空间曲线的切线和法平面一条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直角坐标系，设质点在时刻 t 位于点
))(),(),(( tztytxP
处，即它在任一时刻的坐标可用
bta
tzz
tyy
txx
),(
),(
),(
来表示，随着 t 的连续变动，相应点
),,( zyx
的轨迹就是空间中的一条曲线。
这种表达式称为 空间曲线的参数方程,它也可以写成向量的形式
btatztytxt,)()()()( kjir
。
§ 5 偏导数在几何中的应用定义 12,5,1 若 kjir )()()()( tztytxt 在 ],[ ba 上连续,并且
],[,)( batt 0r,则称
btatztytxt,)()()()( kjir
所确定的空间曲线为 光滑曲线 。
光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动。
现在讨论光滑曲线? 上一点
))(),(),(( 0000 tztytxP
处的切线。空间曲线的切线的定义与平面的情况相同，即为割线的极限位置。
记
)(),(),( 000000 tzztyytxx
。取? 上另一点
))(),(),((1 tztytxP
，则过
0P
和
1P
的割线方程为
)()()()()()(
0
0
0
0
0
0
tztz
zz
tyty
yy
txtx
xx
。
将其改写为
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)()()()()()(
tt
tztz
zz
tt
tyty
yy
tt
txtx
xx
,
再令
0tt?
，就得到曲线? 在
0P
点的切线方程
)()()(
0
0
0
0
0
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx
。
注 当
0)(,0)(,0)( 000 tztytx
时，这个公式应理解为
.
,
)()(
0
0
0
0
0
zz
ty
yy
tx
xx
当
0 0 0( ) 0,( ) 0,( ) 0x t y t z t
时，这个公式应理解为
0
0
,
.
yy
zz
向量
))(),(),(()( 0000 tztytxtr
就是曲线? 在
0P
点的切线的一个方向向量，也称为? 在
0P
点的 切向量 。
过
0P
点且与切线垂直的平面称为曲线? 在
0P
点的 法平面 。显 然，
该法平面的一个法向量就是? 在
0P
点的切向量,因此曲线? 在
0P
点的法平面方程可写成
0))(())(())(( 000000 zztzyytyxxtx,
或写成等价的向量形式
0)()( 00 xxr t 。
如果曲线的方程为
)(),( xgzxfy
,
把它看成以 x 为参数的参数方程
),(
),(
,
xgz
xfy
xx
即得到它在
))(),(,( 0000 xgxfxP
点的切线方程为
)(
)(
)(
)(
1 0
0
0
00
xg
xgz
xf
xfyxx
；
法平面方程为
0))()(())()(()( 00000 xgzxgxfyxfxx
。
空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线? 的方程为
.0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
),,( 0000 zyxP
为? 上一点，且 J aco b i 矩阵
zyx
zyx
GGG
FFF
J
在
0P
点是满秩的，即 r a n k 2J? 。求曲线? 在
0P
点的切线与法平面方程。
由于矩阵
J
在
0P
点满秩，不失一般性，假设在
0P
点成立
0
),(
),(
zy
zy
GG
FF
zy
GF
。
由隐函数存在定理，在
0P
点附近唯一确定了满足
)(),( 0000 xgzxfy
的隐函数
)(),( xgzxfy
，
),( 0?xOx?
。
且有
)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(,)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(
000000
P
zy
GF
P
yx
GF
xgP
zy
GF
P
xz
GF
xf
。
于是，曲线? 在
0P
点的切线方程为
)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(
),(
),(
0
0
0
0
0
0
P
yx
GF
zz
P
xz
GF
yy
P
zy
GF
xx
；
法平面方程为
0))((
),(
),(
))((
),(
),(
))((
),(
),(
000000
zzP
yx
GF
yyP
xz
GF
xxP
zy
GF
。
由空间解析几何知道，由一点及两个线性无关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量 张成的平面 ），平面上的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。
定理 1 2,5,1 曲线
0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
在
0P
点的法平面就是由梯度向量
0()FPg r a d
和
0()GPg r a d
张成的过
0P
的平面 。
证 记该曲线为? 。由于矩阵
zyx
zyx
GGG
FFF
J
满秩，因此
0()FPg r a d ))(),(),(( 000 PFPFPF zyx?
与
0()GPg r a d ))(),(),(( 000 PGPGPG zyx?
线性无关，因此它们可以张成一个过
0P
点的平面 π 。
要证明平面
π
就是曲线? 在
0P
点的法平面，只要证明? 在
0P
点的切向量与
π
垂直，即与
0()FPg r a d
和
0()GPg r a d
均垂直即可。
因为曲线? 在
0P
点的切向量为
000
(,) (,) (,)
( ),( ),( )
(,) (,) (,)
F G F G F G
PPP
y z z x x y
,
于是
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(,) (,) (,)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(,) (,) (,)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0,
( ) ( ) ( )
x y z
x y z
x y z
x y z
F G F G F G
F ( P ) F P P F P P F P P
y z z x x y
F P F P F P
F P F P F P
G P G P G P
g r a d?
同理
0 0G ( P )g r a d?
。因此平面 π 就是曲线? 在
0P
点的法平面。
例 1 2,5,1 一质点一方面按逆时针方向以等角速度? 绕 z 轴旋转，另一方面又沿 z 轴正向以匀速 c 上升，已知时刻 0?t 时质点在点
)0()0,0,(?aa
处，求
（ 1 ） 该质点的运动轨迹? ；
（ 2 ） 该质点在时刻 t 的速度；
（ 3 ） 当 1 时，曲线? 在 π
2
t?
时所对应点处的切线与法平面方程。
解 （ 1 ）设在时刻
t
，质点在
),,( zyxP
处，
为
OM
与
x
轴正向的夹角（如图 1 2,5,2 所示）。
z
),,( zyxP
O y
M
x
图 12,5,2
因为质点按逆时针方向以等角速度
绕 z 轴旋转，而且
0?t
时质点在
)0,0,( a
处，所以
t
,
于是
.s ins in
,c o sc o s
taay
taax
又因为质点以匀速
c
上升，于是
ctz?
。
那么质点运动的轨迹方程为
.
,si n
,c o s
ctz
tay
tax
0?t
,
这样的曲线称为 螺旋线 。
（ 2 ）将质点的轨迹方程用向量值函数写出来就是
),s i n,c o s()( cttatatr,
那么质点的运动速度就为
),c o s,s i n()( ctatatr 。
（ 3 ） 当
1
时，曲线? 的方程即为
.
,s i n
,c o s
ctz
tay
tax
而
π
2
t?
时对应曲线上的点
0
π
0,,
2
c
Ma
。由于
),c o s,s i n()( ctatatr
，从而
π
(,0,)
2
ac
r
。
因此曲线? 在
0M
点的切线方程为
π
0
2
0
c
z
x y a
ac
,
曲线? 在
0M
点的法平面方程为
2
π
0
2
c
a x c z
。
例 1 2,5,2 求曲线?,
0
,42222
zyx
yzyx 在点 )2,1,1(? 处的切线和法平面的方程。
z
O
x
y
(1,1,-2)
图 12.5.3.
解法一,直接利用公式求解。 曲线? 的方程为
.0),,(
,042),,(
222
zyxzyxG
yzyxzyxF
所以
).1(2
11
222
),(
),(
),(2
11
22
),(
),(
),1(2
11
222
),(
),(
yx
yx
yx
GF
xz
xz
xz
GF
zy
zy
zy
GF
因此
2
),(
),(
,6
),(
),(
,4
),(
),(
)2,1,1()2,1,1()2,1,1(
yx
GF
xz
GF
zy
GF
。
于是所求的切线方程为
2
2
6
1
4
1?
zyx
,即
1
2
3
1
2
1?
zyx；
法平面方程为
0)2(2)1(6)1(4 zyx
，即
0332 zyx
。
解法二,在所给的两个曲面方程两边对
x
求导,
.0
d
d
d
d
1
,0
d
d
2
d
d
2
d
d
22
x
z
x
y
x
y
x
z
z
x
y
yx
解这个方程组，得到
1
1
d
d
,
1d
d
zy
xy
x
z
zy
xz
x
y
。
于是
2
1
d
d
,
2
3
d
d
)2,1,1()2,1,1(
x
z
x
y
,
曲线? 在
)2,1,1(?
处的切向量为
2
1
,
2
3
,1
。因此所求的切线方程为
2
1
2
2
3
1
1
1?
zyx
，即
1
2
3
1
2
1?
zyx；
法平面方程为
0)2(
2
1
)1(
2
3
)1( zyx
，即
0332 zyx
。
曲面的切平面与法线曲面方程一般表示为
),,(,0),,( zyxzyxF
D,
考虑 F 在 D 上具有连续偏导数，且 J ac o b i 矩阵
),,( zyx FFF
在曲面上恒为满秩，即
0222 zyx FFF
的情况。
记以上方程确定的曲面为 S,并设
),,( 0000 zyxP
为 S 上一点。考察曲面 S 上过点
0P
的任意一条光滑曲线?,
).(
),(
),(
tzz
tyy
txx
并设
)(),(),( 000000 tzztyytxx
。
由于曲线? 在 S 上，因此
0))(),(),((?tztytxF
,
对 t 在
0tt?
求导就得到
0)()()()()()( 000000 tzPFtyPFtxPF zyx
。
这说明，曲面 S 上过
0P
的任意一条光滑曲线? 在
0P
点的切线（因为切向量为
))(),(),(( 000 tztytx
）都与向量
))(),(),(( 000 PFPFPF zyx?n
垂直，因此这些切线都在一张平面 π 上。
平面 π 称为曲面 S 在点
0P
的 切平面,它的法向量 n 称为 S 在
0P
点的法向量 （见图 12,5,4 ）。这样,S 在点
0P
的切平面方程可以表示为
0))(())(())(( 000000 zzPFyyPFxxPF zyx
。
过
0P
点且与切平面垂直的直线称为曲面 S 在
0P
点的 法线,它的方程显然为
)()()( 0
0
0
0
0
0
PF
zz
PF
yy
PF
xx
zyx
,
00(,,0)xy
0 0 0(,,)x y z
y
x
z n
O
图 12.5.4.
曲面 S 的方程也可显式表示为
),( yxfz?
,
也就是
0),(),,( zyxfzyxF
,
且
),( yxfz?
在
),( 00 yx
点可微，则曲面 S 在
),,( 0000 zyxP
点（其中
),( 000 yxfz?
）的切平面方程即为
0)())(,())(,( 0000000
zzyyyx
y
f
xxyx
x
f
。
相应地，曲面 S 在
),,( 000 zyx
点的法线方程为
1
),(),(
0
00
0
00
0
zz
yx
y
f
yy
yx
x
f
xx
。
曲面方程也可表示成参数形式,
),(
),,(
),,(
),,(
vu
vuzz
vuyy
vuxx
D,
其中 D 是 2R 中的区域，它称为 曲面的参数方程 。它也可以表为向量形式
kjir ),(),(),(),( vuzvuyvuxvu
，
),( yx
D 。
以下假设 J ac o b i 矩阵
vu
vu
vu
zz
yy
xx
J
在 D 上恒为满秩。
记 由 上 述 参 数 形 式 表 示 的 曲 面 为
S
,并 设
),,( 0000 zyxP
（
0 0 0 0 0 0(,),(,)x x u v y y u v
，
),( 000 vuzz?
）为
S
上一点。由于矩阵
J
是满秩的，不失一般性，假设
0
),(
),(
),(
00
vu
vu
yx
。那么由隐函数定理（或逆映射定理），可以由
),(
),(
vuyy
vuxx
在某个邻域
)),,(( 00?yxO
上唯一确定逆映射
),(
),(
yxvv
yxuu
（
),( 000 yxuu?
，
),( 000 yxvv?
）。代入
),( vuzz?
，就得到曲面
S
在
0P
附近的显式表示
),()),(),,(( yxfyxvyxuzz
,
且成立
),(
),(
vu
yx
v
y
x
u
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
,
),(
),(
vu
yx
v
x
y
u
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
。
由此得到
,
),(
),(
),(
),(
,
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
xz
y
v
v
z
y
u
u
z
y
f
vu
yx
vu
zy
x
v
v
z
x
u
u
z
x
f
于是 S 在
0P
点的切平面方程为
0)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(
),(
),(
0
),(
0
),(
0
),(
000000
zz
vu
yx
yy
vu
xz
xx
vu
zy
vuvuvu；
法线方程为
),(
0
),(
0
),(
0
000000
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vuvuvu
vu
yx
zz
vu
xz
yy
vu
zy
xx
例 1 2,5,3 求曲面
3e xyzz
在点
)0,1,2(
处的切平面与法线方程。
解 曲面方程即为
03e),,( xyzzyxF z
。由于
,,e 1zx y zF y F x F
,
因此曲面在点
)0,1,2(
处的法向量为
)0,2,1())0,1,2(),0,1,2(),0,1,2(( zyx FFFn
,
于是曲面在点
)0,1,2(
处的切平面方程为
0)0(0)1(2)2(1 zyx
，即
042 yx；
法线方程为
.0
,
2
1
1
2
z
yx
例 1 2,5,4 求曲面
uz
vuby
vuax
sh
,s i nch
,c o sch
在
π
(,) 0,
4
uv
所对应的点处的切平面和法线方程。
解 因为
sh c o s,c h si n,
sh si n,c h c o s,
c h,0,
xx
a u v a u v
uv
yy
b u v b u v
uv
zz
u
uv
所以在
π
(,) 0,
4
uv
处,0,,
2
0,,
2
1,0,
x x a
uv
y y b
uv
zz
uv
于是在这点
0
),(
),(
,
2),(
),(
,
2),(
),(
vu
yxa
vu
xzb
vu
zy
。
由于
π
(,) 0,
4
uv
对应于
0,
2
,
2
),,(
ba
zyx
点，因此曲面在这点的切平面方程为
0)0(0
2222
z
b
y
aa
x
b
，即
02 abaybx；
法线方程为
,0
,
2
2
2
2
z
a
b
y
b
a
x
即
.0
,
22
z
a
b
y
b
a
x
例 1 2,5,5 已知曲面?,
2e( π 2)xz f y z
，其中
f
为具有连续导数的一元函数。证明? 为柱面。
证 要证明曲面? 为柱面，只要证? 在任意一点的切平面都平行于一条定直线，即证? 在任意一点的法向量垂直于一个定向量。
曲面? 的方程为
),,( zyxF
=
2e( π 2 ) 0xz f y z
，所以? 在任意一点
),,( zyx
处的法向量为
n
22(,,) 2 e,π ( π 2 ),e 2 ( π 2)x z x zx y zF F F f y z f y z
。
设定向量为
),,( nml?a
，要使
n
与
a
垂直，只要
0 an
。取
πl?
，
22?m
，
2 πn?
,
则
na 222 π e 2 2 π ( π 2 ) 2 π e 2 2 π ( π 2 ) 0x z x zf y z f y z
,
即曲面? 在任意一点的法向量
n
垂直于定向量
( π,2 2,2 π )?a
，因此?
为柱面。
现在引入夹角的概念。两条曲线在交点处的夹角，是指这两条曲线在交点处的切向量之间的夹角。两张曲面在交线上一点的夹角，是指这两张曲面在该点的法向量之间的夹角。如果两张曲面在交线上每一点正交，即夹角为直角，就称这两张曲面正交。
例 1 2,5,6 证明两球面
axzyx 2222
与
byzyx 2222
（
0,?ba
）
是相互正交的。
证 球面
axzyx 2222
在两球面的任一交点
),,( zyx
处的法向量为
),,(1 zyaxn；球面
byzyx 2222
在
),,( zyx
处 的 法 向 量 为
),,(2 zbyxn
。于是，在两球面的任一交点
),,( zyx
处,
,02
2
1
2
2
1
)()(
222222
222
21
byzyxaxzyx
byaxzyxzzbyyxaxnn
因此两球面是正交的。
))(),(),(( tztytxP
处，即它在任一时刻的坐标可用
bta
tzz
tyy
txx
),(
),(
),(
来表示，随着 t 的连续变动，相应点
),,( zyx
的轨迹就是空间中的一条曲线。
这种表达式称为 空间曲线的参数方程,它也可以写成向量的形式
btatztytxt,)()()()( kjir
。
§ 5 偏导数在几何中的应用定义 12,5,1 若 kjir )()()()( tztytxt 在 ],[ ba 上连续,并且
],[,)( batt 0r,则称
btatztytxt,)()()()( kjir
所确定的空间曲线为 光滑曲线 。
光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动。
现在讨论光滑曲线? 上一点
))(),(),(( 0000 tztytxP
处的切线。空间曲线的切线的定义与平面的情况相同，即为割线的极限位置。
记
)(),(),( 000000 tzztyytxx
。取? 上另一点
))(),(),((1 tztytxP
，则过
0P
和
1P
的割线方程为
)()()()()()(
0
0
0
0
0
0
tztz
zz
tyty
yy
txtx
xx
。
将其改写为
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)()()()()()(
tt
tztz
zz
tt
tyty
yy
tt
txtx
xx
,
再令
0tt?
，就得到曲线? 在
0P
点的切线方程
)()()(
0
0
0
0
0
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx
。
注 当
0)(,0)(,0)( 000 tztytx
时，这个公式应理解为
.
,
)()(
0
0
0
0
0
zz
ty
yy
tx
xx
当
0 0 0( ) 0,( ) 0,( ) 0x t y t z t
时，这个公式应理解为
0
0
,
.
yy
zz
向量
))(),(),(()( 0000 tztytxtr
就是曲线? 在
0P
点的切线的一个方向向量，也称为? 在
0P
点的 切向量 。
过
0P
点且与切线垂直的平面称为曲线? 在
0P
点的 法平面 。显 然，
该法平面的一个法向量就是? 在
0P
点的切向量,因此曲线? 在
0P
点的法平面方程可写成
0))(())(())(( 000000 zztzyytyxxtx,
或写成等价的向量形式
0)()( 00 xxr t 。
如果曲线的方程为
)(),( xgzxfy
,
把它看成以 x 为参数的参数方程
),(
),(
,
xgz
xfy
xx
即得到它在
))(),(,( 0000 xgxfxP
点的切线方程为
)(
)(
)(
)(
1 0
0
0
00
xg
xgz
xf
xfyxx
；
法平面方程为
0))()(())()(()( 00000 xgzxgxfyxfxx
。
空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线? 的方程为
.0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
),,( 0000 zyxP
为? 上一点，且 J aco b i 矩阵
zyx
zyx
GGG
FFF
J
在
0P
点是满秩的，即 r a n k 2J? 。求曲线? 在
0P
点的切线与法平面方程。
由于矩阵
J
在
0P
点满秩，不失一般性，假设在
0P
点成立
0
),(
),(
zy
zy
GG
FF
zy
GF
。
由隐函数存在定理，在
0P
点附近唯一确定了满足
)(),( 0000 xgzxfy
的隐函数
)(),( xgzxfy
，
),( 0?xOx?
。
且有
)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(,)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(
000000
P
zy
GF
P
yx
GF
xgP
zy
GF
P
xz
GF
xf
。
于是，曲线? 在
0P
点的切线方程为
)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(
),(
),(
0
0
0
0
0
0
P
yx
GF
zz
P
xz
GF
yy
P
zy
GF
xx
；
法平面方程为
0))((
),(
),(
))((
),(
),(
))((
),(
),(
000000
zzP
yx
GF
yyP
xz
GF
xxP
zy
GF
。
由空间解析几何知道，由一点及两个线性无关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量 张成的平面 ），平面上的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。
定理 1 2,5,1 曲线
0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
在
0P
点的法平面就是由梯度向量
0()FPg r a d
和
0()GPg r a d
张成的过
0P
的平面 。
证 记该曲线为? 。由于矩阵
zyx
zyx
GGG
FFF
J
满秩，因此
0()FPg r a d ))(),(),(( 000 PFPFPF zyx?
与
0()GPg r a d ))(),(),(( 000 PGPGPG zyx?
线性无关，因此它们可以张成一个过
0P
点的平面 π 。
要证明平面
π
就是曲线? 在
0P
点的法平面，只要证明? 在
0P
点的切向量与
π
垂直，即与
0()FPg r a d
和
0()GPg r a d
均垂直即可。
因为曲线? 在
0P
点的切向量为
000
(,) (,) (,)
( ),( ),( )
(,) (,) (,)
F G F G F G
PPP
y z z x x y
,
于是
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(,) (,) (,)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(,) (,) (,)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0,
( ) ( ) ( )
x y z
x y z
x y z
x y z
F G F G F G
F ( P ) F P P F P P F P P
y z z x x y
F P F P F P
F P F P F P
G P G P G P
g r a d?
同理
0 0G ( P )g r a d?
。因此平面 π 就是曲线? 在
0P
点的法平面。
例 1 2,5,1 一质点一方面按逆时针方向以等角速度? 绕 z 轴旋转，另一方面又沿 z 轴正向以匀速 c 上升，已知时刻 0?t 时质点在点
)0()0,0,(?aa
处，求
（ 1 ） 该质点的运动轨迹? ；
（ 2 ） 该质点在时刻 t 的速度；
（ 3 ） 当 1 时，曲线? 在 π
2
t?
时所对应点处的切线与法平面方程。
解 （ 1 ）设在时刻
t
，质点在
),,( zyxP
处，
为
OM
与
x
轴正向的夹角（如图 1 2,5,2 所示）。
z
),,( zyxP
O y
M
x
图 12,5,2
因为质点按逆时针方向以等角速度
绕 z 轴旋转，而且
0?t
时质点在
)0,0,( a
处，所以
t
,
于是
.s ins in
,c o sc o s
taay
taax
又因为质点以匀速
c
上升，于是
ctz?
。
那么质点运动的轨迹方程为
.
,si n
,c o s
ctz
tay
tax
0?t
,
这样的曲线称为 螺旋线 。
（ 2 ）将质点的轨迹方程用向量值函数写出来就是
),s i n,c o s()( cttatatr,
那么质点的运动速度就为
),c o s,s i n()( ctatatr 。
（ 3 ） 当
1
时，曲线? 的方程即为
.
,s i n
,c o s
ctz
tay
tax
而
π
2
t?
时对应曲线上的点
0
π
0,,
2
c
Ma
。由于
),c o s,s i n()( ctatatr
，从而
π
(,0,)
2
ac
r
。
因此曲线? 在
0M
点的切线方程为
π
0
2
0
c
z
x y a
ac
,
曲线? 在
0M
点的法平面方程为
2
π
0
2
c
a x c z
。
例 1 2,5,2 求曲线?,
0
,42222
zyx
yzyx 在点 )2,1,1(? 处的切线和法平面的方程。
z
O
x
y
(1,1,-2)
图 12.5.3.
解法一,直接利用公式求解。 曲线? 的方程为
.0),,(
,042),,(
222
zyxzyxG
yzyxzyxF
所以
).1(2
11
222
),(
),(
),(2
11
22
),(
),(
),1(2
11
222
),(
),(
yx
yx
yx
GF
xz
xz
xz
GF
zy
zy
zy
GF
因此
2
),(
),(
,6
),(
),(
,4
),(
),(
)2,1,1()2,1,1()2,1,1(
yx
GF
xz
GF
zy
GF
。
于是所求的切线方程为
2
2
6
1
4
1?
zyx
,即
1
2
3
1
2
1?
zyx；
法平面方程为
0)2(2)1(6)1(4 zyx
，即
0332 zyx
。
解法二,在所给的两个曲面方程两边对
x
求导,
.0
d
d
d
d
1
,0
d
d
2
d
d
2
d
d
22
x
z
x
y
x
y
x
z
z
x
y
yx
解这个方程组，得到
1
1
d
d
,
1d
d
zy
xy
x
z
zy
xz
x
y
。
于是
2
1
d
d
,
2
3
d
d
)2,1,1()2,1,1(
x
z
x
y
,
曲线? 在
)2,1,1(?
处的切向量为
2
1
,
2
3
,1
。因此所求的切线方程为
2
1
2
2
3
1
1
1?
zyx
，即
1
2
3
1
2
1?
zyx；
法平面方程为
0)2(
2
1
)1(
2
3
)1( zyx
，即
0332 zyx
。
曲面的切平面与法线曲面方程一般表示为
),,(,0),,( zyxzyxF
D,
考虑 F 在 D 上具有连续偏导数，且 J ac o b i 矩阵
),,( zyx FFF
在曲面上恒为满秩，即
0222 zyx FFF
的情况。
记以上方程确定的曲面为 S,并设
),,( 0000 zyxP
为 S 上一点。考察曲面 S 上过点
0P
的任意一条光滑曲线?,
).(
),(
),(
tzz
tyy
txx
并设
)(),(),( 000000 tzztyytxx
。
由于曲线? 在 S 上，因此
0))(),(),((?tztytxF
,
对 t 在
0tt?
求导就得到
0)()()()()()( 000000 tzPFtyPFtxPF zyx
。
这说明，曲面 S 上过
0P
的任意一条光滑曲线? 在
0P
点的切线（因为切向量为
))(),(),(( 000 tztytx
）都与向量
))(),(),(( 000 PFPFPF zyx?n
垂直，因此这些切线都在一张平面 π 上。
平面 π 称为曲面 S 在点
0P
的 切平面,它的法向量 n 称为 S 在
0P
点的法向量 （见图 12,5,4 ）。这样,S 在点
0P
的切平面方程可以表示为
0))(())(())(( 000000 zzPFyyPFxxPF zyx
。
过
0P
点且与切平面垂直的直线称为曲面 S 在
0P
点的 法线,它的方程显然为
)()()( 0
0
0
0
0
0
PF
zz
PF
yy
PF
xx
zyx
,
00(,,0)xy
0 0 0(,,)x y z
y
x
z n
O
图 12.5.4.
曲面 S 的方程也可显式表示为
),( yxfz?
,
也就是
0),(),,( zyxfzyxF
,
且
),( yxfz?
在
),( 00 yx
点可微，则曲面 S 在
),,( 0000 zyxP
点（其中
),( 000 yxfz?
）的切平面方程即为
0)())(,())(,( 0000000
zzyyyx
y
f
xxyx
x
f
。
相应地，曲面 S 在
),,( 000 zyx
点的法线方程为
1
),(),(
0
00
0
00
0
zz
yx
y
f
yy
yx
x
f
xx
。
曲面方程也可表示成参数形式,
),(
),,(
),,(
),,(
vu
vuzz
vuyy
vuxx
D,
其中 D 是 2R 中的区域，它称为 曲面的参数方程 。它也可以表为向量形式
kjir ),(),(),(),( vuzvuyvuxvu
，
),( yx
D 。
以下假设 J ac o b i 矩阵
vu
vu
vu
zz
yy
xx
J
在 D 上恒为满秩。
记 由 上 述 参 数 形 式 表 示 的 曲 面 为
S
,并 设
),,( 0000 zyxP
（
0 0 0 0 0 0(,),(,)x x u v y y u v
，
),( 000 vuzz?
）为
S
上一点。由于矩阵
J
是满秩的，不失一般性，假设
0
),(
),(
),(
00
vu
vu
yx
。那么由隐函数定理（或逆映射定理），可以由
),(
),(
vuyy
vuxx
在某个邻域
)),,(( 00?yxO
上唯一确定逆映射
),(
),(
yxvv
yxuu
（
),( 000 yxuu?
，
),( 000 yxvv?
）。代入
),( vuzz?
，就得到曲面
S
在
0P
附近的显式表示
),()),(),,(( yxfyxvyxuzz
,
且成立
),(
),(
vu
yx
v
y
x
u
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
,
),(
),(
vu
yx
v
x
y
u
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
。
由此得到
,
),(
),(
),(
),(
,
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
xz
y
v
v
z
y
u
u
z
y
f
vu
yx
vu
zy
x
v
v
z
x
u
u
z
x
f
于是 S 在
0P
点的切平面方程为
0)(
),(
),(
)(
),(
),(
)(
),(
),(
0
),(
0
),(
0
),(
000000
zz
vu
yx
yy
vu
xz
xx
vu
zy
vuvuvu；
法线方程为
),(
0
),(
0
),(
0
000000
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vuvuvu
vu
yx
zz
vu
xz
yy
vu
zy
xx
例 1 2,5,3 求曲面
3e xyzz
在点
)0,1,2(
处的切平面与法线方程。
解 曲面方程即为
03e),,( xyzzyxF z
。由于
,,e 1zx y zF y F x F
,
因此曲面在点
)0,1,2(
处的法向量为
)0,2,1())0,1,2(),0,1,2(),0,1,2(( zyx FFFn
,
于是曲面在点
)0,1,2(
处的切平面方程为
0)0(0)1(2)2(1 zyx
，即
042 yx；
法线方程为
.0
,
2
1
1
2
z
yx
例 1 2,5,4 求曲面
uz
vuby
vuax
sh
,s i nch
,c o sch
在
π
(,) 0,
4
uv
所对应的点处的切平面和法线方程。
解 因为
sh c o s,c h si n,
sh si n,c h c o s,
c h,0,
xx
a u v a u v
uv
yy
b u v b u v
uv
zz
u
uv
所以在
π
(,) 0,
4
uv
处,0,,
2
0,,
2
1,0,
x x a
uv
y y b
uv
zz
uv
于是在这点
0
),(
),(
,
2),(
),(
,
2),(
),(
vu
yxa
vu
xzb
vu
zy
。
由于
π
(,) 0,
4
uv
对应于
0,
2
,
2
),,(
ba
zyx
点，因此曲面在这点的切平面方程为
0)0(0
2222
z
b
y
aa
x
b
，即
02 abaybx；
法线方程为
,0
,
2
2
2
2
z
a
b
y
b
a
x
即
.0
,
22
z
a
b
y
b
a
x
例 1 2,5,5 已知曲面?,
2e( π 2)xz f y z
，其中
f
为具有连续导数的一元函数。证明? 为柱面。
证 要证明曲面? 为柱面，只要证? 在任意一点的切平面都平行于一条定直线，即证? 在任意一点的法向量垂直于一个定向量。
曲面? 的方程为
),,( zyxF
=
2e( π 2 ) 0xz f y z
，所以? 在任意一点
),,( zyx
处的法向量为
n
22(,,) 2 e,π ( π 2 ),e 2 ( π 2)x z x zx y zF F F f y z f y z
。
设定向量为
),,( nml?a
，要使
n
与
a
垂直，只要
0 an
。取
πl?
，
22?m
，
2 πn?
,
则
na 222 π e 2 2 π ( π 2 ) 2 π e 2 2 π ( π 2 ) 0x z x zf y z f y z
,
即曲面? 在任意一点的法向量
n
垂直于定向量
( π,2 2,2 π )?a
，因此?
为柱面。
现在引入夹角的概念。两条曲线在交点处的夹角，是指这两条曲线在交点处的切向量之间的夹角。两张曲面在交线上一点的夹角，是指这两张曲面在该点的法向量之间的夹角。如果两张曲面在交线上每一点正交，即夹角为直角，就称这两张曲面正交。
例 1 2,5,6 证明两球面
axzyx 2222
与
byzyx 2222
（
0,?ba
）
是相互正交的。
证 球面
axzyx 2222
在两球面的任一交点
),,( zyx
处的法向量为
),,(1 zyaxn；球面
byzyx 2222
在
),,( zyx
处 的 法 向 量 为
),,(2 zbyxn
。于是，在两球面的任一交点
),,( zyx
处,
,02
2
1
2
2
1
)()(
222222
222
21
byzyxaxzyx
byaxzyxzzbyyxaxnn
因此两球面是正交的。
