§ 2 映射与函数映射映射是指两个集合之间的一种对应关系。
§ 2 映射与函数定义 1.2.1 设 X,Y 是两个给定的集合，若按照某种规则 f,
使得对集合 X 中的每一个元素 x,都可以找到集合 Y 中唯一确定的元素 y 与之对应，则称这个对应规则 f 是集合 X 到集合 Y 的一个 映射,
记为
f,X? Y
x y f x ( ) 。
其中 y 称为在映射 f 之下 x 的 像,x 称为在映射 f 之下 y 的一个 逆 像
（也称为 原 像 ）。
映射映射是指两个集合之间的一种对应关系。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的 像 y 的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R f{ y y Y 并且 y f x x X( ),}。
例 1.2.1 设 X 是平面上所有三角形的全体,Y 是平面上所有圆的全体。则对应关系
f,X? Y
x y? （ y 是三角形 x 的外接圆）
是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D f? X
和
R f? Y
。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的 像 y 的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R f{ y y Y 并且 y f x x X( ),}。
例 1.2.2 设 X },,{,Y? {,,,}a b c d,则对应关系
af?)(?,df?)(?,bf?)(?
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D f? X },,{,R f{,,}a b d Y。
构成一个映射必须具备下列三个基本要素,
(1) 集合 X,即定义域
D f? X；
(2) 集合 Y,即限制值域的范围：
R Yf?；
(3) 对应规则 f,使每一个 x X?,有唯一确定的 y f x? ( ) 与之对应。
例 1.2.2 设 X },,{,Y? {,,,}a b c d,则对应关系
af?)(?,df?)(?,bf?)(?
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D f? X },,{,R f{,,}a b d Y。
注
1,映射要求元素的 像 必须是唯一的。
例如，设 RX,R?Y,对应规则
f
要求对每一个 Rx,它的 像
R?y
且满足关系 y x
2?
，这样的对应规则
f
不满足 像 的唯一性要求。
对于不满足 像 的唯一性要求的对应规则，一般只要对值 域范围稍加限制，就能使它成为映射。
例 1.2.3 设 RX, RY }{ Rxx,则对应关系
f,X? Y
x y y x? ( )2?
是一个映射。
2,映射并不要求逆 像 也具有唯一性。
例 1.2.4 设 R YX,则
f,X? Y
x y x 2
是一个映射。
例 1.2.3 设 RX, RY }{ Rxx,则对应关系
f,X? Y
x y y x? ( )2?
是一个映射。
定义 1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆 像 也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 x x
1 2?
,它们的 像 y
1
与 y
2
也满足 y y
1 2?
，
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足
R f
= Y,则称 f 为 满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是 双射 （ 又称 一一对应） 。
例 1.2.2 与例 1.2.3 中的映射是单射,
例 1.2.1 与例 1.2.3 中的映射是满射,
例 1.2.3 中的映射是双射。
定义 1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆 像 也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 x x
1 2?
,它们的 像 y
1
与 y
2
也满足 y y
1 2?
，
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足
R f
= Y,则称 f 为 满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是 双射 （ 又称 一一对应） 。
设
f
,X? Y 是单射，则对应关系
g
：
R Xf?
y x?
（
f x y( )?
）
称为
f
的 逆映射,记为
f? 1
,其定义域为
D f1 R f
，值域为
R f1
X 。
逆映射
f? 1
是
R f
到 X 上的双射。
设
g
,X
U
1
x u g x ( )
f
：
U 2? Y
u y f u ( )
,
当
R U Dg f2
时,
f g?
,X
Y
x y f g x ( ( ))
,
称为
f
和
g
的 复合映射 。
复合映射
f g?
构成的关键在于
R Dg f?
。
例 1.2.5 设
R 21 UUYX
,映射
g
与
f
为,
g
,X?
U 1
x u x s in
f
：
U 2? Y
u y
u
u
1 2
。
R Dg f[,]1 1
，因此可以构成复合映射
f g?
,X? Y
x y f g x
x
x
( ( ))
s i n
s i n1 2
。
例 1.2.6 设映射
g
与 f 为
g
,R? R
x u x1 2
f,?R? R
uyu lg,
则
R Dg f(,]1
,因此不能构成复合映射 f g? 。
但若将映射
g
的定义域作一限制，即换成映射
g *
,
g *
：
X(,)1 1? R
21 xux
f
,?R? R
uyu lg
。
则
fg DR ]1,0(*
,于是可以构成复合映射
f g? *
：
X(,)1 1? R
)1l g ( 2xyx
。
特别地，有下述两恒等式,
f f y y1 ( ),y R f? ；
f f x x1? ( ),x X? 。
但若将映射
g
的定义域作一限制，即换成映射
g *
,
g *
：
X(,)1 1? R
21 xux
f
,?R? R
uyu lg
。
则
fg DR ]1,0(*
,于是可以构成复合映射
f g? *
：
X(,)1 1? R
)1l g ( 2xyx
。
例 1.2.7
y x? s in
,
2
π
,
2
π? [,]? 1 1
是一一映射，它的逆映射是
x y? a r c s i n
,
[,]? 1 1?
2
π
,
2
π
。
通过复合运算，得到恒等式
s i n ( a r c s i n )y y?
,
y? [,]? 1 1；
a r c s i n ( s i n )x x?
,x?
2
π
,
2
π
。
一元实函数在定义 1.2.1 中取集合 R?X,集合 R?Y,则映射
f,X? Y
x y f x ( )
称为 一元实函数,简称 函数 。
由于函数表示的是实数集合与实数集合之间的对应关系，所以在其映射表示中，第一行是不需要的，只要写成
y f x? ( )
,x X? (=
D f
)
就可以了，读作“函数
y f x? ( )
”或“函数
f
”。
这里
f
表示的仍是一种对应规则，对于每一个 x?
D f
，它确定了唯一的
y f x? ( ) R?
与 x 相对应。
一元实函数在定义 1.2.1 中取集合 R?X,集合 R?Y,则映射
f,X? Y
x y f x ( )
称为 一元实函数,简称 函数 。
例 将一块边长为 a 的正方形皮，在四个角上各剪去一个边长为 x
的小正方形，做成一个无盖的方盒 ( 如图 1.2.1),则方盒的容积为
V x a x( )2 2，其中 x 的变化范围是?
2,0
a 。
a
x
图 1.2.1
初等函数基本初等函数,
常数函数,
y c?；
幂函数,
xy?
R(
) ；
指数函数,
y a x?
( a? 0 且 a? 1 ) ；
对数函数,
y xa? lo g
( a? 0 且 a? 1 ) ；
三角函数,如
y x? s in
，
y x? cos
，
t a nyx?
，
c otyx?
等；
反三角函数：如
y x? a r c s i n
，
y x? a r c c o s
，
a r c ta nyx?
等。
这 6 类函数统称为 基本初等函数 。
由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为 初等函数 。
例如 y ax bx c2,
2
l o g ( 1 )
1
a xy
x
,
y x xsi n c o s1 2
,
2 1e a r c ta nxy
x
，等等。
初等函数基本初等函数,
常数函数,
y c?；
幂函数,
xy?
R(
) ；
指数函数,
y a x?
( a? 0 且 a? 1 ) ；
对数函数,
y xa? lo g
( a? 0 且 a? 1 ) ；
三角函数,如
y x? s in
，
y x? cos
，
t a nyx?
，
c otyx?
等；
反三角函数：如
y x? a r c s i n
，
y x? a r c c o s
，
a r c ta nyx?
等。
这 6 类函数统称为 基本初等函数 。
初等函数的 自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x n （ n 是正整数）,s i n x,arct an x,a x 等函数的自然定义域是
),(R ；
l o g a x ( a? 0,a? 1 ) 的自然定义域是 ),0(R ；
a rc s i n x 的自然定义域是 [,]? 1 1 ；
x 的自然定义域则要视? 而定。
例如,x 13 的自然定义域是 ),(R ；
x? 13 的自然定义域是 )0,(}0{R? (,)0 ；
x 32 的自然定义域是 [,)0 ；
x? 14 的自然定义域是 ),0(R,等 等。
初等函数的 自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x n （ n 是正整数）,s i n x,arct an x,a x 等函数的自然定义域是
),(R ；
l o g a x ( a? 0,a? 1 ) 的自然定义域是 ),0(R ；
a rc s i n x 的自然定义域是 [,]? 1 1 ；
x 的自然定义域则要视? 而定。
例 1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1)
y x
x
1 ； (2)
y
x
a rc s i n
2 1
3；
(3)
y x x3 2 2； (4)
2
2
l og
34a
x
y
xx
)1,0( aa
。
解 (1)
D(,)0? (,)0
，
R(,]2? [,)2；
(2)
D[,]1 2
,
2
π
,
2
π
R；
(3)
D[,]1 3
,
R? [,]0 2；
(4)
D(,)1 2? (,)4
，
R(,)
。
例 1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1)
y x
x
1 ； (2)
y
x
a rc s i n
2 1
3；
(3)
y x x3 2 2； (4)
2
2
l og
34a
x
y
xx
)1,0( aa
。
解 (1)
D(,)0? (,)0
，
R(,]2? [,)2；
(2)
D[,]1 2
,
2
π
,
2
π
R；
(3)
D[,]1 3
,
R? [,]0 2；
(4)
D(,)1 2? (,)4
，
R(,)
。
注 当两个函数不仅函数关系相同，而且定义域也相同时，它们表示的是相同的函数，至于自变量与因变量采用什么符号是无关紧要的。
例如 xy s i n?,),(x 与 vu s i n?,),(v 表示的是同一个函数。
函数的分段表示，隐式表示与参数表示函数的分段表示,设 A,B 是两个互不相交的集合，
)( x?
和
)( x?
是分别定义在集合 A 和集合 B 上的函数，则
Bxx
Axx
xf
),(
,),(
)(
是定义在集合 A B? 上的函数。这样的表示方法称为 函数的分段表示 。
注 分段表示可以分成任意有限段，甚至无限多段。
例 1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速 45 k m / h,花了 40 分钟。然后在高速公路上以 100 k m / h 的速度行驶了 1 小时 45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 k m / h,花了 30 分钟。求汽车行驶的路程 s （单位,km ( 公里 ) ）与行驶时间 t （单位,h ( 小时 ) ）之间的函数关系。
解
2
45,0,
3
2 2 5
( ) 30 100,2,
3 3 12
5 5 11
205 40 2,2 2
12 12 12
tt
s t t t
tt
。
例 1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速 45 k m / h,花了 40 分钟。然后在高速公路上以 100 k m / h 的速度行驶了 1 小时 45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 k m / h,花了 30 分钟。求汽车行驶的路程 s （单位,km ( 公里 ) ）与行驶时间 t （单位,h ( 小时 ) ）之间的函数关系。
例 1.2.10 符号函数 s g n x ( 图 1.2.2),
s g n
,
,
,
x
x
x
x
1 0
0 0
1 0
，
，
。
x
y
O
图 1.2.2
它的定义域是 D(,),值域是 R{,,}1 0 1 。
1?
1
例 1.2.11,整数部分”函数 ( 图 1.2.3),
Z nnxnnxy,1,][ 。
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
x
y
图图 1.2.3
它的定义域是 D(,),值域是 Z?R 。
例 1.2.12,非负小数部分”函数 ( 图 1.2.4),
y x x x( ) [ ]
,
x(,)
。
y
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 x
图 1.2.4
它的定义域是 D(,),值域是 )1,0[?R 。
对 x? 3 4.,有 [ ]x? 3,( ),x? 0 4 ；对 x 2 7.,有 [ ]x 3,( ),x? 0 3,等等。
显然，对于任意实数 x,成立等式 [ ]x? ( )x x? 。
函数的隐式表示,指通过方程 F x y(,)? 0 来确定变量 y 与 x 之间函数关系的方式。
例 1.2.13 圆的方程 x y R2 2 2 。
函数的隐式表示,指通过方程 F x y(,)? 0 来确定变量 y 与 x 之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例 1.2.14 Ke pler 方程,
y x y s i n,
其中 (,)0 1 是一个常数。
函数的隐式表示,指通过方程 F x y(,)? 0 来确定变量 y 与 x 之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例 1.2.13 圆的方程 x y R2 2 2 。
函数的参数表示,引入第三个变量（例如参数 t ），通过建立 t
与 x,t 与 y 之间的函数关系，间接地确定 x 与 y 之间的函数关系，即
bat
tyy
txx
,
),(
),(
。
设
( ),,X x x x t t a b
，
( ),,Y y y y t t a b
，上述参数表示所确定的函数关系即为
:
( ) ( )
f X Y
x x t y y t
。
例 x y R2 2 2 所确定的函数关系，可以引入参数 t 表示 x 轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP 的角的弧度，其中 P = P ( x,y ) 表示圆上任意一点（图 1.2.5 ）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x 与 y 的函数关系可表示成
)π,2 π(π,0
,s i n
,c o s
tx
tRy
tRx
或
。
例 x y R2 2 2 所确定的函数关系，可以引入参数 t 表示 x 轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP 的角的弧度，其中 P = P ( x,y ) 表示圆上任意一点（图 1.2.5 ）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x 与 y 的函数关系可表示成
)π,2 π(π,0
,s i n
,c o s
tx
tRy
tRx
或
。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
t
旋轮线 又称 摆线,它表示一 滚动的轮子上一点的运动轨迹。
例 1.2.15 半径为 1 的轮子置于平地上，轮子边缘一点 A 与地面相接触。求当轮子滚动时,A 点运动的函数表示。
解
y
A
A t
O P
π
π2
x
图 1.2.6
令参数 t 表示轮子转过的角度的弧度，于是得到
,0,c o s1,s i n tty ttx 。
此即为旋轮线的参数表示。
函数的简单特性
(1) 有界性定义 1.2.3 若存在两个常数 m 和 M,使函数 y f x? ( ),x D? 满足
mf x( ) M,x D?,
则称函数 f 在 D 有界 。 其中 m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
,存在常数 M? 0,使函数 y f x? ( ),x D? 满足 | ( ) |f x M?,x D?,。
(2) 单调性定义 1.2.4 对函数 y f x? ( ),x D?,若对任意 x x D
1 2,?
,当
x x1 2? 时成立 f x f x( ) ( )1 2? （ 或 f x f x( ) ( )1 2? ）,则称函数 f 在 D 单调增加 （ 或 严格单调增加 ）；
对任意 x x D
1 2,?
,当 x x
1 2?
时成立 f x f x( ) ( )
1 2?
（ 或
f x f x( ) ( )1 2? ）,则称函数 f 在 D 单调减少 （ 或 严格单调减少 ）。
函数的简单特性
(1) 有界性定义 1.2.3 若存在两个常数 m 和 M,使函数 y f x? ( ),x D? 满足
mf x( ) M,x D?,
则称函数 f 在 D 有界 。 其中 m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
,存在常数 M? 0,使函数 y f x? ( ),x D? 满足 | ( ) |f x M?,x D?,。
y x? 3
,
y a x?
（ a? 1 ），
y xa? lo g
（ a? 1 ），
a r c ta nyx?
等函数在它们的定义域中都是严格单调增加的；
y a x?
（ 0 1a ），
y xa? lo g
（ 0 1a ）,
a r c c o tyx?
等函数在它们的定义域中都是严格单调减少的；
y x? [ ]
是单调增加的，但不是严格单调增加的；
y x? 2
在
(,)
不具有单调性，但在
(,] 0
是严格单调减少的,
在
[,)0
是严格单调增加的；
y x? s in
在
2
π
π2,
2
π
π2 nn
（ Z?n ）是严格单调增加的，在
2
π
π)12(,
2
π
π)12( nn
( Z?n ) 是严格单调减少的。
y x? 3,y x? s in,t a nyx? 等函数都是奇函数；
y x? 2,y x? cos,y x? | | 等函数都是偶函数。
(3) 奇偶性定义 1.2.5 设函数 f 的定义域 D 关于原点对称,即 x D?
x D 。
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 偶函数 ；
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 奇函数 。
(3) 奇偶性定义 1.2.5 设函数 f 的定义域 D 关于原点对称,即 x D?
x D 。
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 偶函数 ；
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 奇函数 。
例 1.2.16 判断函数f x a a a
x11 12 0 1(,)
的奇偶性。
解
2
1
1
1)(?
xaxf 2
1
1 x
x
a
a
2
11
1
x
x
a
a
2
1
1
1?
xa
)( xf,
所以
f x a x11 12
是奇函数。
y x? 3,y x? s in,t a nyx? 等函数都是奇函数；
y x? 2,y x? cos,y x? | | 等函数都是偶函数。
(4) 周期性定义 1.2.6 若存在常数 T? 0,使得对一切 x D?,成立
)()( xfTxf,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的 周期 。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期 。
y x? s in 是 (,) 上的周期函数,π2 n ( N?n ) 都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
t a nyx? 也是周期函数，它的定义域是 \),(
Znn,
2
ππ,π 是它的最小周 期。
(4) 周期性定义 1.2.6 若存在常数 T? 0,使得对一切 x D?,成立
)()( xfTxf,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的 周期 。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期 。
并非每个周期函数都有最小周期。
例 1.2.17 D i ri chl et 函数
D x
x
x( )
,
,?
0
1
为无理数，
为有理数。
这是一个周期函数，任何 正 有理数都是它的周期。因为不存在最小正有理数，所以它不可能有最小周期。
(4) 周期性定义 1.2.6 若存在常数 T? 0,使得对一切 x D?,成立
)()( xfTxf,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的 周期 。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期 。 y x? s in 是 (,) 上的周期函数,π2 n ( N?n ) 都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
t a nyx? 也是周期函数，它的定义域是 \),(
Znn,
2
ππ,π 是它的最小周 期。
两个常用不等式定理 1.2.1 （三角不等式） 对于任意实数 a 和 b,都有
| | | | | | | | | |a b a b a b。
证 对于任意实数 a 和 b,有
| | | | | | | |a b ab a b
,
所以
| | | | | | | | | | | | | | | |a a b b a ab b a a b b2 2 2 2 2 22 2 2
,
开方后就得到上述不等式。
b
a a + b
图 1.2.7
两个常用不等式定理 1.2.1 （三角不等式） 对于任意实数 a 和 b,都有
| | | | | | | | | |a b a b a b。
定义 1.2.7 设 a a a
n1 2，,,?
是 n 个正数,
称 a a a
n
n1 2
是它们的 算术平均值 ；
a a a nn 1 2? 是它们的 几何平均值 ；
naaa
n 111
21
是它们的 调和平均值 。
定理 1.2.2 （平均值不等式） 对任意 n 个正数 a a a
n1 2，,,?
,
a a a
n n1 2
a a a nn 1 2
naaa
n 111
21
,
等号当且仅当 a a a
n1 2，,,?
全部相等时成立 。
定义 1.2.7 设 a a a
n1 2，,,?
是 n 个正数,
称 a a a
n
n1 2
是它们的 算术平均值 ；
a a a nn 1 2? 是它们的 几何平均值 ；
naaa
n 111
21
是它们的 调和平均值 。
证 先证明左边的不等式
a a a
n
n1 2
a a a nn 1 2?
。
当
n? 1 2,
时，不等式显然成立。
当 n k? 2 （?
Nk
）时，不等式是
a b?
2
ab 的直接推论 。
当
n k? 2
时，取?
Nl
，使 2 21l ln 。记
a a a nn 1 2?
a,
在
naaa,,,21?
后面加上 ( 2 l n? ) 个 a,将其扩充成 2 l 个正数。对这 2 l
个正数应用不等式，得到
anaaa l
nl
)2(
2
1
21
ll n
n
aaaa 2
1
2
21
a,
整理后即有
a a a
n
n1 2
a a a nn 1 2?
。
对
n
aaa
1
,,
1
,
1
21
使用上面的结论，便得到右边的不等式。
§ 2 映射与函数定义 1.2.1 设 X,Y 是两个给定的集合，若按照某种规则 f,
使得对集合 X 中的每一个元素 x,都可以找到集合 Y 中唯一确定的元素 y 与之对应，则称这个对应规则 f 是集合 X 到集合 Y 的一个 映射,
记为
f,X? Y
x y f x ( ) 。
其中 y 称为在映射 f 之下 x 的 像,x 称为在映射 f 之下 y 的一个 逆 像
（也称为 原 像 ）。
映射映射是指两个集合之间的一种对应关系。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的 像 y 的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R f{ y y Y 并且 y f x x X( ),}。
例 1.2.1 设 X 是平面上所有三角形的全体,Y 是平面上所有圆的全体。则对应关系
f,X? Y
x y? （ y 是三角形 x 的外接圆）
是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D f? X
和
R f? Y
。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的 像 y 的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R f{ y y Y 并且 y f x x X( ),}。
例 1.2.2 设 X },,{,Y? {,,,}a b c d,则对应关系
af?)(?,df?)(?,bf?)(?
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D f? X },,{,R f{,,}a b d Y。
构成一个映射必须具备下列三个基本要素,
(1) 集合 X,即定义域
D f? X；
(2) 集合 Y,即限制值域的范围：
R Yf?；
(3) 对应规则 f,使每一个 x X?,有唯一确定的 y f x? ( ) 与之对应。
例 1.2.2 设 X },,{,Y? {,,,}a b c d,则对应关系
af?)(?,df?)(?,bf?)(?
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D f? X },,{,R f{,,}a b d Y。
注
1,映射要求元素的 像 必须是唯一的。
例如，设 RX,R?Y,对应规则
f
要求对每一个 Rx,它的 像
R?y
且满足关系 y x
2?
，这样的对应规则
f
不满足 像 的唯一性要求。
对于不满足 像 的唯一性要求的对应规则，一般只要对值 域范围稍加限制，就能使它成为映射。
例 1.2.3 设 RX, RY }{ Rxx,则对应关系
f,X? Y
x y y x? ( )2?
是一个映射。
2,映射并不要求逆 像 也具有唯一性。
例 1.2.4 设 R YX,则
f,X? Y
x y x 2
是一个映射。
例 1.2.3 设 RX, RY }{ Rxx,则对应关系
f,X? Y
x y y x? ( )2?
是一个映射。
定义 1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆 像 也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 x x
1 2?
,它们的 像 y
1
与 y
2
也满足 y y
1 2?
，
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足
R f
= Y,则称 f 为 满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是 双射 （ 又称 一一对应） 。
例 1.2.2 与例 1.2.3 中的映射是单射,
例 1.2.1 与例 1.2.3 中的映射是满射,
例 1.2.3 中的映射是双射。
定义 1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆 像 也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 x x
1 2?
,它们的 像 y
1
与 y
2
也满足 y y
1 2?
，
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足
R f
= Y,则称 f 为 满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是 双射 （ 又称 一一对应） 。
设
f
,X? Y 是单射，则对应关系
g
：
R Xf?
y x?
（
f x y( )?
）
称为
f
的 逆映射,记为
f? 1
,其定义域为
D f1 R f
，值域为
R f1
X 。
逆映射
f? 1
是
R f
到 X 上的双射。
设
g
,X
U
1
x u g x ( )
f
：
U 2? Y
u y f u ( )
,
当
R U Dg f2
时,
f g?
,X
Y
x y f g x ( ( ))
,
称为
f
和
g
的 复合映射 。
复合映射
f g?
构成的关键在于
R Dg f?
。
例 1.2.5 设
R 21 UUYX
,映射
g
与
f
为,
g
,X?
U 1
x u x s in
f
：
U 2? Y
u y
u
u
1 2
。
R Dg f[,]1 1
，因此可以构成复合映射
f g?
,X? Y
x y f g x
x
x
( ( ))
s i n
s i n1 2
。
例 1.2.6 设映射
g
与 f 为
g
,R? R
x u x1 2
f,?R? R
uyu lg,
则
R Dg f(,]1
,因此不能构成复合映射 f g? 。
但若将映射
g
的定义域作一限制，即换成映射
g *
,
g *
：
X(,)1 1? R
21 xux
f
,?R? R
uyu lg
。
则
fg DR ]1,0(*
,于是可以构成复合映射
f g? *
：
X(,)1 1? R
)1l g ( 2xyx
。
特别地，有下述两恒等式,
f f y y1 ( ),y R f? ；
f f x x1? ( ),x X? 。
但若将映射
g
的定义域作一限制，即换成映射
g *
,
g *
：
X(,)1 1? R
21 xux
f
,?R? R
uyu lg
。
则
fg DR ]1,0(*
,于是可以构成复合映射
f g? *
：
X(,)1 1? R
)1l g ( 2xyx
。
例 1.2.7
y x? s in
,
2
π
,
2
π? [,]? 1 1
是一一映射，它的逆映射是
x y? a r c s i n
,
[,]? 1 1?
2
π
,
2
π
。
通过复合运算，得到恒等式
s i n ( a r c s i n )y y?
,
y? [,]? 1 1；
a r c s i n ( s i n )x x?
,x?
2
π
,
2
π
。
一元实函数在定义 1.2.1 中取集合 R?X,集合 R?Y,则映射
f,X? Y
x y f x ( )
称为 一元实函数,简称 函数 。
由于函数表示的是实数集合与实数集合之间的对应关系，所以在其映射表示中，第一行是不需要的，只要写成
y f x? ( )
,x X? (=
D f
)
就可以了，读作“函数
y f x? ( )
”或“函数
f
”。
这里
f
表示的仍是一种对应规则，对于每一个 x?
D f
，它确定了唯一的
y f x? ( ) R?
与 x 相对应。
一元实函数在定义 1.2.1 中取集合 R?X,集合 R?Y,则映射
f,X? Y
x y f x ( )
称为 一元实函数,简称 函数 。
例 将一块边长为 a 的正方形皮，在四个角上各剪去一个边长为 x
的小正方形，做成一个无盖的方盒 ( 如图 1.2.1),则方盒的容积为
V x a x( )2 2，其中 x 的变化范围是?
2,0
a 。
a
x
图 1.2.1
初等函数基本初等函数,
常数函数,
y c?；
幂函数,
xy?
R(
) ；
指数函数,
y a x?
( a? 0 且 a? 1 ) ；
对数函数,
y xa? lo g
( a? 0 且 a? 1 ) ；
三角函数,如
y x? s in
，
y x? cos
，
t a nyx?
，
c otyx?
等；
反三角函数：如
y x? a r c s i n
，
y x? a r c c o s
，
a r c ta nyx?
等。
这 6 类函数统称为 基本初等函数 。
由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为 初等函数 。
例如 y ax bx c2,
2
l o g ( 1 )
1
a xy
x
,
y x xsi n c o s1 2
,
2 1e a r c ta nxy
x
，等等。
初等函数基本初等函数,
常数函数,
y c?；
幂函数,
xy?
R(
) ；
指数函数,
y a x?
( a? 0 且 a? 1 ) ；
对数函数,
y xa? lo g
( a? 0 且 a? 1 ) ；
三角函数,如
y x? s in
，
y x? cos
，
t a nyx?
，
c otyx?
等；
反三角函数：如
y x? a r c s i n
，
y x? a r c c o s
，
a r c ta nyx?
等。
这 6 类函数统称为 基本初等函数 。
初等函数的 自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x n （ n 是正整数）,s i n x,arct an x,a x 等函数的自然定义域是
),(R ；
l o g a x ( a? 0,a? 1 ) 的自然定义域是 ),0(R ；
a rc s i n x 的自然定义域是 [,]? 1 1 ；
x 的自然定义域则要视? 而定。
例如,x 13 的自然定义域是 ),(R ；
x? 13 的自然定义域是 )0,(}0{R? (,)0 ；
x 32 的自然定义域是 [,)0 ；
x? 14 的自然定义域是 ),0(R,等 等。
初等函数的 自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x n （ n 是正整数）,s i n x,arct an x,a x 等函数的自然定义域是
),(R ；
l o g a x ( a? 0,a? 1 ) 的自然定义域是 ),0(R ；
a rc s i n x 的自然定义域是 [,]? 1 1 ；
x 的自然定义域则要视? 而定。
例 1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1)
y x
x
1 ； (2)
y
x
a rc s i n
2 1
3；
(3)
y x x3 2 2； (4)
2
2
l og
34a
x
y
xx
)1,0( aa
。
解 (1)
D(,)0? (,)0
，
R(,]2? [,)2；
(2)
D[,]1 2
,
2
π
,
2
π
R；
(3)
D[,]1 3
,
R? [,]0 2；
(4)
D(,)1 2? (,)4
，
R(,)
。
例 1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1)
y x
x
1 ； (2)
y
x
a rc s i n
2 1
3；
(3)
y x x3 2 2； (4)
2
2
l og
34a
x
y
xx
)1,0( aa
。
解 (1)
D(,)0? (,)0
，
R(,]2? [,)2；
(2)
D[,]1 2
,
2
π
,
2
π
R；
(3)
D[,]1 3
,
R? [,]0 2；
(4)
D(,)1 2? (,)4
，
R(,)
。
注 当两个函数不仅函数关系相同，而且定义域也相同时，它们表示的是相同的函数，至于自变量与因变量采用什么符号是无关紧要的。
例如 xy s i n?,),(x 与 vu s i n?,),(v 表示的是同一个函数。
函数的分段表示，隐式表示与参数表示函数的分段表示,设 A,B 是两个互不相交的集合，
)( x?
和
)( x?
是分别定义在集合 A 和集合 B 上的函数，则
Bxx
Axx
xf
),(
,),(
)(
是定义在集合 A B? 上的函数。这样的表示方法称为 函数的分段表示 。
注 分段表示可以分成任意有限段，甚至无限多段。
例 1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速 45 k m / h,花了 40 分钟。然后在高速公路上以 100 k m / h 的速度行驶了 1 小时 45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 k m / h,花了 30 分钟。求汽车行驶的路程 s （单位,km ( 公里 ) ）与行驶时间 t （单位,h ( 小时 ) ）之间的函数关系。
解
2
45,0,
3
2 2 5
( ) 30 100,2,
3 3 12
5 5 11
205 40 2,2 2
12 12 12
tt
s t t t
tt
。
例 1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速 45 k m / h,花了 40 分钟。然后在高速公路上以 100 k m / h 的速度行驶了 1 小时 45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 k m / h,花了 30 分钟。求汽车行驶的路程 s （单位,km ( 公里 ) ）与行驶时间 t （单位,h ( 小时 ) ）之间的函数关系。
例 1.2.10 符号函数 s g n x ( 图 1.2.2),
s g n
,
,
,
x
x
x
x
1 0
0 0
1 0
，
，
。
x
y
O
图 1.2.2
它的定义域是 D(,),值域是 R{,,}1 0 1 。
1?
1
例 1.2.11,整数部分”函数 ( 图 1.2.3),
Z nnxnnxy,1,][ 。
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
x
y
图图 1.2.3
它的定义域是 D(,),值域是 Z?R 。
例 1.2.12,非负小数部分”函数 ( 图 1.2.4),
y x x x( ) [ ]
,
x(,)
。
y
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 x
图 1.2.4
它的定义域是 D(,),值域是 )1,0[?R 。
对 x? 3 4.,有 [ ]x? 3,( ),x? 0 4 ；对 x 2 7.,有 [ ]x 3,( ),x? 0 3,等等。
显然，对于任意实数 x,成立等式 [ ]x? ( )x x? 。
函数的隐式表示,指通过方程 F x y(,)? 0 来确定变量 y 与 x 之间函数关系的方式。
例 1.2.13 圆的方程 x y R2 2 2 。
函数的隐式表示,指通过方程 F x y(,)? 0 来确定变量 y 与 x 之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例 1.2.14 Ke pler 方程,
y x y s i n,
其中 (,)0 1 是一个常数。
函数的隐式表示,指通过方程 F x y(,)? 0 来确定变量 y 与 x 之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例 1.2.13 圆的方程 x y R2 2 2 。
函数的参数表示,引入第三个变量（例如参数 t ），通过建立 t
与 x,t 与 y 之间的函数关系，间接地确定 x 与 y 之间的函数关系，即
bat
tyy
txx
,
),(
),(
。
设
( ),,X x x x t t a b
，
( ),,Y y y y t t a b
，上述参数表示所确定的函数关系即为
:
( ) ( )
f X Y
x x t y y t
。
例 x y R2 2 2 所确定的函数关系，可以引入参数 t 表示 x 轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP 的角的弧度，其中 P = P ( x,y ) 表示圆上任意一点（图 1.2.5 ）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x 与 y 的函数关系可表示成
)π,2 π(π,0
,s i n
,c o s
tx
tRy
tRx
或
。
例 x y R2 2 2 所确定的函数关系，可以引入参数 t 表示 x 轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP 的角的弧度，其中 P = P ( x,y ) 表示圆上任意一点（图 1.2.5 ）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x 与 y 的函数关系可表示成
)π,2 π(π,0
,s i n
,c o s
tx
tRy
tRx
或
。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
t
旋轮线 又称 摆线,它表示一 滚动的轮子上一点的运动轨迹。
例 1.2.15 半径为 1 的轮子置于平地上，轮子边缘一点 A 与地面相接触。求当轮子滚动时,A 点运动的函数表示。
解
y
A
A t
O P
π
π2
x
图 1.2.6
令参数 t 表示轮子转过的角度的弧度，于是得到
,0,c o s1,s i n tty ttx 。
此即为旋轮线的参数表示。
函数的简单特性
(1) 有界性定义 1.2.3 若存在两个常数 m 和 M,使函数 y f x? ( ),x D? 满足
mf x( ) M,x D?,
则称函数 f 在 D 有界 。 其中 m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
,存在常数 M? 0,使函数 y f x? ( ),x D? 满足 | ( ) |f x M?,x D?,。
(2) 单调性定义 1.2.4 对函数 y f x? ( ),x D?,若对任意 x x D
1 2,?
,当
x x1 2? 时成立 f x f x( ) ( )1 2? （ 或 f x f x( ) ( )1 2? ）,则称函数 f 在 D 单调增加 （ 或 严格单调增加 ）；
对任意 x x D
1 2,?
,当 x x
1 2?
时成立 f x f x( ) ( )
1 2?
（ 或
f x f x( ) ( )1 2? ）,则称函数 f 在 D 单调减少 （ 或 严格单调减少 ）。
函数的简单特性
(1) 有界性定义 1.2.3 若存在两个常数 m 和 M,使函数 y f x? ( ),x D? 满足
mf x( ) M,x D?,
则称函数 f 在 D 有界 。 其中 m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
,存在常数 M? 0,使函数 y f x? ( ),x D? 满足 | ( ) |f x M?,x D?,。
y x? 3
,
y a x?
（ a? 1 ），
y xa? lo g
（ a? 1 ），
a r c ta nyx?
等函数在它们的定义域中都是严格单调增加的；
y a x?
（ 0 1a ），
y xa? lo g
（ 0 1a ）,
a r c c o tyx?
等函数在它们的定义域中都是严格单调减少的；
y x? [ ]
是单调增加的，但不是严格单调增加的；
y x? 2
在
(,)
不具有单调性，但在
(,] 0
是严格单调减少的,
在
[,)0
是严格单调增加的；
y x? s in
在
2
π
π2,
2
π
π2 nn
（ Z?n ）是严格单调增加的，在
2
π
π)12(,
2
π
π)12( nn
( Z?n ) 是严格单调减少的。
y x? 3,y x? s in,t a nyx? 等函数都是奇函数；
y x? 2,y x? cos,y x? | | 等函数都是偶函数。
(3) 奇偶性定义 1.2.5 设函数 f 的定义域 D 关于原点对称,即 x D?
x D 。
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 偶函数 ；
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 奇函数 。
(3) 奇偶性定义 1.2.5 设函数 f 的定义域 D 关于原点对称,即 x D?
x D 。
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 偶函数 ；
若对一切 x D?,成立 f x f x( ) ( ),则称函数 f 是 奇函数 。
例 1.2.16 判断函数f x a a a
x11 12 0 1(,)
的奇偶性。
解
2
1
1
1)(?
xaxf 2
1
1 x
x
a
a
2
11
1
x
x
a
a
2
1
1
1?
xa
)( xf,
所以
f x a x11 12
是奇函数。
y x? 3,y x? s in,t a nyx? 等函数都是奇函数；
y x? 2,y x? cos,y x? | | 等函数都是偶函数。
(4) 周期性定义 1.2.6 若存在常数 T? 0,使得对一切 x D?,成立
)()( xfTxf,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的 周期 。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期 。
y x? s in 是 (,) 上的周期函数,π2 n ( N?n ) 都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
t a nyx? 也是周期函数，它的定义域是 \),(
Znn,
2
ππ,π 是它的最小周 期。
(4) 周期性定义 1.2.6 若存在常数 T? 0,使得对一切 x D?,成立
)()( xfTxf,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的 周期 。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期 。
并非每个周期函数都有最小周期。
例 1.2.17 D i ri chl et 函数
D x
x
x( )
,
,?
0
1
为无理数，
为有理数。
这是一个周期函数，任何 正 有理数都是它的周期。因为不存在最小正有理数，所以它不可能有最小周期。
(4) 周期性定义 1.2.6 若存在常数 T? 0,使得对一切 x D?,成立
)()( xfTxf,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的 周期 。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期 。 y x? s in 是 (,) 上的周期函数,π2 n ( N?n ) 都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
t a nyx? 也是周期函数，它的定义域是 \),(
Znn,
2
ππ,π 是它的最小周 期。
两个常用不等式定理 1.2.1 （三角不等式） 对于任意实数 a 和 b,都有
| | | | | | | | | |a b a b a b。
证 对于任意实数 a 和 b,有
| | | | | | | |a b ab a b
,
所以
| | | | | | | | | | | | | | | |a a b b a ab b a a b b2 2 2 2 2 22 2 2
,
开方后就得到上述不等式。
b
a a + b
图 1.2.7
两个常用不等式定理 1.2.1 （三角不等式） 对于任意实数 a 和 b,都有
| | | | | | | | | |a b a b a b。
定义 1.2.7 设 a a a
n1 2，,,?
是 n 个正数,
称 a a a
n
n1 2
是它们的 算术平均值 ；
a a a nn 1 2? 是它们的 几何平均值 ；
naaa
n 111
21
是它们的 调和平均值 。
定理 1.2.2 （平均值不等式） 对任意 n 个正数 a a a
n1 2，,,?
,
a a a
n n1 2
a a a nn 1 2
naaa
n 111
21
,
等号当且仅当 a a a
n1 2，,,?
全部相等时成立 。
定义 1.2.7 设 a a a
n1 2，,,?
是 n 个正数,
称 a a a
n
n1 2
是它们的 算术平均值 ；
a a a nn 1 2? 是它们的 几何平均值 ；
naaa
n 111
21
是它们的 调和平均值 。
证 先证明左边的不等式
a a a
n
n1 2
a a a nn 1 2?
。
当
n? 1 2,
时，不等式显然成立。
当 n k? 2 （?
Nk
）时，不等式是
a b?
2
ab 的直接推论 。
当
n k? 2
时，取?
Nl
，使 2 21l ln 。记
a a a nn 1 2?
a,
在
naaa,,,21?
后面加上 ( 2 l n? ) 个 a,将其扩充成 2 l 个正数。对这 2 l
个正数应用不等式，得到
anaaa l
nl
)2(
2
1
21
ll n
n
aaaa 2
1
2
21
a,
整理后即有
a a a
n
n1 2
a a a nn 1 2?
。
对
n
aaa
1
,,
1
,
1
21
使用上面的结论，便得到右边的不等式。
