正项级数
定义 9.3.1 如果级数
∑
∞
=1n
n
x的各项都是非负实数，即
x
n
≥0,n = 1,2,…,
则称此级数为正项级数。
§ 3 正项级数
显然，正项级数
∑
∞
=1n
n
x 的部分和数列{
n
S }是单调增加的，即
n
S =
∑
=
n
k
k
x
1
≤
∑
+
=
1
1
n
k
k
x =
1+n
S,n = 1,2,…,
根据单调数列的性质，立刻可以得到
定理 9.3.1（正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到∞+ 。
正项级数
定义 9.3.1 如果级数
∑
∞
=1n
n
x的各项都是非负实数，即
x
n
≥0,n = 1,2,…,
则称此级数为正项级数。
§ 3 正项级数
例 9.3.1 级数
2
2
1
ln
(1)(1)
n
n
n
nn
n
∞
=
+
∑
是正项级数。它的部分和数
列的通项
2
1
2
1
ln
(1)(1)
n
n
k
k
k
S
kk
k
+
=
=
+
∑
1
2
1
ln ln
1
n
k
kk
+
=
+
<?
∑
2
ln 2 ln ln 2
1
n
n
+
=? <
+
，
所以正项级数
2
2
1
ln
(1)(1)
n
n
n
nn
n
∞
=
+
∑
收敛。
比较判别法
定理 9.3.2(比较判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x 与
∑
∞
=1n
n
y是两个正项级数，若存在常数0>A,使得
x
n
≤A
n
y,n = 1,2,…,
则
(1)当
∑
∞
=1n
n
y收敛时，
∑
∞
=1n
n
x也收敛；
(2)当
∑
∞
=1n
n
x发散时，
∑
∞
=1n
n
y也发散。
证 设级数
∑
∞
=1n
n
x 的部分和数列为 {
n
S }，级数
∑
∞
=1n
n
y 的部分和数列为 {
n
T }，则显然有
n
S ≤A
n
T,n = 1,2,…。
于是当{
n
T }有上界时,{
n
S }也有上界，而当 {
n
S }无上界时,{
n
T }必定无上界。由定理 9.3.1 即得结论。
比较判别法
定理 9.3.2(比较判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x 与
∑
∞
=1n
n
y是两个正项级数，若存在常数0>A,使得
x
n
≤A
n
y,n = 1,2,…,
则
(1)当
∑
∞
=1n
n
y收敛时，
∑
∞
=1n
n
x也收敛；
(2)当
∑
∞
=1n
n
x发散时，
∑
∞
=1n
n
y也发散。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 (虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” )，所以定理 9.3.2 的条件可放宽为：,存在正整数N与常数A>0，使得x
n
≤A
n
y对一切n>N
成立”。
例9.3.2 判断正项级数
∑
∞
=
+
1
3
2
3
n
nn
n
的敛散性。
解 容易看出当 n>3 时成立
nn
n
+
3
2
3
2
1
n
<,
由
∑
∞
=1
2
1
n
n
的收敛性，可知
∑
∞
=
+
1
3
2
3
n
nn
n
收敛。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 (虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” )，所以定理 9.3.2 的条件可放宽为：,存在正整数N与常数A>0，使得x
n
≤A
n
y对一切n>N
成立”。
例9.3.3 判断正项级数
1
π
sin
n
n
∞
=
∑
的敛散性。
解 当
π
∈
2
,0x 时，成立不等式 sin x ≥
2
π
x,所以当 n≥2 时,
sin
n
π
≥
2
π
n
π
=
n
2
,
由于
∑
∞
=1
1
n
n
是发散的，可知
1
π
sin
n
n
∞
=
∑
发散。
定理 9.3.2'（比较判别法的极限形式 ） 设
∑
∞
=1n
n
x与
∑
∞
=1n
n
y是两个正项级数，且
lim
n→∞
n
n
y
x
= l (0 ≤ l ≤ ∞+ ),
则
（1）若0 ≤ l < ∞+,则当
∑
∞
=1n
n
y收敛时，
∑
∞
=1n
n
x也收敛；
（2）若0 < l ≤ ∞+,则当
∑
∞
=1n
n
y发散时，
∑
∞
=1n
n
x也发散。
所以当 0<l< ∞+ 时，
∑
∞
=1n
n
x 与
∑
∞
=1n
n
y 同时收敛或同时发散。
证 下面只给出（ 1）的证明,（ 2）的证明类似。
由于 lim
n→∞
n
n
y
x
= l< ∞+,由极限的性质知，存在正整数 N，当 n>N
时,
n
n
y
x
<l+1,
因此
x
n
< (l+1)
n
y 。
由定理 9.3.2 即得所需结论。
在例 9.3.2 中，
nn
n
+
3
2
3
～
2
2
1
n
( ∞→n )，在例 9.3.3 中，sin
n
π
～
n
π
( ∞→n )，利用定理 9.3.2'立刻就可得出
∑
∞
=
+
1
3
2
3
n
nn
n
收敛与
1
π
sin
n
n
∞
=
∑
发散的结论。
证 下面只给出（ 1）的证明,（ 2）的证明类似。
由于 lim
n→∞
n
n
y
x
= l< ∞+,由极限的性质知，存在正整数 N，当 n>N
时,
n
n
y
x
<l+1,
因此
x
n
< (l+1)
n
y 。
由定理 9.3.2 即得所需结论。
例 9.3.4 判断正项级数
2
1
1
π
ecos
n
n
n
∞
=
∑
的敛散性。
解 因为
n
n
π
cose
2
1
=
2
22 2
11 1π 1
2
oo
nn n n
++ +
=
2
22
π 11
1
2
o
nn
++
,
所以
lim
n→∞
2
1
2
π
ecos
1
n
n
n
= 1+
2
π
2
。
由
∑
∞
=1
2
1
n
n
收敛，即知
2
1
1
π
ecos
n
n
n
∞
=
∑
收敛。
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法
定理 9.3.3 (Cauchy 判别法 ) 设
∑
∞
=1n
n
x是正项级数,r =
∞→n
lim
n
n
x,
则
(1)当r<1时，级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2)当r>1时，级数
∑
∞
=1n
n
x发散；
(3)当r = 1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
证 当 r<1 时，取 q 满足 r<q<1，由定理 9.2.3，可知存在正整数 N，使得对一切 n>N，成立
<
n
n
x q,
从而
x
n
<
n
q,0<q<1,
由定理 9.3.2 可知
∑
∞
=1n
n
x 收敛。
当 r>1，由于 r 是数列 {
n
n
x }的极限点，可知存在无穷多个 n 满足 1>
n
n
x,这说明数列 { x
n
}不是无穷小量，从而
∑
∞
=1n
n
x 发散。
当 r = 1，可以通过级数
∑
∞
=1
2
1
n
n
与
∑
∞
=1
1
n
n
知道判别法失效。
例9.3.5 判断正项级数
∑
∞
=
+
1
3
3
])1(2[
n
n
nn
n
的敛散性。
解 由于
∞→n
lim
n
n
nn
n
3
])1(2[
3
+
= 1
3
12
<
+
,
由定理 9.3.3，级数
∑
∞
=
+
1
3
3
])1(2[
n
n
nn
n
收敛。
定理 9.3.4 (D'Alembert 判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x ( x
n
0≠ )是正项级数，
则
(1) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r <1时,级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r >1时,级数
∑
∞
=1n
n
x发散；
(3) 当r ≥1或r ≤1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
定理 9.3.4 的证明包含在下述引理中。
引理 9.3.1 设{ x
n
}是正项数列，则
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
≤
∞→n
lim
n
n
x ≤
∞→n
lim
n
n
x ≤
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
。
定理 9.3.4 (D'Alembert 判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x ( x
n
0≠ )是正项级数，
则
(1) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r <1时,级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r >1时,级数
∑
∞
=1n
n
x发散；
(3) 当r ≥1或r ≤1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
证 设 r =
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
,
由定理 9.2.3，对任意给定的 0ε >,存在正整数 N，使得对一切 n>N，
成立
n
n
x
x
1+
< r +ε,
于是
x
n
<?+
1
)(
Nn
r ε
1+N
x （n >N+1）,
从而
∞→n
lim
n
n
x ≤
∞→n
lim
n
N
Nn
xr
1
1
)(
+
+ε = r +ε,
由 ε 的任意性，即得到
∞→n
lim
n
n
x ≤ r =
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
。
读者可以按类似的思路，自己证明
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
≤
∞→n
lim
n
n
x 。
例 9.3.6 判断正项级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令 x
n
=
!3 n
n
n
n
，则
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim
+?
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
= lim
n→∞
n
n
+
1
1
3
1
= 1
3
e
<,
由 D'Alembert 判别法可知级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
收敛。
引理 9.3.1 告诉我们：若一个正项级数的敛散情况可以由
D'Alembert 判别法判定，则它一定也能用 Cauchy 判别法来判定。但是，能用 Cauchy 判别法判定的,却未必能用 D'Alembert 判别法判定。
例 9.3.6 判断正项级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令 x
n
=
!3 n
n
n
n
，则
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim
+?
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
= lim
n→∞
n
n
+
1
1
3
1
= 1
3
e
<,
由 D'Alembert 判别法可知级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
收敛。
例 9.3.7 考虑级数
∑
∞
=1n
n
x =
2
1
+
3
1
+
2
2
1
+
2
3
1
+
3
2
1
+
3
3
1
"+,
则
∞→n
lim
n
n
x =
∞→n
lim
12
2
1
n
n
=
2
1；
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim +∞=
+1
2
3
n
n；
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim
n
n
3
2
= 0。
由 Cauchy 判别法可知级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛,但 D'Alembert 判别法却是失效的。
Raabe 判别法
对某些正项级数
∑
∞
=1n
n
x,成立 lim
n→∞
n
n
x
x
1+
=1（或者说 lim
n→∞
1+n
n
x
x
= 1）,这时
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
定理 9.3.5（ Raabe 判别法） 设
∑
∞
=1n
n
x ( x
n
0≠ )是正项级数，
r
x
x
n
n
n
n
=
+
∞→
1lim
1
，则
(1)当r>1时，级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2)当r<1时，级数
∑
∞
=1n
n
x发散。
Raabe 判别法
对某些正项级数
∑
∞
=1n
n
x,成立 lim
n→∞
n
n
x
x
1+
=1（或者说 lim
n→∞
1+n
n
x
x
= 1）,这时
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
证 设 s>t>1,f (x) =
t
xsx )1(1 +?+,由 0)0( =f 与 0)0( >?=′ tsf,
可知存在 0>δ,当 δ<< x0 时，成立
t
xsx )1(1 +>+ 。 (*)
当 r>1 时，取 s,t 满足 r>s>t>1。由 lim
n→∞
tsr
x
x
n
n
n
>>=
+
1
1
与不等式(*),可知对于充分大的 n，成立
1+n
n
x
x
>1+
n
s
>
t
n
+
1
1 =
t
t
n
n )1( +
,
这说明正项数列{
n
t
xn }从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设
n
t
xn ≤A,
于是
x
n
≤
t
n
A
,
由于 t>1，因而
∑
∞
=1
1
n
t
n
收敛，根据比较判别法即得到
∑
∞
=1n
n
x 的收敛性。
当 lim
n→∞
11
1
<=
+
r
x
x
n
n
n
，则对于充分大的 n，成立
1+n
n
x
x
<
n
1
1+ =
n
n 1+
,
这说明正项数列{ n x
n
}从某一项开始单调增加，因而存在正整数 N 与实数 α >0，使得
n x
n
>α
对一切 n>N 成立，于是
x
n
>
n
α
。
由于
∑
∞
=1
1
n
n
发散，根据比较判别法即得到
∑
∞
=1n
n
x 发散。
例 9.3.8 判断级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1
+
∑
∞
=
nn
n
n
的敛散性。
解 设 x
n
=
12
1
!)!2(
!)!12(
+
nn
n
，则
lim
n→∞
n
n
x
x
1+
=lim
n→∞
)32)(22(
)12(
2
++
+
nn
n
= 1,
也就是说，此时 Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法都不适用，但应用 Raabe 判别法，可得
lim
n→∞
+
1
1n
n
x
x
n = lim
n→∞
2
)12(
)56(
+
+
n
nn
= 1
2
3
>,
所以级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1
+
∑
∞
=
nn
n
n
收敛。
注 虽然 Raabe 判别法有时可以处理 D'Alembert 判别法失效（即出现 lim
n→∞
n
n
x
x
1+
= 1 的情况）的级数，但当 lim
n→∞
+
1
1n
n
x
x
n = 1 时 Raabe 判别法仍失效，即级数可能收敛，也可能发散。例如对于正项级数
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
，成立 lim
n→∞
+
1
1n
n
x
x
n =1，但由下面的例 9.3.9，可以知道级数
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
当 q>1 时收敛,当 q≤1 时发散。事实上，还可以建立比 Raabe
判别法更有效的判别法，例如 Bertrand 判别法:设
1
lim(ln ) 1 1
n
n
n
x
nn r
x
→∞
+
=
,
则当 r>1 时，级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛；当 r<1 时，级数
∑
∞
=1n
n
x 发散。但当 1=r 时,
判别法又失效了。这个过程(即逐次建立更有效的判别法的过程)是无限的,虽然每次都能得到新的、适用范围更广的判别法，但这些判别法的证明也变得更加复杂。
积分判别法
设 )(xf 定义于 [ )+∞,a,且 0)( ≥xf,进一步设 )(xf 在任意有限区间
［ a,A］上 Riemann 可积。
取一单调增加趋于 ∞+ 的数列 {a
n
},
a = a
1
<a
2
<a
3
"< <a
n
"<,
令
u
n
=
∫
+1
d)(
n
n
a
a
xxf 。
定理 9.3.6（积分判别法） 反常积分
∫
∞+
a
xxf d)(与正项级数
∑
∞
=1n
n
u
同时收敛或同时发散于∞+,且
∫
∞+
a
xxf d)( =
∑
∞
=1n
n
u =
∑
∫
∞
=
+
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf 。
特别地，当f (x)单调减少时，取a
n
= n，则反常积分
∫
∞+
a
xxf d)(与正项级数
∑
∞
=Nn
nf )(（N = [a]+1）同时收敛或同时发散。
积分判别法
设 )(xf 定义于 [ )+∞,a,且 0)( ≥xf,进一步设 )(xf 在任意有限区间
［ a,A］上 Riemann 可积。
取一单调增加趋于 ∞+ 的数列 {a
n
},
a = a
1
<a
2
<a
3
"< <a
n
"<,
令
u
n
=
∫
+1
d)(
n
n
a
a
xxf 。
证 设正项级数
∑
∞
=1n
n
u 的部分和数列为{ S
n
}，则对任意 A>a，存在正整数 n，成立 a
n
≤A<a
n+1
，于是
1?n
S ≤
∫
A
a
xxf d)( ≤S
n
。
当 {S
n
}有界，即
∑
∞
=1n
n
u 收敛时，则有
∞→A
lim
∫
A
a
xxf d)( 收敛，且根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限； 当 {S
n
}无界，即
∑
∞
=1n
n
u 发散于 ∞+
时，则同样有
∞→A
lim +∞=
∫
A
a
xxf d)( 。由此得到下述关系
∫
∞+
a
xxf d)( =
∑
∞
=1n
n
u =
∑
∫
∞
=
+
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf 。
特别，当 )(xf 单调减少时，取 a
n
= n，则当 n≥N = [a]+1,
)1( +nf ≤ u
n
=
1
()d
n
n
f xx
+
∫
≤ )(nf,
由比较判别法可知
∑
∞
=Nn
nf )( 与
∑
∞
=Nn
n
u 同时收敛或同时发散，从而与
∫
∞+
a
xxf d)( 同时收敛或同时发散。
利用定理 9.3.6 可以很容易验证 p 级数
∑
∞
=1
1
n
p
n
的收敛性。取 f(x) =
p
x
1
，则 f(x)在 ),1[ +∞ 上单调减少，且
∑
∞
=1
)(
n
nf =
∑
∞
=1
1
n
p
n
。由于反常积分
∫
∞+
1
d
1
x
x
p
在 p>1 时收敛，在 p≤1 时发散，由此得到
∑
∞
=1
1
n
p
n
在 p>1 时收敛，在 p≤1 时发散。
例 9.3.9 证明正项级数
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
在 q>1 时收敛，在 q≤1 时发散。
证 取 f(x) =
xx
q
ln
1
，则在 ),2[ +∞ 上,)(xf 单调减少,0)( >xf,
且
∑
∞
=2
)(
n
nf =
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
，由
∫
A
xxf
2
d)( =
11
11
ln ln 2,1,
ln ln ln ln 2,1,
qq
Aq
qq
+?+
≠
+?+
=
令 +∞→A,可知积分
∫
∞+
2
d)( xxf 在 q>1 时收敛，在 q≤1 时发散，由此得到
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
在 q>1 时收敛，在 q≤1 时发散。
在例 9.3.9 中，我们利用积分判别法，由已知收敛性的反常积分出发，来判断级数的收敛性。事实上，也可以由已知收敛性的级数出发，去判断某些反常积分的收敛性。
例9.3.10 证明,
(1) 反常积分
∫
∞+
+
0
22
sin1
d
xx
x
发散；
(2) 反常积分
∫
∞+
+
0
24
sin1
d
xx
x
收敛。
证 (1) 取 a
n
= nπ，n = 0,1,2,…,则
u
n
=
(1)π
22
π
d
1sin
n
n
x
x x
+
+
∫
=
π
22
0
d
1(π )sin
t
nt t++
∫
∫
π+
+π+
>
)1(
1
0
22
sin)(1
d
n
ttn
t
。
当
π+
<<
)1(
1
0
n
t 时,
22
( π )sinnt t+<
222
(1)πnt+ <
22
(1)πn+
22
1
(1)πn
+
= 1,
于是
u
n
∫
π+
+π+
>
)1(
1
0
22
sin)(1
d
n
ttn
t
1
1
2
1
+
π
>
n
。
因为
∑
∞
=
+
1
1
1
n
n
发散，可知
∑
∞
=1n
n
u 发散，由此得到
∫
∞+
+
0
22
sin1
d
xx
x
发散。
(2) 取 a
n
= nπ,n = 0,1,2,…,则
u
n
=
∫
π+
π
+
)1(
24
sin1
d
n
n
xx
x
=
∫
π
+π+
0
24
sin)(1
d
ttn
t
=
∫
π
+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
+
∫
π
π+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
。
令
n
u
′
=
∫
π
+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
,
n
u
′′
=
∫
π
π+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
。
则
u
n
=
n
u
′
+
n
u
′′
。
当
2
0
π
<< t 时,
42
( π )sinnt t+ ≥
2
44 242
2
π 4π
π
t
nnt
=
,
于是
n
u
′
π
2
242
0
d
14π
t
nt
≤
+
∫
=
2
1
2πn
22
π
2
0
d
1
n
t
t
<
+
∫ 2
4
1
n
,
因为
∑
∞
=1
2
1
n
n
收敛，可知
∑
∞
=
′
1n
n
u 收敛。同理也可证
∑
∞
=
′′
1n
n
u 收敛，从而
∑
∞
=1n
n
u 收敛。由此得到
∫
∞+
+
0
24
sin1
d
xx
x
收敛。
定义 9.3.1 如果级数
∑
∞
=1n
n
x的各项都是非负实数，即
x
n
≥0,n = 1,2,…,
则称此级数为正项级数。
§ 3 正项级数
显然，正项级数
∑
∞
=1n
n
x 的部分和数列{
n
S }是单调增加的，即
n
S =
∑
=
n
k
k
x
1
≤
∑
+
=
1
1
n
k
k
x =
1+n
S,n = 1,2,…,
根据单调数列的性质，立刻可以得到
定理 9.3.1（正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到∞+ 。
正项级数
定义 9.3.1 如果级数
∑
∞
=1n
n
x的各项都是非负实数，即
x
n
≥0,n = 1,2,…,
则称此级数为正项级数。
§ 3 正项级数
例 9.3.1 级数
2
2
1
ln
(1)(1)
n
n
n
nn
n
∞
=
+
∑
是正项级数。它的部分和数
列的通项
2
1
2
1
ln
(1)(1)
n
n
k
k
k
S
kk
k
+
=
=
+
∑
1
2
1
ln ln
1
n
k
kk
+
=
+
<?
∑
2
ln 2 ln ln 2
1
n
n
+
=? <
+
，
所以正项级数
2
2
1
ln
(1)(1)
n
n
n
nn
n
∞
=
+
∑
收敛。
比较判别法
定理 9.3.2(比较判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x 与
∑
∞
=1n
n
y是两个正项级数，若存在常数0>A,使得
x
n
≤A
n
y,n = 1,2,…,
则
(1)当
∑
∞
=1n
n
y收敛时，
∑
∞
=1n
n
x也收敛；
(2)当
∑
∞
=1n
n
x发散时，
∑
∞
=1n
n
y也发散。
证 设级数
∑
∞
=1n
n
x 的部分和数列为 {
n
S }，级数
∑
∞
=1n
n
y 的部分和数列为 {
n
T }，则显然有
n
S ≤A
n
T,n = 1,2,…。
于是当{
n
T }有上界时,{
n
S }也有上界，而当 {
n
S }无上界时,{
n
T }必定无上界。由定理 9.3.1 即得结论。
比较判别法
定理 9.3.2(比较判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x 与
∑
∞
=1n
n
y是两个正项级数，若存在常数0>A,使得
x
n
≤A
n
y,n = 1,2,…,
则
(1)当
∑
∞
=1n
n
y收敛时，
∑
∞
=1n
n
x也收敛；
(2)当
∑
∞
=1n
n
x发散时，
∑
∞
=1n
n
y也发散。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 (虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” )，所以定理 9.3.2 的条件可放宽为：,存在正整数N与常数A>0，使得x
n
≤A
n
y对一切n>N
成立”。
例9.3.2 判断正项级数
∑
∞
=
+
1
3
2
3
n
nn
n
的敛散性。
解 容易看出当 n>3 时成立
nn
n
+
3
2
3
2
1
n
<,
由
∑
∞
=1
2
1
n
n
的收敛性，可知
∑
∞
=
+
1
3
2
3
n
nn
n
收敛。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 (虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” )，所以定理 9.3.2 的条件可放宽为：,存在正整数N与常数A>0，使得x
n
≤A
n
y对一切n>N
成立”。
例9.3.3 判断正项级数
1
π
sin
n
n
∞
=
∑
的敛散性。
解 当
π
∈
2
,0x 时，成立不等式 sin x ≥
2
π
x,所以当 n≥2 时,
sin
n
π
≥
2
π
n
π
=
n
2
,
由于
∑
∞
=1
1
n
n
是发散的，可知
1
π
sin
n
n
∞
=
∑
发散。
定理 9.3.2'（比较判别法的极限形式 ） 设
∑
∞
=1n
n
x与
∑
∞
=1n
n
y是两个正项级数，且
lim
n→∞
n
n
y
x
= l (0 ≤ l ≤ ∞+ ),
则
（1）若0 ≤ l < ∞+,则当
∑
∞
=1n
n
y收敛时，
∑
∞
=1n
n
x也收敛；
（2）若0 < l ≤ ∞+,则当
∑
∞
=1n
n
y发散时，
∑
∞
=1n
n
x也发散。
所以当 0<l< ∞+ 时，
∑
∞
=1n
n
x 与
∑
∞
=1n
n
y 同时收敛或同时发散。
证 下面只给出（ 1）的证明,（ 2）的证明类似。
由于 lim
n→∞
n
n
y
x
= l< ∞+,由极限的性质知，存在正整数 N，当 n>N
时,
n
n
y
x
<l+1,
因此
x
n
< (l+1)
n
y 。
由定理 9.3.2 即得所需结论。
在例 9.3.2 中，
nn
n
+
3
2
3
～
2
2
1
n
( ∞→n )，在例 9.3.3 中，sin
n
π
～
n
π
( ∞→n )，利用定理 9.3.2'立刻就可得出
∑
∞
=
+
1
3
2
3
n
nn
n
收敛与
1
π
sin
n
n
∞
=
∑
发散的结论。
证 下面只给出（ 1）的证明,（ 2）的证明类似。
由于 lim
n→∞
n
n
y
x
= l< ∞+,由极限的性质知，存在正整数 N，当 n>N
时,
n
n
y
x
<l+1,
因此
x
n
< (l+1)
n
y 。
由定理 9.3.2 即得所需结论。
例 9.3.4 判断正项级数
2
1
1
π
ecos
n
n
n
∞
=
∑
的敛散性。
解 因为
n
n
π
cose
2
1
=
2
22 2
11 1π 1
2
oo
nn n n
++ +
=
2
22
π 11
1
2
o
nn
++
,
所以
lim
n→∞
2
1
2
π
ecos
1
n
n
n
= 1+
2
π
2
。
由
∑
∞
=1
2
1
n
n
收敛，即知
2
1
1
π
ecos
n
n
n
∞
=
∑
收敛。
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法
定理 9.3.3 (Cauchy 判别法 ) 设
∑
∞
=1n
n
x是正项级数,r =
∞→n
lim
n
n
x,
则
(1)当r<1时，级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2)当r>1时，级数
∑
∞
=1n
n
x发散；
(3)当r = 1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
证 当 r<1 时，取 q 满足 r<q<1，由定理 9.2.3，可知存在正整数 N，使得对一切 n>N，成立
<
n
n
x q,
从而
x
n
<
n
q,0<q<1,
由定理 9.3.2 可知
∑
∞
=1n
n
x 收敛。
当 r>1，由于 r 是数列 {
n
n
x }的极限点，可知存在无穷多个 n 满足 1>
n
n
x,这说明数列 { x
n
}不是无穷小量，从而
∑
∞
=1n
n
x 发散。
当 r = 1，可以通过级数
∑
∞
=1
2
1
n
n
与
∑
∞
=1
1
n
n
知道判别法失效。
例9.3.5 判断正项级数
∑
∞
=
+
1
3
3
])1(2[
n
n
nn
n
的敛散性。
解 由于
∞→n
lim
n
n
nn
n
3
])1(2[
3
+
= 1
3
12
<
+
,
由定理 9.3.3，级数
∑
∞
=
+
1
3
3
])1(2[
n
n
nn
n
收敛。
定理 9.3.4 (D'Alembert 判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x ( x
n
0≠ )是正项级数，
则
(1) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r <1时,级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r >1时,级数
∑
∞
=1n
n
x发散；
(3) 当r ≥1或r ≤1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
定理 9.3.4 的证明包含在下述引理中。
引理 9.3.1 设{ x
n
}是正项数列，则
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
≤
∞→n
lim
n
n
x ≤
∞→n
lim
n
n
x ≤
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
。
定理 9.3.4 (D'Alembert 判别法) 设
∑
∞
=1n
n
x ( x
n
0≠ )是正项级数，
则
(1) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r <1时,级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2) 当
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
= r >1时,级数
∑
∞
=1n
n
x发散；
(3) 当r ≥1或r ≤1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
证 设 r =
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
,
由定理 9.2.3，对任意给定的 0ε >,存在正整数 N，使得对一切 n>N，
成立
n
n
x
x
1+
< r +ε,
于是
x
n
<?+
1
)(
Nn
r ε
1+N
x （n >N+1）,
从而
∞→n
lim
n
n
x ≤
∞→n
lim
n
N
Nn
xr
1
1
)(
+
+ε = r +ε,
由 ε 的任意性，即得到
∞→n
lim
n
n
x ≤ r =
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
。
读者可以按类似的思路，自己证明
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
≤
∞→n
lim
n
n
x 。
例 9.3.6 判断正项级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令 x
n
=
!3 n
n
n
n
，则
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim
+?
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
= lim
n→∞
n
n
+
1
1
3
1
= 1
3
e
<,
由 D'Alembert 判别法可知级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
收敛。
引理 9.3.1 告诉我们：若一个正项级数的敛散情况可以由
D'Alembert 判别法判定，则它一定也能用 Cauchy 判别法来判定。但是，能用 Cauchy 判别法判定的,却未必能用 D'Alembert 判别法判定。
例 9.3.6 判断正项级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令 x
n
=
!3 n
n
n
n
，则
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim
+?
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
= lim
n→∞
n
n
+
1
1
3
1
= 1
3
e
<,
由 D'Alembert 判别法可知级数
∑
∞
=
1
!3
n
n
n
n
n
收敛。
例 9.3.7 考虑级数
∑
∞
=1n
n
x =
2
1
+
3
1
+
2
2
1
+
2
3
1
+
3
2
1
+
3
3
1
"+,
则
∞→n
lim
n
n
x =
∞→n
lim
12
2
1
n
n
=
2
1；
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim +∞=
+1
2
3
n
n；
∞→n
lim
n
n
x
x
1+
=
∞→n
lim
n
n
3
2
= 0。
由 Cauchy 判别法可知级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛,但 D'Alembert 判别法却是失效的。
Raabe 判别法
对某些正项级数
∑
∞
=1n
n
x,成立 lim
n→∞
n
n
x
x
1+
=1（或者说 lim
n→∞
1+n
n
x
x
= 1）,这时
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
定理 9.3.5（ Raabe 判别法） 设
∑
∞
=1n
n
x ( x
n
0≠ )是正项级数，
r
x
x
n
n
n
n
=
+
∞→
1lim
1
，则
(1)当r>1时，级数
∑
∞
=1n
n
x收敛；
(2)当r<1时，级数
∑
∞
=1n
n
x发散。
Raabe 判别法
对某些正项级数
∑
∞
=1n
n
x,成立 lim
n→∞
n
n
x
x
1+
=1（或者说 lim
n→∞
1+n
n
x
x
= 1）,这时
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
证 设 s>t>1,f (x) =
t
xsx )1(1 +?+,由 0)0( =f 与 0)0( >?=′ tsf,
可知存在 0>δ,当 δ<< x0 时，成立
t
xsx )1(1 +>+ 。 (*)
当 r>1 时，取 s,t 满足 r>s>t>1。由 lim
n→∞
tsr
x
x
n
n
n
>>=
+
1
1
与不等式(*),可知对于充分大的 n，成立
1+n
n
x
x
>1+
n
s
>
t
n
+
1
1 =
t
t
n
n )1( +
,
这说明正项数列{
n
t
xn }从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设
n
t
xn ≤A,
于是
x
n
≤
t
n
A
,
由于 t>1，因而
∑
∞
=1
1
n
t
n
收敛，根据比较判别法即得到
∑
∞
=1n
n
x 的收敛性。
当 lim
n→∞
11
1
<=
+
r
x
x
n
n
n
，则对于充分大的 n，成立
1+n
n
x
x
<
n
1
1+ =
n
n 1+
,
这说明正项数列{ n x
n
}从某一项开始单调增加，因而存在正整数 N 与实数 α >0，使得
n x
n
>α
对一切 n>N 成立，于是
x
n
>
n
α
。
由于
∑
∞
=1
1
n
n
发散，根据比较判别法即得到
∑
∞
=1n
n
x 发散。
例 9.3.8 判断级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1
+
∑
∞
=
nn
n
n
的敛散性。
解 设 x
n
=
12
1
!)!2(
!)!12(
+
nn
n
，则
lim
n→∞
n
n
x
x
1+
=lim
n→∞
)32)(22(
)12(
2
++
+
nn
n
= 1,
也就是说，此时 Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法都不适用，但应用 Raabe 判别法，可得
lim
n→∞
+
1
1n
n
x
x
n = lim
n→∞
2
)12(
)56(
+
+
n
nn
= 1
2
3
>,
所以级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1
+
∑
∞
=
nn
n
n
收敛。
注 虽然 Raabe 判别法有时可以处理 D'Alembert 判别法失效（即出现 lim
n→∞
n
n
x
x
1+
= 1 的情况）的级数，但当 lim
n→∞
+
1
1n
n
x
x
n = 1 时 Raabe 判别法仍失效，即级数可能收敛，也可能发散。例如对于正项级数
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
，成立 lim
n→∞
+
1
1n
n
x
x
n =1，但由下面的例 9.3.9，可以知道级数
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
当 q>1 时收敛,当 q≤1 时发散。事实上，还可以建立比 Raabe
判别法更有效的判别法，例如 Bertrand 判别法:设
1
lim(ln ) 1 1
n
n
n
x
nn r
x
→∞
+
=
,
则当 r>1 时，级数
∑
∞
=1n
n
x 收敛；当 r<1 时，级数
∑
∞
=1n
n
x 发散。但当 1=r 时,
判别法又失效了。这个过程(即逐次建立更有效的判别法的过程)是无限的,虽然每次都能得到新的、适用范围更广的判别法，但这些判别法的证明也变得更加复杂。
积分判别法
设 )(xf 定义于 [ )+∞,a,且 0)( ≥xf,进一步设 )(xf 在任意有限区间
［ a,A］上 Riemann 可积。
取一单调增加趋于 ∞+ 的数列 {a
n
},
a = a
1
<a
2
<a
3
"< <a
n
"<,
令
u
n
=
∫
+1
d)(
n
n
a
a
xxf 。
定理 9.3.6（积分判别法） 反常积分
∫
∞+
a
xxf d)(与正项级数
∑
∞
=1n
n
u
同时收敛或同时发散于∞+,且
∫
∞+
a
xxf d)( =
∑
∞
=1n
n
u =
∑
∫
∞
=
+
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf 。
特别地，当f (x)单调减少时，取a
n
= n，则反常积分
∫
∞+
a
xxf d)(与正项级数
∑
∞
=Nn
nf )(（N = [a]+1）同时收敛或同时发散。
积分判别法
设 )(xf 定义于 [ )+∞,a,且 0)( ≥xf,进一步设 )(xf 在任意有限区间
［ a,A］上 Riemann 可积。
取一单调增加趋于 ∞+ 的数列 {a
n
},
a = a
1
<a
2
<a
3
"< <a
n
"<,
令
u
n
=
∫
+1
d)(
n
n
a
a
xxf 。
证 设正项级数
∑
∞
=1n
n
u 的部分和数列为{ S
n
}，则对任意 A>a，存在正整数 n，成立 a
n
≤A<a
n+1
，于是
1?n
S ≤
∫
A
a
xxf d)( ≤S
n
。
当 {S
n
}有界，即
∑
∞
=1n
n
u 收敛时，则有
∞→A
lim
∫
A
a
xxf d)( 收敛，且根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限； 当 {S
n
}无界，即
∑
∞
=1n
n
u 发散于 ∞+
时，则同样有
∞→A
lim +∞=
∫
A
a
xxf d)( 。由此得到下述关系
∫
∞+
a
xxf d)( =
∑
∞
=1n
n
u =
∑
∫
∞
=
+
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf 。
特别，当 )(xf 单调减少时，取 a
n
= n，则当 n≥N = [a]+1,
)1( +nf ≤ u
n
=
1
()d
n
n
f xx
+
∫
≤ )(nf,
由比较判别法可知
∑
∞
=Nn
nf )( 与
∑
∞
=Nn
n
u 同时收敛或同时发散，从而与
∫
∞+
a
xxf d)( 同时收敛或同时发散。
利用定理 9.3.6 可以很容易验证 p 级数
∑
∞
=1
1
n
p
n
的收敛性。取 f(x) =
p
x
1
，则 f(x)在 ),1[ +∞ 上单调减少，且
∑
∞
=1
)(
n
nf =
∑
∞
=1
1
n
p
n
。由于反常积分
∫
∞+
1
d
1
x
x
p
在 p>1 时收敛，在 p≤1 时发散，由此得到
∑
∞
=1
1
n
p
n
在 p>1 时收敛，在 p≤1 时发散。
例 9.3.9 证明正项级数
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
在 q>1 时收敛，在 q≤1 时发散。
证 取 f(x) =
xx
q
ln
1
，则在 ),2[ +∞ 上,)(xf 单调减少,0)( >xf,
且
∑
∞
=2
)(
n
nf =
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
，由
∫
A
xxf
2
d)( =
11
11
ln ln 2,1,
ln ln ln ln 2,1,
Aq
+?+
≠
+?+
=
令 +∞→A,可知积分
∫
∞+
2
d)( xxf 在 q>1 时收敛，在 q≤1 时发散，由此得到
∑
∞
=2
ln
1
n
q
nn
在 q>1 时收敛，在 q≤1 时发散。
在例 9.3.9 中，我们利用积分判别法，由已知收敛性的反常积分出发，来判断级数的收敛性。事实上，也可以由已知收敛性的级数出发，去判断某些反常积分的收敛性。
例9.3.10 证明,
(1) 反常积分
∫
∞+
+
0
22
sin1
d
xx
x
发散；
(2) 反常积分
∫
∞+
+
0
24
sin1
d
xx
x
收敛。
证 (1) 取 a
n
= nπ，n = 0,1,2,…,则
u
n
=
(1)π
22
π
d
1sin
n
n
x
x x
+
+
∫
=
π
22
0
d
1(π )sin
t
nt t++
∫
∫
π+
+π+
>
)1(
1
0
22
sin)(1
d
n
ttn
t
。
当
π+
<<
)1(
1
0
n
t 时,
22
( π )sinnt t+<
222
(1)πnt+ <
22
(1)πn+
22
1
(1)πn
+
= 1,
于是
u
n
∫
π+
+π+
>
)1(
1
0
22
sin)(1
d
n
ttn
t
1
1
2
1
+
π
>
n
。
因为
∑
∞
=
+
1
1
1
n
n
发散，可知
∑
∞
=1n
n
u 发散，由此得到
∫
∞+
+
0
22
sin1
d
xx
x
发散。
(2) 取 a
n
= nπ,n = 0,1,2,…,则
u
n
=
∫
π+
π
+
)1(
24
sin1
d
n
n
xx
x
=
∫
π
+π+
0
24
sin)(1
d
ttn
t
=
∫
π
+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
+
∫
π
π+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
。
令
n
u
′
=
∫
π
+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
,
n
u
′′
=
∫
π
π+π+
2
0
24
sin)(1
d
ttn
t
。
则
u
n
=
n
u
′
+
n
u
′′
。
当
2
0
π
<< t 时,
42
( π )sinnt t+ ≥
2
44 242
2
π 4π
π
t
nnt
=
,
于是
n
u
′
π
2
242
0
d
14π
t
nt
≤
+
∫
=
2
1
2πn
22
π
2
0
d
1
n
t
t
<
+
∫ 2
4
1
n
,
因为
∑
∞
=1
2
1
n
n
收敛，可知
∑
∞
=
′
1n
n
u 收敛。同理也可证
∑
∞
=
′′
1n
n
u 收敛，从而
∑
∞
=1n
n
u 收敛。由此得到
∫
∞+
+
0
24
sin1
d
xx
x
收敛。
