第二章 数列极限
§ 1 实数系的连续性实数系实数集合 R 的重要的基本性质 —— 连续性。
第二章 数列极限数系的扩充历史自然数集合 N,关于加法与乘法运算是封闭的，但是 N 关于减法运算并不封闭。
整数集合 Z,关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 Z 关于除法是不封闭的。整数集合 Z 具有“离散性”。
§ 1 实数系的连续性实数系实数集合 R 的重要的基本性质 —— 连续性。
有理数集合 Q
ZN qp
p
qxx,,| 。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q 具有“稠密性”。
c
虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有,空隙,。例如用 c 表示边长为 1 的正方形的对角线的长度，这个 c 就无法用有理数来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有必要将有理数集合加以扩充。
- 3 - 2 - 1 0 1 c 2 3
图 2.1.1
有理数集合 Q
ZN qp
p
qxx,,| 关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q 具有“稠密性”。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q 最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数 ( 称为无理数 ) 吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R? { xx 是有理数或无理数 } 。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q 最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数 ( 称为无理数 ) 吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R? { xx 是有理数或无理数 } 。
全体无理数所对应的点（称为 无理点 ）填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。
实数集合的这一性质称为实数系 R 的“连续性”。 R 又被称为 实数连续统 。
实数系 R 的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。“确界存在定理”就是实数系 R 连续性的表述之 一。
最大数与最小数记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A Bx A,有 x B?,
A Bx A,使得 x B? 。
设 S 是一个数集，如果 S,使得x S,有x,则称
是数集 S 的最大数，记为 m a x S ；如果 S,使得x S,
有x,则称? 是数集 S 的最小数，记为 m i n S 。
当数集 S 是非空有限集时,m a x S 是这有限个数中的最大者,m i n S 是这有限个数中的最小者。但是当 S 是无限集时,S
可能不具有最大数及最小数。
最大数与最小数记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A Bx A,有 x B?,
A Bx A,使得 x B? 。
例 2.1.1 集合 A{ | }x x 0 没有最大数，但有最小数,
m i n A = 0 。
例 2.1.1 集合 A{ | }x x 0 没有最大数，但有最小数,
m i n A = 0 。
例 2.1.2 集合 B
{ | }x x0 1
没有最大数。
证 用反证法。
假设集合 B 有最大数，记为
。由
[,)0 1
，可知
2
1?
[,)0 1 。但是,这就与? 是集合 B 的最大数发生矛盾。所以集合 B 没有最大数。
上确界与下确界设 S 是一个非空数集，如果 R M,使得x S,有 x M?,
则称 M 是 S 的一个上界；如果 R m,使得x S,有 x m?,则称 m 是 S 的一个下界。
上确界与下确界设 S 是一个非空数集，如果 R M,使得x S,有 x M?,
则称 M 是 S 的一个上界；如果 R m,使得x S,有 x m?,则称 m 是 S 的一个下界。
当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
S 为有界集X 0,使得 Sx,有 x? X 。
设数集 S 有上界，记 U 为 S 的上界全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，下面将证明,U 一定有最小数。
设 U 的最小数为
，就称
为数集 S 的 上确界,即最小上界,
记为
=
s u p S
。
上确界
满足下述两个性质,
1,
是数集 S 的上界：
x S
，有
x；
2,任何小于
的数不是数集 S 的上界：
0
，
x S
,使得
x
。
若数集 S 有下界，记 L 为 S 的下界全体所组成的集合，则显然 L 不可能有最小数，同样可以证明,L 一定有最大数。
设 L 的最大数为?,就称? 为数集 S 的 下确界,即最大下界,
记为
= i n f S 。
下确界? 满足下述两个性质,
1,? 是数集 S 的下界：
x S
，有
x；
2,任何大于? 的数不是数集 S 的下界, 0,
x S
，使得x 。
定理 2.1.1( 确界存在定理 —— 实数系连续性定理 ) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理 2.1.1( 确界存在定理 —— 实数系连续性定理 ) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
证 任何一个实数 x 可表示成
x = ［ x ］ +( x ),
其中［ x ］表示 x 的整数部分,( x ) 表示 x 的非负小数部分。
将 ( x ) 表示成无限小数的形式,
( x ) = 0
1 2,a a a n
,
其中 a a a
n1 2，,,,
中的每一个都是数字 0,1,2,?,9 中的一个，若 ( x ) 是有限小数，则在后面接上无限个 0 。
注无限小数
0 0001 2,a a a p
(
a p? 0
) 与无限小数
0 1 9991 2,( )a a a p
是相等的，为了保持表示的唯一性，约定在
( x ) 的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个实数集合 S
就可以由一个确定的无限小数的集合来表示,
｛
0 1 20,na a a a?
｜
a 0
= ［ x ］,
0 1 2,a a a n
= ( x ),x S? ｝。
设数集 S 有上界，则可令 S 中元素的整数部分的最大者为
0
，
并记
S 0{ | [ ] }x x S x并且? 0
。
S 0
不是空集，并且? x? S,只要
0Sx?
，就有?x
0
。
再考察数集
S 0
中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，
令它们中的最大者为
1
，并记
S1{ | }x x S x0 1并且 的第一位小数为?
。
S1
也不是空集，并且对于任意 x? S,只要?x
1S
，就有?x
0 10,
。
一般地，考察数集
S n? 1
中元素的无限小数表示中第 n 位小数的数字，令它们中的最大者为
n
，并记
S n{ | }x x S x nn n1 并且 的第 位小数为?
。
S n
不是空集，并且对于任意 x? S,只要
nSx?
，就有?x
0 10, 2
n
。
不断地做下去，我们得到一列非空数集 S?
S 0? S1?
S n?
，
和一列数
0
，
1
，
2
，?，
n
,?，满足
0 Z；
k
｛ 0,1,2,?,9 ｝, Nk 。
令
0 + 10, 2 n?。
下面分两步证明? 就是数集 S 的上确界。
令
0 + 10, 2 n?。
下面分两步证明? 就是数集 S 的上确界。
（ 1 ）设 Sx?,则或者存在整数
n 0 0?
，使得
0n
Sx?；或者对任何整数
n? 0
，有
x S n?
。
若
0n
Sx?
，便有
x?
0
+
10, 2
n
0
；
若
x S n?
(?
N?n
),由
S n
的定义并逐个比较 x 与
的整数部分及每一位小数，即知有
x
。
所以对任意的
Sx?
，有
x
，即
是数集 S 的上界。
（ 2 ） 对于任意给定的 0,只要将自然数
n 0
取得充分大，便有
1
10 0n
。
取
x S n0
0
，则
与
x0
的整数部分及前
n 0
位小数是相同的，所以
0x
1
10 0n
,
即
x0
,
即任何小于
的数
不是数集 S 的上界。
同理可证非空有下界的数集必有下确界。
证毕关于 数集的上（下）确界有下述的唯一性 定理,
定理 2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
关于 数集的上（下）确界有下述的唯一性 定理,
定理 2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空 隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q 在数轴上有“空隙”，它就不具备实数集合 R 所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q 内有上（下）界的集合 T
未必在 Q 内有它的上（下）确界。
例 2.1.3 设 }20|{ 2 xxxxT,并且Q,证明 T 在 Q 内没有上确界。
证 略。
关于 数集的上（下）确界有下述的唯一性 定理,
定理 2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空 隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q 在数轴上有“空隙”，它就不具备实数集合 R 所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q 内有上（下）界的集合 T
未必在 Q 内有它的上（下）确界。
§ 1 实数系的连续性实数系实数集合 R 的重要的基本性质 —— 连续性。
第二章 数列极限数系的扩充历史自然数集合 N,关于加法与乘法运算是封闭的，但是 N 关于减法运算并不封闭。
整数集合 Z,关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 Z 关于除法是不封闭的。整数集合 Z 具有“离散性”。
§ 1 实数系的连续性实数系实数集合 R 的重要的基本性质 —— 连续性。
有理数集合 Q
ZN qp
p
qxx,,| 。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q 具有“稠密性”。
c
虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有,空隙,。例如用 c 表示边长为 1 的正方形的对角线的长度，这个 c 就无法用有理数来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有必要将有理数集合加以扩充。
- 3 - 2 - 1 0 1 c 2 3
图 2.1.1
有理数集合 Q
ZN qp
p
qxx,,| 关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q 具有“稠密性”。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q 最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数 ( 称为无理数 ) 吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R? { xx 是有理数或无理数 } 。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q 最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数 ( 称为无理数 ) 吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R? { xx 是有理数或无理数 } 。
全体无理数所对应的点（称为 无理点 ）填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。
实数集合的这一性质称为实数系 R 的“连续性”。 R 又被称为 实数连续统 。
实数系 R 的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。“确界存在定理”就是实数系 R 连续性的表述之 一。
最大数与最小数记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A Bx A,有 x B?,
A Bx A,使得 x B? 。
设 S 是一个数集，如果 S,使得x S,有x,则称
是数集 S 的最大数，记为 m a x S ；如果 S,使得x S,
有x,则称? 是数集 S 的最小数，记为 m i n S 。
当数集 S 是非空有限集时,m a x S 是这有限个数中的最大者,m i n S 是这有限个数中的最小者。但是当 S 是无限集时,S
可能不具有最大数及最小数。
最大数与最小数记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A Bx A,有 x B?,
A Bx A,使得 x B? 。
例 2.1.1 集合 A{ | }x x 0 没有最大数，但有最小数,
m i n A = 0 。
例 2.1.1 集合 A{ | }x x 0 没有最大数，但有最小数,
m i n A = 0 。
例 2.1.2 集合 B
{ | }x x0 1
没有最大数。
证 用反证法。
假设集合 B 有最大数，记为
。由
[,)0 1
，可知
2
1?
[,)0 1 。但是,这就与? 是集合 B 的最大数发生矛盾。所以集合 B 没有最大数。
上确界与下确界设 S 是一个非空数集，如果 R M,使得x S,有 x M?,
则称 M 是 S 的一个上界；如果 R m,使得x S,有 x m?,则称 m 是 S 的一个下界。
上确界与下确界设 S 是一个非空数集，如果 R M,使得x S,有 x M?,
则称 M 是 S 的一个上界；如果 R m,使得x S,有 x m?,则称 m 是 S 的一个下界。
当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
S 为有界集X 0,使得 Sx,有 x? X 。
设数集 S 有上界，记 U 为 S 的上界全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，下面将证明,U 一定有最小数。
设 U 的最小数为
，就称
为数集 S 的 上确界,即最小上界,
记为
=
s u p S
。
上确界
满足下述两个性质,
1,
是数集 S 的上界：
x S
，有
x；
2,任何小于
的数不是数集 S 的上界：
0
，
x S
,使得
x
。
若数集 S 有下界，记 L 为 S 的下界全体所组成的集合，则显然 L 不可能有最小数，同样可以证明,L 一定有最大数。
设 L 的最大数为?,就称? 为数集 S 的 下确界,即最大下界,
记为
= i n f S 。
下确界? 满足下述两个性质,
1,? 是数集 S 的下界：
x S
，有
x；
2,任何大于? 的数不是数集 S 的下界, 0,
x S
，使得x 。
定理 2.1.1( 确界存在定理 —— 实数系连续性定理 ) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理 2.1.1( 确界存在定理 —— 实数系连续性定理 ) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
证 任何一个实数 x 可表示成
x = ［ x ］ +( x ),
其中［ x ］表示 x 的整数部分,( x ) 表示 x 的非负小数部分。
将 ( x ) 表示成无限小数的形式,
( x ) = 0
1 2,a a a n
,
其中 a a a
n1 2，,,,
中的每一个都是数字 0,1,2,?,9 中的一个，若 ( x ) 是有限小数，则在后面接上无限个 0 。
注无限小数
0 0001 2,a a a p
(
a p? 0
) 与无限小数
0 1 9991 2,( )a a a p
是相等的，为了保持表示的唯一性，约定在
( x ) 的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个实数集合 S
就可以由一个确定的无限小数的集合来表示,
｛
0 1 20,na a a a?
｜
a 0
= ［ x ］,
0 1 2,a a a n
= ( x ),x S? ｝。
设数集 S 有上界，则可令 S 中元素的整数部分的最大者为
0
，
并记
S 0{ | [ ] }x x S x并且? 0
。
S 0
不是空集，并且? x? S,只要
0Sx?
，就有?x
0
。
再考察数集
S 0
中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，
令它们中的最大者为
1
，并记
S1{ | }x x S x0 1并且 的第一位小数为?
。
S1
也不是空集，并且对于任意 x? S,只要?x
1S
，就有?x
0 10,
。
一般地，考察数集
S n? 1
中元素的无限小数表示中第 n 位小数的数字，令它们中的最大者为
n
，并记
S n{ | }x x S x nn n1 并且 的第 位小数为?
。
S n
不是空集，并且对于任意 x? S,只要
nSx?
，就有?x
0 10, 2
n
。
不断地做下去，我们得到一列非空数集 S?
S 0? S1?
S n?
，
和一列数
0
，
1
，
2
，?，
n
,?，满足
0 Z；
k
｛ 0,1,2,?,9 ｝, Nk 。
令
0 + 10, 2 n?。
下面分两步证明? 就是数集 S 的上确界。
令
0 + 10, 2 n?。
下面分两步证明? 就是数集 S 的上确界。
（ 1 ）设 Sx?,则或者存在整数
n 0 0?
，使得
0n
Sx?；或者对任何整数
n? 0
，有
x S n?
。
若
0n
Sx?
，便有
x?
0
+
10, 2
n
0
；
若
x S n?
(?
N?n
),由
S n
的定义并逐个比较 x 与
的整数部分及每一位小数，即知有
x
。
所以对任意的
Sx?
，有
x
，即
是数集 S 的上界。
（ 2 ） 对于任意给定的 0,只要将自然数
n 0
取得充分大，便有
1
10 0n
。
取
x S n0
0
，则
与
x0
的整数部分及前
n 0
位小数是相同的，所以
0x
1
10 0n
,
即
x0
,
即任何小于
的数
不是数集 S 的上界。
同理可证非空有下界的数集必有下确界。
证毕关于 数集的上（下）确界有下述的唯一性 定理,
定理 2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
关于 数集的上（下）确界有下述的唯一性 定理,
定理 2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空 隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q 在数轴上有“空隙”，它就不具备实数集合 R 所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q 内有上（下）界的集合 T
未必在 Q 内有它的上（下）确界。
例 2.1.3 设 }20|{ 2 xxxxT,并且Q,证明 T 在 Q 内没有上确界。
证 略。
关于 数集的上（下）确界有下述的唯一性 定理,
定理 2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空 隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q 在数轴上有“空隙”，它就不具备实数集合 R 所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q 内有上（下）界的集合 T
未必在 Q 内有它的上（下）确界。
