x y I
D
。现在证明
()
l im (,)d d
d
f x y x y I
D
。
对于曲线?,令
()22
s u p | (,)x y x y
。由假设
l i m ( )n
n
d?
得知，当 n 充分大时，成立
( ) ( )nd
，因此由数列
(,)d d
n
f x y x y
D
的单调增加性得到
(,)d d (,)d d
n
f x y x y f x y x y I
DD
。
另一方面，由于数列
(,)d d
n
f x y x y
D
收敛于 I,对于任意正数?,
存在正整数 N,使得
(,) d d
N
f x y x y I
D
。
因此当
( ) ( )Nd
时，有
(,)d d (,)d d
N
I f x y x y f x y x y I
DD
。
此即
()
l im (,)d d
d
f x y x y I
D
。
例 1 3,4,1 设
2 2 2{ (,) | }x y a x yD
（
0?a
）。记
r x y2 2
,
f x y
r
p
p
(,) ( )
1
0
为定义在 D 上的函数。证明积分
(,) d df x y x y
D
当
p? 2
时收敛；当
p? 2
时发散。
证 取
2 2 2{ (,) | } ( )x y x y a
，它割出的 D 的有界部分为
2 2 2 2{ (,) | }x y a x y
D
。
利用极坐标变换得到
2 π
11
0
(,) d d d d 2 π d
pp
aa
f x y x y r r r r
D
。
令
趋于正无穷大，最后一个积分当
p? 2
时收敛，当
p? 2
时发散。由引理 1 3,4,1 即可得知所需的结论。
从以上推导可以看出，当 D 为扇形区域
,(,[ 0,2 π ])ar
时，上述结论也成立。
定理 1 3,4,1 （ 比较判别法 ） 设 D 为 2R 上具有分段光滑边界的无界区域,在 D 上成立
0f x y g x y(,) (,)
。 那么
（ 1 ） 当
(,) d dg x y x y
D
收敛时,
(,) d df x y x y
D
也收敛 ；
（ 2 ） 当
(,) d df x y x y
D
发散时,
(,) d dg x y x y
D
也发散 。
证明从略。
反常二重积分有一个重要特点：可积与绝对可积是等价的。
定理 1 3,4,2 设 D 为 2R 上具有分段光滑边界的无界区域,则
f x y(,)
在 D 上可积的充分必要条件是：
| (,)|f x y
在 D 上可积 。
证 记
f x y
f x y f x y
f x y
(,)
(,),(,),
,(,) ;
当当
0
0 0
及
f x y
f x y
f x y f x y
(,)
,(,),
(,),(,)
0 0
0
当当 。
显然，这两个函数都是非负的，且不大于
| (,)|f x y
。
因此，由比较判别法，若
| (,)|f x y
在 D 上可积，则
f x y? (,)
和
f x y? (,)
均在 D 上可积，于是
),(),(),( yxfyxfyxf
也在 D 上可积。充分性得 证。
下面证明必要性，用反证法。设
f x y(,)
在 D 上可积，但
| (,)|f x y
在 D
上不可积。由于
| (,)|f x y
=
f x y? (,)
+
f x y? (,)
,
那么非负函数
f x y? (,)
和
f x y? (,)
中 至少有一个在 D 上不可积。不妨设
f x y? (,)
在 D 上不可积。由 引理 1 3,4,1 知，对于任意大的正数 K,存在一条曲线?,使得在它割出的 D 的有界子区域
D
上成立
(,) d df x y x y K
D
。
因此由归纳法可知，存在一族曲线
{} n?
，它们割出的 D 的有界子区域
{} nD
满足
12 l im ( )nn
n
d?
,及 。D D D
且成立
1
(,)d d 2 | (,) | d d ( 1,2,)
nn
f x y x y f x y x y n n
。
DD
因此
1
(,)d d | (,) | d d ( 1,2,)
n n n
f x y x y f x y x y n n
。
D D D
由于
f x y(,)
在
1nnDD
上可积，可知
f x y? (,)
在
1nnDD
上可积（见本章 § 1 习题 4 ），其 D a r b o u x 小和收敛于它在
1nnDD
上的积分。所以充分细分
1nnDD
后，
),( yxf?
的 D a r b o u x 小和
1
1
(,) d d 1 | (,) | d d 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
n n n
m f x y x y f x y x y n n?
D D D
,
其中
i
nσ?
为细分
1nnDD
后所得小区域
i
nσ
的面积（
nSi,,2,1
），
i
nm
为
),( yxf?
在小区域
i
nσ
上的下确界。由上式知，存在许多
1nnDD
上的小区域
i
nσ
，在它们上面成立
0?inm
，记
nP
为所有这样的小区域的并集。
那么
1
(,) d d | (,) | d d 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
nn
f x y x y m f x y x y n n?
PD
。
(,) (,) d d (,) d d (,) d d (,) d d
| (,) | d d (,) d d 1 ( 1,2,)
n n n n n
nn
f x y d x d y f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y
f x y x y f x y x y n n
。
E D P D P
DP
问题是
n n nE D P
不一定连通，这时可以用一些狭小的“走廊”将其连通后得到区域
n
，而且这些“走廊”的总面积能充分的小，使得
(,)d d 2 ( 1,2,)
n
f x y x y n n
。
这说明
f x y(,)
在 D 上不可积，与假设矛盾。
结合例 1 3,4,1,定理 1 3,4,1 和定理 1 3,4,2,立即得到推论 1 3,4,1 （ C a uc hy 判别法） 设 D 为 用极坐标表示的区域
D = { (,) |,,,[ 0,2 π ]}r a r)0(?a,
其中
r x y2 2
。
),( yxf
为定义在 D 上的函数。则
（ 1 ）如果存在正常数 M,使得在 D 上成立
pr
M
yxf?|),(|
，则当
p? 2
时，
(,) d df x y x y
D
收敛；
（ 2 ）如果存在正常数 m,使得在 D 上成立
pr
m
yxf?|),(|
，则当
2?p
时，
(,) d df x y x y
D
发散；
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 1 3,4,3 设 f x y(,) 在 [,) [,)acD 上连续,且
d (,)dac x f x y y
和
d | (,) | dac x f x y y
都存在,则 f x y(,) 在 D 上可积,
而且
[,] [,]
(,)d d d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x y y
。
关于反常二重积分的变量代换，同样有下述定理,
定理 1 3,4,4 设一一对应映射
,( )TT?DD
),(
),,(
vuyy
vuxx
具有连续导数，且 J aco b i 行列式
),(
),(
vu
yx
在 D 上不等于零。则变量代换公式
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
依然成立,并且等式某一边的积分收敛可以推出另一个积分收敛 。
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 1 3,4,3 设 f x y(,) 在 [,) [,)acD 上连续,且
d (,)dac x f x y y
和
d | (,) | dac x f x y y
都存在,则 f x y(,) 在 D 上可积,
而且
[,] [,]
(,)d d d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x y y
。
注 在高维情形，只要将,曲线”换为,曲面”，即可类似定义反常积分，并得到与定理 13,4,1 — 定理 1 3,4,4 相同的结论，这里不再展开了 （注意：例 1 3.4,1 和 推论 1 3,4,1 中的,p? 2,和,p? 2,
要分别换为,p n?,和,p n?,）。
例 1 3,4,2 计算
()
0
e d d
xy
xy
xy
解 由于被积函数是正的，因此
( ) ( )
00
e d d l im e d d
x y x y
R
x y x y R
x y x y
()
00
2 2 2
0
l i m d e d l i m e e d
11
l i m e e d l i m ( 1 e ) e e
22
RR R R
x y x y
xRR x
R
x x R R R R
RR
x y x
x
。
事实上，上例可以直接用化累次积分方法来计算,
( ) ( ) 2
0 0 0
0
1
e d d d e d e e d e d
2
x y x y x y x
x x
xy
x y x y x x
。
图 13.4.2
y x?
x
y
O
例 1 3,4,3 计算
22
()
2
e d d
xy
xy
R
，并求
2
0
ed
x
x
。
解 利用极坐标变换
x r y rc o s,s i n
,2R 就变换为?
{ (,) | 0,0 2 π }rrD
。
因此利用变量代换法得
2 π2 2 2 2 2
()
0 0 0
2
e d d e d d d e d 2 π ed π
x y r r r
x y r r r r r r
R
D
。
又由于
),(),(2R
，所以利用化累次积分法得
2
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
2
π e d d d e d e d e d e d
x y x y x y x
x y x y x y x
R
。
因此
2
ed π
x
x
。
所以
2
0
π
ed
2
x
x
。
此积分叫 P o s s i o n 积分,在概率统计等领域中有着重要应用。
无界函数的反常重积分设 D 为 2R 上的有界区域，点
P 0
D,
f x y(,)
在
0\ { }PD
上有定义，
但在点
P 0
的任何去心邻域内无界。这时
P 0
称为
f
的 奇 点 。
设
为内部含有
P 0
的、面积为零的闭曲线，记? 为它所包围的区域。并设二重积分
\
(,) d df x y x y
D
总是存在。
定义 1 3,4,2 设
)( }||s u p { | 0 PPP
。若
)(
趋于零时，
\
(,) d df x y x y
D
的极限存在,就称
f x y(,)
在 D 上可积,并记
( ) 0
\
(,) d d l im (,) d df x y x y f x y x y
DD
,
这个极限值称为 无界函数
f x y(,)
在 D 上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分
(,) d df x y x y
D
收敛 。 如果右端的极限不存在，就称这一 反常二重积分 发散 。
如果函数 ),( yxf 在区域 D 上有 奇线 0?,即 ),( yxf 在 0\?D 上有定义，但在任何包含曲线 0? 的区域上无界。同 定义 13,4,2 一样可以 定义 f x y(,) 在 D 上的反常二重积分。
定义 1 3,4,2 设
)( }||s u p { | 0 PPP
。若
)(
趋于零时，
\
(,) d df x y x y
D
的极限存在,就称
f x y(,)
在 D 上可积,并记
( ) 0
\
(,) d d l im (,) d df x y x y f x y x y
DD
,
这个极限值称为 无界函数
f x y(,)
在 D 上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分
(,) d df x y x y
D
收敛 。 如果右端的极限不存在，就称这一 反常二重积分 发散 。
例 1 3,4,4 设
2 2 2{ (,) | } ( 0 )x y x y a aD
。记
r x y2 2
,
f x y
r
r pp(,),( )
1
0 0
为定义在
\ { ( 0,0 ) }D
上的函数。证明
(,) d df x y x y
D
当
p? 2
时收敛；当
p? 2
时发散。
证 取
)0(}|),{( 222 ayxyx
，它所围的区域为
2 2 2{ (,) | }x y x y
D
。
利用极坐标变换得到
2 π
11
0
\
(,) d d d d 2 π d
aa
pp
f x y x y r r r r
DD
。
令
趋于零，可知积分当
p? 2
时收敛，当
p? 2
时发散。
例 1 3,4,5 判断反常重积分
3
dd
()
xy
xy
xy
D
的敛散性，其中
{ (,) | 0 1,0 1 }x y x yD
。
解 显然
)0,0(
点是被积函数
3
)( yx
yx
的奇点。记
,D
}0,0|),{( yxyx
。
则
,
3
\
dd
()
xy
xy
xy
DD
33
01
1 0 1
d d d d
( ) ( )
xx
yy
x y x y
x y x y
x y x y
1 1 1
33
00
d d d d
( ) ( )
x y x y
x y x y
x y x y
1 1 1
3 2 3 2
00
2 1 2 1
d d d d
( ) ( ) ( ) ( )
xx
x y x y
x y x y x y x y
.
2
1
由于当
0,0
时，
,
3
\
dd
()
xy
xy
xy
DD
无极限，所以反常积分
3
dd
()
xy
xy
xy
D
发散。
1
,D
,\DD
y
x?
1O
同无界区域的情形一样，比较判别法和 C a uc hy 判别法 也对无界函数的反常积分成立；此时可积与绝对可积也是等价的；计算方法也可以化累次积分和采用变量代换。
无界函数的反常积分的概念也可以推广到高维空间去。
例 1 3,4,6 计算
22
dd xy
xy?
D
,其中
22{ (,) | }x y x y xD
。
y
x y x
2 2
O 1 x
解 利用极坐标变换,D 就对应于
1
π π
{(,) |,0 c os }
22
rrD
,
因此
π π
c os
22
π π
22 0
22
1
dd
d d d d c o s d 2
xy
rr
xy
DD
。
例 1 3,4,7 计算
2 2 3 2 dd()
xy xy
xyD
,
其中 { (,) | 0 1,0 1 }x y x yD 。
解
1 1 1
2 2 3 2 2 2 3 2 20 0 0d d d d 1 d 2 2( ) ( )
1
x y x y xx y x y x
x y x y x
。
D
例 1 3,4,8 计算
1
20
a r c ta n
d
1
x
Ix
xx
。
解 由
1
220
a r c ta n d
1
xy
x x y
得到
11
2 2 200
d
d
( 1 ) 1
y
Ix
x y x
。
利用反常重积分
2 2 2
[ 0,1 ] [ 0,1 ]
1
dd
( 1 ) 1
xy
x y x
与累次积分的关系，得到
11
2 2 2 2 2 200
[ 0,1 ] [ 0,1 ]
11
2 2 200
d d d
d
( 1 ) 1 ( 1 ) 1
d
d.
( 1 ) 1
y x y
Ix
x y x x y x
x
y
x y x
对于积分
1
2 2 20
d
( 1 ) 1
x
x y x
，作变量代换?c o s?x,
π
2π
1
2
22
2 2 2 2 2 200
0
d d 1 ta n π 1
a r c ta n
1 c o s 2( 1 ) 1 1 1 1
x
yx y x y y y
。
于是
1
20
π 1 π
d l n ( 1 2 )
22 1
Iy
y
。
例 1 3,4,9 计算
2 2 2
ddd
1
xyz
x y z
,
其中 Ω
}1|),,{( 222 zyxzyx
。
解 利用球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
,
这时 Ω 对应于 Ω
1 { (,,) | 0 1,0 2 π,0 π }rr
，因此
2
2 2 2 2
1
2
2 π π 1
2
20 0 0
d d d si n
d d d
11
d si n d d π
1
x y z r
r
x y z r
r
r
r
。
例 1 3,4,9 还可以推广到高维的情况。当
2?n
时,
12
2 2 2
2 2 2
121
12
d d d
1
n
nx x x
n
x x x
I
x x x
2 2 2
1
1 2 1
1 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
121 1
1 2 1 1 2 1
d
d d d
1
x x x
n
n
n
nx x x x x x
n n
x
x x x
x x x
1 2 1
2 2 2
1
1 2 1
π d d d
n
x x x
n
x x x
1
1
π,2 1,
!
2
π,2,
( 2 1 ) ! !
m
m
m
nm
m
nm
m
这里利用了
22
d
π
a
a
u
au
和上节例 13,3,1 1 的结果。
f x y(,)
具有下述性质：它在 D 中有界的、可求面积的子区域上可积。并假设所取的割线? 为一条面积为零的曲线，
它将 D 割出一个有界子区域，记为
D
，并 记
22( ) i n f | (,)d x y x y
为? 到原点的距离。
图 13.4.1
§ 4 反常重积分
D
D
定义 1 3,4,1 若当
()d?
趋于无穷大,即
D
趋于 D 时,
(,) d df x y x y
D
的极限存在,就称
f x y(,)
在 D 上 可积,并记
()
(,) d d l im (,) d d
d
f x y x y f x y x y
DD
。
这个极限值称为
f x y(,)
在 D 上的 反常二重积分,这时也称反常二重积分
(,) d df x y x y
D
收敛 。 如果右端的极限不存在，就称这一 反常二重积分 发散 。
先考虑函数是非负的情况。
引理 1 3,4,1 设
f x y(,)
为无界区域 D 上的非负函数 。 如果
{} n?
是一列曲线,它们割出的 D 的有界子区域
{} nD
满足
12 nD D D
，及
l i m ( )n
n
d?
,
则 反常积分
(,) d df x y x y
D
在 D 上收敛的充分必要条件是：数列
(,)d d
n
f x y x y
D
收敛。且在收敛时成立
(,) d df x y x y
D
l im (,) d d
n
n
f x y x y
D
。
证 必要性是显然的。下面证明充分性。
如果
(,)d d
n
f x y x y
D
收敛，记
l im (,)d d
n
n
f x y x y I
D
。现在证明
()
l im (,)d d
d
f x y x y I
D
。
对于曲线?,令
()22
s u p | (,)x y x y
。由假设
l i m ( )n
n
d?
得知，当 n 充分大时，成立
( ) ( )nd
，因此由数列
(,)d d
n
f x y x y
D
的单调增加性得到
(,)d d (,)d d
n
f x y x y f x y x y I
DD
。
另一方面，由于数列
(,)d d
n
f x y x y
D
收敛于 I,对于任意正数?,
存在正整数 N,使得
(,) d d
N
f x y x y I
D
。
因此当
( ) ( )Nd
时，有
(,)d d (,)d d
N
I f x y x y f x y x y I
DD
。
此即
()
l im (,)d d
d
f x y x y I
D
。
例 1 3,4,1 设
2 2 2{ (,) | }x y a x yD
（
0?a
）。记
r x y2 2
,
f x y
r
p
p
(,) ( )
1
0
为定义在 D 上的函数。证明积分
(,) d df x y x y
D
当
p? 2
时收敛；当
p? 2
时发散。
证 取
2 2 2{ (,) | } ( )x y x y a
，它割出的 D 的有界部分为
2 2 2 2{ (,) | }x y a x y
D
。
利用极坐标变换得到
2 π
11
0
(,) d d d d 2 π d
pp
aa
f x y x y r r r r
D
。
令
趋于正无穷大，最后一个积分当
p? 2
时收敛，当
p? 2
时发散。由引理 1 3,4,1 即可得知所需的结论。
从以上推导可以看出，当 D 为扇形区域
,(,[ 0,2 π ])ar
时，上述结论也成立。
定理 1 3,4,1 （ 比较判别法 ） 设 D 为 2R 上具有分段光滑边界的无界区域,在 D 上成立
0f x y g x y(,) (,)
。 那么
（ 1 ） 当
(,) d dg x y x y
D
收敛时,
(,) d df x y x y
D
也收敛 ；
（ 2 ） 当
(,) d df x y x y
D
发散时,
(,) d dg x y x y
D
也发散 。
证明从略。
反常二重积分有一个重要特点：可积与绝对可积是等价的。
定理 1 3,4,2 设 D 为 2R 上具有分段光滑边界的无界区域,则
f x y(,)
在 D 上可积的充分必要条件是：
| (,)|f x y
在 D 上可积 。
证 记
f x y
f x y f x y
f x y
(,)
(,),(,),
,(,) ;
当当
0
0 0
及
f x y
f x y
f x y f x y
(,)
,(,),
(,),(,)
0 0
0
当当 。
显然，这两个函数都是非负的，且不大于
| (,)|f x y
。
因此，由比较判别法，若
| (,)|f x y
在 D 上可积，则
f x y? (,)
和
f x y? (,)
均在 D 上可积，于是
),(),(),( yxfyxfyxf
也在 D 上可积。充分性得 证。
下面证明必要性，用反证法。设
f x y(,)
在 D 上可积，但
| (,)|f x y
在 D
上不可积。由于
| (,)|f x y
=
f x y? (,)
+
f x y? (,)
,
那么非负函数
f x y? (,)
和
f x y? (,)
中 至少有一个在 D 上不可积。不妨设
f x y? (,)
在 D 上不可积。由 引理 1 3,4,1 知，对于任意大的正数 K,存在一条曲线?,使得在它割出的 D 的有界子区域
D
上成立
(,) d df x y x y K
D
。
因此由归纳法可知，存在一族曲线
{} n?
，它们割出的 D 的有界子区域
{} nD
满足
12 l im ( )nn
n
d?
,及 。D D D
且成立
1
(,)d d 2 | (,) | d d ( 1,2,)
nn
f x y x y f x y x y n n
。
DD
因此
1
(,)d d | (,) | d d ( 1,2,)
n n n
f x y x y f x y x y n n
。
D D D
由于
f x y(,)
在
1nnDD
上可积，可知
f x y? (,)
在
1nnDD
上可积（见本章 § 1 习题 4 ），其 D a r b o u x 小和收敛于它在
1nnDD
上的积分。所以充分细分
1nnDD
后，
),( yxf?
的 D a r b o u x 小和
1
1
(,) d d 1 | (,) | d d 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
n n n
m f x y x y f x y x y n n?
D D D
,
其中
i
nσ?
为细分
1nnDD
后所得小区域
i
nσ
的面积（
nSi,,2,1
），
i
nm
为
),( yxf?
在小区域
i
nσ
上的下确界。由上式知，存在许多
1nnDD
上的小区域
i
nσ
，在它们上面成立
0?inm
，记
nP
为所有这样的小区域的并集。
那么
1
(,) d d | (,) | d d 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
nn
f x y x y m f x y x y n n?
PD
。
(,) (,) d d (,) d d (,) d d (,) d d
| (,) | d d (,) d d 1 ( 1,2,)
n n n n n
nn
f x y d x d y f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y
f x y x y f x y x y n n
。
E D P D P
DP
问题是
n n nE D P
不一定连通，这时可以用一些狭小的“走廊”将其连通后得到区域
n
，而且这些“走廊”的总面积能充分的小，使得
(,)d d 2 ( 1,2,)
n
f x y x y n n
。
这说明
f x y(,)
在 D 上不可积，与假设矛盾。
结合例 1 3,4,1,定理 1 3,4,1 和定理 1 3,4,2,立即得到推论 1 3,4,1 （ C a uc hy 判别法） 设 D 为 用极坐标表示的区域
D = { (,) |,,,[ 0,2 π ]}r a r)0(?a,
其中
r x y2 2
。
),( yxf
为定义在 D 上的函数。则
（ 1 ）如果存在正常数 M,使得在 D 上成立
pr
M
yxf?|),(|
，则当
p? 2
时，
(,) d df x y x y
D
收敛；
（ 2 ）如果存在正常数 m,使得在 D 上成立
pr
m
yxf?|),(|
，则当
2?p
时，
(,) d df x y x y
D
发散；
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 1 3,4,3 设 f x y(,) 在 [,) [,)acD 上连续,且
d (,)dac x f x y y
和
d | (,) | dac x f x y y
都存在,则 f x y(,) 在 D 上可积,
而且
[,] [,]
(,)d d d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x y y
。
关于反常二重积分的变量代换，同样有下述定理,
定理 1 3,4,4 设一一对应映射
,( )TT?DD
),(
),,(
vuyy
vuxx
具有连续导数，且 J aco b i 行列式
),(
),(
vu
yx
在 D 上不等于零。则变量代换公式
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
依然成立,并且等式某一边的积分收敛可以推出另一个积分收敛 。
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 1 3,4,3 设 f x y(,) 在 [,) [,)acD 上连续,且
d (,)dac x f x y y
和
d | (,) | dac x f x y y
都存在,则 f x y(,) 在 D 上可积,
而且
[,] [,]
(,)d d d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x y y
。
注 在高维情形，只要将,曲线”换为,曲面”，即可类似定义反常积分，并得到与定理 13,4,1 — 定理 1 3,4,4 相同的结论，这里不再展开了 （注意：例 1 3.4,1 和 推论 1 3,4,1 中的,p? 2,和,p? 2,
要分别换为,p n?,和,p n?,）。
例 1 3,4,2 计算
()
0
e d d
xy
xy
xy
解 由于被积函数是正的，因此
( ) ( )
00
e d d l im e d d
x y x y
R
x y x y R
x y x y
()
00
2 2 2
0
l i m d e d l i m e e d
11
l i m e e d l i m ( 1 e ) e e
22
RR R R
x y x y
xRR x
R
x x R R R R
RR
x y x
x
。
事实上，上例可以直接用化累次积分方法来计算,
( ) ( ) 2
0 0 0
0
1
e d d d e d e e d e d
2
x y x y x y x
x x
xy
x y x y x x
。
图 13.4.2
y x?
x
y
O
例 1 3,4,3 计算
22
()
2
e d d
xy
xy
R
，并求
2
0
ed
x
x
。
解 利用极坐标变换
x r y rc o s,s i n
,2R 就变换为?
{ (,) | 0,0 2 π }rrD
。
因此利用变量代换法得
2 π2 2 2 2 2
()
0 0 0
2
e d d e d d d e d 2 π ed π
x y r r r
x y r r r r r r
R
D
。
又由于
),(),(2R
，所以利用化累次积分法得
2
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
2
π e d d d e d e d e d e d
x y x y x y x
x y x y x y x
R
。
因此
2
ed π
x
x
。
所以
2
0
π
ed
2
x
x
。
此积分叫 P o s s i o n 积分,在概率统计等领域中有着重要应用。
无界函数的反常重积分设 D 为 2R 上的有界区域，点
P 0
D,
f x y(,)
在
0\ { }PD
上有定义，
但在点
P 0
的任何去心邻域内无界。这时
P 0
称为
f
的 奇 点 。
设
为内部含有
P 0
的、面积为零的闭曲线，记? 为它所包围的区域。并设二重积分
\
(,) d df x y x y
D
总是存在。
定义 1 3,4,2 设
)( }||s u p { | 0 PPP
。若
)(
趋于零时，
\
(,) d df x y x y
D
的极限存在,就称
f x y(,)
在 D 上可积,并记
( ) 0
\
(,) d d l im (,) d df x y x y f x y x y
DD
,
这个极限值称为 无界函数
f x y(,)
在 D 上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分
(,) d df x y x y
D
收敛 。 如果右端的极限不存在，就称这一 反常二重积分 发散 。
如果函数 ),( yxf 在区域 D 上有 奇线 0?,即 ),( yxf 在 0\?D 上有定义，但在任何包含曲线 0? 的区域上无界。同 定义 13,4,2 一样可以 定义 f x y(,) 在 D 上的反常二重积分。
定义 1 3,4,2 设
)( }||s u p { | 0 PPP
。若
)(
趋于零时，
\
(,) d df x y x y
D
的极限存在,就称
f x y(,)
在 D 上可积,并记
( ) 0
\
(,) d d l im (,) d df x y x y f x y x y
DD
,
这个极限值称为 无界函数
f x y(,)
在 D 上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分
(,) d df x y x y
D
收敛 。 如果右端的极限不存在，就称这一 反常二重积分 发散 。
例 1 3,4,4 设
2 2 2{ (,) | } ( 0 )x y x y a aD
。记
r x y2 2
,
f x y
r
r pp(,),( )
1
0 0
为定义在
\ { ( 0,0 ) }D
上的函数。证明
(,) d df x y x y
D
当
p? 2
时收敛；当
p? 2
时发散。
证 取
)0(}|),{( 222 ayxyx
，它所围的区域为
2 2 2{ (,) | }x y x y
D
。
利用极坐标变换得到
2 π
11
0
\
(,) d d d d 2 π d
aa
pp
f x y x y r r r r
DD
。
令
趋于零，可知积分当
p? 2
时收敛，当
p? 2
时发散。
例 1 3,4,5 判断反常重积分
3
dd
()
xy
xy
xy
D
的敛散性，其中
{ (,) | 0 1,0 1 }x y x yD
。
解 显然
)0,0(
点是被积函数
3
)( yx
yx
的奇点。记
,D
}0,0|),{( yxyx
。
则
,
3
\
dd
()
xy
xy
xy
DD
33
01
1 0 1
d d d d
( ) ( )
xx
yy
x y x y
x y x y
x y x y
1 1 1
33
00
d d d d
( ) ( )
x y x y
x y x y
x y x y
1 1 1
3 2 3 2
00
2 1 2 1
d d d d
( ) ( ) ( ) ( )
xx
x y x y
x y x y x y x y
.
2
1
由于当
0,0
时，
,
3
\
dd
()
xy
xy
xy
DD
无极限，所以反常积分
3
dd
()
xy
xy
xy
D
发散。
1
,D
,\DD
y
x?
1O
同无界区域的情形一样，比较判别法和 C a uc hy 判别法 也对无界函数的反常积分成立；此时可积与绝对可积也是等价的；计算方法也可以化累次积分和采用变量代换。
无界函数的反常积分的概念也可以推广到高维空间去。
例 1 3,4,6 计算
22
dd xy
xy?
D
,其中
22{ (,) | }x y x y xD
。
y
x y x
2 2
O 1 x
解 利用极坐标变换,D 就对应于
1
π π
{(,) |,0 c os }
22
rrD
,
因此
π π
c os
22
π π
22 0
22
1
dd
d d d d c o s d 2
xy
rr
xy
DD
。
例 1 3,4,7 计算
2 2 3 2 dd()
xy xy
xyD
,
其中 { (,) | 0 1,0 1 }x y x yD 。
解
1 1 1
2 2 3 2 2 2 3 2 20 0 0d d d d 1 d 2 2( ) ( )
1
x y x y xx y x y x
x y x y x
。
D
例 1 3,4,8 计算
1
20
a r c ta n
d
1
x
Ix
xx
。
解 由
1
220
a r c ta n d
1
xy
x x y
得到
11
2 2 200
d
d
( 1 ) 1
y
Ix
x y x
。
利用反常重积分
2 2 2
[ 0,1 ] [ 0,1 ]
1
dd
( 1 ) 1
xy
x y x
与累次积分的关系，得到
11
2 2 2 2 2 200
[ 0,1 ] [ 0,1 ]
11
2 2 200
d d d
d
( 1 ) 1 ( 1 ) 1
d
d.
( 1 ) 1
y x y
Ix
x y x x y x
x
y
x y x
对于积分
1
2 2 20
d
( 1 ) 1
x
x y x
，作变量代换?c o s?x,
π
2π
1
2
22
2 2 2 2 2 200
0
d d 1 ta n π 1
a r c ta n
1 c o s 2( 1 ) 1 1 1 1
x
yx y x y y y
。
于是
1
20
π 1 π
d l n ( 1 2 )
22 1
Iy
y
。
例 1 3,4,9 计算
2 2 2
ddd
1
xyz
x y z
,
其中 Ω
}1|),,{( 222 zyxzyx
。
解 利用球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
,
这时 Ω 对应于 Ω
1 { (,,) | 0 1,0 2 π,0 π }rr
，因此
2
2 2 2 2
1
2
2 π π 1
2
20 0 0
d d d si n
d d d
11
d si n d d π
1
x y z r
r
x y z r
r
r
r
。
例 1 3,4,9 还可以推广到高维的情况。当
2?n
时,
12
2 2 2
2 2 2
121
12
d d d
1
n
nx x x
n
x x x
I
x x x
2 2 2
1
1 2 1
1 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
121 1
1 2 1 1 2 1
d
d d d
1
x x x
n
n
n
nx x x x x x
n n
x
x x x
x x x
1 2 1
2 2 2
1
1 2 1
π d d d
n
x x x
n
x x x
1
1
π,2 1,
!
2
π,2,
( 2 1 ) ! !
m
m
m
nm
m
nm
m
这里利用了
22
d
π
a
a
u
au
和上节例 13,3,1 1 的结果。
