曲线坐标设 U 为 uv 平面上的开集,V 是
xy
平面上开集，映射?
T x x u v y y u v,(,),(,)
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为
T u u x y v v x y1,(,),(,)
。
在 U 中取直线
u u? 0
，就相应得到
xy
平面上的一条曲线
x x u v y y u v(,),(,)0 0
,
称之为 v - 曲线；同样，取直线
v v? 0
，就相应得到
xy
平面上的 u - 曲线,
x x u v y y u v(,),(,)0 0
。
§ 3 重积分的变量代换由于映射 T 是一一对应的，因此 V 上的任意一点 P 既可以唯一地用 (,)x y 表示，也可以唯一地用 (,)u v 表示。我们称 u - 曲线和 v - 曲线构成了 曲线坐标网,称 (,)u v 为 P 的 曲线坐标,而称 T 为 坐标变换 。
§ 3 重积分的变量代换曲线坐标设 U 为 uv 平面上的开集,V 是
xy
平面上开集，映射?
T x x u v y y u v,(,),(,)
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为
T u u x y v v x y1,(,),(,)
。
在 U 中取直线
u u? 0
，就相应得到
xy
平面上的一条曲线
x x u v y y u v(,),(,)0 0
,
称之为 v - 曲线；同样，取直线
v v? 0
，就相应得到
xy
平面上的 u - 曲线,
x x u v y y u v(,),(,)0 0
。
例如，在映射 T,
x r y rc o s,s i n
下，
- 曲线是一族以原点为圆心的同心圆,r - 曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平面上的极坐标网。
),(?r
为点 P
(,)x y
的极坐标,T 即为极坐标变换。
v u u?
0
v v?
0
O u
y u - 曲线
v - 曲线
O x
图 1 3,3,1
二重积分的变量代换假设
x x u v y y u v(,),(,)
具有连续偏导数，且有
),(
),(
vu
yx
0,则由连续性可知
),(
),(
vu
yx
在 U 上不变号。因此，对 U 中任意具有分段光滑边界的有界闭区域 D,记它的像为
()T?ED
V,则 D 的内点和边界分别被映为 E 的内点和边界，同时，由于连通集的像也连通，所以
()T?ED
也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的二重积分的变量代换公式。
定理 1 3,3,1 ( 二重积分变量代换公式 ) 映射 T 和区域 D 如上假设。如果 二元函数
),( yxf
在
()T D
上连续，则
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
。
显然，当
),( yxf
1 时,由以上定理得
(,)
dd
(,)
xy
uv
uv
D
=
()mT D
( 即
()T D
的面积 ) 。
定理的证明放到下一段，现在先来看一看 J ac o b i 行列式的几何意义和应用。
v
)(
00
,vu
O u
y
)(?T
O x
图 1 3,3,2
设 T,D 满足本节开始时的假定，
),( 00 vu
是区域 D 中的一点，
是包含此点的具有分段光滑边界的小区域，并记
()d?
为
的直径（见图
1 3,3,2 ）,
那么由定理 1 3,3,1 和重积分的中值定理,得
(,)
( ) d d
(,)
xy
m T u v
uv
(,)
(,)
(,)
rs
xy
m
uv
,
其中
),( sr
为? 中一点。因此
),(
0)(
00
),(
),()(
li m
vu
d vu
yx
m
mT
,
或等价地
)(?mT
～
m
vu
yx
vu
),( 00
),(
),(
（
0)(d
）。
这说明
),(
),(
vu
yx
的几何意义为面积的比例系数。
例 1 3,3,1 计算曲线
( ) ( )x y x a a2 2 2 0
所围区域 D 的面积。
解 作变换
x u x y v,
，则曲线方程对应于
u v a2 2 2
。
v
u v a
2 2 2
u
O
y
( )x y x a
2 2 2
x
O
图 13,3.3
这个变换将左边的圆盘 222
avu
一一对应地映为右边的椭圆区域 D 。由于
1
11
01
),(
),(
vu
yx
,
因此 D 的面积为
2 2 2 2 2 2
2
(,)
d d d d d d π
(,)
u v a u v a
xy
S x y u v u v a
uv
D
。
例 1 3,3,2 求双曲线
,x y p x y q
与直线
axy?
，
bxy?
在第一象限所围图形的面积，其中
q p b a0 0,
。
y
x y q?
x y p?
y bx?
y ax?
D
O x
图 1 3.3.4
v
b
a
p q u
解 在变换
xy u
y
x
v,
下，区域 D 被一一对应地 映为
1 { (,) |,}u v p u q a v bD
，这时有
v
u
x?
，
uvy?
，于是
v
v
u
u
v
v
u
uv
vu
yx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
),(
),(
3
。
因此，所求面积为
11
(,) 1 1 1 1
d d d d d d d d ( ) l n
(,) 2 2 2
qb
pa
x y b
x y u v u v u v q p
u v v v a
DDD
。
极坐标变换
c o s,s i n,0 2 π,0x r y r r
是我们十分熟悉 的。除原点与正实轴外，它是一一对应的,这时
r
r
r
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),(
。
例 1 3,3,3 计算
22
si n( π ) d dx y x y
D
，其中
22{ (,) | 1 }x y x yD
。
解 引入 极坐标变换
x r y rc o s,s i n
，那么 D 对应于区域
{ (,) | 0 1,0 2π }rrD
。因此?
22
2 π 1
00
(,)
si n( π ) d d ( si n π ) d d ( si n π ) d d
(,)
d si n( π ) d 2
xy
x y x y r r r r r
r
r r r
。
D DD
注 严格说来，由于极坐标变换在原点与 正实轴上 不是一对一的。
在应用 变量代换 公式时，应该去掉原点与 正实轴，也就是说,应该用以下方法来计算 （积分区域如图 1 3,3,5 ）,?
22
2 2 2 2
00
11
2 π2 π
s in ( π ) d d l im s in ( π ) d d l im ( s in π ) d d
rxy
x y x y x y x y r r r
D
1
2 π 1
2
00
si n π
l i m d si n( π ) d l i m ( 2 π 2 ) c os π 2.
π π
rr
r r r r
y
2 π
x
O? 1 r
图 13,3,5
这种方法的实质就是，在原积分区域 D 上挖掉包含非一一对应点集的小区域，得到区域?D,再将被积函数在 D 上的积分看作在?D 上的积分当?D 趋于 D 时的极限。在了解这个原理之后，就不必每次都照此办理，可直接仿照例题中的方法直接计算。
例 1 3,3,4 求 抛 物 面
azyx 22
和 锥 面
)0(2 22 ayxaz
所围成立体的体积。
解 易求得两曲面的交线在
xy
平 面 的 投 影 的 方 程 为
x y a2 2 2
。
设
2 2 2{ (,) | }x y x y aD
，利用极坐标变换可得 所求立体的体积为?
22
22
2 d d
xy
a x y x y
a
D
= 2
0
02 π
2 d d
ra
r
a r r r
a
= 2
2 π
00
d 2 d
a r
a r r r
a
= 2
0
2 π 2d
a r
a r r r
a
=
35
π
6
a
。
z
z a x y2
2 2
x y az
2 2
x y a
2 2 2
o y
x
图 13.3.6
例 1 3,3,5 求曲线
)0,,(
2
2
2
2
2
2
cba
c
xy
b
y
a
x
所围图形的面积。
解 由曲线的方程
2
2
2
2
2
2
c
xy
b
y
a
x
可以看出，该 曲线位于 第一、三象限，且关于原点对称。因此只需计算该 曲线所围 图形在第一象限的部分的面积，再乘以 2 就是整个图形的面积。设该图形在第一象限的部分为 D 。这个方程中有 x
a
y
b
2
2
2
2
项，因此引入广义极坐标
c o sarx?
,
s i nbry?
,?
o x
y
它的 J ac o b i 行列式为
a b r
brb
ara
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),(
。
在
r?
平面上这条曲线的像的方程是?
r
ab
c
2
2
sin co s
,?
且 D 所对应的区域为?
1 2
π
(,) 0,0 s i n c o s
2
ab
rr θ θ
c
D
。
因此所求的面积为?
1
π
sin c os
22
00
π2 2 2 2
2
22
0
2 d d 2 d d 2 d d
si n c os d
2
ab
cx y ab r r ab r r
a b a b
cc
。
DD
变量代换公式的证明将区域 D 用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于 区域 D 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 D 边界相交的小矩形的面积之和可以任意小，因此只需要考虑包含在区域 D 内的小矩形 R 。
定义 1 3,3,1 形如?
xT
:?
),(,),( vuyyuvuxx
或?
yT
,
vvuyyvuxx ),(,),(
的映射称为 本原映射 。
引理 1 3,3,1 设
T
为本原映射,则 对于每个 小矩形
R
,等式
(,)
(,)
()
(,)
uv
xy
m T R m R
uv
成立,这里
( ~,~ )u v
为 R 上某一点 。
证 仅对本原映射
xT
证明，对
yT
的证明是类似的。
设在
U
上 J? 0 。由于这时成立
10
(,)
0
(,)
xy y
J yy
vuv
uv
,?
所以在每个小矩形
,,R e f g h
上，对于固定的
),(,vuyu
是
v
的单调增加函数，因此 R 被一一对应地映到
)},(),(,|),{()( hxyygxyfxeyxRT
。
图 13.3.9
y
),( hxy
),( gxy
O e f x
v
h
g
O e f u
所以
T R( )
的面积为?
(,)
(,)
()
( ) d d d d
f y x h
e y x g
TR
m T R x y x y
[ (,) (,) ] d ( (,) (,) ) ( ),
f
e
y x h y x g x y u h y u g f e
其中
e u f~
。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得?
mR
vu
vu
yx
mRvu
v
y
efghvu
v
y
RmT
)
~
,
~
(
),(
),(
)
~
,
~
())()(
~
,
~
()(?
,?
其中
g v h~
。
如果 T 的 J ac o b i 行列式为负的，以上讨论中关于
y
的不等式反向，
重复以上证明可同样得到
mR
vu
yx
RmT
vu )
~
,
~
(
),(
),(
)(
。
下面证明变量代换公式对于本原映射成立。
引理 1 3,3,2 设 T 为本原映射,二元函数
),( yxf
在
()T D
上连续,
则
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
。
证 考虑上述对区域 D 的分割，设
12,,,MD D D
是包含在区域 D 内的所有小矩形，由引理 13,3,1,在
iD
上成立
(,)
(,)
()
(,)
ii
ii
uv
xy
m T m
uv
DD
,
这里
( ~,~ )u vi i
为
iD
中某一点。设
~ ( ~,~ ),~ ( ~,~ )x x u v y y u v
i i i i i i
，则从上式得
(,)
(,)
(,) ( ) ( (,),(,) )
(,)
ii
i i i i i i i i
ii
uv
xy
f x y m T f x u v y u v m
uv
DD
,
设所有小矩形的对角线长度的最大值为
，令
趋于 0,由二重积分的定义，即得
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
。
引理 1 3,3,3 设 T 满足定理 1 3,3,1 的假设,则对于任意点
0Q?
00(,)uv? U
,T 在点
Q 0
附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的,一对一的本原映射的复合 。
证 设
),(),,(),,( 000000000 yxPvuyyvuxx
。
由于
0),(
),(
),(
00
vu
vu
yx
，行列式中必有元素不为零。不妨设
0),(
00
vu
u
x
，于是，本原映射
v
vux
T
),,(
:
1
的 J ac o b i 行列式
),(
),(
),(
00
vu
vu
0),(
00
vu
u
x
,
由隐函数存在定理（或逆映射定理），局部地可得逆映射
,
),,(
v
gu
且
g (,)
在
T u v1 0 0(,)
的一个邻域具有连续偏导数。注意这时成立
uvvuxg?)),,((
。
作
),),,((
,
:
2
gyy
x
T
则有
。),()),),,((()),,((
),,(
vuyvvvuxgygyy
vuxx
即
TTT?12?
。
下面证明 二重积分变量代换公式,
根据引理 1 3,3,3,对于每点
(,)Q u v D
存在它的一个邻域
U Q? ( )
，
在这个邻域中,T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于
2
()U Q Q D
覆盖了 D,由 H ei n e - B o rel 定理，存在有限多个邻域
U Q U Q U Q
S S1 2 1 2 2 2 2
( ),( ),,( )?
,
它们覆盖了 D 。设
2
,,
2
,
2
m in 21* S
。
取划分充分细,使得所有的小矩形的对角线长度都小于
*
，那么当小矩形
iD
与
2
() j
j
UQ?
相交时，
iD
必包含在某个
()
j
UQ?
中
)1( Sj
。于是在每个
iD
（?i
M,,2,1?
）上成立
T T T? 2 1?
（为简便起见去掉了标记 i,注意对不同的
iD
，可能有不同
T 1
和
T2
），这里
T 1
和
T2
是本原映射。设
),,(
),,(
:
1
vu
vu
T
和
).,(
),,(
:
2
yy
xx
T
那么
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
yx
。
由引理 1 3,3,2,得到
1
( ) ( )
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
TT
ii
xy
f x y x y f x y
DD
(,) (,)
( ( (,),(,) ),( (,),(,) ) ) d d
(,) (,)
(,)
( (,),(,) ) d d
(,)
i
i
xy
f x u v u v y u v u v u v
uv
xy
f x u v y u v u v
uv
。
D
D
因此
1( ) ( )
(,) d d (,) d d
M
iTT
i
f x y x y f x y x y
DD
1
(,) (,)
( (,),(,) d d ( (,),(,) d d
(,) (,)
M
i
i
x y x y
f x u v y u v u v f x u v y u v u v
u v u v?
DD
。
n
重积分的变量代换设
U
为 nR （
2?n
）上的开集，映射?
),,(,),,,(,1111 nnnn xxyyxxyyT
将
U
一一对应地映到 n
RV
上。进一步假设
y y x x y y x xn n n n1 1 1 1(,,),,(,,)
都具有连续偏导数，而且这个映射的 J aco b i 行列式不等于零。
设 Ω 为
U
中具有分片光滑边界的有界闭区域，则与二维情形相类似有结论,
定理 1 3,3,2 映射 T 和区域 Ω 如上所设。如果
),,,( 21 nyyyf?
是
T ( Ω ) 上的连续函数,那么变量代换公式
1
1 1 1 1
1()
(,,)
(,,) d d ( ( ),,( ) ) d d
(,,)
n
n n n n
nT
yy
f y y y y f y y x x
xx
xx
成立,其中
),,( 1 nxxx
。
证明从略。
三维空间中有两种非常重要的变换，一种是柱面坐标变换（见图
13,3,1 0 ）
,
,si n
,c o s
zz
ry
rx
它将
0,0 2π,rz
映为整个
xyz
空间，变换的 J ac o b i 行列式为
r
zr
zyx
),,(
),,(
。
图 13,3,10
z
( x,y,z )
O y
r
( x,y,0 )
x
另一种是球面坐标变换（见图 13,3,1 1 ）
,c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
rz
ry
rx
它将
0,0 π,0 2 πr
映为整个
xyz
空间，变换的 J aco b i
行列式为
s in
),,(
),,( 2
r
r
zyx
。
z
( x,y,z )
r
O y
( x,y,0 )
x
图 13.3.11
例 1 3,3,6 计算
22
( ) d d dx y x y z
，其中 Ω 为抛物面
22 yxz
与平面 z h? 所围的闭区域。
z
hz?
22
yxz
O y
x
图 13,3,12
解 引入柱面坐标变换
x r y r z zc o s,s i n,
。在此变换下 Ω 对应于
r z?
空间的区域 Ω
2
1 { (,,) |,0,0 2 π,}r z r z h r h
，因此
22
( ) d d dx y x y z
2
1
2 π
2 3 3
00
π
d d d d d d
6
hh
r
r r r z r r z h
。
例 1 3,3,7 求 抛 物 面
z x y1 2 2
与平面 z? 0 所围立体
Ω 的重心。设此立体具有均匀密度
1
。
解 引入柱面坐标变换
x r y r z zc o s,s i n,
。在此变换下 Ω 对应于
r z?
空间的区域
Ω
2
1 { (,,) | 0 2 π,0 1,0 1 }r z r z r
。因此 Ω 的质量为
2
1
2 π 1 1 1
2
0 0 0 0
π
d d d d d d d d d 2 π ( 1 ) d
2
r
M x y z r r z r r z r r r
。
记立体 Ω 的重心为
),,( zyx
。由对称性可知
0 yx
。而
1
2
2 π 1 1 1
22
0 0 0 0
11
d d d d d d
1 π 1
d d d ( 1 ) d,
3
r
z z x y z r z r z
MM
r r z z r r r
MM
因此重心为
3
1
,0,0
。
z
z x y1
2 2
O y
x
例 1 3,3,8 计算
2 2 2
()
e d d d
x y z
z x y z
，其中
Ω 为锥面
22 yxz
与球面
1222 zyx
所围成的如图 13,3,1 4 所示部分的闭区域。
解 引入球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
。
在此变换下 Ω 对应于区域
Ω
π
1 4{ (,,) | 0 2 π,0 1,0 }rr
。
因此
2 2 2 2
1
2
( ) 3
π
2 π 1
3
4
0 0 0
e d d d e c o s s in d d d
π 11
d e d s in c o s d
2 2 e
x y z r
r
z x y z r r
rr
。
图 13.3.14
例 1 3,3,9 求椭球体
Ω
1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx
的体积。
解 引入广义球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n crzbryarx
,
于是 Ω 对应于区域 Ω
1 { (,,) | 0 2 π,0 1,0 π }rr
。此变换的 J ac o b i 行列式为
s i n
),,(
),,(
2
a b c r
r
zyx
。
因此椭球的体积为
1
12 π π
22
0 0 0
4 π
d d d s i n d d d d d s i n d
3
x y z a b c r r a b c r r a b c 。
z
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1
O
y
x
图 13.3.15
例 1 3,3,10 求曲面
yzyx 4222 )(
所围立体的体积。
解 由曲面的方程
yzyx 4222 )(
可以看出，该 曲面 位于半空间
0?y
内，且分别关于
xy
平面和
yz
平面对称。因此只需计算它所围立体在第一卦限上的部分的体积，再乘以 4 就是整个立体的体积。设该立体在第一卦限上的部分为 Ω 。引入球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
。
那么曲面方程
yzyx 4222 )(
在此变换下变为
3
44
c o ss i n
s i ns i n
r
,
而 Ω 对应于区域
Ω
3
1 44
s i n s i n
(,,) 0 π / 2,0 π / 2,0
s i n c o s
rr
。
因此所求立体的体积为
1
3
44
2
π π sin sin
2
22 sin c os
0 0 0
4 d d d 4 si n d d d
4 d si n d d
x y z r r
rr
π π 2
22
4400
4 s i n
s i n d d
3 s i n c o s
π 2
2
44
0
2
4
0
4 sin
d
3 sin c o s
4
d ( ta n )
31
2
π,
3
t
tt
t
令事实上，在
)3(?nnR
上都可以引入球面坐标变换
,s i ns i ns i ns i n
c o ss i ns i ns i n
,c o ss i ns i n
c o ss i n
,c o s
1221
,
12211
3213
,
212
11
nnn
nnn
rx
rx
rx
rx
rx
其中
1 2 10,0 π,,0 π,0 2 πnnr
。
显然
222
2
2
1 rxxx n
。
易计算得到这个变换的 J ac o b i 行列式为
22
3
1
21
21
21
s i ns i ns i n
),,,(
),,,(
n
nnn
n
n
r
xxx
J
。
例 1 3,3,1 1 求 n 维球体
2 2 2 2
1 2 1 2{ (,,,) | }n n nx x x x x x RB
的体积
nV
。
解 在球面坐标变换下，
nB
就对应于区域
1 2 1 1
21
{ (,,,,) | 0,0 π,,
0 π,0 2 π },
n n n
nn
r r R
E
因此利用球面坐标变换得
12
1 2 3 2
1 2 3 2 1 2 1
π π π 2 π
1 2 2
1 1 3 3 2 2 1
0 0 0 0 0
d d d
si n si n si n si n d d d d
d si n d si n d si n d d
nn
n
n n n
n n n n
n
R
nn
n n n n n
V x x x
rr
rr
。
B
E
当
k
为正整数时,
π
π
11 2
00
s i n d 2 s i n dkk
,
由公式
π
2
0
( 2 1 ) ! ! π
,2,
( 2 ) ! ! 2
s i n d
( 2 ) ! !
,2 1
( 2 1 ) ! !
n
m
nm
m
m
nm
m
即得
2
1 2 1
π,2,
!
2
π,2 1,
( 2 1 ) ! !
m
m
n mm
m
R
nm
m
V
R
nm
m
均匀球体的引力场模型设有一个半径为
a
的均匀球体（密度为常数
），要计算它所产生的引力场，即求出它对于单位质量的质点的引力。
y
d V
O
x
),0,0(
0
sP
z
图 1 3.3.16
以 球 心 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系,则 球 体 为
Ω
}|),,{( 2222 azyxzyx
。由对称性，只需考虑球体对在 z 轴上的具有单位质量的质点的引力。设单位质点
0P
的位置为
),0,0( s
，显然，
球体对质点
0P
的引力在
x
与
y
方向的分量
0 yx FF
。
P
用微元法求该引力在 z 方向的分量
zF
。考虑球体上任一点
),,( zyxP
，则包含 P 的体积微元
d V
的质量为
d V?
。它对单位质点
0P
所产生的引力的方向与
kji )(0 szyxPP
的方向相同，因此引力方向的单位向量为
222
)(
)(
),,(
szyx
szyx
zyx
kji
e
。
由万有引力定律，两质点之间的引力大小与这两个质点的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，于是体积微元
d V
对单位质点
0P
的引力在 z 方向的分量为
32
2 2 2
dd
()
z
zs
F k V
x y z s
,
其中
G
为引力常数。因此，整个球体对单位质点
0P
的引力在 z 方向的分量为
3 2 3 2
2 2 2 2 2 2
d d d d
( ) ( )
z
z s z s
F G V G x y z
x y z s x y z s
。
作球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
，就得到
2
32
22
2 π π
2
32
0 0 0 22
( c o s )
s i n d d d
2 c o s
( c o s ) s i n
d d d,
2 c o s
z
a
rs
F k r r
r s r s
rs
k r r
r s r s
在积分
π
32
0 22
( c os ) si n
d
2 c os
rs
I
r s rs
中，令
co s2222 rssr
，那么
22
22
||
1
1d
2
rs
rs
rs
I
sr
||
||
2
2
1
22
2
sr
sr
sr
r
rs
.,
2
,,0
2
sr
s
sr
即
2 π
2
2
00
2 π
2
2
00
2
dd
2
dd
a
z
s
G r r
s
F
G r r
s
3
2
4 π
,,
3
4 π
,.
3
a
G s a
s
s
G s a
上式的物理意义是,
（ 1 ）当 as? 时，即质点在球体外或球面上，球体对质点的引力等效于将整个球体的质量 3
4 π
3
a
全部集中在球心时，球心对该质点的引力。这在天体力学中有很重要的应用，在考虑星球之间的引力时，
常常将星球的质量看作是集中于球心来处理。
（ 2 ）当 as? 时，即质点在球体内部时，球体对质点的引力等效于一个球心与原球相同，而半径为 s 的球体对该质点的引 力。即，等效于将半径为 s 的球体的质量 3
4 π
3
s
全部集中在球心时，球心对该质点的引力。
xy
平面上开集，映射?
T x x u v y y u v,(,),(,)
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为
T u u x y v v x y1,(,),(,)
。
在 U 中取直线
u u? 0
，就相应得到
xy
平面上的一条曲线
x x u v y y u v(,),(,)0 0
,
称之为 v - 曲线；同样，取直线
v v? 0
，就相应得到
xy
平面上的 u - 曲线,
x x u v y y u v(,),(,)0 0
。
§ 3 重积分的变量代换由于映射 T 是一一对应的，因此 V 上的任意一点 P 既可以唯一地用 (,)x y 表示，也可以唯一地用 (,)u v 表示。我们称 u - 曲线和 v - 曲线构成了 曲线坐标网,称 (,)u v 为 P 的 曲线坐标,而称 T 为 坐标变换 。
§ 3 重积分的变量代换曲线坐标设 U 为 uv 平面上的开集,V 是
xy
平面上开集，映射?
T x x u v y y u v,(,),(,)
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为
T u u x y v v x y1,(,),(,)
。
在 U 中取直线
u u? 0
，就相应得到
xy
平面上的一条曲线
x x u v y y u v(,),(,)0 0
,
称之为 v - 曲线；同样，取直线
v v? 0
，就相应得到
xy
平面上的 u - 曲线,
x x u v y y u v(,),(,)0 0
。
例如，在映射 T,
x r y rc o s,s i n
下，
- 曲线是一族以原点为圆心的同心圆,r - 曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平面上的极坐标网。
),(?r
为点 P
(,)x y
的极坐标,T 即为极坐标变换。
v u u?
0
v v?
0
O u
y u - 曲线
v - 曲线
O x
图 1 3,3,1
二重积分的变量代换假设
x x u v y y u v(,),(,)
具有连续偏导数，且有
),(
),(
vu
yx
0,则由连续性可知
),(
),(
vu
yx
在 U 上不变号。因此，对 U 中任意具有分段光滑边界的有界闭区域 D,记它的像为
()T?ED
V,则 D 的内点和边界分别被映为 E 的内点和边界，同时，由于连通集的像也连通，所以
()T?ED
也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的二重积分的变量代换公式。
定理 1 3,3,1 ( 二重积分变量代换公式 ) 映射 T 和区域 D 如上假设。如果 二元函数
),( yxf
在
()T D
上连续，则
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
。
显然，当
),( yxf
1 时,由以上定理得
(,)
dd
(,)
xy
uv
uv
D
=
()mT D
( 即
()T D
的面积 ) 。
定理的证明放到下一段，现在先来看一看 J ac o b i 行列式的几何意义和应用。
v
)(
00
,vu
O u
y
)(?T
O x
图 1 3,3,2
设 T,D 满足本节开始时的假定，
),( 00 vu
是区域 D 中的一点，
是包含此点的具有分段光滑边界的小区域，并记
()d?
为
的直径（见图
1 3,3,2 ）,
那么由定理 1 3,3,1 和重积分的中值定理,得
(,)
( ) d d
(,)
xy
m T u v
uv
(,)
(,)
(,)
rs
xy
m
uv
,
其中
),( sr
为? 中一点。因此
),(
0)(
00
),(
),()(
li m
vu
d vu
yx
m
mT
,
或等价地
)(?mT
～
m
vu
yx
vu
),( 00
),(
),(
（
0)(d
）。
这说明
),(
),(
vu
yx
的几何意义为面积的比例系数。
例 1 3,3,1 计算曲线
( ) ( )x y x a a2 2 2 0
所围区域 D 的面积。
解 作变换
x u x y v,
，则曲线方程对应于
u v a2 2 2
。
v
u v a
2 2 2
u
O
y
( )x y x a
2 2 2
x
O
图 13,3.3
这个变换将左边的圆盘 222
avu
一一对应地映为右边的椭圆区域 D 。由于
1
11
01
),(
),(
vu
yx
,
因此 D 的面积为
2 2 2 2 2 2
2
(,)
d d d d d d π
(,)
u v a u v a
xy
S x y u v u v a
uv
D
。
例 1 3,3,2 求双曲线
,x y p x y q
与直线
axy?
，
bxy?
在第一象限所围图形的面积，其中
q p b a0 0,
。
y
x y q?
x y p?
y bx?
y ax?
D
O x
图 1 3.3.4
v
b
a
p q u
解 在变换
xy u
y
x
v,
下，区域 D 被一一对应地 映为
1 { (,) |,}u v p u q a v bD
，这时有
v
u
x?
，
uvy?
，于是
v
v
u
u
v
v
u
uv
vu
yx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
),(
),(
3
。
因此，所求面积为
11
(,) 1 1 1 1
d d d d d d d d ( ) l n
(,) 2 2 2
qb
pa
x y b
x y u v u v u v q p
u v v v a
DDD
。
极坐标变换
c o s,s i n,0 2 π,0x r y r r
是我们十分熟悉 的。除原点与正实轴外，它是一一对应的,这时
r
r
r
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),(
。
例 1 3,3,3 计算
22
si n( π ) d dx y x y
D
，其中
22{ (,) | 1 }x y x yD
。
解 引入 极坐标变换
x r y rc o s,s i n
，那么 D 对应于区域
{ (,) | 0 1,0 2π }rrD
。因此?
22
2 π 1
00
(,)
si n( π ) d d ( si n π ) d d ( si n π ) d d
(,)
d si n( π ) d 2
xy
x y x y r r r r r
r
r r r
。
D DD
注 严格说来，由于极坐标变换在原点与 正实轴上 不是一对一的。
在应用 变量代换 公式时，应该去掉原点与 正实轴，也就是说,应该用以下方法来计算 （积分区域如图 1 3,3,5 ）,?
22
2 2 2 2
00
11
2 π2 π
s in ( π ) d d l im s in ( π ) d d l im ( s in π ) d d
rxy
x y x y x y x y r r r
D
1
2 π 1
2
00
si n π
l i m d si n( π ) d l i m ( 2 π 2 ) c os π 2.
π π
rr
r r r r
y
2 π
x
O? 1 r
图 13,3,5
这种方法的实质就是，在原积分区域 D 上挖掉包含非一一对应点集的小区域，得到区域?D,再将被积函数在 D 上的积分看作在?D 上的积分当?D 趋于 D 时的极限。在了解这个原理之后，就不必每次都照此办理，可直接仿照例题中的方法直接计算。
例 1 3,3,4 求 抛 物 面
azyx 22
和 锥 面
)0(2 22 ayxaz
所围成立体的体积。
解 易求得两曲面的交线在
xy
平 面 的 投 影 的 方 程 为
x y a2 2 2
。
设
2 2 2{ (,) | }x y x y aD
，利用极坐标变换可得 所求立体的体积为?
22
22
2 d d
xy
a x y x y
a
D
= 2
0
02 π
2 d d
ra
r
a r r r
a
= 2
2 π
00
d 2 d
a r
a r r r
a
= 2
0
2 π 2d
a r
a r r r
a
=
35
π
6
a
。
z
z a x y2
2 2
x y az
2 2
x y a
2 2 2
o y
x
图 13.3.6
例 1 3,3,5 求曲线
)0,,(
2
2
2
2
2
2
cba
c
xy
b
y
a
x
所围图形的面积。
解 由曲线的方程
2
2
2
2
2
2
c
xy
b
y
a
x
可以看出，该 曲线位于 第一、三象限，且关于原点对称。因此只需计算该 曲线所围 图形在第一象限的部分的面积，再乘以 2 就是整个图形的面积。设该图形在第一象限的部分为 D 。这个方程中有 x
a
y
b
2
2
2
2
项，因此引入广义极坐标
c o sarx?
,
s i nbry?
,?
o x
y
它的 J ac o b i 行列式为
a b r
brb
ara
r
yx
c o ss i n
s i nc o s
),(
),(
。
在
r?
平面上这条曲线的像的方程是?
r
ab
c
2
2
sin co s
,?
且 D 所对应的区域为?
1 2
π
(,) 0,0 s i n c o s
2
ab
rr θ θ
c
D
。
因此所求的面积为?
1
π
sin c os
22
00
π2 2 2 2
2
22
0
2 d d 2 d d 2 d d
si n c os d
2
ab
cx y ab r r ab r r
a b a b
cc
。
DD
变量代换公式的证明将区域 D 用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于 区域 D 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 D 边界相交的小矩形的面积之和可以任意小，因此只需要考虑包含在区域 D 内的小矩形 R 。
定义 1 3,3,1 形如?
xT
:?
),(,),( vuyyuvuxx
或?
yT
,
vvuyyvuxx ),(,),(
的映射称为 本原映射 。
引理 1 3,3,1 设
T
为本原映射,则 对于每个 小矩形
R
,等式
(,)
(,)
()
(,)
uv
xy
m T R m R
uv
成立,这里
( ~,~ )u v
为 R 上某一点 。
证 仅对本原映射
xT
证明，对
yT
的证明是类似的。
设在
U
上 J? 0 。由于这时成立
10
(,)
0
(,)
xy y
J yy
vuv
uv
,?
所以在每个小矩形
,,R e f g h
上，对于固定的
),(,vuyu
是
v
的单调增加函数，因此 R 被一一对应地映到
)},(),(,|),{()( hxyygxyfxeyxRT
。
图 13.3.9
y
),( hxy
),( gxy
O e f x
v
h
g
O e f u
所以
T R( )
的面积为?
(,)
(,)
()
( ) d d d d
f y x h
e y x g
TR
m T R x y x y
[ (,) (,) ] d ( (,) (,) ) ( ),
f
e
y x h y x g x y u h y u g f e
其中
e u f~
。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得?
mR
vu
vu
yx
mRvu
v
y
efghvu
v
y
RmT
)
~
,
~
(
),(
),(
)
~
,
~
())()(
~
,
~
()(?
,?
其中
g v h~
。
如果 T 的 J ac o b i 行列式为负的，以上讨论中关于
y
的不等式反向，
重复以上证明可同样得到
mR
vu
yx
RmT
vu )
~
,
~
(
),(
),(
)(
。
下面证明变量代换公式对于本原映射成立。
引理 1 3,3,2 设 T 为本原映射,二元函数
),( yxf
在
()T D
上连续,
则
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
。
证 考虑上述对区域 D 的分割，设
12,,,MD D D
是包含在区域 D 内的所有小矩形，由引理 13,3,1,在
iD
上成立
(,)
(,)
()
(,)
ii
ii
uv
xy
m T m
uv
DD
,
这里
( ~,~ )u vi i
为
iD
中某一点。设
~ ( ~,~ ),~ ( ~,~ )x x u v y y u v
i i i i i i
，则从上式得
(,)
(,)
(,) ( ) ( (,),(,) )
(,)
ii
i i i i i i i i
ii
uv
xy
f x y m T f x u v y u v m
uv
DD
,
设所有小矩形的对角线长度的最大值为
，令
趋于 0,由二重积分的定义，即得
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
。
引理 1 3,3,3 设 T 满足定理 1 3,3,1 的假设,则对于任意点
0Q?
00(,)uv? U
,T 在点
Q 0
附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的,一对一的本原映射的复合 。
证 设
),(),,(),,( 000000000 yxPvuyyvuxx
。
由于
0),(
),(
),(
00
vu
vu
yx
，行列式中必有元素不为零。不妨设
0),(
00
vu
u
x
，于是，本原映射
v
vux
T
),,(
:
1
的 J ac o b i 行列式
),(
),(
),(
00
vu
vu
0),(
00
vu
u
x
,
由隐函数存在定理（或逆映射定理），局部地可得逆映射
,
),,(
v
gu
且
g (,)
在
T u v1 0 0(,)
的一个邻域具有连续偏导数。注意这时成立
uvvuxg?)),,((
。
作
),),,((
,
:
2
gyy
x
T
则有
。),()),),,((()),,((
),,(
vuyvvvuxgygyy
vuxx
即
TTT?12?
。
下面证明 二重积分变量代换公式,
根据引理 1 3,3,3,对于每点
(,)Q u v D
存在它的一个邻域
U Q? ( )
，
在这个邻域中,T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于
2
()U Q Q D
覆盖了 D,由 H ei n e - B o rel 定理，存在有限多个邻域
U Q U Q U Q
S S1 2 1 2 2 2 2
( ),( ),,( )?
,
它们覆盖了 D 。设
2
,,
2
,
2
m in 21* S
。
取划分充分细,使得所有的小矩形的对角线长度都小于
*
，那么当小矩形
iD
与
2
() j
j
UQ?
相交时，
iD
必包含在某个
()
j
UQ?
中
)1( Sj
。于是在每个
iD
（?i
M,,2,1?
）上成立
T T T? 2 1?
（为简便起见去掉了标记 i,注意对不同的
iD
，可能有不同
T 1
和
T2
），这里
T 1
和
T2
是本原映射。设
),,(
),,(
:
1
vu
vu
T
和
).,(
),,(
:
2
yy
xx
T
那么
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
yx
。
由引理 1 3,3,2,得到
1
( ) ( )
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
TT
ii
xy
f x y x y f x y
DD
(,) (,)
( ( (,),(,) ),( (,),(,) ) ) d d
(,) (,)
(,)
( (,),(,) ) d d
(,)
i
i
xy
f x u v u v y u v u v u v
uv
xy
f x u v y u v u v
uv
。
D
D
因此
1( ) ( )
(,) d d (,) d d
M
iTT
i
f x y x y f x y x y
DD
1
(,) (,)
( (,),(,) d d ( (,),(,) d d
(,) (,)
M
i
i
x y x y
f x u v y u v u v f x u v y u v u v
u v u v?
DD
。
n
重积分的变量代换设
U
为 nR （
2?n
）上的开集，映射?
),,(,),,,(,1111 nnnn xxyyxxyyT
将
U
一一对应地映到 n
RV
上。进一步假设
y y x x y y x xn n n n1 1 1 1(,,),,(,,)
都具有连续偏导数，而且这个映射的 J aco b i 行列式不等于零。
设 Ω 为
U
中具有分片光滑边界的有界闭区域，则与二维情形相类似有结论,
定理 1 3,3,2 映射 T 和区域 Ω 如上所设。如果
),,,( 21 nyyyf?
是
T ( Ω ) 上的连续函数,那么变量代换公式
1
1 1 1 1
1()
(,,)
(,,) d d ( ( ),,( ) ) d d
(,,)
n
n n n n
nT
yy
f y y y y f y y x x
xx
xx
成立,其中
),,( 1 nxxx
。
证明从略。
三维空间中有两种非常重要的变换，一种是柱面坐标变换（见图
13,3,1 0 ）
,
,si n
,c o s
zz
ry
rx
它将
0,0 2π,rz
映为整个
xyz
空间，变换的 J ac o b i 行列式为
r
zr
zyx
),,(
),,(
。
图 13,3,10
z
( x,y,z )
O y
r
( x,y,0 )
x
另一种是球面坐标变换（见图 13,3,1 1 ）
,c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
rz
ry
rx
它将
0,0 π,0 2 πr
映为整个
xyz
空间，变换的 J aco b i
行列式为
s in
),,(
),,( 2
r
r
zyx
。
z
( x,y,z )
r
O y
( x,y,0 )
x
图 13.3.11
例 1 3,3,6 计算
22
( ) d d dx y x y z
，其中 Ω 为抛物面
22 yxz
与平面 z h? 所围的闭区域。
z
hz?
22
yxz
O y
x
图 13,3,12
解 引入柱面坐标变换
x r y r z zc o s,s i n,
。在此变换下 Ω 对应于
r z?
空间的区域 Ω
2
1 { (,,) |,0,0 2 π,}r z r z h r h
，因此
22
( ) d d dx y x y z
2
1
2 π
2 3 3
00
π
d d d d d d
6
hh
r
r r r z r r z h
。
例 1 3,3,7 求 抛 物 面
z x y1 2 2
与平面 z? 0 所围立体
Ω 的重心。设此立体具有均匀密度
1
。
解 引入柱面坐标变换
x r y r z zc o s,s i n,
。在此变换下 Ω 对应于
r z?
空间的区域
Ω
2
1 { (,,) | 0 2 π,0 1,0 1 }r z r z r
。因此 Ω 的质量为
2
1
2 π 1 1 1
2
0 0 0 0
π
d d d d d d d d d 2 π ( 1 ) d
2
r
M x y z r r z r r z r r r
。
记立体 Ω 的重心为
),,( zyx
。由对称性可知
0 yx
。而
1
2
2 π 1 1 1
22
0 0 0 0
11
d d d d d d
1 π 1
d d d ( 1 ) d,
3
r
z z x y z r z r z
MM
r r z z r r r
MM
因此重心为
3
1
,0,0
。
z
z x y1
2 2
O y
x
例 1 3,3,8 计算
2 2 2
()
e d d d
x y z
z x y z
，其中
Ω 为锥面
22 yxz
与球面
1222 zyx
所围成的如图 13,3,1 4 所示部分的闭区域。
解 引入球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
。
在此变换下 Ω 对应于区域
Ω
π
1 4{ (,,) | 0 2 π,0 1,0 }rr
。
因此
2 2 2 2
1
2
( ) 3
π
2 π 1
3
4
0 0 0
e d d d e c o s s in d d d
π 11
d e d s in c o s d
2 2 e
x y z r
r
z x y z r r
rr
。
图 13.3.14
例 1 3,3,9 求椭球体
Ω
1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx
的体积。
解 引入广义球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n crzbryarx
,
于是 Ω 对应于区域 Ω
1 { (,,) | 0 2 π,0 1,0 π }rr
。此变换的 J ac o b i 行列式为
s i n
),,(
),,(
2
a b c r
r
zyx
。
因此椭球的体积为
1
12 π π
22
0 0 0
4 π
d d d s i n d d d d d s i n d
3
x y z a b c r r a b c r r a b c 。
z
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1
O
y
x
图 13.3.15
例 1 3,3,10 求曲面
yzyx 4222 )(
所围立体的体积。
解 由曲面的方程
yzyx 4222 )(
可以看出，该 曲面 位于半空间
0?y
内，且分别关于
xy
平面和
yz
平面对称。因此只需计算它所围立体在第一卦限上的部分的体积，再乘以 4 就是整个立体的体积。设该立体在第一卦限上的部分为 Ω 。引入球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
。
那么曲面方程
yzyx 4222 )(
在此变换下变为
3
44
c o ss i n
s i ns i n
r
,
而 Ω 对应于区域
Ω
3
1 44
s i n s i n
(,,) 0 π / 2,0 π / 2,0
s i n c o s
rr
。
因此所求立体的体积为
1
3
44
2
π π sin sin
2
22 sin c os
0 0 0
4 d d d 4 si n d d d
4 d si n d d
x y z r r
rr
π π 2
22
4400
4 s i n
s i n d d
3 s i n c o s
π 2
2
44
0
2
4
0
4 sin
d
3 sin c o s
4
d ( ta n )
31
2
π,
3
t
tt
t
令事实上，在
)3(?nnR
上都可以引入球面坐标变换
,s i ns i ns i ns i n
c o ss i ns i ns i n
,c o ss i ns i n
c o ss i n
,c o s
1221
,
12211
3213
,
212
11
nnn
nnn
rx
rx
rx
rx
rx
其中
1 2 10,0 π,,0 π,0 2 πnnr
。
显然
222
2
2
1 rxxx n
。
易计算得到这个变换的 J ac o b i 行列式为
22
3
1
21
21
21
s i ns i ns i n
),,,(
),,,(
n
nnn
n
n
r
xxx
J
。
例 1 3,3,1 1 求 n 维球体
2 2 2 2
1 2 1 2{ (,,,) | }n n nx x x x x x RB
的体积
nV
。
解 在球面坐标变换下，
nB
就对应于区域
1 2 1 1
21
{ (,,,,) | 0,0 π,,
0 π,0 2 π },
n n n
nn
r r R
E
因此利用球面坐标变换得
12
1 2 3 2
1 2 3 2 1 2 1
π π π 2 π
1 2 2
1 1 3 3 2 2 1
0 0 0 0 0
d d d
si n si n si n si n d d d d
d si n d si n d si n d d
nn
n
n n n
n n n n
n
R
nn
n n n n n
V x x x
rr
rr
。
B
E
当
k
为正整数时,
π
π
11 2
00
s i n d 2 s i n dkk
,
由公式
π
2
0
( 2 1 ) ! ! π
,2,
( 2 ) ! ! 2
s i n d
( 2 ) ! !
,2 1
( 2 1 ) ! !
n
m
nm
m
m
nm
m
即得
2
1 2 1
π,2,
!
2
π,2 1,
( 2 1 ) ! !
m
m
n mm
m
R
nm
m
V
R
nm
m
均匀球体的引力场模型设有一个半径为
a
的均匀球体（密度为常数
），要计算它所产生的引力场，即求出它对于单位质量的质点的引力。
y
d V
O
x
),0,0(
0
sP
z
图 1 3.3.16
以 球 心 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系,则 球 体 为
Ω
}|),,{( 2222 azyxzyx
。由对称性，只需考虑球体对在 z 轴上的具有单位质量的质点的引力。设单位质点
0P
的位置为
),0,0( s
，显然，
球体对质点
0P
的引力在
x
与
y
方向的分量
0 yx FF
。
P
用微元法求该引力在 z 方向的分量
zF
。考虑球体上任一点
),,( zyxP
，则包含 P 的体积微元
d V
的质量为
d V?
。它对单位质点
0P
所产生的引力的方向与
kji )(0 szyxPP
的方向相同，因此引力方向的单位向量为
222
)(
)(
),,(
szyx
szyx
zyx
kji
e
。
由万有引力定律，两质点之间的引力大小与这两个质点的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，于是体积微元
d V
对单位质点
0P
的引力在 z 方向的分量为
32
2 2 2
dd
()
z
zs
F k V
x y z s
,
其中
G
为引力常数。因此，整个球体对单位质点
0P
的引力在 z 方向的分量为
3 2 3 2
2 2 2 2 2 2
d d d d
( ) ( )
z
z s z s
F G V G x y z
x y z s x y z s
。
作球面坐标变换
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
，就得到
2
32
22
2 π π
2
32
0 0 0 22
( c o s )
s i n d d d
2 c o s
( c o s ) s i n
d d d,
2 c o s
z
a
rs
F k r r
r s r s
rs
k r r
r s r s
在积分
π
32
0 22
( c os ) si n
d
2 c os
rs
I
r s rs
中，令
co s2222 rssr
，那么
22
22
||
1
1d
2
rs
rs
rs
I
sr
||
||
2
2
1
22
2
sr
sr
sr
r
rs
.,
2
,,0
2
sr
s
sr
即
2 π
2
2
00
2 π
2
2
00
2
dd
2
dd
a
z
s
G r r
s
F
G r r
s
3
2
4 π
,,
3
4 π
,.
3
a
G s a
s
s
G s a
上式的物理意义是,
（ 1 ）当 as? 时，即质点在球体外或球面上，球体对质点的引力等效于将整个球体的质量 3
4 π
3
a
全部集中在球心时，球心对该质点的引力。这在天体力学中有很重要的应用，在考虑星球之间的引力时，
常常将星球的质量看作是集中于球心来处理。
（ 2 ）当 as? 时，即质点在球体内部时，球体对质点的引力等效于一个球心与原球相同，而半径为 s 的球体对该质点的引 力。即，等效于将半径为 s 的球体的质量 3
4 π
3
s
全部集中在球心时，球心对该质点的引力。
