任意项级数
一个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项,
又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用。
这样的级数,即通项任意地可正或可负的级数,称为任意项级数。
§ 4 任意项级数
定理 9.4.1(级数的 Cauchy 收敛原理) 级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛的充 分必要条件是:对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
m
| =
∑
+=
m
nk
k
x
1
<ε
对一切 m>n>N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| =
∑
=
+
p
k
kn
x
1
<ε
对一切 n>N 与一切正整数 p 成立。
取 p = 1,上式即为| x
n+1
| <ε,于是就得到级数收敛的必要条件 lim
n→∞
x
n
= 0。
定理 9.4.1(级数的 Cauchy 收敛原理) 级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛的充 分必要条件是:对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
m
| =
∑
+=
m
nk
k
x
1
<ε
对一切 m>n>N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| =
∑
=
+
p
k
kn
x
1
<ε
对一切 n>N 与一切正整数 p 成立。
Leibniz 级数
定义 9.4.1 如果级数
∑
∞
=1n
n
x =
∑
∞
=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0),则 称 此级数 为交错级数 。
进一步,若级数
∑
∞
=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0)满足{ u
n
} 单调减少且 收敛于 0,则称这样的交错级数为 Leibniz 级数 。
定理 9.4.2( Leibniz 判别法) Leibniz 级数必定收敛 。
证 首先有
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| = | u
n+1
- u
n+2
+u
n+3
- … + (- 1)
p+1
u
n+p
|。
当 p 是奇数时,
u
n+1
- u
n+2
+u
n+3
- … + (- 1)
p+1
u
n+p
=
≤
>++?+?
++?++++
+++++;)()(
,0)()(
11321
4321
npnpnnnn
pnnnnn
uuuuuu
uuuuu
一个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项,
又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用。
这样的级数,即通项任意地可正或可负的级数,称为任意项级数。
§ 4 任意项级数
定理 9.4.1(级数的 Cauchy 收敛原理) 级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛的充 分必要条件是:对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
m
| =
∑
+=
m
nk
k
x
1
<ε
对一切 m>n>N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| =
∑
=
+
p
k
kn
x
1
<ε
对一切 n>N 与一切正整数 p 成立。
取 p = 1,上式即为| x
n+1
| <ε,于是就得到级数收敛的必要条件 lim
n→∞
x
n
= 0。
定理 9.4.1(级数的 Cauchy 收敛原理) 级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛的充 分必要条件是:对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
m
| =
∑
+=
m
nk
k
x
1
<ε
对一切 m>n>N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 ε >0,存在正整数 N,使得
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| =
∑
=
+
p
k
kn
x
1
<ε
对一切 n>N 与一切正整数 p 成立。
Leibniz 级数
定义 9.4.1 如果级数
∑
∞
=1n
n
x =
∑
∞
=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0),则 称 此级数 为交错级数 。
进一步,若级数
∑
∞
=
+
1
1
)1(
n
n
n
u ( u
n
>0)满足{ u
n
} 单调减少且 收敛于 0,则称这样的交错级数为 Leibniz 级数 。
定理 9.4.2( Leibniz 判别法) Leibniz 级数必定收敛 。
证 首先有
| x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+p
| = | u
n+1
- u
n+2
+u
n+3
- … + (- 1)
p+1
u
n+p
|。
当 p 是奇数时,
u
n+1
- u
n+2
+u
n+3
- … + (- 1)
p+1
u
n+p
=
≤
>++?+?
++?++++
+++++;)()(
,0)()(
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