紧集上的连续映射为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函数，为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。
定义 1 1,3,1 设点集 K? nR,f,K → mR 为映射 （ 向量值函数 ），
0?xK
。 如果对于任意给定的 0,存在 0,使得当
0(,)Ox x K
时,成立
)()( 0xfxf
（即
)),(()( 0?xfxf O?
）,
则称
f
在点
0x
连续 。
如果映射 f 在 K 上每一点连续,就称 f 在 K 上连续,或称映射
f 为 K 上的连续映射 。
§ 3 连续函数的性质也就是说，当
0x
是 K 的内点时，这就是原来的定义；当
0x
是 K
的边界点时，只要求 f 在
0x
的? 邻域中属于 K 的那些点上满足不等式
)()( 0xfxf 。
请读者与一元函数的单侧连续定义相比较。
闭区间实质上是一维空间中的有界闭集，在讨论高维空间上连续函数的性质时，应该要求 f 的定义域是高维空间中的有界闭集，
即紧集。
也就是说，当
0x
是 K 的内点时，这就是原来的定义；当
0x
是 K
的边界点时，只要求 f 在
0x
的? 邻域中属于 K 的那些点上满足不等式
)()( 0xfxf 。
请读者与一元函数的单侧连续定义相比较。
定理 1 1,3,1 连续映射将紧集映射成紧集 。
证 设 K 是 nR 中紧集,,m? RfK 为连续映射。要证明 K 的像集
( ) { | ( ),}mRf K y y f x x K
是紧集，根据定理 1 1,1,1 0,只要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于 ()fK 就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即点列的子集，所以只要证明 ()fK 的任意一个点列必有聚点属于 ()fK
即可。
设 { y k } 为
()fK
的任意一个点列。对于每个 y k,任取一个满足
f
( x k )
= y k 的 x k
K
（
,2,1?k
），则 { x k } 为紧集 K 中的点列，它必有聚点属于 K,即存在 { x k } 的子列
}{ lkx
满足


ax
lkl
lim
K 。
由
f
在 a 点的连续性得
)()(limlim afxfy
ll klkl
,
即
)( af
是 { y k } 的一个聚点，它显然属于
()fK
。因此，
()fK
是紧集。
定理 1 1,3,1 连续映射将紧集映射成紧集 。
证 设 K 是 nR 中紧集,,m? RfK 为连续映射。要证明 K 的像集
( ) { | ( ),}mRf K y y f x x K
是紧集，根据定理 1 1,1,1 0,只要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于 ()fK 就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即点列的子集，所以只要证明 ()fK 的任意 一个点列必有聚点属于 ()fK
即可。
设 f ( x ) 是 nR 中紧集 K 上的连续函数,那么 ()f K 是 R 中的紧集，
因此是有界闭集，并且集合 ()f K 有最大值和最小值。于是就可得到以下结论,
定理 1 1,3,2 （有界性定理） 设 K 是 nR 中紧集,f 是 K 上的连续函数 。 则 f 在 K 上有界 。
定理 1 1,3,3 （最值定理） 设 K 是 nR 中紧集,f 是 K 上的连续函数。则 f 在 K 上必能取到最大值和最小值，即存在 ξ 1,ξ 2? K,
使得对于一切 x? K 成立
f ( ξ 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( ξ 2 ) 。
设 f ( x ) 是 nR 中紧集 K 上的连续函数,那么 ()f K 是 R 中的紧集，
因此是有界闭集，并且集合 ()f K 有最大值和最小值。于是就可得到以下结论,
定理 1 1,3,2 （有界性定理） 设 K 是 nR 中紧集,f 是 K 上的连续函数 。 则 f 在 K 上有界 。
定义 1 1,3,2 设 K 是 nR 中点集,f,K → mR 为映射 。 如果对于任意给定的 0,存在 0,使得
)()( xfxf
对于 K 中所有满足 ||x ' x 的 xx,成立,则称 f 在 K 上 一致连续 。
一致连续的映射一定是连续的,但反之不然（参见本节习题 3 ）。
定理 1 1,3,4 （一致连续性定理） 设 K 是 nR 中紧集,f,K → mR 为连续映射 。 则
f
在 K 上一致连续 。
证 对于任意给定的 0,由于
f
在 K 上连续，因此对于任意的
a ∈ K,存在
0?a?
，使得当
),( aO ax
K 时,
| ( ) ( ) |
2
f x f a
。
显然开集族
,,
2
aO



a a K
是 K 的一个开覆盖。由于 K 是紧集，
因此存在其中有限个开集
2
,
1
1
a
O
a
，
2
,
2
2
a
O
a
，…，
,
2
pa
p
O



a
覆盖了
K 。
记
}{m i n
2
1
1 j
a
pj


，那么对于 K 中满足
|| xx
的任意 x? 和 x,不妨设 x
2
,
ta
t
O
a
(1 ≤ t ≤ p ),则有
ttt aaatt

2
1
2
1
|| ax||xx||ax
,
于是成立
2
|)()(|
tafxf
。因此
)()( xfxf
≤
|)()(| tafxf
+
|)()(| tafxf


22
。
由定义，
f
在 K 上一致连续。
连通集与连通集上的连续映射定义 1 1,3,3 设 S 是 nR 中点集,若连续映射
nR?]1,0[:?
的值域全部落在 S 中,即满足
])1,0[(?
S,则称
为 S 中的 道路,
)0(?
与
)1(?
分别称为道路的 起点 与 终点 。
若 S 中的任意两点 x,y 之间，都存在 S 中以 x 为起点,y 为终点的道路，则称 S 为（道路） 连 通 的，或称 S 为 连通集 。
直观地说，这意味着 S 中任意两点可以用位于 S 中的曲线相联结
（见图 1 1,3,1 ）。
显然 R 上的连通子集为区间，而且 R 上的连通子集为紧集的充要条件为：它是闭区间。
x
y
图 1 1,3,1
定义 1 1,3,4 连通的开集称为（开） 区域 。（开）区域的闭包称为 闭区域 。
例如，若 nR?a,那么开球
S = { nR?x |
r || ax
}
是区域；集合
S = { nR?x
},,2,1,nibxa iii
也是区域。请读者思考如何为上述 S 上任意两点构造相应的道路（连续映射）。
定理 1 1,3,5 连续映射将连通集映射成连通集 。
证 设 D 是 nR 中的连通集，
,m? RfD
为连续映射，现证明
f
的像集
( ) { | ( ),}mRf D y y f x x D
是连通集。
对任意
)(),( yfxf
∈
()fD
，
yx,
∈ D,由 D 的连通性，知道存在连续映射
]1,0[:?
D? nR,
使得
yx )1(,)0(
。 于 是 对 于 连 续 映 射
f
来说，有
( ( [ 0,1 ] ) ) ( )f f D
，且
)())0(( xff
及
)())1(( yff
。这就是说，
f
是
()fD
中以
)( xf
为起点，以
)( yf
为终点的道路。
由
)(),( yfxf
的任意性即知
()fD
是连通的。
推论 1 1,3,1 连续函数将连通的紧集映射成闭区间 。
由此立即得到,
定理 1 1,3,6 （中间值定理） 设 K 为 nR 中连通的紧集,f 是 K
上的连续函数 。 则 f 可取到它在 K 上的最小值 m 与最大值 M 之间的一切值 。 换言之,f 的值域是闭区间 ],[ Mm 。