在实际应用中，常常需要考察某种物理量（如温度，密度，电场强度，力，速度等）在空间的分布和变化规律，从数学和物理上看这就是 场 的概念。
设? 3R? 是一个区域，若在时刻 t,? 中每一点
(,,)x y z
都有一个确定的数值
f x y z t(,,,)
（或确定的向量值
),,,( tzyxf
）与它对应，就称函数
f x y z t(,,,)
为? 上的 数量场 （或 向量场 ）。例如，某一区域上每一点的温度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不随时间的变化而变化，就称该场为 稳定场 ；否则称为 不稳定场 。在本节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。
§ 5 场论初步梯度
上 任何一个三元函数
),,( zyxf
都可以看成是? 上的 一个 数量场。 设
f x y x(,,)
在? 上具有连续偏导数，则其梯度为
x y zf f f fg r a d i j k
,
而且沿方向
kjil ),c o s (),c o s (),c o s ( zlylxl
的方向导数可以表示为
f
f
l
g r a d l
。
曲面
czyxf?),,(
（常数）
称为
f
的等值面。 若
zyx fff,,
不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
kji
n
为等值面上的一个单位法向量，并且有
f f
n
g ra d
及 f
f
n
gr ad n
。
这说明,f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 fg r a d 的方向，
于是，沿着与梯度方向相同的方向,f 的函数值增加最快。而沿着与梯度方向相反的方向,f 的方向导数取到最小值 f? g r a d,于是，沿着与梯度方向相反的方向,函数值减少最快。
曲面
czyxf?),,(
（常数）
称为
f
的等值面。 若
zyx fff,,
不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
kji
n
为等值面上的一个单位法向量，并且有
f f
n
g ra d
及 f
f
n
gr ad n
。
由数量场 f 产生的向量场
x y zf f f fg r a d i j k
称为 梯度场 。
再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 ),( yxfz?
来表示，图 14,5,1 是等高线图，即 cyxf?),( 的图形。当雪融化时，由于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即 f? g r a d 方向流动，
溪流就是这样形成的。
图 14.5.1
通量与散度设? 上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1 ）的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv zyx
,
其中
zyx vvv,,
具有连续偏导数。设? 是? 中的一片定向曲面，则单位时间内通过? 流向指定侧的流量为
(,,) d d (,,) d d (,,) d d dx y zv x y z y z v x y z z x v x y z x y S
vnd
Sv
,
其中
kjin c o sc o sc o s
为? 在
(,,)x y z
处的、在指定侧的单位法向量。
显然,0 说明向指定侧穿过曲面? 的流量多于向相反方向穿过曲面? 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面? 的流量少于向相反方向穿过曲面? 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面? 的流量等于向相反方向穿过曲面? 的流量。
如果? 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0 说明从曲面内的流出量大于流入量，此时在? 内必有产生流体的源头（源）； 0
说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在? 内必有排泄流体的漏洞（汇）。
要判断场中一点
),,( zyxM
是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面? （定向为外侧），考察?
所围区域
V
收缩到 M 点时（记为
M?V
），
d
vS
的值。但因为
M?V
时有?
0,所以考虑
d
l i m l i m
MM mm
VV
vS
VV
（
m V
为
V
的体积）。由 G au s s 公式，并利用积分中值定理,
d d d d d d d
ddd
x y z
yy
xx zz
M
v y z v z x v x y
vvvv vv
x y z m
x y z x y z
。
V
vS
V
其中 ~M 为
V
上某一点。
于是
(,,)(,,) (,,)
l i m l i m yyxx zz
M MM
M
v v x y zv v x y zv v x y z
m x y z x y z
V V
。
因此，可以用
z
zyxv
y
zyxv
x
zyxv zyx
),,(),,(),,(
来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”。
定 义 1 4,5,1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k
是一个向量场,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数 。
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面? 的 通量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
为向量场 a 在 M 点的 散度,记为
)(d iv Ma
。
由上面的流体例子可知道，如果 )(d iv Ma 大于零，则称在 M 点处有 正源（源） ；如果 )(d iv Ma 小于零，则称在 M 点处有 负源 （ 汇 ）；如果 )(d iv Ma =0,则称在 M 点处 无源 。如果在场中每一点都成立 0d i v?a,
则称 a 为 无源场 。
定 义 1 4,5,1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k
是一个向量场,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数 。
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面? 的 通量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
为向量场 a 在 M 点的 散度,记为
)(d iv Ma
。
定理 1 4,5,1 a 的散度是通量关于体积的变化率，即
d
d i v ( ) l i m
M
M
m
V
aS
a
V
。
换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量 。
由向量场 a 产生的数量场 ad i v 称为 散度场 。
利用散度的记号,G au s s 公式就可写成如下形式,
d iv d dV
a a S
。
向量线设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k?
为向量场,? 为? 中的一条曲线。若? 上的每一点处的切线方向都与场向量在该点的方向一致，则称? 为向量场 a 的 向量线 。静电场中的电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子。
设
M x y z(,,)
为向量线上任一点，则其矢量方程为
kjir zyx
,
那么
d d d dx y zr i j k
就是向量线在 M 点处的切向量。由定义，它与在 M 点处的场向量共线，因此
d d d
(,,) (,,) (,,)
x y z
P x y z Q x y z R x y z
。
这就是向量线所满足的方程，如果解出它的话，一般就得到向量线族。
如果再利用过 M 点这个条件，就得到过 M 点的向量线。一般来说，
向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它，向量线族充满了向量场所在的空间。
例 1 4,5,1 由电磁学中的 Co u l o m b 定律，在位于原点的点电荷
q
（这里
q
表示电荷大小）所产生的静电场中，任何一点
M x y z(,,)
处的电场强度为
3
04 π
q
r?
Er
,
其中
222 zyxr
为点 M 到原点的距离，
kjir zyx
，
0
为真空介电常数。
将 E 具体写出来就是
3 3 3 3
0 0 0 0
4 π 4 π 4 π 4 π
q q x q y q z
r r r r
E r i j k
。
由于
2 2 2 2
3 5 3 5
0 0 0 0
22
35
00
33
,,
4 π 4 π 4 π 4 π
3
,
4 π 4 π
q x q r x q y q r y
x r r y r r
q z q r z
z r r
所以
3 3 3
0 0 0
d iv 0
4 π 4 π 4 π
q x q y q z
x r y r z r
E
，
0222 zyx
。
1,设 S 是以原点为心，半径为 R 的球面，定向取外侧。注意到在球面 S 上恒有 r R?,且 E 的方向与球面 S 的外法向量的方向相同，因此从内部穿出球面 S 的通量（称为 电通量 ）为
d
S
ES 2 2 2
0 0 0 0
ddd4 π 4 π 4 πq q q qSSSr R R
S S S
。
2,设? 为任意一张光滑或分片光滑的封闭曲面。
（ i ）如果? 内不含原点。记? 所包围的区域为?,则由 G au s s
公式得
d d i v d 0V
E S E
。
（ ii ）如果? 内含有原点，那么不能 直接用 G au s s 公式。在曲面?
所包围的区域内取一个以原点为心的小球面
，定向取内侧。记
1?
为介于
与? 之间的区域。由 G au s s 公式得
1
d d d iv d 0V
E S E S E
,
因此从内部穿出曲面? 的电通量
0
dd
q
E S E S
。
因此，电场强度穿出任一封闭曲面的电通量等于其内部的电荷量除以
0?
，这正是电磁学中的 G a u s s 定律。
此外，利用前面的讨论，电场强度的向量线（即电力线）应满足关系式
d d dx y z
x y z
,
由此解得电力线的方程为
.
,
2
1
xCz
xCy
这是一族从坐标原点出发的半射线（见图 1 4,5,2 ）。
图 14.5.2
x
y
z
环量与旋度设稳定不可压缩流体的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv zyx
,
其中
zyx vvv,,
具有连续偏导数。设
),,( 0000 zyxM
是场中一点。如果在
0M
点有旋涡，流体以角速度
旋转（这里
在旋涡的轴线上，且方向与旋涡的旋转方向成右手螺旋定则），那么流体在
0M
附近 的任一点
),,( zyxM
的速度
v
可以表为
rvv0
,
其中
0v
表示在点
0M
的速度,r 表示向量
MM 0
（见图 1 4,5,3 ）。这就是说，流体在 M 点的速度是平移速度
0v
与旋转产生的线速度 r 的叠加。
0M
M
v
r
记
),,( zyx
，
),,( 0000 zyx vvv?v
，则流体在 M 点的速度
),,( zyx vvv?v
的分量为
).()(
),()(
),()(
000
000
000
xxyyvv
zzxxvv
yyzzvv
yxzz
xzyy
zyxx
于是在 M 点成立
z
xy
y
zx
x
yz
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
2,2,2?
。
因此向量
kjiB
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
xyzxyz
2
同样可以描述旋涡的强度和方向，而 B 是由速度场本身决定的，不用真正测量出角速度
。
设? 为场中的定向闭曲线，由 S t o k es 公式
dd
v s B S
,
这里? 是任意以? 为边界的曲面，定向与? 符合右手定则。由此可见，曲线积分
d
vs
也与流体的旋转状态有密切关系。
定 义 1 4,5,2 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k
是一个向量场,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数。
设? 为场中的定向曲 线,称曲线积分
d
as
为向量场
a
沿定向曲线? 的 环量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称向量
M
RQP
zyx
kji
kji
MMM
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
为向量场
a
在 M 点的 旋度,记为
()Mr o t a
或
()Mc u r l a
。
由向量场
a
产生的向量场
r o t a
称为 旋度 场 。 如果在场中每一点都成立
r o t a
= 0,则称
a
为 无旋场 。
于是,S t o k es 公式可以写成
dd
r ot a S a s
,
对旋度可以作类似于散度的解释。在场中一点 M 处任取一个向量 n,作小平面片? 过 M 点且以 n 为法向量，并按右手定则取定
的方向。记? 的面积为 m? 。如果当? 收缩到点 M 时（记为 M ）,
d
m
as
的极限存在，则称此极限值为向量场 a 在 M 点沿方向 n 的 环量面密度 。它是环量关于面积的变化率，即沿平面上单位面积边缘的环量。
定理 1 4,5,2 向量场
a
在 M 点处的旋度就是这样一个向量：
a
在
M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，而且最大值就是
()Mc u r l a
。
证 对于 包含
M x y z(,,)
的小平面片?,及它的法向量
n
，并按右手定则取定
的方向。记单位法向量
( c o s
||
n
n
,
c o s
,
)c o s?
。由 S t o k e s
公式，并利用积分中值定理,
d d d dP x Q y R z
as
c o s c o s c o s d
R Q P R Q P
S
y z z x x y
m
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
M
~
c o sc o sc o s
,
其中 ~M 为? 上某一点。
因此当
M
时,a 在 M 点沿方向 n 的环量面密度为
d
l im
M m
as
l im c o s c o s c o s
M
M
R Q P R Q P
y z z x x y?
M
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
c o sc o sc o s
( ) c o s ( ( ),)MM r o t r o t a a n
≤
()Mr o t a
,
因此 a 在 M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，且最大值为
()Mr o t a
。
以前面的流体速度场为例，它在与 r o t a 垂直的平面上，沿单位面积边缘的环量最大（这显然符合实际），达到角速度的模的两倍。
例 1 4,5,2 设一根无限长直线导线载有电流 I （见图 1 4,5,4 ）。由电磁学知，这电流产生的磁感强度 B 的大小为
0
2 π
I
B
r
,
这里 r 为观察点到导线的距离，
0?
为真空磁导率。而磁力线是围绕该导线的圆周，电流方向、半径方向和磁感强度的方向成右手定则。
取导线为 z 轴，电流方向为 z 轴的正向。任取一张垂直于导线的平面为
xy
平面。那么在点
),,( zyxM
(
022 yx
) 处的磁感强度为
0
2
()
2 π
I
yx
r
B i j
,
其中
22 yxr
。于是
22
0
x y z
yx
rr
r o t
i j k
B
0,
022 yx
。
图 14.5.4
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向，从例 1 4,3,5 知，
B 沿? 的环量为
0
022
dddd
2 π
I x y y xsI
xy
B s B?
。
2,对于空间中任意一条简单闭曲线?,取它的定向为从上往下看是逆时针方向。对于任意一张以? 为边界曲面?,取? 的定向与? 的定向符合右手定则。
( 1 ) 如果导线不穿过曲面?,那么
d d 0
r o t B s B S
。
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向，从例 1 4,3,5 知，
B 沿? 的环量为
0
022
dddd
2 π
I x y y xsI
xy
B s B?
。
( 2 ) 如果导线穿过曲面? 一次，这时不能直接用 S t o k e s 定理。适当取一张垂直于导线的平面，使得它与? 的交线
C
为围绕导线的简单闭曲线（见图 1 4,5,5 ）。记曲面? 在? 和
C
之间的部分为
1?
。那么由
S t o k e s 定理,
1
d d d 0
r o t
C
B s B s B S
。
注意
C
的定向取为：从上往下看是顺时针方向。因此利用（ 1 ）的结果可知
0
dd I
C
B s B s
。
综合上述，磁感强度沿封闭曲线?
的环量与通过该曲线所围曲面的电流 I
成正比，即
0
d I
Bs
,
这就是 A m p è re 环路定律。
1?
C
图 14.5.5
保守场与势函数定 义 1 4,5,3 设
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
,
(,,)x y z
为向量场,其中
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在区域? 上连续 。 若存在函数
U x y z(,,)
满足
U? g r a da
,则称向量场 a 为 有势场,并称函数 V U 为势函数 。
从定义可知，有势场是梯度场。一个场的势函数有无穷多个，但它们之间只相差一个常数。
定 义 1 4,5,4 如果对于? 内任意两点 A,B,积分值
d d d
L
P x Q y R z
只与 A,B 两点有关,而与从 A 到 B 的路径 （ 这里只考虑光滑或分段光滑曲线 ） L 无关,就称曲线积分
d d d
L
P x Q y R z
与路径无关 。
如果在向量场 a 中曲线积分与路径无关,则称 a 为 保守场 。
显然，这等价于沿? 内任意闭曲线的积分值为零。
同平面情形类似，我们引入空间单连通区域的概念。如果区域?
内的任意一条封闭曲线都可以不经过? 外的点而连续地收缩成? 中一点，那么? 称为 单连通区域 。注意单连通与二维单连通的概念是不同的。如空心球
{(,,)| }x y z x y z1 32 2 2
（图 1 4,5,6 ）是单连通的，
但不是二维单连通的；而环面的内部（图 1 4,5,7 ）是二维单连通的，
但不是 单连通的。
图 1 4,5,6
图 1 4,5,7
关于保守场与有势场的关系有如下定理,
定理 1 4,5,3 设? 3R? 为单连通区域,在? 上定义了向量场
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
,
(,,)x y z
,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数 。 则以下三个命题等价,
（ 1 ） a 是保守场 ；
（ 2 ） a 是有势场 ；
（ 3 ） a 是无旋场 。
证明从略。
定理 1 4,5,4 设函数
P x y z Q x y z(,,),(,,)
和
R x y z(,,)
在单连通区域?
上连续,若
U x y z(,,)
是 1 - 形式
d d dP x Q y R z
的一个 原函数 （ 即在? 上恒有 d U?
d d dP x Q y R z
）,则对于? 内 任意两点
A x y z B x y zA A A B B B(,,),(,,)
,成立
d d d (,,) (,,)B B B A A A
AB
P x Q y R z U x y z U x y z
,
其中 AB 为从 A 到 B 的任意路径 。
证明从略。
例 1 4,5,3 设在坐标原点处有一质量为 m 的质点。根据万有引力定律，它在
kjir zyx
点产生的引力场，其方向指向原点，大小与它们的距离的平方成反比。因此质点的引力场可表为
kjiF
333 r
Gmz
r
Gmy
r
Gmx
,
其中
r x y z2 2 2
,G 为引力常量。
容易验证
r
Gm
zyxU?),,(
满足
U?g r a d F
，因此 F 为有势场，它的一个势函数为
r
Gm
zyxV),,(
。
将单位质量的物体从
A x y zA A A(,,)
处沿路径 L 移动到
B x y zB B B(,,)
处，引力所作的功为
3 3 3
d d d d
LL
xyz
W G m x y z
r r r
Fr
,
这里
d d d dx y zr i j k
。由于 F 为有势场，即保守场，因此 W 与路径 L
无关。显然，
1
r
是
3 3 3
d d d
xyz
x y z
r r r
的一个原函数，于是 (,,)
(,,)
3 3 3
(,,)
(,,)
2 2 2 2 2 2
1
d d d
11
x y z
B B B
x y z
B B B
x y z
A A A
x y z
A A A
B B B A A A
xyz
W G m x y z G m
r r r r
Gm
x y z x y z
。
最后说一下势函数 ),,( zyxV 的物理意义。在这个力场中，设质点在无穷远点的势能为 0,那么一个单位质量的质点在点 M x y z(,,) 的势能，就是将它从无穷远点? 移到点 M 时，克服引力所作的功，即
3 3 3 2 2 2d d d d
MM x y z G m G m
G m x y z
r r r rx y z
Fr
,
这正是势函数 ),,( zyxV 。
例 1 4,5,4 位于原点的点电荷
q
（这里
q
表示电荷的大小）产生的静电场的电场强度为
3 3 3 3
0 0 0 04 π 4 π 4 π 4 π
q q x q y q z
r r r r
E r i j k
,
r x y z2 2 2
。
容易验证,
04 π
q
r?
g r a dE
,
因此它是有势场，即保守场。
均匀带电直线的电场模型设 L 是一条无限长的均匀带电的直线，电荷分布的线密度为
q
。
现在考察它所产生的电场中任意一点的电场强度 E 。
取这条直线为 z 轴，直线上任一点为坐标原点（见图 14,5,8 ）。设
),,( zyxP 为空间上的一个点。由于 L 是无限长的，因此由对称性，在 P
点的电场强度的垂直方向分量
zE
= 0 。
),0,0( z
dl
Ed
PR
r
x
y
z
O
图 14.5.8
记 E 在 x 方向与
y
方向的分量
xE
，
yE
的大小分别为
xE
，
yE
。任取带电直线 L 上的线微元 d l,那么它所带的电荷为
dql
。若设 d l 的坐标为
),0,0( a
，则由 Co u l o m b 定律，它在 P 点产生的电场强度为
33
00
1 d 1 d
d ( ( ) )
4 π 4 π
q l q l
x y z a
rr
E r i j k
,
其中 r 为点 P 与 d l 的距离,r 为从 d l 到 P 的向量，因此 d E 在 x 轴与
y
轴方向的分量的大小分别为
3
0
1d
d
4 π
x
ql
Ex
r?
,
3
0
1d
d
4 π
y
ql
Ey
r?
。
记
22 yxR
，则
c o s
R
r?
，其中? 为过 d l 和 P 两点的直线与过 P
点且平行于
xy
平面的平面之间的夹角。如果记 d l 与点
),0,0( z
的距离
（即
|| za?
）为 l,那么?t a nRl?,于是
2
d
d
c os
lR
。
所以
2
0
1
d c o s d
4 π
x
qx
E
R
,
2
0
1
d c o s d
4 π
y
qy
E
R
。
由于带电直线 L 无限长，因此对应的? 的取值范围是
( π 2,π 2)?
，
所以
π
2
π 22
002
11
c o s d
4 π 2 π
x
q x q x
E
RR
,π
2
π 22
002
11
c o s d
42 π
y
q y q y
E
RR
。
于是,
22
00
11
0
2 π 2 π
q x q y
RR
E i j k
22
02 π
q x y
xy?
ij
。
这说明一点的电场强度的大小与电荷分布的线密度成正比，与该点到带电直线的距离成反比，场强的方向与带电直线垂直。
由于
0
2 2 2 2
2 π
0
q
x y z
xy
x y x y
rot
i j k
E
0,
因此 E 是无旋场。
E 同时也是一个有势场，它的一个势函数为
0 0 0
00
(,,)
2 2 2 2
(,,)
0
22
00
2 2 2 2 2 2
0 0 0
d d 0 d
2 π
d d l n,
2 π 4 π
x y z
x y z
xy
xy
q x y
V U x y z
x y x y
xyq x y q
xy
x y x y x y
这里
02020 yx
。于是，等势（等电势）线方程为
Cyx 22 。
由于
0
2 2 2 2
2 π
0
q
x y z
xy
x y x y
rot
i j k
E
0,
因此 E 是无旋场。
再来求 E 的电力线方程。从关系式
2 2 2 2
00
d d d
0
2 π 2 π
x y z
q x q y
x y x y
即可解得电力线方程为
.
,
2
1
Cz
xCy
图 1 4,5,9 是
xy
平面上的电力线与等电势线的示意图（任意与其平行的平面上的电力线和等电势线也都是这样的形状），其中射线为电力线，圆为等电势线。
y
x
图 14,5,9
设? 3R? 是一个区域，若在时刻 t,? 中每一点
(,,)x y z
都有一个确定的数值
f x y z t(,,,)
（或确定的向量值
),,,( tzyxf
）与它对应，就称函数
f x y z t(,,,)
为? 上的 数量场 （或 向量场 ）。例如，某一区域上每一点的温度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不随时间的变化而变化，就称该场为 稳定场 ；否则称为 不稳定场 。在本节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。
§ 5 场论初步梯度
上 任何一个三元函数
),,( zyxf
都可以看成是? 上的 一个 数量场。 设
f x y x(,,)
在? 上具有连续偏导数，则其梯度为
x y zf f f fg r a d i j k
,
而且沿方向
kjil ),c o s (),c o s (),c o s ( zlylxl
的方向导数可以表示为
f
f
l
g r a d l
。
曲面
czyxf?),,(
（常数）
称为
f
的等值面。 若
zyx fff,,
不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
kji
n
为等值面上的一个单位法向量，并且有
f f
n
g ra d
及 f
f
n
gr ad n
。
这说明,f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 fg r a d 的方向，
于是，沿着与梯度方向相同的方向,f 的函数值增加最快。而沿着与梯度方向相反的方向,f 的方向导数取到最小值 f? g r a d,于是，沿着与梯度方向相反的方向,函数值减少最快。
曲面
czyxf?),,(
（常数）
称为
f
的等值面。 若
zyx fff,,
不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
kji
n
为等值面上的一个单位法向量，并且有
f f
n
g ra d
及 f
f
n
gr ad n
。
由数量场 f 产生的向量场
x y zf f f fg r a d i j k
称为 梯度场 。
再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 ),( yxfz?
来表示，图 14,5,1 是等高线图，即 cyxf?),( 的图形。当雪融化时，由于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即 f? g r a d 方向流动，
溪流就是这样形成的。
图 14.5.1
通量与散度设? 上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1 ）的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv zyx
,
其中
zyx vvv,,
具有连续偏导数。设? 是? 中的一片定向曲面，则单位时间内通过? 流向指定侧的流量为
(,,) d d (,,) d d (,,) d d dx y zv x y z y z v x y z z x v x y z x y S
vnd
Sv
,
其中
kjin c o sc o sc o s
为? 在
(,,)x y z
处的、在指定侧的单位法向量。
显然,0 说明向指定侧穿过曲面? 的流量多于向相反方向穿过曲面? 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面? 的流量少于向相反方向穿过曲面? 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面? 的流量等于向相反方向穿过曲面? 的流量。
如果? 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0 说明从曲面内的流出量大于流入量，此时在? 内必有产生流体的源头（源）； 0
说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在? 内必有排泄流体的漏洞（汇）。
要判断场中一点
),,( zyxM
是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面? （定向为外侧），考察?
所围区域
V
收缩到 M 点时（记为
M?V
），
d
vS
的值。但因为
M?V
时有?
0,所以考虑
d
l i m l i m
MM mm
VV
vS
VV
（
m V
为
V
的体积）。由 G au s s 公式，并利用积分中值定理,
d d d d d d d
ddd
x y z
yy
xx zz
M
v y z v z x v x y
vvvv vv
x y z m
x y z x y z
。
V
vS
V
其中 ~M 为
V
上某一点。
于是
(,,)(,,) (,,)
l i m l i m yyxx zz
M MM
M
v v x y zv v x y zv v x y z
m x y z x y z
V V
。
因此，可以用
z
zyxv
y
zyxv
x
zyxv zyx
),,(),,(),,(
来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”。
定 义 1 4,5,1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k
是一个向量场,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数 。
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面? 的 通量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
为向量场 a 在 M 点的 散度,记为
)(d iv Ma
。
由上面的流体例子可知道，如果 )(d iv Ma 大于零，则称在 M 点处有 正源（源） ；如果 )(d iv Ma 小于零，则称在 M 点处有 负源 （ 汇 ）；如果 )(d iv Ma =0,则称在 M 点处 无源 。如果在场中每一点都成立 0d i v?a,
则称 a 为 无源场 。
定 义 1 4,5,1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k
是一个向量场,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数 。
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面? 的 通量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
为向量场 a 在 M 点的 散度,记为
)(d iv Ma
。
定理 1 4,5,1 a 的散度是通量关于体积的变化率，即
d
d i v ( ) l i m
M
M
m
V
aS
a
V
。
换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量 。
由向量场 a 产生的数量场 ad i v 称为 散度场 。
利用散度的记号,G au s s 公式就可写成如下形式,
d iv d dV
a a S
。
向量线设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k?
为向量场,? 为? 中的一条曲线。若? 上的每一点处的切线方向都与场向量在该点的方向一致，则称? 为向量场 a 的 向量线 。静电场中的电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子。
设
M x y z(,,)
为向量线上任一点，则其矢量方程为
kjir zyx
,
那么
d d d dx y zr i j k
就是向量线在 M 点处的切向量。由定义，它与在 M 点处的场向量共线，因此
d d d
(,,) (,,) (,,)
x y z
P x y z Q x y z R x y z
。
这就是向量线所满足的方程，如果解出它的话，一般就得到向量线族。
如果再利用过 M 点这个条件，就得到过 M 点的向量线。一般来说，
向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它，向量线族充满了向量场所在的空间。
例 1 4,5,1 由电磁学中的 Co u l o m b 定律，在位于原点的点电荷
q
（这里
q
表示电荷大小）所产生的静电场中，任何一点
M x y z(,,)
处的电场强度为
3
04 π
q
r?
Er
,
其中
222 zyxr
为点 M 到原点的距离，
kjir zyx
，
0
为真空介电常数。
将 E 具体写出来就是
3 3 3 3
0 0 0 0
4 π 4 π 4 π 4 π
q q x q y q z
r r r r
E r i j k
。
由于
2 2 2 2
3 5 3 5
0 0 0 0
22
35
00
33
,,
4 π 4 π 4 π 4 π
3
,
4 π 4 π
q x q r x q y q r y
x r r y r r
q z q r z
z r r
所以
3 3 3
0 0 0
d iv 0
4 π 4 π 4 π
q x q y q z
x r y r z r
E
，
0222 zyx
。
1,设 S 是以原点为心，半径为 R 的球面，定向取外侧。注意到在球面 S 上恒有 r R?,且 E 的方向与球面 S 的外法向量的方向相同，因此从内部穿出球面 S 的通量（称为 电通量 ）为
d
S
ES 2 2 2
0 0 0 0
ddd4 π 4 π 4 πq q q qSSSr R R
S S S
。
2,设? 为任意一张光滑或分片光滑的封闭曲面。
（ i ）如果? 内不含原点。记? 所包围的区域为?,则由 G au s s
公式得
d d i v d 0V
E S E
。
（ ii ）如果? 内含有原点，那么不能 直接用 G au s s 公式。在曲面?
所包围的区域内取一个以原点为心的小球面
，定向取内侧。记
1?
为介于
与? 之间的区域。由 G au s s 公式得
1
d d d iv d 0V
E S E S E
,
因此从内部穿出曲面? 的电通量
0
dd
q
E S E S
。
因此，电场强度穿出任一封闭曲面的电通量等于其内部的电荷量除以
0?
，这正是电磁学中的 G a u s s 定律。
此外，利用前面的讨论，电场强度的向量线（即电力线）应满足关系式
d d dx y z
x y z
,
由此解得电力线的方程为
.
,
2
1
xCz
xCy
这是一族从坐标原点出发的半射线（见图 1 4,5,2 ）。
图 14.5.2
x
y
z
环量与旋度设稳定不可压缩流体的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv zyx
,
其中
zyx vvv,,
具有连续偏导数。设
),,( 0000 zyxM
是场中一点。如果在
0M
点有旋涡，流体以角速度
旋转（这里
在旋涡的轴线上，且方向与旋涡的旋转方向成右手螺旋定则），那么流体在
0M
附近 的任一点
),,( zyxM
的速度
v
可以表为
rvv0
,
其中
0v
表示在点
0M
的速度,r 表示向量
MM 0
（见图 1 4,5,3 ）。这就是说，流体在 M 点的速度是平移速度
0v
与旋转产生的线速度 r 的叠加。
0M
M
v
r
记
),,( zyx
，
),,( 0000 zyx vvv?v
，则流体在 M 点的速度
),,( zyx vvv?v
的分量为
).()(
),()(
),()(
000
000
000
xxyyvv
zzxxvv
yyzzvv
yxzz
xzyy
zyxx
于是在 M 点成立
z
xy
y
zx
x
yz
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
2,2,2?
。
因此向量
kjiB
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
xyzxyz
2
同样可以描述旋涡的强度和方向，而 B 是由速度场本身决定的，不用真正测量出角速度
。
设? 为场中的定向闭曲线，由 S t o k es 公式
dd
v s B S
,
这里? 是任意以? 为边界的曲面，定向与? 符合右手定则。由此可见，曲线积分
d
vs
也与流体的旋转状态有密切关系。
定 义 1 4,5,2 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z x y za i j k
是一个向量场,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数。
设? 为场中的定向曲 线,称曲线积分
d
as
为向量场
a
沿定向曲线? 的 环量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称向量
M
RQP
zyx
kji
kji
MMM
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
为向量场
a
在 M 点的 旋度,记为
()Mr o t a
或
()Mc u r l a
。
由向量场
a
产生的向量场
r o t a
称为 旋度 场 。 如果在场中每一点都成立
r o t a
= 0,则称
a
为 无旋场 。
于是,S t o k es 公式可以写成
dd
r ot a S a s
,
对旋度可以作类似于散度的解释。在场中一点 M 处任取一个向量 n,作小平面片? 过 M 点且以 n 为法向量，并按右手定则取定
的方向。记? 的面积为 m? 。如果当? 收缩到点 M 时（记为 M ）,
d
m
as
的极限存在，则称此极限值为向量场 a 在 M 点沿方向 n 的 环量面密度 。它是环量关于面积的变化率，即沿平面上单位面积边缘的环量。
定理 1 4,5,2 向量场
a
在 M 点处的旋度就是这样一个向量：
a
在
M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，而且最大值就是
()Mc u r l a
。
证 对于 包含
M x y z(,,)
的小平面片?,及它的法向量
n
，并按右手定则取定
的方向。记单位法向量
( c o s
||
n
n
,
c o s
,
)c o s?
。由 S t o k e s
公式，并利用积分中值定理,
d d d dP x Q y R z
as
c o s c o s c o s d
R Q P R Q P
S
y z z x x y
m
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
M
~
c o sc o sc o s
,
其中 ~M 为? 上某一点。
因此当
M
时,a 在 M 点沿方向 n 的环量面密度为
d
l im
M m
as
l im c o s c o s c o s
M
M
R Q P R Q P
y z z x x y?
M
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
c o sc o sc o s
( ) c o s ( ( ),)MM r o t r o t a a n
≤
()Mr o t a
,
因此 a 在 M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，且最大值为
()Mr o t a
。
以前面的流体速度场为例，它在与 r o t a 垂直的平面上，沿单位面积边缘的环量最大（这显然符合实际），达到角速度的模的两倍。
例 1 4,5,2 设一根无限长直线导线载有电流 I （见图 1 4,5,4 ）。由电磁学知，这电流产生的磁感强度 B 的大小为
0
2 π
I
B
r
,
这里 r 为观察点到导线的距离，
0?
为真空磁导率。而磁力线是围绕该导线的圆周，电流方向、半径方向和磁感强度的方向成右手定则。
取导线为 z 轴，电流方向为 z 轴的正向。任取一张垂直于导线的平面为
xy
平面。那么在点
),,( zyxM
(
022 yx
) 处的磁感强度为
0
2
()
2 π
I
yx
r
B i j
,
其中
22 yxr
。于是
22
0
x y z
yx
rr
r o t
i j k
B
0,
022 yx
。
图 14.5.4
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向，从例 1 4,3,5 知，
B 沿? 的环量为
0
022
dddd
2 π
I x y y xsI
xy
B s B?
。
2,对于空间中任意一条简单闭曲线?,取它的定向为从上往下看是逆时针方向。对于任意一张以? 为边界曲面?,取? 的定向与? 的定向符合右手定则。
( 1 ) 如果导线不穿过曲面?,那么
d d 0
r o t B s B S
。
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向，从例 1 4,3,5 知，
B 沿? 的环量为
0
022
dddd
2 π
I x y y xsI
xy
B s B?
。
( 2 ) 如果导线穿过曲面? 一次，这时不能直接用 S t o k e s 定理。适当取一张垂直于导线的平面，使得它与? 的交线
C
为围绕导线的简单闭曲线（见图 1 4,5,5 ）。记曲面? 在? 和
C
之间的部分为
1?
。那么由
S t o k e s 定理,
1
d d d 0
r o t
C
B s B s B S
。
注意
C
的定向取为：从上往下看是顺时针方向。因此利用（ 1 ）的结果可知
0
dd I
C
B s B s
。
综合上述，磁感强度沿封闭曲线?
的环量与通过该曲线所围曲面的电流 I
成正比，即
0
d I
Bs
,
这就是 A m p è re 环路定律。
1?
C
图 14.5.5
保守场与势函数定 义 1 4,5,3 设
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
,
(,,)x y z
为向量场,其中
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在区域? 上连续 。 若存在函数
U x y z(,,)
满足
U? g r a da
,则称向量场 a 为 有势场,并称函数 V U 为势函数 。
从定义可知，有势场是梯度场。一个场的势函数有无穷多个，但它们之间只相差一个常数。
定 义 1 4,5,4 如果对于? 内任意两点 A,B,积分值
d d d
L
P x Q y R z
只与 A,B 两点有关,而与从 A 到 B 的路径 （ 这里只考虑光滑或分段光滑曲线 ） L 无关,就称曲线积分
d d d
L
P x Q y R z
与路径无关 。
如果在向量场 a 中曲线积分与路径无关,则称 a 为 保守场 。
显然，这等价于沿? 内任意闭曲线的积分值为零。
同平面情形类似，我们引入空间单连通区域的概念。如果区域?
内的任意一条封闭曲线都可以不经过? 外的点而连续地收缩成? 中一点，那么? 称为 单连通区域 。注意单连通与二维单连通的概念是不同的。如空心球
{(,,)| }x y z x y z1 32 2 2
（图 1 4,5,6 ）是单连通的，
但不是二维单连通的；而环面的内部（图 1 4,5,7 ）是二维单连通的，
但不是 单连通的。
图 1 4,5,6
图 1 4,5,7
关于保守场与有势场的关系有如下定理,
定理 1 4,5,3 设? 3R? 为单连通区域,在? 上定义了向量场
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx
,
(,,)x y z
,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
在? 上具有连续偏导数 。 则以下三个命题等价,
（ 1 ） a 是保守场 ；
（ 2 ） a 是有势场 ；
（ 3 ） a 是无旋场 。
证明从略。
定理 1 4,5,4 设函数
P x y z Q x y z(,,),(,,)
和
R x y z(,,)
在单连通区域?
上连续,若
U x y z(,,)
是 1 - 形式
d d dP x Q y R z
的一个 原函数 （ 即在? 上恒有 d U?
d d dP x Q y R z
）,则对于? 内 任意两点
A x y z B x y zA A A B B B(,,),(,,)
,成立
d d d (,,) (,,)B B B A A A
AB
P x Q y R z U x y z U x y z
,
其中 AB 为从 A 到 B 的任意路径 。
证明从略。
例 1 4,5,3 设在坐标原点处有一质量为 m 的质点。根据万有引力定律，它在
kjir zyx
点产生的引力场，其方向指向原点，大小与它们的距离的平方成反比。因此质点的引力场可表为
kjiF
333 r
Gmz
r
Gmy
r
Gmx
,
其中
r x y z2 2 2
,G 为引力常量。
容易验证
r
Gm
zyxU?),,(
满足
U?g r a d F
，因此 F 为有势场，它的一个势函数为
r
Gm
zyxV),,(
。
将单位质量的物体从
A x y zA A A(,,)
处沿路径 L 移动到
B x y zB B B(,,)
处，引力所作的功为
3 3 3
d d d d
LL
xyz
W G m x y z
r r r
Fr
,
这里
d d d dx y zr i j k
。由于 F 为有势场，即保守场，因此 W 与路径 L
无关。显然，
1
r
是
3 3 3
d d d
xyz
x y z
r r r
的一个原函数，于是 (,,)
(,,)
3 3 3
(,,)
(,,)
2 2 2 2 2 2
1
d d d
11
x y z
B B B
x y z
B B B
x y z
A A A
x y z
A A A
B B B A A A
xyz
W G m x y z G m
r r r r
Gm
x y z x y z
。
最后说一下势函数 ),,( zyxV 的物理意义。在这个力场中，设质点在无穷远点的势能为 0,那么一个单位质量的质点在点 M x y z(,,) 的势能，就是将它从无穷远点? 移到点 M 时，克服引力所作的功，即
3 3 3 2 2 2d d d d
MM x y z G m G m
G m x y z
r r r rx y z
Fr
,
这正是势函数 ),,( zyxV 。
例 1 4,5,4 位于原点的点电荷
q
（这里
q
表示电荷的大小）产生的静电场的电场强度为
3 3 3 3
0 0 0 04 π 4 π 4 π 4 π
q q x q y q z
r r r r
E r i j k
,
r x y z2 2 2
。
容易验证,
04 π
q
r?
g r a dE
,
因此它是有势场，即保守场。
均匀带电直线的电场模型设 L 是一条无限长的均匀带电的直线，电荷分布的线密度为
q
。
现在考察它所产生的电场中任意一点的电场强度 E 。
取这条直线为 z 轴，直线上任一点为坐标原点（见图 14,5,8 ）。设
),,( zyxP 为空间上的一个点。由于 L 是无限长的，因此由对称性，在 P
点的电场强度的垂直方向分量
zE
= 0 。
),0,0( z
dl
Ed
PR
r
x
y
z
O
图 14.5.8
记 E 在 x 方向与
y
方向的分量
xE
，
yE
的大小分别为
xE
，
yE
。任取带电直线 L 上的线微元 d l,那么它所带的电荷为
dql
。若设 d l 的坐标为
),0,0( a
，则由 Co u l o m b 定律，它在 P 点产生的电场强度为
33
00
1 d 1 d
d ( ( ) )
4 π 4 π
q l q l
x y z a
rr
E r i j k
,
其中 r 为点 P 与 d l 的距离,r 为从 d l 到 P 的向量，因此 d E 在 x 轴与
y
轴方向的分量的大小分别为
3
0
1d
d
4 π
x
ql
Ex
r?
,
3
0
1d
d
4 π
y
ql
Ey
r?
。
记
22 yxR
，则
c o s
R
r?
，其中? 为过 d l 和 P 两点的直线与过 P
点且平行于
xy
平面的平面之间的夹角。如果记 d l 与点
),0,0( z
的距离
（即
|| za?
）为 l,那么?t a nRl?,于是
2
d
d
c os
lR
。
所以
2
0
1
d c o s d
4 π
x
qx
E
R
,
2
0
1
d c o s d
4 π
y
qy
E
R
。
由于带电直线 L 无限长，因此对应的? 的取值范围是
( π 2,π 2)?
，
所以
π
2
π 22
002
11
c o s d
4 π 2 π
x
q x q x
E
RR
,π
2
π 22
002
11
c o s d
42 π
y
q y q y
E
RR
。
于是,
22
00
11
0
2 π 2 π
q x q y
RR
E i j k
22
02 π
q x y
xy?
ij
。
这说明一点的电场强度的大小与电荷分布的线密度成正比，与该点到带电直线的距离成反比，场强的方向与带电直线垂直。
由于
0
2 2 2 2
2 π
0
q
x y z
xy
x y x y
rot
i j k
E
0,
因此 E 是无旋场。
E 同时也是一个有势场，它的一个势函数为
0 0 0
00
(,,)
2 2 2 2
(,,)
0
22
00
2 2 2 2 2 2
0 0 0
d d 0 d
2 π
d d l n,
2 π 4 π
x y z
x y z
xy
xy
q x y
V U x y z
x y x y
xyq x y q
xy
x y x y x y
这里
02020 yx
。于是，等势（等电势）线方程为
Cyx 22 。
由于
0
2 2 2 2
2 π
0
q
x y z
xy
x y x y
rot
i j k
E
0,
因此 E 是无旋场。
再来求 E 的电力线方程。从关系式
2 2 2 2
00
d d d
0
2 π 2 π
x y z
q x q y
x y x y
即可解得电力线方程为
.
,
2
1
Cz
xCy
图 1 4,5,9 是
xy
平面上的电力线与等电势线的示意图（任意与其平行的平面上的电力线和等电势线也都是这样的形状），其中射线为电力线，圆为等电势线。
y
x
图 14,5,9
