任意项级数
一个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项,
又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用。
这样的级数,即通项任意地可正或可负的级数,称为任意项级数。
§ 4 任意项级数
定理 9.4.1(级数的 Cauchy 收敛原理) 级数


=1n
n
x 收敛的充 分必要条件是:对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
m
| =

+=
m
nk
k
x
1

对一切 m>n>N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| =

=
+
p
k
kn
x
1

对一切 n>N 与一切正整数 p 成立。
取 p = 1,上式即为| x
n+1
| <ε,于是就得到级数收敛的必要条件 lim
n→∞
x
n
= 0。
定理 9.4.1(级数的 Cauchy 收敛原理) 级数


=1n
n
x 收敛的充 分必要条件是:对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
m
| =

+=
m
nk
k
x
1

对一切 m>n>N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| =

=
+
p
k
kn
x
1

对一切 n>N 与一切正整数 p 成立。
Leibniz 级数
定义 9.4.1 如果级数


=1n
n
x =


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0),则 称 此级数 为交错级数 。
进一步,若级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0)满足{ u
n
} 单调减少且 收敛于 0,则称这样的交错级数为 Leibniz 级数 。
定理 9.4.2( Leibniz 判别法) Leibniz 级数必定收敛 。
证 首先有
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| = | u
n+1
- u
n+2
+u
n+3
- … + (- 1)
p+1
u
n+p
|。
当 p 是奇数时,
u
n+1
- u
n+2
+u
n+3
- … + (- 1)
p+1
u
n+p
=

>++?+?
++?++++
+++++;)()(
,0)()(
11321
4321
npnpnnnn
pnnnnn
uuuuuu
uuuuu
"
"
Leibniz 级数
定义 9.4.1 如果级数


=1n
n
x =


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0),则 称 此级数 为交错级数 。
进一步,若级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0)满足{ u
n
} 单调减少且 收敛于 0,则称这样的交错级数为 Leibniz 级数 。
当 p 是偶数时,
u
n+1
- u
n+2
+u
n+3
- … + (- 1)
p+1
u
n+p
=
<
≥?++?+?
+++++
+?+++++
,)(
,0)()()(
1321
14321
npnnnn
pnpnnnnn
uuuuu
uuuuuu
"
"
因而成立
| x
n+1
+ x
n+2
++"x
n+p

=| u
n+1
- u
n+2
+ u
n+3
+?" (-1)
p+1
u
n+p
| ≤ u
n+1

由 lim
n→∞
u
n
= 0,对于任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得对一切
n>N,
u
n+1
<ε,
于是,对一切正整数 p 成立
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| ≤ u
n+1
<ε,
根据定理 9.4.1,Leibniz 级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u 收敛。
注 由定理 9.4.2 的证明,可以进一步得到下述结论,
(1) 对于 Leibniz 级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u,成立
0≤


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ≤u
1;
(2) 对于 Leibniz 级数的余和 r
n
=


+=
+
1
1
)1(
nk
k
k
u,成立
|r
n
| ≤u
n+1

由于


=
+
1
1
)1(
n
p
n
n
( p>0),


=
2
ln
)1(
n
q
n
n
( q>0),


=
2
ln
)1(
n
n
n
n
,


=
+
+
1
3
2
1
1
)1(
n
n
n
n
等级数都是 Leibniz 级数,由定理 9.4.2 可知它们都是收敛的。
注 由定理 9.4.2 的证明,可以进一步得到下述结论,
(1) 对于 Leibniz 级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u,成立
0≤


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ≤u
1;
(2) 对于 Leibniz 级数的余和 r
n
=


+=
+
1
1
)1(
nk
k
k
u,成立
|r
n
| ≤u
n+1

例 9.4.1 级数
( )
2
1
sin 1π
n
n

=
+

收敛。
证 易知
( )
2
sin 1πn + = (- 1)
n
( )
2
sin 1 πnn+? = (- 1)
n
2
π
sin
1nn+ +

显然
2
π
sin
1nn



++


是单调减少数列,且
lim
n→∞ 2
π
sin
1nn+ +
= 0,
所以
( )
2
1
sin 1π
n
n

=
+

是 Leibniz 级数。由定理 9.4.2 可知它是收敛的。
Abel 判别法与 Dirichlet 判别法
引理 9.4.1( Abel 变换) 设 {a
n
},{b
n
}是两数列,记 B
k
=

=
k
i
i
b
1
( k
= 1,2,…),则

=
p
k
kk
ba
1
= a
p
B
p
-

=
+
1
1
1
)(
p
k
kkk
Baa 。


=
p
k
kk
ba
1
= a
1
B
1
+

=
p
k
kkk
BBa
2
1
)(
= a
1
B
1
+

=
p
k
kk
Ba
2
-

=
p
k
kk
Ba
2
1
=

=
1
1
p
k
kk
Ba -

=
+
1
1
1
p
k
kk
Ba + a
p
B
p
= a
p
B
p
-

=
+
1
1
1
)(
p
k
kkk
Baa 。
上式也称为 分部求和公式 。
上图是当 0>
n
a,0>
n
b,且 { }
n
a 单调增加时,Abel 变换的一个直观的示意。图中矩形 [ ]
5
,0 B [ ]
5
,0 a× 被分割成 9 个小矩形,根据所标出的各小矩形的面积,即得到 p = 5 的 Abel 变换,
54
55 1
11
()
kk k k k
ab aB a a B
+
==
=
∑∑

a
5
445
)( Baa?
a
4
334
)( Baa?
55
ba
a
3
223
)( Baa?
44
ba
a
2
112
)( Baa?
33
ba
a
1
22
ba
11
ba
0 B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
利用 Abel 变换即得到如下的 Abel 引理。
引理 9.4.2 (Abel 引理) 设
(1){ a
k
}为单调数列;
(2){ B
k
}( B
k
=

=
k
i
i
b
1
,k = 1,2,… )为有界数列,即存在 M>0,对一切 k,成立|B
k
| ≤M,则

=
p
k
kk
ba
1
≤ M (| a
1
| +2|a
p
| )。
证 由 Abel 变换得

=
p
k
kk
ba
1
≤|
pp
Ba |+

=
+
1
1
1
||
p
k
kkk
Baa

+

=
+
1
1
1
||||
p
k
kkp
aaaM 。
由于{
k
a }单调,所以

=
+
1
1
1
||
p
k
kk
aa =

=
+
1
1
1
)(
p
k
kk
aa =|
1
aa
p
|,
于是得到

=
p
k
kk
ba
1
≤ M (| a
1
| +2|
p
a | )。
定理 9.4.3(级数的 A-D 判别法) 若下列两个条件之一满足,
则级数


=1n
nn
ba 收敛,
(1) (Abel 判别法 ) {
n
a }单调有界,


=1n
n
b 收敛;
(2) (Dirichlet 判别法 ) {
n
a }单调趋于 0,

=
n
i
i
b
1
有界。
证 (1) 若 Abel 判别法条件满足,设| a
n
| ≤M,由于


=1n
n
b 收敛,
则对于任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得对于一切 n>N 和
p
+
∈N,成立

+
+=
pn
nk
k
b
1
<ε 。对

+
+=
pn
nk
kk
ba
1
应用 Abel 引理,即得到

+
+=
pn
nk
kk
ba
1
<ε (| a
n+1
| +2|
pn
a
+
| ) ≤ 3Mε 。
定理 9.4.3(级数的 A-D 判别法) 若下列两个条件之一满足,
则级数


=1n
nn
ba 收敛,
(1) (Abel 判别法 ) {
n
a }单调有界,


=1n
n
b 收敛;
(2) (Dirichlet 判别法 ) {
n
a }单调趋于 0,

=
n
i
i
b
1
有界。
(2) 若 Dirichlet 判别法条件满足,由于 lim
n→∞
a
n
=0,因此对于任意给定的 ε >0,存在 N,使得对于一切 Nn >,成立
| a
n
| <ε 。


=
n
i
i
b
1
≤ M,令 B
k
=

+
+=
kn
ni
i
b
1
(k = 1,2,… ),则

k
B | =?

+
=
kn
i
i
b
1

=
n
i
i
b
1
≤2M,
应用 Abel 引理,同样得到

+
+=
pn
nk
kk
ba
1
≤2M (| a
n+1
| +2|
pn
a
+
| )<6Mε
对一切 n>N 与一切正整数 p 成立。
根据 Cauchy 收敛原理( 定理 9.4.1),即知


=1n
nn
ba 收敛。
注 (1 )对于 Leibniz 级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u,令 a
n
= u
n
,b
n
= (-1)
n+1
,则
{ a
n
}单调趋于 0,

=
n
i
i
b
1
有界,则由 Dirichlet 判别法,可知


=1n
nn
ba =


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u 收敛。所以交错级数的 Leibniz 判别法可以看成是 Dirichlet
判别法的特例。
(2 )若 Abel 判别法条件满足,由于数列 { a
n
} 单调有界,设 lim
n→∞
a
n
= a,则数列{a
n
- a}单调趋于 0。又由于级数


=1n
n
b 收敛,则其部分和数列

=
n
i
i
b
1
必定有界,根据 Dirichlet 判别法,


=
1
)(
n
nn
baa 收敛,从而即知


=1n
nn
ba 收敛。
这就是说,Abel 判别法也可以看成是 Dirichlet 判别法的特例。
注 (1 )对于 Leibniz 级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u,令 a
n
= u
n
,b
n
= (-1)
n+1
,则
{ a
n
}单调趋于 0,

=
n
i
i
b
1
有界,则由 Dirichlet 判别法,可知


=1n
nn
ba =


=
+
1
1
)1(
n
n
n
u 收敛。所以交错级数的 Leibniz 判别法可以看成是 Dirichlet
判别法的特例。
例9.4.2 设


=1n
n
b 收敛,则由 Abel 判别法,级数


=1n
n
n
b
,


=
+
1
1
n
n
b
n
n
,


=
+
1
1
1
n
n
n
b
n



=
+
1
2
13
ln
n
n
n
n
b
等等都收敛。
例 9.4.3 设数列{a
n
}单调趋于 0,则对一切实数 x,级数


=1
sin
n
n
nxa 收敛。
例9.4.2 设


=1n
n
b 收敛,则由 Abel 判别法,级数


=1n
n
n
b
,


=
+
1
1
n
n
b
n
n
,


=
+
1
1
1
n
n
n
b
n



=
+
1
2
13
ln
n
n
n
n
b
等等都收敛。
证 当 π≠ kx 2 时,
2sin
2
x

=
n
k
kx
1
sin =
2
cos
x
x
n
2
12
cos
+
,
于是对一切正整数 n,

=
n
k
kx
1
sin
2
sin
1
x
≤,
由 Dirichlet 判别法,可知当 x≠ 2kπ时,


=1
sin
n
n
nxa 收敛。 由于当 π= kx 2
时,


=1
sin
n
n
nxa = 0,于是得到对一切实数 x,


=1
sin
n
n
nxa 收敛。
读者可自己证明,当{a
n
}单调趋于 0 时,则对一切 x≠ 2kπ,


=1
cos
n
n
nxa 收敛。
级数的绝对收敛与条件收敛
定义 9.4.2 如果级数


=1
||
n
n
x 收敛,则称


=1n
n
x 为绝对收敛级数 。
由 Cauchy 收敛原理和三角不等式
| x
n+1
+ x
n+2
++"x
m
| ≤| x
n+1
|+ | x
n+2
| ++"|
m
x |,
可知绝对收敛级数一定收敛。但这个结论的逆命题不成立,例如
Leibniz 级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
收敛,但调和级数


=1
1
n
n
是发散的。
如果级数


=1n
n
x 收敛而


=1
||
n
n
x 发散,则称


=1n
n
x 为 条件收敛级数 。
由定义,


=
+
1
1
)1(
n
n
n
是一个条件收敛级数。


=1
||
n
n
x 的收敛性可以采用正项级数收敛性的判别法来判定。 需要指出,虽然一般说来,由


=1
||
n
n
x 发散并不能得出


=1n
n
x 发散,但若用
Cauchy 判别法或 D'Alembert 判别法判断出


=1
||
n
n
x 发散,则级数


=1n
n
x
本身一定发散,这是因为这两个判别法判定发散的依据是级数的通项不趋于 0,即不满足收敛的必要条件。
例 9.4.4 讨论级数


=1n
p
n
n
x
的敛散性。
解 对


=1n
p
n
n
x
=


=1
||
n
p
n
n
x
应用 Cauchy 判别法,
lim
n→∞
n
p
n
n
x ||
=| x|,
由此可知,
| x| <1,p 为任意实数:级数收敛 (绝对收敛 );
| x| >1,p 为任意实数:级数发散;
x = 1,

>
级数发散;
级数收敛(绝对收敛)
,1
,,1
p
p
x = - 1,

≤<
>
.
,
,
,0
,10
,1
级数发散级数收敛(条件收敛)
级数收敛(绝对收敛)
p
p
p
例 9.4.5 讨论级数


=1
sin
n
p
n
nx
(0<x< π) 的敛散性。
解 当 p>1,由
p
n
nx |sin|

p
n
1
,可知级数


=1
sin
n
p
n
nx
绝对收敛。
当 0<p≤1,由例 9.4.3,级数


=1
sin
n
p
n
nx
收敛;但进一步我们有
p
n
nx |sin|

p
n
nx
2
sin
=?
p
n2
1
p
n
nx
2
2cos
,
级数


=1
2
2cos
n
p
n
nx
的收敛性同样可由 Dirichlet 判别法得到,但由于


=1
2
1
n
p
n
发散,可知


=1
|sin|
n
p
n
nx
发散,换言之,当 0<p≤1,级数


=1
sin
n
p
n
nx
(0<x π< )
条件收敛。
当 p≤0,由于级数的一般项不趋于 0,级数


=1
sin
n
p
n
nx
发散。
绝对收敛级数和条件收敛级数之间存在着许多本质差别,下面对此作进一步探讨。



=1n
n
x 是任意数项级数,令
+
n
x =
2
||
nn
xx +
=

>
,0,0
,0,
n
nn
x
xx
n = 1,2,…,
n
x =
2
||
nn
xx?
=

<?
,0,0
,0,
n
nn
x
xx
n = 1,2,…。

x
n
=
+
n
x -
n
x,| x
n
|=
+
n
x +
n
x,n = 1,2,…。


=
+
1n
n
x 是由


=1n
n
x 的所有正项构成的级数,


=
1n
n
x 是由


=1n
n
x 的所有负项变号后构成的级数,它们都是正项级数。
定理 9.4.4 若


=1n
n
x 绝对收敛,则


=
+
1n
n
x 与


=
1n
n
x 都收敛; 若


=1n
n
x 条件收敛,则


=
+
1n
n
x 与


=
1n
n
x 都发散到 ∞+ 。
证 先设


=1n
n
x 绝对收敛,由于
0≤
+
n
x ≤|
n
x |,0≤
n
x ≤|
n
x |,n = 1,2,…,
则由


=1
||
n
n
x 的收敛性,即可得到


=
+
1n
n
x 与


=
1n
n
x 的收敛性。
现设


=1n
n
x 条件收敛,若


=
+
1n
n
x (或


=
1n
n
x )也收敛,则由


=
1n
n
x =


=
+
1n
n
x -


=1n
n
x (或


=
+
1n
n
x =


=
1n
n
x +


=1n
n
x )
可知


=
1n
n
x (或


=
+
1n
n
x )也收敛,于是得到


=1
||
n
n
x =


=
+
1n
n
x +


=
1n
n
x
的收敛性,从而产生矛盾。
加法交换律
收敛的级数是否成立交换律呢?也就是说,将一个收敛级数


=1n
n
x 的项任意重新排列,得到的新级数


=

1n
n
x (称为


=1n
n
x 的更序级数)
是否仍然收敛? 如果收敛的话,其和是否保持不变,即是否有


=

1n
n
x =


=1n
n
x?
回答是否定的。
例 9.4.6 考虑 Leibniz 级数


=
+
1
1
)1(
n
n
n
,
这是一个条件收敛级数,在例 2.4.10 中,已经证明了它的和为 2ln 。
现按下述规律构造


=
+
1
1
)1(
n
n
n
的更序级数


=

1n
n
x,
顺次地在每一个正项后面接两个负项,即


=

1n
n
x = 1
2
1
+
4
1
3
1
6
1
8
1
++"?
12
1
k
24
1
k k4
1
"+ 。



=
+
1
1
)1(
n
n
n
的部分和数列为{ S
n
},


=

1n
n
x 的部分和数列为{
n
S

},

n
S
3

=

=
n
k
kkk
1
4
1
24
1
12
1
=

=
n
k
kk
1
4
1
24
1
=

=
n
k
kk
1
2
1
12
1
2
1
=
2
1
S
2n
,
于是
lim
n→∞
n
S
3

=
2
1
lim
n→∞
S
2n
= 2ln
2
1

由于
13?

n
S =
n
S
3

+
n4
1
,
13 +

n
S =
n
S
3

+
12
1
+n
,
从而得到


=

1n
n
x = 2ln
2
1
=
2
1


=
+
1
1
)1(
n
n
n
,
也就是说,尽管


=
+
1
1
)1(
n
n
n
是收敛的,但交换律不成立。
定理 9.4.5 若级数


=1n
n
x 绝对收敛,则它的更序级数


=

1n
n
x 也绝对收敛,且和不变,即


=

1n
n
x =


=1n
n
x 。
证 我们分两步来证明定理。
(1) 先设


=1n
n
x 是正项级数,则对一切 n∈
+
N,

=

n
k
k
x
1



=1n
n
x,于是可知


=

1n
n
x 收敛,且


=

1n
n
x ≤


=1n
n
x ;
反之,也可以将


=1n
n
x 看成


=

1n
n
x 的更序级数,又有


=1n
n
x ≤


=

1n
n
x 。
结合上述两式即得


=

1n
n
x =


=1n
n
x 。
定理 9.4.5 若级数


=1n
n
x 绝对收敛,则它的更序级数


=

1n
n
x 也绝对收敛,且和不变,即


=

1n
n
x =


=1n
n
x 。
(2) 现设


=1n
n
x 是任意项级数,则由定理 9.4.4,正项级数


=
+
1n
n
x 与


=
1n
n
x 都收敛,且


=1n
n
x =


=
+
1n
n
x -


=
1n
n
x,


=1
||
n
n
x =


=
+
1n
n
x +


=
1n
n
x 。
对于更序级数


=

1n
n
x,同样构作正项级数


=
+

1n
n
x 与


=

1n
n
x,由于


=
+

1n
n
x 即为


=
+
1n
n
x 的更序级数,


=

1n
n
x 即为


=
1n
n
x 的更序级数,根据(1) 的结论,


=
+

1n
n
x =


=
+
1n
n
x,


=

1n
n
x =


=
1n
n
x,
于是得到


=

1
||
n
n
x =


=
+

1n
n
x +


=

1n
n
x 收敛,即


=

1n
n
x 绝对收敛,且


=

1n
n
x =?



=
+
1n
n
x


=

1n
n
x =?


=
+
1n
n
x


=
1n
n
x =


=1n
n
x 。
定理 9.4.6 ( Riemann) 设级数


=1n
n
x 条件收敛,则对任意给定的 a,+∞≤≤∞? a,必定存在


=1n
n
x 的更序级数


=

1n
n
x 满足


=

1n
n
x = a。
证 我们只证 a 为有限数的情况,a = ∞± 的情况留给读者考虑。
由于


=1n
n
x 条件收敛,由定理 9.4.4,


=
+
1n
n
x = ∞+,


=
1n
n
x = ∞+ 。
依次计算


=
+
1n
n
x 的部分和,必定存在最小的正整数 n
1
,满足
+
1
x +
+
2
x + … +
+
1
n
x > a,
再依次计算


=
1n
n
x 的部分和,也必定存在最小的正整数 m
1
,满足
+
1
x +
+
2
x + … +
+
1
n
x -
1
x -
2
x - … -
1
m
x < a,
定理 9.4.6 ( Riemann) 设级数


=1n
n
x 条件收敛,则对任意给定的 a,+∞≤≤∞? a,必定存在


=1n
n
x 的更序级数


=

1n
n
x 满足


=

1n
n
x = a。
类似地可找到最小的正整数 n
2
>n
1
,m
2
>m
1
,满足
+
1
x +
+
2
x +…+
+
1
n
x -
1
x -
2
x -…-
1
m
x +
+
+1
1
n
x +… +
+
2
n
x >a

+
1
x +
+
2
x +…+
+
1
n
x -
1
x -
2
x -…-
1
m
x +
+
+1
1
n
x +… +
+
2
n
x -
+1
1
m
x -…-
2
m
x <a,
……
这样的步骤可一直继续下去,由此得到


=1n
n
x 的一个更序级数


=

1n
n
x,
它的部分和摆动于 a +
+
k
n
x 与 a -
k
m
x 之间。
由于


=1n
n
x 收敛,可知
lim
n→∞
+
n
x =lim
n→∞
n
x = 0,
于是得到


=

1n
n
x
= a。
级数的乘法
有限和式

=
n
k
k
a
1


=
n
k
k
b
1
的乘积是所有诸如 a
i
b
j
( i = 1,2,…,n; j =
1,2,…,m) 项的和,显然,其最终结果与它们相加的次序与方式无关。
类似地,对于两个收敛的无穷级数


=1n
n
a 与


=1n
n
b,可以同样写出所有诸如 a
i
b
j
( i = 1,2,… ; j = 1,2,…) 的项。将它们排列成下面无穷矩阵的形式,
"
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
"
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
"
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
"
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
"
"
"
"
"
然后,将所有这些项相加的结果定义为


=1n
n
a 与


=1n
n
b 的乘积。
由于级数运算一般不满足交换律和结合律,这就有一个排列的次序与方式的问题。尽管排列的次序与方式多种多样,但常用的,也是最具应用价值的方式是下面所示的“对角线”排列与“正方形”排列。
对角线排列,
"
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
"
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
"
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
"
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
"
"
"
"
"

c
1
= a
1
b
1
,
c
2
= a
1
b
2
+ a
2
b
1
,

c
n
=

+=+ 1nji
ji
ba
= a
1
b
n
+ a
2
b
n-1 ++"
a
n
b
1
,

对角线排列,
"
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
"
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
"
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
"
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
"
"
"
"
"
则称


=1n
n
c =


=
+++
1
1121
)(
n
nnn
bababa"
为级数


=1n
n
a 与


=1n
n
b 的 Cauchy 乘积。
正方形排列,
"
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
"
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
"
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
"
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
"
"
"
"
"

d
1
= a
1
b
1
,
d
2
= a
1
b
2
+ a
2
b
2
+ a
2
b
1
,

d
n
= a
1
b
n+
a
2
b
n ++"
a
n
b
n
+ a
n
1?n
b ++"
a
n
b
1
,




=1n
n
d 就是级数


=1n
n
a 与


=1n
n
b 按正方形排列所得的乘积。
对于正方形排列所得的乘积,只要


=1n
n
a 与


=1n
n
b 收敛,


=1n
n
d 总是收敛的,并成立


=1n
n
d =?


=1n
n
a?


=1n
n
b 。
但是,仅有


=1n
n
a 与


=1n
n
b 的收敛性不足以保证 Cauchy 乘积


=1n
n
c 的收敛性,下面就是一个例子。
例 9.4.7 设


=1n
n
a =


=1n
n
b =


=
+
1
1
)1(
n
n
n
,这两个级数都是收敛的
(条件收敛 ),它们的 Cauchy 乘积的一般项为
c
n
=
ij
nji
n
1
)1(
1
1

+=+
+
,
注意上面 c
n
的表达式中共有 n 项,在每一项中,i + j = n+1,因而
ij
2
ji +
≤ =
2
1+n
,
于是得到
| c
n
| ≥
1
2
+
n
n,
因此{ c
n
}不是无穷小量,所以,


=1n
n
a 与


=1n
n
b 的 Cauchy 乘积


=1n
n
c 发散。
定理 9.4.7 如果级数


=1n
n
a 与


=1n
n
b 绝对收敛,则将 a
i
b
j
( i =
1,2,…;j = 1,2,…)按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛,且其和等于?


=1n
n
a?


=1n
n
b 。
证 设
kk
ji
ba ( k = 1,2,…)是所有 a
i
b
j
( i = 1,2,…; j = 1,2,…)的任意一种排列,对任意的 n,取
N =
nk≤≤1
max { i
k
,j
k
},


=
n
k
ji
kk
ba
1
|| ≤?

=
N
i
i
a
1
||

=
N
j
j
b
1
|| ≤?


=1
||
n
n
a


=1
||
n
n
b,
因此


=1k
ji
kk
ba 绝对收敛。由定理 9.4.5,


=1k
ji
kk
ba 的任意更序级数也绝对收敛,且和不变。
定理 9.4.7 如果级数


=1n
n
a 与


=1n
n
b 绝对收敛,则将 a
i
b
j
( i =
1,2,…; j = 1,2,…)按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛,且其和等于?


=1n
n
a?


=1n
n
b 。



=1n
n
d 是级数


=1n
n
a 与


=1n
n
b 按正方形排列所得的乘积,则


=1n
n
d 是
kk
j
k
i
ba


=1
更序后再添加括号所成的级数,于是得到


=1k
ji
kk
ba =


=1n
n
d =?


=1n
n
a?


=1n
n
b 。
下面举一例子,它反映了 Cauchy 乘积的应用价值。
例 9.4.8 利用 D'Alembert 判别法,可知对一切 R∈x,级数
)(xf =


=0
!
n
n
n
x
是绝对收敛的。现考虑两个绝对收敛级数


=0
!
n
n
n
x



=0
!
n
n
n
y
的 Cauchy 乘积,由定理 9.4.7,


=0
!
n
n
n
x


=0
!
n
n
n
y
=


=0n

=
n
k
knk
knk
yx
0
)!(!
=


=0n 0
C
!
kknk
n
n
k
xy
n
=




=


=
+
0
!
)(
n
n
n
yx
,
也就是成立
)()()( yfxfyxf?=+ 。
在第 10 章,我们将知道函数 f (x)就是指数函数
x
e,因而上式就是熟知的指数函数的加法定理。