到目前为止,我们所学习的只是一元函数的分析性质。但在现实生活中，除了非常简单的情况之外，可以仅用一个自变量和一个因变量的变化关系来刻画的问题可以说是非常少的。比如像物理学中研究质点运动这么一个相对较为容易的问题，也需要用到确定空间位置的三个坐标变量 x,y,z 和一个时间变量 t 以及多个函数值（如位置、
速度、加速度、动量等），更不用说在各种不同的学科研究中会遇到更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系，反映到数学上就是多元函数（或多元函数组，即向量值函数）。
第十一章 Euclid空间上的极限和连续
§ 1 Euclid空间上的基本定理
E u c l id 空间中的距离与极限先回忆一下一元函数的极限定义,
lim
x x? 0
f x( )
= A
0
,
0
,
x
(
00 | |xx
),
| ( ) |f x A
。
从上述定义可知在自变量的变化过程中，只要 x 与 x
0
充分接近（ x
≠ x
0
），函数值 f ( x ) 就可以与 A 任意接近。而这个“接近”，不管是用符号“
||0 0xx
”和“
| ( ) |f x A
”表示，还是用语言“在
x 0
的
去心邻域
00(,) \ { }O x x?
中”和“落在点 A 的
邻域中”表示，实质上都是用绝对值，即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维空间以后，必须将“距离”的概念推广至高维空间，定义出类似于“绝对值”那样的度量概念，然后才能在此基础上去相应地定义极限，进而构筑整个多元分析理论。
记 R 为实数全体，定义 n 个 R 的 D es c art e s 乘积集为
nR RRR? {
|),,,( 21 nxxx? R?ix
，
ni,,2,1
} 。
nR 中的元素 x
),,,( 21 nxxx
称为 向量 或 点,
ix
称为 x 的 第 i 个 坐标 。特别地,nR 中的零元素记为
)0,,0,0(0
。
设 x =
),,,( 21 nxxx?
,y =
),,,( 21 nyyy?
为 nR 中任意两个向量,? 为任意实数，定义 nR 中的加法和数乘运算,
x + y =
),,,,( 2211 nn yxyxyx
x = ),,,(
21 nxxx
,
nR 就成为 向量空间 。
如果在 nR 上引入 内积 运算
＜ x,y ＞
nn yxyxyx2211
=
n
k
kk yx
1
,
那么 nR 就被称为 Euc l i d 空间 。
容易验证内积满足以下性质：设 x,y,z? nR,?,
R,则
( 1 ) （ 正定性 ）＜ x,x ＞≥ 0,而＜ x,x ＞ = 0 当且仅当 x = 0 ；
( 2 ) （ 对称性 ）＜ x,y ＞ = ＜ y,x ＞；
(3 ) （ 线性性 ）＜? x +
y,z ＞ =? ＜ x,z ＞ +
＜ y,z ＞；
(4 ) （ Sch w a rz 不等式 ）＜ x,y ＞
2
≤ ＜ x,x ＞＜ y,y ＞ 。
我们仅证明 (4 ) 。由 ( 1 ) — (3 ) 可以得到
＜? x + y,? x + y ＞ =?
2
＜ x,x ＞ + 2? ＜ x,y ＞ + ＜ y,y ＞ ≥ 0
对任意 R 都成立，所以其判别式不大于零，即
4 ＜ x,y ＞
2
- 4 ＜ x,x ＞＜ y,y ＞≤ 0 。
这就得到了 Schw a r z 不等式。
如果在 nR 上引入 内积 运算
＜ x,y ＞
nn yxyxyx2211
=
n
k
kk yx
1
,
那么 nR 就被称为 Euc l i d 空间 。
容易验证内积满足以下性质：设 x,y,z? nR,?,
R,则
( 1 ) （ 正定性 ）＜ x,x ＞≥ 0,而＜ x,x ＞ = 0 当且仅当 x = 0 ；
( 2 ) （ 对称性 ）＜ x,y ＞ = ＜ y,x ＞；
(3 ) （ 线性性 ）＜? x +
y,z ＞ =? ＜ x,z ＞ +
＜ y,z ＞；
(4 ) （ Sch w a rz 不等式 ）＜ x,y ＞
2
≤ ＜ x,x ＞＜ y,y ＞ 。
平面解析几何中两点 x =
),( 21 xx
,y =
),( 21 yy
间的距离公式
2
22
2
11 )()( yxyx
启示我们可以按照这样的方式，在 nR 上定义“距离”,
定义 11,1,1 E u cl i d 空间 nR 中 任意两点 x =
),,,( 21 nxxx?
和 y
=
),,,( 21 nyyy?
间 的距离定义为
| x – y | =
22
22
2
11 )()()( nn yxyxyx
,
并称
x
=
xx,
=
n
k
k
x
1
2
为 x 的 Euc l i d 范数（ 简称 范数 ）。
显然,x 的范数
x
就是 x 到 0 的距离（即 x 的模长）。
定理 11,1,1 距离满足以下性质,
( 1 ) （ 正定性 ） | x – y | ≥ 0,而 | x – y | = 0 当且仅当 x = y ；
( 2 ) （ 对称性 ） | x – y | = | y – x | ；
( 3 ) （ 三角不等式 ） | x – z | ≤ | x – y | + | y – z | 。
证明略。
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。
定义 11,1,2 设 a =
),,,( 21 naaa?
nR?,0,则点集
}{),( axxa nO R
2222211 )()()( nnn axaxax?Rx
称为点 a 的? 邻域,a 称为这个邻域的中心,? 称为邻域的半径 。
特别地，
),(?aO
在 R 上就是开区间，在 2R 上是开圆盘，在 3R 上则是开球。
定义 11,1,3 设
}{ kx
是 nR 中的一个点列 。 若存在点 a nR?,对于任意给定的 0,存在正整数 K,使得 当 Kk? 时，成立
ax k
（ 即
),(?ax Ok?
）,
则称点列
}{ kx
收敛,或点列
}{ kx
收敛于 a,也称 a 为点列
}{ kx
的 极限 。
记为
k
l i m
x k = a 。
一个点列不收敛就称其 发散 。
记 ),2,1(),,,(
21 kxxx knkkkx
,a = ),,,(
21 naaa?
，利用不等式
jkj ax?
≤
2
1
| | ( )
n
k
k i i
i
xa
xa
≤
njax
n
i
i
k,,2,1,||
1
可以得到定理 11,1,2
kl i m
x k = a 的充分必要条件是
),,2,1(lim niax ikik
。
定义 11,1,3 设
}{ kx
是 nR 中的一个点列 。 若存在点 a nR?,对于任意给定的 0,存在正整数 K,使得 当 Kk? 时，成立
ax k
（ 即
),(?ax Ok?
）,
则称点列
}{ kx
收敛,或点列
}{ kx
收敛于 a,也称 a 为点列
}{ kx
的 极限 。
记为
k
l i m
x k = a 。
一个点列不收敛就称其 发散 。
我们已知 R 中收敛数列的一些性质，如极限的唯一性、收敛数列的有界性、保序性、夹逼性以及四则运算法则等等，由于在高维空间中两个点之间不存在大小关系，因此保序性和夹逼性这两个与比较大小有关的性质已不再有意义了。
由于有界性牵涉的是点的模长，因此对高维空间中点集的有界性有如下的定义,
定义 11,1,4 设 S 是 nR 上的点集 。 若存在正数 M,使得对于任意 x? S,成立
| | x | | ≤ M,
（或等价地，存在正数 M ' 使得
(,')OM? 0S
） 则称点集 S 有界,或称
S 为 有界集 。
可以证明唯一性定理（即 收敛点列 { x k } 的极限是唯一的 ）,有界性定理（即 收敛点列 { x k } 必定有界 ） 和极限的线性运算法则在高维情况下依然成立。
开集与闭集在一维的情况，开区间和闭区间是有本质差别的。闭区间上的许多重要结果，如闭区间套定理、连续函数的若干性质，在开区间是不成立的。因此有理由相应地对高维空间的点集作类似划分。
设 S 是 nR 上的点集，它在 nR 上的补集
\nR S
记为 c
S
。对于任意
x? nR,从其邻域 与 S 的关系来分，无非是下列三种情况之一,
（ 1 ）存在 x 的一个
邻域
),(?xO
完全落在 S 中（注意：这时 x 必属于 S ），这时称 x 是 S 的 内点 。 S 的内点全体称为 S 的 内部,记为 o
S
。
（ 2 ）存在 x 的一个
邻域
),(?xO
完全不落在 S 中，这时称 x 是 S
的 外点 。
（ 3 ）不存在 x 的具有上述性质的
邻域，即 x 的任意
邻域既包含 S 中的点，又包含不属于 S 的点，那么就称 x 是 S 的 边界点 。 S
的边界点的全体称为 S 的 边界,记为
S 。
内点边界点外点图 11,1,1
要注意的是，内点必属于 S,外点必不属于 S（或者说必属于 cS ）,
但边界点可能属于 S,也可能不属于 S 。
若存在 x 的一个邻域，其中只有 x 点属于 S,则称 x 是 S 的 孤立点 。显然，孤立点必是边界点。
若 x 的任意邻域都含有 S 中的无限个点，则称 x 是 S 的 聚点 。 S
的聚点的全体记为 S ' 。显然,S 的内点必是 S 的聚点； S 的边界点，
只要不是 S 的孤立点，也必是 S 的聚点。因此 S 的聚点可能属于 S,
也可能不属于 S 。例如在 R 中,0 是点集
,2,11 n
n
的聚点，但它不属于这个点集。
定理 1 1,1,3 x 是点集 S （ nR? ） 的聚点的充分必要条件是,
存在点列 { x k } 满足?kx S,kx ≠ x （?,2,1?k ）,使得
kl i m kx
= x 。
证明略。
定义 11,1,5 设 S 是 nR 上的点集。若 S 中的每一个点都是它的内点,则称 S 为 开集 ； 若 S 中包含了它的所有的聚点,则称 S 为 闭集 。
S 与它的聚点全体 S ' 的并集称为 S 的 闭包,记为 S 。
定理 1 1,1,3 x 是点集 S （ nR? ） 的聚点的充分必要条件是,
存在点列 { x k } 满足?kx S,kx ≠ x （?,2,1?k ）,使得
kl i m kx
= x 。
证明略。
例 11,1,1 在 2R 上，设
S = |),{( yx 1 ≤ }422 yx,
那么
S
ｏ
=
}41),{( 22 yxyx；
S = }4),{(}1),{( 2222 yxyxyxyx?；
S ' = 1|),{( yx ≤ 22 yx? ≤ }4 = S 。
例 1 1,1,2 邻域是开集。
证 设邻域为 ),( rO a,q 为 ),( rO a 上的任一点，则
r aq
。因此存在正数 h 使得
hr aq
。
于是，对任意 ),( hO qx?,成立不等式
ax?
≤
qx?
+
r aq
,
因此 x? ),( rO a,即 q 是 ),( rO a 的内点，由定义,),( rO a 是开集。
例 11,1,1 在 2R 上，设
S = |),{( yx 1 ≤ }422 yx,
那么
S
ｏ
=
}41),{( 22 yxyx；
S = }4),{(}1),{( 2222 yxyxyxyx?；
S ' = 1|),{( yx ≤ 22 yx? ≤ }4 = S 。
集合 },,2,1,{ nibxa
iiin Rx
和
})(|{ 2
1
2 rax
n
i
ii
n
Rx
都是开集，它们分别称为 n 维开矩形 和 n 维开球 ；集合 |{ nR?x
ia
≤
ix
≤
ib
,?i
},,2,1 n? 和?
n
i
ii
n ax
1
2)(|{ Rx
≤ }2r 都是闭集，它们分别称为 n 维闭矩形 和 n 维闭球 。
定理 1 1,1,4 nR 上的点集 S 为闭集的充分必要条件是 cS 是开集 。
证 必要性,若 S 为闭集,由于 S 的一切聚点都属于 S,因此，
对于任意 c?xS,x 不是 S 的聚点。也就是说，存在 x 的邻域
),(?xO
，
使得
(,)OxS
,即
(,) cOxS
。因此 cS 是开集。
充分性：对任意 c?xS,由于 cS 是开集，因此存在 x 的邻域
),(?xO
，
使得
(,) cOxS
，即 x 不是 S 的聚点。所以如果 S 有聚点，它就一定属于 S 。
由此得到,nR 上的点集 S 为开集的充分必要条件是 cS 是闭集 。
引理 11,1,1 （ D e M o r g a n 公式） 设 {}
S
是 nR 中的一组（有限或无限多个）子集，则
( 1 ) ;
( 2 ),
c
c
c
c
SS
SS
定理 1 1,1,5
（ 1 ） 任意一组开集
{}?S
的并集
S
是开集；
（ 2 ）任意一组闭集
{}?T
的交集
T
是闭集；
（ 3 ）任意有限个开集
12,,,kS S S
的交集
1
k
i
i?
S
是开集；
（ 4 ）任意有限个闭集
12,,,kT T T
的并集
1
k
i
i?
T
是闭集。
引理 11,1,1 （ D e Mo r gan 公式） 设 {}
S
是 nR 中的一组（有限或无限多个）子集，则
( 1 ) ;
( 2 ),
c
c
c
c
SS
SS
证 （ 1 ）设
xS
，那么存在某个?,使得
xS
。而
S
是开集，
因此 x 就是
S
的内点，所以也是
S
的内点，这说明
S
是开集。
（ 2 ）由 D e Mo r g a n 公式可得
c
c
TT
。
T
是闭集，从而
c
T
是开集。由（ 1 ）知
c
T
是开集，这说明了
T
的补集是开集，因此它是闭集。
（ 3 ）设
1
k
i
i?
xS
，则对每个
ki,,2,1
都有
i?xS
。由于
iS
是开集，因此存在 x 的邻域
),( irO x
，使得
(,)iiOr?xS
。取
)(m i n
1 iki
rr
，那么
),( rO x
1
k
i
i?
S
，即 x 是
1
k
i
i?
S
的内点，因此
1
k
i
i?
S
是开集。
（ 4 ）利用 D e M o r g an 公式和（ 3 ）的结论就可以得出。
请举例说明 任意个开集的交集不一定仍是开集；任意个闭集的并集不一定仍是闭集。
Eucl i d 空间上的基本定理下面主要以二维的情况为例，将实数理论中的一些重要结果推广到高维去。
定理 1 1,1,6 ( 闭矩形套定理 ) 设
],[],[}{ kkkkk dcba
，
,2,1?k
是 2R 上 一列 闭矩形 。 如果
（ 1 ）
kk 1
,即
ka
≤
11 kk ba
≤
kk cb,
≤
11 kk dc
≤
kd
，
,2,1?k；
（ 2 ）
)(0)()( 22 kcdab kkkk
。
则存在唯一的点
),(a
属于
1i
k
,且
k
l i m
a
k
=
k
l i m
b
k
=
,
k
l i m
c
k
=
k
l i m
d
k
=
。
只要分别对
]},{[ kk ba
和
]},{[ kk dc
运用闭区间套定理就可以证明。
定理中的“闭”（闭集）和“套”（依次包含）是本质的，而集合
k?
是否是闭矩形则无关紧要。读者还不难证明如下更一般的结论,
定理 1 1,1,6 ' （ C a n to r 闭区域套定理） 设 { S k } 是 nR 上的非空闭集序列,满足
S 1? S 2 S k? S k + 1,
以及
k
l i m
d i am S k = 0,则存在唯一点属于
1
k
k
S
。
这里 d i am S = s up { | x – y | | x,y? S },它称为 S 的 直径 。
例 1 1,1,3 证明：三角形的中线交于一点。
A
1C
2A
1B
2B
2C
B
1A
C
图 11,1,2
证 我们将以 A,B 和 C 为顶点的，加上边界的三角形记为
A B C? （如图 11,1,2 ），它是闭集。
显然 A B C? 的三条中线
11,BBAA
和
1CC
包含在 A B C? 中，因此它们的两两交点也包含在 A B C? 中，且
111 CBA? A B C
。
例 1 1,1,6 证明：三角形的中线交于一点。
A
1C
2A
1B
2B
2C
B
1A
C
图 11,1,2
注意三条中线
11,BBAA
和
1CC
上各有一段
2121,BBAA
和
21 CC
成为
111 CBA?
的三条中线,所以
A B C?
的三条中线的两两交点也就是
111 CBA?
的三条中线的两两交点，且交点也包含在
111 CBA?
中，同时又有
222 CBA? 111 CBA
。
如此做下去的话，就得到三角形组成的闭集序列
A B C
111 CBA 222 CBA
,
显然它们满足
0d i a mlim
kkkk
CBA
,
因此存在唯一的公共点
O
属于所有这些三角形。
因为三角形
A B C?
的的三条中线的两两交点始终包含在每一个三角形内，所以三条中线必定交于一点，而 O 点就是它们的交点。
定理 1 1,1,7 （ B o l z a no - W ei ers t ra s s 定理 ） nR 上的有界点列 { x k }
中必有收敛子列 。
以 二维的情况为例，只要先对 { x k } = { ( x k,y k ) } 的第一个分量 { x k }
用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
knx；再对数列
kny 用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
mkn
y
,则
),(
mkmk nn
yx
就是 { x k } 的收敛子列。
推论 1 1,1,1 nR 上的有界无限点集至少有一个聚点 。
定义 11,1,6 若 nR 上的点列 { x k } 满足：对于任意给定的 0,
存在正整数 K,使得对任意 Klk?,,成立
|| kl xx,
则称 { x k } 为 基本点列 （ 或 C a uch y 点 列 ）。
定理 1 1,1,7 （ B o l z a no - W ei ers t ra s s 定理 ） nR 上的有界点列 { x k }
中必有收敛子列 。
以 二维的情况为例，只要先对 { x k } = { ( x k,y k ) } 的第一个分量 { x k }
用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
knx；再对数列
kny 用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
mkn
y
,则
),(
mkmk nn
yx
就是 { x k } 的收敛子列。
推论 1 1,1,1 nR 上的有界无限点集至少有一个聚点 。
定理 11.1,8 （ Cau c h y 收敛原理） nR 上的点列 { x
k
} 收敛的充分必要条件是,{ x
k
} 为基本点列 。
证 设 { x
k
} 收敛于 a,那么对于任意给定的
0
，存在正整数 K,
使得当
Kk?
时，成立
2
k
xa
。
因此当
Klk?,
时，由三角不等式得
|| kl xx?
≤
ax l kxa
,
即 { x
k
} 为基本点列。
若 { x
k
} 为基本点列，记
12(,,,) ( 1,2,)
k k k
kn x x x kx
，则由不等式
|| kili xx?
≤
),,2,1(|| nikl xx
,
可知对每一个固定的
ni,,2,1
，数列
}{ kix
是基本数列，因此收 敛。再由定理 1 1,1,2 即知点列
}{ kx
收敛。
注 第二章中给出的从实数的连续性到实数的完备性的 5 个等价定理中，除了“确界存在定理”和“单调有界数列收敛定理”由于涉及到点之间的大小关系而在高维空间中不再有意义之外，其余的结论在高维空间依然成立。
紧集定义 1 1,1,7 设 S 为 nR 上的点集 。 如果 nR 中的一组开集 {
U
} 满足
U
S,那么称
{}?U
为 S 的一个 开覆盖 。
如果 S 的任意一个开覆盖
{}?U
中总存在一个有限子覆盖,即存在
{}?U
中的有限个开集 {
i?U
p
i 1}?
，满足
1
i
p
i
US
,则称 S 为 紧集 。
定理 1 1.1,9 （ H e in e - B o r e l 定理） nR 上的点集 S 是紧集的充分必要条件为,它是有界闭集 。
证 只证明 2?n 的情形。
必要性：设 S 为紧集，先证它是有界的。显然，
2{ (,1 ) | }O Rx x S
是 S 的一个开覆盖，因为 S 是紧集，因此存在 S 的有限子覆盖，即存在
pxxx,,,21?
，使得 S
p
i
iO
1
)1,(
x
。这就说明了 S 是有界集。
再用反证法证明 S 是闭集。设存在 S 的聚点 a? S,构造开集
nU
=
n
1
||| axx
,
则
1
n
n
U
= R
2
\ { a }? S,即 {
nU
} 是 S 的一个开覆盖。
由聚点定义，存在由无穷多个点组成的点列 { x k },x k? S,x k? a,
满足
k
l i m
x k = a 。由于对任意一个固定的 m,
mU
中至多含有 { x k } 中有限个点（请读者想一下为什么），因此在 {
nU
} 中不存在 S 的有限子覆盖，
这就与 S 是紧集产生了矛盾 。 所以 S 是闭集。
充分性：用反证法。假设 S 是有界闭集，但不是紧的，那么存在
S 的一个开覆盖 {
U
},它不包含 S 的有限子覆盖。
由于 S 为有界点集，那么它必包含在某个 2 维闭正方形
1I
中。将
1I
分成 4 个全等的闭正方形
11I
，
12I
，
13I
，
14I
，那么 至少有一个
1 kI
（ 1 ≤ k
≤ 4 ）,使得
1 kI
S
不能被 {
U
} 中的有限个元素所覆盖，取其为
2I
。
同样将
2I
分成 4 个全等的闭正方形
21I
，
22I
，
23I
，
24I
，也至少有一个
2 kI
（ 1 ≤ k ≤ 4 ）,使得
2 kI
S
不能被 {
U
} 中的有限个元素所覆盖，
取其为
3I
。
如此下去就得到一列正方形
1I
2I
3I
,
满足
（ 1 ）闭集
lI
S
（
,3,2,1?l
）不能被 {
U
} 中的有限个元素所覆盖；
（ 2 ）
d ia mlim
l
(
lI
S
) = 0 。
由定理 1 1,1,6 '，存在唯一的一点
),(a
1
)
l
l
( IS
。
任取包含点 a 的开集
*U
{
U
},显然只要适当选择 r,就有
),( rO a? *U
。又由于
d ia mlim
l
(
lI
S
) = 0,则当 l 充分大时就成立
lI
S? ),( rO a?
*U
。这就 导出了矛盾。
定理 1 1,1,10 设 S 是 nR 上的点集,那么以下三个命题等价,
（ 1 ） S 是有界闭集 ；
（ 2 ） S 是紧集 ；
（ 3 ） S 的任一无限子集在 S 中必有聚点 。
证 （ 1 ）与（ 2 ）的等价性就是定理 1 1,1,9 。
（ 1 ）? （ 3 ）：设 S 是有界闭集。由推论 1 1,1,1 即知 S 的无限子集必有聚点，而 S 是闭集，因此这个聚点必属于 S 。
（ 3 ）? （ 1 ）：若 S 的任一无限子集在 S 中都有聚点，则显然 S
中的任一收敛点列 { x
k
} 的极限必属于 S,因此 S 含有它的全部聚点，
即 S 是闭集。
若此时 S 无界,那么在 S 中存在点列 { x
k
},满足
|| x
k
| |
,2,1, kk
。
显然 { x
k
} 是无限集，且在 nR 中（因而在 S 中）没有聚点。这个矛盾表明 S 是有界的。
注 Ca n t o r 闭区域套定理,B o l za n o - W ei er s t r as s 定理,Ca u ch y 收敛原理和 H e i n e - Bo r el 定理称为 E u c l i d 空间上的基本定理，它们是相互等价的。
速度、加速度、动量等），更不用说在各种不同的学科研究中会遇到更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系，反映到数学上就是多元函数（或多元函数组，即向量值函数）。
第十一章 Euclid空间上的极限和连续
§ 1 Euclid空间上的基本定理
E u c l id 空间中的距离与极限先回忆一下一元函数的极限定义,
lim
x x? 0
f x( )
= A
0
,
0
,
x
(
00 | |xx
),
| ( ) |f x A
。
从上述定义可知在自变量的变化过程中，只要 x 与 x
0
充分接近（ x
≠ x
0
），函数值 f ( x ) 就可以与 A 任意接近。而这个“接近”，不管是用符号“
||0 0xx
”和“
| ( ) |f x A
”表示，还是用语言“在
x 0
的
去心邻域
00(,) \ { }O x x?
中”和“落在点 A 的
邻域中”表示，实质上都是用绝对值，即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维空间以后，必须将“距离”的概念推广至高维空间，定义出类似于“绝对值”那样的度量概念，然后才能在此基础上去相应地定义极限，进而构筑整个多元分析理论。
记 R 为实数全体，定义 n 个 R 的 D es c art e s 乘积集为
nR RRR? {
|),,,( 21 nxxx? R?ix
，
ni,,2,1
} 。
nR 中的元素 x
),,,( 21 nxxx
称为 向量 或 点,
ix
称为 x 的 第 i 个 坐标 。特别地,nR 中的零元素记为
)0,,0,0(0
。
设 x =
),,,( 21 nxxx?
,y =
),,,( 21 nyyy?
为 nR 中任意两个向量,? 为任意实数，定义 nR 中的加法和数乘运算,
x + y =
),,,,( 2211 nn yxyxyx
x = ),,,(
21 nxxx
,
nR 就成为 向量空间 。
如果在 nR 上引入 内积 运算
＜ x,y ＞
nn yxyxyx2211
=
n
k
kk yx
1
,
那么 nR 就被称为 Euc l i d 空间 。
容易验证内积满足以下性质：设 x,y,z? nR,?,
R,则
( 1 ) （ 正定性 ）＜ x,x ＞≥ 0,而＜ x,x ＞ = 0 当且仅当 x = 0 ；
( 2 ) （ 对称性 ）＜ x,y ＞ = ＜ y,x ＞；
(3 ) （ 线性性 ）＜? x +
y,z ＞ =? ＜ x,z ＞ +
＜ y,z ＞；
(4 ) （ Sch w a rz 不等式 ）＜ x,y ＞
2
≤ ＜ x,x ＞＜ y,y ＞ 。
我们仅证明 (4 ) 。由 ( 1 ) — (3 ) 可以得到
＜? x + y,? x + y ＞ =?
2
＜ x,x ＞ + 2? ＜ x,y ＞ + ＜ y,y ＞ ≥ 0
对任意 R 都成立，所以其判别式不大于零，即
4 ＜ x,y ＞
2
- 4 ＜ x,x ＞＜ y,y ＞≤ 0 。
这就得到了 Schw a r z 不等式。
如果在 nR 上引入 内积 运算
＜ x,y ＞
nn yxyxyx2211
=
n
k
kk yx
1
,
那么 nR 就被称为 Euc l i d 空间 。
容易验证内积满足以下性质：设 x,y,z? nR,?,
R,则
( 1 ) （ 正定性 ）＜ x,x ＞≥ 0,而＜ x,x ＞ = 0 当且仅当 x = 0 ；
( 2 ) （ 对称性 ）＜ x,y ＞ = ＜ y,x ＞；
(3 ) （ 线性性 ）＜? x +
y,z ＞ =? ＜ x,z ＞ +
＜ y,z ＞；
(4 ) （ Sch w a rz 不等式 ）＜ x,y ＞
2
≤ ＜ x,x ＞＜ y,y ＞ 。
平面解析几何中两点 x =
),( 21 xx
,y =
),( 21 yy
间的距离公式
2
22
2
11 )()( yxyx
启示我们可以按照这样的方式，在 nR 上定义“距离”,
定义 11,1,1 E u cl i d 空间 nR 中 任意两点 x =
),,,( 21 nxxx?
和 y
=
),,,( 21 nyyy?
间 的距离定义为
| x – y | =
22
22
2
11 )()()( nn yxyxyx
,
并称
x
=
xx,
=
n
k
k
x
1
2
为 x 的 Euc l i d 范数（ 简称 范数 ）。
显然,x 的范数
x
就是 x 到 0 的距离（即 x 的模长）。
定理 11,1,1 距离满足以下性质,
( 1 ) （ 正定性 ） | x – y | ≥ 0,而 | x – y | = 0 当且仅当 x = y ；
( 2 ) （ 对称性 ） | x – y | = | y – x | ；
( 3 ) （ 三角不等式 ） | x – z | ≤ | x – y | + | y – z | 。
证明略。
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。
定义 11,1,2 设 a =
),,,( 21 naaa?
nR?,0,则点集
}{),( axxa nO R
2222211 )()()( nnn axaxax?Rx
称为点 a 的? 邻域,a 称为这个邻域的中心,? 称为邻域的半径 。
特别地，
),(?aO
在 R 上就是开区间，在 2R 上是开圆盘，在 3R 上则是开球。
定义 11,1,3 设
}{ kx
是 nR 中的一个点列 。 若存在点 a nR?,对于任意给定的 0,存在正整数 K,使得 当 Kk? 时，成立
ax k
（ 即
),(?ax Ok?
）,
则称点列
}{ kx
收敛,或点列
}{ kx
收敛于 a,也称 a 为点列
}{ kx
的 极限 。
记为
k
l i m
x k = a 。
一个点列不收敛就称其 发散 。
记 ),2,1(),,,(
21 kxxx knkkkx
,a = ),,,(
21 naaa?
，利用不等式
jkj ax?
≤
2
1
| | ( )
n
k
k i i
i
xa
xa
≤
njax
n
i
i
k,,2,1,||
1
可以得到定理 11,1,2
kl i m
x k = a 的充分必要条件是
),,2,1(lim niax ikik
。
定义 11,1,3 设
}{ kx
是 nR 中的一个点列 。 若存在点 a nR?,对于任意给定的 0,存在正整数 K,使得 当 Kk? 时，成立
ax k
（ 即
),(?ax Ok?
）,
则称点列
}{ kx
收敛,或点列
}{ kx
收敛于 a,也称 a 为点列
}{ kx
的 极限 。
记为
k
l i m
x k = a 。
一个点列不收敛就称其 发散 。
我们已知 R 中收敛数列的一些性质，如极限的唯一性、收敛数列的有界性、保序性、夹逼性以及四则运算法则等等，由于在高维空间中两个点之间不存在大小关系，因此保序性和夹逼性这两个与比较大小有关的性质已不再有意义了。
由于有界性牵涉的是点的模长，因此对高维空间中点集的有界性有如下的定义,
定义 11,1,4 设 S 是 nR 上的点集 。 若存在正数 M,使得对于任意 x? S,成立
| | x | | ≤ M,
（或等价地，存在正数 M ' 使得
(,')OM? 0S
） 则称点集 S 有界,或称
S 为 有界集 。
可以证明唯一性定理（即 收敛点列 { x k } 的极限是唯一的 ）,有界性定理（即 收敛点列 { x k } 必定有界 ） 和极限的线性运算法则在高维情况下依然成立。
开集与闭集在一维的情况，开区间和闭区间是有本质差别的。闭区间上的许多重要结果，如闭区间套定理、连续函数的若干性质，在开区间是不成立的。因此有理由相应地对高维空间的点集作类似划分。
设 S 是 nR 上的点集，它在 nR 上的补集
\nR S
记为 c
S
。对于任意
x? nR,从其邻域 与 S 的关系来分，无非是下列三种情况之一,
（ 1 ）存在 x 的一个
邻域
),(?xO
完全落在 S 中（注意：这时 x 必属于 S ），这时称 x 是 S 的 内点 。 S 的内点全体称为 S 的 内部,记为 o
S
。
（ 2 ）存在 x 的一个
邻域
),(?xO
完全不落在 S 中，这时称 x 是 S
的 外点 。
（ 3 ）不存在 x 的具有上述性质的
邻域，即 x 的任意
邻域既包含 S 中的点，又包含不属于 S 的点，那么就称 x 是 S 的 边界点 。 S
的边界点的全体称为 S 的 边界,记为
S 。
内点边界点外点图 11,1,1
要注意的是，内点必属于 S,外点必不属于 S（或者说必属于 cS ）,
但边界点可能属于 S,也可能不属于 S 。
若存在 x 的一个邻域，其中只有 x 点属于 S,则称 x 是 S 的 孤立点 。显然，孤立点必是边界点。
若 x 的任意邻域都含有 S 中的无限个点，则称 x 是 S 的 聚点 。 S
的聚点的全体记为 S ' 。显然,S 的内点必是 S 的聚点； S 的边界点，
只要不是 S 的孤立点，也必是 S 的聚点。因此 S 的聚点可能属于 S,
也可能不属于 S 。例如在 R 中,0 是点集
,2,11 n
n
的聚点，但它不属于这个点集。
定理 1 1,1,3 x 是点集 S （ nR? ） 的聚点的充分必要条件是,
存在点列 { x k } 满足?kx S,kx ≠ x （?,2,1?k ）,使得
kl i m kx
= x 。
证明略。
定义 11,1,5 设 S 是 nR 上的点集。若 S 中的每一个点都是它的内点,则称 S 为 开集 ； 若 S 中包含了它的所有的聚点,则称 S 为 闭集 。
S 与它的聚点全体 S ' 的并集称为 S 的 闭包,记为 S 。
定理 1 1,1,3 x 是点集 S （ nR? ） 的聚点的充分必要条件是,
存在点列 { x k } 满足?kx S,kx ≠ x （?,2,1?k ）,使得
kl i m kx
= x 。
证明略。
例 11,1,1 在 2R 上，设
S = |),{( yx 1 ≤ }422 yx,
那么
S
ｏ
=
}41),{( 22 yxyx；
S = }4),{(}1),{( 2222 yxyxyxyx?；
S ' = 1|),{( yx ≤ 22 yx? ≤ }4 = S 。
例 1 1,1,2 邻域是开集。
证 设邻域为 ),( rO a,q 为 ),( rO a 上的任一点，则
r aq
。因此存在正数 h 使得
hr aq
。
于是，对任意 ),( hO qx?,成立不等式
ax?
≤
qx?
+
r aq
,
因此 x? ),( rO a,即 q 是 ),( rO a 的内点，由定义,),( rO a 是开集。
例 11,1,1 在 2R 上，设
S = |),{( yx 1 ≤ }422 yx,
那么
S
ｏ
=
}41),{( 22 yxyx；
S = }4),{(}1),{( 2222 yxyxyxyx?；
S ' = 1|),{( yx ≤ 22 yx? ≤ }4 = S 。
集合 },,2,1,{ nibxa
iiin Rx
和
})(|{ 2
1
2 rax
n
i
ii
n
Rx
都是开集，它们分别称为 n 维开矩形 和 n 维开球 ；集合 |{ nR?x
ia
≤
ix
≤
ib
,?i
},,2,1 n? 和?
n
i
ii
n ax
1
2)(|{ Rx
≤ }2r 都是闭集，它们分别称为 n 维闭矩形 和 n 维闭球 。
定理 1 1,1,4 nR 上的点集 S 为闭集的充分必要条件是 cS 是开集 。
证 必要性,若 S 为闭集,由于 S 的一切聚点都属于 S,因此，
对于任意 c?xS,x 不是 S 的聚点。也就是说，存在 x 的邻域
),(?xO
，
使得
(,)OxS
,即
(,) cOxS
。因此 cS 是开集。
充分性：对任意 c?xS,由于 cS 是开集，因此存在 x 的邻域
),(?xO
，
使得
(,) cOxS
，即 x 不是 S 的聚点。所以如果 S 有聚点，它就一定属于 S 。
由此得到,nR 上的点集 S 为开集的充分必要条件是 cS 是闭集 。
引理 11,1,1 （ D e M o r g a n 公式） 设 {}
S
是 nR 中的一组（有限或无限多个）子集，则
( 1 ) ;
( 2 ),
c
c
c
c
SS
SS
定理 1 1,1,5
（ 1 ） 任意一组开集
{}?S
的并集
S
是开集；
（ 2 ）任意一组闭集
{}?T
的交集
T
是闭集；
（ 3 ）任意有限个开集
12,,,kS S S
的交集
1
k
i
i?
S
是开集；
（ 4 ）任意有限个闭集
12,,,kT T T
的并集
1
k
i
i?
T
是闭集。
引理 11,1,1 （ D e Mo r gan 公式） 设 {}
S
是 nR 中的一组（有限或无限多个）子集，则
( 1 ) ;
( 2 ),
c
c
c
c
SS
SS
证 （ 1 ）设
xS
，那么存在某个?,使得
xS
。而
S
是开集，
因此 x 就是
S
的内点，所以也是
S
的内点，这说明
S
是开集。
（ 2 ）由 D e Mo r g a n 公式可得
c
c
TT
。
T
是闭集，从而
c
T
是开集。由（ 1 ）知
c
T
是开集，这说明了
T
的补集是开集，因此它是闭集。
（ 3 ）设
1
k
i
i?
xS
，则对每个
ki,,2,1
都有
i?xS
。由于
iS
是开集，因此存在 x 的邻域
),( irO x
，使得
(,)iiOr?xS
。取
)(m i n
1 iki
rr
，那么
),( rO x
1
k
i
i?
S
，即 x 是
1
k
i
i?
S
的内点，因此
1
k
i
i?
S
是开集。
（ 4 ）利用 D e M o r g an 公式和（ 3 ）的结论就可以得出。
请举例说明 任意个开集的交集不一定仍是开集；任意个闭集的并集不一定仍是闭集。
Eucl i d 空间上的基本定理下面主要以二维的情况为例，将实数理论中的一些重要结果推广到高维去。
定理 1 1,1,6 ( 闭矩形套定理 ) 设
],[],[}{ kkkkk dcba
，
,2,1?k
是 2R 上 一列 闭矩形 。 如果
（ 1 ）
kk 1
,即
ka
≤
11 kk ba
≤
kk cb,
≤
11 kk dc
≤
kd
，
,2,1?k；
（ 2 ）
)(0)()( 22 kcdab kkkk
。
则存在唯一的点
),(a
属于
1i
k
,且
k
l i m
a
k
=
k
l i m
b
k
=
,
k
l i m
c
k
=
k
l i m
d
k
=
。
只要分别对
]},{[ kk ba
和
]},{[ kk dc
运用闭区间套定理就可以证明。
定理中的“闭”（闭集）和“套”（依次包含）是本质的，而集合
k?
是否是闭矩形则无关紧要。读者还不难证明如下更一般的结论,
定理 1 1,1,6 ' （ C a n to r 闭区域套定理） 设 { S k } 是 nR 上的非空闭集序列,满足
S 1? S 2 S k? S k + 1,
以及
k
l i m
d i am S k = 0,则存在唯一点属于
1
k
k
S
。
这里 d i am S = s up { | x – y | | x,y? S },它称为 S 的 直径 。
例 1 1,1,3 证明：三角形的中线交于一点。
A
1C
2A
1B
2B
2C
B
1A
C
图 11,1,2
证 我们将以 A,B 和 C 为顶点的，加上边界的三角形记为
A B C? （如图 11,1,2 ），它是闭集。
显然 A B C? 的三条中线
11,BBAA
和
1CC
包含在 A B C? 中，因此它们的两两交点也包含在 A B C? 中，且
111 CBA? A B C
。
例 1 1,1,6 证明：三角形的中线交于一点。
A
1C
2A
1B
2B
2C
B
1A
C
图 11,1,2
注意三条中线
11,BBAA
和
1CC
上各有一段
2121,BBAA
和
21 CC
成为
111 CBA?
的三条中线,所以
A B C?
的三条中线的两两交点也就是
111 CBA?
的三条中线的两两交点，且交点也包含在
111 CBA?
中，同时又有
222 CBA? 111 CBA
。
如此做下去的话，就得到三角形组成的闭集序列
A B C
111 CBA 222 CBA
,
显然它们满足
0d i a mlim
kkkk
CBA
,
因此存在唯一的公共点
O
属于所有这些三角形。
因为三角形
A B C?
的的三条中线的两两交点始终包含在每一个三角形内，所以三条中线必定交于一点，而 O 点就是它们的交点。
定理 1 1,1,7 （ B o l z a no - W ei ers t ra s s 定理 ） nR 上的有界点列 { x k }
中必有收敛子列 。
以 二维的情况为例，只要先对 { x k } = { ( x k,y k ) } 的第一个分量 { x k }
用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
knx；再对数列
kny 用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
mkn
y
,则
),(
mkmk nn
yx
就是 { x k } 的收敛子列。
推论 1 1,1,1 nR 上的有界无限点集至少有一个聚点 。
定义 11,1,6 若 nR 上的点列 { x k } 满足：对于任意给定的 0,
存在正整数 K,使得对任意 Klk?,,成立
|| kl xx,
则称 { x k } 为 基本点列 （ 或 C a uch y 点 列 ）。
定理 1 1,1,7 （ B o l z a no - W ei ers t ra s s 定理 ） nR 上的有界点列 { x k }
中必有收敛子列 。
以 二维的情况为例，只要先对 { x k } = { ( x k,y k ) } 的第一个分量 { x k }
用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
knx；再对数列
kny 用一维的 B o l za n o - W ei ers t ras s 定理，找到其 收敛子列
mkn
y
,则
),(
mkmk nn
yx
就是 { x k } 的收敛子列。
推论 1 1,1,1 nR 上的有界无限点集至少有一个聚点 。
定理 11.1,8 （ Cau c h y 收敛原理） nR 上的点列 { x
k
} 收敛的充分必要条件是,{ x
k
} 为基本点列 。
证 设 { x
k
} 收敛于 a,那么对于任意给定的
0
，存在正整数 K,
使得当
Kk?
时，成立
2
k
xa
。
因此当
Klk?,
时，由三角不等式得
|| kl xx?
≤
ax l kxa
,
即 { x
k
} 为基本点列。
若 { x
k
} 为基本点列，记
12(,,,) ( 1,2,)
k k k
kn x x x kx
，则由不等式
|| kili xx?
≤
),,2,1(|| nikl xx
,
可知对每一个固定的
ni,,2,1
，数列
}{ kix
是基本数列，因此收 敛。再由定理 1 1,1,2 即知点列
}{ kx
收敛。
注 第二章中给出的从实数的连续性到实数的完备性的 5 个等价定理中，除了“确界存在定理”和“单调有界数列收敛定理”由于涉及到点之间的大小关系而在高维空间中不再有意义之外，其余的结论在高维空间依然成立。
紧集定义 1 1,1,7 设 S 为 nR 上的点集 。 如果 nR 中的一组开集 {
U
} 满足
U
S,那么称
{}?U
为 S 的一个 开覆盖 。
如果 S 的任意一个开覆盖
{}?U
中总存在一个有限子覆盖,即存在
{}?U
中的有限个开集 {
i?U
p
i 1}?
，满足
1
i
p
i
US
,则称 S 为 紧集 。
定理 1 1.1,9 （ H e in e - B o r e l 定理） nR 上的点集 S 是紧集的充分必要条件为,它是有界闭集 。
证 只证明 2?n 的情形。
必要性：设 S 为紧集，先证它是有界的。显然，
2{ (,1 ) | }O Rx x S
是 S 的一个开覆盖，因为 S 是紧集，因此存在 S 的有限子覆盖，即存在
pxxx,,,21?
，使得 S
p
i
iO
1
)1,(
x
。这就说明了 S 是有界集。
再用反证法证明 S 是闭集。设存在 S 的聚点 a? S,构造开集
nU
=
n
1
||| axx
,
则
1
n
n
U
= R
2
\ { a }? S,即 {
nU
} 是 S 的一个开覆盖。
由聚点定义，存在由无穷多个点组成的点列 { x k },x k? S,x k? a,
满足
k
l i m
x k = a 。由于对任意一个固定的 m,
mU
中至多含有 { x k } 中有限个点（请读者想一下为什么），因此在 {
nU
} 中不存在 S 的有限子覆盖，
这就与 S 是紧集产生了矛盾 。 所以 S 是闭集。
充分性：用反证法。假设 S 是有界闭集，但不是紧的，那么存在
S 的一个开覆盖 {
U
},它不包含 S 的有限子覆盖。
由于 S 为有界点集，那么它必包含在某个 2 维闭正方形
1I
中。将
1I
分成 4 个全等的闭正方形
11I
，
12I
，
13I
，
14I
，那么 至少有一个
1 kI
（ 1 ≤ k
≤ 4 ）,使得
1 kI
S
不能被 {
U
} 中的有限个元素所覆盖，取其为
2I
。
同样将
2I
分成 4 个全等的闭正方形
21I
，
22I
，
23I
，
24I
，也至少有一个
2 kI
（ 1 ≤ k ≤ 4 ）,使得
2 kI
S
不能被 {
U
} 中的有限个元素所覆盖，
取其为
3I
。
如此下去就得到一列正方形
1I
2I
3I
,
满足
（ 1 ）闭集
lI
S
（
,3,2,1?l
）不能被 {
U
} 中的有限个元素所覆盖；
（ 2 ）
d ia mlim
l
(
lI
S
) = 0 。
由定理 1 1,1,6 '，存在唯一的一点
),(a
1
)
l
l
( IS
。
任取包含点 a 的开集
*U
{
U
},显然只要适当选择 r,就有
),( rO a? *U
。又由于
d ia mlim
l
(
lI
S
) = 0,则当 l 充分大时就成立
lI
S? ),( rO a?
*U
。这就 导出了矛盾。
定理 1 1,1,10 设 S 是 nR 上的点集,那么以下三个命题等价,
（ 1 ） S 是有界闭集 ；
（ 2 ） S 是紧集 ；
（ 3 ） S 的任一无限子集在 S 中必有聚点 。
证 （ 1 ）与（ 2 ）的等价性就是定理 1 1,1,9 。
（ 1 ）? （ 3 ）：设 S 是有界闭集。由推论 1 1,1,1 即知 S 的无限子集必有聚点，而 S 是闭集，因此这个聚点必属于 S 。
（ 3 ）? （ 1 ）：若 S 的任一无限子集在 S 中都有聚点，则显然 S
中的任一收敛点列 { x
k
} 的极限必属于 S,因此 S 含有它的全部聚点，
即 S 是闭集。
若此时 S 无界,那么在 S 中存在点列 { x
k
},满足
|| x
k
| |
,2,1, kk
。
显然 { x
k
} 是无限集，且在 nR 中（因而在 S 中）没有聚点。这个矛盾表明 S 是有界的。
注 Ca n t o r 闭区域套定理,B o l za n o - W ei er s t r as s 定理,Ca u ch y 收敛原理和 H e i n e - Bo r el 定理称为 E u c l i d 空间上的基本定理，它们是相互等价的。
