重积分的性质性质 1 （线性性） 设
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,
,
为常数，则
gf
在 Ω 上也可积,并且
( ) df g V
dfV?
+
dgV?
。
性质 2 （区域可加性） 设区域 Ω 被分成两个内点不相交的区域
Ω
1
和 Ω
2
,如果
f
在 Ω 上可积，则
f
在 Ω
1
和 Ω
2
上都可积 ； 反之，如果
f
在 Ω
1
和 Ω
2
上可积，则
f
也在 Ω 上可积。此时成立
dfV?
1
dfV
+
2
dfV?
。
§ 2 重积分的性质与计算性质 3 设被积函数
f? 1
。 当 2?n 时
dd xy
1 d dxy
Ω 的面积 ；
当 3?n 时
d V?
1d V
Ω 的体积 。
性质 4 （保序性） 设
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,且满足
f? g
，
则成立不等式
dfV
dgV?
。
性质 5 设
f
在区域 Ω 上可积,M 与 m 分别为
f
在 Ω 上的上确界和下确界,则成立不等式
m V
dfV
M V,
其中 V 当 2?n 时为 Ω 的面积,当 2?n 时为 Ω 的体积 。
性质 5 是性质 4 的直接推论。
性质 6 （绝对可积性） 设
f
在区域 Ω 上可积,则
|| f
也在 Ω 上可积,且成立不等式
|
dfV?
|
| | df
。
性质 7 （乘积可积性） 设
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,则
f g?
也在 Ω 上可积 。
性质 8 （积分中值定理） 设
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,且
g
在 Ω
上不变号。设 M 与 m 分别为
f
在 Ω 上的上确界和下确界，则存在常数
],[ Mm?
,使得
df g V
dgV?
。
特别地,如果
f
在 Ω 上连续,则存在
Ω,使得
df g V
)(?f
dgV?
。
矩形区域上的重积分计算设
[,] [,]a b c dD
是 2R 上的闭矩形，
z f x y? (,)
是 D 上的非负连续函数，则以 D 为底、曲面
z f x y? (,)
为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重积分
(,) d df x y x y
D
。
用过
)0,0,( x
)( bxa
点，且与
yz 平面平行的平面截这个曲顶柱体，所得的截面是曲边梯形（见图
1 3,2,1 ），其面积为
d
c
yyxfxA d),()(
。
a b x x
y
z
z = f ( x,y )
O
A ( x )
图 13.2.1
利用定积分中的结论，即知此曲顶柱体的体积为
ba xxAV d)( b
a
d
c
xyyxf dd),(
。
b
a
d
c
xyyxf dd),(
称为
f x y(,)
先对
y
，再对 x 的 累次积分,习惯上写成
ba dc yyxfx d),(d
，因此有等式
(,) d df x y x y
D
=
ba dc yyxfx d),(d
。
这个几何方法提示我们,重积分可以通过累次积分来计算 。
定理 1 3,2,1 设二元函数
),( yxf
在闭矩形
[,] [,]a b c dD
上可积 。
若积分
)( xh? d
c
yyxf d),(
对于每个
],[ bax?
存在,则
)( xh
在
],[ ba
上可积,并有等式
(,) d df x y x y
D
=
ba xxh d)( b
a
d
c
xyyxf dd),(
=
ba dc yyxfx d),(d
。
证 在
[,]a b
中插入分点
a x x x bn0 1?
,
并记
1 iii xxx
（
ni,,2,1
）。显然只要证明
n
i
ii
xh
1
0
)(lim?
(,) d df x y x y
D
,
这里
i?
为
],[ 1 ii xx?
中任意一点，
为所有
x i
的最大者。
再在
],[ dc
中插入分点
dyyyc m10
,
并记
1 jjj yyy
（
mj,,2,1
）。过
],[ ba
和
],[ dc
上的这些分点分别作平行于坐标轴的直线将 D 分成许多小矩形（这是 D 的一个划分），记
11[,] [,]i j i i j jx x y yD
，
mjni,,2,1;,,2,1；
(,)
i n f { (,) }ij
xy
ij
m f x y
D
，
(,)
s u p { (,) }
ij
xy
ij
M f x y
D
。
由于
],[ 1 iii xx
，所以
m
j
jij
m
j
y
y
ii
m
j
jij
yMyyfhym
j
j
111
1
d),()(
，
ni,,2,1
。
将这些不等式分别乘以
x i
，再把它们逐个加起来就得
n
i
m
j
jiij
n
i
ii
n
i
m
j
jiij
yxMxhyxm
1 111 1
)(?
。
不等式的左右两端正是
),( yxf
在所作划分上的 D arb o u x 小和与 大和，由于
),( yxf
在 D 上可积，当 所有
ji yx,
都趋于零时，这个不等式两端都趋于
(,) d df x y x y
D
。
由极限的夹逼性，即得到
b
a
xxh d)(
n
i
ii
xh
1
0
)(lim?
(,) d df x y x y
D
。
可以同样推出，若 f x y(,) 在 [,] [,]a b c dD 上可积，且对所有
y c d? [,],积分? b
a xyxf d),(
都存在，则 f x y(,) 先对 x,再对 y 的累次积分
dc ba xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,) d df x y x y
D
=d
c
b
a xyxfy d),(d
。
特别地有,设一元函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上可积,)( yg 在闭区间
],[ dc 上可积。则成立
],[],[
dd)()(
dcba
yxygxf
b
a
d
c xyygxf dd)()(
ba dc xyygxf dd)()( ba dc yygxxf d)(d)(
。
可以同样推出，若 f x y(,) 在 [,] [,]a b c dD 上可积，且对所有
y c d? [,],积分? b
a xyxf d),(
都存在，则 f x y(,) 先对 x,再对 y 的累次积分
dc ba xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,) d df x y x y
D
=d
c
b
a xyxfy d),(d
。
例 1 3,2,1 计算柱面
x z R2 2 2 与平面
y? 0
和
y a a( )0
所围立体的体积。
解 由对称性，所求立体的体积
V
是该立体在第一卦限部分的体积的 4 倍。而它在第一卦限的的部分是以曲面
22 xRz
为顶，以
xy
平面上区域
[ 0,] [ 0,]RaD
为底的曲顶柱体。因此
D
yxxRV dd4
22
R Ra
RaxxRayxRx
0
2
0
22
0
22
d4dd4
。
z
222
Rzx
a y
x
图 13.2.2
o
注 并不是所有重积分都能化为累次积分来计算。例如，设
[0,1 ] [0,1 ]D
,
.,0
,,,
11
),(
其它点均为既约分数
y
y
x
x
yx
p
q
y
p
q
x
ppyxf
易证明
f x y(,)
在 D 上可积，且
(,) d df x y x y
D
= 0 。
但它的两个累次积分都不存在。
定理 1 3,2,2 设
f x x x n(,,,)1 2?
在 n 维闭矩形
Ω
],[],[ 2211 baba ],[ nn ba?
上可积 。 记 Ω
],[],[ 22* nn baba
。 若积分
1 1 2 2
*
( ) (,,,) d dnnh x f x x x x x
对于每个
x a b1 1 1? [,]
存在,则
h x( )1
在
[,]a b1 1
上可积,并成立
1
1
1
1
1 1 1 2 1 1
1 1 2 2
*
(,,) d d d ( ) d
d (,,,) d d,
b
n n n
a
b
nn
a
f x x x x x x h x x
x f x x x x x
特别，当 2?n 时，上式就是定理 1 3,2,1 ；
当 3?n 时，记 Ω ],[],[],[ fedcba,Ω
* ],[],[ fedc
，那么上式成为
*
(,,) d d d d (,,) d db
a
f x y z x y z x f x y z y z
。
定理 1 3,2,2 设
f x x x n(,,,)1 2?
在 n 维闭矩形
Ω
],[],[ 2211 baba ],[ nn ba?
上可积 。 记 Ω
],[],[ 22* nn baba
。 若积分
1 1 2 2
*
( ) (,,,) d dnnh x f x x x x x
对于每个
x a b1 1 1? [,]
存在,则
h x( )1
在
[,]a b1 1
上可积,并成立
1
1
1
1
1 1 1 2 1 1
1 1 2 2
*
(,,) d d d ( ) d
d (,,,) d d,
b
n n n
a
b
nn
a
f x x x x x x h x x
x f x x x x x
注 在 2?n 时,n 重积分也可以化为先对某个变量作定积分，再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
Ω ],[],[],[ fedcba 可积，并且对于每个?),( zy Ω
* ],[],[ fedc
，
ba xzyxf d),,(
都存在，那么
(,,) d d df x y z x y z
=
*
(,,) d d d
b
a
f x y z x y z
=
*
d d (,,) d
b
a
y z f x y z x
。
推论 1 3,2,1 设 f x x x
n(,,,)1 2?
在 n 维闭矩形
Ω ],[],[],[
2211 nn bababa
上连续,则有
1 2 1 2(,,,) d d dnnf x x x x x x?
11 22 2111 121 d),,,(dddba ba nb na nnnb na n xxxxfxxx
注 在 2?n 时,n 重积分也可以化为先对某个变量作定积分，再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
Ω ],[],[],[ fedcba 可积，并且对于每个?),( zy Ω
* ],[],[ fedc
，
ba xzyxf d),,(
都存在，那么
(,,) d d df x y z x y z
=
*
(,,) d d d
b
a
f x y z x y z
=
*
d d (,,) d
b
a
y z f x y z x
。
一般区域上的重积分计算设
f x y(,)
在
12{ (,) | ( ) ( ),}x y y x y y x a x bD
上连续，其中
y x y x1 2( ),( )
为
[,]a b
上的一元连续函数。
令
)(m a x),(m i n 21 xydxyc
bxabxa
，作闭矩形（图 13,2,3 ）
[,] [,]a b c dD
D 。
y
d
y y x?
2
( )
D
y y x?
1
( )
c
O a b x
图 13,2,3
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
f x y x y
f x y
xy
D
DD
易证明
),(~ yxf
在 D 上也可积。注意到 ~
(,)f x y
在 D 外为零，就得到
( ) ( )
12
( ) ( )
12
( ) ( )
22
( ) ( )
11
(,) d (,) d (,) d (,) d
(,) d (,) d
d y x y x d
c c y x y x
y x y x
y x y x
f x y y f x y y f x y y f x y y
f x y y f x y y
。
因此
(,) d df x y x y
D
=
(,) d d d (,) d
bd
ac
f x y x y x f x y y
D
=
()2
()1
d (,) d
b y x
a y x
x f x y y
。
类似地，如果 f x y(,) 在
12{ (,) | ( ) ( ),}x y x y x x y c y dD
上连续，
其中 x y x y
1 2( ),( )
在 [,]c d 上连续，则有
(,) d df x y x y
D
dc yx yx xyxfy )(2 )(
1
d),(d
。
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
f x y x y
f x y
xy
D
DD
易证明
),(~ yxf
在 D 上也可积。注意到 ~
(,)f x y
在 D 外为零，就得到
( ) ( )
12
( ) ( )
12
( ) ( )
22
( ) ( )
11
(,) d (,) d (,) d (,) d
(,) d (,) d
d y x y x d
c c y x y x
y x y x
y x y x
f x y y f x y y f x y y f x y y
f x y y f x y y
。
因此
(,) d df x y x y
D
=
(,) d d d (,) d
bd
ac
f x y x y x f x y y
D
=
()2
()1
d (,) d
b y x
a y x
x f x y y
。
同样，在三维情形，若
f x y z(,,)
在
Ω
}),()(),,(),(|),,{( 2121 bxaxyyxyyxzzyxzzyx
上连续,且
)()(),,(),,( 2121 xyxyyxzyxz 和都连 续，则
(,,) d d df x y z x y z
=
2
1
(,)
(,)
d d (,,) d
z x y
z x y
xy
x y f x y z z
,d),,(dd
),(
2
),(
1
)(
2
)(
1
yxz
yxz
xy
xy
b
a
zzyxfyx
其中 Ω
}),()(|),{( 21 bxaxyyxyyxxy
为区域 Ω 在
xy
平面的投影。
2 (,)z z x y?
1 (,)z z x y?
2 ()y y x?1
()y y x?
xy
a
b
x
y
z
图 13.2.4
利用类似的思想方法还可得到,设 Ω 为限制在平面 z e? 和 z f?
之间的 一个具有分片光滑边界的 区域，过 z e z f( ) 且与 xy 平面平行的平面截 Ω 得到一个图形，记这个图形在 xy 平面的投影区域为 Ω
z
。
若 ),,( zyxf 是 Ω 上的连续函数,则成立以下公式
(,,) d d d (,,) d df
e
z
f x y z x y z d z f x y z x y
。
例 1 3,2,2 计算
ddx y x y
D
,D 为抛物线
y x2?
和直线
y x 2
所围成的闭区域。
y
y x
2
y x 2
1
D
2
D
O 2 4 x
解 法一 化为先对
y
后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x? 1 将 D 分为
1 { (,) |,0 1 }x y x y x xD
和
2 { (,) | 2,1 4 }x y x y x xD
两部分。那么
12
14
0 1 2
4
21
2
1
d d d d d d
d d d d
45
0 [ ( 2 ) ] d
8
xx
xx
x y x y x y x y x y x y
x x y y x x y y
x x x x
。
D D D
解法二? 化为先对 x 后对 y 的累次积分来计算，这时 D 可统一表示为 {(,) |,}x y y x y y2 2 1 2。因此
ddx y x y
D
=
8
45d])2[(dd 2
1
42
21
2
1
2
2
yyyyxxyy y
y
。
显然，第二种解法较为简单。
解 法一 化为先对
y
后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x? 1 将 D 分为
1 { (,) |,0 1 }x y x y x xD
和
2 { (,) | 2,1 4 }x y x y x xD
两部分。那么
12
14
0 1 2
4
21
2
1
d d d d d d
d d d d
45
0 [ ( 2 ) ] d
8
xx
xx
x y x y x y x y x y x y
x x y y x x y y
x x x x
。
D D D
例 1 3,2,3 计算
2
s i n d dx x y
D
,D
为
0,π 2yx
和
xy?
所围成的闭区域。
解 若将此积分化为先对
x
后对
y
的累次积分
π 2 π 2
22
0
s in d d d s in d
y
x x y y x x
D
,
这个积分是积不出来的。但若化为先对
y
后对
x
的累次积分就得
π 2
22
00
s in d d d s in d
x
x x y x x y
D
2
0
2
ds i n xxx
2
1
。
由此可见，适当选取累次积分次序非常重要。
y
xy?
D
O π 2 x
图 13.2.6
例 1 3,2,4 求抛物柱面
xy?22
，平面
1
224
zyx
和
0?z
所围立体的体积。
解 立体的顶为
1
224
zyx
，
即
2
2
x
yz
，底为
xy
平面上由直线
1
24
yx
和抛物线
xy?22
所围成的区域 D,因此它的体积为
1 4 2
22 2
22
1
2 3 4
2
( 2 ) d d d ( 2 ) d
81
( 4 4 3 2 ) d
10
y
xx
y
V y x y y y x
y y y y y
。
D
z
1
224
zyx
xy?
2
2
y
( 2,1,0 )
(8,- 2,0 )
x
图 13.2.7
o
例 1 3,2,5 一非均匀金属块在空间的表示是由双曲抛物面
z xy?
，平面
x y 1
和
z? 0 所围成的区域 Ω,其密度函数为
(,,)x y z xy?
。求它的质量。
解 如图所示,Ω 可表为
Ω
}10,10,0|),,{( xxyxyzzyx
,
因此金属块的质量为
11
0 0 0
1 1 1
2 2 2 3
1
3
0 0 0
(,,) d d d d d d d d d
1
d d ( 1 ) d
180
x x y
x
M x y z x y z x y x y z x y x y z
x x y y x x x
。
z
z xy?
O y
x y 1
x
图 13.2.8
例 13,2,6 计算
2 d d dI z x y z
，其中 Ω 是由锥面
z hR x y2
2
2
2 2( )
与平面 z h? 所围成的闭区域。
z
z h?
2
2 2 2
2
()
h
z x y
R
O y
x
图 13.2.9
解? Ω 可表为?
Ω
222
2
2
)(,0),,( zyx
R
h
hzzyx
,?
因此
2
d d dI z x y z
22
00
d d d d d d
hh
zz
z z x y z z x y
,
这里对于每个 z,Ω
z
为平面 zz? 截 Ω 所得图形在
xy
平面的投影，它为区域
222
2
2
)(),( zyx
R
h
yx
，其面积为 2
2
2
π
R
z
h
，即
dd
z
xy
2
2
02
π
R
z
h
。
因此?
2 2 3
4
20
π
π d
5
h R R h
I z z
h
。
例 1 3,2,7 求 nR 中几何体
1 2 1 2 1 2{ (,,,) | 0,0,,0,}n n n nx x x x x x x x x hT
（它称为
n
维单纯形 ）的体积。
解? 当 n? 2 时，
2T
的体积为?
2
dd xy
T
2
000 2
1
d)(dd hxxhyx
hxhh
。
当 n? 3 时，
3T
的体积 为?
3
d d dx y z
T
0,0
3
0
2
0
!3
d
2
)(
ddd
zy
xhzy
hh h
x
xh
zyx
。
设
1n?T
的体积为?
1
1 2 1
1
d d d
( 1 ) !
n
n
n
h
x x x
n
T
。
则利用上式得
nT
的体积为
23
2 3 1
1
1
1 2 1 2 3 1
00
0,0,,0
()
d d d d d d d d
( 1 ) ! !
n
n
n n
hh
nn
x x x
n
x x x h x
hx h
x x x x x x x x
nn
T
。
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,
,
为常数，则
gf
在 Ω 上也可积,并且
( ) df g V
dfV?
+
dgV?
。
性质 2 （区域可加性） 设区域 Ω 被分成两个内点不相交的区域
Ω
1
和 Ω
2
,如果
f
在 Ω 上可积，则
f
在 Ω
1
和 Ω
2
上都可积 ； 反之，如果
f
在 Ω
1
和 Ω
2
上可积，则
f
也在 Ω 上可积。此时成立
dfV?
1
dfV
+
2
dfV?
。
§ 2 重积分的性质与计算性质 3 设被积函数
f? 1
。 当 2?n 时
dd xy
1 d dxy
Ω 的面积 ；
当 3?n 时
d V?
1d V
Ω 的体积 。
性质 4 （保序性） 设
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,且满足
f? g
，
则成立不等式
dfV
dgV?
。
性质 5 设
f
在区域 Ω 上可积,M 与 m 分别为
f
在 Ω 上的上确界和下确界,则成立不等式
m V
dfV
M V,
其中 V 当 2?n 时为 Ω 的面积,当 2?n 时为 Ω 的体积 。
性质 5 是性质 4 的直接推论。
性质 6 （绝对可积性） 设
f
在区域 Ω 上可积,则
|| f
也在 Ω 上可积,且成立不等式
|
dfV?
|
| | df
。
性质 7 （乘积可积性） 设
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,则
f g?
也在 Ω 上可积 。
性质 8 （积分中值定理） 设
f
和
g
都在区域 Ω 上可积,且
g
在 Ω
上不变号。设 M 与 m 分别为
f
在 Ω 上的上确界和下确界，则存在常数
],[ Mm?
,使得
df g V
dgV?
。
特别地,如果
f
在 Ω 上连续,则存在
Ω,使得
df g V
)(?f
dgV?
。
矩形区域上的重积分计算设
[,] [,]a b c dD
是 2R 上的闭矩形，
z f x y? (,)
是 D 上的非负连续函数，则以 D 为底、曲面
z f x y? (,)
为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重积分
(,) d df x y x y
D
。
用过
)0,0,( x
)( bxa
点，且与
yz 平面平行的平面截这个曲顶柱体，所得的截面是曲边梯形（见图
1 3,2,1 ），其面积为
d
c
yyxfxA d),()(
。
a b x x
y
z
z = f ( x,y )
O
A ( x )
图 13.2.1
利用定积分中的结论，即知此曲顶柱体的体积为
ba xxAV d)( b
a
d
c
xyyxf dd),(
。
b
a
d
c
xyyxf dd),(
称为
f x y(,)
先对
y
，再对 x 的 累次积分,习惯上写成
ba dc yyxfx d),(d
，因此有等式
(,) d df x y x y
D
=
ba dc yyxfx d),(d
。
这个几何方法提示我们,重积分可以通过累次积分来计算 。
定理 1 3,2,1 设二元函数
),( yxf
在闭矩形
[,] [,]a b c dD
上可积 。
若积分
)( xh? d
c
yyxf d),(
对于每个
],[ bax?
存在,则
)( xh
在
],[ ba
上可积,并有等式
(,) d df x y x y
D
=
ba xxh d)( b
a
d
c
xyyxf dd),(
=
ba dc yyxfx d),(d
。
证 在
[,]a b
中插入分点
a x x x bn0 1?
,
并记
1 iii xxx
（
ni,,2,1
）。显然只要证明
n
i
ii
xh
1
0
)(lim?
(,) d df x y x y
D
,
这里
i?
为
],[ 1 ii xx?
中任意一点，
为所有
x i
的最大者。
再在
],[ dc
中插入分点
dyyyc m10
,
并记
1 jjj yyy
（
mj,,2,1
）。过
],[ ba
和
],[ dc
上的这些分点分别作平行于坐标轴的直线将 D 分成许多小矩形（这是 D 的一个划分），记
11[,] [,]i j i i j jx x y yD
，
mjni,,2,1;,,2,1；
(,)
i n f { (,) }ij
xy
ij
m f x y
D
，
(,)
s u p { (,) }
ij
xy
ij
M f x y
D
。
由于
],[ 1 iii xx
，所以
m
j
jij
m
j
y
y
ii
m
j
jij
yMyyfhym
j
j
111
1
d),()(
，
ni,,2,1
。
将这些不等式分别乘以
x i
，再把它们逐个加起来就得
n
i
m
j
jiij
n
i
ii
n
i
m
j
jiij
yxMxhyxm
1 111 1
)(?
。
不等式的左右两端正是
),( yxf
在所作划分上的 D arb o u x 小和与 大和，由于
),( yxf
在 D 上可积，当 所有
ji yx,
都趋于零时，这个不等式两端都趋于
(,) d df x y x y
D
。
由极限的夹逼性，即得到
b
a
xxh d)(
n
i
ii
xh
1
0
)(lim?
(,) d df x y x y
D
。
可以同样推出，若 f x y(,) 在 [,] [,]a b c dD 上可积，且对所有
y c d? [,],积分? b
a xyxf d),(
都存在，则 f x y(,) 先对 x,再对 y 的累次积分
dc ba xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,) d df x y x y
D
=d
c
b
a xyxfy d),(d
。
特别地有,设一元函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上可积,)( yg 在闭区间
],[ dc 上可积。则成立
],[],[
dd)()(
dcba
yxygxf
b
a
d
c xyygxf dd)()(
ba dc xyygxf dd)()( ba dc yygxxf d)(d)(
。
可以同样推出，若 f x y(,) 在 [,] [,]a b c dD 上可积，且对所有
y c d? [,],积分? b
a xyxf d),(
都存在，则 f x y(,) 先对 x,再对 y 的累次积分
dc ba xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,) d df x y x y
D
=d
c
b
a xyxfy d),(d
。
例 1 3,2,1 计算柱面
x z R2 2 2 与平面
y? 0
和
y a a( )0
所围立体的体积。
解 由对称性，所求立体的体积
V
是该立体在第一卦限部分的体积的 4 倍。而它在第一卦限的的部分是以曲面
22 xRz
为顶，以
xy
平面上区域
[ 0,] [ 0,]RaD
为底的曲顶柱体。因此
D
yxxRV dd4
22
R Ra
RaxxRayxRx
0
2
0
22
0
22
d4dd4
。
z
222
Rzx
a y
x
图 13.2.2
o
注 并不是所有重积分都能化为累次积分来计算。例如，设
[0,1 ] [0,1 ]D
,
.,0
,,,
11
),(
其它点均为既约分数
y
y
x
x
yx
p
q
y
p
q
x
ppyxf
易证明
f x y(,)
在 D 上可积，且
(,) d df x y x y
D
= 0 。
但它的两个累次积分都不存在。
定理 1 3,2,2 设
f x x x n(,,,)1 2?
在 n 维闭矩形
Ω
],[],[ 2211 baba ],[ nn ba?
上可积 。 记 Ω
],[],[ 22* nn baba
。 若积分
1 1 2 2
*
( ) (,,,) d dnnh x f x x x x x
对于每个
x a b1 1 1? [,]
存在,则
h x( )1
在
[,]a b1 1
上可积,并成立
1
1
1
1
1 1 1 2 1 1
1 1 2 2
*
(,,) d d d ( ) d
d (,,,) d d,
b
n n n
a
b
nn
a
f x x x x x x h x x
x f x x x x x
特别，当 2?n 时，上式就是定理 1 3,2,1 ；
当 3?n 时，记 Ω ],[],[],[ fedcba,Ω
* ],[],[ fedc
，那么上式成为
*
(,,) d d d d (,,) d db
a
f x y z x y z x f x y z y z
。
定理 1 3,2,2 设
f x x x n(,,,)1 2?
在 n 维闭矩形
Ω
],[],[ 2211 baba ],[ nn ba?
上可积 。 记 Ω
],[],[ 22* nn baba
。 若积分
1 1 2 2
*
( ) (,,,) d dnnh x f x x x x x
对于每个
x a b1 1 1? [,]
存在,则
h x( )1
在
[,]a b1 1
上可积,并成立
1
1
1
1
1 1 1 2 1 1
1 1 2 2
*
(,,) d d d ( ) d
d (,,,) d d,
b
n n n
a
b
nn
a
f x x x x x x h x x
x f x x x x x
注 在 2?n 时,n 重积分也可以化为先对某个变量作定积分，再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
Ω ],[],[],[ fedcba 可积，并且对于每个?),( zy Ω
* ],[],[ fedc
，
ba xzyxf d),,(
都存在，那么
(,,) d d df x y z x y z
=
*
(,,) d d d
b
a
f x y z x y z
=
*
d d (,,) d
b
a
y z f x y z x
。
推论 1 3,2,1 设 f x x x
n(,,,)1 2?
在 n 维闭矩形
Ω ],[],[],[
2211 nn bababa
上连续,则有
1 2 1 2(,,,) d d dnnf x x x x x x?
11 22 2111 121 d),,,(dddba ba nb na nnnb na n xxxxfxxx
注 在 2?n 时,n 重积分也可以化为先对某个变量作定积分，再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
Ω ],[],[],[ fedcba 可积，并且对于每个?),( zy Ω
* ],[],[ fedc
，
ba xzyxf d),,(
都存在，那么
(,,) d d df x y z x y z
=
*
(,,) d d d
b
a
f x y z x y z
=
*
d d (,,) d
b
a
y z f x y z x
。
一般区域上的重积分计算设
f x y(,)
在
12{ (,) | ( ) ( ),}x y y x y y x a x bD
上连续，其中
y x y x1 2( ),( )
为
[,]a b
上的一元连续函数。
令
)(m a x),(m i n 21 xydxyc
bxabxa
，作闭矩形（图 13,2,3 ）
[,] [,]a b c dD
D 。
y
d
y y x?
2
( )
D
y y x?
1
( )
c
O a b x
图 13,2,3
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
f x y x y
f x y
xy
D
DD
易证明
),(~ yxf
在 D 上也可积。注意到 ~
(,)f x y
在 D 外为零，就得到
( ) ( )
12
( ) ( )
12
( ) ( )
22
( ) ( )
11
(,) d (,) d (,) d (,) d
(,) d (,) d
d y x y x d
c c y x y x
y x y x
y x y x
f x y y f x y y f x y y f x y y
f x y y f x y y
。
因此
(,) d df x y x y
D
=
(,) d d d (,) d
bd
ac
f x y x y x f x y y
D
=
()2
()1
d (,) d
b y x
a y x
x f x y y
。
类似地，如果 f x y(,) 在
12{ (,) | ( ) ( ),}x y x y x x y c y dD
上连续，
其中 x y x y
1 2( ),( )
在 [,]c d 上连续，则有
(,) d df x y x y
D
dc yx yx xyxfy )(2 )(
1
d),(d
。
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
f x y x y
f x y
xy
D
DD
易证明
),(~ yxf
在 D 上也可积。注意到 ~
(,)f x y
在 D 外为零，就得到
( ) ( )
12
( ) ( )
12
( ) ( )
22
( ) ( )
11
(,) d (,) d (,) d (,) d
(,) d (,) d
d y x y x d
c c y x y x
y x y x
y x y x
f x y y f x y y f x y y f x y y
f x y y f x y y
。
因此
(,) d df x y x y
D
=
(,) d d d (,) d
bd
ac
f x y x y x f x y y
D
=
()2
()1
d (,) d
b y x
a y x
x f x y y
。
同样，在三维情形，若
f x y z(,,)
在
Ω
}),()(),,(),(|),,{( 2121 bxaxyyxyyxzzyxzzyx
上连续,且
)()(),,(),,( 2121 xyxyyxzyxz 和都连 续，则
(,,) d d df x y z x y z
=
2
1
(,)
(,)
d d (,,) d
z x y
z x y
xy
x y f x y z z
,d),,(dd
),(
2
),(
1
)(
2
)(
1
yxz
yxz
xy
xy
b
a
zzyxfyx
其中 Ω
}),()(|),{( 21 bxaxyyxyyxxy
为区域 Ω 在
xy
平面的投影。
2 (,)z z x y?
1 (,)z z x y?
2 ()y y x?1
()y y x?
xy
a
b
x
y
z
图 13.2.4
利用类似的思想方法还可得到,设 Ω 为限制在平面 z e? 和 z f?
之间的 一个具有分片光滑边界的 区域，过 z e z f( ) 且与 xy 平面平行的平面截 Ω 得到一个图形，记这个图形在 xy 平面的投影区域为 Ω
z
。
若 ),,( zyxf 是 Ω 上的连续函数,则成立以下公式
(,,) d d d (,,) d df
e
z
f x y z x y z d z f x y z x y
。
例 1 3,2,2 计算
ddx y x y
D
,D 为抛物线
y x2?
和直线
y x 2
所围成的闭区域。
y
y x
2
y x 2
1
D
2
D
O 2 4 x
解 法一 化为先对
y
后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x? 1 将 D 分为
1 { (,) |,0 1 }x y x y x xD
和
2 { (,) | 2,1 4 }x y x y x xD
两部分。那么
12
14
0 1 2
4
21
2
1
d d d d d d
d d d d
45
0 [ ( 2 ) ] d
8
xx
xx
x y x y x y x y x y x y
x x y y x x y y
x x x x
。
D D D
解法二? 化为先对 x 后对 y 的累次积分来计算，这时 D 可统一表示为 {(,) |,}x y y x y y2 2 1 2。因此
ddx y x y
D
=
8
45d])2[(dd 2
1
42
21
2
1
2
2
yyyyxxyy y
y
。
显然，第二种解法较为简单。
解 法一 化为先对
y
后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x? 1 将 D 分为
1 { (,) |,0 1 }x y x y x xD
和
2 { (,) | 2,1 4 }x y x y x xD
两部分。那么
12
14
0 1 2
4
21
2
1
d d d d d d
d d d d
45
0 [ ( 2 ) ] d
8
xx
xx
x y x y x y x y x y x y
x x y y x x y y
x x x x
。
D D D
例 1 3,2,3 计算
2
s i n d dx x y
D
,D
为
0,π 2yx
和
xy?
所围成的闭区域。
解 若将此积分化为先对
x
后对
y
的累次积分
π 2 π 2
22
0
s in d d d s in d
y
x x y y x x
D
,
这个积分是积不出来的。但若化为先对
y
后对
x
的累次积分就得
π 2
22
00
s in d d d s in d
x
x x y x x y
D
2
0
2
ds i n xxx
2
1
。
由此可见，适当选取累次积分次序非常重要。
y
xy?
D
O π 2 x
图 13.2.6
例 1 3,2,4 求抛物柱面
xy?22
，平面
1
224
zyx
和
0?z
所围立体的体积。
解 立体的顶为
1
224
zyx
，
即
2
2
x
yz
，底为
xy
平面上由直线
1
24
yx
和抛物线
xy?22
所围成的区域 D,因此它的体积为
1 4 2
22 2
22
1
2 3 4
2
( 2 ) d d d ( 2 ) d
81
( 4 4 3 2 ) d
10
y
xx
y
V y x y y y x
y y y y y
。
D
z
1
224
zyx
xy?
2
2
y
( 2,1,0 )
(8,- 2,0 )
x
图 13.2.7
o
例 1 3,2,5 一非均匀金属块在空间的表示是由双曲抛物面
z xy?
，平面
x y 1
和
z? 0 所围成的区域 Ω,其密度函数为
(,,)x y z xy?
。求它的质量。
解 如图所示,Ω 可表为
Ω
}10,10,0|),,{( xxyxyzzyx
,
因此金属块的质量为
11
0 0 0
1 1 1
2 2 2 3
1
3
0 0 0
(,,) d d d d d d d d d
1
d d ( 1 ) d
180
x x y
x
M x y z x y z x y x y z x y x y z
x x y y x x x
。
z
z xy?
O y
x y 1
x
图 13.2.8
例 13,2,6 计算
2 d d dI z x y z
，其中 Ω 是由锥面
z hR x y2
2
2
2 2( )
与平面 z h? 所围成的闭区域。
z
z h?
2
2 2 2
2
()
h
z x y
R
O y
x
图 13.2.9
解? Ω 可表为?
Ω
222
2
2
)(,0),,( zyx
R
h
hzzyx
,?
因此
2
d d dI z x y z
22
00
d d d d d d
hh
zz
z z x y z z x y
,
这里对于每个 z,Ω
z
为平面 zz? 截 Ω 所得图形在
xy
平面的投影，它为区域
222
2
2
)(),( zyx
R
h
yx
，其面积为 2
2
2
π
R
z
h
，即
dd
z
xy
2
2
02
π
R
z
h
。
因此?
2 2 3
4
20
π
π d
5
h R R h
I z z
h
。
例 1 3,2,7 求 nR 中几何体
1 2 1 2 1 2{ (,,,) | 0,0,,0,}n n n nx x x x x x x x x hT
（它称为
n
维单纯形 ）的体积。
解? 当 n? 2 时，
2T
的体积为?
2
dd xy
T
2
000 2
1
d)(dd hxxhyx
hxhh
。
当 n? 3 时，
3T
的体积 为?
3
d d dx y z
T
0,0
3
0
2
0
!3
d
2
)(
ddd
zy
xhzy
hh h
x
xh
zyx
。
设
1n?T
的体积为?
1
1 2 1
1
d d d
( 1 ) !
n
n
n
h
x x x
n
T
。
则利用上式得
nT
的体积为
23
2 3 1
1
1
1 2 1 2 3 1
00
0,0,,0
()
d d d d d d d d
( 1 ) ! !
n
n
n n
hh
nn
x x x
n
x x x h x
hx h
x x x x x x x x
nn
T
。
