链式规则设
),(),,( yxyxfz
fD
是区域
fD
2R 上的二元函数，而
,ggD
→ 2R,
)),(),,((),( vuyvuxvu?
是区域
gD
2R 上的二元二维向量值函数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，
那么可以构造复合函数
g?fz ),()],,(),,([ vuvuyvuxf
gD
。
复合函数有如下求偏导数的法则。
§ 2 多元复合函数的求导法则定理 1 2,2,1（链式规则） 设
g
在
),( 00 vu
gD
点可导,即
),( vuxx?
，
),( vuyy?
在
),( 00 vu
点可偏导 。 记
),(),,( 000000 vuyvuxx
,如果
f
在
),( 00 yx
点可微,那么
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(,) (,) (,) (,) (,)
z z x z y
u v x y u v x y u v
u x u y u
；
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(,) (,) (,) (,) (,)
z z x z y
u v x y u v x y u v
v x v y v
。
证 只证明第一式。由于
f
在
),( 00 yx
点可微，因此
,),(),(),(
),(),(
22
0000
0000
yxyxyyx
y
f
xyx
x
f
yxfyyxxf
其中
),( yx
满足
0),(l i m
0),(
yx
yx
。定义
0)0,0(
，那么上式当
)0,0(),( yx
时也成立。
设
),(),( 0000 vuxvuuxx
,
),(),( 0000 vuyvuuyy
,
由于
),( vuxx?
，
),( vuyy?
在
),( 00 vu
点可偏导，所以成立
),(lim),,(lim
00
0
00
0
vu
u
y
u
y
vu
u
x
u
x
uu?
,
并且有
0lim
22
0
yx
u
。于是当
u?
趋于 0 时,
2222
),(
),(
u
y
u
x
u
u
yx
u
yxyx
也趋于 0,所以
u
vuyvuxfvuuyvuuxf
vu
u
z
u?
)),(),,(()),(),,((
lim),(
00000000
0
00
u
yxfyyxxf
u?
),(),(
l im
0000
0
u
yxyx
u
y
yx
y
f
u
x
yx
x
f
uu?
22
0
0000
0
),(
lim),(),(lim
0 0 0 0 0 0 0 0
(,) (,) (,) (,)
f x f y
x y u v x y u v
x u y u
。
注意，定理条件“
f
可微”不能减弱为“
f
可偏导”。
例 1 2,2,1 从上节已经知道,
0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxfz
在
)0,0(
点可偏导，且
0)0,0()0,0( yx ff
，但它在
)0,0(
点不可微。
现在设
yx,
分别是自变量 t 的函数
,
,
2
ty
tx
直接代入就知这个复合函数实质上是
tz?
，因此 在
0?t
点的导数为
1)0(
d
d
t
z
。
但若贸然套用链式规则，就会导出
0
22
]1),(2),([)0(
d
d
t
yx
ttftttf
t
z
0]1)0,0(02)0,0([ yx ff
的错误结果。
下面不加证明地把链式规则推至一般情况。
设
),,,(),,,,( 2121 mm yyyyyyfz fD
为区域
fD
mR 上的 m 元函数。又设
,ggD
→ mR,
),,,(),,,( 2121 mn yyyxxx
为区域
gD
nR 上的 n 元 m 维向量值函数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，
那么可以构造复合函数
g?fz?
=
)],,,(,),,,,(),,,,([ 21212211 nmnn xxxyxxxyxxxyf
,
12(,,,)nx x x? gD
。
定理 1 2,2,2 （链式规则） 设
g
在
0x
gD
点可导,即
myyy,,,21?
在
0x 点可偏导,且
f
在
)( 00 xgy?
点可微,则
)(
0
x
i
x
z
)()()()()()(
00020
2
010
1
xyxyxy
i
m
mii
x
y
y
z
x
y
y
z
x
y
y
z
,
ni,,2,1
。
上式可以用矩阵表示为
0
,,,
21 xxn
x
z
x
z
x
z
0
0
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
,,,
xx
n
mmm
n
n
yy
m
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
z
y
z
y
z
,
或用向量值函数的导数记号表为
)()()()( 000 xgyxg ff?
。
例 1 2,2,2 设
),a r c t a n (xyz?
xy e?
，求
0d
d
xx
z 。
解 由链式规则
2 2 2 2 2 2
d d d e ( 1 )
1e
d d d 1 1 1 e
x
x
x
z z x z y y x x
x x x y x x y x y x
。
于是
1
d
d
0
xx
z 。
例 1 2,2,3 设
y
x
z
2
，而
vuyvux 2,2
，计算
v
z
u
z
,
。
解
2
2
2
12
z z x z y x x
u x u y u y y
2
22
2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 3 )
2 ( 2 ) ( 2 )
u v u v u v u v
u v u v u v
。
2
2
2
( 2 ) 1
z z x z y x x
v x v y v y y
2
22
4 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 9 2 )
2 ( 2 ) ( 2 )
u v u v v u u v
u v u v u v
。
例 1 2,2,4 设
yxyxz 2)2(
,计算
y
z
x
z
,
。
解 设
yxvyxu 2,2
，则 vuz? 。于是
1
2 l n 1
vvz z u z v
v u u u
x u x v x
2 1 2
2
2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) l n( 2 )
2( 2 )
( 2 ) l n( 2 )
2
x y x y
xy
x y x y x y x y
xy
x y x y
xy
。
2ln1
1
uuvu
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z vv
)2l n ()2(2)2)(2( 212 yxyxyxyx yxyx
2 ( 2 )
( 2 ) 2 l n ( 2 )
2
xy xy
x y x y
xy
。
例 1 2,2,5 设
),( 222 xyzzyxfw
，
f
具有二阶连续偏导数，计算
xz
w
x
w
2
,
。
解 将
),( 222 xyzzyxfw
看成复合函数
.
,
),,(
222
xyzv
zyxu
vufw
显然
yz
x
v
x
x
u
,2
。
由链式规则,
v
w
yz
u
w
x
x
v
v
w
x
u
u
w
x
w
2
。
注意到
v
w
u
w
和仍是复合函数，于是由
xy
z
v
z
z
u
,2
,
再运用链式规则就得到
2
2
w w w w
x y z
z x z x z u v
2
w w w
x y y z
z u v z v
2 2 2 2
22
2 2 2
2 2 2
22
2 2 2
4 2 ( )
w w w w w
x z x y y y z z x y
u v u v u v v
w w w w
x z y x z x y z y
u u v v v
。
若用函数符号加下标 i 表示对其第 i 个变量的偏导数，即
u
vuf
f
),(
1
，
vu
vuf
f
uv
vuf
f
v
vuf
f
),(
,
),(
,
),(
2
21
2
122
,
如此等等，则上面的结果可表示为
12
2
w
x f y zf
x
2
2 2 2
11 12 22 2
4 2 ( )
w
x zf y x z f x y zf y f
zx
。
例 1 2,2,6 已知
),( yxuu?
为可微函数，试求 22
y
u
x
u
在极坐标下的表达式。
解 直角坐标与极坐标有如下关系,
s i n,c o s ryrx
,
将
yx,
看成中间变量，就得到
.c o ss in
.s inc o s
y
u
r
x
u
r
y
y
ux
x
uu
y
u
x
u
r
y
y
u
r
x
x
u
r
u
将第一式乘 r 后的平方加上第二式的平方，再 乘 以 2/1 r,即得到
2
2
222
1
u
rr
u
y
u
x
u
。
设
,ffD
→ 2R,
) ),,(),,((),( vuyvuxvu?
是区域
fD
2R 上的二元二维向量值函数。又设
,ggD
→ 2R,
)),(),,((),( tsvtsuts?
是区域
gD
2R 上的二元二维向量值函数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，
则可以构造复合向量值函数
gf?
。具体写出来就是
),(
) ],,(),,([
) ],,(),,([
ts
tsvtsuyy
tsvtsuxx
gD
。
如果
f
和
g
分别在
fD
与
gD
上具有连续导数，那么由定理 1 2,2,1
),,(),(),(),(),(
),,(),(),(),(),(
ts
t
v
vu
v
x
ts
t
u
vu
u
x
ts
t
x
ts
s
v
vu
v
x
ts
s
u
vu
u
x
ts
s
x
(,) (,) (,) (,) (,),
(,) (,) (,) (,) (,)
y y u y v
s t u v s t u v s t
s u s v s
y y u y v
s t u v s t u v s t
t u t v t
。
写成矩阵形式就是
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
ts
t
v
ts
s
v
ts
t
u
ts
s
u
vu
v
y
vu
u
y
vu
v
x
vu
u
x
ts
t
y
ts
s
y
ts
t
x
ts
s
x
,
即
),(),(),()( tsvuts gfgf
。
事实上，可以有如下的一般结果。
定理 1 2,2,3 设
f
：
fD
（? kR ）→ mR 与
g
：
gD
（? nR ）→ kR 分别 是 多元向量值函数,且分别在
fD
与
gD
上具有连续导数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，并 记
)( xgu?
,那么复合向量值函数
gf?
在
gD
上也具有连续的导数,并且成立等式
)()]([)()()()( xgxgfxgufxgf
,
其中
)( uf?
，
)( xg?
和
)()( xgf
是相应的导数，即 J ac o b i 矩阵 。
例 1 2,2,7 设向量值函数
22,RR?f
的坐标分量函数为
.c o ss i n
,s i nc o s
vuy
vux
向量值函数
22,RR?g
的坐标分量函数为
.
,
tsv
tsu
于是，复合函数
gf?
的坐标分量函数为
).c o s ()s i n (
),s i n ()c o s (
tstsy
tstsx
它们的偏导数可以用如下方式算出来,
sin sin c o s c o s 1 1
c o s c o s sin sin 1 1
sin sin c o s c o s sin sin c o s c o s
c o s c o s sin sin c o s c o s
x x x x u u
s t u v s t
y y y y v v
s t u v s t
u v u v
u v u v
u v u v u v u v
u v u v u v
sin sin
c o s( ) c o s( ) c o s 2 c o s 2
c o s( ) c o s( ) c o s 2 c o s 2
uv
u v u v s t
u v u v s t
。
一阶全微分的形式不变性以下总假设讨论的函数满足相应的可微条件。
设
),( yxfz?
为二元函数，那么当
yx,
为自变量时,
y
y
z
x
x
z
z ddd
。
而当
yx,
为中间变量时，如
),,(
),,(
vuyy
vuxx
这时
vyuyyvxuxx vuvu ddd,ddd
,
那么由链式规则得
vyfxfuyfxf
v
v
z
u
u
z
z
vyvxuyux
d)(d)(
ddd
)dd()dd( vyuyfvxuxf vuyvux
dd
zz
xy
xy
。
这说明了无论
yx,
是自变量，还是中间变量,一阶微分具有相同的形式，这就是 一阶全微分的形式不变性 。
对于多元函数
)( yfz?
，其中
T
12(,,,)my y y?y
。当
y
为自变量时，
一阶全微分形式为
yy d)(d fz
。
而当
y
为中间变量
)( xgy?
（
T
12(,,,)nx x x?x
）时，
xxgy d)(d
。由定理 1 2,2,2,
yyxxgyxxgyxxg d)()d)()((d)()(d)()(d ffffz
。
这说明一阶全微分的形式不变性是普遍成立的。
要注意的是，全微分的形式不变性在高阶微分时是不成立的。例如函数
),( yxfz?
，当
yx,
为自变量时,
2 2 2
2 2 2
22
d d 2 d d d
z z z
z x x y y
x x y y
,
而当
yx,
为中间变量时
2 2 2
2 2 2 2 2
22
d d 2 d d d d d
z z z z z
z x x y y x y
x x y y x y
。
与一维情况相同，当
yx,
为自变量时,x2d =
y2d
=0 ；而当
yx,
为中间变量时,x2d 与
y2d
一般不为零。
例 1 2,2,8 设
4
yx
yx
z
,求全微分
d z
。
解 在
4
yx
yx
z
的两边取对数,
)]l n ()[ l n (
4
1
ln yxyxz
。
两边求全微分，利用一阶全微分的形式不变性，得到
yx
yx
yx
yx
z
z dddd
4
1d
,
即
22
4
dd
2
1
d
yx
xyyx
yx
yx
z
。
由此得到
22
4
22
4
2
1
,
2
1
yx
x
yx
yx
y
z
yx
y
yx
yx
x
z
。
例 1 2,2,9 设
)l n ( yxz
，求
zkd
。
解 设
yxu
，则
yxu ddd
，
0d 2?u
,因此
2,0d kuk
。
于是
yx
yx
u
u
z
ddd
d
,
2
2
2
2
22
)(
)d(dd
d
1
d
1
d
d
dd
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
,
.
)(
)d(d!2d!2
)d ( d
1
d
1
d
d
dd
3
3
3
3
2
2
2
22
2
3
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
应用归纳法即可得 到
k
k
kk
yx
yxk
z
)(
)d(d)!1(
)1(d
1
,
,2,1?k
。
),(),,( yxyxfz
fD
是区域
fD
2R 上的二元函数，而
,ggD
→ 2R,
)),(),,((),( vuyvuxvu?
是区域
gD
2R 上的二元二维向量值函数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，
那么可以构造复合函数
g?fz ),()],,(),,([ vuvuyvuxf
gD
。
复合函数有如下求偏导数的法则。
§ 2 多元复合函数的求导法则定理 1 2,2,1（链式规则） 设
g
在
),( 00 vu
gD
点可导,即
),( vuxx?
，
),( vuyy?
在
),( 00 vu
点可偏导 。 记
),(),,( 000000 vuyvuxx
,如果
f
在
),( 00 yx
点可微,那么
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(,) (,) (,) (,) (,)
z z x z y
u v x y u v x y u v
u x u y u
；
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(,) (,) (,) (,) (,)
z z x z y
u v x y u v x y u v
v x v y v
。
证 只证明第一式。由于
f
在
),( 00 yx
点可微，因此
,),(),(),(
),(),(
22
0000
0000
yxyxyyx
y
f
xyx
x
f
yxfyyxxf
其中
),( yx
满足
0),(l i m
0),(
yx
yx
。定义
0)0,0(
，那么上式当
)0,0(),( yx
时也成立。
设
),(),( 0000 vuxvuuxx
,
),(),( 0000 vuyvuuyy
,
由于
),( vuxx?
，
),( vuyy?
在
),( 00 vu
点可偏导，所以成立
),(lim),,(lim
00
0
00
0
vu
u
y
u
y
vu
u
x
u
x
uu?
,
并且有
0lim
22
0
yx
u
。于是当
u?
趋于 0 时,
2222
),(
),(
u
y
u
x
u
u
yx
u
yxyx
也趋于 0,所以
u
vuyvuxfvuuyvuuxf
vu
u
z
u?
)),(),,(()),(),,((
lim),(
00000000
0
00
u
yxfyyxxf
u?
),(),(
l im
0000
0
u
yxyx
u
y
yx
y
f
u
x
yx
x
f
uu?
22
0
0000
0
),(
lim),(),(lim
0 0 0 0 0 0 0 0
(,) (,) (,) (,)
f x f y
x y u v x y u v
x u y u
。
注意，定理条件“
f
可微”不能减弱为“
f
可偏导”。
例 1 2,2,1 从上节已经知道,
0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxfz
在
)0,0(
点可偏导，且
0)0,0()0,0( yx ff
，但它在
)0,0(
点不可微。
现在设
yx,
分别是自变量 t 的函数
,
,
2
ty
tx
直接代入就知这个复合函数实质上是
tz?
，因此 在
0?t
点的导数为
1)0(
d
d
t
z
。
但若贸然套用链式规则，就会导出
0
22
]1),(2),([)0(
d
d
t
yx
ttftttf
t
z
0]1)0,0(02)0,0([ yx ff
的错误结果。
下面不加证明地把链式规则推至一般情况。
设
),,,(),,,,( 2121 mm yyyyyyfz fD
为区域
fD
mR 上的 m 元函数。又设
,ggD
→ mR,
),,,(),,,( 2121 mn yyyxxx
为区域
gD
nR 上的 n 元 m 维向量值函数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，
那么可以构造复合函数
g?fz?
=
)],,,(,),,,,(),,,,([ 21212211 nmnn xxxyxxxyxxxyf
,
12(,,,)nx x x? gD
。
定理 1 2,2,2 （链式规则） 设
g
在
0x
gD
点可导,即
myyy,,,21?
在
0x 点可偏导,且
f
在
)( 00 xgy?
点可微,则
)(
0
x
i
x
z
)()()()()()(
00020
2
010
1
xyxyxy
i
m
mii
x
y
y
z
x
y
y
z
x
y
y
z
,
ni,,2,1
。
上式可以用矩阵表示为
0
,,,
21 xxn
x
z
x
z
x
z
0
0
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
,,,
xx
n
mmm
n
n
yy
m
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
z
y
z
y
z
,
或用向量值函数的导数记号表为
)()()()( 000 xgyxg ff?
。
例 1 2,2,2 设
),a r c t a n (xyz?
xy e?
，求
0d
d
xx
z 。
解 由链式规则
2 2 2 2 2 2
d d d e ( 1 )
1e
d d d 1 1 1 e
x
x
x
z z x z y y x x
x x x y x x y x y x
。
于是
1
d
d
0
xx
z 。
例 1 2,2,3 设
y
x
z
2
，而
vuyvux 2,2
，计算
v
z
u
z
,
。
解
2
2
2
12
z z x z y x x
u x u y u y y
2
22
2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 3 )
2 ( 2 ) ( 2 )
u v u v u v u v
u v u v u v
。
2
2
2
( 2 ) 1
z z x z y x x
v x v y v y y
2
22
4 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 9 2 )
2 ( 2 ) ( 2 )
u v u v v u u v
u v u v u v
。
例 1 2,2,4 设
yxyxz 2)2(
,计算
y
z
x
z
,
。
解 设
yxvyxu 2,2
，则 vuz? 。于是
1
2 l n 1
vvz z u z v
v u u u
x u x v x
2 1 2
2
2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) l n( 2 )
2( 2 )
( 2 ) l n( 2 )
2
x y x y
xy
x y x y x y x y
xy
x y x y
xy
。
2ln1
1
uuvu
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z vv
)2l n ()2(2)2)(2( 212 yxyxyxyx yxyx
2 ( 2 )
( 2 ) 2 l n ( 2 )
2
xy xy
x y x y
xy
。
例 1 2,2,5 设
),( 222 xyzzyxfw
，
f
具有二阶连续偏导数，计算
xz
w
x
w
2
,
。
解 将
),( 222 xyzzyxfw
看成复合函数
.
,
),,(
222
xyzv
zyxu
vufw
显然
yz
x
v
x
x
u
,2
。
由链式规则,
v
w
yz
u
w
x
x
v
v
w
x
u
u
w
x
w
2
。
注意到
v
w
u
w
和仍是复合函数，于是由
xy
z
v
z
z
u
,2
,
再运用链式规则就得到
2
2
w w w w
x y z
z x z x z u v
2
w w w
x y y z
z u v z v
2 2 2 2
22
2 2 2
2 2 2
22
2 2 2
4 2 ( )
w w w w w
x z x y y y z z x y
u v u v u v v
w w w w
x z y x z x y z y
u u v v v
。
若用函数符号加下标 i 表示对其第 i 个变量的偏导数，即
u
vuf
f
),(
1
，
vu
vuf
f
uv
vuf
f
v
vuf
f
),(
,
),(
,
),(
2
21
2
122
,
如此等等，则上面的结果可表示为
12
2
w
x f y zf
x
2
2 2 2
11 12 22 2
4 2 ( )
w
x zf y x z f x y zf y f
zx
。
例 1 2,2,6 已知
),( yxuu?
为可微函数，试求 22
y
u
x
u
在极坐标下的表达式。
解 直角坐标与极坐标有如下关系,
s i n,c o s ryrx
,
将
yx,
看成中间变量，就得到
.c o ss in
.s inc o s
y
u
r
x
u
r
y
y
ux
x
uu
y
u
x
u
r
y
y
u
r
x
x
u
r
u
将第一式乘 r 后的平方加上第二式的平方，再 乘 以 2/1 r,即得到
2
2
222
1
u
rr
u
y
u
x
u
。
设
,ffD
→ 2R,
) ),,(),,((),( vuyvuxvu?
是区域
fD
2R 上的二元二维向量值函数。又设
,ggD
→ 2R,
)),(),,((),( tsvtsuts?
是区域
gD
2R 上的二元二维向量值函数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，
则可以构造复合向量值函数
gf?
。具体写出来就是
),(
) ],,(),,([
) ],,(),,([
ts
tsvtsuyy
tsvtsuxx
gD
。
如果
f
和
g
分别在
fD
与
gD
上具有连续导数，那么由定理 1 2,2,1
),,(),(),(),(),(
),,(),(),(),(),(
ts
t
v
vu
v
x
ts
t
u
vu
u
x
ts
t
x
ts
s
v
vu
v
x
ts
s
u
vu
u
x
ts
s
x
(,) (,) (,) (,) (,),
(,) (,) (,) (,) (,)
y y u y v
s t u v s t u v s t
s u s v s
y y u y v
s t u v s t u v s t
t u t v t
。
写成矩阵形式就是
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
ts
t
v
ts
s
v
ts
t
u
ts
s
u
vu
v
y
vu
u
y
vu
v
x
vu
u
x
ts
t
y
ts
s
y
ts
t
x
ts
s
x
,
即
),(),(),()( tsvuts gfgf
。
事实上，可以有如下的一般结果。
定理 1 2,2,3 设
f
：
fD
（? kR ）→ mR 与
g
：
gD
（? nR ）→ kR 分别 是 多元向量值函数,且分别在
fD
与
gD
上具有连续导数。如果
g
的值域
()?ggD fD
，并 记
)( xgu?
,那么复合向量值函数
gf?
在
gD
上也具有连续的导数,并且成立等式
)()]([)()()()( xgxgfxgufxgf
,
其中
)( uf?
，
)( xg?
和
)()( xgf
是相应的导数，即 J ac o b i 矩阵 。
例 1 2,2,7 设向量值函数
22,RR?f
的坐标分量函数为
.c o ss i n
,s i nc o s
vuy
vux
向量值函数
22,RR?g
的坐标分量函数为
.
,
tsv
tsu
于是，复合函数
gf?
的坐标分量函数为
).c o s ()s i n (
),s i n ()c o s (
tstsy
tstsx
它们的偏导数可以用如下方式算出来,
sin sin c o s c o s 1 1
c o s c o s sin sin 1 1
sin sin c o s c o s sin sin c o s c o s
c o s c o s sin sin c o s c o s
x x x x u u
s t u v s t
y y y y v v
s t u v s t
u v u v
u v u v
u v u v u v u v
u v u v u v
sin sin
c o s( ) c o s( ) c o s 2 c o s 2
c o s( ) c o s( ) c o s 2 c o s 2
uv
u v u v s t
u v u v s t
。
一阶全微分的形式不变性以下总假设讨论的函数满足相应的可微条件。
设
),( yxfz?
为二元函数，那么当
yx,
为自变量时,
y
y
z
x
x
z
z ddd
。
而当
yx,
为中间变量时，如
),,(
),,(
vuyy
vuxx
这时
vyuyyvxuxx vuvu ddd,ddd
,
那么由链式规则得
vyfxfuyfxf
v
v
z
u
u
z
z
vyvxuyux
d)(d)(
ddd
)dd()dd( vyuyfvxuxf vuyvux
dd
zz
xy
xy
。
这说明了无论
yx,
是自变量，还是中间变量,一阶微分具有相同的形式，这就是 一阶全微分的形式不变性 。
对于多元函数
)( yfz?
，其中
T
12(,,,)my y y?y
。当
y
为自变量时，
一阶全微分形式为
yy d)(d fz
。
而当
y
为中间变量
)( xgy?
（
T
12(,,,)nx x x?x
）时，
xxgy d)(d
。由定理 1 2,2,2,
yyxxgyxxgyxxg d)()d)()((d)()(d)()(d ffffz
。
这说明一阶全微分的形式不变性是普遍成立的。
要注意的是，全微分的形式不变性在高阶微分时是不成立的。例如函数
),( yxfz?
，当
yx,
为自变量时,
2 2 2
2 2 2
22
d d 2 d d d
z z z
z x x y y
x x y y
,
而当
yx,
为中间变量时
2 2 2
2 2 2 2 2
22
d d 2 d d d d d
z z z z z
z x x y y x y
x x y y x y
。
与一维情况相同，当
yx,
为自变量时,x2d =
y2d
=0 ；而当
yx,
为中间变量时,x2d 与
y2d
一般不为零。
例 1 2,2,8 设
4
yx
yx
z
,求全微分
d z
。
解 在
4
yx
yx
z
的两边取对数,
)]l n ()[ l n (
4
1
ln yxyxz
。
两边求全微分，利用一阶全微分的形式不变性，得到
yx
yx
yx
yx
z
z dddd
4
1d
,
即
22
4
dd
2
1
d
yx
xyyx
yx
yx
z
。
由此得到
22
4
22
4
2
1
,
2
1
yx
x
yx
yx
y
z
yx
y
yx
yx
x
z
。
例 1 2,2,9 设
)l n ( yxz
，求
zkd
。
解 设
yxu
，则
yxu ddd
，
0d 2?u
,因此
2,0d kuk
。
于是
yx
yx
u
u
z
ddd
d
,
2
2
2
2
22
)(
)d(dd
d
1
d
1
d
d
dd
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
,
.
)(
)d(d!2d!2
)d ( d
1
d
1
d
d
dd
3
3
3
3
2
2
2
22
2
3
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
应用归纳法即可得 到
k
k
kk
yx
yxk
z
)(
)d(d)!1(
)1(d
1
,
,2,1?k
。
