有向面积 与向量的外积前面导出二重积分变量代换公式
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
时已经指出，加了绝对值号的 J ac o b i 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义是
xy
平面的面积微元
ddxy
与 uv 平面的面积微元 dduv 之间的比例系数。那么，
不加绝对值号的 J ac o b i 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义又是什么呢？一个顺理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。
§ 5 微分形式带符号的面积称为 有向面积 。下面从最简单的平行四边形出发，
给出一个定义有向面积的例子。
设
),( 21 aa?a
，
),( 21 bb?b
为平面 2R 上两个线性无关向量,? 为 2R 上由向量 a 和 b 所张成的平行四边形，我们规定：如果从向量 a 出发在?
中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向,b 的方向和指向读者的 方向成右手定则,见图 13,5,1 ），这个平行四边形的面积为正，否则为负。
b?
a
图 13,5,1
容易看出，二阶行列式
21
21
bb
aa
正是由 a 和 b 所张成的平行四边形
的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是? 在普通意义下的面积。将这两个向量用极坐标表示为
)s i n,co s(),s i n,co s( 22221111 rrbrra
,
若从 a 出发在? 中旋转到 b 是逆时针方向的，则有
1 2 1 π
，因此
12
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
12
( c o s s in s in c o s ) s in ( ) 0
aa
r r r r
bb
,
与? 的有向面积的符号规定一致。
若交换 a 和 b 的位置，即从 a 出发在? 中旋转到 b 是顺时针方向的，则结果反号。
我们将这种运算称为向量 a 与 b 的 外积,记为 a? b,即
a? b =
21
21
bb
aa
。
易验证外积运算具有以下性质,
（ 1 ） 反称性
a? b = - a? b,a,b? 2R,
由此立即得出
a? a = 0,a? 2R 。
（ 2 ） 双线性（分配律）
a? ( b + c ) = a? b + a? c,
( a + b )? c = a? c + b? c,a,b,c? 2R, R 。
(? a )? b = a? (? b ) =? ( a? b ),
例 1 3,5,1 设
1e
，
2e
为 2R 上的一组基（不一定要求正交）,
2221212
2121111,
eea
eea
aa
aa
是 2R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到
21 aa?
= (
212111 ee aa?
)? (
222121 ee aa?
)
=
2111 aa 1e
1e
+
2211 aa 1e
2e
+
2112 aa 2e
1e
+
2212 aa 2e
2e
=
2211 aa 1e
2e
++
2112 aa 2e
1e
=(
2211 aa
-
2112 aa
)
1e
2e
2221
1211
aa
aa
1
e? 2e
。
上式两端的
21 aa?
和
1e
2e
分别表示由
1a
，
2a
和
1e
，
2e
所张成的平行四边形的有向面积，而行列式
2221
1211
aa
aa 就是这两个有向面积之间的比 例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从
1e
到
2e
的旋转方向与从
21 aa 到的旋转方向相同；若行列式小于零，说明这两个有向面积的符号相反，即从
1e
到
2e
的旋转方向与从
21 aa 到的旋转方向相反。
微分形式从例 1 3,5,1 得到启发，若能将重积分变量代换公式中的微元关系
d x d y =
),(
),(
vu
yx
d u d v
写成形式
d x? d y =
),(
),(
vu
yx
d u? d v,
而 d x? d y 和 d u? d v 理解为带符号的面积微元，就无须对变量代换的
J ac o b i 行列式 取绝对值了。但是，这 里的 d x,d y ( 或 d u,d v ) 并非向量，
因此需要引入微分形式和外积的概念。
设
U
为 nR 上的区域，记
),,,( 21 nxxxx
，
1 ()C U
为
U
上具有连续偏导数的函数全体。将 {
nxxx d,,d,d 21?
} 看作一组基，其线性组合
nn xaxaxa d)(d)(d)( 2211 xxx
,
)( xia
1 ()C U
（
ni,,2,1
）
称为 一次微分形式,简称 1 - 形式 。 1 - 形式的全体记为? 1 。
对于任意
, 1
,
,d)(d)(d)(
,)d(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xxbxxbxxb
xxaxxaxxa
我们定义
和
（
1 ()C U
）为
。
nn
nnn
xxaxxxaxxxax
xxbxaxxbxaxxbxa
d))()((d))()((d))()((
,d))()((d))()((d))()((
2211
222111
这显然满足交换律、结合律以及对
1 ()C U
的乘法分配律。若定义? 1 中的“零元”为
nxxx d0d0d00 21
,
而且定义
为
,d))((d))((d))(( 2211 nn xxaxxaxxa
那么? 1 成为
1 ()C U
上的向量空间。
进一步，在 {
nxxx d,,d,d 21?
} 中任取 2 个组成二元有序元，记为
ji xx dd?
),,2,1,( nji
，称为
ixd
与
jxd
的外积。
仿照向量的外积，规定
,dddd ijji xxxx
0dd ii xx
,
nji,,2,1,
。
因此共有
2C
n
个有序元
njixx ji 1,dd
。
同? 1 的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个
1 ()C U
上的向量空间? 2 。 2? 的元素称为 二次微分形式,简称 2 - 形式 。于是? 2 的元素就可表为
nji
jiji xxxg
1
dd)(
。
这称为 2 - 形式的标准形式。
一般地，在 {
nxxx d,,d,d 21?
} 中任意选取
k
个组成有序元，记为
kiii
xxx ddd
21
,
这里
i i i k1 2,,,?
是从集合
{,,,}1 2? n
中选取的任意
k
个整数。规定
krrkrr iiiiiiii
xxxxxxxx dddddddd
1111
,1 1r k,
而且如果
i i i k1 2,,,?
中有两个是相同的，则规定
0ddd
21
kiii
xxx?
。
因此共有
C kn
个有序元
niiixxx kiii
k
211,ddd
21
。
以这些有序元为基构造一个
1 ()C U
上的向量空间 k? 。 k? 的元素称为 k
次微分形式,简称 k - 形式 。于是一般
k
- 形式就可表示为
niii
iiiiii
k
kk
xxxxg
21
2121
1
,,,ddd)(
。
这称为 k - 形式的标准形式。
特别地,? n 是
1 ()C U
上的
C1nn?
维的向量空间，它的基为
nxxx ddd 21
，因此一般 n - 形式为
1
12d d d,( )ng x x x g C 。U
注意当 k n? 时，
kiii xxx d,,d,d 21?
中必有两个是相同的，因此总有
0ddd
21
kiii xxx?
，即 }0{ k 。
U 上的具有连续偏导数的函数称为 0 - 形式，它们的全体记为 0?,
它也是一个向量空间，函数 1?g 是它的一个基。
例 1 3,5,2 在 3R 上,? 2 的基为
3121 dd,dd xxxx
和
32 dd xx?
，而 3R
上的 2 - 形式为
31 dd)(ji jiji xxg x 。
例 1 3,5,2 在 3R 上,? 2 的基为
3121 dd,dd xxxx
和
32 dd xx?
，而 3R
上的 2 - 形式为
31 dd)(ji jiji xxg x 。
例 1 3,5,3 在 3R 上,
312121323232121 dddddddddd xxxxxxxxxxxxxx
的标准形式为
32323121211 dd)(dddd)1( xxxxxxxxxx
。
微分形式的外积现在把
ji xx dd?
中的? 理解为一种运算。先考虑任意
, 1
,
,d)(d)(d)(
,d)(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xbxbxb
xaxaxa
xxx
xxx
定义? 与
的 外 积 为
n
ji
jiji
xxba
1,
dd)()( xx
nji
jiijji xxbaba
1
dd))()()()(( xxxx
nji
ji
ji
ji
xx
bb
aa
1
dd
)()(
)()(
xx
xx,
它是 2? 中的元素。
显然，这样的外积定义可以推广到任意的 i? 与 j? 中去。为此，将前面的向量空间0 1,,,? n 合并为
0 1? n,
则? 是一个 1 ()C U 上的
01C C C 2nnn n n
维的向量空间。它的基即为
0 1,,,? n 中的基的全体,? 中的元素的一般形式为
iin,10?
,ni,,1,0 。
现在在? 上引入外积运算?,
记
piiiI
xxxx dddd
21
，
qjjjJ
xxxx dddd
21
。则
Ixd
与
Jxd
的外积定义为
qp jjjiiiJI
xxxxxxxx dddddddd
2121
,
它是
)( qp?
- 形式。显然如果
Ixd
和
Jxd
中有公共元素，那么
0dd JI xx
。
对于一般
p
- 形式
I
II xxg d)(?
和
q
- 形式
J
JJ xxh d)(?
，定义? 和
的外积
为
JI
JIJI xxxhxg
,
dd)()(
。
它是
)( qp?
- 形式。对于 0 - 形式
f
，补充定义
I
II xxgxfff d)()(
,p 。
外积有以下性质。
性质 1 设p q,,则当 p q n 时,
0 。
这是因为当 nqp 时,},,,{
21 piii?
和 },,,{
21 qjjj?
必有公共元素。
性质 2 设
p q,
,则
( )1 pq
。
证 由外积的向量性质，只要对
piii
xxxxg ddd)(
21
和
qjjj
xxxxh ddd)(
21
证明即可。
若
{,,,}i i i p1 2?
与
{,,,}j j j q1 2?
有公共元素，则有
0
，命题已经成立。否则由定义可知
。
pq
qp
iiijjj
jjjiii
xxxxxxxgxh
xxxxxxxhxg
dddddd)()(
,dddddd)()(
2121
2121
要使
中的微分顺序变到
中的微分 顺序，只要依次把每个
d (,1,,2,1 )i rx r p p
与
q
个
),2,1(d qsx sj
交换次序，每次交换次序都要改变符号，而总共要进行
pq
个外积次序的交换。
外积有以下性质。
性质 1 设p q,,则当 p q n 时,
0 。
这是因为当 nqp 时,},,,{
21 piii?
和 },,,{
21 qjjj?
必有公共元素。
推论 设
p,0
,则当
p
为奇数时, 0 。
注 当
p
为偶数时，不一定成立 0 。
例 1 3,5,4 在 4R 上，如果
4321 dddd xxxx
，那么
.dddd2
dddddddd
)dddd()dddd(
4321
21434321
43214321
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
这时 0 。
性质 3 对于任意,,,成立分配律, )(, )( 。
结合律,)()( 。
例 1 3,5,5 在 nR 上，如果
j
jj
i
ii xgxf d,d
，则
nji
jiijji
ji
jiji xxgfgfxxgf
1,
dd)(dd
。
如果
nkj
kjkj xxh
1
dd?
，则
nkji
kjijikkijkji
kji
kjikji xxxhfhfhfxxxhf
1,
ddd)(ddd
。
性质 3 对于任意,,,成立分配律, )(, )( 。
结合律,)()( 。
例 1 3,5,6 设
),(),,(,vuyyvuxxT
为区域 D
)( 2R?
上 具有连续导数的映射。则
d d d,d d du v u vx x u x v y y u y v
。
因此
d d ( d d ) ( d d )
d d d d ( ) d d
(,)
d d,
(,)
u v u v
u v v u u v v u
x y x u x v y u y v
x y u v x y v u x y x y u v
xy
uv
uv
现在回到一开始讲的问题，介绍微分形式的一个应用。先以极坐标变换 T,
s i n,c o s ryrx
为例。这时
yx dd? (,)
(,)
xy
r?
dd?r?dd rr 。
如果我们将
yx dd?
与?dd?r 看作有向面积微元，上式就是极坐标变换下的有向面积微元 之间的关系，而
0
),(
),(
r
r
yx
说明这两个有向面积微元具有相同的符号。将
yx dd?
与?dd?r 分别看成正面积微元
ddxy
与
ddr?,就得到变量代换公式
()
(,) d d
T
f x y x y
D
(,)
( c o s,s i n ) d d
(,)
xy
f r r r
r
D
。
一般地，设 nR 中的坐标变换为
),,(,),,,(),,,(,1122111 nnnnn xxyyxxyyxxyyT
。
对上式取微分，得到
),,2,1(dd nix
x
y
y
k
k
k
i
i
,
。
从此式即可得到
。n
n
n
n xxxxxx
yyy
yyy ddd
),,,(
),,,(
ddd 21
21
21
21
在此坐标变换下，基本 n - 形式之间相差的因子就是映射的 J aco b i
行列式。如果也将
nyyy ddd 21
和
nxxx ddd 21
分别看成坐标系
),,,( 21 nyyy?
和坐标系
),,,( 21 nxxx?
中的有向体积元素（ 2?n 时为有向面积元素），那么同样成立用微分形式表示的重积分变量代换公式
1 2 1 2
()
(,,,) d d dnn
T
f y y y y y y
D
12
1 2 1 2
12
(,,,)
( ( ),( ),,( ) ) d d d
(,,,)
n
nn
n
y y y
f y y y x x x
x x x
D
x x x
。
以后将知道，这样做会带来很大的方便。这也是引入微分形式的目的之一。
()
(,)
(,) d d ( (,),(,) ) d d
(,)
T
xy
f x y x y f x u v y u v u v
uv
DD
时已经指出，加了绝对值号的 J ac o b i 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义是
xy
平面的面积微元
ddxy
与 uv 平面的面积微元 dduv 之间的比例系数。那么，
不加绝对值号的 J ac o b i 行列式
),(
),(
vu
yx
的几何意义又是什么呢？一个顺理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。
§ 5 微分形式带符号的面积称为 有向面积 。下面从最简单的平行四边形出发，
给出一个定义有向面积的例子。
设
),( 21 aa?a
，
),( 21 bb?b
为平面 2R 上两个线性无关向量,? 为 2R 上由向量 a 和 b 所张成的平行四边形，我们规定：如果从向量 a 出发在?
中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向,b 的方向和指向读者的 方向成右手定则,见图 13,5,1 ），这个平行四边形的面积为正，否则为负。
b?
a
图 13,5,1
容易看出，二阶行列式
21
21
bb
aa
正是由 a 和 b 所张成的平行四边形
的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是? 在普通意义下的面积。将这两个向量用极坐标表示为
)s i n,co s(),s i n,co s( 22221111 rrbrra
,
若从 a 出发在? 中旋转到 b 是逆时针方向的，则有
1 2 1 π
，因此
12
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
12
( c o s s in s in c o s ) s in ( ) 0
aa
r r r r
bb
,
与? 的有向面积的符号规定一致。
若交换 a 和 b 的位置，即从 a 出发在? 中旋转到 b 是顺时针方向的，则结果反号。
我们将这种运算称为向量 a 与 b 的 外积,记为 a? b,即
a? b =
21
21
bb
aa
。
易验证外积运算具有以下性质,
（ 1 ） 反称性
a? b = - a? b,a,b? 2R,
由此立即得出
a? a = 0,a? 2R 。
（ 2 ） 双线性（分配律）
a? ( b + c ) = a? b + a? c,
( a + b )? c = a? c + b? c,a,b,c? 2R, R 。
(? a )? b = a? (? b ) =? ( a? b ),
例 1 3,5,1 设
1e
，
2e
为 2R 上的一组基（不一定要求正交）,
2221212
2121111,
eea
eea
aa
aa
是 2R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到
21 aa?
= (
212111 ee aa?
)? (
222121 ee aa?
)
=
2111 aa 1e
1e
+
2211 aa 1e
2e
+
2112 aa 2e
1e
+
2212 aa 2e
2e
=
2211 aa 1e
2e
++
2112 aa 2e
1e
=(
2211 aa
-
2112 aa
)
1e
2e
2221
1211
aa
aa
1
e? 2e
。
上式两端的
21 aa?
和
1e
2e
分别表示由
1a
，
2a
和
1e
，
2e
所张成的平行四边形的有向面积，而行列式
2221
1211
aa
aa 就是这两个有向面积之间的比 例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从
1e
到
2e
的旋转方向与从
21 aa 到的旋转方向相同；若行列式小于零，说明这两个有向面积的符号相反，即从
1e
到
2e
的旋转方向与从
21 aa 到的旋转方向相反。
微分形式从例 1 3,5,1 得到启发，若能将重积分变量代换公式中的微元关系
d x d y =
),(
),(
vu
yx
d u d v
写成形式
d x? d y =
),(
),(
vu
yx
d u? d v,
而 d x? d y 和 d u? d v 理解为带符号的面积微元，就无须对变量代换的
J ac o b i 行列式 取绝对值了。但是，这 里的 d x,d y ( 或 d u,d v ) 并非向量，
因此需要引入微分形式和外积的概念。
设
U
为 nR 上的区域，记
),,,( 21 nxxxx
，
1 ()C U
为
U
上具有连续偏导数的函数全体。将 {
nxxx d,,d,d 21?
} 看作一组基，其线性组合
nn xaxaxa d)(d)(d)( 2211 xxx
,
)( xia
1 ()C U
（
ni,,2,1
）
称为 一次微分形式,简称 1 - 形式 。 1 - 形式的全体记为? 1 。
对于任意
, 1
,
,d)(d)(d)(
,)d(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xxbxxbxxb
xxaxxaxxa
我们定义
和
（
1 ()C U
）为
。
nn
nnn
xxaxxxaxxxax
xxbxaxxbxaxxbxa
d))()((d))()((d))()((
,d))()((d))()((d))()((
2211
222111
这显然满足交换律、结合律以及对
1 ()C U
的乘法分配律。若定义? 1 中的“零元”为
nxxx d0d0d00 21
,
而且定义
为
,d))((d))((d))(( 2211 nn xxaxxaxxa
那么? 1 成为
1 ()C U
上的向量空间。
进一步，在 {
nxxx d,,d,d 21?
} 中任取 2 个组成二元有序元，记为
ji xx dd?
),,2,1,( nji
，称为
ixd
与
jxd
的外积。
仿照向量的外积，规定
,dddd ijji xxxx
0dd ii xx
,
nji,,2,1,
。
因此共有
2C
n
个有序元
njixx ji 1,dd
。
同? 1 的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个
1 ()C U
上的向量空间? 2 。 2? 的元素称为 二次微分形式,简称 2 - 形式 。于是? 2 的元素就可表为
nji
jiji xxxg
1
dd)(
。
这称为 2 - 形式的标准形式。
一般地，在 {
nxxx d,,d,d 21?
} 中任意选取
k
个组成有序元，记为
kiii
xxx ddd
21
,
这里
i i i k1 2,,,?
是从集合
{,,,}1 2? n
中选取的任意
k
个整数。规定
krrkrr iiiiiiii
xxxxxxxx dddddddd
1111
,1 1r k,
而且如果
i i i k1 2,,,?
中有两个是相同的，则规定
0ddd
21
kiii
xxx?
。
因此共有
C kn
个有序元
niiixxx kiii
k
211,ddd
21
。
以这些有序元为基构造一个
1 ()C U
上的向量空间 k? 。 k? 的元素称为 k
次微分形式,简称 k - 形式 。于是一般
k
- 形式就可表示为
niii
iiiiii
k
kk
xxxxg
21
2121
1
,,,ddd)(
。
这称为 k - 形式的标准形式。
特别地,? n 是
1 ()C U
上的
C1nn?
维的向量空间，它的基为
nxxx ddd 21
，因此一般 n - 形式为
1
12d d d,( )ng x x x g C 。U
注意当 k n? 时，
kiii xxx d,,d,d 21?
中必有两个是相同的，因此总有
0ddd
21
kiii xxx?
，即 }0{ k 。
U 上的具有连续偏导数的函数称为 0 - 形式，它们的全体记为 0?,
它也是一个向量空间，函数 1?g 是它的一个基。
例 1 3,5,2 在 3R 上,? 2 的基为
3121 dd,dd xxxx
和
32 dd xx?
，而 3R
上的 2 - 形式为
31 dd)(ji jiji xxg x 。
例 1 3,5,2 在 3R 上,? 2 的基为
3121 dd,dd xxxx
和
32 dd xx?
，而 3R
上的 2 - 形式为
31 dd)(ji jiji xxg x 。
例 1 3,5,3 在 3R 上,
312121323232121 dddddddddd xxxxxxxxxxxxxx
的标准形式为
32323121211 dd)(dddd)1( xxxxxxxxxx
。
微分形式的外积现在把
ji xx dd?
中的? 理解为一种运算。先考虑任意
, 1
,
,d)(d)(d)(
,d)(d)(d)(
2211
2211
nn
nn
xbxbxb
xaxaxa
xxx
xxx
定义? 与
的 外 积 为
n
ji
jiji
xxba
1,
dd)()( xx
nji
jiijji xxbaba
1
dd))()()()(( xxxx
nji
ji
ji
ji
xx
bb
aa
1
dd
)()(
)()(
xx
xx,
它是 2? 中的元素。
显然，这样的外积定义可以推广到任意的 i? 与 j? 中去。为此，将前面的向量空间0 1,,,? n 合并为
0 1? n,
则? 是一个 1 ()C U 上的
01C C C 2nnn n n
维的向量空间。它的基即为
0 1,,,? n 中的基的全体,? 中的元素的一般形式为
iin,10?
,ni,,1,0 。
现在在? 上引入外积运算?,
记
piiiI
xxxx dddd
21
，
qjjjJ
xxxx dddd
21
。则
Ixd
与
Jxd
的外积定义为
qp jjjiiiJI
xxxxxxxx dddddddd
2121
,
它是
)( qp?
- 形式。显然如果
Ixd
和
Jxd
中有公共元素，那么
0dd JI xx
。
对于一般
p
- 形式
I
II xxg d)(?
和
q
- 形式
J
JJ xxh d)(?
，定义? 和
的外积
为
JI
JIJI xxxhxg
,
dd)()(
。
它是
)( qp?
- 形式。对于 0 - 形式
f
，补充定义
I
II xxgxfff d)()(
,p 。
外积有以下性质。
性质 1 设p q,,则当 p q n 时,
0 。
这是因为当 nqp 时,},,,{
21 piii?
和 },,,{
21 qjjj?
必有公共元素。
性质 2 设
p q,
,则
( )1 pq
。
证 由外积的向量性质，只要对
piii
xxxxg ddd)(
21
和
qjjj
xxxxh ddd)(
21
证明即可。
若
{,,,}i i i p1 2?
与
{,,,}j j j q1 2?
有公共元素，则有
0
，命题已经成立。否则由定义可知
。
pq
qp
iiijjj
jjjiii
xxxxxxxgxh
xxxxxxxhxg
dddddd)()(
,dddddd)()(
2121
2121
要使
中的微分顺序变到
中的微分 顺序，只要依次把每个
d (,1,,2,1 )i rx r p p
与
q
个
),2,1(d qsx sj
交换次序，每次交换次序都要改变符号，而总共要进行
pq
个外积次序的交换。
外积有以下性质。
性质 1 设p q,,则当 p q n 时,
0 。
这是因为当 nqp 时,},,,{
21 piii?
和 },,,{
21 qjjj?
必有公共元素。
推论 设
p,0
,则当
p
为奇数时, 0 。
注 当
p
为偶数时，不一定成立 0 。
例 1 3,5,4 在 4R 上，如果
4321 dddd xxxx
，那么
.dddd2
dddddddd
)dddd()dddd(
4321
21434321
43214321
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
这时 0 。
性质 3 对于任意,,,成立分配律, )(, )( 。
结合律,)()( 。
例 1 3,5,5 在 nR 上，如果
j
jj
i
ii xgxf d,d
，则
nji
jiijji
ji
jiji xxgfgfxxgf
1,
dd)(dd
。
如果
nkj
kjkj xxh
1
dd?
，则
nkji
kjijikkijkji
kji
kjikji xxxhfhfhfxxxhf
1,
ddd)(ddd
。
性质 3 对于任意,,,成立分配律, )(, )( 。
结合律,)()( 。
例 1 3,5,6 设
),(),,(,vuyyvuxxT
为区域 D
)( 2R?
上 具有连续导数的映射。则
d d d,d d du v u vx x u x v y y u y v
。
因此
d d ( d d ) ( d d )
d d d d ( ) d d
(,)
d d,
(,)
u v u v
u v v u u v v u
x y x u x v y u y v
x y u v x y v u x y x y u v
xy
uv
uv
现在回到一开始讲的问题，介绍微分形式的一个应用。先以极坐标变换 T,
s i n,c o s ryrx
为例。这时
yx dd? (,)
(,)
xy
r?
dd?r?dd rr 。
如果我们将
yx dd?
与?dd?r 看作有向面积微元，上式就是极坐标变换下的有向面积微元 之间的关系，而
0
),(
),(
r
r
yx
说明这两个有向面积微元具有相同的符号。将
yx dd?
与?dd?r 分别看成正面积微元
ddxy
与
ddr?,就得到变量代换公式
()
(,) d d
T
f x y x y
D
(,)
( c o s,s i n ) d d
(,)
xy
f r r r
r
D
。
一般地，设 nR 中的坐标变换为
),,(,),,,(),,,(,1122111 nnnnn xxyyxxyyxxyyT
。
对上式取微分，得到
),,2,1(dd nix
x
y
y
k
k
k
i
i
,
。
从此式即可得到
。n
n
n
n xxxxxx
yyy
yyy ddd
),,,(
),,,(
ddd 21
21
21
21
在此坐标变换下，基本 n - 形式之间相差的因子就是映射的 J aco b i
行列式。如果也将
nyyy ddd 21
和
nxxx ddd 21
分别看成坐标系
),,,( 21 nyyy?
和坐标系
),,,( 21 nxxx?
中的有向体积元素（ 2?n 时为有向面积元素），那么同样成立用微分形式表示的重积分变量代换公式
1 2 1 2
()
(,,,) d d dnn
T
f y y y y y y
D
12
1 2 1 2
12
(,,,)
( ( ),( ),,( ) ) d d d
(,,,)
n
nn
n
y y y
f y y y x x x
x x x
D
x x x
。
以后将知道，这样做会带来很大的方便。这也是引入微分形式的目的之一。
