无穷乘积的定义
设 p
1
,p
2
，…，
n
p,…（ 0≠
n
p ）是无穷可列个实数，我们称它们的“积”
""
n
ppp
21
为 无穷乘积,记为
∏
∞
=1n
n
p,其中
n
p 称为 无穷乘积的通项 或 一般项 。
§ 5 无穷乘积与级数相类似，需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构作无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p 的,部分积数列,｛
n
P ｝,
1
P =
1
p,
2
P =
21
pp?,
3
P =
321
ppp,
…
n
P =
n
ppp"
21
=
∏
=
n
k
k
p
1
,
…
定义 9.5.1 如果部分积数列｛
n
P ｝收敛于一个非零的有限数P，
则称无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p收敛，且称P为它的积，记为
∏
∞
=1n
n
p = P 。
如果｛
n
P ｝发散或｛
n
P ｝收敛于0，则称无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p发散。
注意：当
n
n
P
∞→
lim = 0 时，我们称无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p 发散于 0，而不是收敛于 0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道，它使无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来。
定义 9.5.1 如果部分积数列｛
n
P ｝收敛于一个非零的有限数P，
则称无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p收敛，且称P为它的积，记为
∏
∞
=1n
n
p = P 。
如果｛
n
P ｝发散或｛
n
P ｝收敛于0，则称无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p发散。
定理 9.5.1 如果无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p收敛，则
(1) lim
n→∞
n
P = 1；
(2)
∞→m
lim
∏
∞
+= 1mn
n
p = 1。
证 设
∏
∞
=1n
n
p 的部分积数列为｛
n
P ｝,则
lim
n→∞
n
p = lim
n→∞
1?n
n
P
P
= 1；
∞→m
lim
∏
∞
+= 1mn
n
p =
∞→m
lim
∏
∏
=
∞
=
m
n
n
n
n
p
p
1
1
=1。
为方便起见，我们常把
n
p 记为 1 + a
n
，则定理 9.5.1 的 (1)又可表达为：如果无穷乘积
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a收敛，则lim
n→∞
a
n
= 0。
定理 9.5.1 的 (1)可类比于级数收敛的必要条件：通项趋于 0。作为无穷乘积收敛的必要条件，它可以用于判断某些无穷乘积的发散。
例如，设 p
n
=
12 +n
n
,q
n
=
1
2
+n
n
,r
2n
=
12 +n
n
，
12?n
r =
1
2
+n
n
，则无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p,
∏
∞
=1n
n
q,
∏
∞
=1n
n
r 都是发散的。
例9.5.1 设
n
p =
1
1
1
+
n
（ n = 1,2，…）,则部分积
n
P =
∏
=
+
n
k
k
1
1
1
1 =
∏
=
+
n
k
k
k
1
1
=
14
3
3
2
2
1
+

n
n
" =
1
1
+n
,
由
n
n
P
∞→
lim = 0，可知无穷乘积
∏
∞
=
+
1
1
1
1
n
n
发散于 0。
例 9.5.2 设
n
p =
2
)2(
1
1
n
,n = 1,2,…，则部分积
n
P =
∏
=
n
k
k
1
2
)2(
1
1 =
∏
=
+?
n
k
kk
kk
1
22
)12)(12(
=
)2)(2(664422
)12)(12(755331
nn
nn
"
"

+
=
2
2
]!)!2[(
]!)!12[(
n
n?
)12( +? n 。
为了判断部分积数列｛
n
P ｝的收敛性，考虑积分
I
n
=
π
2
0
sin d
n
xx
∫
,
由例 7.3.8，我们知道
n
I
2
=?
!)!2(
!)!12(
n
n π
2
,
12 +n
I =
!)!12(
!)!2(
+n
n
,
因此
π
2
n
P =
12
2
+n
n
I
I
。
由于 <
+12n
I <
n
I
212?n
I,可得
<<
+12
2
1
n
n
I
I
12
12
+
n
n
I
I
,
因为
∞→n
lim
12
12
+
n
n
I
I
=
∞→n
lim
n
n
2
12 +
= 1，由数列极限的夹逼性,
lim
n→∞
n
P = lim
n→∞
2
21
2
π
n
n
I
I
+



=
2
π
,
于是得到无穷乘积
∏
∞
=
1
2
)2(
1
1
n
n
的收敛性，并且
∏
∞
=
1
2
)2(
1
1
n
n
=
2
π
。
将上式换一个形式表示，就得到著名的 Wallice 公式
π
2
=?
1
2
3
2
3
4
5
4
5
6
"?
7
6
12
2
n
n
"?
+12
2
n
n
。
例 9.5.3 设
n
p = cos
n
x
2
,n = 1,2,…,应用三角函数的倍角公式，
sin x = 2 cos?
2
x
sin
2
x
= 2
2
cos?
2
x
cos?
2
2
x
sin
2
2
x
……
= 2
n
cos?
2
x
cos"
2
2
x
cos?
n
x
2
sin
n
x
2
,
可知当 0＜ x＜π时，部分积
n
P =
∏
=
n
k
k
x
1
2
cos =
n
n
x
x
2
sin2
sin
,
所以
n
n
P
∞→
lim =
∞→n
lim
n
n
x
x
2
sin2
sin
=
x
xsin
,
即
∏
∞
=1
2
cos
n
n
x
=
x
xsin
。
令 x =
π
2
，就得到 Viete 公式
2
π
= cos
π
4
cos
π
8
"cos
π
2
n
"。
无穷乘积与级数
由定理 9.5.1，无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p 收敛的必要条件是
n
n
p
∞→
lim = 1，因此必定存在正整数 N，当 n>N 时成立 0>
n
p 。由于无穷乘积的收敛性与它的前 N 项非零因子无关，所以在讨论无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p 的收敛性问题时，都假定 0>
n
p 。
定理 9.5.2 无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p收敛的充分必要条件是级数
∑
∞
=1
ln
n
n
p
收敛。
证 设
∏
∞
=1n
n
p 的部分积数列为 ｛
n
P ｝，
∑
∞
=1
ln
n
n
p 的部分和数列为 ｛
n
S ｝，
则
n
P =
n
S
e,
由此得到｛
n
P ｝收敛于非零实数的充分必要条件是｛
n
S ｝收敛。特别,｛
n
P ｝收敛于 0，即
∏
∞
=1n
n
p 发散于 0 的充分必要条件是｛
n
S ｝发散于 ∞? 。
推论 1 设a
n
>0（或 a
n
<0），则无穷乘积
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a收敛的充分必要条件是级数
∑
∞
=1n
n
a收敛。
证 级数
∑
∞
=
+
1
)1ln(
n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
a 都是正项级数( 或都是负项级数),它们都以 lim
n→∞
a
n
= 0 为收敛的必要条件，而当 lim
n→∞
a
n
= 0 时,
lim
n→∞
n
n
a
a )1ln( +
=1,
于是由正项级数的比较判别法，级数
∑
∞
=
+
1
)1ln(
n
n
a 收敛的充分必要条件是
∑
∞
=1n
n
a 收敛。
由推论 1，立刻可以得到例 9.5.1，例 9.5.2 和例 9.5.3 中关于无穷乘积收敛与发散的结论。
如果{ a
n
}不保持定号，则
∑
∞
=1n
n
a 的收敛性并不能保证无穷乘积
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a 的收敛性。事实上，我们有下述进一步的结果,
推论 2 设无穷级数
∑
∞
=1n
n
a收敛，则无穷乘积
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a收敛的充分必要条件是级数
∑
∞
=1
2
n
n
a收敛。
证 由
∑
∞
=1n
n
a 收敛，可知 lim
n→∞
a
n
= 0，由 ln (1+ a
n
)≤a
n
及
lim
n→∞
2
)1ln(
n
nn
a
aa +?
= lim
n→∞
22
2
1
()
2
nn
n
aoa
a
+
=
2
1
,
由比较判别法，当
∑
∞
=
+
1
)1ln(
n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
a 收敛时，必有
∑
∞
=1
2
n
n
a 的收敛性。
反过来,当
∑
∞
=1
2
n
n
a 收敛时,由于
∑
∞
=1n
n
a 的收敛性，必可得到
∑
∞
=
+
1
)1ln(
n
n
a
的收敛性。
例 9.5.4 讨论
∏
∞
=
+
+
1
1
)1(
1
n
x
n
n
的敛散性。
解 由无穷乘积收敛性的必要条件，可知当 x ≤ 0 时，
∏
∞
=
+
+
1
1
)1(
1
n
x
n
n
是发散的。
当 x>0，
∑
∞
=1n
n
a =
∑
∞
=
+
1
1
)1(
n
x
n
n
收敛，而
∑
∞
=1
2
n
n
a =
∑
∞
=1
2
1
n
x
n
在 0<x≤
2
1
时发散，
在 x>
2
1
时收敛，于是由推论 2，得到,
当 x>
2
1
时，
∏
∞
=
+
+
1
1
)1(
1
n
x
n
n
收敛；当 x≤
2
1
时，
∏
∞
=
+
+
1
1
)1(
1
n
x
n
n
发散。
从定理 9.5.2 推论 2 的证明中可以看出，若
∑
∞
=1n
n
a 收敛，而
∑
∞
=1
2
n
n
a
= ∞+,则无穷乘积
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a 必定发散于 0，证明留给读者。
注意,推论 2 的叙述不能改为“
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a 收敛的充分必要条件是
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1
2
n
n
a 收敛” 。事实上，我们有这样的例子，
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a 是收敛的，
但
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1
2
n
n
a 却都是发散的（见习题 7）。
定义 9.5.2 当级数
∑
∞
=1
ln
n
n
p绝对收敛时，称无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p 绝对收敛。
显然，绝对收敛的无穷乘积必定收敛。
由于绝对收敛级数具有可交换性，可知绝对收敛的无穷乘积具有可交换性，而收敛但非绝对收敛的无穷乘积不一定具有可交换性。
定理 9.5.3 设a
n
1?>,n = 1,2,…，则下述三命题等价,
(1) 无穷乘积
∏
∞
=
+
1
)1(
n
n
a绝对收敛；
(2) 无穷乘积
∏
∞
=
+
1
)||1(
n
n
a收敛；
(3) 无穷级数
∑
∞
=1
||
n
n
a收敛。
定义 9.5.2 当级数
∑
∞
=1
ln
n
n
p绝对收敛时，称无穷乘积
∏
∞
=1n
n
p 绝对收敛。
显然，绝对收敛的无穷乘积必定收敛。
由于绝对收敛级数具有可交换性，可知绝对收敛的无穷乘积具有可交换性，而收敛但非绝对收敛的无穷乘积不一定具有可交换性。
证 首先命题 (1),(2),(3)的必要条件都是 lim
n→∞
a
n
= 0。而在 lim
n→∞
a
n
=
0 的条件下,
lim
n→∞
||
|)1ln(|
n
n
a
a+
= 1,
lim
n→∞
||
)||1ln(
n
n
a
a+
= 1,
由正项级数的比较判别法，即得到定理的结论。
由定理 9.5.3，例 9.5.4 中的无穷乘积
∏
∞
=
+
+
1
1
)1(
1
n
x
n
n
在 x>1 时绝对收敛，在 <
2
1
x≤1 时非绝对收敛。
例 9.5.5 证明 Stirling 公式,
!n ～
n
n
n
+
π e2
2
1
( ∞→n )。
证 设
1
2
!e
n
n
n
n
b
n
+
=,1,2,n ="，则
1
n
n
b
b
=
1
2
1
e1
n
n



11
1ln1
2
e
n
n

+


= =
22
11
12
e
o
nn

+


22
11
1
12
o
nn

=? +


。
令 1 + a
n
=
1?n
n
b
b
，于是
∑
∞
=2n
n
a 是收敛的定号级数，由定理 9.5.2 的推论 1，
无穷乘积
∏
∞
=
+
2
)1(
n
n
a =
∏
∞
=
2
1
n
n
n
b
b
收敛于非零的实数。
记
lim
n→∞
b
n
= b
1
0
2
1
≠=
∏
∞
=
A
b
b
n
n
n
,
利用例 9.5.2 中的 Wallice 公式，得到
A = lim
n→∞
b
n
= lim
n→∞
n
n
b
b
2
2
= lim
n→∞
!)!12(
!)!2(
n
n
n
2
= π2,
此式即为
!n ～
n
n
n
+
π e2
2
1
( ∞→n )。
例9.5.6 求极限 lim
n→∞ n
n
n
!
。
解 由
lim
n→∞
1
2
!
1
2π e
n
n
n
n
+
=,
易知
lim
n→∞
1
2
!
2π e
n
n
n
n
n
n
+
= lim
n→∞
1
2
!
1
2π e
n
n
n
n
n
+
= 。
于是利用等价无穷大量代换的方法得到
lim
n→∞
!
n
n
n
= lim
n→∞
1
2
e
2π e
n
n
n
n
n
+
= 。
例 9.5.7 证明,
sin x = x
2
22
1
1
π
n
x
n
∞
=



∏
。
证 由三角函数的知识，我们知道
sin 3? = sin? (3-4sin
2
),
sin 5? = sin? (5-20sin
2
+16sin
4
),
利用三角恒等式
sin (2k+1)? = 2(1-2sin
2
)sin (2k-1)? -sin (2k-3)?,
以及应用数学归纳法，可以得到
sin (2n+1)? = sin? P(sin
2
),
其中 P(u)是 n 次多项式。
P(u)的常数项为
P(0) =
0
lim
→
P(sin
2
) =
0
lim
→?
sin(2 1)
sin
n?
+
= 2n+1。
由于? =
π
21
k
n+
（ k =1,2,…,n） 使上面等式的左端取值为 0,可知
2
π
sin
21
k
n+
（ k =1,2,…,n）恰好是多项式 P(u)的 n 个不同的根，于是
P(u) = (2n+1)
2
1
1
π
sin
21
n
k
u
k
n
=


+
∏
,
从而得到
sin (2n+1)? = (2n+1)sin?
2
2
1
sin
1
π
sin
21
n
k
k
n
=


+
∏
。
令 x = (2n+1)?,代入上式后得到
sin x = (2n+1)sin
12 +n
x
2
2
1
sin
21
1
π
sin
21
n
k
x
n
k
n
=


+
+
∏
,
固定 m，当 n＞ m 时，成立
2
2
1
sin
sin
21
(2 1)sin 1
π
21
sin
21
m
k
x
x
x
n
n
k
n
n
=


+
+?
+
+
∏
=
2
2
1
sin
21
1
π
sin
21
n
km
x
n
k
n
=+


+
+
∏
。
当 ∞→n 时上式左端的极限为
2
22
1
sin
1
π
m
k
x
x
x
k
=



∏
。
由于
sin
2
≤
+12n
x
2
2
)12( +n
x
,
sin
2
π
21
k
n+
π
≥
2
4
22
2
π
(2 1)
k
n+
(k =1,2,…,n),
关于上式的右端，有估计式
≥
+
π
+
>
∏
+=
n
mk
n
k
n
x
1
2
2
12
sin
12
sin
11
∏
+=
n
mk
k
x
1
2
2
4
1
∏
∞
+=
>
1
2
2
4
1
mk
k
x
。
令 ∞→n,就得到
2
22
1
sin
1
1
π
m
k
x
x
x
k
=
≥≥



∏
∏
∞
+=
1
2
2
4
1
mk
k
x
。
由
∑
∞
=
1
2
2
4
k
k
x
的收敛性，可知无穷乘积
∏
∞
=
1
2
2
4
1
k
k
x
收敛，再根据定理 9.5.1
的 (2)，令 ∞→m,由极限的夹逼性，得到
sin x = x
2
22
1
1
π
n
x
n
∞
=



∏
。