第一章 集合与映射
§ 1 集 合集合 论的基础是由德国数学家 C a nt o r 在 1 9 世纪 70 年代奠定的。
集合,指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素 。
通常用大写字母如 A B S T,,,,?表示集合,
用小写字母如 a b x y,,,,?表示集合的元素。
第一章 集合与映射
§ 1 集 合集合 论的基础是由德国数学家 C a nt o r 在 1 9 世纪 70 年代奠定的。
集合,指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素 。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S? 。
若 y 不是集合 S 的元素，则称 y 不属于 S,记为 Sy? 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN,，? 和
R 来表示。
集合表示法
（ 1 ）枚举法,
光学中的三基色可以用集合 { 红，绿，蓝 } 表示；
由 a b c d,,,四个字母组成的集合 A 可用 A a b c d? {,,,} 表示；
正整数集?N 可以表示为 }321{,，，，,nN ；
整数集 Z 可以表示为 }3210{,，，，，,nZ 。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S? 。
若 y 不是集合 S 的元素，则称 y 不属于 S,记为 Sy? 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN,，? 和
R 来表示。
（ 2 ）描述法,S x x P? { }具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B x x{ }
2 2；
有理数集 Q 可以表示为
ZNQ qp
p
qxx 并且，其中；
正实数集?R 可以表示为
}0{ xxx 并且RR
。
注 集合中的元素之间并没有次序关系。
例,{,}a b,{,}b a 和 {,,}a b a 表示同一个集合。
（ 2 ）描述法,S x x P? { }具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B x x{ }
2 2；
有理数集 Q 可以表示为
ZNQ qp
p
qxx 并且，其中；
正实数集?R 可以表示为
}0{ xxx 并且RR
。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为? 。
例,}01{ 2 xxx 并且R 。
子集,若 x S x T，则称 S 是 T 的 子集,记为 S T? 。
例,RQZN 。
注 对任何集合 S,都有 S S? 与 S 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为? 。
例,}01{ 2 xxx 并且R 。
如果 S 中至少存在一个元素 x 不属于 T,即存在 x S?,使
Tx?,则 S 不是 T 的 子集,记为 S T? 。
例,{ }x x 2 1 0N 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为? 。
例,}01{ 2 xxx 并且R 。
子集,若 x S x T，则称 S 是 T 的 子集,记为 S T? 。
例,RQZN 。
注 对任何集合 S,都有 S S? 与 S 。
例 1.1.1 T a b c? { }，,有 2 3 个子集,；
{ }a
，
{ }b
，
{ }c；
{ }a b，,{ }b c，,{ }c a,；
{ }a b c，,。
T a a a n? { }1 2，,,?有 2 n 个子集。
真子集,如果 S T?,但 T S?,则称 S 是 T 的一个 真子集 。
T a a a n? { }1 2，,,?的 2 n 个子集中，有 2 1n? 个是真子集。
S T?,集合 S 与 T 的元素完全相同。
S T S T? 并且 T S? 。
例 1.1.1 T a b c? { }，,有 2 3 个子集,；
{ }a
，
{ }b
，
{ }c；
{ }a b，,{ }b c，,{ }c a,；
{ }a b c，,。
T a a a n? { }1 2，,,?有 2 n 个子集。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间,
(,)a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b 。
(,)a x x a；
,)a x x a；
(,)b x x b；
(,b x x b；
(,) xx 为任意实数（即实数集 R ） 。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间,
(,)a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b 。
集合运算并,
S T{ }x x S x T或者
。
交,
S T{ }x x S x T并且
。
T T
S S
S T?
S T?
图 1.1,1 (a)
例,S a b c? {,,},T b c d e? {,,,},则 S T {,,,,}a b c d e,S T {,}b c 。
集合运算并,
S T{ }x x S x T或者
。
交,
S T{ }x x S x T并且
。
T T
S S
S T?
S T?
图 1.1,1 (a)
集合的并与交运算具有
1,交换律
A B B A
,
A B B A 。
2,结合律
A B D A B D( ) ( )?
,
A B D A B D( ) ( )?
。
3,分配律
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
,
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
例 证明：
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
第一步，证明
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
x A B D( )?
或者 x A?,或者
x B D
或者 x A?,或者 x B? 并且 x D?
x A B
并且
x A D
,
即
x A B A D? ( ) ( )
。
第二步，证明
( ) ( ) ( )A B A D A B D
。
x A B A D? ( ) ( ) x A B
并且
x A D
或者 x A?,或者 x B? 并且 x D?,
即
x A B D( )
。
结合上述两步，得到
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
证毕差,S \ T
}{ TxSxx 并且
。
例,{,,}a b c \ },,,{ edcb? { }a,
{ }x x? 1
\
{ }x x? 0{ }x x 0
。
补,假设在集合 X 中 讨论问题,S 是 X 的子集，则集合 S
关于 X 的 补 集为
S XC = X \ S
T X
S
S
TS \ S
X
C
图 1.1,1 ( b )
例,偶数集 E 关于整数集 Z 的补集为奇数集 F ；有理数集
Q 关于实数集 R 的补集为无理数集。
在不会发生混淆的前提下，通常将
S XC
简记为
S C
，则
XSS C
,
CSS?
,S \ T =
S T C?
。
集合补的运算具有对偶律 ( D e M o rg a n 公式 )
( )A B A BC C C,
( )A B A BC C C 。
证（ 只证
( )A B A BC C C
）
x A B C? ( )
BAx
或者 Ax?,或者 Bx?
x A BC C,即
x A B C? ( )?
x A BC C
。
x A BC C
或者 x A C?,或者 x B C?
或者 Ax?,或者 Bx?
BAx
，即
x A BC C
x A B C? ( )?
。
两方面结合起来，得到
( )A B A BC C C
。
集合补的运算具有对偶律 ( D e M o rg a n 公式 )
( )A B A BC C C,
( )A B A BC C C 。
有限集与无限集有限集 由 n 个元素（ n 是非负整数）组成的集合为 有限集 。
{ 红，绿，蓝 },
{,,,}a b c d
和
{ }x x x2 3 2 0
都是有限集。
无限集 不是有限集的集合为 无限集 。
N
,Z,
Q
,R 都是无限集。
可列集 如果一个无限集的元素可以按某种规律排成一个序列
{ }a a a n1 2，,,,
,
则称为 可列集 。
正整数集?
N
与
{ s i n }x x? 0
都是可列集。
每个无限集必包含可列子集。
无限集不一定是可列集（实数集 R 不是可列集，见§ 2,4 ）。
例 1.1.2 整数集 Z 是可列集。
解 Z 可表示为
0,1,- 1,2,- 2,?,n,- n,?。
设
A n
（ n =1,2,3,? ）是可列个集合，其中每个集合
A n
都是可列集，则它们 的并为
A n
n?
1
=
nn AxnxAAA 使存在,21 N
。
定理 1.1.1 可列个可列集之并也是可列集 。
证 对任意 n
N
，设
A n
表示为
A n
=
x x x xn n n nk1 2 3,,,,,
,
则
A
n
n?
1
的元素全体可排成如下的无穷方块阵,
x
x
x
x
11
21
31
41
x
x
x
x
12
22
32
42
x
x
x
x
13
23
33
43
x
x
x
x
14
24
34
44
。
x
x
x
x
11
21
31
41
x
x
x
x
12
22
32
42
x
x
x
x
13
23
33
43
x
x
x
x
14
24
34
44
。
对角线法则,从最左面开始，顺着逐条“对 角线”（图中箭头所示）将元素按从右上至左下的 次序排列，也就是把所有的元素排列成
x x x x x x x x x x11 12 21 13 22 31 14 23 32 41,,,,,,,,,,?
。
由于不同集合
A i
与
A j
（ i
j ）的交可能不是空集，因此有些元素可能会在排列中多次出现，只保 留一个而去掉多余的，这样得到的排列仍然表示集合
A
n
n?
1
，定理得证。
定理 1.1.2 有理数集
Q
是可列集 。
证 （
,
）
Zn
nn
]1,(
，只须证
0 1,
中的有理数是可列集。
区间
0 1,
中的有理数可唯一地表示为既约分数
q
p
，其中 p
N
，
Nq
,q? p,并且 p,q 互质。按下列方式排列这些有理数,
分母 p =1 的既约分数只有一个,
x 11
=1 ；
分母 p =2 的既约分数也只有一个：
x 21
=
1
2；
分母 p =3 的既约分数有两个,
x x
31 32
1
3
2
3
,；
分母 p =4 的既约分数也只有两个：
x
41
1
4
，
x
42
3
4；
,
一般地，分母 p = n 的既约分数至多不超过 n - 1 个，将它们记为
)(21,,,nknnn xxx?
，其中 k ( n )? n - 1 。
于是区间
0 1,
中的有理数全体可以排成
1 1 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2 ( ),,,,,,,,,,,n n n k nx x x x x x x x x
。
这就证明了有理数集 Q 是可列集。
证毕
D es ca rtes 乘积集合设 A 与 B 是两个集合。在集合 A 中任意取一个元素 x,在集合 B
中任意取一个元素 y,组成一个有序对
(,)x y
。把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的
D es ca rte s 乘积集合,记为 A B?,即
A B{ (,) }x y x A y B并且。
RR? 表示平面 D es cart es 直角坐标系。
RRR 表示空间 D es cart es 直角坐标系。
例 1.1.3 设
A
}{ bxaxx 并且R
,
B
}{ dycyy 并且R
,
C
}{ fzezz 并且R
,
则 A B? 就表示
Oxy
平面上一个闭矩形,A B C 表示
O x y z
空间中的一个闭长方体 ( 图 1,1.2 ) 。
y z
f
d
e
c
O a b x a O c d y
b
x
图 1,1.2
§ 1 集 合集合 论的基础是由德国数学家 C a nt o r 在 1 9 世纪 70 年代奠定的。
集合,指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素 。
通常用大写字母如 A B S T,,,,?表示集合,
用小写字母如 a b x y,,,,?表示集合的元素。
第一章 集合与映射
§ 1 集 合集合 论的基础是由德国数学家 C a nt o r 在 1 9 世纪 70 年代奠定的。
集合,指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素 。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S? 。
若 y 不是集合 S 的元素，则称 y 不属于 S,记为 Sy? 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN,，? 和
R 来表示。
集合表示法
（ 1 ）枚举法,
光学中的三基色可以用集合 { 红，绿，蓝 } 表示；
由 a b c d,,,四个字母组成的集合 A 可用 A a b c d? {,,,} 表示；
正整数集?N 可以表示为 }321{,，，，,nN ；
整数集 Z 可以表示为 }3210{,，，，，,nZ 。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S? 。
若 y 不是集合 S 的元素，则称 y 不属于 S,记为 Sy? 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN,，? 和
R 来表示。
（ 2 ）描述法,S x x P? { }具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B x x{ }
2 2；
有理数集 Q 可以表示为
ZNQ qp
p
qxx 并且，其中；
正实数集?R 可以表示为
}0{ xxx 并且RR
。
注 集合中的元素之间并没有次序关系。
例,{,}a b,{,}b a 和 {,,}a b a 表示同一个集合。
（ 2 ）描述法,S x x P? { }具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B x x{ }
2 2；
有理数集 Q 可以表示为
ZNQ qp
p
qxx 并且，其中；
正实数集?R 可以表示为
}0{ xxx 并且RR
。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为? 。
例,}01{ 2 xxx 并且R 。
子集,若 x S x T，则称 S 是 T 的 子集,记为 S T? 。
例,RQZN 。
注 对任何集合 S,都有 S S? 与 S 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为? 。
例,}01{ 2 xxx 并且R 。
如果 S 中至少存在一个元素 x 不属于 T,即存在 x S?,使
Tx?,则 S 不是 T 的 子集,记为 S T? 。
例,{ }x x 2 1 0N 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为? 。
例,}01{ 2 xxx 并且R 。
子集,若 x S x T，则称 S 是 T 的 子集,记为 S T? 。
例,RQZN 。
注 对任何集合 S,都有 S S? 与 S 。
例 1.1.1 T a b c? { }，,有 2 3 个子集,；
{ }a
，
{ }b
，
{ }c；
{ }a b，,{ }b c，,{ }c a,；
{ }a b c，,。
T a a a n? { }1 2，,,?有 2 n 个子集。
真子集,如果 S T?,但 T S?,则称 S 是 T 的一个 真子集 。
T a a a n? { }1 2，,,?的 2 n 个子集中，有 2 1n? 个是真子集。
S T?,集合 S 与 T 的元素完全相同。
S T S T? 并且 T S? 。
例 1.1.1 T a b c? { }，,有 2 3 个子集,；
{ }a
，
{ }b
，
{ }c；
{ }a b，,{ }b c，,{ }c a,；
{ }a b c，,。
T a a a n? { }1 2，,,?有 2 n 个子集。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间,
(,)a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b 。
(,)a x x a；
,)a x x a；
(,)b x x b；
(,b x x b；
(,) xx 为任意实数（即实数集 R ） 。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间,
(,)a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b；
,a b x a x b 。
集合运算并,
S T{ }x x S x T或者
。
交,
S T{ }x x S x T并且
。
T T
S S
S T?
S T?
图 1.1,1 (a)
例,S a b c? {,,},T b c d e? {,,,},则 S T {,,,,}a b c d e,S T {,}b c 。
集合运算并,
S T{ }x x S x T或者
。
交,
S T{ }x x S x T并且
。
T T
S S
S T?
S T?
图 1.1,1 (a)
集合的并与交运算具有
1,交换律
A B B A
,
A B B A 。
2,结合律
A B D A B D( ) ( )?
,
A B D A B D( ) ( )?
。
3,分配律
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
,
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
例 证明：
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
第一步，证明
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
x A B D( )?
或者 x A?,或者
x B D
或者 x A?,或者 x B? 并且 x D?
x A B
并且
x A D
,
即
x A B A D? ( ) ( )
。
第二步，证明
( ) ( ) ( )A B A D A B D
。
x A B A D? ( ) ( ) x A B
并且
x A D
或者 x A?,或者 x B? 并且 x D?,
即
x A B D( )
。
结合上述两步，得到
A B D A B A D( ) ( ) ( )?
。
证毕差,S \ T
}{ TxSxx 并且
。
例,{,,}a b c \ },,,{ edcb? { }a,
{ }x x? 1
\
{ }x x? 0{ }x x 0
。
补,假设在集合 X 中 讨论问题,S 是 X 的子集，则集合 S
关于 X 的 补 集为
S XC = X \ S
T X
S
S
TS \ S
X
C
图 1.1,1 ( b )
例,偶数集 E 关于整数集 Z 的补集为奇数集 F ；有理数集
Q 关于实数集 R 的补集为无理数集。
在不会发生混淆的前提下，通常将
S XC
简记为
S C
，则
XSS C
,
CSS?
,S \ T =
S T C?
。
集合补的运算具有对偶律 ( D e M o rg a n 公式 )
( )A B A BC C C,
( )A B A BC C C 。
证（ 只证
( )A B A BC C C
）
x A B C? ( )
BAx
或者 Ax?,或者 Bx?
x A BC C,即
x A B C? ( )?
x A BC C
。
x A BC C
或者 x A C?,或者 x B C?
或者 Ax?,或者 Bx?
BAx
，即
x A BC C
x A B C? ( )?
。
两方面结合起来，得到
( )A B A BC C C
。
集合补的运算具有对偶律 ( D e M o rg a n 公式 )
( )A B A BC C C,
( )A B A BC C C 。
有限集与无限集有限集 由 n 个元素（ n 是非负整数）组成的集合为 有限集 。
{ 红，绿，蓝 },
{,,,}a b c d
和
{ }x x x2 3 2 0
都是有限集。
无限集 不是有限集的集合为 无限集 。
N
,Z,
Q
,R 都是无限集。
可列集 如果一个无限集的元素可以按某种规律排成一个序列
{ }a a a n1 2，,,,
,
则称为 可列集 。
正整数集?
N
与
{ s i n }x x? 0
都是可列集。
每个无限集必包含可列子集。
无限集不一定是可列集（实数集 R 不是可列集，见§ 2,4 ）。
例 1.1.2 整数集 Z 是可列集。
解 Z 可表示为
0,1,- 1,2,- 2,?,n,- n,?。
设
A n
（ n =1,2,3,? ）是可列个集合，其中每个集合
A n
都是可列集，则它们 的并为
A n
n?
1
=
nn AxnxAAA 使存在,21 N
。
定理 1.1.1 可列个可列集之并也是可列集 。
证 对任意 n
N
，设
A n
表示为
A n
=
x x x xn n n nk1 2 3,,,,,
,
则
A
n
n?
1
的元素全体可排成如下的无穷方块阵,
x
x
x
x
11
21
31
41
x
x
x
x
12
22
32
42
x
x
x
x
13
23
33
43
x
x
x
x
14
24
34
44
。
x
x
x
x
11
21
31
41
x
x
x
x
12
22
32
42
x
x
x
x
13
23
33
43
x
x
x
x
14
24
34
44
。
对角线法则,从最左面开始，顺着逐条“对 角线”（图中箭头所示）将元素按从右上至左下的 次序排列，也就是把所有的元素排列成
x x x x x x x x x x11 12 21 13 22 31 14 23 32 41,,,,,,,,,,?
。
由于不同集合
A i
与
A j
（ i
j ）的交可能不是空集，因此有些元素可能会在排列中多次出现，只保 留一个而去掉多余的，这样得到的排列仍然表示集合
A
n
n?
1
，定理得证。
定理 1.1.2 有理数集
Q
是可列集 。
证 （
,
）
Zn
nn
]1,(
，只须证
0 1,
中的有理数是可列集。
区间
0 1,
中的有理数可唯一地表示为既约分数
q
p
，其中 p
N
，
Nq
,q? p,并且 p,q 互质。按下列方式排列这些有理数,
分母 p =1 的既约分数只有一个,
x 11
=1 ；
分母 p =2 的既约分数也只有一个：
x 21
=
1
2；
分母 p =3 的既约分数有两个,
x x
31 32
1
3
2
3
,；
分母 p =4 的既约分数也只有两个：
x
41
1
4
，
x
42
3
4；
,
一般地，分母 p = n 的既约分数至多不超过 n - 1 个，将它们记为
)(21,,,nknnn xxx?
，其中 k ( n )? n - 1 。
于是区间
0 1,
中的有理数全体可以排成
1 1 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2 ( ),,,,,,,,,,,n n n k nx x x x x x x x x
。
这就证明了有理数集 Q 是可列集。
证毕
D es ca rtes 乘积集合设 A 与 B 是两个集合。在集合 A 中任意取一个元素 x,在集合 B
中任意取一个元素 y,组成一个有序对
(,)x y
。把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的
D es ca rte s 乘积集合,记为 A B?,即
A B{ (,) }x y x A y B并且。
RR? 表示平面 D es cart es 直角坐标系。
RRR 表示空间 D es cart es 直角坐标系。
例 1.1.3 设
A
}{ bxaxx 并且R
,
B
}{ dycyy 并且R
,
C
}{ fzezz 并且R
,
则 A B? 就表示
Oxy
平面上一个闭矩形,A B C 表示
O x y z
空间中的一个闭长方体 ( 图 1,1.2 ) 。
y z
f
d
e
c
O a b x a O c d y
b
x
图 1,1.2
